ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಬಹಳಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಮಗಳ ಕಾನೂನುಗಳು ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಪೂರಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್

ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ - ಅದರ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮಿತಿ ಅಂಕಗಳು.ಹೀಗಾಗಿ, 3. m. ನ ಪೂರಕದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಆಂತರಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ 3. m. ಅನ್ನು ಮುಕ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. 3.m. ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ X ಆಗಿ ಜಾಗವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ (ಮುಚ್ಚಿದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ: ಎಲ್ಲಾ X ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ; ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ 3. ಮೀ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ; ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ 3. ಮೀ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

ಬೆಳಗಿದ: ಕುರಾಟೋವ್ಸ್ಕಿ ಕೆ., ಟೋಪೋಲಜಿ, [ಟ್ರಾನ್ಸ್. ಇಂಗ್ಲಿಷ್‌ನಿಂದ], ಸಂಪುಟ. 1, M., 1966.

A. A. ಮಾಲ್ಟ್ಸೆವ್.

ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ. - ಎಂ.: ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ. I. M. ವಿನೋಗ್ರಾಡೋವ್. 1977-1985.

ಇತರ ನಿಘಂಟುಗಳಲ್ಲಿ "ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್" ಏನೆಂದು ನೋಡಿ:

ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್- - [ಎಲ್.ಜಿ. ಸುಮೆಂಕೊ. ಮಾಹಿತಿ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಮೇಲೆ ಇಂಗ್ಲೀಷ್-ರಷ್ಯನ್ ನಿಘಂಟು. M.: ಸ್ಟೇಟ್ ಎಂಟರ್‌ಪ್ರೈಸ್ TsNIIS, 2003.] ವಿಷಯಗಳು ಮಾಹಿತಿ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ EN ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ... ತಾಂತ್ರಿಕ ಅನುವಾದಕರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ

"ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ" ಪದಕ್ಕೆ ಇತರ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ಜಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಪೂರಕವು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿವಿಡಿ 1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ 3 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ E ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತೆರೆದಿರುವ (ಮುಚ್ಚಿದ) ಸೆಟ್, ಒಂದು ಸೆಟ್ Mtopological. ಸ್ಪೇಸ್ X ಅಂದರೆ (ಓವರ್‌ಬಾರ್ ಎಂದರೆ ಮುಚ್ಚುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ). E ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯಲು (ಮುಚ್ಚಿದ) ಸಲುವಾಗಿ, ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು... ... ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಉಪವಿಭಾಗ ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ ಜಾಗ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ X ಮತ್ತು O.Z ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. m. ಎಲ್ಲಾ O. z ನ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ. ಮೀ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗವು....... ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

ಅಥವಾ ರೈಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಕ್ಯಾಟ್ಲೋಕಸ್ ಯಾವುದೇ ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗದ ಬಿಂದುಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಪರಿವಿಡಿ 1 ಉದಾಹರಣೆಗಳು ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಾಗಿ, ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪೇಸ್ (ಗಣಿತ) ಬಿರುಗಾಳಿ ಚರಂಡಿಯನ್ನು ನೋಡಿ ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ಪುಸ್ತಕಗಳು

• ಸಂಬಂಧಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಬುಲಿನ್ಸ್ಕಿ. ಮೊನೊಗ್ರಾಫ್ ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ಪರ್ಕೋಲೇಷನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ವಿಶಾಲ ವರ್ಗದ ಸ್ಟೋಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಮಾದರಿಗಳ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿದೆ.

ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಈಗ ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಪರಿಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ,

ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ P ಲೆಟ್ ರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮುಕ್ತ ಗಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ನಂತರ P ಯ ಕೆಲವು -ನೆರೆಹೊರೆ ಕೂಡ ಸೇರಿದೆ ಅದೇ P ಯ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಕೂಡ ಒಟ್ಟು g ಗೆ ಸೇರಿದೆ, ಇದರಿಂದ ಅದು g ಒಂದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ಅಂತಿಮ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

ಮತ್ತು P g ಗೆ ಸೇರಿರಲಿ. P ಯ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯು g ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಮೇಲಿನಂತೆ ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಪಿ ಜಿಗೆ ಸೇರಿರುವುದರಿಂದ, ಪಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸೇರಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ - ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳು, ನಂತರ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು -ನೆರೆಹೊರೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪರಿಮಿತವಾಗಿರುವ ಚಿಕ್ಕದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ P ನ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸೇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, g ಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಸೆಟ್ CF ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ CO ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. P CF ಗೆ ಸೇರಿರಲಿ. ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆ ಪಿ ಸಿಎಫ್ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. P ಯ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಬಿಂದುಗಳಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸದ P ಬಿಂದುವು F ಗೆ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ ಸೇರಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸ.

ಪ್ರಮೇಯ 3. ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೆಟ್ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ

ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು

ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಸೆಟ್‌ಗಳು ತೆರೆದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಮೂಲಕ ಸೆಟ್ ಕೂಡ ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೆಟ್ g ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 4. ಒಂದು ಸೆಟ್ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ:

ಇವುಗಳಿಂದ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಬಲದಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 4 ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್ g ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ M ನ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಿಸ್ಟಮ್ M ನಿಂದ ಸೆಟ್ g ಅನ್ನು ಆವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 5 (ಬೋರೆಲ್). ಒಂದು ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೆಟ್ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಸಿಸ್ಟಂ a ಓಪನ್ ಸೆಟ್ O ಯಿಂದ ಆವರಿಸಿದರೆ, ಈ ಅನಂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಆವರಿಸುವ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ನಾವು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿಲೋಮದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಆವರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಾವು ಇದನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. F ಒಂದು ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, F ನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ. ನಾವು ಈ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ, ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ನಾಲ್ಕು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಮುಚ್ಚಲು ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ನಾಲ್ಕು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವ ಎಫ್ ಬಿಂದುಗಳು, ಪ್ರಮೇಯ 2 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಿಂದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಮುಚ್ಚಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶವು ಸಂಭವಿಸುವ ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಲಾದ ನಾಲ್ಕು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಮತ್ತೆ ಈ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಕಾರಣವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನವು ಹಿಂದಿನ ಒಂದರ ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸನ್ನಿವೇಶವು ಹೊಂದಿದೆ: ಯಾವುದೇ k ಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ F ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಿಂದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಮುಚ್ಚಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎ. k ನಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು P ಗೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಕುಗ್ಗುತ್ತವೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಯಾವುದೇ k ಗೆ ಅವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ P ಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ F ಗೆ ಸೇರಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ F ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ P ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಸೇರಿದ ಕೆಲವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. P ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು-ನೆರೆಹೊರೆಯು ಸಹ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ O ಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತದೆ. k ನ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, D ಮಧ್ಯಂತರಗಳು P ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲಿನ-ನೆರೆಹೊರೆಯೊಳಗೆ ಬೀಳುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಇವುಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದರಿಂದ ಮಾತ್ರ ಆವರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ a ನ ಓಪನ್ ಸೆಟ್ O, ಮತ್ತು ಇದು ಯಾವುದೇ k ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು a ಗೆ ಸೇರಿದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಆವರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 6. ಒಂದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳಿಲ್ಲದೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅರ್ಧ-ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ-ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೀಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ನಾವು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಚೌಕಗಳ ಗ್ರಿಡ್ ಅನ್ನು ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಯ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಸೆಳೆಯೋಣ. ಈ ಚೌಕಗಳ ಸೆಟ್ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಚೌಕಗಳಿಂದ, ನಾವು ಆ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ, ಅವರ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ O ಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಅಥವಾ ಬಹುಶಃ ಅಂತಹ ಚೌಕಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಗ್ರಿಡ್‌ನ ಉಳಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚೌಕಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಒಂದೇ ಚೌಕಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹೊಸದಾಗಿ ಪಡೆದ ಚೌಕಗಳಿಂದ ನಾವು ಮತ್ತೆ O ಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಉಳಿದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚೌಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಮತ್ತೆ ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. O ಗೆ ಸೇರಿದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. O ಸೆಟ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದು P ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ, ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು O ಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, d ಎಂಬುದು P ನಿಂದ O ನ ಗಡಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂತರವಾಗಿರಲಿ. ಕರ್ಣೀಯವು ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಚೌಕಗಳನ್ನು ನಾವು ತಲುಪಿದಾಗ, ನಾವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ P ಈಗಾಗಲೇ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಬಿದ್ದಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪುಟಗಳು O ಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ. ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಅರ್ಧ-ತೆರೆದವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಆಗ ಅವು ಆಗುವುದಿಲ್ಲ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಆಯ್ದ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅರ್ಧ-ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಮಾಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆದ ಅರ್ಧ-ತೆರೆದ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಡಿಎಲ್ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ 1, 2, 3, 4, ..., ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಬಳಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ :

ಎನ್ = {1, 2, 3, 4, ..., ಎನ್, ...} .

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ನಿಯಮಗಳು

1. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಸಮಾನತೆ ನಿಜ ಎ + ಬಿ = ಬಿ + ಎ . ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಕಲನದ ಪರಿವರ್ತಕ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಸಮಾನತೆ ನಿಜ (ಎ + ಬಿ) + ಸಿ = ಎ + (ಬಿ + ಸಿ) . ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ (ಸಹಕಾರಿ) ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ನಿಯಮಗಳು

3. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಸಮಾನತೆ ನಿಜ ab = ಬಾ. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿವರ್ತಕ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

4. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಸಮಾನತೆ ನಿಜ (ಎಬಿ)ಸಿ = ಎ(ಬಿಸಿ) . ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂಯೋಜಿತ (ಸಹಕಾರಿ) ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

5. ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಸಮಾನತೆ ನಿಜ (ಎ + ಬಿ)ಸಿ = ac + ಕ್ರಿ.ಪೂ . ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ).

6. ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎಸಮಾನತೆ ನಿಜ ಎ*1 = ಎ. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸುವ ಅಥವಾ ಗುಣಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ, ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವಾಗ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಇದನ್ನು ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರಿಂದ ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 7 ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು; ಸಂಖ್ಯೆ 15 ಅನ್ನು 4 ರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು

ಮೊತ್ತದ ವಿಭಜನೆ.ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಮೊತ್ತವನ್ನು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿಭಜನೆ.ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಈ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನ 12*18 ಅನ್ನು 36 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ 12 ಅಥವಾ 18 ಅನ್ನು 36 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆ.ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು, ಅದರ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯು ಸಮವಾಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆ.ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು, ಅದರ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯು 0 ಅಥವಾ 5 ಆಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

10 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆ.ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 10 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು, ಘಟಕಗಳು 0 ಆಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆ.ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು, ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆಗಳು 00, 04, 08 ಆಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಬಹುದು 4.

2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆ (9 ರಿಂದ).ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 3 ರಿಂದ (9 ರಿಂದ) ಭಾಗಿಸಲು, ಅದರ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು 3 ರಿಂದ (9 ರಿಂದ) ಭಾಗಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್

ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಓ. ಅದರ ಮೇಲೆ ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಓ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡೋಣ ಎನಿರ್ದೇಶಾಂಕದೊಂದಿಗೆ 3. ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಘಟಕದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮೂರು ಬಾರಿ ಯೋಜಿಸೋಣ. ಓ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ. ನಂತರ ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎ", ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಎಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಓ. ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಎ"ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ - 3. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ನೀಡಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎನ್" :

ಎನ್" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

ನಾವು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ ಎನ್ , ಎನ್" ಮತ್ತು ಸಿಂಗಲ್ಟನ್ ಸೆಟ್ {0} , ನಂತರ ನಾವು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ Z ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು:

Z = {0} ∪ ಎನ್ ∪ ಎನ್" .

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮಗಳು ನಿಜ, ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಕಲನ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಎ - ಬಿ = ಎ + (- ಬಿ) ;

ಎ + (- ಎ) = 0 .

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್

ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಲು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿ- ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಪ್ರ :

.

ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು , ಅಲ್ಲಿ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಬಹುದು.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ನಿಯಮಗಳು

ಒಂದು ಭಾಗದ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ.ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ:

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವಾಗ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು.ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

.

ಅಂದರೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ (ಕಳೆಯುವಾಗ), ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ರೀತಿ:

ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ಸರಳವಾಗಿ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡಿ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು.ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಅಂದರೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಅಂಶವನ್ನು ಎರಡನೇ ಭಾಗದ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಹೊಸ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಎರಡನೇ ಭಾಗದ ಛೇದ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಭಾಗಿಸುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು.ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಅಂಶವನ್ನು ಎರಡನೇ ಭಾಗದ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಹೊಸ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಎರಡನೇ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು.ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಒಂದು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲು, ಅಂಶವನ್ನು ಆ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಆ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳು

ಪ್ರಮೇಯ.ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅವಧಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಎರಡು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ (ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಹ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಬಿಂದುಗಳು ಇರಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ವರ್ಗ 2 ಆಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಲ್ಲ. ವರ್ಗಗಳು 5, 7, 9 ಆಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು , ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿವೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಆರ್ .

ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಅನಂತ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಎಣಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಎಣಿಕೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ "ಚಿಕ್ಕ" ಅನಂತ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಅನಂತ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಿದೆ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗವು ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.

2. ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಕ್ಕೂಟವು ಎಣಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

3. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದು.

4. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸೆಟ್ ಎಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.

5. ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸೆಟ್ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಎಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅವಧಿ ರಿಂಗ್, ಕಂಪ್ಯೂಟಬಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂಕಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ.

(ನೈಜ = ನಿಜ - ನಮಗೆ ಹುಡುಗರಿಗೆ ಜ್ಞಾಪನೆ.)

R ಸೆಟ್ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಪ್ರಮೇಯ: ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: ½, 1/3, 0.5, 0.333.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: ಮೂಲ 2=1.4142356…, π=3.1415926…

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ R ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

1. ಇದನ್ನು ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ: ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು bಎರಡು ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಎ ಅಥವಾ a>b