ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಬಿಂದು. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ, ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ, ಗರಿಷ್ಠ, ಕನಿಷ್ಠ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಸೆರ್ಗೆ ನಿಕಿಫೊರೊವ್

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಫರಿತ್ ಯಮೇವ್ 26.10.2016 18:50

ನಮಸ್ಕಾರ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಗೆ (ಯಾವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ) ಹೇಳಬಹುದು. ಕಾರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಿ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಯಾರೊಬ್ಬರ ಹುಚ್ಚಾಟಿಕೆ ಮಾತ್ರ. ಯಾವ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ? ಮತ್ತು ಪುರಾವೆ ಕೂಡ. ಧನ್ಯವಾದಗಳು.

ಹೆಲ್ಪ್ ಡೆಸ್ಕ್

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ - ಅವೆಲ್ಲವೂ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿವೆ

ವ್ಲಾಡ್ಲೆನ್ ಪಿಸಾರೆವ್ 02.11.2016 22:21

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a;b) ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು a ಮತ್ತು b ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ. ಆ. ಪಾಯಿಂಟ್ x=2 ಅನ್ನು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಯಮದಂತೆ, ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯನ್ನು ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ x=2 ಹಂತದಲ್ಲಿಯೇ, ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅವರು ಹೆಚ್ಚಳದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಕಡಿಮೆ) ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವಾಗ, ನಾವು ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಪರೀತದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ (ಕಡಿಮೆ) ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ವಿವರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ.

ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಭಾಗಗಾಗಿ " ಮಧ್ಯಮ ಗುಂಪು ಶಿಶುವಿಹಾರ", ನಂತರ ಬಹುಶಃ ಅಂತಹ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ತುಂಬಾ ಹೆಚ್ಚು.

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ, "ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು" ಎಲ್ಲಾ ಸಿಬ್ಬಂದಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು - ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ.

ಸೆರ್ಗೆ ನಿಕಿಫೊರೊವ್

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ/ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ ಸರಳ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ದೊಡ್ಡ/ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು/ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಬಿಂದುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಐರಿನಾ ಇಶ್ಮಾಕೋವಾ 20.11.2017 11:46

ಶುಭ ಮಧ್ಯಾಹ್ನ. ಇಲ್ಲಿ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾದ ನಂಬಿಕೆಗಳನ್ನು ನಾನು ನೋಡುತ್ತೇನೆ. ನಾನು ಇದನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತೇನೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಆದರೆ ದಯವಿಟ್ಟು ಸಮಸ್ಯೆ 7089 ಗೆ ನಿಮ್ಮ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿ. ಅಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವಾಗ, ಗಡಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಇದು ಉತ್ತರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ. ಆ. 6429 ಮತ್ತು 7089 ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿವೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಿ.

ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಇವನೊವ್

ಕಾರ್ಯಗಳು 6429 ಮತ್ತು 7089 ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಬಗ್ಗೆ.

ಯಾವುದೇ ವಿರೋಧಾಭಾಸವಿಲ್ಲ.

ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಎ ಝಡ್ 28.01.2019 19:09

ಸಹೋದ್ಯೋಗಿಗಳು, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ

(ಉದಾಹರಣೆಗೆ Fichtenholtz ನೋಡಿ)

ಮತ್ತು x=2 ನಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳದ ನಿಮ್ಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಒಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ನಾನು ಈ ತತ್ವಕ್ಕೆ ಬದ್ಧವಾಗಿರಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ.

x=2 ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸೇರ್ಪಡೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ x=2 ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ತುದಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಇವನೊವ್

ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ y=f(x) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

x=2 ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (2; 6) ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ . ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಅನಗತ್ಯ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ ಮತ್ತು ಗಡಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡೋಣ [−5; 5] ಮತ್ತು x = -3 ಮತ್ತು x = 2.5 ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೊನ್ನೆಗಳು. ನಾವು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, x = −3 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಮೈನಸ್‌ನಿಂದ ಪ್ಲಸ್‌ಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಂಕಿಅಂಶವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ f(x) ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ [-3; 7]. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಕೇವಲ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ [-3; 7] ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಸೊನ್ನೆಗಳು x = -1.7 ಮತ್ತು x = 5. ಫಲಿತಾಂಶದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ x = 5 ನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ - ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಂಕಿ ಅಂಶವು f(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ [-6; 4]. ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ [-4; 3].

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಇದು ವಿಭಾಗದಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ [-4; 3]. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಸ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ ಅದರ ಮೇಲೆ ನಾವು ಗಡಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ [-4; 3] ಮತ್ತು ಅದರೊಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೊನ್ನೆಗಳು. ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಅಂಕಗಳು x = -3.5 ಮತ್ತು x = 2. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು x = 2 ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿಯೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಟಿಪ್ಪಣಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೊನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ x = -3.5 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದೇ ಯಶಸ್ಸಿನೊಂದಿಗೆ ನಾವು x = -3.4 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಸಂಕಲಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಉತ್ತರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಬಾರದು, ಏಕೆಂದರೆ "ನಿಶ್ಚಿತ ವಾಸಸ್ಥಳವಿಲ್ಲದೆ" ಅಂಕಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಭಾಗವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಟ್ರಿಕ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಂತೆ, ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವತಃ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ:

1. ಈ ವಿಭಾಗದಿಂದ x 1 ಮತ್ತು x 2 ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ f(x) ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಾದದ ಮೌಲ್ಯವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಈ ವಿಭಾಗದಿಂದ x 1 ಮತ್ತು x 2 ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). ಆ. ದೊಡ್ಡ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯವು ಚಿಕ್ಕ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ:

1. ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರವಾದ ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು , ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದು ಸಾಕು, ಅಂದರೆ. f'(x) ≥ 0.
2. ಒಂದು ನಿರಂತರವಾದ ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಲು , ವಿಭಾಗದ ಒಳಗಿನ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದು ಸಾಕು, ಅಂದರೆ. f'(x) ≤ 0.

ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದ ಈ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಹೀಗಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಒಂದು ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ:

1. ಎಲ್ಲಾ ಅನಗತ್ಯ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ.
2. ಸೊನ್ನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಅಲ್ಲಿ f'(x) ≥ 0, ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ f'(x) ≤ 0, ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊಸ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ.
3. ಈಗ ನಾವು ಕ್ರಿಯೆಯ ನಡವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಂಕಿಅಂಶವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ [-3; 7.5]. f(x) ಕಾರ್ಯದ ಇಳಿಕೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

ಎಂದಿನಂತೆ, ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಗಡಿಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ [-3; 7.5], ಹಾಗೆಯೇ x = -1.5 ಮತ್ತು x = 5.3 ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೊನ್ನೆಗಳು. ನಂತರ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ (− 1.5), ಇದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

ಕಾರ್ಯ. ಅಂಕಿ ಅಂಶವು f(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ [-10; 4]. f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

ಅನಗತ್ಯ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ. ನಾವು ಗಡಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡೋಣ [-10; 4] ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಸೊನ್ನೆಗಳು, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಇದ್ದವು: x = -8, x = -6, x = -3 ಮತ್ತು x = 2. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ:

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ f'(x) ≥ 0. ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಎರಡು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿವೆ: (-8; -6) ಮತ್ತು (-3; 2). ಅವುಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (-3) = 5.

ದೊಡ್ಡದಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು l 2 = 5 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಉತ್ತರವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ.

y=f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (-5; 6) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರವು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. x 1, x 2, ..., x 7 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ, ಕಂಡುಬರುವ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತತ್ವವು ಹೀಗಿದೆ: ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೂರು ಸಂಭವನೀಯ ನಡವಳಿಕೆಗಳಿವೆ:

1) ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ (ಅಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ)

2) ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವಾಗ (ಅಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ)

3) ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗದಿದ್ದಾಗ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿದ್ದಾಗ (ಅಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ)

ನಾವು ಮೂರನೇ ಆಯ್ಕೆಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

x 1 - ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f′(x) >0

x 2 - ಕಾರ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f ′(x) = 0

x 3 - ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿರಾಮವಿದೆ, ಅಂದರೆವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f ′(x) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ

x 4 - ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿರಾಮವಿದೆ, ಅಂದರೆವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f ′(x) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ

x 5 - ಉತ್ಪನ್ನ f′(x) = 0

x 6 - ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f′(x) >0

x 7 - ಕಾರ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆಉತ್ಪನ್ನ f′(x) = 0

ಎಫ್ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ x 2, x 5 ಮತ್ತು x 7 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ′(x) = 0, ಒಟ್ಟು 3 ಅಂಕಗಳು.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಕಷ್ಟಕರ ವಿಷಯಗಳುವಿ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಪ್ರತಿ ಪದವೀಧರರು ಉತ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ಲೇಖನವು ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದು ಮತ್ತು ಅದು ಏಕೆ ಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಸರಳ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.. ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಕಠಿಣತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಈಗ ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:

ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರವು ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಯೋಚಿಸುತ್ತೀರಿ?

ಉತ್ತರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ - ಮೂರನೆಯದು. ಇದು ಅತ್ಯಧಿಕ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ, ದೊಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ.

ಕೋಸ್ಟ್ಯಾ, ಗ್ರಿಶಾ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ವಿ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಪಡೆದರು. ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಅವರ ಆದಾಯ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿತು ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಗ್ರಾಫ್ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲವೇ? ಆರು ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಕೋಸ್ಟ್ಯಾ ಅವರ ಆದಾಯವು ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡಿದೆ. ಮತ್ತು ಗ್ರಿಶಾ ಅವರ ಆದಾಯವೂ ಹೆಚ್ಚಾಯಿತು, ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ. ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ವೆಯ ಆದಾಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಯಿತು. ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ, ಅಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನ, - ವಿಭಿನ್ನ. ಮ್ಯಾಟ್ವೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅವನ ಆದಾಯದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕು?

ನಾವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ನೋಡುತ್ತಿರುವುದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಎಷ್ಟು ಕಡಿದಾದ ಮೇಲೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಕೆಳಗೆ). ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, x ಬದಲಾದಂತೆ y ಎಷ್ಟು ಬೇಗನೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ? ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥವ್ಯುತ್ಪನ್ನ - ಅಂದರೆ, ಇದು ವೇಗವಾಗಿ ಅಥವಾ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗ್ರಾಫ್ ಬಳಸಿ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಾವು ನಿಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಮೇಲೆ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಇರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಎಷ್ಟು ಕಡಿದಾದ ಮೇಲೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರ ಮೌಲ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಸ್ಪರ್ಶ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದಂತೆ ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಯಾವುದು ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಒಂದೇ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗ್ರಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ. ಇದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಅದನ್ನು ಹುಡುಕೋಣ. ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಎದುರು ಭಾಗದ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಯ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ:

ಕ್ರಿಯೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿಯದೆಯೇ ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು. ಇದು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

.

ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ. ಇದು ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಪರ್ಶ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕ್ರಿಯೆಯ ವರ್ತನೆಗೆ ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಲಿ ಮತ್ತು ಇತರರಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಲಿ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ದರಗಳಲ್ಲಿ. ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಚೂಪಾದ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಚೂಪಾದ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು) ಮತ್ತು (ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು) ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸಮತಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಹ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪಾಯಿಂಟ್ - ಗರಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳವು ಇಳಿಕೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯು "ಪ್ಲಸ್" ನಿಂದ "ಮೈನಸ್" ಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಂತದಲ್ಲಿ - ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು - ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವೂ ಸಹ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯು "ಮೈನಸ್" ನಿಂದ "ಪ್ಲಸ್" ಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಗರಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು "ಪ್ಲಸ್" ನಿಂದ "ಮೈನಸ್" ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಕನಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್‌ನಿಂದ ಪ್ಲಸ್‌ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

ಎರಡು ಸಣ್ಣ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ. ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಿಮಗೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಇನ್ನೊಂದು - ಮೊದಲ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಗಂಭೀರವಾದ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ.

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದು :

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸಮತಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಿಂದುವಿನ ಮೊದಲು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಯಿತು - ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಅದು ಇದ್ದಂತೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಹ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾದಾಗ ಇದು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ವಿರಾಮಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲಕ ನೀಡದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ