Квадратичная функция

Функция f(x)=ax2+bx2+c , где a, b, c - некоторые действительные числа (a 0), называется квадратичной функцией . График квадратичной функции называется параболой .

Квадратичная функция может быть приведена к виду

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a , (1)

выражение b2-4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Представление квадратной функции в виде (1) называется выделением полного квадрата .

Свойства квадратичной функции и ее график

Область определения квадратичной функции - вся числовая прямая.

При b 0 функция не является четной и не является нечетной. При b =0 квадратичная функция - четная.

Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.

Функция имеет единственную критическую точку

x=-b/(2a) . Если a >0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.

Если а <0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.

Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b2-4ac)/4a) называется вершиной параболы .

Область изменения функции: при a >0 - множество значений функции [-((b2-4ac)/4a); +) ; при a <0 - множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)] .

График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c . В случае, если b2-4ac>0 , график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке x=-b/(2a) ; если b2-4ac<0 , пересечения с осью 0x нет.

Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) - образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0) .

График функции

f(x)=ax2+bx+c

• (или f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x2 следующими преобразованиями :
  • а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0) ;
  • б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;
  • в) параллельным переносом

r=(0; -((b2-4ac)/(4a))) .

Показательная функция

Показательной функцией называется функция вида f(x)=ax , где а - некоторое положительное действительное число, называемое основанием степени. При а=1 значение показательной функции при любом значении аргумента равно единице, и случай а =1 далее не будет рассматриваться.

Свойства показательной функции.

Область определения функции - вся числовая прямая.

Область значения функции - множество всех положительных чисел.

Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

(a x) =a xlna

При а >1 функция монотонно возрастает, при а <1 монотонно убывает.

Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.

График любой показательной функции пересекает ось 0y в точке y =1.

График показательной функции - кривая, направленная вогнутостью вверх.

График показательной функции при значении а =2 изображен на рис. 5

Логарифмическая функция

Функцию, обратную показательной функции y=a x, называют логарифмической и обозначают

y=loga x.

Число а называется основанием логарифмической функции. Логарифмическую функцию с основанием 10 обозначают

а логарифмическую функцию с основанием е обозначают

Свойства логарифмической функции

Область определения логарифмической функции - промежуток (0; +).

Область значения логарифмической функции - вся числовая прчмая.

Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

(loga x) = 1/(x ln a).

Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а >1. При 0<a <1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает. При любом основании a >0, a 1, имеют место равенства

loga 1 = 0, loga a =1.

При а >1 график логарифмической функции - кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a <1 - кривая, направленная вогнутостью вверх.

График логарифмической функции при а =2 изображен на рис. 6.

Основное логарифмическое тождество

Обратной функцией для показательной функции y=a x будет логарифмическая функция x =loga y. По свойствам взаимно обратных функций f и f-I для всех x из области определения функции f-I(х). В частности, для показательной и логарифмической функции равенство (1) принимает вид

a loga y=y.

Равенство (2) часто называют основным логарифмическим тождеством . При любых положительных х, у для логарифмической функции верны следующие равенства, которые могут быть получены как следствия основного логарифмического тождества (2) и свойства показательной функции:

loga (xy)=loga x+loga y;

loga (x/y)= loga x-loga y;

loga (x)= loga x (- любое действительное число);

logaa=1;

loga x =(logb x/ logb a) (b - действительное число, b>0, b 1).

В частности из последней формулы при а=е , b=10 получается равенство

ln x = (1/(ln e ))lg x. (3)

Число lg e называют модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным и обозначают буквой М, а формулу (3) обычно записывают в виде

lg x =M ln x.

Обратно пропорциональная зависимость

Переменную y называют обратно пропорциональной переменной x , если значения этих переменных связаны равенством y = k/x , где k - некоторое действительное число, отличное от нуля. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y = k/x

Область определения функции - множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

Область значения функции - множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

Функция f(x) = k/x - нечетная, и ее график симметричен относительно начала координат. Функция f(x) = k/x непрерывна и дифференцируема во всей области определения. f(x) = -k/x2. Функция критических точек не имеет.

Функция f(x) = k/x при k>0 монотонно убывает в (-, 0) и (0, +), а при k<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

График функции f(x) = k/x при k>0 в промежутке (0, +) направлен вогнутостью вверх, а в промежутке (-, 0) - вогнутостью вниз. При k<0 промежуток вогнутости вверх (-, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +).

График функции f(x) = k/x для значения k =1 изображен на рис. 7.

тригонометрические функции

Функции sin , cos , tg , ctg называются тригонометрическими функциями угла. Кроме основных тригонометрических функций sin , cos , tg , ctg существуют еще две тригонометрические функции угла - секанс и косеканс , обозначаемые sec и cosec соответственно.

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.

Свойства функции sin х.

Функция sin х - нечетная: sin (-х)=- sin х.

Функция sin х - периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

sin (х+2)= sin х.

Нули функции: sin х=0 при x=n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

sin х>0 при x (2n ; +2n ), n Z,

sin х<0 при x (+2n ; 2+2n ), n Z.

Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

(sin х) =cos x.

Функция sin х возрастает при x ((-/2)+2n; (/2)+2n ), n Z, и убывает при x ((/2)+2n ; ((3)/2)+ 2n ), n Z.

Функция sin х имеет минимальные значения, равные -1, при х=(-/2)+2n , n Z, и максимальные значения, равные 1, при х=(/2)+2n , n Z.

График функции y=sin х изображен на рис. 8. График функции sin х называют синусоидой .

Свойства функции cos х

Область определения - множество всех действительных чисел.

Область значения - промежуток [-1; 1].

Функция cos х - четная: cos (-х)=cos х.

Функция cos х - периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

cos (х+2)= cos х.

Нули функции: cos х=0 при x=(/2)+2n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

cos х>0 при x ((-/2)+2n; (/2)+2n )), n Z,

cos х<0 при x ((/2)+2n ); ((3)/2)+ 2n )), n Z.

Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:

(cos х) =-sin x.

Функция cos х возрастает при x (-+2n; 2n ), n Z,

и убывает при x (2n ; + 2n ), n Z.

Функция cos х имеет минимальные значения, равные -1, при х=+2n , n Z, и максимальные значения, равные 1, при х=2n , n Z.

График функции y=cos х изображен на рис. 9.

Свойства функции tg х

Область определения функции - множество всех действительных чисел, кроме числа х=/2+n , n Z.

Функция tg х - нечетная: tg (-х)=- tg х.

Функция tg х - периодическая. Наименьший положительный период функции равен:

tg (х+)= tg х.

Нули функции: tg х=0 при x=n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

tg х>0 при x (n ; (/2)+n ), n Z,

tg х<0 при x ((-/2)+n ; n ), n Z.

Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(tg х) =1/cos2 x.

Функция tg х возрастает в каждом из промежутков

((-/2)+n; (/2)+n), n Z,

График функции y=tg х изображен на рис. 10. График функции tg х называют тангенсоидой .

Свойства функции сtg х.

n , n Z.

Область значения - множество всех действительных чисел.

Функция сtg х - нечетная: сtg (-х)=- сtg х.

Функция сtg х - периодическая. Наименьший положительный период функции равен:

сtg (х+)= ctg х.

Нули функции: ctg х=0 при x=(/2)+n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

ctg х>0 при x (n ; (/2)+n ), n Z,

ctg х<0 при x ((/2)+n ; (n +1)), n Z.

Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(ctg х) =-(1/sin2 x).

Функция ctg х убывает в каждом из промежутков (n; (n +1)), n Z.

График функции y=сtg х изображен на рис. 11.

Свойства функции sec х.

Область определения функции - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида

х=(/2)+n , n Z.

Область значения:

Функция sec х - четная: sec (-х)= sec х.

Функция sec х - периодическая. Наименьший положительный период функции равен 2:

sec (х+2)= sec х.

Функция sec x ни при каком значении аргумента не обращается в нуль.

Промежутки знакопостоянства:

sec х>0 при x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z,

sec х<0 при x ((/2)+2n ; (3/2)+2n ), n Z.

Функция sec х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

(sec х) =sin x/cos2 x.

Функция sec х возрастает в промежутках

(2n; (/2)+ 2n ), ((/2)+ 2n ; + 2n ], n Z,

и убывает в промежутках

[+ 2n ; (3/2)+ 2n ), ((3/2)+ 2n ; 2(n +1)], n Z.

График функции y=sec х изображен на рис. 12.

Свойства функции cosec х

Область определения функции - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=n , n Z.

Область значения:

Функция cosec х - нечетная: cosec (-х)= -cosec х.

Функция cosec х - периодическая. Наименьший положительный период функции равен 2:

cosec (х+2)= cosec х.

Функция cosec x ни при каком значении аргумента не обращается в нуль.

Промежутки знакопостоянства:

cosec х>0 при x (2n ; +2n ), n Z,

cosec х<0 при x (+2n ; 2(n +1)), n Z.

Функция cosec х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

(cosec х) =-(cos x/sin2 x).

Функция cosec х возрастает в промежутках

[(/2)+ 2n; + 2n ), (+ 2n ; (3/2)+ 2n ], n Z,

и убывает в промежутках

(2n ; (/2)+ 2n ], ((3/2)+ 2n ; 2+2n ), n Z.

График функции y=cosec х изображен на рис. 13.

Функция вида y =a*x^2+b*x+c, где a,b,c - некоторые вещественные числа, причем а отлично от нуля, а x,y - переменные, называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции y =a*x^2+b*x+c является линия, называемая в математике параболой . Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Стоит отметить, что если у функции коэффициент а>0, то парабола направлена ветвями вверх, а если аГрафик квадратичной функции симметричен относительно оси симметрии. Осью симметрии параболы служит прямая проведенная через точку x=(-b)/(2*a), параллельно оси Оу.

Координатами вершины параболы определяются по следующим формулам:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

На рисунке ниже представлен график произвольной квадратичной функции. Построение графика квадратичной функции . Также на рисунке отмечены вершина параболы и ось симметрии.

В зависимости от значения коэффициента а, вершина параболы будет являться минимальным или максимальным значением квадратичной функции. При a>0, вершина является минимальным значение квадратичной функции, при этом максимального значения не существует. При аОсь симметрии проходит через вершину параболы. Областью определения квадратичной функции является все множество вещественных чисел R.

Квадратичную функцию y =a*x^2+b*x+c всегда можно преобразовать к виду y=a*(x+k)^2+p, где k=b/(2*a), p=(4*a*c-b^2)/(4*a). Для этого необходимо выделить полный квадрат.

Обратите внимание, что точка с координатами (-k;p) будет являться вершиной параболы. График квадратичной функции y=a*(x+k)^2+p можно получить из графика функции y=a*x^2 с помощью параллельного переноса.

Нужна помощь в учебе?