ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಮೂಲ ಸೂತ್ರ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಹೇಗೆ

ಅನೇಕರು ಹಾಗಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಈ ವಿಷಯವು ಮೊದಲಿಗೆ ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ ಸರಳ ಸೂತ್ರಗಳು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ದೀರ್ಘ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ ಬೇರುಗಳು ಸಹ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಮೂರು ಹೊಸ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಇಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರವೇ ಇದು ಸಾಧ್ಯ. ಆಗ ಎಲ್ಲ ಸೂತ್ರಗಳೂ ತಾವಾಗಿಯೇ ನೆನಪಾಗುತ್ತವೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ, ದೊಡ್ಡ ಪದವಿಯನ್ನು ಮೊದಲು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ. ನಿಯಮಗಳು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದ್ದಾಗ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ನಂತರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪದವಿಯ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದು ಉತ್ತಮ.

ನಾವು ಕೆಲವು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಈ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದಲ್ಲದೆ, ಗುಣಾಂಕ a ≠ 0. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಂಬರ್ ಒನ್ ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಿ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಮೂರು ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯ:

• ಪರಿಹಾರವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ;
• ಉತ್ತರವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ;
• ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತು ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಅಂತಿಮಗೊಳಿಸುವವರೆಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಆಯ್ಕೆಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ವಿಧಗಳು

ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ನಮೂದುಗಳು ಇರಬಹುದು. ಅವರು ಯಾವಾಗಲೂ ಹಾಗೆ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದು ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ಬರೆದದ್ದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣ. ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಅಥವಾ ಮೂರನೇ ಪದವನ್ನು ನೀವು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ನಿಮಗೆ ಬೇರೆ ಏನಾದರೂ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಈ ದಾಖಲೆಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಕೇವಲ ಅಪೂರ್ಣ.

ಇದಲ್ಲದೆ, "ಬಿ" ಮತ್ತು "ಸಿ" ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಪದಗಳು ಮಾತ್ರ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ "a" ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು. ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಪೂರ್ಣ ರೂಪದ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೇವಲ ಎರಡು ವಿಧಗಳಿವೆ; ಸಂಪೂರ್ಣವಾದವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳೂ ಇವೆ. ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವು ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡು ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - ಮೂರು.

ಅದರ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತಾರತಮ್ಯ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬನೆ

ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸೂತ್ರವು ಏನೇ ಇರಲಿ ಅದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಕೆಳಗೆ ಬರೆದಿರುವ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಂಖ್ಯೆ ನಾಲ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ, ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ವಿವಿಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳು. ಉತ್ತರವು ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಉತ್ತರವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದೇ ಉತ್ತರವಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಗಣನೆಯು ಈಗಾಗಲೇ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲು ನೀವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿದ ನಂತರ, ನೀವು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದು "±" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ವರ್ಗಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ತಾರತಮ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಫಾರ್ಮುಲಾ ಸಂಖ್ಯೆ ಐದು. ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡೂ ಬೇರುಗಳು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅದೇ ದಾಖಲೆಯಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಇನ್ನೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, ತಾರತಮ್ಯ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೊದಲು ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಉತ್ತಮ. ನಂತರ ಈ ಕ್ಷಣವು ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಆರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ ಗೊಂದಲವಿದೆ.

ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೂತ್ರಗಳ ಅಗತ್ಯವೂ ಇಲ್ಲ. ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯ ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತಕ್ಕಾಗಿ ಈಗಾಗಲೇ ಬರೆದಿರುವವುಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಅಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಈ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ, ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಉತ್ತರವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗುಣಕವಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೂರು ಅನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನೀವು ಅಜ್ಞಾತ ಎದುರಿಸುತ್ತಿರುವ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಬಾರಿ ಬರೆಯಲು ಮರೆಯದಿರುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಕೆಲವು ಹಂತಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಅವರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. "ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು (8 ನೇ ಗ್ರೇಡ್)" ಎಂಬ ವ್ಯಾಪಕ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಈ ನ್ಯೂನತೆಗಳು ಕಳಪೆ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು. ತರುವಾಯ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕೌಶಲ್ಯವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

• ಮೊದಲು ನೀವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು. ಅಂದರೆ, ಮೊದಲು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ದೊಡ್ಡ ಪದವಿಯೊಂದಿಗೆ ಪದ, ಮತ್ತು ನಂತರ - ಪದವಿ ಇಲ್ಲದೆ, ಮತ್ತು ಕೊನೆಯದು - ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ.

• "a" ಗುಣಾಂಕದ ಮೊದಲು ಮೈನಸ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಇದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಹರಿಕಾರನಿಗೆ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು ಉತ್ತಮ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು "-1" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ.

• ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಛೇದಗಳು ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಕೆಳಗಿನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣ: x 2 - 7x = 0. ಇದು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡು ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅದನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ತೆಗೆದ ನಂತರ, ಅದು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ: x (x - 7) = 0.

ಮೊದಲ ಮೂಲವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: x 1 = 0. ಎರಡನೆಯದು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: x - 7 = 0. x 2 = 7 ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ.

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣ: 5x 2 + 30 = 0. ಮತ್ತೆ ಅಪೂರ್ಣ. ಮೂರನೇ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ 30 ಅನ್ನು ಸರಿಸಿದ ನಂತರ: 5x 2 = 30. ಈಗ ನೀವು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ: x 2 = 6. ಉತ್ತರಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ: x 1 = √6, x 2 = - √6.

ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣ: 15 - 2x - x 2 = 0. ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮುಂದೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ: − x 2 - 2x + 15 = 0. ಈಗ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಮಯ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಲಹೆಮತ್ತು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಮೈನಸ್ ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಇದು x 2 + 2x - 15 = 0 ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಐದನೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. ನಂತರ x 1 = 3, x 2 = - 5 ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣವು x 2 + 8 + 3x = 0 ಆಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: x 2 + 3x + 8 = 0. ಇದರ ತಾರತಮ್ಯವು ಈ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: -23. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಮೂದು ಆಗಿರುತ್ತದೆ: "ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ."

ಐದನೇ ಸಮೀಕರಣ 12x + x 2 + 36 = 0 ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬೇಕು: x 2 + 12x + 36 = 0. ತಾರತಮ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ ನಂತರ, ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಇದು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: x = -12/ (2 * 1) = -6.

ಆರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಇದು ನೀವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರಬೇಕಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮೊದಲು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಇರುತ್ತದೆ: x 2 + 2x + 1. ಸಮಾನತೆಯ ನಂತರ, ಈ ನಮೂದು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: x 2 + 3x + 2. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿದ ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: x 2 - x = 0. ಇದು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ . ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಷಯವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಬೇರುಗಳು 0 ಮತ್ತು 1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ವರ್ಗಮೂಲಗಳುಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಅದನ್ನು ಬಳಸಿ.

ವರ್ಗಮೂಲ ಎಂದರೇನು?

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು √ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. 16 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮೊದಲಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನಿಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಬಳಸಲಾಯಿತು ಎಂದು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ (ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫ್ ರುಡಾಲ್ಫ್ ಅವರಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊದಲ ಜರ್ಮನ್ ಕೃತಿ). ಚಿಹ್ನೆಯು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರ r ಎಂದು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ನಂಬುತ್ತಾರೆ (ರಾಡಿಕ್ಸ್ ಎಂದರೆ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ "ಮೂಲ").

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಚೌಕದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: √x = y, y 2 = x ಆಗಿದ್ದರೆ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲ (x > 0) ಸಹ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ (y > 0), ಆದರೆ ನಾವು ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ(X< 0), то его результатом уже будет ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ ಸೇರಿದಂತೆ i.

ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ:

√9 = 3, 3 2 = 9 ರಿಂದ; √(-9) = 3i, ಏಕೆಂದರೆ i 2 = -1.

ವರ್ಗಮೂಲಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹೆರಾನ್‌ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರ

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಚೌಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ತೊಂದರೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತವೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ √10, √11, √12, √13, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಾರದು: ಉದಾಹರಣೆಗೆ √(12,15), √(8,5) ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ.

ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವಿಶೇಷ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಪ್ರಸ್ತುತ, ಅಂತಹ ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆ, ಕಾಲಮ್ ವಿಭಾಗ ಮತ್ತು ಕೆಲವು. ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಬಹುಶಃ ಸರಳ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾದ ಹೆರಾನ್‌ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರದ ಬಳಕೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ (ಪ್ರಾಚೀನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು ಇದನ್ನು ತಮ್ಮ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಗಳಿವೆ).

√x ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), ಇಲ್ಲಿ lim n->∞ (a n) => x.

ಈ ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. √x ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು 0 (ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಅದನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ (a 0) 2 x ಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅದನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂಚಿಸಿದ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆ a 1 ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಅದು ಈಗಾಗಲೇ ಬಯಸಿದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ನಂತರ, ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ 1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ತನಕ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕು. ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೆರಾನ್‌ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಾಕಷ್ಟು ಜಟಿಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕರಿಗೆ ಗೊಂದಲವನ್ನುಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸೂತ್ರವು ಬಹಳ ಬೇಗನೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಯಶಸ್ವಿ ಸಂಖ್ಯೆ 0 ಅನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ) .

ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ: ನೀವು √11 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. 0 = 3 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ 3 2 = 9, ಇದು 4 2 = 16 ಕ್ಕಿಂತ 11 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3.333333;

a 2 = 1/2(3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;

a 3 = 1/2(3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ 2 ಮತ್ತು 3 5 ನೇ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, 0.0001 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ √11 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕೇವಲ 2 ಬಾರಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಕು.

ಇತ್ತೀಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ವರ್ಗಮೂಲ ಎಂದರೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ c, b ಮತ್ತು a ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು a ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು ಮತ್ತು c ಮತ್ತು b ಮೌಲ್ಯಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿರಬಹುದು.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅದರ ಬೇರುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವರ್ಗಮೂಲ √ ನೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು). ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ (x 2) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದಕ್ಕೆ ಎರಡು ಮೂಲಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರುವಂತಿಲ್ಲ. ಈ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ನೋಡೋಣ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ಸೂತ್ರ)

ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ತಾರತಮ್ಯ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂರು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬೇರುಗಳು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, x 1 ರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ವರ್ಗಮೂಲದ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ x 2 ರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. b 2 - 4ac ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಾನತೆಯ ತಾರತಮ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ತಾರತಮ್ಯವು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯವು ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ x 1 ಮತ್ತು x 2.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

16 ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಸ್ಥಾಪಕರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾದ ಫ್ರೆಂಚ್, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಅದರ ಬೇರುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

x 1 + x 2 = -b / a ಮತ್ತು x 1 * x 2 = c / a.

ಎರಡೂ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಯಾರಾದರೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಸೂಕ್ತವಾದ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು, ಇದು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಎರಡೂ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುವ ಕಾರ್ಯ

ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಕೆಳಕಂಡಂತಿವೆ: ಉತ್ಪನ್ನವು -13 ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವು 4 ಆಗಿರುವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ತಕ್ಷಣವೇ ನಮಗೆ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ; ವರ್ಗಮೂಲಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

ನಾವು a = 1 ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನಂತರ b = -4 ಮತ್ತು c = -13. ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳು ನಮಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:

x 2 - 4x - 13 = 0.

ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ:

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

ಅಂದರೆ, √68 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು. 68 = 4 * 17 ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ನಂತರ, ವರ್ಗಮೂಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: √68 = 2√17.

ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ವರ್ಗಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ: a 0 = 4, ನಂತರ:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4.125;

a 2 = 1/2(4.125 + 17/4.125) = 4.1231.

ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕೇವಲ 0.02 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ 3 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, √68 = 8.246. x 1,2 ಗಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123 ಮತ್ತು x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123.

ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ 4 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ, ಅದು -12.999 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು 0.001 ರ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಕೇವಲ. ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ, ಸರಳ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ. ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ. ರೂಪಕ್ಕೆ:

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ನಿಮಗೆ ನೀಡಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಮೊದಲ ಹಂತವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಮಾಡುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯ

ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಸಿ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ.

ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತಾರತಮ್ಯ . ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, X ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು

ನಾವು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತೀವಿ ಕೇವಲ a, b ಮತ್ತು c. ಆ. ನಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ. ಅದನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಇರಿಸಿ

ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು a, b ಮತ್ತು cನಾವು ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಅವರಚಿಹ್ನೆಗಳು!

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ:

ಎ =1; ಬಿ = 3; ಸಿ = -4.

ನಾವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಇದು ಉತ್ತರ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪುಗಳೆಂದರೆ ಚಿಹ್ನೆ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲ a, bಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ. ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ಪರ್ಯಾಯದೊಂದಿಗೆ

ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಸೂತ್ರದ ವಿವರವಾದ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಇಲ್ಲಿ ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಮಾಡಿ!

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ:

ಇಲ್ಲಿ ಎ = -6; ಬಿ = -5; ಸಿ = -1

ಎಲ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಏನನ್ನೂ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿವರವಾಗಿ, ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ರೀತಿ:

ದೋಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಈಗ ಗಮನಿಸಿ.

ಮೊದಲ ನೇಮಕಾತಿ. ಮೊದಲು ಸೋಮಾರಿಯಾಗಬೇಡ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದುಅದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು.

ಇದರ ಅರ್ಥ ಏನು?

ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ:

ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಹೊರದಬ್ಬಬೇಡಿ! ನೀವು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಆಡ್ಸ್ ಮಿಶ್ರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ a, b ಮತ್ತು c.

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಮೊದಲು, X ವರ್ಗ, ನಂತರ ಚೌಕವಿಲ್ಲದೆ, ನಂತರ ಉಚಿತ ಪದ. ಹೀಗೆ:

ಮೈನಸ್ ತೊಡೆದುಹಾಕಲು. ಹೇಗೆ? ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದರೆ ಈಗ ನೀವು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಮುಗಿಸಬಹುದು.

ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ನೀವು ಈಗ 2 ಮತ್ತು -1 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.

ಎರಡನೇ ಸ್ವಾಗತ.ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ! ಮೂಲಕ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ.

ನೀಡಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅಂದರೆ. ಗುಣಾಂಕ ಇದ್ದರೆ

x 2 +bx+c=0,

ನಂತರx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =-ಬಿ

ಇದರಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ a≠1:

x 2 +ಬಿx+ಸಿ=0,

ಇಡೀ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ ಉ:

→ →

ಎಲ್ಲಿ x 1ಮತ್ತು X 2 - ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು.

ಮೂರನೇ ಸ್ವಾಗತ. ನಿಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವು ಭಾಗಶಃ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಿ! ಗುಣಿಸಿ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ.

ತೀರ್ಮಾನ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಲಹೆಗಳು:

1. ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ ಸರಿ.

2. X ವರ್ಗದ ಮುಂದೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕವಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ

-1 ರಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

3. ಗುಣಾಂಕಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ

ಅಂಶ.

4. x ವರ್ಗವು ಶುದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ವಿಶೇಷ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅನೇಕ ಗಂಟೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಮುಂಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತಾನೆ, ಅವುಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಯಾಂತ್ರೀಕೃತಗೊಂಡ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ತರುತ್ತಾನೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ವಿಶೇಷ ತಂತ್ರಗಳಿವೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬೇರುಗಳು ಕಾಣೆಯಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಯಾವ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ?

ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ x ಇದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ತಜ್ಞರಲ್ಲದವರಿಗೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳಂತೆ ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ತುಂಬಾ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 0 * x = -53 ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬೇರೆ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ನೀಡುತ್ತದೆ x ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ.

ಈಗ ನಾವು ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

1. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಬದಿಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ ರೇಖೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ax + b = cx + d ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ kx + b = 0. ಅಲ್ಲಿ a, b, c, d ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು x ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣ. ಯಾವ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ? ಉದಾಹರಣೆಗಳು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳುಕೆಳಗಿನ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾ ಭಾಗವನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು x ನ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು mx = n ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ m ಮತ್ತು n ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು x ಎಂಬುದು ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿದೆ. x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು m ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ನಂತರ x = n/m. ಹೆಚ್ಚಿನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವು ಬೇರುಗಳು ಅಥವಾ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. m = 0 ಮತ್ತು n = 0 ಆಗಿರುವಾಗ, ಸಮೀಕರಣವು 0 * x = 0 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ?

m = 0 ಮತ್ತು n = 0 ಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

2. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a = 0 ಗಾಗಿ ಕೊಡಲಿ 2 + bx + c = 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವು: D = b 2 - 4 * a * c. ಮುಂದೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a.

D > 0 ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, D = 0 ಗಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಯಾವ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ? ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗ್ರಾಫಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು, ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ. a > 0 ಗಾಗಿ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, a ಗಾಗಿ< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ನೀವು ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಯಾವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಶೃಂಗದ x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು: x 0 = -b / 2a. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, x 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಶೃಂಗದ y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು x 2 - 8x + 72 = 0 ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯ D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. ಇದರರ್ಥ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವು x- ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಎಂದಿಗೂ ಮೌಲ್ಯ 0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

3. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳುಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು: sinx ಮತ್ತು cosx. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯ 1, |sinx|ನೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು |cosx| 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬಾರದು. ಹಾಗಾದರೆ, ಯಾವ ಸಿಂಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ? ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ sinx ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಕಾರ್ಯವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 2pi ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವು 1 ಆಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ -1 ಆಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, cosx = 5 ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವು ಪುಟಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅದರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ತಪ್ಪು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ನೀವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಂಡರೂ ಸಹ, OD ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನೀವು ಮರೆತುಬಿಡಬಹುದು, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮೂಲ ಅಥವಾ ಮಧ್ಯಂತರವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಉತ್ತರವು ದೋಷವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಅನುಸರಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

4. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಚೌಕಾಕಾರದ ಆವರಣಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಕರ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ನಡೆಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇಡೀ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ. ಚೌಕ ಆವರಣಗಳು "ಅಥವಾ" ಪದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಇಡೀ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಸಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಉತ್ತರವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಕಟ್ಟುಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಯಾವ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಹೇಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಮತ್ತು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ: ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿರುವವು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೀವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳು ಎಲ್ಲೂ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಬೇಡಿ. ಬಹುಶಃ ನೀವು ಎಲ್ಲೋ ತಪ್ಪು ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ, ನಂತರ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಎರಡು ಬಾರಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು.

ನಾವು ಮೂಲಭೂತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಯಾವ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನೀವು ಹೇಳಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಕೇವಲ ಗಮನ ಮತ್ತು ಏಕಾಗ್ರತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ, ವಸ್ತುವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ವೇಗವಾಗಿ ನ್ಯಾವಿಗೇಟ್ ಮಾಡಲು ಇದು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ:

• ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ mx = n ಮೌಲ್ಯವು m = 0 ಮತ್ತು n = 0 ಆಗಿದೆ;
• ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ;
• ರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ cosx = m / sinx = n, ವೇಳೆ |m| > 0, |n| > 0;
• ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಆವರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಚೌಕ ಆವರಣಗಳೊಂದಿಗೆ.

", ಅಂದರೆ, ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು?

ಪ್ರಮುಖ!

ಸಮೀಕರಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅಜ್ಞಾತವು ನಿಂತಿರುವ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಜ್ಞಾತವು "2" ಆಗಿರುವ ಗರಿಷ್ಠ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• -x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

ಪ್ರಮುಖ! ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" ಮತ್ತು "c" ಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

• "a" ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ;
• "b" ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ;
• "ಸಿ" ಒಂದು ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ.

"a", "b" ಮತ್ತು "c" ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು "ax 2 + bx + c = 0" ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬೇಕು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ "a", "b" ಮತ್ತು "c" ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡೋಣ.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 - 13x + 8 = 0 -x 2 + x +

ಸಮೀಕರಣ	ಆಡ್ಸ್
a = 5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿಶೇಷ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಸೂತ್ರ.

ನೆನಪಿಡಿ!

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

• ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು "ax 2 + bx + c = 0" ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು. ಅಂದರೆ, "0" ಮಾತ್ರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯಬೇಕು;
• ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ "ax 2 + bx + c = 0" ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸರಳೀಕರಣಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಅರ್ಜಿ ಸಲ್ಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ.

ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ "a", "b" ಮತ್ತು "c" ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

"x 1;2 =" ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
"D" ಅಕ್ಷರಕ್ಕೆ "b 2 - 4ac" ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ತಾರತಮ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಾರತಮ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು "ಏನು ತಾರತಮ್ಯ" ಎಂಬ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

x 2 + 9 + x = 7x

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ, "ಎ", "ಬಿ" ಮತ್ತು "ಸಿ" ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಮೊದಲು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ "ax 2 + bx + c = 0" ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

ಈಗ ನೀವು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
ಉತ್ತರ: x = 3

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಸೂತ್ರವು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.