ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯಬಲ್ಸ್

ಉದಾಹರಣೆ 2.1.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ Xವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (2.5; 3.6) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ: Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (2.5; 3.6) ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆ 2.2.ಯಾವ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು INಕಾರ್ಯ ಎಫ್(X) = ಎ + ಬಿ - xಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಬಹುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X.

ಪರಿಹಾರ:ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ Xಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದು, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಲು X, ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕು:

.

ಉತ್ತರ: .

ಉದಾಹರಣೆ 2.3.ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ

ನಾಲ್ಕು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ Xನಿಖರವಾಗಿ 3 ಬಾರಿ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (0.25;0.75).

ಪರಿಹಾರ:ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0.25;0.75) ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.4.ಒಂದು ಹೊಡೆತದಿಂದ ಚೆಂಡು ಬ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್‌ಗೆ ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.3 ಆಗಿದೆ. ಮೂರು ಎಸೆತಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X- ಮೂರು ಹೊಡೆತಗಳೊಂದಿಗೆ ಬ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ - ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: 0, 1, 2, 3. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು X

X:

ಉದಾಹರಣೆ 2.5.ಇಬ್ಬರು ಶೂಟರ್‌ಗಳು ತಲಾ ಒಂದು ಗುರಿಯತ್ತ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮೊದಲ ಶೂಟರ್ ಅದನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.5, ಎರಡನೆಯದು - 0.4. ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ X- ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಈವೆಂಟ್ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಮೊದಲ ಶೂಟರ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಶೂಟರ್ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯಲಿ, ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅವರ ಮಿಸ್ ಆಗಿರಲಿ.

SV ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ X:

ಉದಾಹರಣೆ 2.6.ಮೂರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಶಗಳ ವೈಫಲ್ಯ-ಮುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯದ ಅವಧಿಯು (ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ) ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಮೊದಲನೆಯದು: ಎಫ್ 1 (ಟಿ) =1-ಇ- 0,1 ಟಿ, ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ: ಎಫ್ 2 (ಟಿ) = 1-ಇ- 0,2 ಟಿ, ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ: ಎಫ್ 3 (ಟಿ) =1-ಇ- 0,3 ಟಿ. 0 ರಿಂದ 5 ಗಂಟೆಗಳ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂಶವು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ಕೇವಲ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ; ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಅಂಶಗಳು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಪರಿಹಾರ:ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಈವೆಂಟ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು ಇತ್ಯಾದಿ ಎನಿಖರವಾಗಿ ಒಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. 0 ರಿಂದ 5 ಗಂಟೆಗಳ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಅಂಶದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವೈಫಲ್ಯ ಮತ್ತು ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ನಾವು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ನಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕವು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎನಿಖರವಾಗಿ ಮೂರು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ; ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕವು ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ನಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂಶವು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.7.ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ f(X) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X:

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ:ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

.

ಹೀಗಾಗಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.8.ಸಾಧನವು ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.1 ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X- ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ - ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: 0, 1, 2, 3. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು Xಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಾವು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ X:

ಉದಾಹರಣೆ 2.9. 6 ಭಾಗಗಳ ಬ್ಯಾಚ್‌ನಲ್ಲಿ 4 ಪ್ರಮಾಣಿತವಾದವುಗಳಿವೆ. 3 ಭಾಗಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಆಯ್ದ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X- ಆಯ್ದ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ - ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: 1, 2, 3 ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು X

ಎಲ್ಲಿ -- ಬ್ಯಾಚ್ನಲ್ಲಿನ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

-- ಬ್ಯಾಚ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

– ಆಯ್ದ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

-- ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದವರಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

.

.

.

ಉದಾಹರಣೆ 2.10.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ , a ಮತ್ತು . ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು.

ಪರಿಹಾರ: IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನ ವಿತರಣೆ (ಸಿಂಪ್ಸನ್ ವಿತರಣೆ) ಹೊಂದಿದೆ [ a, b]. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು X:

ಆದ್ದರಿಂದ, . ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ನಾವು ಎರಡು ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: .

ಉತ್ತರ: .

ಉದಾಹರಣೆ 2.11.ಸರಾಸರಿ 10% ಒಪ್ಪಂದಗಳು ವಿಮಾ ಕಂಪನಿವಿಮೆ ಮಾಡಿದ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಮಾ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಾವತಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ನಾಲ್ಕು ಒಪ್ಪಂದಗಳ ನಡುವೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಒಪ್ಪಂದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

.

SV ಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಒಪ್ಪಂದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ನಾಲ್ಕರಲ್ಲಿ) ವಿಮೆ ಮಾಡಿದ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವದೊಂದಿಗೆ): 0, 1, 2, 3, 4.

ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುವಿಮಾ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಾವತಿಸಿದ ಒಪ್ಪಂದಗಳು (ನಾಲ್ಕು ಪೈಕಿ):

.

IC ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು (ವಿಮೆ ಮಾಡಿದ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವದೊಂದಿಗೆ ಒಪ್ಪಂದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

ಉತ್ತರ:, .

ಉದಾಹರಣೆ 2.12.ಐದು ಗುಲಾಬಿಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಬಿಳಿ. ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಎರಡರಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಗುಲಾಬಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಎರಡು ಗುಲಾಬಿಗಳ ಆಯ್ಕೆಯಲ್ಲಿ, ಬಿಳಿ ಗುಲಾಬಿ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಬಿಳಿ ಗುಲಾಬಿಗಳು ಇರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: 0, 1, 2. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು Xಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಎಲ್ಲಿ -- ಗುಲಾಬಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

-- ಬಿಳಿ ಗುಲಾಬಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

– ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಗುಲಾಬಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

-- ತೆಗೆದುಕೊಂಡವರಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಗುಲಾಬಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

.

.

.

ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.13. 15 ಜೋಡಿಸಲಾದ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ, 6 ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಯಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಯಾದ ಐದರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಯಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X- ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಐದರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಯಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ - ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು Xಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಎಲ್ಲಿ -- ಜೋಡಿಸಲಾದ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

-- ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಯಗೊಳಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

– ಆಯ್ದ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

-- ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದವರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಯಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

.

.

.

.

.

ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.14.ದುರಸ್ತಿಗಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ 10 ಕೈಗಡಿಯಾರಗಳಲ್ಲಿ, 7 ಯಾಂತ್ರಿಕತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶುಚಿಗೊಳಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಕೈಗಡಿಯಾರಗಳನ್ನು ದುರಸ್ತಿ ಪ್ರಕಾರದಿಂದ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಮಾಸ್ಟರ್, ಸ್ವಚ್ಛಗೊಳಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗಡಿಯಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಗಡಿಯಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಮುಂದಿನ ವೀಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತಾರೆ. ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ಗಂಟೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X- ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಐದು ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಯಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ - ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: 1, 2, 3, 4. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು Xಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

.

.

.

.

ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

ಈಗ ಪರಿಮಾಣದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಉತ್ತರ:, .

ಉದಾಹರಣೆ 2.15.ಚಂದಾದಾರರು ತನಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಫೋನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಮರೆತಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ಅದು ಬೆಸ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಅವನು ಬಯಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಲುಪುವ ಮೊದಲು ಫೋನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಡಯಲ್ ಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅವನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಡಯಲ್ ಮಾಡಿದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಡಯಲ್ ಮಾಡಿದ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಡಯಲ್ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ.

ಪರಿಹಾರ:ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: . ಚಂದಾದಾರರು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಡಯಲ್ ಮಾಡಿದ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಡಯಲ್ ಮಾಡದ ಕಾರಣ, ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡೋಣ:

	0,2

ಡಯಲಿಂಗ್ ಪ್ರಯತ್ನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಉತ್ತರ:, .

ಉದಾಹರಣೆ 2.16.ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಾಧನಕ್ಕೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದರೆ ವಿಫಲವಾದ ಸಾಧನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಎನ್ಸಾಧನಗಳು.

ಪರಿಹಾರ:ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಎಂಬುದು ವಿಫಲವಾದ ಸಾಧನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪ,ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.17.ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X 3 ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ; ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು, M( X) = 8.

ಪರಿಹಾರ:ನಾವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: .

ಉದಾಹರಣೆ 2.18.ತಾಂತ್ರಿಕ ನಿಯಂತ್ರಣ ವಿಭಾಗವು ಗುಣಮಟ್ಟಕ್ಕಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.9 ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಬ್ಯಾಚ್ 5 ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ X- ಬ್ಯಾಚ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನಿಖರವಾಗಿ 4 ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, 50 ಬ್ಯಾಚ್‌ಗಳು ತಪಾಸಣೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ.

ಪರಿಹಾರ:ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಡೆಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬ್ಯಾಚ್ ನಿಖರವಾಗಿ 4 ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

,

ಪಕ್ಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ;

ಒಂದು ಬ್ಯಾಚ್ ನಿಖರವಾಗಿ 4 ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ: .

ಉದಾಹರಣೆ 2.19.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X- ಈವೆಂಟ್ನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಎಂ(X) = 0,9.

ಪರಿಹಾರ:ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

1) SV ಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು X: 0, 1, 2. ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:

, , .

ನಂತರ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು Xರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಎಸ್.ವಿ.ಯ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ X:

.

2) ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

.

ಉತ್ತರ: .

ಉದಾಹರಣೆ 2.20.ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ Xಕ್ರಮವಾಗಿ 20 ಮತ್ತು 5 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (15; 25) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ:ಸಾಮಾನ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ Xನಿಂದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.21.ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಯಾವ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಿಈ ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ X? ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X.

ಪರಿಹಾರ:ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಲು, ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಂತಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು:

.

ಆದ್ದರಿಂದ:

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

.

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಟಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪ. ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ:ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು - ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ದ್ವಿಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಎ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

.

ಉದಾಹರಣೆ 2.25.ಗುರಿಯತ್ತ ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಂಡುಗಳನ್ನು ಹಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಹೊಡೆತವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.25 ಆಗಿದೆ. ಮೂರು ಹೊಡೆತಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ A (ಒಂದು ಹಿಟ್) ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X - ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ - ಅನ್ನು ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನು.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಮತ್ತು ಸಂಭವಿಸದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.26. 10 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ವಿಮಾ ಕಂಪನಿಗೆ ಭೇಟಿ ನೀಡುವ ಗ್ರಾಹಕರ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೂರು. ಮುಂದಿನ 5 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಬ್ಬ ಕ್ಲೈಂಟ್ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಆಗಮಿಸುವ ಗ್ರಾಹಕರ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ: . .

ಉದಾಹರಣೆ 2.29.ಪ್ರೊಸೆಸರ್ ಸರದಿಯಲ್ಲಿ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಾಗಿ ಕಾಯುವ ಸಮಯವು 20 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ) ವಿನಂತಿಯು ಪ್ರೊಸೆಸರ್‌ನಲ್ಲಿ 35 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಲ ಕಾಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ , ಮತ್ತು ವೈಫಲ್ಯದ ಪ್ರಮಾಣವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.30. 15 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗುಂಪು 10 ಆಸನಗಳ 20 ಸಾಲುಗಳ ಸಭಾಂಗಣದಲ್ಲಿ ಸಭೆ ನಡೆಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಸಭಾಂಗಣದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಳವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಸಾಲಿನ ಏಳನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಜನರು ಇರದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.31.

ನಂತರ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ:

ಎಲ್ಲಿ -- ಬ್ಯಾಚ್ನಲ್ಲಿನ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

-- ಬ್ಯಾಚ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

– ಆಯ್ದ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

-- ಆಯ್ಕೆಯಾದವರಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ.

ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು Xಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆ ಮಾಡಿ f(x)- ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನ F(x):

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ Xಫಾರ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆ f(x)- ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಆಸ್ತಿ 1.ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ:

ಆಸ್ತಿ 2. ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ಏಕತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1.25.ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ X:

f(x).

ಪರಿಹಾರ:ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

1. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ X:

ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ X:

ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ f(x)

1.3. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ

ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X, ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ ಓಹ್, ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ.

a,b), ಅದು:

f(x)- ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ.

ಪ್ರಸರಣ ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X, ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ ( a,b), ಅದು:

ಸಂಭವನೀಯತೆ Xಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ( a,b), ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

.

ಉದಾಹರಣೆ 1.26.ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0;0.7).

ಪರಿಹಾರ:ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0,1) ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ X:

ಎ) ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ :

ಬಿ) ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ವಿ)

ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ:

1. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

M(x);

ಬಿ) ವ್ಯತ್ಯಾಸ D(x);

Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (2,3).

2. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X

ಹುಡುಕಿ: ಎ) ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ M(x);

ಬಿ) ವ್ಯತ್ಯಾಸ D(x);

ಸಿ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೊಡೆಯುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (1;1.5).

3. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಹುಡುಕಿ: ಎ) ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ M(x);

ಬಿ) ವ್ಯತ್ಯಾಸ D(x);

ಸಿ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೊಡೆಯುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ

1.4 ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮಗಳು

1.4.1. ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆ

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ [ a,b], ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೊರಗೆ ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ:

ಅಕ್ಕಿ. 4.

; ; .

ಉದಾಹರಣೆ 1.27.ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಬಸ್ 5 ನಿಮಿಷಗಳ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X- ಬಸ್‌ಗಾಗಿ ಕಾಯುವ ಸಮಯವು 3 ನಿಮಿಷಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ:ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X- ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ: .

ಕಾಯುವ ಸಮಯವು 3 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ಮೀರದಿರಲು, ಹಿಂದಿನ ಬಸ್ ಹೊರಟುಹೋದ 2 ರಿಂದ 5 ನಿಮಿಷಗಳ ನಂತರ ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ನಿಲ್ದಾಣದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅಂದರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬೀಳಬೇಕು (2;5). ಅದು. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ:

ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು:

1. a) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ (2;8);

ಬಿ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X,ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ (2;8).

2. ವಿದ್ಯುತ್ ಗಡಿಯಾರದ ನಿಮಿಷದ ಮುಳ್ಳು ಪ್ರತಿ ನಿಮಿಷದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಥಟ್ಟನೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಗಡಿಯಾರವು ನಿಜವಾದ ಸಮಯಕ್ಕಿಂತ 20 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಮಯವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1.4.2. ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆ

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಹೀಗೆ

ಅಕ್ಕಿ. 5.

ಸಂಖ್ಯಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 1.28.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X- ಬೆಳಕಿನ ಬಲ್ಬ್ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯ - ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸರಾಸರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯವು 400 ಗಂಟೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಬೆಳಕಿನ ಬಲ್ಬ್ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯವು ಕನಿಷ್ಟ 600 ಗಂಟೆಗಳಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ X 400 ಗಂಟೆಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:

;

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಎಲ್ಲಿ

ಅಂತಿಮವಾಗಿ:

ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು:

1. ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನಿನ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

2. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X

ಒಂದು ಪರಿಮಾಣದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X.

3. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1.4.3. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ

ಸಾಮಾನ್ಯನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ X, ಇದರ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ ಎ- ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, - ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ X.

ಸಂಭವನೀಯತೆ Xಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

, ಎಲ್ಲಿ

- ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯ.

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವಿತರಣೆ; , ಅಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 6.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕಡಿಮೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ :

.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾವಾಗ a= 0 ಸಮಾನತೆ ನಿಜ:

ಉದಾಹರಣೆ 1.29.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ Xಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಚಲನವು 0.3 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: .

ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು:

1. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X, ಅದು ಗೊತ್ತಿದ್ದರೂ M(x)= 3, D(x)= 16.

2. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ Xಕ್ರಮವಾಗಿ 20 ಮತ್ತು 5 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (15;20) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

3. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾಪನ ದೋಷಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ mm ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ a= 0. 3 ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಳತೆಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದರ ದೋಷವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ 4 ಮಿಮೀ ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷಗಳಿಲ್ಲದೆ ತೂಗಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ತೂಕದ ದೋಷಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ r. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ 10 ಗ್ರಾಂ ಮೀರದ ದೋಷದೊಂದಿಗೆ ತೂಕವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಅಧ್ಯಾಯ 1. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್

§ 1. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ : ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವು ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರಣಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ವಿಧದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ: ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ : ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ (ನಿರಂತರ) ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಆದರೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದರೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮರುಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅದರ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ : ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಕರೆ ಮಾಡಿ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಅಂದರೆ.

ಅಲ್ಲಿ р1+ r2+…+ рn=1

ಅಂತಹ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸರಣಿ p1+ p2+...+ pn+... ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮುರಿದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ (xi; pi), i=1,2,…n. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (ಚಿತ್ರ 1).

ಸಾವಯವ ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">ಸಾವಯವ ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರವು ಕ್ರಮವಾಗಿ 0.7 ಮತ್ತು 0.8. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ - ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುವ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಪರಿಹಾರ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: x1=0, x2=1, x3=2.

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಾವು ಈವೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಟೇಬಲ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ನಿಯಂತ್ರಣ: 0.6+0.38+0.56=1.

§ 2. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಫಂಕ್ಷನ್ F(x) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ x ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X x ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ:

F(x)=P(X<х)

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) ಎಂಬುದು (-∞;+∞) ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರ್ಯ;

3) F(x) - x= xi (i=1,2,...n) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ:

ನಂತರ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

x≤ x1 ಗೆ 0,

x1 ನಲ್ಲಿ р1< х≤ x2,

x2 ನಲ್ಲಿ F(x)= r1 + r2< х≤ х3

x> xn ಗೆ 1.

ಇದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ:

§ 3. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಪ್ರಮುಖ ಸಂಖ್ಯಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ M(X) ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು:

M(X) = ∑ xiri= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1)M(C)=C, ಇಲ್ಲಿ C ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ;

2)M(C X)=C M(X),

3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), ಇಲ್ಲಿ X, Y ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು;

5)M(X±C)=M(X)±C, ಇಲ್ಲಿ C ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ;

ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಸರಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು, ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಡಿ ( X ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ:

ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1)D(C)=0, ಇಲ್ಲಿ C ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ;

2)D(X)>0, ಇಲ್ಲಿ X ಎಂಬುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ;

3)D(C X)=C2 D(X), ಇಲ್ಲಿ C ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), ಇಲ್ಲಿ X, Y ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು;

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

ಅಲ್ಲಿ M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

ವ್ಯತ್ಯಯ D(X) ಒಂದು ವರ್ಗದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, √D(X) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಸರಣದ ಸೂಚಕವಾಗಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ σ(X) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2.ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

P2, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್, ಹಾಗೆಯೇ M(X), D(X), σ(X).

ಪರಿಹಾರ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ

Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ F(x)=P(X

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅರ್ಥೈಸಬಹುದು: F(x) ಎಂಬುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಬಿಂದುವಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.

x≤-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ F(x)=0, ಏಕೆಂದರೆ (-∞;x) ನಲ್ಲಿ ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಒಂದೇ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವಿಲ್ಲ;

ಒಂದು ವೇಳೆ -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

0 ಆಗಿದ್ದರೆ<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) x1=-1 ಮತ್ತು x2=0 ಎಂಬ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳಿವೆ;

ಒಂದು ವೇಳೆ 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

ಒಂದು ವೇಳೆ 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

x>3 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, ಏಕೆಂದರೆ ನಾಲ್ಕು ಮೌಲ್ಯಗಳು x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 ಮಧ್ಯಂತರ (-∞;x) ಮತ್ತು x5=3 ಗೆ ಬರುತ್ತವೆ.

x≤-1 ನಲ್ಲಿ https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0,

-1 ನಲ್ಲಿ 0.1<х≤0,

0 ನಲ್ಲಿ 0.2<х≤1,

1 ನಲ್ಲಿ F(x)= 0.5<х≤2,

2ಕ್ಕೆ 0.7<х≤3,

x>3 ನಲ್ಲಿ 1

F(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್, ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ದ್ವಿಪದ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - n ಸ್ವತಂತ್ರ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ A ಸಂಭವನೀಯತೆ p ಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ q = 1-p ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ P(X=m) - n ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ m ಬಾರಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

ಬೈನರಿ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> ಈವೆಂಟ್ A ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ - ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ "ಐದು ರೋಲಿಂಗ್" ಒಂದೇ ಮತ್ತು 1/6 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಅಂದರೆ . P(A)=p=1/6, ನಂತರ P(A)=1-p=q=5/6, ಅಲ್ಲಿ

- "ಎ ಪಡೆಯಲು ವಿಫಲತೆ."

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: 0;1;2;3.

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು X ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

ಅದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ನಿಯಂತ್ರಣ: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 4.ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಯಂತ್ರವು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಮುದ್ರೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ತಯಾರಿಸಿದ ಭಾಗವು ದೋಷಪೂರಿತವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.002 ಆಗಿದೆ. 1000 ಆಯ್ದ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

a) 5 ದೋಷಯುಕ್ತ;

ಬಿ) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ದೋಷಪೂರಿತವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ: ಸಂಖ್ಯೆ n=1000 ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ p=0.002 ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಘಟನೆಗಳು (ಭಾಗವು ದೋಷಪೂರಿತವಾಗಿದೆ) ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸೂತ್ರವು ಹೊಂದಿದೆ:

Рn(m)= ಇ- λ ಎಮ್

λ=np=1000 0.002=2 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

a) 5 ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗಗಳಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (m=5):

1000(5)= ಇ-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

ಬಿ) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಈವೆಂಟ್ A - "ಆಯ್ದ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ" ಈವೆಂಟ್‌ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ - "ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ದ ಭಾಗಗಳು ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿಲ್ಲ." ಆದ್ದರಿಂದ, P(A) = 1-P(). ಆದ್ದರಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: P(A)=1-P1000(0)=1- ಇ-2 20 = 1- ಇ-2=1-0.13534≈0.865.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು.

1.1

1.2. ಚದುರಿದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

p4 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(X) ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್, ಹಾಗೆಯೇ M(X), D(X), σ(X).

1.3. ಬಾಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ 9 ಮಾರ್ಕರ್‌ಗಳಿವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ 2 ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ 3 ಮಾರ್ಕರ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಎನ್ನುವುದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿರುವ ಬರವಣಿಗೆಯ ಗುರುತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

1.4. ಗ್ರಂಥಾಲಯದ ಕಪಾಟಿನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ 6 ​​ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 4 ಬಂಧಿತವಾಗಿವೆ. ಗ್ರಂಥಪಾಲಕರು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ 4 ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಎನ್ನುವುದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

1.5. ಟಿಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ. ಮೊದಲ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.9, ಎರಡನೆಯದು 0.7. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಎಂಬುದು ಟಿಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸಿ, ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) ಅನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

1.6. ಮೂವರು ಶೂಟರ್‌ಗಳು ಗುರಿಯತ್ತ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಒಂದು ಹೊಡೆತದಿಂದ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಮೊದಲ ಶೂಟರ್‌ಗೆ 0.5, ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ 0.8 ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ 0.7. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಎಂಬುದು ಶೂಟರ್‌ಗಳು ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೊಡೆತವನ್ನು ಹೊಡೆದರೆ ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು, M(X),D(X) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

1.7. ಬ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್‌ಬಾಲ್ ಆಟಗಾರನು ಚೆಂಡನ್ನು ಬ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್‌ಗೆ ಎಸೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಹೊಡೆತವನ್ನು 0.8 ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಹಿಟ್‌ಗೆ, ಅವನು 10 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅವನು ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅವನಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ - 3 ಹೊಡೆತಗಳಲ್ಲಿ ಬ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್‌ಬಾಲ್ ಆಟಗಾರನು ಪಡೆದ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. M(X),D(X), ಹಾಗೆಯೇ ಅವನು 10 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

1.8. ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಒಟ್ಟು 5 ಸ್ವರಗಳು ಮತ್ತು 3 ವ್ಯಂಜನಗಳು. 3 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಎಂಬುದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸ್ವರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು M(X),D(X),σ(X) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

1.9. ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ, 60% ಒಪ್ಪಂದಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ವಿಮಾ ಕಂಪನಿಯು ವಿಮೆ ಮಾಡಿದ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಮಾ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಾವತಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ನಾಲ್ಕು ಒಪ್ಪಂದಗಳಲ್ಲಿ ವಿಮಾ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಾವತಿಸಿದ ಒಪ್ಪಂದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1.10. ದ್ವಿಮುಖ ಸಂವಹನವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವವರೆಗೆ ರೇಡಿಯೊ ಸ್ಟೇಷನ್ ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕರೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು (ನಾಲ್ಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ) ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕರೆ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.3 ಆಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಕಳುಹಿಸಲಾದ ಕರೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು F(x) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

1.11. 3 ಕೀಲಿಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾತ್ರ ಲಾಕ್ಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ ಕೀಯು ನಂತರದ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸದಿದ್ದರೆ, ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X-ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ. M(X),D(X) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

1.12. ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಗಾಗಿ ಮೂರು ಸಾಧನಗಳ ಸತತ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನದು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಸಾಧನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಾಧನಕ್ಕೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.9 ಆಗಿದೆ. ಪರೀಕ್ಷಿತ ಸಾಧನಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X-ಸಂಖ್ಯೆಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

1.13 .ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಮೂರು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: x1=1, x2, x3, ಮತ್ತು x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಸಾಧನ ಬ್ಲಾಕ್ 100 ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. T ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.002 ಆಗಿದೆ. ಅಂಶಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. T ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಶಗಳು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1.15. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವು 50,000 ಪ್ರತಿಗಳ ಚಲಾವಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಬಂಧಿಸಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.0002 ಆಗಿದೆ. ಪರಿಚಲನೆಯು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಎ) ನಾಲ್ಕು ದೋಷಯುಕ್ತ ಪುಸ್ತಕಗಳು,

ಬಿ) ಎರಡು ದೋಷಯುಕ್ತ ಪುಸ್ತಕಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ.

1 .16. PBX ಗೆ ಪ್ರತಿ ನಿಮಿಷಕ್ಕೆ ಬರುವ ಕರೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್‌ನ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ λ=1.5 ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಎ) ಎರಡು ಕರೆಗಳು;

ಬಿ) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಕರೆ.

1.17.

Z=3X+Y ವೇಳೆ M(Z),D(Z) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

1.18. ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

Z=X+2Y ವೇಳೆ M(Z),D(Z) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಉತ್ತರಗಳು:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; x≤-2 ನಲ್ಲಿ 0,

-2 ನಲ್ಲಿ 0.3<х≤0,

0 ನಲ್ಲಿ F(x)= 0.5<х≤2,

2ಕ್ಕೆ 0.9<х≤5,

x>5 ನಲ್ಲಿ 1

1.2. p4=0.1; x≤-1 ನಲ್ಲಿ 0,

-1 ನಲ್ಲಿ 0.3<х≤0,

0 ನಲ್ಲಿ 0.4<х≤1,

1 ನಲ್ಲಿ F(x)= 0.6<х≤2,

2ಕ್ಕೆ 0.7<х≤3,

x>3 ನಲ್ಲಿ 1

M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 ನಲ್ಲಿ x≤0,

0 ನಲ್ಲಿ 0.03<х≤1,

1 ನಲ್ಲಿ F(x)= 0.37<х≤2,

x>2 ಕ್ಕೆ 1

M(X)=2; D(X)=0.62

M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈

M(X)=2.4; D(X)=0.96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1.22 ಇ-0.2≈0.999

1.15. a)0.0189; ಬಿ) 0.00049

1.16. a)0.0702; ಬಿ)0.77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

ಅಧ್ಯಾಯ 2. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ನಿರಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತುಂಬುವ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಎಫ್ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು F(x) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> ಆರ್

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1)1≤ F(x) ≤1

2) ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಾಗಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ (a;b), [a;b], [a;b], F(x) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. a ಮತ್ತು b ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. ಆರ್(ಎ)<Х

4) ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0 ಆಗಿದೆ.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಒಂದೇ ಮಾರ್ಗವಲ್ಲ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆ (ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ : ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆ f ( X ) ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅದರ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ:

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಥವಾ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು f(x) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆ .

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> ನಲ್ಲಿ

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6

∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8ಸೆ;

b) F(x)= ∫ f(x)dx ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, x

x≤2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ F(x)= ∫ 0dx=0;

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6

x>6 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) =

1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1.

ಹೀಗಾಗಿ,

x≤2 ನಲ್ಲಿ 0,

F(x)= (x-2)2/16 ನಲ್ಲಿ 2<х≤6,

x>6 ಕ್ಕೆ 1.

F(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ

x≤0 ನಲ್ಲಿ https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0,

0 ನಲ್ಲಿ F(x)= (3 ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x)/π<х≤√3,

x>√3 ಗೆ 1.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ f(x)

ಪರಿಹಾರ: ಏಕೆಂದರೆ f(x)= F’(x), ನಂತರ

DIV_ADBLOCK93">

· ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ M (X) ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

M(X)= ∫ x f(x)dx,

ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

· ಪ್ರಸರಣ ಡಿ ( X ) ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, ಅಥವಾ

D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2

· ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ σ(X) ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಚದುರಿದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗಾಗಿ ಹಿಂದೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಿರಂತರವಾದವುಗಳಿಗೆ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 3.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು.

2.1. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

0 ನಲ್ಲಿ x≤0,

x≤ π/6 ಗಾಗಿ F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0,

F(x)= - π/6 ನಲ್ಲಿ 3x<х≤ π/3,

x> π/3 ಗೆ 1.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ f(x), ಮತ್ತು

ಆರ್(2π /9<Х< π /2).

2.3.

x≤2 ನಲ್ಲಿ 0,

2 ನಲ್ಲಿ f(x)= c x<х≤4,

x>4 ಕ್ಕೆ 0.

2.4. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

0 ನಲ್ಲಿ x≤0,

0 ನಲ್ಲಿ f(x)= c √x<х≤1,

x>1 ಕ್ಕೆ 0.

ಹುಡುಕಿ: ಎ) ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿ; ಬಿ) M(X), D(X).

2.5.

x ನಲ್ಲಿ https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39">,

x ನಲ್ಲಿ 0.

ಹುಡುಕಿ: a) F(x) ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ; ಬಿ) M(X),D(X), σ(X); ಸಿ) ನಾಲ್ಕು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ X ನ ಮೌಲ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ (1;4) ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯದ 2 ಪಟ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

2.6. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

f(x)= 2(x-2) ನಲ್ಲಿ x,

x ನಲ್ಲಿ 0.

ಹುಡುಕಿ: a) F(x) ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ; ಬಿ) M(X),D(X), σ (X); ಸಿ) ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ X ನ ಮೌಲ್ಯವು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ನಿಖರವಾಗಿ 2 ಪಟ್ಟು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ .

2.7. f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

ಹುಡುಕಿ: a) ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿರ c ಯ ಮೌಲ್ಯ; ಬಿ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x).

2.9. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ (3;7), ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x)= ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: a) 5 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, b) 7 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ.

2.10. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ (-1;4),

F(x)= ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: a) 2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, b) 4 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

ಹುಡುಕಿ: ಎ) ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿ; ಬಿ) ಎಂ (ಎಕ್ಸ್); ಸಿ) ಸಂಭವನೀಯತೆ P(X> M(X)).

2.12. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

ಹುಡುಕಿ: a) M(X); ಬಿ) ಸಂಭವನೀಯತೆ P(X≤M(X))

2.13. ರೆಮ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

x ≥0 ಗಾಗಿ https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37">.

ಎಫ್(x) ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

2.14. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

DIV_ADBLOCK96">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(ಚಿತ್ರ 5)

2.16. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ " ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0;4) (ಚಿತ್ರ 5). ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆ f(x) ಗಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಉತ್ತರಗಳು

0 ನಲ್ಲಿ x≤0,

x≤ π/6 ಗಾಗಿ f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0,

F(x)= 3sin 3x ನಲ್ಲಿ π/6<х≤ π/3, Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е.

x≤a ಗೆ 0,

f(x)= a ಕ್ಕೆ<х

x≥b ಗೆ 0.

f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 1

x≤a ಗೆ https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹುಡುಕಿ:

a) ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆ ಎಫ್(x) ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸಿ;

ಬಿ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸಿ;

ಸಿ) M(X),D(X), σ(X).

ಪರಿಹಾರ: ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, a=3, b=7, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> ನಲ್ಲಿ 3≤х≤7,

x>7 ಕ್ಕೆ 0

ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 3):

x≤3 ನಲ್ಲಿ https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">ಚಿತ್ರ 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 ನಲ್ಲಿ x<0,

x≥0 ಗಾಗಿ f(x)= λе-λх.

ಘಾತೀಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

DIV_ADBLOCK98">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> ಚಿತ್ರ 6

ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

M(X)= , D(X)=, σ (Х)=

ಹೀಗಾಗಿ, ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

X ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು (a;b) ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪಿ(ಎ<Х

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2.ಸಾಧನದ ಸರಾಸರಿ ವೈಫಲ್ಯ-ಮುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯವು 100 ಗಂಟೆಗಳು. ಸಾಧನದ ವೈಫಲ್ಯ-ಮುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯವು ಘಾತೀಯ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

a) ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆ;

ಬಿ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ;

ಸಿ) ಸಾಧನದ ವೈಫಲ್ಯ-ಮುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯವು 120 ಗಂಟೆಗಳನ್ನು ಮೀರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಪರಿಹಾರ: ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಗಣಿತದ ವಿತರಣೆ M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 ನಲ್ಲಿ x<0,

a) f(x)= x≥0 ಗಾಗಿ 0.01e -0.01x.

b) x ನಲ್ಲಿ F(x)= 0<0,

x≥0 ನಲ್ಲಿ 1-e -0.01x.

ಸಿ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಬಯಸಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3.

§ 3.ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಹೊಂದಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು (ಗಾಸ್ ಕಾನೂನು), ಅದರ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ:

,

ಇಲ್ಲಿ m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ ಗಾಸಿಯನ್ ಕರ್ವ್ (Fig.7)

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು x=m ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, x=a ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ Ф (x) ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

,

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್: Ф(x) ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ (Ф(-х)=-Ф(х)), ಜೊತೆಗೆ, x>5 ಗಾಗಿ ನಾವು Ф(х) ≈1/2 ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು.

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ F(x) ಅನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

ವಿಚಲನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ δ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, m=0 ಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:

"ತ್ರೀ ಸಿಗ್ಮಾ ನಿಯಮ"

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X m ಮತ್ತು σ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ (a-3σ; a+3σ), ಏಕೆಂದರೆ

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

ಬಿ) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ Ф(х) ನಾವು Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಯಸಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆ:

ಪಿ(28

ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು

3.1. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (-3;5) ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಹುಡುಕಿ:

ಬಿ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x);

ಸಿ) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು;

d) ಸಂಭವನೀಯತೆ P(4<х<6).

3.2. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹುಡುಕಿ:

a) ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ f(x);

ಬಿ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x);

ಸಿ) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು;

d) ಸಂಭವನೀಯತೆ P(3≤х≤6).

3.3. ಹೆದ್ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಲೈಟ್ ಇದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಹಸಿರು ದೀಪವು 2 ನಿಮಿಷಗಳು, ಹಳದಿ 3 ಸೆಕೆಂಡುಗಳು, ಕೆಂಪು 30 ಸೆಕೆಂಡುಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ. ಒಂದು ಕಾರು ಹೆದ್ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರು ನಿಲ್ಲಿಸದೆ ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಲೈಟ್ ಅನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3.4. ಸುರಂಗಮಾರ್ಗ ರೈಲುಗಳು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ 2 ನಿಮಿಷಗಳ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ. ಒಬ್ಬ ಪ್ರಯಾಣಿಕನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ಲಾಟ್‌ಫಾರ್ಮ್‌ಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತಾನೆ. ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ರೈಲಿಗಾಗಿ 50 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಯಬೇಕಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ - ರೈಲಿಗಾಗಿ ಕಾಯುವ ಸಮಯ.

3.5. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

x ನಲ್ಲಿ F(x)= 0<0,

x≥0 ಗೆ 1ನೇ-8x.

3.6. ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

x ನಲ್ಲಿ f(x)= 0<0,

x≥0 ನಲ್ಲಿ 0.7 e-0.7x.

a) ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.

ಬಿ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(X) ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

3.7. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಘಾತೀಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

x ನಲ್ಲಿ f(x)= 0<0,

x≥0 ನಲ್ಲಿ 0.4 e-0.4 x.

ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ X ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (2.5;5).

3.8. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಘಾತೀಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

x ನಲ್ಲಿ F(x)= 0<0,

x≥0 ನಲ್ಲಿ 1ನೇ-0.6x

ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, X ವಿಭಾಗದಿಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3.9. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಕ್ರಮವಾಗಿ 8 ಮತ್ತು 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹುಡುಕಿ:

a) ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ f(x);

ಬಿ) ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ X ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (10;14).

3.10. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 3.5 ರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು 0.04 ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹುಡುಕಿ:

a) ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ f(x);

b) ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ X ವಿಭಾಗದಿಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ .

3.11. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ M(X)=0 ಮತ್ತು D(X)=1 ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವ ಘಟನೆಗಳು: |X|≤0.6 ಅಥವಾ |X|≥0.6 ಸಾಧ್ಯತೆ ಹೆಚ್ಚು?

3.12. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ M(X)=0 ಮತ್ತು D(X)=1 ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ (-0.5;-0.1) ಅಥವಾ (1;2) ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ?

3.13. ಪ್ರತಿ ಷೇರಿನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಬೆಲೆಯನ್ನು M(X)=10 den ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾದರಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು σ (X)=0.3 ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು ಹುಡುಕಿ:

ಎ) ಪ್ರಸ್ತುತ ಷೇರಿನ ಬೆಲೆಯು 9.8 ಡೆನ್‌ನಿಂದ ಆಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ. ಘಟಕಗಳು 10.4 ದಿನಗಳವರೆಗೆ ಘಟಕಗಳು;

ಬಿ) "ತ್ರೀ ಸಿಗ್ಮಾ ನಿಯಮ" ಬಳಸಿ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಟಾಕ್ ಬೆಲೆ ಇರುವ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3.14. ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷಗಳಿಲ್ಲದೆ ವಸ್ತುವನ್ನು ತೂಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ತೂಕದ ದೋಷಗಳು ಸರಾಸರಿ ಚದರ ಅನುಪಾತ σ=5g ಜೊತೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ನಾಲ್ಕು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ತೂಕದಲ್ಲಿ ದೋಷವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ 3r ನಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3.15. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ M(X)=12.6 ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (11.4;13.8) 0.6826 ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ σ.

3.16. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ M(X)=12 ಮತ್ತು D(X)=36 ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 0.9973 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಬೀಳುವ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3.17. ನಾಮಮಾತ್ರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಅದರ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನ ವಿಚಲನ X ಮಾಡ್ಯುಲೋ 2 ಯೂನಿಟ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಮೀರಿದರೆ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಯಂತ್ರದಿಂದ ತಯಾರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಭಾಗವನ್ನು ದೋಷಯುಕ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ M(X)=0 ಮತ್ತು σ(X)=0.7 ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಂತ್ರವು ಎಷ್ಟು ಶೇಕಡಾ ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ?

3.18. ಭಾಗದ X ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ನಾಮಮಾತ್ರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ 2 ರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು 0.014 ರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾಮಮಾತ್ರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ X ನ ವಿಚಲನವು ನಾಮಮಾತ್ರದ ಮೌಲ್ಯದ 1% ಅನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉತ್ತರಗಳು

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) x≤-3 ಗೆ 0,

F(x)= left">

3.10. a)f(x)= ,

ಬಿ) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185.

3.11. |x|≥0.6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) P(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

4. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು ಎಫ್(X) . ಈ ನಿಯೋಜನೆಯ ವಿಧಾನವು ಒಂದೇ ಅಲ್ಲ. ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎಂಬ ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4.1: ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ Xಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆ ಮಾಡಿ f (X) - ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಫ್(X) :

f ( X ) = ಎಫ್ "( X ) .

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿರೋಧಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆ

ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯ: ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಎ, ಬಿ), ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆಎಮೊದಲುಬಿ :

ಪುರಾವೆ:ನಾವು ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

ಪ(ಎ ≤ Xಬಿ) = ಎಫ್(ಬಿ) – ಎಫ್(ಎ).

ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ,

ಹೀಗಾಗಿ,

.

ಏಕೆಂದರೆ ಪ(ಎ ≤ X ಬಿ)= ಪ(ಎ X ಬಿ) , ನಂತರ ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು: ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಎ, ಬಿ), ಅಕ್ಷದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಎತ್ತು, ವಿತರಣಾ ರೇಖೆf(X) ಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿX = ಎಮತ್ತುX = ಬಿ.

ಕಾಮೆಂಟ್:ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವೇಳೆ f(X) - ಕಾರ್ಯವು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ

ಉದಾಹರಣೆ.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ X

ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ Xಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ (0.5, 1) ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ:ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

.

ತಿಳಿದಿರುವ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ತಿಳಿಯುವುದು f(X) , ನಾವು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಫ್(X) ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ

.

ನಿಜವಾಗಿಯೂ, ಎಫ್(X) = ಪ(X X) = ಪ(-∞ X X) .

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಹೀಗಾಗಿ, ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನೀವು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಸಹಜವಾಗಿ, ತಿಳಿದಿರುವ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಒಬ್ಬರು ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

f(X) = ಎಫ್"(X).

ಉದಾಹರಣೆ.ನೀಡಿರುವ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಪರಿಹಾರ:ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ

ಒಂದು ವೇಳೆ X ≤ ಎ, ಅದು f(X) = 0 , ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಫ್(X) = 0 . ಒಂದು ವೇಳೆ a , ನಂತರ f(x) = 1/(b-a),

ಆದ್ದರಿಂದ,

.

ಒಂದು ವೇಳೆ X > ಬಿ, ಅದು

.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ

ಕಾಮೆಂಟ್:ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ (ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ).

ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಆಸ್ತಿ 1:ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:

f ( X ) ≥ 0 .

ಆಸ್ತಿ 2:-∞ ನಿಂದ ∞ವರೆಗಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಏಕತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಕಾಮೆಂಟ್:ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್:ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಸ್ಥಿರ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎ.

ಪರಿಹಾರ:ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ

.

ಇಲ್ಲಿಂದ
. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

.

ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿಯತಾಂಕ

ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಅರ್ಥ

ಅವಕಾಶ ಎಫ್(X) - ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ X. ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, f(X) = ಎಫ್"(X) , ಅಥವಾ

.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಫ್(X+∆x) -ಎಫ್(X) ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ Xಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (X, X+∆x). ಹೀಗಾಗಿ, ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ (X, X+∆x), ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ (ನಲ್ಲಿ ∆х→0) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X.

ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯ f(X) ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ X. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಸರಿಸುಮಾರು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ.

ಏಕೆಂದರೆ ಎಫ್"(X) = f(X) ಮತ್ತು dx = ∆ X, ಅದು ಎಫ್(X+∆ X) - ಎಫ್(X) ≈ f(X)∆ X.

ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಅರ್ಥ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (X, X+∆ X) ಬಿಂದು x ನಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದ ಉದ್ದ ∆x ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (X, X+∆ X) ಬೇಸ್ ∆х ಮತ್ತು ಎತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆf(X).

5. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ವಿತರಣೆಗಳು

5.1. ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.1: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X, ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು 1 ಮತ್ತು 0 ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ("ಯಶಸ್ಸು") ಪಮತ್ತು ("ವೈಫಲ್ಯ") q, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಬರ್ನೌಲಿವ್ಸ್ಕಯಾ:

, ಎಲ್ಲಿ ಕೆ=0,1.

5.2 ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ

ಅದು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಲಿ ಎನ್ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಈವೆಂಟ್ ಎಕಾಣಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಾಣಿಸದೇ ಇರಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪ(ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಭವಿಸದ ಸಂಭವನೀಯತೆ q = 1 - ಪ).

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ X- ಈವೆಂಟ್ನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಈ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ Xಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ 0,1,2,… ಎನ್ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ: , ಎಲ್ಲಿ ಕೆ = 0,1,2,… ಎನ್.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.2: ದ್ವಿಪದಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಗುರಿಯತ್ತ ಮೂರು ಹೊಡೆತಗಳನ್ನು ಹೊಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಹೊಡೆತವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.8 ಆಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ X- ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅದರ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ Xಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ 0,1,2,3 ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎನ್ = 3, ಪ = 0,8 (ಹೊಡೆತದ ಸಂಭವನೀಯತೆ), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (ಕಾಣೆಯಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆ).

ಹೀಗಾಗಿ, ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಎನ್ಸಾಕಷ್ಟು ಕಷ್ಟ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಸ್ಥಳೀಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಇದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಕೆಒಮ್ಮೆ ಪ್ರತಿ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ.

ಸ್ಥಳೀಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಪ್ರಮೇಯ: ಸಂಭವನೀಯತೆ ವೇಳೆ ಪಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವ ಎ
ಎಂದು ಘಟನೆ ಎ ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್ನಿಖರವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಕೆಸಮಯ, ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರ, ಹೆಚ್ಚು ಎನ್) ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯ
, ಎಲ್ಲಿ
,
.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 1:ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು
, ಅನುಬಂಧ 1 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು
. ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ).

ಉದಾಹರಣೆ:ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎ ನಿಖರವಾಗಿ ಬರುತ್ತದೆ 80 ಒಮ್ಮೆ ಪ್ರತಿ 400 ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳು 0,2.

ಪರಿಹಾರ:ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಎನ್ = 400, ಕೆ = 80, ಪ = 0,2 , q = 0,8 . ಕಾರ್ಯ ಡೇಟಾದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ X:
. ಅನುಬಂಧ 1 ರಲ್ಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
. ನಂತರ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈವೆಂಟ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ ಎನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ ಕೆ 1 ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನಿಲ್ಲ ಕೆ 2 ಬಾರಿ, ನಂತರ ನೀವು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್‌ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್‌ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ: ಸಂಭವನೀಯತೆ ವೇಳೆ ಪಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವ ಎಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದರಿಂದ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ
ಎಂದು ಘಟನೆ ಎ ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್ನಿಂದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಕೆ 1 ಮೊದಲು ಕೆ 2 ಬಾರಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು
.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎ ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್ನಿಂದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಕೆ 1 ಮೊದಲು ಕೆ 2 ಬಾರಿ, ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ
, ಮತ್ತು .

ಟಿಪ್ಪಣಿ 2:ಕಾರ್ಯ
ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು , ಅನುಬಂಧ 2 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು .

ಉದಾಹರಣೆ:ನಡುವೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ 400 ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಭಾಗಗಳು 70 ರಿಂದ 100 ಭಾಗಗಳವರೆಗೆ ಪರೀಕ್ಷಿಸದಿರುವಂತೆ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ ಭಾಗವು ಗುಣಮಟ್ಟ ನಿಯಂತ್ರಣ ತಪಾಸಣೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 0,2.

ಪರಿಹಾರ:ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಎನ್ = 400, ಪ = 0,2 , q = 0,8, ಕೆ 1 = 70, ಕೆ 2 = 100 . ಏಕೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

;
.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಅನುಬಂಧ 2 ರಲ್ಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು
. ನಂತರ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ:

ಟಿಪ್ಪಣಿ 3:ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ (n ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, p ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ), ನಿಖರವಾಗಿ k ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪಾಯ್ಸನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ).

5.3 ವಿಷ ವಿತರಣೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.3: ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಷ,ಅದರ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ:

, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು (ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯ).

ಪಾಯ್ಸನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ನಿಲ್ದಾಣಕ್ಕೆ ಕರೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಟಿ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಿಕಿರಣಶೀಲ ವಸ್ತುವಿನ ಕೊಳೆಯುವ ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಟಿ.

ಸಮಯದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಗಾರಕ್ಕೆ ಬರುವ ಟಿವಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಟಿದೊಡ್ಡ ನಗರದಲ್ಲಿ .

ದೊಡ್ಡ ನಗರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಛೇದನದ ಸ್ಟಾಪ್ ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಬರುವ ಕಾರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ .

ಟಿಪ್ಪಣಿ 1:ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವಿಶೇಷ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಅನುಬಂಧ 3 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 2:ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ (ಯಾವಾಗ ಎನ್ಶ್ರೇಷ್ಠ, ಪಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ) ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕೆಪಾಯಿಸನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಮಯ: , ಎಲ್ಲಿ , ಅಂದರೆ, ಘಟನೆಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 3:ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಇದ್ದರೆ, ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ (ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ).

ಉದಾಹರಣೆ.ಸಸ್ಯವನ್ನು ಬೇಸ್ಗೆ ಕಳುಹಿಸಲಾಗಿದೆ 5000 ಉತ್ತಮ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಸಾಗಣೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಹಾನಿಗೊಳಗಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 0,0002 . ನಿಖರವಾಗಿ ಮೂರು ಬಳಸಲಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ತಳದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಎನ್ = 5000, ಪ = 0,0002, ಕೆ = 3. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ λ: λ = ಎನ್.ಪಿ.= 5000·0.0002 = 1.

ಪಾಯ್ಸನ್ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಲ್ಲಿದೆ X- ಬಳಕೆಯಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

5.4 ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆ

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪ(0 ಪು

q = 1 - ಪ. ಈವೆಂಟ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ತಕ್ಷಣ ಸವಾಲುಗಳು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಘಟನೆ ವೇಳೆ ಎಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರು ಕೆ-ನೇ ಪರೀಕ್ಷೆ, ನಂತರ ಹಿಂದಿನದು ಕೆ – 1 ಇದು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿಲ್ಲ.

ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ Xಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ - ಈವೆಂಟ್ನ ಮೊದಲ ಸಂಭವಿಸುವ ಮೊದಲು ನಡೆಸಬೇಕಾದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು Xಇವೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು x 1 = 1, x 2 = 2, ...

ಮೊದಲು ಬಿಡಿ ಕೆ-1 ಪರೀಕ್ಷಾ ಘಟನೆ ಎಬರಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಳಗೆ ಕೆ- ಪರೀಕ್ಷೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ಈ "ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಟನೆ" ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ (X = ಕೆ) = q ಕೆ -1 ಪ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.4: ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೊಂದಿದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆ, ಅದರ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ:

ಪ ( X = ಕೆ ) = q ಕೆ -1 ಪ , ಎಲ್ಲಿ .

ಟಿಪ್ಪಣಿ 1:ನಂಬಿಕೆ ಕೆ = 1,2,… , ನಾವು ಮೊದಲ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಪಮತ್ತು ಛೇದ q (0q. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 2:ಸಾಲು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ .

ಉದಾಹರಣೆ.ಮೊದಲ ಹಿಟ್ ಆಗುವವರೆಗೆ ಬಂದೂಕನ್ನು ಗುರಿಯತ್ತ ಹಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪ = 0,6 . ಮೂರನೇ ಹೊಡೆತದಲ್ಲಿ ಹಿಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಪ = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, ಕೆ = 3. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ:

ಪ (X = 3) = 0,4 2 ·0.6 = 0.096.

5.5 ಹೈಪರ್ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿತರಣೆ

ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಪಕ್ಷವನ್ನು ಹೊರಗೆ ಬಿಡಿ ಎನ್ಲಭ್ಯವಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂಪ್ರಮಾಣಿತ (ಎಂಎನ್). ಬ್ಯಾಚ್‌ನಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎನ್ಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಪ್ರತಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು), ಮತ್ತು ಮುಂದಿನದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವ ಮೊದಲು ಆಯ್ದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬ್ಯಾಚ್‌ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಆದ್ದರಿಂದ, ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವು ಇಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ).

ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ Xಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ - ಸಂಖ್ಯೆ ಮೀಪ್ರಮಾಣಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಡುವೆ ಎನ್ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು X 0, 1, 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ..., ನಿಮಿಷ; ಅವುಗಳನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು... ಮೂಲಕಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ (ಫಾಂಡ್ಸ್) ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬಟನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ ( ಅಧ್ಯಾಯ ...

ಶಿಸ್ತು "ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾನಸಿಕ ಕಾರ್ಯಾಗಾರ" ಗಾಗಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣ

ತರಬೇತಿ ಮತ್ತು ವಿಧಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಕೀರ್ಣ

... ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂಚನೆಗಳು ಮೂಲಕಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು 5.1 ಕ್ರಮಬದ್ಧಶಿಫಾರಸುಗಳು ಮೂಲಕಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಯೋಜನೆಗಳ ಅನುಷ್ಠಾನ 5.2 ಕ್ರಮಬದ್ಧಶಿಫಾರಸುಗಳು ಮೂಲಕ... ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆ), ಒಂದು ಆಯಾಮದಮತ್ತು ಬಹು ಆಯಾಮದ... ಯಾದೃಚ್ಛಿಕಘಟಕದಲ್ಲಿ ಗಾತ್ರ... ಜೊತೆ ವಿಭಾಗ"ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆ...

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಿಸ್ತಿನ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣ (ಶೀರ್ಷಿಕೆ)

ತರಬೇತಿ ಮತ್ತು ವಿಧಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಕೀರ್ಣ

... ವಿಭಾಗಗಳುಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ. ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕಪ್ರತಿ ವಿಷಯ. ವಿವರಣೆ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂಚನೆಗಳುಪ್ರಯೋಗಾಲಯದ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಮೂಲಕ ... ಯಾದೃಚ್ಛಿಕಮತ್ತು ವಾದ್ಯಗಳ ಮಾಪನ ದೋಷ 1.8 ವಿಷಯಗಳು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳುಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂಚನೆಗಳು ಮೂಲಕ...ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ ಇನ್ ಒಂದು ಆಯಾಮದಸಂಭಾವ್ಯ ರಂಧ್ರ. ...

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಾಲಯದ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳು

ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳು

... ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸೂಚನೆಗಳುಪ್ರಯೋಗಾಲಯದ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಮೂಲಕ ... ಗಾತ್ರ, ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೊತ್ತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ... ಶ್ರೇಣಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕಸಂಖ್ಯೆಗಳು... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 a) ಒಂದು ಆಯಾಮದರಚನೆ b) ಎರಡು ಆಯಾಮದ ರಚನೆ ಚಿತ್ರ. 2– ಫೈಲ್‌ಗಳನ್ನು... ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ವಿಭಾಗಅನುಷ್ಠಾನದ ನಂತರ...