ಪಿಯರ್ಸನ್ ವಿತರಣೆ (ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆ). ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳು: ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆ Ksi ವರ್ಗ ವಿತರಣೆ

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆಯು ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಅತ್ಯಂತ ಶಕ್ತಿಯುತವಾದ ಒಳ್ಳೆಯತನದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ - ಪಿಯರ್ಸನ್ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಪರೀಕ್ಷೆ.

ಒಪ್ಪಂದದ ಮಾನದಂಡವು ಅಜ್ಞಾತ ವಿತರಣೆಯ ಊಹೆಯ ಕಾನೂನಿನ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ.

ವಿವಿಧ ವಿತರಣೆಗಳ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು χ2 (ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್) ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅವರ ಘನತೆ.

ಮಾನದಂಡದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸೂತ್ರವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಇಲ್ಲಿ m ಮತ್ತು m' ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನಗಳಾಗಿವೆ

ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಿತರಣೆ;

n ಎಂಬುದು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನಾವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ (ಗಮನಿಸಿದ) ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ (ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ) ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆವರ್ತನಗಳು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ಅಥವಾ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, S (E - T) = 0 ಮತ್ತು χ2 ಮಾನದಂಡವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. S (E - T) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಆವರ್ತನಗಳು ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆವರ್ತನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, χ2 ಮಾನದಂಡದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು. χ2ф ನ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ (χ2st) ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.ಶೂನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಥವಾ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆ, χ2f ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಗೀಕೃತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟ (a) ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (n) ಗಾಗಿ χ2 ನೇ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ χ2 ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿತರಣೆಯು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (n) ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ χ2 ಮಾನದಂಡದ ಅನ್ವಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆಗಳುಅದರ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವ ಕೆಲವು ದೋಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿ, ಕನಿಷ್ಠ 50 ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. χ2 ಮಾನದಂಡದ ಸರಿಯಾದ ಅನ್ವಯವು ತೀವ್ರವಾದ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಆವರ್ತನಗಳು 5 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರಬಾರದು; ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 5 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ನೆರೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಆವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು 5 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆವರ್ತನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (N) ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿತೀಯಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಗಳಿಂದ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

χ2 ಮಾನದಂಡವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ನಿಖರತೆಯು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು (T) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿಖರತೆಯ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಆವರ್ತನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನ್ರೌಂಡ್ಡ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಬಳಕೆಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳುಮಾನವಿಕಗಳಲ್ಲಿ.

ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಆವರ್ತನ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಹೋಲಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಆವರ್ತನವು ಘಟನೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೆಸರುಗಳ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಿದಾಗ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನವನ್ನು ವ್ಯವಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆವರ್ತನವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅವುಗಳ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ ಅಥವಾ ಸಮಸ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ. ಅಲ್ಲದೆ, ಅನೇಕ ಸಂಶೋಧಕರು ಪರೀಕ್ಷಾ ಸ್ಕೋರ್‌ಗಳನ್ನು ಮಟ್ಟಗಳಾಗಿ (ಹೆಚ್ಚಿನ, ಸರಾಸರಿ, ಕಡಿಮೆ) ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಒಲವು ತೋರುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸ್ಕೋರ್ ವಿತರಣೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ (ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ) ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಹೆಚ್ಚು (ಕಡಿಮೆ) ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಸ್ವಾಭಿಮಾನವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಕಿರಿಯ ಹದಿಹರೆಯದವರಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮೂರು ಹಂತಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗಿದೆ: ಹೆಚ್ಚಿನ, ಮಧ್ಯಮ, ಕಡಿಮೆ. ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಹೆಚ್ಚಿನ (ಬಿ) 27 ಜನರು.

ಸರಾಸರಿ (C) 12 ಜನರು.

ಕಡಿಮೆ (ಎಲ್) 11 ಜನರು

ಬಹುಪಾಲು ಮಕ್ಕಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ವಾಭಿಮಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಪಡೆದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯವಾದವುಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಆವರ್ತನಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ:

(B + C + H)/3 = (27+12+11)/3 = 16.6

ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರ:

χ2 = ∑(E - T)I / T

ನಾವು ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಕೊನೆಯ ಕಾಲಮ್‌ನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಈಗ ನೀವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾನದಂಡದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು (ಅನುಬಂಧದಲ್ಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ 1). ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (n) ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

n = (R - 1) * (C - 1)

ಇಲ್ಲಿ R ಎಂಬುದು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿನ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, C ಎಂಬುದು ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಾಲಮ್ (ಮೂಲ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆವರ್ತನಗಳ ಅರ್ಥ) ಮತ್ತು ಮೂರು ಸಾಲುಗಳು (ವರ್ಗಗಳು) ಇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂತ್ರವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ - ನಾವು ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

n = (R - 1) = 3-1 = 2

ದೋಷ ಸಂಭವನೀಯತೆ p≤0.05 ಮತ್ತು n = 2, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವು χ2 = 5.99 ಆಗಿದೆ.

ಪಡೆದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮೌಲ್ಯವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿವೆ (χ2= 9.64; p≤0.05).

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮೌಲ್ಯವು ಅಗಾಧವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಶ್ನಾವಳಿಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ ಈ ವಿಧಾನವು ಅತ್ಯಂತ ಮೌಲ್ಯಯುತವಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಹುಡುಗಿಯರಿಗಿಂತ ಹುಡುಗರ ಕಡೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಒಲವು ತೋರುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದು ನಿಜವೇ ಎಂದು ಮನಶ್ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ಆ. ಹುಡುಗಿಯರನ್ನು ಹೊಗಳುವುದು ಹೆಚ್ಚು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮನಶ್ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮೂರು ಪದಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನಕ್ಕಾಗಿ ಶಿಕ್ಷಕರು ಬರೆದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ್ದಾರೆ: "ಸಕ್ರಿಯ," "ಶ್ರದ್ಧೆ," "ಶಿಸ್ತು" ಮತ್ತು ಪದಗಳ ಸಮಾನಾರ್ಥಕ ಪದಗಳನ್ನು ಸಹ ಎಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪದಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪಡೆದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಲು ನಾವು ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆವರ್ತನಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ನಾವು ಗಮನಿಸುವ ಆ ಆವರ್ತನಗಳು:

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ, ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುವುದು ಎಂದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಆವರ್ತನವನ್ನು ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು ಹುಡುಗಿಯರ ನಡುವೆ ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಾಲಿನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅಂತಿಮ ಕೋಷ್ಟಕವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

χ2 = ∑(E - T)I / T

n = (R - 1), ಇಲ್ಲಿ R ಎಂಬುದು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿನ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಚಿ-ಚದರ = 4.21; n = 2.

ಮಾನದಂಡದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: n = 2 ಮತ್ತು 0.05 ರ ದೋಷ ಮಟ್ಟದೊಂದಿಗೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವು χ2 = 5.99 ಆಗಿದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಶೂನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ಮಗುವಿಗೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ ಶಿಕ್ಷಕರು ಮಗುವಿನ ಲಿಂಗಕ್ಕೆ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ.

ತೀರ್ಮಾನ.

ಕೆ. ಪಿಯರ್ಸನ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು(ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು). ಪಿಯರ್ಸನ್ ಅವರ ಮುಖ್ಯ ತಾತ್ವಿಕ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ವಿಜ್ಞಾನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಕೃತಕ ರಚನೆಗಳು, ಸಂವೇದನಾ ಅನುಭವವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು; ಅವುಗಳನ್ನು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಾಕ್ಯಗಳಿಗೆ ಜೋಡಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವಿಜ್ಞಾನದ ವ್ಯಾಕರಣದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ವಿಜ್ಞಾನದ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಶಿಸ್ತು - ಅನ್ವಯಿಕ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು - ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ.

K. ಪಿಯರ್ಸನ್‌ನ ಅನೇಕ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಅಥವಾ ಮಾನವಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವರು ವಿಜ್ಞಾನದ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವರ್ಗೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾನದಂಡಗಳ ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು.

ಸಾಹಿತ್ಯ.

1. ಬೊಗೊಲ್ಯುಬೊವ್ A. N. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ. ಜೀವನಚರಿತ್ರೆಯ ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕ. - ಕೈವ್: ನೌಕೋವಾ ಡುಮ್ಕಾ, 1983.

2. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ A. N., ಯುಶ್ಕೆವಿಚ್ A. P. (eds.). 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. - ಎಂ.: ವಿಜ್ಞಾನ. - ಟಿ.ಐ.

3. 3. ಬೊರೊವ್ಕೋವ್ ಎ.ಎ. ಗಣಿತ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು. ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1994.

4. 8. ಫೆಲ್ಲರ್ ವಿ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳ ಪರಿಚಯ. - ಎಂ.: ಮಿರ್, ಟಿ.2, 1984.

5. 9. ಹರ್ಮನ್ ಜಿ., ಆಧುನಿಕ ಅಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. - ಎಂ.: ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, 1972.

ಮೊದಲು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ XIXಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಡೇಟಾದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ನಿಯಮವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, K. ಪಿಯರ್ಸನ್ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆವರ್ತನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸಿತು. ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠವಾದ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಮರ್ಥನೆಯೂ ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು.

ಈ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು χ 2(ಚಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್), ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ (ಗಮನಿಸಿದ) ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ (ನಿರೀಕ್ಷಿತ) ಆವರ್ತನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು 1900 ರಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಿತು, ಆದರೆ ಮಾನದಂಡವು ಇಂದಿಗೂ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ವರ್ಗೀಯ ಡೇಟಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದವರಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರಿನ ವರ್ಗ, ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವವರ ಲಿಂಗ, ಸಸ್ಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಂತಹ ಡೇಟಾಗೆ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದಂತಹ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಅವುಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ನಾವು ಗಮನಿಸಿದ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಬಗ್ಗೆ (ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ), ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ - ಇ (ನಿರೀಕ್ಷಿತ). ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಡೈ ಅನ್ನು 60 ಬಾರಿ ರೋಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಬದಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1/6 ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆ 10 (1/6∙60). ನಾವು ಗಮನಿಸಿದ ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯೆಂದರೆ ಆವರ್ತನಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ನಿಜವಾದ ಡೇಟಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಡೇಟಾವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಪರ್ಯಾಯ ಊಹೆಯೆಂದರೆ ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಚಲನಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ಮೀರಿವೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ. ಕಠಿಣ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು, ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

1. ಗಮನಿಸಿದ ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಾರಾಂಶ ಅಳತೆ.
2. ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಅಳತೆಯ ವಿತರಣೆ.

ಆವರ್ತನಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ನೀವು ಕೇವಲ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಒ - ಇ, ನಂತರ ಅಂತಹ ಅಳತೆಯು ಡೇಟಾದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (ಆವರ್ತನಗಳು). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 20 - 5 = 15 ಮತ್ತು 1020 - 1005 = 15. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 15 ಆಗಿದೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳು ಗಮನಿಸಿದ ಪದಗಳಿಗಿಂತ 3 ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ - ಕೇವಲ 1.5 ಶೇ. ನಮಗೆ ಸ್ಕೇಲ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಅಳತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಸಂಗತಿಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡೋಣ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದೇ ವೀಕ್ಷಣೆಯು ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯು ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯು ಅಪರೂಪದ ಘಟನೆಗಳ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಷದ ಕಾನೂನು. ಪಾಯ್ಸನ್ ನಿಯಮದಲ್ಲಿ, ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೌಲ್ಯವು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ λ ) ಇದರರ್ಥ ನಾಮಮಾತ್ರದ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕೆಲವು ವರ್ಗಕ್ಕೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನ ಇ ಐಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಸರಣ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ನಿಯಮವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ಗಮನಿಸಿದ ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳ ನಡುವಿನ ಒಪ್ಪಂದದ ಕುರಿತಾದ ಊಹೆಯು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ

ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟು ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಆವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತ) ಕನಿಷ್ಠ 50 ಆಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನವು ಕನಿಷ್ಠ 5 ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ, ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ . ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯು ± 3 (ಮೂರು-ಸಿಗ್ಮಾ ನಿಯಮ) ಒಳಗೆ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಒಂದು ಹಂತಕ್ಕೆ ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ ತುಲನಾತ್ಮಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ನಮಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದಾದ ಅಳತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ - ನಾವು 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಏಕೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ). ಈ ವಿಚಲನಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಪಿಯರ್ಸನ್ ಸಲಹೆ ನೀಡಿದರು.

ಇದು ಚಿಹ್ನೆ ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆ ಪಿಯರ್ಸನ್. ಆವರ್ತನಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮಾನದಂಡದ ಮೌಲ್ಯವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಚಲನಗಳು ಶೂನ್ಯದ ಸುತ್ತಲೂ ಇರುವುದರಿಂದ). ಆದರೆ ಮಾನದಂಡವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದು ಆವರ್ತನಗಳ ನಡುವಿನ ಗಮನಾರ್ಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಅಥವಾ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯು ಅಸಂಭವವಾದಾಗ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಮಾನದಂಡವು "ದೊಡ್ಡದು" ಆಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಆವರ್ತನ ಒಪ್ಪಂದದ ಊಹೆಯು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದಾಗ, ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದಾಗ ಮಾನದಂಡದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾದಂತೆ, ಚಿ-ಚದರ ಮೌಲ್ಯವು ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಇವೆ, ಮಾನದಂಡವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಪದವು ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಸ್ವತಂತ್ರನಿಯಮಗಳು, ಅದರ ಸ್ವಂತ ವಿತರಣೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ χ 2ವಿತರಣೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದರೇನು ಸ್ವತಂತ್ರನಿಯಮಗಳು? ಯಾವುದೇ ಪದವು (ಅಂದರೆ ವಿಚಲನ) ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿದೆ. ಕೆ. ಪಿಯರ್ಸನ್ ಕೂಡ ಹಾಗೆ ಭಾವಿಸಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಅವರು ತಪ್ಪು ಎಂದು ತಿರುಗಿದರು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಾಮಮಾತ್ರದ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಹಂತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎನ್. ಏಕೆ? ಏಕೆಂದರೆ ಆವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಇತರರ ಮೊತ್ತದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಪಿಯರ್ಸನ್ ತನ್ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ 20 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ರೊನಾಲ್ಡ್ ಫಿಶರ್ ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರು. ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಪುನಃ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಫಿಶರ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು - ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಪದವಿ(ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿ), ಇದು ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ (ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ, ಫಿಶರ್-ಸ್ನೆಡೆಕೋರ್ ಮತ್ತು ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಸ್ವತಃ) ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸಲು, ನಾವು ಭೌತಿಕ ಅನಲಾಗ್ಗೆ ತಿರುಗೋಣ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ. ಇದು 3 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಯಾವುದೇ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದರೆ, ಅದು ಈಗಾಗಲೇ ಎರಡು ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ, ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ), ಆದರೂ ಅದು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ವಸಂತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಮತ್ತೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಬಹುದು. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ವಸ್ತುವು ಇರುವ ಸ್ಥಳವು ಯಾವಾಗಲೂ ಚಲನೆಯ ನೈಜ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಸರಿಸುಮಾರು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾನದಂಡದ ವಿತರಣೆಯು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಅವಲಂಬನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಚಿ ಚದರ ವಿತರಣೆ ( χ 2) ವಿತರಣೆಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ನಿಯತಾಂಕದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ. ವಿತರಣೆ χ 2(ಚಿ-ಚೌಕ) ರು ಕೆಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಕೆಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ.

ಮುಂದೆ, ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು, ಆದರೆ, ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಮಗೆ ಬಹಳ ಸಮಯದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ. ಆಸಕ್ತಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಸೂಕ್ತವಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಟೇಬಲ್ ಅಥವಾ ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆಯ ಆಕಾರವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಚೌಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ)).

ಪಿಯರ್ಸನ್ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು

ಈಗ ನಾವು ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಬರುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವು ಉಳಿದಿದೆ. ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯೆಂದರೆ ಗಮನಿಸಿದ ಆವರ್ತನಗಳು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ). ಇದು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಏರಿಳಿತಗಳ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಸರಣದ ಅಳತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸ್ವತಃ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಗಳಿಗೆ), ಅಥವಾ, ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾಗಿದೆ, ಗಮನಿಸಿದ p-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಶೂನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದೇ ಅಥವಾ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾನದಂಡದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಆವರ್ತನಗಳ ಒಪ್ಪಂದದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ನಂತರ ಮಾನದಂಡವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆ. ಮಾನದಂಡವು ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ) ಎಡಗೈ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಮಾನದಂಡವು ಅಸಂಭವ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಬೀಳಬಹುದು, ಆದರೆ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ. ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಅಸಂಭವವಾಗಿದೆ. ದೋಷವನ್ನು ನೀಡುವ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ದೋಷವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಬಹುಶಃ ಡೇಟಾವನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಇನ್ನೂ, ಬಲ-ಬದಿಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಡೈಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ಲಭ್ಯವಿರುವ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಈಗ 5 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ( ಕೆ) ಮತ್ತು ಮಹತ್ವದ ಮಟ್ಟ 0.05 ( α ) ಚಿ ಚದರ ವಿತರಣೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಪ್ರಕಾರ.

ಅಂದರೆ, 0.05 ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ 5 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಚಿ ವರ್ಗದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಬಲ ಬಾಲ) χ 2 0.05; 5 = 11,1.

ನಿಜವಾದ ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ. 3.4 ( χ 2) < 11,1 (χ 2 0.05; 5) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮಾನದಂಡವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಆವರ್ತನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ (ಒಪ್ಪಂದ) ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರದೇಶದೊಳಗೆ ಬಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

p-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿರದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನೋಡಬೇಕು. ಆದರೆ ಇದು ಕಳೆದ ಶತಮಾನ. ನಾವು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ MS ಎಕ್ಸೆಲ್. ಎಕ್ಸೆಲ್ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಅವುಗಳ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

CH2.OBR- ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯ (ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ)

CH2.OBR.PH- ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಾನದಂಡದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯ. ಕಾರ್ಯವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಹಿಂದಿನದನ್ನು ನಕಲು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು α , 1 ರಿಂದ ಕಳೆಯುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವಿತರಣೆಯ ಬಲ ಬಾಲವಾಗಿದೆ.

CH2.DIST- ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ p-ಮೌಲ್ಯ (ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು).

CH2.DIST.PH- ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ p-ಮೌಲ್ಯ.

CHI2.TEST- ತಕ್ಷಣವೇ ಎರಡು ಆವರ್ತನ ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗಾಗಿ ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತದೆ. ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಆವರ್ತನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅದು ಇರಬೇಕು), p-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ.

ನಮ್ಮ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕಾಗಿ 5 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಮತ್ತು ಆಲ್ಫಾ 0.05 ಗಾಗಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ (ಕೋಷ್ಟಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

CH2.OBR(0.95;5)

CH2.OBR.PH(0.05;5)

ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ - 11.0705. ಇದು ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೋಡುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (1 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ದುಂಡಾದ).

ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ 5 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಮಾನದಂಡಕ್ಕಾಗಿ p-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ χ 2= 3.4. ನಮಗೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು HH (ಬಲ ಬಾಲ) ಸೇರ್ಪಡೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

CH2.DIST.PH(3.4;5) = 0.63857

ಇದರರ್ಥ 5 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮಾನದಂಡದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ χ 2= 3.4 ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನವು ಸುಮಾರು 64% ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (p-ಮೌಲ್ಯವು 5% ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಆವರ್ತನಗಳು ಉತ್ತಮ ಒಪ್ಪಂದದಲ್ಲಿವೆ.

ಈಗ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸೆಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ CHI2.TEST ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆವರ್ತನಗಳ ಒಪ್ಪಂದದ ಕುರಿತು ಊಹೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಲ್ಲ, ತೊಡಕಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಲ್ಲ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳಾಗಿ ಗಮನಿಸಿದ ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ p-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸೌಂದರ್ಯ.

ಈಗ ನೀವು ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದ ವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಡೈಸ್ ಆಡುತ್ತಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. 1 ರಿಂದ 5 ರವರೆಗಿನ ಅಂಕಗಳ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವನು 26 ಸಿಕ್ಸರ್ಗಳನ್ನು ಉರುಳಿಸುತ್ತಾನೆ (ಒಟ್ಟು ಎಸೆತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 78 ಆಗುತ್ತದೆ).

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ p-ಮೌಲ್ಯವು 0.003 ಆಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ, ಇದು 0.05 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ದಾಳದ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಅನುಮಾನಿಸಲು ಉತ್ತಮ ಕಾರಣಗಳಿವೆ. ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವಿತರಣಾ ಚಾರ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಹೇಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾನದಂಡವು 17.8 ಆಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಟೇಬಲ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ (11.1).

ಒಪ್ಪಂದದ ಮಾನದಂಡ ಏನು ಎಂದು ನಾನು ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ χ 2(ಪಿಯರ್ಸನ್ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್) ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ! ಎಲ್ಲಾ ಆವರ್ತನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 50 ಅನ್ನು ಮೀರಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಹಂತಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು 5 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನವು 5 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಆವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೀರಿದೆ 50, ನಂತರ ಅಂತಹ ವರ್ಗವನ್ನು ಹತ್ತಿರದ ಒಂದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಒಟ್ಟು ಆವರ್ತನವು 5 ಮೀರಿದೆ. ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಆವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತವು 50 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ನಾವು ಅವರ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ಬಾರಿ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಕ್ಸೆಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಊಹೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

U 1 , U 2 , ..,U k ಸ್ವತಂತ್ರ ಮಾನದಂಡವಾಗಿರಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ K = U 1 2 +U 2 2 + .. + U k 2 ನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳು (K~χ 2 (k) ಬರೆಯಿರಿ). ಇದು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಓರೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ: ಮೋಡ್ M=k-2 ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ m=k ಪ್ರಸರಣ D=2k (Fig.). ನಿಯತಾಂಕದ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಕೆವಿತರಣೆ χ 2 (ಕೆ) ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀಡಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆ α ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಕಗಳನ್ನು χ 2 (ಕೆ) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆ(ಅನುಬಂಧ 2). ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು Χ 2 kr = Χ 2 (k; α) ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕರ್ವ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶದ 100- α % ನಷ್ಟು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಾಗಿದೆ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ K~χ 2 (k) ನ ಮೌಲ್ಯವು χ 2 (k) ಬಿಂದುವಿನ ಬಲಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು α P(K≥χ 2 kp)≤ α) ಅನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ K~χ 2 (20) ಗಾಗಿ ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು α=0.05 ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ. ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವಿತರಣೆಯ (ಕೋಷ್ಟಕಗಳು) ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು χ 2 kp = χ 2 (20;0.05) = 31.4 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದರರ್ಥ ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕೆ 31.4 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿ, 0.05 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ (Fig.).

ಅಕ್ಕಿ. ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಗ್ರಾಫ್ χ 2 (ಕೆ) ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕೆ

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಕಗಳನ್ನು χ 2 (ಕೆ) ಕೆಳಗಿನ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

1. ಮಲ್ಟಿಕಾಲಿನಿಯರಿಟಿಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಗಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ (ಬಹುಶಃ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ).

ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು "ಸಂಬಂಧವಿದೆಯೇ?" ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಸಂಬಂಧದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕಡಿಮೆ-ಆವರ್ತನ ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೋಷವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂವಹನದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು, ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಹತ್ವಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು.

ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ α Χ 2 ಅನ್ನು MS ಎಕ್ಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: =HI2OBR(α;ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿ)

n-1	.995	.990	.975	.950	.900	.750	.500	.250	.100	.050	.025	.010	.005
1	0.00004	0.00016	0.00098	0.00393	0.01579	0.10153	0.45494	1.32330	2.70554	3.84146	5.02389	6.63490	7.87944
2	0.01003	0.02010	0.05064	0.10259	0.21072	0.57536	1.38629	2.77259	4.60517	5.99146	7.37776	9.21034	10.59663
3	0.07172	0.11483	0.21580	0.35185	0.58437	1.21253	2.36597	4.10834	6.25139	7.81473	9.34840	11.34487	12.83816
4	0.20699	0.29711	0.48442	0.71072	1.06362	1.92256	3.35669	5.38527	7.77944	9.48773	11.14329	13.27670	14.86026
5	0.41174	0.55430	0.83121	1.14548	1.61031	2.67460	4.35146	6.62568	9.23636	11.07050	12.83250	15.08627	16.74960
6	0.67573	0.87209	1.23734	1.63538	2.20413	3.45460	5.34812	7.84080	10.64464	12.59159	14.44938	16.81189	18.54758
7	0.98926	1.23904	1.68987	2.16735	2.83311	4.25485	6.34581	9.03715	12.01704	14.06714	16.01276	18.47531	20.27774
8	1.34441	1.64650	2.17973	2.73264	3.48954	5.07064	7.34412	10.21885	13.36157	15.50731	17.53455	20.09024	21.95495
9	1.73493	2.08790	2.70039	3.32511	4.16816	5.89883	8.34283	11.38875	14.68366	16.91898	19.02277	21.66599	23.58935
10	2.15586	2.55821	3.24697	3.94030	4.86518	6.73720	9.34182	12.54886	15.98718	18.30704	20.48318	23.20925	25.18818
11	2.60322	3.05348	3.81575	4.57481	5.57778	7.58414	10.34100	13.70069	17.27501	19.67514	21.92005	24.72497	26.75685
12	3.07382	3.57057	4.40379	5.22603	6.30380	8.43842	11.34032	14.84540	18.54935	21.02607	23.33666	26.21697	28.29952
13	3.56503	4.10692	5.00875	5.89186	7.04150	9.29907	12.33976	15.98391	19.81193	22.36203	24.73560	27.68825	29.81947
14	4.07467	4.66043	5.62873	6.57063	7.78953	10.16531	13.33927	17.11693	21.06414	23.68479	26.11895	29.14124	31.31935
15	4.60092	5.22935	6.26214	7.26094	8.54676	11.03654	14.33886	18.24509	22.30713	24.99579	27.48839	30.57791	32.80132
16	5.14221	5.81221	6.90766	7.96165	9.31224	11.91222	15.33850	19.36886	23.54183	26.29623	28.84535	31.99993	34.26719
17	5.69722	6.40776	7.56419	8.67176	10.08519	12.79193	16.33818	20.48868	24.76904	27.58711	30.19101	33.40866	35.71847
18	6.26480	7.01491	8.23075	9.39046	10.86494	13.67529	17.33790	21.60489	25.98942	28.86930	31.52638	34.80531	37.15645
19	6.84397	7.63273	8.90652	10.11701	11.65091	14.56200	18.33765	22.71781	27.20357	30.14353	32.85233	36.19087	38.58226
20	7.43384	8.26040	9.59078	10.85081	12.44261	15.45177	19.33743	23.82769	28.41198	31.41043	34.16961	37.56623	39.99685
21	8.03365	8.89720	10.28290	11.59131	13.23960	16.34438	20.33723	24.93478	29.61509	32.67057	35.47888	38.93217	41.40106
22	8.64272	9.54249	10.98232	12.33801	14.04149	17.23962	21.33704	26.03927	30.81328	33.92444	36.78071	40.28936	42.79565
23	9.26042	10.19572	11.68855	13.09051	14.84796	18.13730	22.33688	27.14134	32.00690	35.17246	38.07563	41.63840	44.18128
24	9.88623	10.85636	12.40115	13.84843	15.65868	19.03725	23.33673	28.24115	33.19624	36.41503	39.36408	42.97982	45.55851
25	10.51965	11.52398	13.11972	14.61141	16.47341	19.93934	24.33659	29.33885	34.38159	37.65248	40.64647	44.31410	46.92789
26	11.16024	12.19815	13.84390	15.37916	17.29188	20.84343	25.33646	30.43457	35.56317	38.88514	41.92317	45.64168	48.28988
27	11.80759	12.87850	14.57338	16.15140	18.11390	21.74940	26.33634	31.52841	36.74122	40.11327	43.19451	46.96294	49.64492
28	12.46134	13.56471	15.30786	16.92788	18.93924	22.65716	27.33623	32.62049	37.91592	41.33714	44.46079	48.27824	50.99338
29	13.12115	14.25645	16.04707	17.70837	19.76774	23.56659	28.33613	33.71091	39.08747	42.55697	45.72229	49.58788	52.33562
30	13.78672	14.95346	16.79077	18.49266	20.59923	24.47761	29.33603	34.79974	40.25602	43.77297	46.97924	50.89218	53.67196

ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೆ	ಮಹತ್ವದ ಮಟ್ಟ ಎ
	0,01	0,025	0.05	0,95	0,975	0.99
1	6.6	5.0	3.8	0.0039	0.00098	0.00016
2	9.2	7.4	6.0	0.103	0.051	0.020
3	11.3	9.4	7.8	0.352	0.216	0.115
4	13.3	11.1	9.5	0.711	0.484	0.297
5	15.1	12.8	11.1	1.15	0.831	0.554
6	16.8	14.4	12.6	1.64	1.24	0.872
7	18.5	16.0	14.1	2.17	1.69	1.24
8	20.1	17.5	15.5	2.73	2.18	1.65
9	21.7	19.0	16.9	3.33	2.70	2.09
10	23.2	20.5	18.3	3.94	3.25	2.56
11	24.7	21.9	19.7	4.57	3.82	3.05
12	26.2	23.3	21 .0	5.23	4.40	3.57
13	27.7	24.7	22.4	5.89	5.01	4.11
14	29.1	26.1	23.7	6.57	5.63	4.66
15	30.6	27.5	25.0	7.26	6.26	5.23
16	32.0	28.8	26.3	7.96	6.91	5.81
17	33.4	30.2	27.6	8.67	7.56	6.41
18	34.8	31.5	28.9	9.39	8.23	7.01
19	36.2	32.9	30.1	10.1	8.91	7.63
20	37.6	34.2	31.4	10.9	9.59	8.26
21	38.9	35.5	32.7	11.6	10.3	8.90
22	40.3	36.8	33.9	12.3	11.0	9.54
23	41.6	38.1	35.2	13.1	11.7	10.2
24	43.0	39.4	36.4	13.8	12.4	10.9
25	44.3	40.6	37.7	14.6	13.1	11.5
26	45.6	41.9	38.9	15.4	13.8	12.2
27	47.0	43.2	40.1	16.2	14.6	12.9
28	48.3	44.5	41.3	16.9	15.3	13.6
29	49.6	45.7	42.6	17.7	16.0	14.3
30	50.9	47.0	43.8	18.5	16.8	15.0

ಪಿಯರ್ಸನ್ (ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್), ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಮತ್ತು ಫಿಶರ್ ವಿತರಣೆಗಳು

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮೂರು ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಡೇಟಾ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿತರಣೆಗಳು ಪುಸ್ತಕದ ನಂತರದ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಪಿಯರ್ಸನ್ ವಿತರಣೆ (ಚಿ - ಚದರ) - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆ

ಎಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ X 1 , X 2 ,…, ಎಕ್ಸ್ ಎನ್ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎನ್(0,1) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ. ಎನ್, ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವಿತರಣೆಯ "ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಾಗ (ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು), ಒಪ್ಪಂದ, ಏಕರೂಪತೆ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವಾಗ, ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಗುಣಾತ್ಮಕ (ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ) ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಹಲವು ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಡೇಟಾ

ವಿತರಣೆ ಟಿವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ t ಎಂಬುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಯುಮತ್ತು Xಸ್ವತಂತ್ರ, ಯುಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎನ್(0.1), ಮತ್ತು X– ಚಿ ವಿತರಣೆ – ಚದರ ಸಿ ಎನ್ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಪದವಿಗಳು. ಇದರಲ್ಲಿ ಎನ್ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆಯ "ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು 1908 ರಲ್ಲಿ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಡಬ್ಲ್ಯೂ.ಗೋಸೆಟ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅವರು ಬಿಯರ್ ಕಾರ್ಖಾನೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು. ಈ ಕಾರ್ಖಾನೆಯಲ್ಲಿ ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಂಭವನೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ನಿರ್ವಹಣೆಯು V. ಗೊಸೆಟ್ ತನ್ನ ಸ್ವಂತ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸುವುದನ್ನು ನಿಷೇಧಿಸಿತು. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, V. ಗೊಸ್ಸೆಟ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಸಂಭವನೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಾರ ರಹಸ್ಯಗಳು ಮತ್ತು "ತಿಳಿದಿರುವುದು" ರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರು "ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ" ಎಂಬ ಗುಪ್ತನಾಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲು ಅವಕಾಶವನ್ನು ಪಡೆದರು. ಗೋಸೆಟ್-ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಕಥೆಯು ನೂರು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆಯೇ, ಬ್ರಿಟಿಷ್ ವ್ಯವಸ್ಥಾಪಕರು ಶ್ರೇಷ್ಠರ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಆರ್ಥಿಕ ದಕ್ಷತೆಸಂಭವನೀಯ-ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳು.

ಪ್ರಸ್ತುತ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆಯು ನೈಜ ಡೇಟಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಮುನ್ಸೂಚನೆ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಾಗ ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು, ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಮಾದರಿ ಏಕರೂಪತೆಯ ಊಹೆಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ. .

ಫಿಶರ್ ವಿತರಣೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ X 1ಮತ್ತು X 2ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಕೆ 1 ಮತ್ತು ಕೆ 2 ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ದಂಪತಿಗಳು (ಕೆ 1 , ಕೆ 2 ) - ಫಿಶರ್ ವಿತರಣೆಯ "ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ" ಜೋಡಿ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಕೆ 1 ಅಂಶದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಕೆ 2 - ಛೇದದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆ ಎಫ್ಶ್ರೇಷ್ಠ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆರ್. ಫಿಶರ್ (1890-1962) ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ, ಅವರು ಅದನ್ನು ತಮ್ಮ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಬಳಸಿದರು.

ರಿಗ್ರೆಶನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯ ಸಮರ್ಪಕತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವಾಗ ಫಿಶರ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್, ಸ್ಟೂಡೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಫಿಶರ್ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, ಅವುಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಅವುಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೋಡಿ).

23. ಚಿ-ಚದರ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ನೋಟ

1) ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ n ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣೆ (ಚಿ-ಚದರ) n ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ವಿತರಣೆ (ಚಿ-ಚದರ)- ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆ (ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು 0, ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು 1)

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ. , ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವಿತರಣೆಯ "ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿ-ಚದರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ವಿತರಣೆಯು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.

ನಂತರ ಅವರ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ k = n ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ; ನಿಯಮಗಳು ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ), ನಂತರ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ k = n – 1.

ಈ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆ

ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯ ಇಲ್ಲಿದೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, Г(n + 1) = n! .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ k.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 1. ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆಯು ಕ್ರಮೇಣ ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ತಲುಪುತ್ತದೆ.

ಟೀಕೆ 2. ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಅನೇಕ ಇತರ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದ (X1, X2,..., Xn), ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

χ2 ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಮೊದಲು R. ಹೆಲ್ಮರ್ಟ್ (1876) ಮತ್ತು K. ಪಿಯರ್ಸನ್ (1900) ಪರಿಗಣಿಸಿದರು.

Math.expect.=n; D=2n

2) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ವಿತರಣೆ

ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: Z, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ (ಅಂದರೆ, M(Z) = 0, σ(Z) = 1), ಮತ್ತು V, ಇದನ್ನು ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ k ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಪದವಿಗಳು. ನಂತರ ಮೌಲ್ಯ

t-ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಅಥವಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆ ಎಂಬ ವಿತರಣೆಯನ್ನು k ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, k ಅನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆಯ "ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆಯು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.

ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು 1908 ರಲ್ಲಿ ಬಿಯರ್ ಕಾರ್ಖಾನೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಗೋಸೆಟ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಈ ಕಾರ್ಖಾನೆಯಲ್ಲಿ ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಂಭವನೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ನಿರ್ವಹಣೆಯು V. ಗೊಸೆಟ್ ತನ್ನ ಸ್ವಂತ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸುವುದನ್ನು ನಿಷೇಧಿಸಿತು. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, V. ಗೊಸ್ಸೆಟ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಸಂಭವನೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಾರ ರಹಸ್ಯಗಳು ಮತ್ತು "ತಿಳಿದಿರುವುದು" ರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರು "ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ" ಎಂಬ ಗುಪ್ತನಾಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲು ಅವಕಾಶವನ್ನು ಪಡೆದರು. ಗೋಸೆಟ್-ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಕಥೆಯು ನೂರು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆಯೇ, ಯುಕೆ ವ್ಯವಸ್ಥಾಪಕರು ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆರ್ಥಿಕ ದಕ್ಷತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.