ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಮೂರು ಸಿಗ್ಮಾ ನಿಯಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯ

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಯಂತ್ರಣ ಚಾರ್ಟ್ಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು, ಇದನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಣ ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ನಿಯಂತ್ರಣ, ಅಂದರೆ ನಾವು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಇತರ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳ ನಡುವೆ ವಿಶೇಷ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಕಾನೂನು, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಇತರ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯ ಸನ್ನಿವೇಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಸ್ವತಂತ್ರ (ಅಥವಾ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಯಾವುದೇ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ (ಕೆಲವು ತುಂಬಾ ಸಡಿಲವಾದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ), ಸರಿಸುಮಾರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾಪನ ದೋಷಗಳು, ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಪದಗಳ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು - ಪ್ರಾಥಮಿಕ ದೋಷಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕಾರಣದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ, ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಇತರರು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ Xದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ Xಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಇತರರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ(ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆ) - ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಅಂತಹ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆ - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

ಅವಧಿ (3)

ಅಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು m ಮತ್ತು s ಎಂಬ ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ m ಎಂಬುದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ; s ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ.

ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು 2 ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ m ವಿತರಣಾ ಕೇಂದ್ರದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ s (SD) ಪ್ರಸರಣದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ (Fig. 3).

f(x) f(x)

ಚಿತ್ರ 3 - ಇದರೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ ಕಾರ್ಯಗಳು:

a) ವಿಭಿನ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು m; ಬಿ) ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳು s.

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯ μ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವಿತರಣಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮ μ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಆಯಾಮದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ X. ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ mboth ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ s 2 ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಮೀ ಸುತ್ತ ಹೆಚ್ಚು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿದಾದಂತಾಗುತ್ತದೆ.

σ ನ ಮೌಲ್ಯವು ವಿತರಣಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಏಕತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು, σ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯು ಸಮತಟ್ಟಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. ಚಿತ್ರ 3.1 ವಿಭಿನ್ನ σ ಗಾಗಿ ಮೂರು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ: σ1 = 0.5; σ2 = 1.0; σ3 = 2.0.

ಚಿತ್ರ 3.1 - ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳುವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳು s.

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ (ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯ) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಚಿತ್ರ 4):

(4)

ಚಿತ್ರ 4 - ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ (ಎ) ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ (ಬಿ) ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ X, ಅದರ ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ Zಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ 0 ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ 1. ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪ್ರತಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ ಇದನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಒಂದು ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: m = 0, s = 1.

m = 0, s = 1 ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ (ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ).

ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ(ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ) ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ Z, ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ನಲ್ಲಿ - ¥<z< + ¥

ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು Ф(z)ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

(7)

ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು Ф(z)ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆ f(z)ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ zಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ:

ಎಫ್ (–z) = 1–Ф(z) (8)

ಈ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. z, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಏಕೆಂದರೆ:

; (9)

. 10)

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ X, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ m ಮತ್ತು s ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ವಿಭಾಗವು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಗಾಗಿ ಸಹಿಷ್ಣುತೆ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಬಹುದು ಯುತಳಕ್ಕೆ ಎಲ್.

ನಿಂದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ X 1 ರಿಂದ X 2 ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯ) Xಸಹಿಷ್ಣುತೆ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀವು ಕಾಣಬಹುದು Xμ ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಕೆರು . ಗಾಗಿ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕೆ=1,2 ಮತ್ತು 3 ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 5 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ):

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂರು-ಸಿಗ್ಮಾ ಪ್ರದೇಶದ ಹೊರಗೆ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಗೋಚರಿಸಿದರೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ 99.73% ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ (1:270), ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯವು ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಅಥವಾ ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿಯೇ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಅಡಚಣೆಯಿಂದಾಗಿ, ವಿತರಣೆಯ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು.

ಮೂರು-ಸಿಗ್ಮಾ ಗಡಿಯೊಳಗೆ ಇರುವ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಹಿಷ್ಣುತೆ ಪ್ರದೇಶಸಂಬಂಧಿತ ಯಂತ್ರ ಅಥವಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ.

ಇತರ ರೀತಿಯ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನಂತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯು ಹೇಗೆ ಬರುತ್ತದೆ?

ಕೈಯಲ್ಲಿ ಹಿಡಿಯುವ ಡೈನಮೋಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ, ನಿಮ್ಮ ನಗರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಜನನಿಬಿಡ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಮತ್ತು ನೀವು ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡಗೈಯಿಂದ ಡೈನಮೋಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಹಿಸುಕುವ ಮೂಲಕ ತಮ್ಮ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಹಾದುಹೋಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ನೀಡುತ್ತೀರಿ. ನೀವು ಡೈನಮೋಮೀಟರ್ ವಾಚನಗೋಷ್ಠಿಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಬರೆಯಿರಿ. ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ, ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ನೀವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಡೈನಮೋಮೀಟರ್ ವಾಚನಗೋಷ್ಠಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಈ ಓದುವಿಕೆಯನ್ನು "ಸ್ಕ್ವೀಝ್ ಔಟ್" ಮಾಡಿದ ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯೋಜಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮೃದುವಾದ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಚಿತ್ರ 9.8 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಕರ್ವ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಯೋಗದ ಸಮಯ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನೋಟವು ಹೆಚ್ಚು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಿಂದ, ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅದರ ಆಕಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಷ್ಕರಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 9.8

ಈಗ ನಮ್ಮ ಡೈನಮೋಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಅಥ್ಲೆಟಿಕ್ ಹಾಲ್‌ಗೆ ಸರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ. ಈಗ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಗರಿಷ್ಠವು ಬಲಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎಡ ತುದಿಯು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಬಿಗಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಬಲ ತುದಿಯು ಕಡಿದಾದ (Fig. 9.9) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 9.9

ಎರಡನೇ ವಿತರಣೆಯ (ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿ) ಗರಿಷ್ಠ ಆವರ್ತನವು ಮೊದಲ ವಿತರಣೆಯ (ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ) ಗರಿಷ್ಠ ಆವರ್ತನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅಥ್ಲೆಟಿಕ್ ಹಾಲ್‌ಗೆ ಭೇಟಿ ನೀಡುವ ಒಟ್ಟು ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ (ಸಾಕಷ್ಟು ಕಿಕ್ಕಿರಿದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ನಗರ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ) ಪ್ರಯೋಗಕಾರರ ಬಳಿ ಹಾದುಹೋದ ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಹಿನ್ನೆಲೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅಥ್ಲೆಟಿಕ್ ಜಿಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ದೈಹಿಕವಾಗಿ ಬಲವಾದ ಜನರು ಭಾಗವಹಿಸುವುದರಿಂದ ಗರಿಷ್ಠವು ಬಲಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿತು.

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಅದೇ ಗುರಿಯೊಂದಿಗೆ ಶಾಲೆಗಳು, ಶಿಶುವಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ನರ್ಸಿಂಗ್ ಹೋಂಗಳಿಗೆ ಭೇಟಿ ನೀಡುತ್ತೇವೆ: ಈ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಂದರ್ಶಕರ ಕೈಗಳ ಬಲವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು. ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈಗ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅದರ ಎಡ ತುದಿಯು ಕಡಿದಾದದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬಲ ತುದಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣದಂತೆ, ಗರಿಷ್ಠ (ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಿ) ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ (ಅಂಜೂರ 9.10) ಕೆಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 9.10.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಈ ಗಮನಾರ್ಹ ಆಸ್ತಿ - ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು (ಚಿತ್ರ 8 - 10) 1733 ರಲ್ಲಿ ಮೊಯಿವ್ರೆಯಿಂದ ಗಮನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು ಮತ್ತು ವಿವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು ಮತ್ತು ನಂತರ ಗಾಸ್ನಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿತು.

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ, ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ಸಾಮೂಹಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರಂತರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತವೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

(21)

ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟನೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ನಿಯಮದಂತೆ, ನಿಯತಾಂಕದ ಬದಲಿಗೆ (21) ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, . ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸರಣಿಯು ಮುಂದೆ, ಕಡಿಮೆ ನಿಯತಾಂಕವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವು (ಚಿತ್ರ 9.11) ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. x-ಅಕ್ಷದ ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರದೇಶವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಈ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 9.11.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

(22)

ಸಾಮಾನ್ಯ ಕರ್ವ್ (Fig. 9.11) ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ OX ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿಗೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ

(23)

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಈ ಪ್ರಮುಖ ವಿತರಣೆಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಆಸ್ತಿ 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (21) ಸಂಪೂರ್ಣ x- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆಸ್ತಿ 2. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ ಕಾರ್ಯ (21) ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ().

ಆಸ್ತಿ 3. ಅನಂತ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ (ಕಡಿಮೆ), ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ (21) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ .

ಆಸ್ತಿ 4. (21) ನೀಡಿದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಸಮಾನವಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ

(24)

ಆಸ್ತಿ 5. ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ (ಚಿತ್ರ 9.11) ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.

ಆಸ್ತಿ 6. ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ (Fig. 9.11) ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಎರಡು ಒಳಹರಿವಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

(25)

ಆಸ್ತಿ 7. ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು ಶೂನ್ಯ. ಆಸ್ತಿ 7 ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆಯು ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ವೇಳೆ , ನಂತರ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ (ಗ್ರಾಫ್ನ ಬಲ ಶಾಖೆಯು ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಬಿಗಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ). ವೇಳೆ , ನಂತರ ಸರಣಿಯನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 9.12 ರಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ನ ಫ್ಲಾಟರ್ ಎಡ ಶಾಖೆ).

ಅಕ್ಕಿ. 9.12.

ಆಸ್ತಿ 8. ವಿತರಣೆಯ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ 3 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ನ "ಸಂಕೋಚನ" ಅಥವಾ "ಅಸ್ಪಷ್ಟಗೊಳಿಸುವಿಕೆ" ಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಸಾಮೀಪ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (Fig. 9.13). ಮತ್ತು ಇದು ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಡೇಟಾದ ಆವರ್ತನ ಪ್ರಸರಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ರಿಂದ

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ , ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ, ನಿಂದ ವರೆಗಿನ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

ಪ್ರಮಾಣದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಮೌಲ್ಯದ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

. (6.3.3)

ಅವಿಭಾಜ್ಯ (6.3.3) ನಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ

ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇಡೋಣ:

(6.3.4)

ಅವಿಭಾಜ್ಯ (6.3.4) ಅನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಅಥವಾ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ), ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ವಿಧಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

;

ಇತ್ಯಾದಿ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ರುಚಿಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

. (6.3.5)

ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಈ ಕಾರ್ಯವು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅನುಬಂಧ (ಕೋಷ್ಟಕ 1) ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಪರಿಮಾಣದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (6.3.3) ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ,

ಈಗ ವರೆಗಿನ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (6.3.1)

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಯಾವುದೇ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, 0.1 ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (6.3.7) ಕ್ರಿಯೆಯ ವಾದಗಳು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: ವಿಭಾಗದ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ದೂರವಿದೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; - ವಿಭಾಗದ ಎಡ ತುದಿಗೆ ಅದೇ ದೂರ, ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವು ಪ್ರಸರಣದ ಕೇಂದ್ರದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಈ ಅಂತರವನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಡಕ್ಕೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಂತೆ, ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

3. - ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರ್ಯ.

ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ, ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಫಂಕ್ಷನ್ ಟೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅನಗತ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು (ಒಂದರಿಂದ ವ್ಯವಕಲನ), ಅನುಬಂಧ ಕೋಷ್ಟಕ 1 ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ವಾದಗಳಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಹ ಉದ್ದದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 6.3.1). ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ (6.3.7):

ಕಾರ್ಯದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು (6.3.8) ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಸೂತ್ರದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು (6.3.9) ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾದ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರದೇಶ ಸಮ್ಮಿತೀಯ:

. (6.3.10)

ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ಪ್ರಸರಣದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ (Fig. 6.3.2) ಉದ್ದದ ಸತತ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನಾವು ಯೋಜಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂತಹ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ರೂಪಿಸಲು ಸಾಕು.

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (6.3.7) ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

(6.3.11)

ಈ ಡೇಟಾದಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು (ಐದನೇ, ಆರನೇ, ಇತ್ಯಾದಿ) 0.001 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

0.01 (1% ಗೆ) ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ, ನೆನಪಿಡುವ ಸುಲಭವಾದ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

0,34; 0,14; 0,02.

ಈ ಮೂರು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು 0.5 ಆಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಸರಣವು (ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ) ಪ್ರದೇಶದೊಳಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲು ಇದು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ "ಮೂರು ಸಿಗ್ಮಾ ನಿಯಮ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಸಿಗ್ಮಾದ ನಿಯಮವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ವಿಚಲನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಮೂರರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಸಹಜವಾಗಿ, ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ವಿಧಾನಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ಒರಟು ತಂತ್ರವನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರವನ್ನು ಅಳೆಯುವಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅಳತೆ ಮಾಡುವಾಗ, 1.2 (ಮೀ) ಮೂಲಕ ಅತಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಮಾಪನ ದೋಷದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು 0.8 (ಮೀ) ಆಗಿದೆ. ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಅಳತೆ ಮಾಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಚಲನವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ 1.6 (ಮೀ) ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಮಾಪನ ದೋಷವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು . ಯಿಂದ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಈ ಪ್ರಮಾಣವು ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (6.3.7) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕಾರ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ (ಅನುಬಂಧ, ಕೋಷ್ಟಕ 1), ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

; ,

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (6.3.10), ಊಹಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಸ್ಟ್ರಿಪ್ (ಮೋಟಾರ್ವೇ) ನಂತೆ ಕಾಣುವ ಗುರಿಯನ್ನು, ಅದರ ಅಗಲವು 20 ಮೀ, ಹೆದ್ದಾರಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆದ್ದಾರಿಯ ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಗುರಿಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂಟಿಂಗ್ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು m ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶೂಟಿಂಗ್ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷವಿದೆ: ಅಂಡರ್‌ಶೂಟ್ 3 ಮೀ. ಒಂದು ಶಾಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೆದ್ದಾರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿವಿಧ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಕಾನೂನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $X$ ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-((\left(x-a\right))^2)\ಮೇಲೆ ( 2(\ಸಿಗ್ಮಾ )^2)))$$

$f\left(x\right)$ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು "ಗೌಸಿಯನ್ ಕರ್ವ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನ್ 10 ಮಾರ್ಕ್ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ನೋಟ್ ಇದೆ, ಇದನ್ನು ಯೂರೋ ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೊದಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ನೀವು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಿದರೆ, ಈ ನೋಟಿನ ಮೇಲೆ ನೀವು ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ಕರ್ವ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವೇಷಕ, ಶ್ರೇಷ್ಠ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಗೌಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

ನಮ್ಮ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯ $f\left(x\right)$ ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಮತ್ತು $a,\ (\sigma )^2$ ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕೆಲವು ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ. $a$ ನಿಯತಾಂಕವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಸರಣದ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. $a$ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಬದಲಾದಾಗ ಮತ್ತು $(\sigma )^2$ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿದಾಗ, ನಾವು $f\left(x\right)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ abscissa ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಸ್ವತಃ ತನ್ನ ಆಕಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ $(\sigma )^2$ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಕರ್ವ್ $f\ಎಡ(x\ಬಲ)$ನ ಆಕಾರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ $(\sigma )^2$ ಅನ್ನು $a$ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ, ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅದರ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವುದು ಅಥವಾ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು, ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸದೆ ನಾವು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು $P\left(\alpha) ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

ಇಲ್ಲಿ $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ ಎಂಬುದು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. $\Phi \left(x\right)$ ಕಾರ್ಯದ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯ $\Phi \left(x\right)$ ಬೆಸ.

2 . $\Phi \left(x\right)$ ಒಂದು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ ಎಡ(x\ಬಲ)\ )=-0.5$.

ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು $\Phi \left(x\right)$, ನೀವು ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ $f_x$ ವಿಝಾರ್ಡ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\ಬಲ )-0.5$. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $x=2$ ಗಾಗಿ $\Phi \left(x\right)$ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X\ಇನ್ ಎನ್\ಎಡ(ಎ;\ (\ಸಿಗ್ಮಾ )^2\ಬಲ)$ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಧ್ಯಂತರ ಸಮ್ಮಿತೀಯಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು $a$ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

ಮೂರು ಸಿಗ್ಮಾ ನಿಯಮ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ಮಧ್ಯಂತರ $\left (a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ ಗೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 . ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ $a=2,\ \sigma =3$ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. $\ಎಡ(0.5;1\ಬಲ)$ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ $X$ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು $\left|X-a\right|< 0,2$.

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

ನಾವು $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ ಮೇಲೆ (3) ))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \ left(0.33\right)=0.191- 0.129=$0.062.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

ಉದಾಹರಣೆ 2 . ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಂಪನಿಯ ಷೇರುಗಳ ಬೆಲೆಯು 50 ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿತ್ತೀಯ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು 10 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಚರ್ಚೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅವಧಿಯ ದಿನ ಪ್ರಚಾರದ ಬೆಲೆ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

ಎ) 70 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿತ್ತೀಯ ಘಟಕಗಳು?

ಬಿ) ಪ್ರತಿ ಷೇರಿಗೆ 50 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ?

ಸಿ) ಪ್ರತಿ ಷೇರಿಗೆ 45 ಮತ್ತು 58 ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿತ್ತೀಯ ಘಟಕಗಳ ನಡುವೆ?

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ಕೆಲವು ಕಂಪನಿಯ ಷೇರುಗಳ ಬೆಲೆಯಾಗಿರಲಿ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, $X$ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ $a=50$ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, $\sigma =10$ - ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ. ಸಂಭವನೀಯತೆ $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ ಮೇಲೆ (10))\ಬಲ)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$

$$b)\P\ಎಡ(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು, ಗಾಸ್ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಕಾನೂನು. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ-ಆರ್ಥಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಕೃತಿ ಮತ್ತು ಸಮಾಜದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ವಿಶೇಷ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ವಿಪಥಗೊಳ್ಳುವ ಆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರ ತರಬಹುದು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಇತರ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಕಾನೂನಿನ ಮೂಲಭೂತ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅದು ಕೆಲವು (ಪ್ರಮಾಣಿತ) ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಇತರ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಗಡಿಯ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು.

ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪದವಾಗಿ "ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ" ಎಂಬ ಪದವು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಮಾನದಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಮಾನದಂಡಗಳ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ವಿಧದ ಕಾನೂನು ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಅರ್ಥವಲ್ಲ ಈ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಅಸಹಜತೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, "ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ" ಎಂಬ ಪದವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ (ಗಾಸ್-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾನೂನು) ಒಂದು ರೀತಿಯ ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲಿ ಮೊಯಿವ್ರೆ (ಒಂದು ಸಾವಿರದ ಏಳುನೂರ ಎಪ್ಪತ್ತಮೂರು, ಫ್ರಾನ್ಸ್) ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಈ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ಮೂಲ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಕೆ.ಗಾಸ್ (1809, ಜರ್ಮನಿ) ಮತ್ತು ಎ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ (1812, ಫ್ರಾನ್ಸ್) ಅವರು ದೋಷಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಬಳಸಿದರು, ಅವರು ಕಾನೂನಿನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, K. ಗೌಸ್ ತನ್ನ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಮುಂದುವರೆದಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು A.M. ಲಿಯಾಪುನೋವಾ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಭಾವದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಇತರ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ಪ್ರಭಾವವು ಒಟ್ಟು ಪ್ರಭಾವದಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಅತಿಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಂಶಗಳು, ನಂತರ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

1 +1 (& #) 2

/ (x, x,<т) = - ^ е 2 st2

ಇಲ್ಲಿ x ಎಂಬುದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: x ಮತ್ತು °. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು. ಈ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಗುಂಪಿನ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಆಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ

ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಕರ್ವ್. u (xx, b) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕರ್ವ್ (ಗೌಸಿಯನ್ ಕರ್ವ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳು x ಮತ್ತು b (Fig. 12).

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯು X ± 1 ರಲ್ಲಿ ಒಳಹರಿವಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ನಂತರ X = + l ಮತ್ತು 1 = -1 ಸಂಪೂರ್ಣ ಕರ್ವ್ ಪ್ರದೇಶದ 0.683 ಭಾಗಗಳು (ಅಂದರೆ 68.3%). X = + 2 ಮತ್ತು X- 2 ರ ಗಡಿಯೊಳಗೆ 0.954 ಪ್ರದೇಶಗಳಿವೆ (95.4%), ಮತ್ತು X = + 3 ಮತ್ತು X = - 3 - 0.997 ಭಾಗಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿತರಣಾ ಪ್ರದೇಶದ (99.7%). ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. ಚಿತ್ರ 13 ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಒಂದು-, ಎರಡು- ಮತ್ತು ಮೂರು-ಸಿಗ್ಮಾ ಗಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ, ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಕಾರವು ಏಕ-ಶೃಂಗದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರ ಶಾಖೆಗಳು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ದೊಡ್ಡ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ x = 0 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ, ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ, ಅದರ ಶಾಖೆಗಳು ಬರುತ್ತವೆ, ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಪೀನದ ಆಕಾರವನ್ನು ಕಾನ್ಕೇವಿಟಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಬಿಂದುಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು x = ± 1 ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಆರ್ಡಿನೇಟ್, ವಕ್ರರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ನಡುವಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ

ಅಂಕಗಣಿತವು 0.50 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ x, (~ ^ x) = 0.50 V

ಚಿತ್ರ 12. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆ (ಗಾಸಿಯನ್ ಕರ್ವ್)

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನವು ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿ (ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅದರ ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯು ~ ಹೆಚ್ಚಾದರೆ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ~ ಬಂದರೆ ಎಡಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 14. ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳುವಿ

ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕರ್ವ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಆಕಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು

ವಿಭಿನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ, ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 1

ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ° ನ ಮೌಲ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಗರಿಷ್ಠ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯು x- ಅಕ್ಷದ ಕಡೆಗೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಚಪ್ಪಟೆ-ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಆಕಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, β ನಿಯತಾಂಕವು ಕಡಿಮೆಯಾದಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಬೆಲ್" ಆಕಾರವು ಹೆಚ್ಚು ಮೊನಚಾದಂತಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1). 14). ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಗಮನಿಸಿ ~ ಮತ್ತು , ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಏಕತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆಸ್ತಿ). ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್ (ಚಿತ್ರ 13) ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿತರಣೆಯ "ಸಾಮಾನ್ಯತೆ" ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಲವಾರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:

1) ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ (X= x) ಅದರ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡಕ್ಕೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬರುತ್ತದೆ, ಕ್ರಮೇಣ x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ;

2) ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ,

ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ (X= x)

ಗರಿಷ್ಠ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ^^^ i;

3) ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು "ಬೆಲ್" ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾದ ಪೀನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ x ~ ° ಮತ್ತು x + b ಇದು ಪೀನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದಾದ a, "ಬೆಲ್" ಅನ್ನು ತೀಕ್ಷ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದಾದ a, "ಬೆಲ್" ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ (Fig. 14). ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ (ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ

ಸಿ) ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಕಾರದ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

x = 0 ಮತ್ತು ° = 1 ಆಗಿರುವಾಗ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವಕ್ರರೇಖೆ ಅಥವಾ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪೈ 1 - "" = --- 7 = ಇ

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ™ ಎಂಬುದು ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದ (ಗುಂಪು) ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನವಾಗಿದೆ; "- ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಆವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತ; "- ಮಧ್ಯಂತರ ಹಂತ;

ಅದೇ - ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಅನುಪಾತವು ಅದರ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ, ಅಂದರೆ

ಇ - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಆಧಾರ, 2.71828 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;

ಸೂತ್ರದ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಭಾಗಗಳು) ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವಿಚಲನ CN), ಇದನ್ನು X ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. CN ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಸಾಮಾನ್ಯ ಕರ್ವ್ನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು" (ಅನುಬಂಧ 3) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಕಾರ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಸರಳ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ.ದೈನಂದಿನ ಗಳಿಕೆಯ ಮಟ್ಟದಿಂದ 57 ಕಾರ್ಮಿಕರ ವಿತರಣೆಯ ದತ್ತಾಂಶದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (ಕೋಷ್ಟಕ 42). ಕೋಷ್ಟಕ 42 ರ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

~ = ^ = И6 54 =

ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಟೇಬಲ್ನ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವಿಚಲನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

x ಮತ್ತು ~x | 12 ಗ್ರಾಂ => - = - ^ 2 = 1.92

ಎ 6.25 (ಮೊದಲ ಮಧ್ಯಂತರದ ಡಿಡಿ I, ಇತ್ಯಾದಿ).

ಕೋಷ್ಟಕದ ಕಾಲಮ್ 8 ರಲ್ಲಿ. 42 ನಾವು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ನಿಂದ ಡಿ) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಮಧ್ಯಂತರ X = 1.92 ಗಾಗಿ ನಾವು "1.9" ವಿರುದ್ಧ "2" (0.0632) ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಅಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ಗಳು, ಗುಣಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

* = ^ = 36,5 ಒಂದು 6.25

ನಾವು ಫಂಕ್ಷನ್ / (r) ನ ಎಲ್ಲಾ ಕಂಡುಬರುವ ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು 36.5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ನಾವು 0.0632x36.5 = 2.31 ಟನ್‌ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೆಲವು

ಆವರ್ತನಗಳು (ಪ "<5) ಸಂಯೋಜಿಸಿ (ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ - ಮೊದಲ ಎರಡು ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಮಧ್ಯಂತರಗಳು).

ತೀವ್ರ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನಗಳು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನಗಳ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಕರ್ವ್) ವಿತರಣಾ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 15 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿಪರೀತ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಆವರ್ತನವಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (ಕೋಷ್ಟಕ 43). ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ

X - ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವಿಚಲನ, (ಸಿ) a - ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ.

ಮೊದಲ ಮಧ್ಯಂತರದ ಆವರ್ತನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅವುಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (56 * 57). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೊಳೆಯಲು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 43 ರಲ್ಲಿ, ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದು ಆಯತದಿಂದ ಸುತ್ತಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವಾಗ, ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಋಣಾತ್ಮಕ ವಿಚಲನಗಳ ಕಡೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವರ್ತನವು 5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನ (ಸ್ಪಷ್ಟಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ) ಏಕತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಸ್ಕರಿಸಿದ ಆವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ

ಕೋಷ್ಟಕ 42

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯಗಳು

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳು

ಮಧ್ಯಂತರ,

ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ,

x) 2 n¡

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಇಲಾಖೆಗಳು

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯ ಆವರ್ತನ,

/ 0) x - ಎ

ಒಂದು ಸಾವಿರದ ಆರುನೂರ ಐವತ್ತನಾಲ್ಕು

a = 6,25

^i=36.5 ಎ

ಕೋಷ್ಟಕ 43

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಆವರ್ತನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆವರ್ತನಗಳ ಜೋಡಣೆ)

ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ,

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯಗಳು

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳು

ಮಧ್ಯಂತರ (ಮತ್ತು-2)

ಮಧ್ಯಂತರದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ (ಕೇಂದ್ರ),

(ಜೆ, -xf

^ x ಟಿ-x) 1 ಎನ್ ಮತ್ತು

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವಿಚಲನ

xs- X

ಟಿ= x --L

ಕಾರ್ಯದ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯ, f (t)

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯ ಆವರ್ತನ

ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಿಸಿದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನ ಮೌಲ್ಯ,

ಡಬ್ಲ್ಯೂ

o = 2,41

ಅಕ್ಕಿ. 15. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿತರಣೆ(1) ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕರ್ವ್ (2)

ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು (ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ನಿಜವಾದ ವಿತರಣೆಯ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಅಂದಾಜು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಕೆಳಗಿನ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸರಾಸರಿ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ), ನಂತರ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕಗಳು 42 ಮತ್ತು 43 ರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕೋಷ್ಟಕ 43 ರಲ್ಲಿನ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಡೇಟಾದ ಪ್ರಕಾರ, ಸರಾಸರಿ ~ = 26 ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಮಧ್ಯದ ಒಂದು ನಾಲ್ಕನೇ ಮಧ್ಯಂತರದ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (25-27). ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರ "20" ಆವರ್ತನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವಾಗ) ಗರಿಷ್ಠ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಆಗಿ). ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ (β = 2.41 ಸೆಂ, ಟೇಬಲ್ 43), ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕರ್ವ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಗತ್ಯ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಕೋಷ್ಟಕಗಳು 44, 45). ಪಡೆದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 16), ನಾಲ್ಕನೇ ಮಧ್ಯಂತರದ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿತರಣೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸರಳೀಕೃತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಡಿಗ್ರಿ ಸೂಚಕದ (^) ಅನುಪಾತವು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗ ದೋಷ sh a "ಅಥವಾ ಕರ್ಟೊಸಿಸ್ ಸೂಚಕದ (E x) ಅನುಪಾತವು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗ ದೋಷ t ಗೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ "3" ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರಿದರೆ, a ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಸ್ವರೂಪದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ,

ಎ tz E X

ಒಂದು ವೇಳೆ ™ ಎ>3 ಅಥವಾ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಇ "> 3).

ವಿತರಣೆಯ "ಸಾಮಾನ್ಯತೆ" ಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಇತರ, ಕಾರ್ಮಿಕ-ಅಲ್ಲದ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ: a) ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವುದು; ಬಿ) ವೆಸ್ಟರ್ಗಾರ್ಡ್ ಅಂಕಿಗಳ ಬಳಕೆ; ಸಿ) ಅರೆ-ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗ್ರಿಡ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಟರ್ಬೈನ್;ಡಿ) ವಿಶೇಷ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮಾನದಂಡಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಕೋಷ್ಟಕ 44

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯ 7 ಅಂಕಗಳು

ಕೋಷ್ಟಕ 45

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

	X- 1,5 (7 =	X - a = 23.6	X - 0,5 (7 = = 24,8		x + 0.5 ನೇ = 27,2	X + a = 28.4	X+1.5 (7 =

ಚಿತ್ರ 16. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಏಳು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಂದರೊಂದಿಗೆ ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸಲು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, "3cr ನಿಯಮ" ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನವು ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು 0.9973 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ವಿಚಲನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಮೀರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.0027 ಅಥವಾ ಸಣ್ಣ. ಅಸಂಭವ ಘಟನೆಗಳ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯ ತತ್ವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, "ಮೀರಿದ ಪ್ರಕರಣ" ಲೇಖನ 3 ಅನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದರೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ (ಸರಾಸರಿ) ಅದರ ವಿಚಲನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಅವರು ಈ ರೀತಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಅಜ್ಞಾತ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯವು 3 ST ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂಬಲು ಕಾರಣವಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೀರಿದರೆ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯ 3 ST, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯದ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು.

ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ (ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ) ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಜೋಡಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಹತ್ವ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದ ಜೋಡಣೆಯು ಅವುಗಳ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರೂಪದಿಂದ ಅದನ್ನು ಮರೆಮಾಡಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು.

ಸಂಶೋಧಕರು ವಿಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಾನವ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಈ ರೀತಿಯ ವಿತರಣೆಯು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಅಥವಾ ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಮಾಜಿಕ-ಆರ್ಥಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಸ್ವರೂಪದಿಂದಾಗಿ, ಇದು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಅಂತರ್ಸಂಪರ್ಕಿತ ಅಂಶಗಳ ದೊಡ್ಡ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಉಚಿತ "ಆಟ" ವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವ ಹಲವಾರು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ. ಆದರೆ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬೇಕು, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿತರಣೆಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಮಾನದಂಡವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬೇಕು. ಅಂತಹ ಹೋಲಿಕೆಯು ಈ ವಿತರಣಾ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಆಂತರಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಗೋಳದ ನುಗ್ಗುವಿಕೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಶೋಧನೆಸಾಮಾಜಿಕ-ಆರ್ಥಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ವಿತರಣಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ರೀತಿಯ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಾರದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಲ್ಲ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿತರಣೆ, ಆದರೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಶೋಧನೆಯ ಮಾದರಿ ವಿಧಾನವು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಅನ್ವಯದ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೆಸರಿಸೋಣ.

1. ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು. ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿತರಣೆಯ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವಾಗ ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

2. ಹಲವಾರು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಾಗ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸರಾಸರಿಗಳು, ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಇದರ ಸಾರವು ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯು ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ಕಾನೂನಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಅನುಪಾತದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

y = - 2 = ಇ 2

3. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾದರಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು.

4. ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವು ಇರುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ.