ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ರಾಂತಿಯ ದೇಹಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ. ಫ್ಲಾಟ್ ಫಿಗರ್ನ ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ ಪ್ರದೇಶದ ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ದೇಹದ ಪರಿಮಾಣ

ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಾಗ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ x-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ x = a, x = b, ಹಾಗೆಯೇ ನಿರಂತರ (ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಥವಾ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) ಕಾರ್ಯ y = f(x).ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಫಿಗರ್ ಅನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಟಿ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೂಲಕ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ. ಒಳಗೆ ಈ ವಸ್ತುವಿನಒಂದು ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ಅಂತಹ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಹಲವಾರು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಮೂಲ ಸೂತ್ರ

ನಾವು ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದರ ಗಡಿಗಳು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು x = a, x = b, O x ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕರ್ವ್ x = φ (t) y = ψ (t), ಮತ್ತು x = φ (t) ಮತ್ತು y = ψ (t) ಕಾರ್ಯಗಳು α ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ " (t) d t ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಬದಲಿ ವಿಧಾನದಿಂದ x = φ (t) y = ψ (t): ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ S (G) = ∫ a b f (x) d x ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಮಧ್ಯಂತರ β ನಲ್ಲಿ x = φ (t) ಕಾರ್ಯದ ಏಕತಾನತೆಯ ಇಳಿಕೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

x = φ (t) ಕಾರ್ಯವು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸ್ಥಿತಿ: x = 2 cos t y = 3 sin t ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಎರಡು ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ನೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದಂತೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು. ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ:

ಮೊದಲ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ 1 4 ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಪ್ರದೇಶವು x ∈ a ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ; ಬಿ = 0; 2. ಮುಂದೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನಮ್ಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಗತಿ ಇಲ್ಲಿದೆ:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ = 2 cos 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

0 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ k ನೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ β; α = 0; π 2. ಕಾರ್ಯ x = φ (t) = 2 cos t ಅದರ ಮೇಲೆ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ಮುಖ್ಯ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳುಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು). ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

- ∫ 0 π 2 3 ಪಾಪ t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - ಪಾಪ 2 π 2 2 - 0 - ಪಾಪ 2 0 2 = 3 π 2

ಇದರರ್ಥ ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವು S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: S(G) = 6π

ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕಾಲುಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅದರ ಅರ್ಧವನ್ನು - ಮೇಲಿನ ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು ಎಂದು ನಾವು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ. ಒಂದು ಅರ್ಧವು x ∈ a ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ; ಬಿ = - 2; 2. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z

ಹೀಗಾಗಿ, 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ k ನೊಂದಿಗೆ, ನಾವು β ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; α = 0; π. x = φ (t) = 2 cos t ಕಾರ್ಯವು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದರ ನಂತರ, ನಾವು ಅರ್ಧ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

- ∫ 0 π 3 ಪಾಪ t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - ಪಾಪ 2 π 2 - 0 - ಪಾಪ 2 0 2 = 3 π

ನೀವು ಮೇಲ್ಭಾಗ ಅಥವಾ ಕೆಳಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ, ಆದರೆ ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡಕ್ಕೆ ಅಲ್ಲ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ನೀವು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಮೂಲದಲ್ಲಿದೆ. ಇದು x = a · cos t y = b · sin t ನಂತೆ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆಯೇ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾ, ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು S e l ಮತ್ತು p a = πab ನೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

x = R · cos t y = R · sin t ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ನೀವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ t ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು R ಈ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ತಕ್ಷಣ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ನಂತರ ನಾವು ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರೊಂದಿಗೆ ನಾವು R ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು: S k r y r a = πR 2 .

ಇನ್ನೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಸ್ಥಿತಿ: ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಇದು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕರ್ವ್ x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t ನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ

ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಉದ್ದವಾದ ಕ್ಷುದ್ರಗ್ರಹದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕ್ಷುದ್ರಗ್ರಹವನ್ನು x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಈಗ ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ. ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇನ್ನಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ನಮ್ಮಲ್ಲಿ x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಟಿ ಯ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪಾಪ ಮತ್ತು ಕಾಸ್‌ಗೆ ಅವು ಆವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅವಧಿ 2 ಪೈ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ನಂತರ x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t ಕೆಲವು t = t 0 ∈ 0; 2 π π 8, π 4, 3 π 8, π 2, . . , 15 π 8, ನಾವು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x 0; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

ಒಟ್ಟು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಟಿ 0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 = φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

ಟಿ 0	9 π 8	5 π 4	11 π 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2π
x 0 = φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

ಇದರ ನಂತರ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ.

ಈಗ ನಾವು ಮೊದಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಆಕೃತಿಯ ಆ ಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅದಕ್ಕೆ x ∈ a; ಬಿ = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∔

k 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ β; α = 0; π 2 , ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ x = φ (t) = 3 cos 3 t ಅದರ ಮೇಲೆ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಪ್ರದೇಶ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

- ∫ 0 π 2 2 ಪಾಪ 3 t · 3 cos 3 t " d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t = t) 1 d ∫ 0 π 2 ಸಿನ್ 4 ಟಿ ಡಿ ಟಿ - ∫ 0 π 2 ಸಿನ್ 6 ಟಿ ಡಿ ಟಿ

ನಾವು ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , ಅಲ್ಲಿ J n (x) = ∫ ಮರುಕಳಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಪಾಪ n x d x

∫ sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ ಪಾಪ 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 6 5 π 6 5 π ಪಾಪ 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

ನಾವು ಆಕೃತಿಯ ಕಾಲುಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ. ಇದು 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - 9 π 4.

ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕ್ಷುದ್ರಗ್ರಹದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು S a stroid = 3 πa 2 8 ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. , ಮತ್ತು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t ರೇಖೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು S = 3 πab 8 ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಅದರ ತಳದ ಸುತ್ತ ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ ಕಮಾನು ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ದೇಹದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೊಟ್ಟೆಯ ಆಕಾರದ ದೇಹವನ್ನು (Fig. 5.1) ಅನಂತ ತೆಳುವಾದ ಪದರಗಳಾಗಿ ಒಡೆಯುವ ಮೂಲಕ ರಾಬರ್ವಾಲ್ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದನು, ಈ ಪದರಗಳಲ್ಲಿ ಸಿಲಿಂಡರ್ಗಳನ್ನು ಕೆತ್ತಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದನು. ಪುರಾವೆಯು ದೀರ್ಘ, ಬೇಸರದ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಠಿಣವಲ್ಲ ಎಂದು ಬದಲಾಯಿತು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ತಿರುಗುತ್ತೇವೆ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಪುಟಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಟಿಪ್ಪಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ಸುತ್ತುವ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ನಂತರ ಪರಿಮಾಣ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದೇಹಗಳುಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಲಿನ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ.

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ದೇಹದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - ವೆಚ್ಚ), 0 ? t ? 2р)

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದೆ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ x- ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಲಿನ ಕ್ರಾಂತಿಯ ದೇಹದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು (t 0 ?t ?t 1):

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಮ್ಮ ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ ಆರ್ಕ್ನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮತ್ತೊಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಅದರ ತಳಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ ಕಮಾನುಗಳ ಕನ್ನಡಿ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಫಲನದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಅಂಡಾಕಾರದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು KT ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 5.2)

ಮೊದಲಿಗೆ, KT ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ ಕಮಾನು ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ದೇಹದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಾವು ಅದರ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (*):

ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಟರ್ನಿಪ್ ಆಕಾರದ ದೇಹದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ. ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಮಾಣವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಬಗ್ಗೆ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಹಳೆಯ ಸ್ನೇಹಿತನನ್ನು ಭೇಟಿ ಮಾಡಿ:

ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಹೆಮ್ಮೆಯಿಂದ ಗ್ರಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಿರೀಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು, ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಅಥವಾ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ: .

ಯಾವಾಗ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಅದೇ ಕಾರ್ಯಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು?

ಕೆಲವು ಕಡೆ ಸಾಕಷ್ಟು ನಿರ್ದಿಷ್ಟನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯ, ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಮೌಲ್ಯ - ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. "te" ನಿಂದ ಒಳಗೊಳ್ಳುವಿಕೆಗೆ ಬದಲಾದಾಗ, ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು "ಸೆಳೆಯುತ್ತವೆ". ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಈಗ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ"X" ಮತ್ತು "Y" ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸೂಚನೆ : ಇದು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ ನಿರಂತರಏಕೀಕರಣದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕಾರ್ಯ ಏಕತಾನತೆಯಅವನ ಮೇಲೆ.

ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದೇಹದ ಪರಿಮಾಣದ ಸೂತ್ರವು ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ದೇಹದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ: . ನಾವು ಅದರೊಳಗೆ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ದಯವಿಟ್ಟು ನಿಮ್ಮ ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಕಾರ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಿ.

ನನ್ನ ಅವಲೋಕನಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಅಪರೂಪ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಗಮನಾರ್ಹ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಮೀಸಲಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಮುಂದೂಡಬಾರದು:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ , ವೇಳೆ

ಪರಿಹಾರ: ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ .

ಯಾವಾಗಲೂ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಅರ್ಥವಾಗುವ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಪರಿಹಾರ: ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ, ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ ಅಂಗೀಕೃತ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ, ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ "a" ಮತ್ತು ಅರೆ-ಮೈನರ್ ಅಕ್ಷ "ಬಿ". ಅಂದರೆ, ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ನಮಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆವರ್ತಕ, ಮತ್ತು . ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಚಾರ್ಜ್ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲವೂ ಅಷ್ಟು ಪಾರದರ್ಶಕವಾಗಿಲ್ಲ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ನಿರ್ದೇಶನ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು "ಸೆಳೆಯುತ್ತವೆ". ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಯಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಅನುಗುಣವಾದ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಸರಳ ಮೌಲ್ಯಗಳುನಿಯತಾಂಕ:

"te" ನಿಯತಾಂಕವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ "ಎರಡು ಪೈ" ಗೆ ಬದಲಾದಾಗ, ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು "ಸೆಳೆಯುತ್ತವೆ" ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ. ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ:

ಆಕೃತಿಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದಾಗಿ, ನಾವು 1 ನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶದ ಭಾಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅದೇ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ನಾನು ಮೇಲೆ ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಚಾಪವನ್ನು "ಸೆಳೆಯುತ್ತವೆ" ಅಕ್ಷದ "ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ" ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ, ಆದರೆ ಪ್ರದೇಶದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ! ಅದಕ್ಕೇ ಕಡಿಮೆಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಯು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಭಾಗಮಿತಿ - ಮೌಲ್ಯ.

ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಸಲಹೆ ನೀಡಿದ್ದೇನೆ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರದೇಶ, ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಒಮ್ಮೆಗೆ:

ಅವಿಭಾಜ್ಯ (ಯಾರಾದರೂ ಅಂತಹ ನಂಬಲಾಗದ ಅಂತರವನ್ನು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದರೆ) ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು.

ಉತ್ತರ:

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ. ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ನೀವು "a" ಮತ್ತು "be" ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎದುರಿಸಿದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಮನ್ವಯ/ಪರಿಶೀಲನೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಹ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ "y" ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಲೇಖನದ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ರಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮರ್ಥ ವಿಧಾನಗಳು. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಲು ಮರೆಯದಿರಿ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಎಷ್ಟು ಸುಲಭ ಎಂದು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ.

ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾನು ಬಹುತೇಕ ಮರೆತಿದ್ದೇನೆ, ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತ ಅಥವಾ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ನ ಒಂದು ಆರ್ಕ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅದು ಏನೆಂದು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಟ ಪಕ್ಷ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ವಿನ್ಯಾಸ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾನು ನಿಮ್ಮನ್ನು ದೂರಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಈ ಸಾಲಿನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಪರಿಹಾರ: ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಮತ್ತು ನಿರ್ಬಂಧವು ನಾವು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮೊದಲ ಕಮಾನು, ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯವು ಒಳಗೆ ಬದಲಾದಾಗ "ಡ್ರಾ" ಆಗುತ್ತದೆ. ಈ "ಡ್ರಾಯಿಂಗ್" (ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ) ನ "ಸರಿಯಾದ" ನಿರ್ದೇಶನ ಇಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ, ಅಂದರೆ ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇತರ ತಂಪಾದ ವಿಷಯಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪೇ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ =) ಸಮೀಕರಣವು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ನೇರ, x- ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸ್ಥಿತಿ (ಸೆಂ. ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು) ಕೆಳಗಿನ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ:

ನಾನು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮಬ್ಬಾದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು "ಮನೆಯ ಛಾವಣಿ", ಆಯತ - "ಮನೆಯ ಗೋಡೆ" ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ರಚನೆ (ಗೋಡೆ + ಛಾವಣಿ) - "ಮನೆಯ ಮುಂಭಾಗ" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇನೆ. ಈ ಕಟ್ಟಡವು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಗೋಶಾಲೆಯಂತೆ ತೋರುತ್ತಿದ್ದರೂ =)

"ಛಾವಣಿಯ" ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು "ಗೋಡೆಯ" ಪ್ರದೇಶವನ್ನು "ಮುಂಭಾಗ" ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಕಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಮೊದಲಿಗೆ, "ಮುಂಭಾಗ" ದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸೋಣ. ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ನ ಮೊದಲ ಆರ್ಕ್ (ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು) ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಕೊಸೈನ್ ಕಥಾವಸ್ತು: ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನತೆಯು ಎರಡು ಮೂಲಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: . ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಆಡೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

- ಇದು ಬಿಂದುವಿನ "X" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ;

- ಮತ್ತು ಇದು ಬಿಂದುವಿನ "X" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯವು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

"ಮುಂಭಾಗ" ದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಹೆಚ್ಚು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಕೇತಕ್ಕಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಿಂತ ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಆಯತದ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ "ಶಾಲೆ" ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು "ಗೋಡೆಯ" ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ಉದ್ದವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ಇದನ್ನು "tse" ಮತ್ತು "be" (ಹಿಂದೆ ಕಂಡುಬಂದ) ಬಿಂದುಗಳ "X" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಗೋಡೆಯ ಪ್ರದೇಶ:

ಸಹಜವಾಗಿ, ಸರಳವಾದ ಸಹಾಯದಿಂದಲೂ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅವಮಾನವಿಲ್ಲ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಿಭಾಗದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಛಾವಣಿಯ ಪ್ರದೇಶ:

ಉತ್ತರ:

ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅಂದಾಜು, ಬಾಕ್ಸ್ ಮೂಲಕ ಬಾಕ್ಸ್, ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸತ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಇದೇ

ಮುಂದಿನ ಕಾರ್ಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ:

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸೋಣ:

- ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು.

- ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು: ಇದು ಒಂದೇ ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಆಗಿರಬಹುದು, ಇದು ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಬಹುದು, ಇದು ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರಬಹುದು - ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ನಾವು ನೋಡಿದ ಎಲ್ಲಾ ಚಿಪ್ಸ್ ಪಾಠದಲ್ಲಿ.

- ಮೂರನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಆಕೃತಿಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸೂಕ್ತವೇ ಎಂದು ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ (ಅದು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ), ಮತ್ತು ನಂತರ ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದಕ್ಕೆ ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ - ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ, ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪ್ರಕಾರ ಅಗತ್ಯವಾದ ಬೇರುಗಳ ಸರಳ ಆಯ್ಕೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕ.

! ಮರೆಯಬೇಡಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ರೇಖೆಯನ್ನು "ಸೆಳೆಯಬಹುದು", ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮೀಸಲಾತಿ ಮತ್ತು ತಿದ್ದುಪಡಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

- ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ತಾಂತ್ರಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಪಡೆದ ಉತ್ತರದ ತೋರಿಕೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಳ್ಳೆಯದು.

ಮತ್ತು ಈಗ ನಕ್ಷತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಬಹುನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಭೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಪರಿಹಾರ: ಸಮೀಕರಣಗಳು ನೀಡಿದ ವಕ್ರರೇಖೆ ಕ್ಷುದ್ರಗ್ರಹ, ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಬ್ಬಾದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ:

ರೇಖೆಯ ಛೇದನ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಆಸ್ಟ್ರೋಯಿಡ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕ.

ಆಕೃತಿಯು x- ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧವನ್ನು (ನೀಲಿ ಛಾಯೆ) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸೋಣ.

ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಆಸ್ಟ್ರೋಯಿಡ್ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಮೇಲಿನ (ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ) ಬಿಂದುವಿನ "ಗ್ರೀಕ್" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಕ್ಷುದ್ರಗ್ರಹದ ಬಲ ಶೃಂಗವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
, ಯಾವುದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದಂತೆ, ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಆಸ್ಟ್ರಾಯ್ಡ್‌ನ ಚಾಪವನ್ನು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ "ಸೆಳೆಯುತ್ತವೆ". ವೈವಿಧ್ಯತೆಗಾಗಿ, ನಾನು ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ: ಮಿತಿಯೊಳಗೆ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ (ಡಬಲ್ ಮಾಡಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ !!):

ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಾಕಷ್ಟು ತೊಡಕಿನದ್ದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು "ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಿಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯದಿರಲು" ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪದವಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿಬಳಸಿಕೊಂಡು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳು:

ಕೊನೆಯ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇಡೋಣ:

ಉತ್ತರ:

ಹೌದು, ಇದು ನಕ್ಷತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಕಷ್ಟ =)

ಕೆಳಗಿನ ನಿಯೋಜನೆಯು ಮುಂದುವರಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ವಸ್ತುಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾರ್ಗವು ತುಂಬಾ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈಗ ನಾನು ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ. ಕಲ್ಪನೆಯು ಪಾಠದಿಂದ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು- ಇದು "y" ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ ಬಳಕೆಯ ಮೇಲೆ ಏಕೀಕರಣವಾಗಿದೆ . ಅದರೊಳಗೆ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕನ್ನಡಿ ಕೆಲಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು "ಪ್ರಮಾಣಿತ" ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಏಕೆ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ? ಇದು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಯೋಜನವಾಗಿದೆ - ಸಮೀಕರಣ ಕೇವಲ "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಪಾತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ.

IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ ನಿರಂತರಏಕೀಕರಣ ಮಧ್ಯಂತರ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಏಕತಾನತೆಯಅವನ ಮೇಲೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ವೇಳೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆಏಕೀಕರಣ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು "ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ" ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು "ಸೆಳೆಯುತ್ತವೆ" (ಗಮನ!!) ಅಕ್ಷ), ನಂತರ ಈಗಾಗಲೇ ಚರ್ಚಿಸಿದ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನೀವು ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬೇಕು ಅಥವಾ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ "ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮುಂದೆ ಹಾಕಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ರ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿದೆ.

ಅಂತಿಮ ಮಿನಿ-ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅಪರೂಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ:

ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದೇಹದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು,
ಅಂಕಿಅಂಶವು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ?

ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನವೀಕರಿಸೋಣ: . ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ನನ್ನ ಪಿಗ್ಗಿ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ನಿಂದ ನಾನು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇನೆ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸೂತ್ರದ ಅನ್ವಯದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಇದು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೇಖೆಯು 2 ಮತ್ತು 3 ಘಟಕಗಳ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ.

ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣಮೊದಲ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಇರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕಾಲುಭಾಗ. ಈ ಪ್ರದೇಶವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ . ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾಲ್ಕರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಏನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಫಾರ್ k = 0 ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ . ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ (ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ). ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂಲ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ .

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.

ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕಾಲು ಭಾಗವನ್ನು ಏಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಧವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಿಲ್ಲ? ಆಕೃತಿಯ ಮೇಲಿನ (ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿನ) ಅರ್ಧವನ್ನು ನೋಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಅವಳು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದ್ದಾಳೆ . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಂದರೆ, k = 0 ಗಾಗಿ ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ನಂತರ ಅರ್ಧ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ

ಆದರೆ ನೀವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡ ಅರ್ಧವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಮೂಲ ಮತ್ತು ಅರೆ ಅಕ್ಷಗಳು a ಮತ್ತು b ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ . ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ತಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರ .

R ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತವನ್ನು t ನಿಯತಾಂಕದ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ನೀವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಬರೆಯಬಹುದು ವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ R ತ್ರಿಜ್ಯ:

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸ್ವಲ್ಪ ಮುಂದೆ ನೋಡಿದಾಗ, ವಕ್ರರೇಖೆಯು "ಉದ್ದವಾದ" ಕ್ಷುದ್ರಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. (ಆಸ್ಟ್ರಾಯ್ಡ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ).

ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಬಂಧಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ಮಾಣದ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ವಿವರವಾಗಿ ವಾಸಿಸೋಣ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಂತಹ ನಿರ್ಮಾಣವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವಿವರವಾದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಧ್ಯಯನವು ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ.

ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಟಿ ನಿಯತಾಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅವು ಎರಡು ಪೈ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕವೆಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕೆಲವರಿಗೆ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ), ನಾವು ಅಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .

ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹಾಕೋಣ:

ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ಒಂದು ಸಾಲಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಈ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ .

ನಲ್ಲಿ k=0 ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ , ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫಲಿತಾಂಶದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ರೂಪದ ಮರುಕಳಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ , ಎಲ್ಲಿ .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ವಾರ್ಟರ್ ಫಿಗರ್ನ ಪ್ರದೇಶವು , ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು ಕ್ಷುದ್ರಗ್ರಹ ಪ್ರದೇಶನಂತೆ ಇದೆ , ಮತ್ತು ರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಹೋಗುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ, ಅಥವಾ, ಅದೇ ವಿಷಯ, ಕ್ರಾಂತಿಯ ದೇಹದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ಎಬಿಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ವಕ್ರರೇಖೆ ಎತ್ತು(ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರ).

ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಮೇಲಿನಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ಈ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ಒಂದೇ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ದೇಹ ಎತ್ತು, ಮತ್ತು ಇದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದೇಹವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಅಥವಾ ಕ್ರಾಂತಿಯ ದೇಹದ ಮೇಲ್ಮೈ ಅದರ ಹೊರಗಿನ ಶೆಲ್ ಆಗಿದೆ, ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ವಲಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸುವುದಿಲ್ಲ. X = ಎಮತ್ತು X = ಬಿ .

ಕ್ರಾಂತಿಯ ದೇಹ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸಹ ರಚಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಎತ್ತು, ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಓಹ್.

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿ ವೈ = f(X) ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದೇಹವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

(1).

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಅದರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎತ್ತುಬದಲಾವಣೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಚಾಪ Xನಿಂದ X= 0 ಗೆ X = ಎ .

ಪರಿಹಾರ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:

ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲು, ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅದರ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು ಈಗ ಕಂಡುಕೊಂಡ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ: ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಚಾಪದ ಉದ್ದ

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎತ್ತುಕ್ಷುದ್ರಗ್ರಹ.

ಪರಿಹಾರ. ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ಕ್ಷುದ್ರಗ್ರಹದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಸಾಕು. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರ:

ನಾವು 0 ರಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ ಎ:

ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ

ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಿದಾಗ ನಾವು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

ನಂತರ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

(2).

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಓಹ್ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ ಮತ್ತು ಸರಳ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿ ವೈ = ಎ. ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ