ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುವ ಸ್ಥಿತಿ. ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಅಂತರ

ಈ ಲೇಖನವು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು - ಮೂಲ ಮಾಹಿತಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನಾಂತರ, ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನಾಂತರ, ಅವರು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ "ಅವರು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದರೆ" ಎಂಬ ಷರತ್ತು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ: ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರದಿರುವ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ. ನೋಟ್ಬುಕ್ ಹಾಳೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಅಂಚುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ. ಮನೆಯ ಗೋಡೆಯ ಸಮತಲವು ಸೀಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ನೆಲದ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಮತಟ್ಟಾದ ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ರೈಲ್ರೋಡ್ ಹಳಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, "" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಅಂದರೆ, a ಮತ್ತು b ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ b ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, a ರೇಖೆಯು b ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು, ಮತ್ತು b ಸಾಲು a ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುವ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನಾವು ಧ್ವನಿಸೋಣ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮಲಗದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಏಕೈಕ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸತ್ಯವೆಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ (ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ), ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲತತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಪ್ರಮೇಯವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ನೀವು ಅದರ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು 10-11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಲೇಖನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ).

ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ - ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳು.

ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸಂಕೇತರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು, ಅಂದರೆ, ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಷರತ್ತು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಈ ಸ್ಥಿತಿಯ ನೆರವೇರಿಕೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಹ ಇವೆ.

"ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ.

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಿದ್ದೇವೆ. "ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ" ಎಂದರೇನು? "ಅಗತ್ಯ" ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯ ನೆರವೇರಿಕೆ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುವ ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಕಡೆ, ಇದು ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೊದಲು, ಹಲವಾರು ಸಹಾಯಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೆಕೆಂಟ್ ಲೈನ್ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಅಡ್ಡಹಾಯುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ಎಂಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಾಗದವುಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಸುಳ್ಳು, ಅನುಗುಣವಾದಮತ್ತು ಒಂದು ಬದಿಯ ಕೋನಗಳು. ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಅಡ್ಡಹಾಯುವ ಮೂಲಕ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲು ಛೇದಿಸುವ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು ಅಥವಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು ಅಥವಾ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪದವಿಗಳು.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಈ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ.

7-9 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗಾಗಿ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಾಣಬಹುದು.

ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ - ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.

ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಮಾನದಂಡದ ಪುರಾವೆಯು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲತತ್ವದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಿತಿ ಇದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಮಾನದಂಡದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು 10 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಹೇಳಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮೇಯವಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ.

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ.

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳು, ಮಾನದಂಡಗಳು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿವೆ. ಅಂದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅವು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ತೋರಿಸಬೇಕು ಅಥವಾ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಸುಳ್ಳು ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಬೇಕು. ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ.

ಲೇಖನದ ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳುಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಮತ್ತು ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸಹ ಒದಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಆಕ್ಸಿಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಅವನ ಪುರಾವೆಯು ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲು, ಈ ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಒಂದು ಸಾಲಿನ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ವೆಕ್ಟರ್.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು ಅಥವಾ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್) ಅಥವಾ (ಒಂದು ಸಾಲಿನ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್) ಗೆ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು, ನಂತರ a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಅಥವಾ , ಅಥವಾ , ಇಲ್ಲಿ t ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು (ಅಥವಾ) a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖೆಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ a ವೇಳೆ ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ Oxy ರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ , ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆ ಬಿ - , ನಂತರ ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮತ್ತು a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ರೇಖೆಯು ರೂಪದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಿ - ರೇಖೆಯು ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು , ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ತದ್ವಿರುದ್ದವಾಗಿ: ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಲು a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು , ಅಥವಾ ರೂಪದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅದರಂತೆ, ಈ ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು , ಮತ್ತು a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆಯೇ? ಮತ್ತು ?

ಪರಿಹಾರ.

ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ: . ಈಗ ನಾವು ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು , a ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ t ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆ ಇಲ್ಲ ( ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:

ಇಲ್ಲ, ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ.

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ: . ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ) ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ. ಅವು 1) ಛೇದಿಸಿದರೆ; 2) ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

L 1: ಮತ್ತು L 2: ಗೆರೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ  ಇದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು ಎಂ 1 ಎಂ 2 =(x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 ), q 1 =(l 1;m 1;n 1) ಮತ್ತು q 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) ಕಾಪ್ಲಾನರ್ ಆಗಿದ್ದವು. ಅಂದರೆ, ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕೋಪ್ಲಾನರಿಟಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂ 1 ಎಂ 2 ·ಗಳು 1 ·ಗಳು 2 =Δ==0 (8)

ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ನಂತರ L 1 ಮತ್ತು L 2  ಸಾಲುಗಳ ಛೇದಕಕ್ಕಾಗಿ, ಅವರು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (8) ಪೂರೈಸಲು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅನುಪಾತವನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಾಲುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ:

ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ L 1 - q 1 =(1;3;-2). ಲೈನ್ L 2 ಅನ್ನು 2 ಪ್ಲೇನ್‌ಗಳ ಛೇದಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ α 1: x-y-z+1=0; α 2: x+y+2z-2=0. ಏಕೆಂದರೆ ಲೈನ್ L 2 ಎರಡೂ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದು ಮತ್ತು ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್, ಸಾಮಾನ್ಯಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎನ್ 1 ಮತ್ತು ಎನ್ 2 . ಆದ್ದರಿಂದ, ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ರು 2 ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎನ್ 1 ಮತ್ತು ಎನ್ 2 , ಅಂದರೆ q 2 =ಎನ್ 1 X ಎನ್ 2 ==-i-3ಜ+2ಕೆ.

ಅದು. ರು 1 =-ರು 2 , ಇದರರ್ಥ ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (1;2;-1)L 1 ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ L 2: 1-2+2+1=0 - ತಪ್ಪಾದ ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 L 2,

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರ.

ಅಂಕಿ M 1 (x 1;y 1;z 1) ನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆ L ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು, ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ L: ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಇದು M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ q=(l;m;n)

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ qಮತ್ತು ಎಂ 0 ಎಂ 1 . ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 ರಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆ L ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು ಈ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎತ್ತರ h ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಎಸ್=| q X ಎಂ 0 ಎಂ 1 |=h| q|, ನಂತರ

h= (9)

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ.

L 1: ಮತ್ತು L 2:

1) L 1 L 2 .

2) ಎಲ್ 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ 2 - ದಾಟುವಿಕೆ

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸ್ಥಳಕ್ಕಾಗಿ, 3 ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ;

ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ;

ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮತ್ತು ಸಮತಲವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯದಿಂದ ನೀಡೋಣ

α: Ах+Бу+Сz+D=0

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬಿಂದು M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ q=(l;m;n), ಮತ್ತು ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ ಎನ್=(ಎ;ಬಿ;ಸಿ).

1. ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಛೇದಕ.

ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲವು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ qಸಮತಲ α ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಲ್ಲ ಎನ್.ಆ. ಅವರ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎನ್q≠0 ಅಥವಾ, ಅವರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ - ನೇರ ರೇಖೆಯ L ಮತ್ತು ಸಮತಲ α ನ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳು.

ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ: , tR

ಈ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 - ತಿಳಿದಿದೆ, ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ t ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

Am+Bn+Cp≠0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ:

t M = -→ (11)

ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು ಲಂಬತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು.

ನೇರ ರೇಖೆಯ L ನಡುವಿನ ಕೋನ φ :

ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ q=(l;m;n) ಮತ್ತು ವಿಮಾನ

: ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ Ах+Ву+Сz+D=0 ಎನ್=(A;B;C) 0˚ (ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ನಿಂದ 90˚ ವರೆಗೆ (ಲಂಬವಾದ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ). (ವೆಕ್ಟರ್ ನಡುವಿನ ಕೋನ qಮತ್ತು ವಿಮಾನದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ α).

- ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ qಮತ್ತು ಎನ್.

ಏಕೆಂದರೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ L ಮತ್ತು ಸಮತಲ  ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಕೋನಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ , ನಂತರ ಪಾಪ φ=sin(-)=cos =- (ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ φ ಕೋನವು ತೀವ್ರವಾದ ಪಾಪ φ=sin( -) ಅಥವಾ ಪಾಪ φ = sin(+) ನೇರ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ L)

ಅಧ್ಯಾಯ IV. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳು. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ

§ 46. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಪರಸ್ಪರ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖೆಗಳು ಇರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇರಬಹುದು. ಸಂಬಂಧಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರಬಾರದು. ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಮಾನವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಆರ್ಮತ್ತು ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ಸೇರದ ಕೆಲವು ಪಾಯಿಂಟ್ S ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಆರ್(ಚಿತ್ರ 130).

ನಂತರ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು AB ಮತ್ತು BC ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆರ್, ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು AS ಮತ್ತು CB ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವರು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದರೆ, ಎ, ಬಿ, ಸಿ, ಎಸ್ ಅಂಕಗಳು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿಯೂ ಇರುತ್ತವೆ, ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಸ್ ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಮತ್ತು ಛೇದಿಸದ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಕತಾಳೀಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ನೇರವಾಗಿದ್ದರೆ 1 1 ಮತ್ತು 1 2 ಸಮಾನಾಂತರ, ನಂತರ ಬರೆಯಿರಿ 1 1 || 1 2 .

ಹೀಗಾಗಿ, 1 1 || 1 2, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವಿಮಾನವಿದ್ದರೆ ಆರ್ಅಂದರೆ
1 1 ಆರ್ಮತ್ತು 1 2 ಆರ್ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಅಥವಾ 1 1 1 2 = ಅಥವಾ 1 1 = 1 2 .

ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರದ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಓರೆ ರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ, ಇದನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅವಕಾಶ 1 1 || 1 2 ಮತ್ತು 1 2 || 1 3. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ 1 1 || 1 3

ನೇರವಾಗಿದ್ದರೆ 1 1 , 1 2 , 1 3 ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು, ನಂತರ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ 1 1 , 1 2 , 1 3 ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಬೇಡಿ.

ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ 1 1 ಮತ್ತು 1 2 ವಿಮಾನವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಆರ್ 1, ಮತ್ತು ಮೂಲಕ 1 2 ಮತ್ತು 1 3 - ವಿಮಾನ ಆರ್ 2 (ಚಿತ್ರ 131).

ಸರಳ ರೇಖೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ 1 3 ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ M ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
ಆರ್ 1 .

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಎಂ ಬಿಂದು ಆರ್ 3, ಇದು ವಿಮಾನವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಆರ್ 2 ಕೆಲವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಲ್. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಎಲ್ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ 1 3. ನಾವು ಅದನ್ನು "ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ" ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸರಳ ರೇಖೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ 1 ನೇರ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ 1 3. ನಂತರ 1 ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ 1 2 ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ A. ಇದು ವಿಮಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಆರ್ 3 ಪಾಯಿಂಟ್ A ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಆರ್ 1 ಮತ್ತು ನೇರ 1 1 ಆರ್ 1 ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಮಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ 1 . ಈ ತೀರ್ಮಾನವು ಪಾಯಿಂಟ್ M ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ ಆರ್ 3 ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ ಆರ್ 1 .
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಊಹೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ 1 = 1 3 .

ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ 1 1 ಮತ್ತು 1 3 ಒಂದೇ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು ಆರ್ 3. ನಮಗೆ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ 1 1 ಮತ್ತು 1 3 ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೇಳೆ 1 1 ಮತ್ತು 1 3 ಛೇದಿಸಿತು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಂತರ ವಿಮಾನ ಆರ್ 2 ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ 1 2 ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿ ಮೂಲಕ 1 1 ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ 1, ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ.

ಕಾರ್ಯ.ಕೋಡರೆಕ್ಷನಲ್ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

MAN ಮತ್ತು M 1 A 1 N 1 ಕೋನಗಳು ಸಹ-ದಿಕ್ಕಿನ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ: ಕಿರಣ AM ಅನ್ನು ಕಿರಣ A 1 M 1 ನೊಂದಿಗೆ ಸಹ-ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇ AN ಅನ್ನು ರೇ A 1 N 1 ನೊಂದಿಗೆ ಸಹ-ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 132).

AM ಮತ್ತು A 1 M 1 ಕಿರಣಗಳ ಮೇಲೆ ನಾವು AB ಮತ್ತು A 1 B 1 ಉದ್ದದ ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಇಡುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ

|| ಮತ್ತು |BB 1 | = |AA 1 |

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಂತೆ.

ಅಂತೆಯೇ, AN ಮತ್ತು A 1 N 1 ಕಿರಣಗಳ ಮೇಲೆ ನಾವು AC ಮತ್ತು A 1 C 1 ಉದ್ದದ ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ

|| ಮತ್ತು |CC 1 | = |AA 1 |

ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸಂಕ್ರಮಣದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ || . ಮತ್ತು ರಿಂದ |BB 1 | = |CC 1 | , ನಂತರ BB 1 C 1 C ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ |BC| = |B 1 C 1 |.
ಆದ್ದರಿಂದ, /\ ಎಬಿಸಿ /\ A 1 B 1 C 1 ಮತ್ತು .

60-65 ಅಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಉತ್ತೀರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಎಲ್ಲಾ ವಿಷಯಗಳನ್ನು "ಎ ಪಡೆಯಿರಿ" ಎಂಬ ವೀಡಿಯೊ ಕೋರ್ಸ್ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ 1-13 ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ಸಹ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನೀವು 90-100 ಅಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನೀವು ಭಾಗ 1 ಅನ್ನು 30 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ!

10-11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ ಕೋರ್ಸ್. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಭಾಗ 1 (ಮೊದಲ 12 ಸಮಸ್ಯೆಗಳು) ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆ 13 (ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು. ಮತ್ತು ಇದು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ 70 ಅಂಕಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು, ಮತ್ತು 100-ಪಾಯಿಂಟ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಅಥವಾ ಮಾನವಿಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಅವರಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಎಲ್ಲಾ ಅಗತ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ತ್ವರಿತ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಮೋಸಗಳು ಮತ್ತು ರಹಸ್ಯಗಳು. FIPI ಟಾಸ್ಕ್ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ನಿಂದ ಭಾಗ 1 ರ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಸ್ತುತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋರ್ಸ್ 2018 ರ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೋರ್ಸ್ 5 ದೊಡ್ಡ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಪ್ರತಿ 2.5 ಗಂಟೆಗಳ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮೊದಲಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ನೂರಾರು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೆನಪಿಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು. ರೇಖಾಗಣಿತ. ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಉಲ್ಲೇಖ ವಸ್ತು, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿ. ಟ್ರಿಕಿ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಉಪಯುಕ್ತ ಚೀಟ್ ಹಾಳೆಗಳು, ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ. ಮೊದಲಿನಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ 13. ಕ್ರ್ಯಾಮಿಂಗ್ ಬದಲಿಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ವಿವರಣೆಗಳು. ಬೀಜಗಣಿತ. ಬೇರುಗಳು, ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ. ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಭಾಗ 2 ರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಆಧಾರ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾಲ್ಕು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ;

ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಆದರೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ);

ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ;

ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ದಾಟುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲ.

ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು. L 1 ಮತ್ತು L 2 ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡೋಣ:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6.9)

ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು M 1 (x 1; y 1; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2; y 2; z 2) ∈ L 2 ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ s 1 = (l 1; m 1; n 1) L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) L 2 ಗಾಗಿ.

ರೇಖೆಗಳು ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು s 1 ಮತ್ತು s 2 ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತಗಳ ಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

l 1 / l 2 = m 1 / m 2 = n 1 / n 2. (6.10)

ಸಾಲುಗಳು ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ M 1 M 2 ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದೆ:

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

ಈ ಡಬಲ್ ಸಮಾನತೆ ಎಂದರೆ ಬಿಂದು M 2 L 1 ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಾಲುಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು (6.10) ಮತ್ತು (6.11) ಪೂರೈಸುವುದು.

ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ದಾಟಿದರೆ, ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಷರತ್ತು (6.10) ಉಲ್ಲಂಘಿಸಲಾಗಿದೆ. ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಹಕಗಳು s 1 , s 2 ಮತ್ತು M 1 M 2 ಇವೆ ಕೋಪ್ಲಾನರ್ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಣಾಯಕ, ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ (ನೋಡಿ 3.2):

ಸ್ಥಿತಿ (6.12) ನಾಲ್ಕು ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರರಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ Δ ≠ 0 ಗೆ ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ:

ರೇಖೆಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ (6.13). ಸಾಲುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಾಲುಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಅಥವಾ ದಾಟುವಿಕೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ನೇರ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ. ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಕು ವೆಕ್ಟರ್ ಕಲಾಕೃತಿ n 1 × n 2 ಮತ್ತು n 3 × n 4, ಅಲ್ಲಿ n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮಾಡುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6.4.

ನೇರ ರೇಖೆಯ L 1 ರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ s 1 ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: s 1 = (1; 3; -2). ನೇರ ರೇಖೆಯ L 2 ರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ s 2 ಅನ್ನು ವಿಮಾನಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಛೇದಕ:

s 1 = -s 2 ರಿಂದ, ನಂತರ ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಈ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಅರಿತುಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಯ L 2 ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ನಾವು 1 = 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 ಲೈನ್ L 2 ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳುನೇರ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ತೀವ್ರ ಕೋನವು ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 6.5) ಅಥವಾ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಮಂದವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, L 1 ಮತ್ತು L 2 ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು s x ಮತ್ತು s 2 ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ತೀವ್ರ ಕೋನ φ ಅನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, s i = (l i; m i; n i), i = 1, 2. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (2.9) ಮತ್ತು (2.14) ಬಳಸಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ