ಟೇಬಲ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ಚೌಕದ ಅಂದಾಜು. ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸ: ವಿಶಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ವಿಷಯ: ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಟೆಡ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವೈ, ವೈ2 , ..., y„ ಕೆಲವು ದೋಷಗಳ ಪ್ರಯೋಗದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ನೋಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂಕಗಳಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮೂಲಕ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿದೆ ಸರಾಸರಿ,ಅಂದರೆ, ರೂಢಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ L p .

ಸ್ಪೇಸ್ 1 ಪು - ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಗಳು d(x),ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ [ಎ, ಬಿ]ಮತ್ತು ರೂಢಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ p-th ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್

ಅಂತಹ ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದನ್ನು ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಾಸರಿಸ್ಪೇಸ್ 1,2 ಅನ್ನು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು ಮೂಲ ಎಂದರೆ ಚೌಕ.

ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ Dx) ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ φ(x) ಅನ್ನು ಕೆಲವು ರೇಖೀಯ ರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಜಾಗದಿಂದ ನೀಡೋಣ. ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್, ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಅಂದಾಜಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯಕೊಟ್ಟಿರುವ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ನೀಡಿದ ಪ್ರಕಾರ ಇφ(x) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಅಂದರೆ ಅಸಮಾನತೆ |[Dx) - φ(x)|| ಜಿ..

ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯ- ಇದು ಹುಡುಕಾಟ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಅಂದರೆ, ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ φ*(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತಿದೆ:

ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪುರಾವೆಯಿಲ್ಲದೆ ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮಾಡಲಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

ಅಲ್ಲಿ φ[(x), ..., φ„(x) ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜಿನೊಂದಿಗೆ (2.16) ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಆದರೂ ಇದು ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ.

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ p(x) > 0 ತೂಕದೊಂದಿಗೆ ಚೌಕಾಕಾರವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ನೈಜ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ LzCp ಅನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಜಿ ಎಚ್) ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ

ಸೂತ್ರ:

ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು (2.16) ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜಿನ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಬದಲಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಮೀಕರಣ (D, ಕೆ= 1, ..., ಪಿ, ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ಧಾರಕವನ್ನು (2.17) ಗ್ರಾಮ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. φ[(x), ..., φ„(x) ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಗ್ರಾಂ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (2.17) ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. φ1(x), ..., φ„(x) ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆರ್ಥೋಗೋನಲೈಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ (φ/,φ,) = 5y, ಅಲ್ಲಿ 5, = 1, 8y = 0, SCH,ij = 1, ..., ಪ,ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು:

(2.18) ಪ್ರಕಾರ ಕಂಡುಬರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪ್ರಶ್ನೆ, ..., ನೇಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ φ t (X),..., φ„(x),... ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಪಾರ್ಸೆವಲ್‌ನ ಸಮಾನತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದ P -» co ಆಗಿ ದೋಷದ ರೂಢಿಯು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ರೂಟ್-ಮೀನ್-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅನ್ನು Dx) ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (2.17) ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಗ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನಾರೋಗ್ಯಕರವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ನಿಖರತೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ನಷ್ಟಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ φ„ i =1, ..., П, ಅಂದರೆ φ* = X 1 ", 1 = 1, ..., ಪ,ನಂತರ, ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅಂದಾಜು ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ನಾವು ಗ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ರೂಪದ ಗ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (2.19) ಅನ್ನು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನಾರೋಗ್ಯಕರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

MATLAB ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕೆಲವು ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ (2.19) ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಪ.ಪಟ್ಟಿ 2.5 ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗೆ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪಟ್ಟಿ 23

%ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು %ಕಾರ್ಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ತೆರವುಗೊಳಿಸುವುದುಎಲ್ಲವನ್ನೂ ತೆಗೆ;

%ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಆರ್ಡರ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ptah =6;

%ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಲೂಪ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ

n = 1 ಗಾಗಿ: ptah d(n)=det(hi I b(n)); ಅಂತ್ಯ

%ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಿ

ಎಫ್ ಒ ಜಿ ಟಿ ಶಾರ್ಟ್ ಎಂಡ್

ಪಟ್ಟಿ 2.5 ರಲ್ಲಿ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಚಲಾಯಿಸಿದ ನಂತರ, MATLAB ಕಮಾಂಡ್ ವಿಂಡೋವು ಮೊದಲ ಆರು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬೇಕು. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (n) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ (d) ಆದೇಶಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದೇಶವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಎಷ್ಟು ಬೇಗನೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದೇಶಗಳು 5 ಮತ್ತು 6 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ ಅದು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಲ್ಲದ ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಟೇಬಲ್ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

φ, i = 1, ..., П ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಆರ್ಥೋಗೋನಲೈಸೇಶನ್ ನಿಖರತೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ನಷ್ಟಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು (2.16), ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕೈಗೊಳ್ಳಲು, ಅಂದರೆ, ನಿಖರವಾಗಿ, ಅಥವಾ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧ-ಸಿದ್ಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿದರೆ, ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಾಗ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತೂಕದೊಂದಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲ್ಪಡುವ ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳು, ಇವುಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಮತ್ತು ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳು. Lagsr ಮತ್ತು ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬಹುಪದಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಬಂಧದಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳುಪುಸ್ತಕಗಳು

ಟೇಬಲ್ ಪಡೆದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಯೋಗದಿಂದ, ಅಂದರೆ, ದೋಷದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಬಳಸಿ ಅಂದಾಜು ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಉಪಕರಣ , ಇದು ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ನೋಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುವುದನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಅನುಚಿತ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ, ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂದಾಜನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಸರಳವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ ಕೋಷ್ಟಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ. ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆಯು ಟೇಬಲ್‌ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ರೂಟ್-ಮೀನ್-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅಂದಾಜನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಆರಿಸುವುದುನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು - ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಿಂದುಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೂಲಕ ಮೃದುವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದರಿಂದ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳು ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ, ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳು ಮೇಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳು ಎಳೆಯುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕೆಳಗೆ ಇರುತ್ತವೆ. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಒಬ್ಬರು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು - ಅದು ರೇಖೀಯ, ವಿದ್ಯುತ್ ನಿಯಮ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಅಥವಾ ಇನ್ನಾವುದೇ ಆಗಿರಲಿ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಣ್ಣಿನಿಂದ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಯಿತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯ ಪ್ರಕಾರದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಯ ವಿಧಾನ. ಈ ವಿಧಾನವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಿಂದುಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೂಲಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಟೇಬಲ್‌ನಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ಉಲ್ಲೇಖ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ವಿಧಾನದ ನಿಖರತೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅವಲಂಬನೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಇದು ಅಂದಾಜು ಮಾರ್ಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

1. ಮೂಲ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (x 1,y 1) ಮತ್ತು (x n,y n) - ಉಲ್ಲೇಖ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

2. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಿಂದುಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ, ಕಂಡುಬರುವ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ x ap, x ಜಿಯೋಮ್, x ಹಾನಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂರು ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

3. ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ:

4. ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ:

5. ತೀರ್ಮಾನಗಳು:ಅದು ಕನಿಷ್ಠ ಎಂದು ಬದಲಾದರೆ

ಅವಲಂಬನೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ

ಅವಲಂಬನೆಯು ಘಾತೀಯವಾಗಿದೆ

ಭಾಗಶಃ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧ

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅವಲಂಬನೆ

ಶಕ್ತಿ ಅವಲಂಬನೆ

ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಅವಲಂಬನೆ

ಭಿನ್ನರಾಶಿ-ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಬಂಧ

ಈ ಅವಲಂಬನೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪಾಂತರ ಅಥವಾ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೂಲಕ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಡೇಟಾ ಜೋಡಣೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಮೊದಲ ಹಂತವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯ ಪ್ರಕಾರದ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಎರಡನೇ ಹಂತಆಯ್ದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ತಮ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಗಣಿತ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕ ವಿಧಾನ.

ಈ ವಿಧಾನವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ () ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ () ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದರ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ: .

ಆಯ್ದ ಅವಲಂಬನೆ ಇರಲಿ ಸರಳ ರೇಖೆ: . ಅದನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬದಲಿಸೋಣ: . ನಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ತಮ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಆಂಶಿಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ:

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯ ಉತ್ತಮ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಅವಲಂಬನೆ ಇದ್ದರೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ:

ನಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: .

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಮೂರು ವೇರಿಯಬಲ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ತಮ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೂರು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇದು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಅವಲಂಬನೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯೋಜಿಸಬೇಕು - a ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದ ಕ್ಷೇತ್ರ. ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೂಲಕ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ನಯವಾದ ಕರ್ವ್.

ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಎರಡು ಉಲ್ಲೇಖ ಬಿಂದುಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (3;0.55) ಮತ್ತು (10;1.11) ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಮೂರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಬ್ಸಿಸಾಗಳಿಗೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಿಂದುಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ, ಮೂರು ಅನುಗುಣವಾದ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸೂಚನೆನಡೆಸಲಾಗುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಮೇಲೆ. ಮುಂದೆ, ಏಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪರಸ್ಪರ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಮೂರು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ

ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಲಂಬನೆಗಳಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ತಮ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬೇಕು.

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯ ಅಂತಿಮ ಆಯ್ಕೆಯು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಧ್ಯಯನಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಟೇಬಲ್ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ತಮ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ: .

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ತಮ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಸಲ್ಪಡಬೇಕು, ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಕೋಷ್ಟಕದ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನ 2 ನೇ, 3 ನೇ, 4 ನೇ ಮತ್ತು 5 ನೇ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ಇದರರ್ಥ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

. (*)

ಕೋಷ್ಟಕದ ಆರನೇ ಕಾಲಮ್ ವಾದದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೋಷ್ಟಕದ ಏಳನೇ ಕಾಲಮ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (*) ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು (3 ನೇ ಕಾಲಮ್) ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು (6 ನೇ ಕಾಲಮ್) ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಎಂಟನೇ ಕಾಲಮ್ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ: ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ತಮ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಕೋಷ್ಟಕದ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನಿಂದ, ಅನುಗುಣವಾದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲಿನ ಅವಲಂಬನೆಯು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದಿಂದ ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ:

ವಾದದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನೀಡಿದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಕಾರ್ಯದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಟೇಬಲ್ನ ಒಂಬತ್ತನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಟೇಬಲ್ನ 11 ನೇ ಕಾಲಮ್ನ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ:

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪಾಠ ಸಂಖ್ಯೆ 3

ವಿಷಯ: ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ - ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೊರಗಿಡುವ ವಿಧಾನ - ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆ ನಿಖರವಾದ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ದೋಷವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಹಸ್ತಚಾಲಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ನಿಯಂತ್ರಣ ಕಾಲಮ್ ಹೊಂದಿರುವ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. 4 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಂತಹ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

				ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರು	ನಿಯಂತ್ರಣ ಕಾಲಮ್

				ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರು	ನಿಯಂತ್ರಣ ಕಾಲಮ್

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, 4 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಬೇರುಗಳ ಈ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಉಳಿಕೆಗಳು - , ಕಂಡು ಬರುವ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಉಳಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉಚಿತ ನಿಯಮಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳು

ಬೇರುಗಳು -:

ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ - ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಶನ್. ಆದರೆ ಈ ವಿಧಾನವು ಒಂದೇ ಅಲ್ಲ. ವಿವಿಧ ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ಇತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ರೂಟ್ ಮೀನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಂದಾಜುಗಳ ಹೆಸರು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಧ್ಯಾಯ 1 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು "ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಲೀನಿಯರ್ ನಾರ್ಮ್ಡ್ ಸ್ಪೇಸ್" ಮತ್ತು "ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಜಾಗದ ಮೆಟ್ರಿಕ್‌ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ದೋಷದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ದೋಷವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಈ ಬಗ್ಗೆ ಗಮನಹರಿಸಲಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಎದುರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

5.1. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಸ್ಪೇಸ್ l2

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಲೆಬೆಸ್ಗ್ಯೂ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ ಆಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ
, ಅಂದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು
.

ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರಣ, ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗದೊಂದಿಗೆ ಸಮಗ್ರತೆಯಿಂದ
ಮತ್ತು
ಅವುಗಳ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಚದರ ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ ಆಗಿರಬೇಕು
, (ಎಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು
 ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು), ಹಾಗೆಯೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಮಗ್ರತೆ
.

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಚೌಕಾಕಾರ ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ ಆಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ
, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ

. (5.1.1)

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 1.10, ಪುಟ 57 ನೋಡಿ):

ಮೊದಲ ಆಸ್ತಿ ಮಾತ್ರ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಅದು ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ
. ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸದಿರಲು (ಸಮಾನವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ) ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು
, ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ

.

ಕೊನೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಲೆಬೆಸ್ಗ್ಯೂ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಸಮಾನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಸೆಟ್) ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (5.1.1). ಈ ಜಾಗವನ್ನು Lebesgue ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ .

ಪ್ರತಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗವು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ರೂಢಿ ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎರಡೂ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಜಾಗ
ರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ರೂಢಿ (ಅಂಶದ ಗಾತ್ರ) ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ (ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ) ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

(5.1.2)

(5.1.3)

ರೂಢಿ ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಸೂತ್ರಗಳು) ವಿಭಾಗ 1.10 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಜಾಗದ ಅಂಶಗಳು
ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮಾನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗಗಳು. ಒಂದೇ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು
. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜುಗಳು
ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜಾಗದ ಈ ಅಹಿತಕರ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ
ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಪಾವತಿಸುತ್ತದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಆಲ್ಟ್‌ಮ್ಯಾನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ನಿರಂತರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲು, ವಿವಿಧ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದದಿಂದ ಮೂಲ-ಸರಾಸರಿ-ಚದರ ಸಮಗ್ರ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು.

ಈಕ್ವಿಡಿಸ್ಟೆಂಟ್ ನೋಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಟರ್‌ಪೋಲೇಷನ್ ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ನೋಡ್ಗಳ ಸೂಕ್ತವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಬಹುಪದದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. . ಆಲ್ಟ್‌ಮ್ಯಾನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ರಚನೆಯು ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಇಂಟರ್‌ಪೋಲೇಶನ್‌ನಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ರೇಖೀಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಸರಾಸರಿ ಚೌಕದ ಅಂದಾಜನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ರೇಖೀಯ ರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಜಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳು

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ವಿಶಾಲವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು "ಸೆಟ್" ಮತ್ತು "ಮ್ಯಾಪ್" ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ "ಸೆಟ್", "ಸೆಟ್", "ಸಂಗ್ರಹಣೆ", "ಕುಟುಂಬ", "ವ್ಯವಸ್ಥೆ", "ವರ್ಗ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾರ್ಥಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

"ಆಪರೇಟರ್" ಪದವು "ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್" ಪದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. "ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ", "ಕಾರ್ಯ", "ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ", "ಅಳತೆ" ಎಂಬ ಪದಗಳು "ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.

"ರಚನೆ" ಮತ್ತು "ಸ್ಪೇಸ್" ಎಂಬ ಪದಗಳು ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಅಕ್ಷೀಯ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿವೆ. ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ (ಆದೇಶಿಸಿದ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್ಗಳು); ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ ರಚನೆಗಳು (ಅರೆ ಗುಂಪುಗಳು, ಗುಂಪುಗಳು, ಉಂಗುರಗಳು, ವಿಭಾಗ ಉಂಗುರಗಳು, ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಬೀಜಗಣಿತಗಳು, ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳು); ವಿಭಿನ್ನ ರಚನೆಗಳು (ಬಾಹ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳು, ಫೈಬರ್ಡ್ ಜಾಗಗಳು) , , , , , , .

ವಾಹಕದ (ಮುಖ್ಯ ಸೆಟ್), ಸಂಖ್ಯಾ ಕ್ಷೇತ್ರ (ಸಹಾಯಕ ಸೆಟ್) ಮತ್ತು ವಾಹಕದ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಎಂದು ರಚನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವಾಹಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಮುಖ್ಯ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕ ಸೆಟ್ಗಳ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. "ರಚನೆ" ಎಂಬ ಪದವು "ಸ್ಪೇಸ್" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಮತ್ತು ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅದರ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ (ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು) ವಾಹಕ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನೀವು ಮೊದಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು.

ವಾಹಕವು ನೈಜ (ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಬಹುದು: ಸಂಖ್ಯೆಗಳು; ವಾಹಕಗಳು,; ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್,; ಅನುಕ್ರಮಗಳು, ; ಕಾರ್ಯಗಳು;

ಕೆಳಗಿನ ಸೆಟ್‌ಗಳು ವಾಹಕದ ಅಂಶಗಳಾಗಿಯೂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು: ನೈಜ ಅಕ್ಷ, ಸಮತಲ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ (ಮತ್ತು ಬಹುಆಯಾಮದ) ಸ್ಥಳ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ, ಚಲನೆ; ಅಮೂರ್ತ ಸೆಟ್ಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎನ್ನುವುದು ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ M ನಿಂದ ಯಾವುದೇ x ಮತ್ತು y ಗೆ ಎರಡು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

• 1- ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ; , ನಲ್ಲಿ.
• 2- - ಸಮ್ಮಿತಿ;
• 3- - ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆಯ ಮೂಲತತ್ವ.

ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಾಹಕದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಸಾಮೀಪ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ನಿಜವಾದ ರೇಖೀಯ (ವೆಕ್ಟರ್) ಸ್ಥಳವು ಒಂದು ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎನ್ನುವುದು ಸೇರಿದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸಂಯೋಜಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮೂರನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಪರಿವರ್ತಕ ಆಸ್ತಿ.

ಸಹಾಯಕ ಆಸ್ತಿ.

ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಅಂಶವಿದೆ, ಅದು ಹೊಂದಿರುವಂತಹವುಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾರಾದರೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ, ಅಂತಹ.

ಅಂಶವನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ರೇಖೀಯ ಜಾಗದ ಒಂದು ಅಂಶ (ಪಾಯಿಂಟ್) ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಸ್ 1 - 4 ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು (ಸಂಯೋಜಕ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ರಚನೆಯಾಗಿದೆ.

ರಚನೆಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಯಾವುದೇ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ರಚನೆಯನ್ನು ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರಚನೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಕಳಪೆಯಾಗಿದೆ; ಇದು ಸಹವರ್ತಿತ್ವದ ಯಾವುದೇ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ರಚನೆಯನ್ನು ಮೊನೊಯ್ಡ್ (ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರಚನೆಯಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು 1-8 ಬಳಸಿ, ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಳವು ಒಂದು ಗುಂಪು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ, ಅದರ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ವಾಹಕದ ಅಂಶಗಳನ್ನು 4 ಮೂಲತತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಬದಲಿಗೆ, 4 ಮೂಲತತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ವಿತರಣೆಯ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರೆ, ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂಬ ರಚನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ರೇಖೀಯ ರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಳವು ಒಂದು ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:

• 1. ಮತ್ತು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ.
• 2. , .
• 3. , .

ಹೀಗೆ ಒಟ್ಟು 11 ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ರೂಢಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ರಚನೆಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಂತರ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಜಾಗವಾಗುತ್ತದೆ.

ರೂಢಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ: ಏಕರೂಪದ ಪೀನದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರ ರೂಪವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ , .

ಲೆಟ್, ನಂತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವ ಎರಡನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು (ಎರಡು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವು ಒಂದು ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ರೂಢಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:

• 4., ಮತ್ತು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ರೂಢಿಯು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ 1 - 4 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಇದು ರೂಢಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ತೃಪ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಢಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜಾಗದ ರೂಢಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ , .

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಗುಣಗಳು ರೇಖೀಯ ರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದಿರುವಂತೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ (ಅಂಶಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಸಮಾನತೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ನ ಗುರುತು, ಟಾಲೆಮಿಯ ಅಸಮಾನತೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಚಯವು ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ರೇಖೀಯ ರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಜಾಗದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಾರ್ಮ್-ಕನ್ವರ್ಜೆಂಟ್ (ಸರಳವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಂಶವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಮೂಲಭೂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದಾದರೂ ಯಾವುದಕ್ಕೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿದ್ದರೆ (ಟ್ರೆನೊಗಿನ್ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್, ಕಾಂಟೊರೊವಿಚ್, ಪುಟ 48)

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಬನಾಚ್ ಜಾಗವು ಒಂದು ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮವು ರೂಢಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎನ್ನುವುದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ರೂಢಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ.

ಅರೆ-ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಪ್ರಮಾಣವು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ವಿಭಾಗಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಮೀ -ಉದ್ದದ ಕೆಲವು ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳತೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೆಂ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರೇಖೀಯ ಮಾಪಕವನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ

ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ. ಈ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಬಿಂದುಗಳು ಸರಿಸುಮಾರು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಇದು ಅವಲಂಬನೆ ಎಂಬ ನಮ್ಮ ಊಹೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ವೈನಿಂದ Xಫಾರ್ಮ್ (4.4) ನ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎಮತ್ತು ಬಿನೀವು ಈಗ ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು: ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಥ್ರೆಡ್ ವಿಧಾನ, ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಪಾಯಿಂಟ್ ವಿಧಾನ, ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿ ವಿಧಾನ.

ಬಿಗಿಯಾದ ಥ್ರೆಡ್ ವಿಧಾನರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಆಯ್ದ ಅಂಕಗಳ ವಿಧಾನನಾವು ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ (ಪರಸ್ಪರ ದೂರ). ನಾವು ಈ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ( x, y) ನಂತರ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (4.4) ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸೂತ್ರದ ಅಂತಿಮ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ನೀವು ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ , ( x,y) ನೇರವಾಗಿ ಮೇಜಿನಿಂದ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರವು ಕಡಿಮೆ ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಾಗಿದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೇರ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಚಪ್ಪಟೆಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಧ್ಯಮ ವಿಧಾನ. ಇದು ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ (ಅಥವಾ ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ) ಅಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಂಕಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (4.4) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಶೇಷಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇ ಗುಂಪಿನ ಅಂಕಗಳಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ.

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಅಂದಾಜು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅರೆ-ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ ಪ್ಲಾಟ್ ರೂಪದ ಕಾರ್ಯವು (4.4) ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಕ್ರೋನೋಮೀಟರ್ ಚಾಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ತಾಪಮಾನದ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿಯೇ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ವಿಚಲನದಲ್ಲಿ . ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ವಾದವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ , ಅಲ್ಲಿ ಟಿ- ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿ ಸೆಲ್ಸಿಯಸ್ ತಾಪಮಾನ.

ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ ನಂತರ, ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಕರ್ವ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 4). ನಾವು ಅರೆ-ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ. ಈ ಅಂಕಗಳು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸೂತ್ರ

ರೂಪದಲ್ಲಿ (4.4) ಹುಡುಕಬಹುದು.

ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ ಎಮತ್ತು ಬಿಸರಾಸರಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ - ಮೊದಲ ಮೂರು ಅಂಕಗಳು, ಎರಡನೆಯದು - ಉಳಿದ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕಗಳು. ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (4.5) ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನ ಉಳಿಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.