ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣ. ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣ. ಎಕ್ಸೆಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ: ಎಕ್ಸಿಕ್ಯೂಶನ್ ಸೂಚನೆಗಳು ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಮಾದರಿಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು ಯಾವುವು?

ಹಿಂಜರಿತ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಶೋಧನಾ ವಿಧಾನಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ನಿಯತಾಂಕದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಇವು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಾಗಿವೆ.

ಕೆಳಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಈ ಎರಡು ಜನಪ್ರಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ನಾವು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್

ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳ (ಸ್ವತಂತ್ರ, ಸ್ವತಂತ್ರ) ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರ್ಥಿಕವಾಗಿ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿರುವ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಉದ್ಯಮಗಳು, ವೇತನಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅಥವಾ: ವಿದೇಶಿ ಹೂಡಿಕೆಗಳು, ಇಂಧನ ಬೆಲೆಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳು ಜಿಡಿಪಿ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತವೆ.

ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಆದ್ಯತೆಯ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಿ, ಯೋಜಿಸಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ವಹಣಾ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ.

ಹಿಂಜರಿತ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

ರೇಖೀಯ (y = a + bx);
ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ (y = a + bx + cx 2);
ಘಾತೀಯ (y = a * exp(bx));
ಶಕ್ತಿ (y = a * x ^b);
ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ (y = b/x + a);
ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ (y = b * 1n (x) + a);
ಘಾತೀಯ (y = a * b^x).

ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ರೇಖೀಯ ಪ್ರಕಾರದ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಕಾರ್ಯ. 6 ಉದ್ಯಮಗಳಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ಮಾಸಿಕ ವೇತನ ಮತ್ತು ತ್ಯಜಿಸುವ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಾಸರಿ ಸಂಬಳದ ಮೇಲೆ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

Y = a 0 + a 1 x 1 +…+a k x k.

ಅಲ್ಲಿ a ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು, x ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುತ್ತವೆ, k ಎಂಬುದು ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, Y ಎನ್ನುವುದು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳನ್ನು ತೊರೆಯುವ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುವ ಅಂಶವೆಂದರೆ ವೇತನ (x).

ಎಕ್ಸೆಲ್ ಅಂತರ್ನಿರ್ಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ "ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಪ್ಯಾಕೇಜ್" ಆಡ್-ಆನ್ ಇದನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಶಕ್ತಿಯುತ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಾಧನವನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ, ಆಡ್-ಆನ್ ಡೇಟಾ ಟ್ಯಾಬ್‌ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಆರ್-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡುತ್ತೇವೆ.

R- ವರ್ಗವು ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ - 0.755, ಅಥವಾ 75.5%. ಇದರರ್ಥ ಮಾದರಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ 75.5% ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಯದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಾಂಕ, ಉತ್ತಮ ಮಾದರಿ. ಒಳ್ಳೆಯದು - 0.8 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು. ಕೆಟ್ಟದು - 0.5 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ (ಅಂತಹ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸಮಂಜಸವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ). ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ - "ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲ".

ಗುಣಾಂಕ 64.1428 ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳು 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ Y ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸದ ಇತರ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗುಣಾಂಕ -0.16285 Y ನಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ನ ತೂಕವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ಮಾದರಿಯೊಳಗಿನ ಸರಾಸರಿ ಮಾಸಿಕ ವೇತನವು -0.16285 ತೂಕದೊಂದಿಗೆ ತ್ಯಜಿಸುವವರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ (ಇದು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ಪ್ರಭಾವ). "-" ಚಿಹ್ನೆಯು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಕೆಟ್ಟ ಪ್ರಭಾವ: ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಬಳ, ಕಡಿಮೆ ಜನರು ಬಿಡುತ್ತಾರೆ. ಯಾವುದು ನ್ಯಾಯೋಚಿತ.

ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಕಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಬಂಧವಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಂತ್ರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯ ಮತ್ತು ರಿಪೇರಿ ವೆಚ್ಚ, ಸಲಕರಣೆಗಳ ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಅವಧಿ, ಮಕ್ಕಳ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ತೂಕ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸಂಪರ್ಕವಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳವು ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ (ಧನಾತ್ಮಕ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ) ಅಥವಾ ಇಳಿಕೆಗೆ (ನಕಾರಾತ್ಮಕ) ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಒಂದು ಸೂಚಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ವಿಶ್ಲೇಷಕರಿಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು r ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. +1 ರಿಂದ -1 ವರೆಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕ 0 ಆಗಿರುವಾಗ, ಮಾದರಿಗಳ ನಡುವೆ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಎಕ್ಸೆಲ್ ಬಳಸಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, CORREL ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದ್ದೇಶ: ಲೇಥ್ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ವಹಣೆಯ ವೆಚ್ಚದ ನಡುವೆ ಸಂಬಂಧವಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಕರ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಕೋಶದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ಮತ್ತು fx ಬಟನ್ ಒತ್ತಿರಿ.

"ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, CORREL ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.
ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ "ಅರೇ 1" - ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊದಲ ಶ್ರೇಣಿ - ಯಂತ್ರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯ: A2:A14.
ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ "ಅರೇ 2" - ಮೌಲ್ಯಗಳ ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿ - ದುರಸ್ತಿ ವೆಚ್ಚ: B2:B14. ಸರಿ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ.

ಸಂಪರ್ಕದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ಗುಣಾಂಕದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡಬೇಕು (ಪ್ರತಿ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ).

ಹಲವಾರು ನಿಯತಾಂಕಗಳ (2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು) ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ, "ಡೇಟಾ ಅನಾಲಿಸಿಸ್" ("ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಪ್ಯಾಕೇಜ್" ಆಡ್-ಆನ್) ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರಚನೆಯನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ:

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಈ ಎರಡು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:

ಈಗ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಡೇಟಾ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ.

ತಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಆಗಾಗ್ಗೆ ವಿವಿಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು - ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣ - ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಣಿತದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು. ಈ ರೀತಿಯಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಿಂಜರಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹಿಂಜರಿತವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮಾಣದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಡೇಟಾದ ಗುಂಪಿನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ, ಮತ್ತೊಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣ y = x, ಇದರಲ್ಲಿ y ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು x ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿ (ಫೀಚರ್-ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್) ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು y = f (x) ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಯಾವುವು?

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರಡು ವಿರುದ್ಧವಾದ ಸಂಬಂಧಗಳಿವೆ: ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿತ.

ಮೊದಲನೆಯದು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಯಾವ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಖಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನತೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಯಾವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ವಿವರಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಷರತ್ತುಗಳು ಹೇಳಿದರೆ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಪ್ರಕಾರದ ಸಂಪರ್ಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಯಾವ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹಿಂಜರಿತದ ವಿಧಗಳು

ಇಂದು, 7 ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ಹಿಂಜರಿತಗಳಿವೆ: ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್, ರೇಖೀಯ, ಬಹು, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ, ಜೋಡಿಯಾಗಿ, ವಿಲೋಮ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೇಖೀಯ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್, ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್

ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು y = c+t*x+E ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಯಮಿತ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ y = c + m / x + E ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ: y = ರಲ್ಲಿ ಸಿ + ಮೀ * x + ನಲ್ಲಿ ಇ.

ಬಹು ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ

ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಧಗಳುಹಿಂಜರಿತವು ಬಹು ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದದು. ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು y = f(x 1, x 2 ... x c) + E ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, y ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು x ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. E ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸ್ಥಾಪಿತವಾಗಿದೆ; ಇದು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿವಾದಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಒಂದೆಡೆ, ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸೂಚಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಪಾತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇದು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ.

ವಿಲೋಮ ಮತ್ತು ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ರಿಗ್ರೆಶನ್‌ಗಳ ವಿಧಗಳು

ವಿಲೋಮವು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳುಇದು y = 1/c + m*x+E ಕಾರ್ಯದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. y = f (x) + E ಯ ಕಾರ್ಯದಂತೆ ದತ್ತಾಂಶದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ, y x ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು E ಒಂದು ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಇದು ಎರಡು ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧದ ಬಲವನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಮೌಲ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [-1;+1] ಏರಿಳಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸೂಚಕವು ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ, ಧನಾತ್ಮಕ - ನೇರ ರೇಖೆಯ ಬಗ್ಗೆ. ಗುಣಾಂಕವು 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ಮೌಲ್ಯವು 1 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಿಯತಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಬಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ; 0 ಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ, ಅದು ದುರ್ಬಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಧಾನಗಳು

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿಧಾನಗಳು ಸಂಬಂಧದ ಬಲವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ವಿತರಣಾ ಅಂದಾಜಿನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಅವಲಂಬನೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಮತ್ತು ಆಯ್ದ ಸಂಬಂಧ ಸೂತ್ರದ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕ ಗುರುತಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಬೇಕು. ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಆಯತಾಕಾರದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬೇಕು. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಹೇಗೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಿವರಿಸುವ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅವಲಂಬಿತ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯತಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧವಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಡೇಟಾದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವು 30% ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಂಪರ್ಕದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ಇದು 30% ಮತ್ತು 70% ರ ನಡುವೆ ಇದ್ದರೆ, ಇದು ಮಧ್ಯಮ-ಹತ್ತಿರದ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. 100% ಸೂಚಕವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಂಪರ್ಕದ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ.

ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯ ಒಂದರಂತೆಯೇ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ (R) ಪೂರಕವಾಗಿರಬೇಕು.

ಬಹು ಹಿಂಜರಿತಕ್ಕೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ

ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವು ಬಹು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ವರ್ಗದ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ. ಅವರು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಸೂಚಕಗಳ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ಈ ಸೂಚಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಬಹು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಅದರ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಕಡಿಮೆ ಚೌಕ ವಿಧಾನ

ಈ ವಿಧಾನವು ಹಿಂಜರಿತದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲಿನ ಅಂಶದ ಅವಲಂಬನೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆದ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಇದರ ಸಾರ.

ಅಂತಹ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಸೂಚಕಗಳ ನಡುವೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪತ್ತೆ ಮಾಡಿದಾಗ ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು

ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಯತಾಂಕವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: c ಮತ್ತು m. m ನಿಯತಾಂಕವು y ಕಾರ್ಯದ ಅಂತಿಮ ಸೂಚಕದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ x ಒಂದು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಘಟಕದಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ). ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಸಿ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ x ಶೂನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಿ ಅಂಶವು ಆರ್ಥಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲಿನ ಏಕೈಕ ಪ್ರಭಾವವೆಂದರೆ ಸಿ ಅಂಶದ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಚಿಹ್ನೆ. ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಇದ್ದರೆ, ಅಂಶಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ನಿಧಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಪ್ಲಸ್ ಇದ್ದರೆ, ಇದು ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ವೇಗವರ್ಧಿತ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಿ ಅಂಶವು c = y - mx ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಗುಂಪು ಮಾಡಿದ ಡೇಟಾ

ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು x ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಕಾರ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿಗೆ ಅವಲಂಬಿತ ಸೂಚಕದ ಅನುಗುಣವಾದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು x ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸೂಚಕವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗುಂಪು ಮಾಡಿದ ಮಾಹಿತಿಯು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವಿಧಾನವು ಅದರ ನ್ಯೂನತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಸರಾಸರಿ ಸೂಚಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯ ಏರಿಳಿತಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಏರಿಳಿತಗಳು ಸಂಬಂಧದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಅವರು ಅದರ "ಶಬ್ದವನ್ನು" ಮರೆಮಾಚುತ್ತಾರೆ. ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಕೆಟ್ಟ ಸಂಬಂಧದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸರಾಸರಿಗಳು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ವೈಯಕ್ತಿಕ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಗುಂಪಿನೊಳಗೆ y ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮುಂದೆ, ನೀವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಸೂಚಕ y ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಮೊತ್ತ ಸೂಚಕ xy ನೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳಿಗೆ (ಗುಂಪಿನೊಳಗೆ) ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಂತೆ ನಾವು x ಸೂಚಕವನ್ನು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. x ಮತ್ತು y ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಅದನ್ನು y ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಮುಂದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ xy ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಹು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣ: ಸಂಬಂಧದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು

ಮೊದಲೇ ಚರ್ಚಿಸಿದಂತೆ, ಬಹು ಹಿಂಜರಿತವು y = f (x 1,x 2,…,x m)+E ರೂಪದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಪೂರೈಕೆ ಮತ್ತು ಬೇಡಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮರುಖರೀದಿ ಮಾಡಿದ ಷೇರುಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಡ್ಡಿ ಆದಾಯ ಮತ್ತು ಉತ್ಪಾದನಾ ವೆಚ್ಚದ ಕಾರ್ಯದ ಕಾರಣಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಸ್ಥೂಲ ಆರ್ಥಿಕ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಹು ಹಿಂಜರಿತದ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡೇಟಾದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಮಾಡೆಲ್ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಸೂಚಕ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ. ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವು ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು, ಎರಡು ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ.

ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ: y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2,+ ... + a m x m. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, a2, a m ಅನ್ನು "ಶುದ್ಧ" ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಸೂಚಕಗಳ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ x ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟಕದಿಂದ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ (ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಳ) ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ y ನಲ್ಲಿನ ಸರಾಸರಿ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಅವು ಅವಶ್ಯಕ.

ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳು y=ax 1 b1 x 2 b2 ...x m bm ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೂಚಕಗಳು b 1, b 2 ..... b m ಅನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂಚಕ x ನಲ್ಲಿ 1% ರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳ (ಕಡಿಮೆ) ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ಎಷ್ಟು%) ಮತ್ತು ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಸ್ಥಿರ ಸೂಚಕದೊಂದಿಗೆ.

ಬಹು ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಯಾವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು

ಬಹು ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಯಾವ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷ ಗಮನ ನೀಡಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಆರ್ಥಿಕ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಏನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಸ್ವಲ್ಪ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಸೇರಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು:

ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮಾಪನಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರಬೇಕು. ವಸ್ತುವಿನ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಲು, ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದಕ್ಕೆ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡಬೇಕು.
ಅಂಶಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಅಥವಾ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧ ಇರಬಾರದು. ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗದ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ - ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಬೇಷರತ್ತಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅದರ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಬೃಹತ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚಕದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೂಚಕದ ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ನಿರ್ಮಾಣ ವಿಧಾನಗಳು

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳ ಬೃಹತ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ:

ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ವಿಧಾನ.
ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ವಿಧಾನ.
ಹಂತ ಹಂತದ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ.

ಮೊದಲ ವಿಧಾನವು ಒಟ್ಟು ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವು ಅನೇಕ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸರಿ, ಮೂರನೆಯದು ಈ ಹಿಂದೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬಳಸಿದ ಅಂಶಗಳ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧಾನಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಹಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವರು ತಮ್ಮ ಬಾಧಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ಅವರೆಲ್ಲರೂ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಗತ್ಯ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ನಿಯಮದಂತೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ.

ಬಹುವಿಧದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ವಿಧಾನಗಳು

ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಇಂತಹ ವಿಧಾನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಪರಿಗಣನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ತಾರತಮ್ಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಆಕಾರ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ, ಪ್ರಧಾನ ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸೇರಿವೆ. ಇದರ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂಶದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯೂ ಇದೆ, ಆದರೆ ಘಟಕ ವಿಧಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಿಂದಾಗಿ ಇದು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಇವೆಲ್ಲವೂ ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.

ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟುವಿಕೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಟೋಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಅವಲಂಬನೆಗಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸರಾಸರಿ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ X i , ಮತ್ತು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ y -ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ (ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ);

X i - ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು (ಅಂಶಗಳು) (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಇರಬಹುದು).

ಒಂದೇ ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಇದ್ದರೆ, ಇದು ಸರಳವಾದ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಇದ್ದರೆ ( ಪ 2), ನಂತರ ಅಂತಹ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಮಲ್ಟಿಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ:

ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ. ಫಲಿತಾಂಶ ಸೂಚಕ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು X 1 , X 2 , …, X ಎನ್ .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ, ಅಂದರೆ. ಎಷ್ಟು ಆಯ್ದ ಅಂಶ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಯು.

ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಯೋಜನೆಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ನಿಯಂತ್ರಕ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಬಂಧವಿದೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಅದರ ಔಪಚಾರಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರೆ, ನಂತರ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಸಂಬಂಧ.

ರಿಗ್ರೆಶನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಹಲವಾರು ವಿಶೇಷ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, Xಎಲ್ ,X 2 ,...,X ಎನ್ ;ವೈಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಬೇಕು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). IN ನಿಜ ಜೀವನಹಿಂಜರಿಕೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅನುಸರಣೆ ಬಹಳ ಅಪರೂಪ, ಆದರೆ ಈ ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳು ಆರ್ಥಿಕ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅವಲಂಬನೆಗಳು ನೇರವಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿಲೋಮ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಅವಲಂಬನೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಚೌಕಗಳು, ಇದರ ಸಾರವು ಅದರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು, ಅಂದರೆ:

ಎಲ್ಲಿ ಟಿ -ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

ಜ =a+b 1 X 1 ಜ +b 2 X 2 ಜ + ... + ಬಿ ಎನ್ X ಎನ್ ಜ - ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಶದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯ.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅಥವಾ ವಿಶೇಷ ಹಣಕಾಸು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪ್ಯಾಕೇಜ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಏಕರೂಪದ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣರೂಪದ ಹಿನ್ನಡೆಗಳು y = a + bxಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಬಹುಆಯಾಮದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸುವ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡಲು (ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್) ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳ ಬಹುಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿ ಘಟಕದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವೀಕ್ಷಣೆ, ಹಲವಾರು ಸೂಚಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಈ ಸೂಚಕಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಇವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಹುಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಆರ್ಮತ್ತು qಜೊತೆಗೆ ಕೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್‌ಗೆ ಮುಖ್ಯ ಮಾನದಂಡವೆಂದರೆ ಕ್ಲಸ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಒಂದೇ ಕ್ಲಸ್ಟರ್‌ಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಲಾದ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ. ಬಹು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು:

ಎಲ್ಲಿ ಆರ್ 1, 2 - ಸಮೂಹಗಳು 1 ಮತ್ತು 2 ನಡುವಿನ ಅಂತರ.

ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಂತೆಯೇ, ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಶ್ರಮದಾಯಕವಾಗಿದೆ; ಅದನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶಸಂವಹನದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಭಾವದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುವ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು:
a) ಅವಲಂಬನೆಯ ರೂಪವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು. ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಸ್ವರೂಪಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಯ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.
ಬಿ) ಒಂದು ರೀತಿಯ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೇಲೆ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು.
ಸಿ) ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂದಾಜು. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ, ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ) ಅಥವಾ ನಿಗದಿತ ಮಧ್ಯಂತರದ ಹೊರಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು (ಅಂದರೆ, ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾಪೋಲೇಷನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ). ಫಲಿತಾಂಶವು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯದ ಅಂದಾಜು.

ಜೋಡಿಯಾದ ಹಿಂಜರಿಕೆಯು ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ y ಮತ್ತು x: y=f(x), ಇಲ್ಲಿ y ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ (ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣ); x ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ-ಅಂಶ).

ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಳು ಇವೆ.
ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್: y = a + bx + ε
ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಳು, ಆದರೆ ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಳು.
ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಳು:

ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಳು:

ಶಕ್ತಿ y=a x b ε
ಘಾತೀಯ y=a b x ε
ಘಾತೀಯ y=e a+b x ε

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಅದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬರುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ರಿಗ್ರೆಶನ್‌ಗಳ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು, ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು (OLS) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವು ಅಂತಹ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ y x ನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣ y ಯ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

.
ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು a ಮತ್ತು b ಗಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವ ಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು:

ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ (-1≤r xy ≤1):

ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕ p xy - ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಾಗಿ (0≤p xy ≤1):

ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಮಾದರಿಯ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ (ಸೂಚ್ಯಂಕ) ಮತ್ತು ಅಂದಾಜಿನ ಸರಾಸರಿ ದೋಷದಿಂದ ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷ - ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನ:

.
A ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಮತಿಸುವ ಮಿತಿಯು 8-10% ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ.
ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕ ಇ ಅದರ ಒಟ್ಟು ಫಲಿತಾಂಶವು ಸರಾಸರಿ ಎಷ್ಟು ಶೇಕಡಾವಾರು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಸರಾಸರಿ ಅಳತೆಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ x ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ 1% ರಷ್ಟು ಬದಲಾದಾಗ:
.

ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ:
∑(y-y )²=∑(y x -y )²+∑(y-y x)²
ಇಲ್ಲಿ ∑(y-y)² ಎಂಬುದು ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ;
∑(y x -y)² - ಹಿಂಜರಿತದ ಕಾರಣದ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತ ("ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ" ಅಥವಾ "ಅಪವರ್ತನೀಯ");
∑(y-y x)² - ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳ ಉಳಿದ ಮೊತ್ತ.
ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ y ನ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪಾಲನ್ನು ನಿರ್ಣಯದ R2 ನ ಗುಣಾಂಕ (ಸೂಚ್ಯಂಕ) ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವು ಗುಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ.

ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆ - ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು - ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅತ್ಯಲ್ಪತೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧದ ನಿಕಟತೆಯ ಸೂಚಕದ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಯ No ಅನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಿಜವಾದ ಎಫ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮತ್ತು ಫಿಶರ್ ಎಫ್ ಮಾನದಂಡದ ನಿರ್ಣಾಯಕ (ಟ್ಯಾಬ್ಯುಲರ್) ಎಫ್ ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಫ್ ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು, ಒಂದು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ:
,
ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; m ಎಂಬುದು ಅಸ್ಥಿರ x ಗಾಗಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಎಫ್ ಕೋಷ್ಟಕವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ a. ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟ a ಎಂಬುದು ಸರಿಯಾದ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ, ಅದು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ a ಅನ್ನು 0.05 ಅಥವಾ 0.01 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಎಫ್ ಟೇಬಲ್ ವೇಳೆ< F факт, то Н о - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F табл >ಎಫ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಂತರ ಊಹೆಯನ್ನು H o ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅತ್ಯಲ್ಪತೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಹಿಂಜರಿತ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು, ಪ್ರತಿ ಸೂಚಕಕ್ಕೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಚಕಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ವಭಾವದ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ಮುಂದಿಡಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಅವರ ಅತ್ಯಲ್ಪ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಬಗ್ಗೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಂಜರಿಕೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ದೋಷದ ಪ್ರಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ:
; ; .
ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ದೋಷಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಟಿ-ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ನಿಜವಾದ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ (ಕೋಷ್ಟಕ) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ - ಟಿ ಟೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಟಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟ್ - ನಾವು ಊಹೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಫಿಶರ್ ಎಫ್-ಟೆಸ್ಟ್ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಟಿ-ಅಂಕಿಅಂಶದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಟಿ ಟೇಬಲ್ ವೇಳೆ< t факт то H o отклоняется, т.е. a , b и r xy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если t табл >t ಎಂಬುದು ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು a, b ಅಥವಾ r xy ರಚನೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.
ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಸೂಚಕಕ್ಕೆ ಗರಿಷ್ಠ ದೋಷ ಡಿ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:
Δ a = t ಟೇಬಲ್ m a , Δ b = t ಟೇಬಲ್ m b .
ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:
γ a = aΔ a ; γ a = a-Δ a ; γ a = a+Δa
γ b =bΔ b; γ b =b-Δ b ; γ b =b+Δ b
ಶೂನ್ಯವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಮುನ್ಸೂಚನೆಯ ಮೌಲ್ಯ y p ಅನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ (ಮುನ್ಸೂಚನೆ) ಮೌಲ್ಯ x p ಅನ್ನು ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ y x =a+b·x ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುನ್ಸೂಚನೆ m y x ನ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:
,
ಎಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ:
γ y x =y p Δ y p ; γ y x min=y p -Δ y p ; γ y x max=y p +Δ y p
ಅಲ್ಲಿ Δ y x =t ಟೇಬಲ್ m y x.

ಉದಾಹರಣೆ ಪರಿಹಾರ

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1. 199X ನಲ್ಲಿ ಉರಲ್ ಪ್ರದೇಶದ ಏಳು ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ, ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ.
ಕೋಷ್ಟಕ 1.

ಅಗತ್ಯವಿದೆ: 1. x ಮೇಲೆ y ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:
ಎ) ರೇಖೀಯ;
ಬಿ) ಶಕ್ತಿ (ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಮೊದಲು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ರೇಖೀಯೀಕರಣದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು);
ಸಿ) ಪ್ರದರ್ಶನಾತ್ಮಕ;
d) ಸಮಬಾಹು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ (ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪೂರ್ವ ರೇಖಾತ್ಮಕಗೊಳಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ).
2. ಅಂದಾಜು ಎ ಮತ್ತು ಫಿಶರ್ಸ್ ಎಫ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸರಾಸರಿ ದೋಷದ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ (ಆಯ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1)

ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ a ಮತ್ತು b ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು y=a+b·x (ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು).
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಎಮತ್ತು ಬಿ:

ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ∑y, ∑x, ∑y x, ∑x², ∑y² ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

	ವೈ	X	yx	x 2	ವೈ 2	y x	y-y x	ಎ ಐ
ಎಲ್	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733,44	61,3	7,5	10,9
2	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44	56,5	4,7	7,7
3	59,9	57,2	3426,28	3271,84	3588,01	57,1	2,8	4,7
4	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	55,5	1,2	2,1
5	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00	56,5	-1,5	2,7
6	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948,49	60,5	-6,2	11,4
7	49,3	55,2	2721,36	3047,04	2430,49	57,8	-8,5	17,2
ಒಟ್ಟು	405,2	384,3	22162,34	21338,41	23685,76	405,2	0,0	56,7
ಬುಧವಾರ. ಅರ್ಥ (ಒಟ್ಟು/ಎನ್)	57,89 ವೈ	54,90 X	3166,05 x ವೈ	3048,34 x²	3383,68 y²	X	X	8,1
ರು	5,74	5,86	X	X	X	X	X	X
ರು 2	32,92	34,34	X	X	X	X	X	X

a=y -b x = 57.89+0.35 54.9 ≈ 76.88

ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣ: y = 76,88 - 0,35X.ಸರಾಸರಿ ದೈನಂದಿನ ವೇತನದಲ್ಲಿ 1 ರಬ್ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ. ಆಹಾರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಖರೀದಿಯ ವೆಚ್ಚದ ಪಾಲು ಸರಾಸರಿ 0.35 ಶೇಕಡಾವಾರು ಅಂಕಗಳಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಸಂಪರ್ಕವು ಮಧ್ಯಮ, ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ.
ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ: r² xy =(-0.35)=0.127
ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿನ 12.7% ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು x ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು X y x ನ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ (ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷ A ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಸರಾಸರಿ, ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ 8.1% ರಷ್ಟು ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ಎಫ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಅವಲಂಬನೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ವಭಾವ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅತ್ಯಲ್ಪತೆ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕದ ನಿಕಟತೆಯ ಸೂಚಕದ ಬಗ್ಗೆ H 0 ಊಹೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
1b. y=a·x b ಪವರ್ ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ಮಾಣವು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ರೇಖೀಯೀಕರಣದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದಿಂದ ಮುಂಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯೀಕರಣವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
lg y=lg a + b lg x
Y=C+b·Y
ಅಲ್ಲಿ Y=log(y), X=log(x), C=log(a).

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿನ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. 1.3.
ಕೋಷ್ಟಕ 1.3

	ವೈ	X	YX	Y2	X 2	y x	y-y x	(y-y x)²	ಎ ಐ
1	1,8376	1,6542	3,0398	3,3768	2,7364	61,0	7,8	60,8	11,3
2	1,7868	1,7709	3,1642	3,1927	3,1361	56,3	4,9	24,0	8,0
3	1,7774	1,7574	3,1236	3,1592	3,0885	56,8	3,1	9,6	5,2
4	1,7536	1,7910	3,1407	3,0751	3,2077	55,5	1,2	1,4	2,1
5	1,7404	1,7694	3,0795	3,0290	3,1308	56,3	-1,3	1,7	2,4
6	1,7348	1,6739	2,9039	3,0095	2,8019	60,2	-5,9	34,8	10,9
7	1,6928	1,7419	2,9487	2,8656	3,0342	57,4	-8,1	65,6	16,4
ಒಟ್ಟು	12,3234	12,1587	21,4003	21,7078	21,1355	403,5	1,7	197,9	56,3
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ	1,7605	1,7370	3,0572	3,1011	3,0194	X	X	28,27	8,0
σ	0,0425	0,0484	X	X	X	X	X	X	X
σ 2	0,0018	0,0023	X	X	X	X	X	X	X

ಸಿ ಮತ್ತು ಬಿ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

C=Y -b·X = 1.7605+0.298·1.7370 = 2.278126
ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: Y=2.278-0.298 X
ಅದರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: y=10 2.278 ·x -0.298
ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು X,ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಗಿತ - ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕ p xy ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷ ಎ.

ಪವರ್-ಲಾ ಮಾದರಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಉತ್ತಮವಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

1c. ಘಾತೀಯ ಕರ್ವ್ y=a·b x ನ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ಮಾಣವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ರೇಖೀಯೀಕರಣದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದಿಂದ ಮುಂಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಲಾಗ್ y=log a + x ಲಾಗ್ ಬಿ
Y=C+B x
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಟೇಬಲ್ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

	ವೈ	X	Yx	Y2	x 2	y x	y-y x	(y-y x)²	ಎ ಐ
1	1,8376	45,1	82,8758	3,3768	2034,01	60,7	8,1	65,61	11,8
2	1,7868	59,0	105,4212	3,1927	3481,00	56,4	4,8	23,04	7,8
3	1,7774	57,2	101,6673	3,1592	3271,84	56,9	3,0	9,00	5,0
4	1,7536	61,8	108,3725	3,0751	3819,24	55,5	1,2	1,44	2,1
5	1,7404	58,8	102,3355	3,0290	3457,44	56,4	-1,4	1,96	2,5
6	1,7348	47,2	81,8826	3,0095	2227,84	60,0	-5,7	32,49	10,5
7	1,6928	55,2	93,4426	2,8656	3047,04	57,5	-8,2	67,24	16,6
ಒಟ್ಟು	12,3234	384,3	675,9974	21,7078	21338,41	403,4	-1,8	200,78	56,3
ಬುಧವಾರ. zn.	1,7605	54,9	96,5711	3,1011	3048,34	X	X	28,68	8,0
σ	0,0425	5,86	X	X	X	X	X	X	X
σ 2	0,0018	34,339	X	X	X	X	X	X	X

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು A ಮತ್ತು INಮೊತ್ತ:

A=Y -B x = 1.7605+0.0023 54.9 = 1.887
ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ: Y=1.887-0.0023x. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಸಮರ್ಥಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:
y x =10 1.887 10 -0.0023x = 77.1 0.9947 x
ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕ p xy ಮೂಲಕ ಸಂಪರ್ಕದ ನಿಕಟತೆಯನ್ನು ನಾವು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡೋಣ:

3588,01 56,9 3,0 9,00 5,0 4 56,7 0,0162 0,9175 0,000262 3214,89 55,5 1,2 1,44 2,1 5 55 0,0170 0,9354 0,000289 3025,00 56,4 -1,4 1,96 2,5 6 54,3 0,0212 1,1504 0,000449 2948,49 60,8 -6,5 42,25 12,0 7 49,3 0,0181 0,8931 0,000328 2430,49 57,5 -8,2 67,24 16,6 ಒಟ್ಟು405,2 0,1291 7,5064 0,002413 23685,76 405,2 0,0 194,90 56,5 ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ57,9 0,0184 1,0723 0,000345 3383,68 XX27,84 8,1 σ 5,74 0,002145 XXXXXXX σ 232,9476 0,000005 XX

ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಾಗಿದೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯತಾಂಕದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಸಂಶೋಧನೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪೂರ್ವ ಯುಗದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಬಳಕೆಯು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿತ್ತು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಡೇಟಾಗೆ ಬಂದಾಗ. ಇಂದು, ಎಕ್ಸೆಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಎಂದು ಕಲಿತ ನಂತರ, ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೇವಲ ಒಂದೆರಡು ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಕೆಳಗೆ ಇವೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ.

ಹಿಂಜರಿತದ ವಿಧಗಳು

ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು 1886 ರಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಹಿಂಜರಿತ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

ರೇಖೀಯ;
ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್;
ನಿದ್ರಾಜನಕ;
ಘಾತೀಯ;
ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್;
ಪ್ರದರ್ಶನಾತ್ಮಕ;
ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್.

ಉದಾಹರಣೆ 1

6 ಕೈಗಾರಿಕಾ ಉದ್ಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವೇತನವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿದ ತಂಡದ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಕಾರ್ಯ. ಆರು ಉದ್ಯಮಗಳಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ಮಾಸಿಕ ವೇತನ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ ತ್ಯಜಿಸಿದ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:


		ತ್ಯಜಿಸಿದ ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆ	ಸಂಬಳ
			30,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು
			35,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು
			40,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು
			45,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು
			50,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು
			55,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು
			60,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು

6 ಉದ್ಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಸಂಬಳದ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸದಿಂದ ಹೊರಗುಳಿಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯು Y = a 0 + a 1 x 1 +...+a k x k ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ x i ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, a i ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು k ಎಂಬುದು ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ, Y ಎನ್ನುವುದು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳನ್ನು ತೊರೆಯುವ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಭಾವದ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಸಂಬಳ, ಇದನ್ನು ನಾವು X ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್ ಪ್ರೊಸೆಸರ್‌ನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಕೋಷ್ಟಕ ಡೇಟಾಗೆ ಅಂತರ್ನಿರ್ಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ "ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಪ್ಯಾಕ್" ಆಡ್-ಆನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮ. ಅದನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

"ಫೈಲ್" ಟ್ಯಾಬ್ನಿಂದ "ಆಯ್ಕೆಗಳು" ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ;
ತೆರೆಯುವ ವಿಂಡೋದಲ್ಲಿ, "ಆಡ್-ಆನ್ಸ್" ಸಾಲನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ;
"ನಿರ್ವಹಣೆ" ರೇಖೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ "ಗೋ" ಬಟನ್ ಅನ್ನು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ;
"ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಪ್ಯಾಕೇಜ್" ಹೆಸರಿನ ಮುಂದಿನ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಮತ್ತು "ಸರಿ" ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಿಮ್ಮ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಿ.

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸರಿಯಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಎಕ್ಸೆಲ್ ವರ್ಕ್‌ಶೀಟ್‌ನ ಮೇಲಿರುವ "ಡೇಟಾ" ಟ್ಯಾಬ್‌ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಟನ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ

ಈಗ ನಾವು ಎಕನಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವರ್ಚುವಲ್ ಪರಿಕರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ:

"ಡೇಟಾ ಅನಾಲಿಸಿಸ್" ಬಟನ್ ಮೇಲೆ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ;
ತೆರೆಯುವ ವಿಂಡೋದಲ್ಲಿ, "ರಿಗ್ರೆಷನ್" ಬಟನ್ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ;
ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಟ್ಯಾಬ್‌ನಲ್ಲಿ, Y (ಉದ್ಯೋಗಿಗಳನ್ನು ತೊರೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆ) ಮತ್ತು X (ಅವರ ಸಂಬಳ) ಗಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ;
"ಸರಿ" ಗುಂಡಿಯನ್ನು ಒತ್ತುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ನಮ್ಮ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ ಹೊಸ ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್ ಅನ್ನು ತುಂಬುತ್ತದೆ. ಸೂಚನೆ! ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಬಯಸಿದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಲು ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು Y ಮತ್ತು X ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇರುವ ಅದೇ ಹಾಳೆಯಾಗಿರಬಹುದು, ಅಥವಾ ಸಹ ಹೊಸ ಪುಸ್ತಕ, ಅಂತಹ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

R-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಗಾಗಿ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸುವಾಗ ಪಡೆದ ಡೇಟಾವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೀವು ಆರ್-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕು. ಇದು ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, R- ಸ್ಕ್ವೇರ್ = 0.755 (75.5%), ಅಂದರೆ, ಮಾದರಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು 75.5% ರಷ್ಟು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಮಾದರಿಯು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. R-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮೌಲ್ಯವು 0.8 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವಾಗ ನೈಜ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ<0,5, то такой анализа регрессии в Excel нельзя считать резонным.

ಆಡ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

64.1428 ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿರುವ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ xi ಎಲ್ಲಾ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಮರುಹೊಂದಿಸಿದರೆ Y ಮೌಲ್ಯವು ಏನೆಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸದ ಇತರ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು.

ಮುಂದಿನ ಗುಣಾಂಕ -0.16285, ಕೋಶ B18 ನಲ್ಲಿದೆ, Y ಮೇಲೆ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಪ್ರಭಾವದ ತೂಕವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮಾದರಿಯೊಳಗಿನ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮಾಸಿಕ ವೇತನವು -0.16285 ತೂಕದೊಂದಿಗೆ ತ್ಯಜಿಸುವವರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅದರ ಪ್ರಭಾವದ ಮಟ್ಟವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. "-" ಚಿಹ್ನೆಯು ಗುಣಾಂಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಉದ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಬಳ, ಕಡಿಮೆ ಜನರು ಉದ್ಯೋಗ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸುವ ಅಥವಾ ತೊರೆಯುವ ಬಯಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ

ಈ ಪದವು ರೂಪದ ಹಲವಾರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:

y=f(x 1 +x 2 +…x m) + ε, ಇಲ್ಲಿ y ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ (ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್), ಮತ್ತು x 1, x 2,…x m ಅಂಶ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು).

ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅಂದಾಜು

ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ (MR), ಇದನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು (OLS) ಬಳಸಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. Y = a + b 1 x 1 +...+b m x m + ε ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ)

ವಿಧಾನದ ತತ್ವವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ ನಾವು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವಿವರಿಸಿದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇಲ್ಲಿ σ ಎಂಬುದು ಸೂಚ್ಯಂಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುವ ಅನುಗುಣವಾದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.

OLS ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ MR ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇದರಲ್ಲಿ t y, t x 1, ... t xm ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; β i ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು 1 ಆಗಿದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ β i ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಎಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಮತ್ತು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಕಡಿಮೆ βi ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ

ಕಳೆದ 8 ತಿಂಗಳುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉತ್ಪನ್ನ N ಗಾಗಿ ನಾವು ಬೆಲೆ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. 1850 ರೂಬಲ್ಸ್ / ಟಿ ಬೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಬ್ಯಾಚ್ ಅನ್ನು ಖರೀದಿಸುವ ಸಲಹೆಯ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.


ತಿಂಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ	ತಿಂಗಳ ಹೆಸರು	ಉತ್ಪನ್ನದ ಬೆಲೆ ಎನ್
		ಪ್ರತಿ ಟನ್ಗೆ 1750 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು
		ಪ್ರತಿ ಟನ್ಗೆ 1755 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು
		ಪ್ರತಿ ಟನ್ಗೆ 1767 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು
		ಪ್ರತಿ ಟನ್ಗೆ 1760 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು
		ಪ್ರತಿ ಟನ್ಗೆ 1770 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು
		ಪ್ರತಿ ಟನ್‌ಗೆ 1790 ರೂಬಲ್ಸ್‌ಗಳು
		ಪ್ರತಿ ಟನ್ಗೆ 1810 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು
		ಟನ್ಗೆ 1840 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು

ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್ ಪ್ರೊಸೆಸರ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ "ಡೇಟಾ ಅನಾಲಿಸಿಸ್" ಉಪಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, "ರಿಗ್ರೆಷನ್" ವಿಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. "ಇನ್‌ಪುಟ್ ಮಧ್ಯಂತರ Y" ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವರ್ಷದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತಿಂಗಳುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಕುಗಳ ಬೆಲೆಗಳು) ಮತ್ತು "ಇನ್‌ಪುಟ್ ಮಧ್ಯಂತರ X" ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು. - ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ (ತಿಂಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ). "ಸರಿ" ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಿ. ಹೊಸ ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ (ಹಾಗೆ ಸೂಚಿಸಿದರೆ) ನಾವು ಹಿಂಜರಿತಕ್ಕಾಗಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು y=ax+b ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ನಿಯತಾಂಕಗಳು ತಿಂಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೆಸರಿನೊಂದಿಗೆ ಸಾಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಶೀಟ್‌ನಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳು “Y-ಛೇದಕ” ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯ 3 ಗಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (LR) ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ಬೆಲೆ N = 11.714* ತಿಂಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ + 1727.54.

ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ

y = 11.714 x + 1727.54

ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ಫಲಿತಾಂಶದ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಕೋರಿಲೇಷನ್ (MCC) ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಫಿಶರ್ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಟಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್‌ನಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಹು R, R-ಸ್ಕ್ವೇರ್, F-ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ ಮತ್ತು t-ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಬಂಧದ ನಿಕಟತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು KMC R ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವು "ತಿಂಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ" ಮತ್ತು "ಉತ್ಪನ್ನದ ಬೆಲೆ 1 ಟನ್ಗೆ ರೂಬಲ್ಸ್ನಲ್ಲಿ N ನ ಬೆಲೆ" ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ನಡುವೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಬಲವಾದ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂಬಂಧದ ಸ್ವರೂಪ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕದ ವರ್ಗ R2 (RI) ಒಟ್ಟು ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್‌ನ ಅನುಪಾತದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದ ಯಾವ ಭಾಗದ ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಮೌಲ್ಯವು 84.8% ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ SD ಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಎಫ್-ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಫಿಶರ್ ಪರೀಕ್ಷೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು, ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲು ಅಥವಾ ದೃಢೀಕರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

(ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಪರೀಕ್ಷೆ) ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧದ ಅಜ್ಞಾತ ಅಥವಾ ಮುಕ್ತ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಂಕದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. t-test ಮೌಲ್ಯವು > tcr ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮುಕ್ತ ಪದದ ಅತ್ಯಲ್ಪತೆಯ ಕುರಿತಾದ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉಚಿತ ಪದದ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಎಕ್ಸೆಲ್ ಪರಿಕರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, t = 169.20903, ಮತ್ತು p = 2.89E-12 ಎಂದು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಉಚಿತ ಪದದ ಅತ್ಯಲ್ಪತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸರಿಯಾದ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವ ಶೂನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. . ಅಜ್ಞಾತ t=5.79405, ಮತ್ತು p=0.001158 ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಜ್ಞಾತಕ್ಕೆ ಗುಣಾಂಕದ ಅತ್ಯಲ್ಪತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸರಿಯಾದ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.12% ಆಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು.

ಷೇರುಗಳ ಬ್ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ಖರೀದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ

ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ಬಹು ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ಡೇಟಾ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಟೂಲ್ ಬಳಸಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

MMM JSC ಯಲ್ಲಿ 20% ಪಾಲನ್ನು ಖರೀದಿಸುವ ಸಲಹೆಯನ್ನು NNN ಕಂಪನಿಯ ನಿರ್ವಹಣೆಯು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಪ್ಯಾಕೇಜ್‌ನ (ಎಸ್‌ಪಿ) ಬೆಲೆ 70 ಮಿಲಿಯನ್ ಯುಎಸ್ ಡಾಲರ್. NNN ತಜ್ಞರು ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಹಿವಾಟುಗಳ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಂತಹ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಷೇರುಗಳ ಬ್ಲಾಕ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಯಿತು, ಮಿಲಿಯನ್ ಯುಎಸ್ ಡಾಲರ್ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪಾವತಿಸಬೇಕಾದ ಖಾತೆಗಳು (ವಿಕೆ);
ವಾರ್ಷಿಕ ವಹಿವಾಟು ಪರಿಮಾಣ (VO);
ಸ್ವೀಕರಿಸಬಹುದಾದ ಖಾತೆಗಳು (VD);
ಸ್ಥಿರ ಸ್ವತ್ತುಗಳ ವೆಚ್ಚ (COF).

ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಸಾವಿರಾರು US ಡಾಲರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಟರ್‌ಪ್ರೈಸ್‌ನ ವೇತನ ಬಾಕಿಯ (V3 P) ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್ ಪ್ರೊಸೆಸರ್ ಬಳಸಿ ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೀವು ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

"ಡೇಟಾ ಅನಾಲಿಸಿಸ್" ವಿಂಡೋಗೆ ಕರೆ ಮಾಡಿ;
"ರಿಗ್ರೆಷನ್" ವಿಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ;
"ಇನ್‌ಪುಟ್ ಮಧ್ಯಂತರ Y" ಬಾಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಕಾಲಮ್ G ನಿಂದ ಅವಲಂಬಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ;
"ಇನ್‌ಪುಟ್ ಮಧ್ಯಂತರ X" ವಿಂಡೋದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೆಂಪು ಬಾಣದ ಐಕಾನ್ ಮೇಲೆ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿನ B, C, D, F ಕಾಲಮ್‌ಗಳಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ.

"ಹೊಸ ವರ್ಕ್ಶೀಟ್" ಐಟಂ ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು "ಸರಿ" ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ.

ನೀಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನಗಳ ಅಧ್ಯಯನ

ಟೇಬಲ್ ಶೀಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ದುಂಡಾದ ಡೇಟಾದಿಂದ ನಾವು "ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ" ಎಕ್ಸೆಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸರ್, ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣ:

SP = 0.103*SOF + 0.541*VO - 0.031*VK +0.405*VD +0.691*VZP - 265.844.

ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತ ಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

y = 0.103*x1 + 0.541*x2 - 0.031*x3 +0.405*x4 +0.691*x5 - 265.844

MMM JSC ಗಾಗಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು 64.72 ಮಿಲಿಯನ್ ಯುಎಸ್ ಡಾಲರ್ಗಳ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದರರ್ಥ MMM JSC ಯ ಷೇರುಗಳು ಖರೀದಿಸಲು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯ 70 ಮಿಲಿಯನ್ US ಡಾಲರ್‌ಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಉಬ್ಬಿಕೊಂಡಿವೆ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್ ಮತ್ತು ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬಳಕೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಹಿವಾಟಿನ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳುವಳಿಕೆಯುಳ್ಳ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು.

ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಎಂದರೇನು ಎಂದು ಈಗ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಎಕ್ಸೆಲ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಿಮಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ.