Овој метод предлага да се приближи интеграндот на делумна отсечка со парабола што минува низ точките
(x j, f(x j)), Каде ј = јас-1; јас-0.5; јас, односно, ја приближуваме функцијата интегранд со Лагранж интерполациски полином од втор степен:

По извршувањето на интеграцијата, добиваме:

Тоа е она што е Симпсонова формула или параболичната формула. На сегментот
[а, б] Формулата на Симпсон ја зема формата

Графички приказ на методот Симпсон е прикажан на сл. 2.4.

Ориз. 10.4.Симпсон метод

Ајде да се ослободиме од фракционите индекси во изразот (2.16) со редизајнирање на променливите:

Тогаш формулата на Симпсон добива форма

Грешката на формулата (2.18) се проценува со следниот израз:

Каде h·n = б-а, . Така, грешката на формулата на Симпсон е пропорционална на О(ч 4).

Коментар.Треба да се забележи дека во формулата на Симпсон сегментот на интеграција е нужно поделен на дуриброј на интервали.

10.5. Пресметување на определени интеграли по методи
Монте Карло

Се нарекуваат методите дискутирани претходно детерминистички , односно лишен од елементот на случајност.

Методи на Монте Карло(MMK) се нумерички методи за решавање математички проблеми со користење на моделирање на случајни променливи. MMC овозможуваат успешно решавање на математички проблеми предизвикани од веројатни процеси. Покрај тоа, кога решавате проблеми што не се поврзани со никакви веројатности, можете вештачки да излезете со веројатност модел (па дури и повеќе од еден) кој ви овозможува да ги решите овие проблеми. Размислете за пресметката на определениот интеграл

При пресметување на овој интеграл користејќи ја формулата за правоаголник, интервалот [ а, б] поделен на Нидентични интервали, во средината на кои беа пресметани вредностите на интеградот. Со пресметување на вредностите на функциите на случајни јазли, можете да добиете попрецизен резултат:

Овде γ i е случаен број рамномерно распределен низ интервалот
. Грешката во пресметувањето на MMC интегралот е ~, што е значително поголема од онаа на претходно проучуваните детерминистички методи.

На сл. На слика 2.5 е претставена графичка имплементација на методот Монте Карло за пресметување на единечен интеграл со случајни јазли (2.21) и (2.22).

(2.23)

Ориз. 10.6.Интеграција со метод на Монте Карло (втор случај)

Како што може да се види на сл. 2.6, интегралната крива лежи во единечниот квадрат, и ако можеме да добиеме парови на случајни броеви рамномерно распределени во интервалот, тогаш добиените вредности (γ 1, γ 2) може да се толкуваат како координати на точка во единечниот плоштад. Потоа, ако се добијат доста од овие парови на броеви, можеме приближно да го претпоставиме тоа
. Еве Се бројот на парови точки што паѓаат под кривата, и Н– вкупниот број на парови на броеви.

Пример 2.1.Пресметајте го следниот интеграл:

Проблемот беше решен со користење на различни методи. Добиените резултати се сумирани во табела. 2.1.

Табела 2.1

Коментар.Изборот на интеграл на табелата ни овозможи да ја споредиме грешката на секој метод и да го дознаеме ефектот на бројот на партиции врз точноста на пресметките.

11 ПРИБЛИЧНО РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕАРНО
И ТРАНСЦЕНДЕНТНИ РАВЕНКИ

За да се најде дефинитивниот интеграл со трапезоиден метод, плоштината на криволинеарен трапез е исто така поделена на n правоаголни трапезоиди со висини h и основи 1, 2, 3,..у n, каде n е бројот на правоаголниот трапез. . Интегралот нумерички ќе биде еднаков на збирот на плоштините на правоаголните трапезоиди (слика 4).

Ориз. 4

n - број на партиции

Грешката на трапезоидната формула се проценува според бројот

Грешката на трапезоидната формула се намалува побрзо со растот отколку грешката на формулата на правоаголникот. Затоа, трапезоидна формула овозможува поголема точност од методот на правоаголник.

Симпсонова формула

Ако за секој пар отсечки конструираме полином од втор степен, потоа го интегрираме на отсечката и го користиме својството за адитивност на интегралот, ја добиваме Симпсоновата формула.

Во методот на Симпсон, за да се пресмета дефинитивен интеграл, целиот интервал на интеграција се дели на потинтервали со еднаква должина h=(b-a)/n. Бројот на партициони сегменти е парен број. Потоа, на секој пар соседни подинтервали, интеграндската функција f(x) се заменува со Лагранж полином од втор степен (слика 5).

Ориз. 5 Функцијата y=f(x) на отсечката се заменува со полином од втор ред

Да го разгледаме интеградот на сегмент. Да го замениме овој интегранд со Лагранжова интерполациска полином од втор степен, што се совпаѓа со y= во точките:

Ајде да се интегрираме во сегментот:

Ајде да воведеме промена на променливите:

Имајќи ги предвид формулите за замена,

По извршувањето на интеграцијата, ја добиваме формулата на Симпсон:

Добиената вредност за интегралот се совпаѓа со плоштината на криволинеарен трапез ограничен со оска, прави линии и парабола што минува низ точки. На отсечка, формулата на Симпсон ќе изгледа вака:

Во формулата за парабола, вредноста на функцијата f(x) на непарни точки на партицијата x 1, x 3, ..., x 2n-1 има коефициент 4, во парните точки x 2, x 4, . .., x 2n-2 - коефициент 2 и на две гранични точки x 0 =a, x n =b - коефициент 1.

Геометриското значење на формулата на Симпсон: плоштината на криволинеарен трапез под графикот на функцијата f(x) на отсечка е приближно заменета со збирот на површините на фигурите што лежат под параболите.

Ако функцијата f(x) има континуиран извод од четврти ред, тогаш апсолутната вредност на грешката на формулата Симпсон не е повеќе од

каде што М е најголемата вредност на сегментот. Бидејќи n 4 расте побрзо од n 2, грешката на формулата Симпсон се намалува со зголемувањето на n многу побрзо од грешката на трапезоидна формула.

Да го пресметаме интегралот

Овој интеграл лесно се пресметува:

Да земеме n еднакво на 10, h=0,1, да ги пресметаме вредностите на интеграндот во преградните точки, како и полуцелите точки.

Користејќи ја формулата на просечните правоаголници, добиваме I straight = 0,785606 (грешката е 0,027%), користејќи ја трапезоидната формула I trap = 0,784981 (грешката е околу 0,054. Кога се користи методот на десен и лев правоаголник, грешката е повеќе од 3%.

За да ја споредиме точноста на приближните формули, повторно да го пресметаме интегралот

но сега според формулата на Симпсон со n=4. Да ја поделиме отсечката на четири еднакви делови со точки x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 и приближно да ги пресметаме вредностите на функцијата f(x)=1/(1+x) во овие точки: 0 =1,0000, 1 =0,8000, 2 =0,6667, 3 =0,5714, 4 =0,5000.

Користејќи ја формулата на Симпсон добиваме

Дозволете ни да ја процениме грешката на добиениот резултат. За интегрантската функција f(x)=1/(1+x) имаме: f (4) (x)=24/(1+x) 5, што значи дека на отсечката . Затоа, можеме да земеме М=24, а грешката на резултатот не надминува 24/(2880 4 4)=0,0004. Споредувајќи ја приближната вредност со точната, заклучуваме дека апсолутната грешка на резултатот добиен со помош на формулата Симпсон е помала од 0,00011. Ова е во согласност со проценката на грешката дадена погоре и, дополнително, покажува дека формулата Симпсон е многу попрецизна од трапезоидна формула. Затоа, формулата на Симпсон почесто се користи за приближно пресметување на одредени интеграли отколку трапезоидна формула.

Дозволете ни да го поделиме сегментот за интеграција [ А, б] до парен број nеднакви делови во чекори ч. На секој сегмент [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [x i-1, xјас + 1],..., [ x n-2, x n] интегранд функција ѓ(X) заменуваме со интерполациски полином од втор степен:

Коефициентите на овие квадратни триноми може да се најдат од условите за еднаквост на полиномот во точките на соодветните табеларни податоци. Можеме да земеме како Лагранж интерполациски полином од втор степен кој минува низ точките :

Збирот на елементарните области и (сл. 3.3) може да се пресмета со користење на дефинитивен интеграл. Земајќи ги предвид еднаквостите што ги добиваме

-

Ориз. 3.3. Илустрација за методот на Симпсон

Откако ги извршивме ваквите пресметки за секој елементарен сегмент, ги сумираме добиените изрази:

Овој израз за Ссе зема како вредност на определениот интеграл:

(3.35)

Резултирачката врска се нарекува Симпсонова формулаили формула за парабола.

Оваа формула може да се добие на други начини, на пример, со користење на трапезоиден метод двапати при поделба на сегментот [ А, б] во делови со чекори чи 2 чили со комбинирање на формулите на правоаголници и трапезоиди (види Дел 3.2.6).

Понекогаш формулата на Симпсон е напишана со помош на индекси со полуцели броеви. Во овој случај, бројот на сегменти на партицијата Ппроизволно (не мора дури), а формулата на Симпсон ја има формата

(3.36)

Лесно е да се види дека формулата (3.36) се совпаѓа со (3.35) ако формулата (3.35) се примени за бројот на сегменти на партицијата 2 nи чекор ч/2.

Пример. Пресметајте го интегралот користејќи го методот на Симпсон

Функционалните вредности на n = 10, ч = 0.1 се дадени во табелата. 3.3. Применувајќи ја формулата (3.35), наоѓаме

Резултатот од нумеричката интеграција со методот на Симпсон беше откриено дека се совпаѓа со точната вредност (шест значајни бројки).

Еден од можните алгоритми за пресметување на дефинитивен интеграл со помош на методот на Симпсон е прикажан на сл. 3.4. Границите на сегментот за интеграција [ А, б], грешка ε, како и формула за пресметување на вредностите на интеграндот y =ѓ(x) .

Ориз. 3.4. Алгоритам на методот Симпсон

Првично, сегментот е поделен на два дела со чекор ч =(б- а)/2. Се пресметува вредноста на интегралот Јас 1. Потоа бројот на чекори се удвојува, вредноста се пресметува Јас 2 во чекори ч/2. Условот за крај на сметката е земен во образецот . Ако овој услов не е исполнет, нов чекор се дели на половина, итн.

Забележете дека е прикажано на сл. 3.4 алгоритмот не е оптимален: кога се пресметува секое приближување Јас 2 функционални вредности не се користат ѓ(x), веќе пронајден во претходната фаза. Поекономични алгоритми ќе бидат разгледани во Дел. 3.2.7.

Се појавува проблем за нумеричкото пресметување на одреден интеграл, кој може да се реши со помош на формули наречени квадратурни формули.

Да се ​​потсетиме на наједноставните формули за нумеричка интеграција.

Ајде да ја пресметаме приближната нумеричка вредност. Интервалот на интеграција [a, b] го делиме на n еднакви делови со делење на точки
, наречени јазли од формулата за квадрат. Нека се знаат вредностите на јазлите
:

Магнитуда

наречен интервал или чекор на интеграција. Забележете дека во пракса - пресметки, бројот i се избира мал, обично не е повеќе од 10-20. На делумен интервал

интеграндот се заменува со интерполациски полином

што приближно ја претставува функцијата f (x) на разгледуваниот интервал.

а) Да задржиме само еден прв член во интерполацискиот полином, тогаш

Добиената квадратна формула

наречена формула за правоаголник.

б) Тогаш, да ги задржиме првите два члена во интерполациониот полином

(2)

Формулата (2) се нарекува трапезоидна формула.

в) Интервал на интеграција
ќе го поделиме на парен број од 2n еднакви делови, а чекорот на интегрирање h ќе биде еднаков на . На интервалот
со должина 2h, го заменуваме интеграндот со интерполациски полином од втор степен, т.е. ги задржуваме првите три члена во полиномот:

Добиената квадратура формула се нарекува Симпсонова формула

(3)

Формулите (1), (2) и (3) имаат едноставно геометриско значење. Во формулата за правоаголници, интеграндот функција f(x) на интервалот
се заменува со права отсечка y = yk, паралелна со оската на апсцисата, а во трапезоидна формула - со права отсечка
и соодветно се пресметува плоштината на правоаголникот и праволинискиот трапез, кои потоа се сумираат. Во формулата на Симпсон, функцијата f(x) на интервалот
должина 2h се заменува со квадрат трином - парабола
Се пресметува плоштината на криволинеарен параболичен трапез, а потоа се сумираат областите.

ЗАКЛУЧОК

На крајот од работата, би сакал да забележам голем број карактеристики на примената на методите дискутирани погоре. Секој метод на приближно решавање на дефинитивен интеграл има свои предности и недостатоци, во зависност од задачата што се поставува, треба да се користат специфични методи.

Метод за замена на променливае еден од главните методи за пресметување на неопределени интеграли. Дури и во случаите кога интегрираме со некој друг метод, често мораме да прибегнуваме кон менување на променливите во средните пресметки. Успешноста на интеграцијата во голема мера зависи од тоа дали ќе успееме да избереме таква успешна промена на променливите што би го поедноставила дадениот интеграл.

Во суштина, проучувањето на методите на интеграција се сведува на откривање каков вид на замена на променливата треба да се направи за овој или оној тип на интегранд.

Така, интеграција на која било рационална дропкасе сведува на интегрирање на полином и неколку едноставни дропки.

Интегралот на која било рационална функција може да се изрази преку елементарни функции во финална форма, имено:

преку логаритми - во случаи на едноставни дропки од тип 1;

преку рационални функции - во случај на едноставни дропки од тип 2

преку логаритми и арктангенси - во случај на едноставни фракции од тип 3

преку рационални функции и арктангенси - во случај на едноставни фракции од типот 4. Универзалната тригонометриска замена секогаш го рационализира интеграндот, но често доведува до многу незгодни рационални дропки, за кои, особено, е речиси невозможно да се најдат корените на именителот. Затоа, секогаш кога е можно, се користат делумни замени, кои исто така го рационализираат интеграндот и доведуваат до помалку сложени фракции.

Формула Њутн-Лајбнице општ пристап за наоѓање определени интеграли.

Што се однесува до техниките за пресметување на определени интеграли, тие практично не се разликуваат од сите тие техники и методи.

Аплицирајте на ист начин методи на замена(промена на променлива), метод на интеграција по делови, исти техники за пронаоѓање антидеривати за тригонометриски, ирационални и трансцендентални функции. Единствената особеност е тоа што при користење на овие техники потребно е да се прошири трансформацијата не само на функцијата интегранд, туку и до границите на интеграцијата. Кога ја заменувате променливата за интеграција, не заборавајте соодветно да ги промените границите на интеграцијата.

Правилно од теоремата, условот за континуитет на функцијатае доволен услов за интеграбилност на функцијата. Но, тоа не значи дека дефинитивниот интеграл постои само за континуирани функции. Класата на интеграбилни функции е многу поширока. На пример, постои дефинитивен интеграл на функции кои имаат конечен број на точки на дисконтинуитет.

Пресметувањето дефинитивен интеграл на континуирана функција со помош на формулата Њутн-Лајбниц се сведува на пронаоѓање на антидериватот, кој секогаш постои, но не е секогаш елементарна функција или функција за која се составени табели кои овозможуваат да се добие вредноста на интегралот. Во бројни апликации, интеграбилната функција е наведена во табела и формулата Њутн-Лајбниц не е директно применлива.

Ако треба да го добиете најточниот резултат, тој е идеален Симпсон метод.

Од она што е проучено погоре, можеме да го извлечеме следниот заклучок дека интегралот се користи во науки како што се физиката, геометријата, математиката и другите науки. Со помош на интегралот се пресметува работата на силата, се наоѓаат координатите на центарот на масата и патеката што ја минува материјалната точка. Во геометријата се користи за пресметување на волуменот на телото, наоѓање на должината на лакот на кривата итн.

Катедра за виша математика

Завршил: Матвеев Ф.И.

Проверено од: Бурлова Л.В.

Улан-Уде.2002 година

1.Нумерички методи на интеграција

2. Изведување на формулата на Симпсон

3.Геометриска илустрација

4.Избор на чекор за интеграција

5.Примери

1. Нумерички методи на интеграција

Проблемот на нумеричката интеграција е да се пресмета интегралот

Преку низа вредности на интеграндот.

Проблемите со нумеричка интеграција треба да се решат за функции наведени во табели, функции чии интеграли не се земени во елементарни функции итн. Да ги разгледаме само функциите на една променлива.

Наместо функцијата што треба да се интегрира, го интегрираме интерполациониот полином. Методите засновани на замена на интеграндот со полином на интерполација овозможуваат да се процени точноста на резултатот користејќи ги параметрите на полиномот или да се изберат овие параметри врз основа на дадената точност.

Нумеричките методи можат условно да се групираат според методот на апроксимација на интеграндот.

Методите на Њутн-Котс се засноваат на приближување на функција за полином на степен. Алгоритмот на оваа класа се разликува само по степенот на полиномот. Како по правило, јазлите на приближниот полином се изедначени.

Методите на интеграција на сплајн се засноваат на приближување на функцијата со полином на дел од сплајн.

Методите со најголема алгебарска точност (Гаусовиот метод) користат специјално избрани нееднакви јазли кои обезбедуваат минимална интеграциска грешка за даден (одбран) број на јазли.

Методите на Монте Карло најчесто се користат при пресметување на повеќе интеграли, јазлите се избираат по случаен избор, а одговорот е веројатност.

целосна грешка

грешка при скратување

грешка во заокружувањето

Без оглед на избраниот метод, во процесот на нумеричка интеграција потребно е да се пресмета приближната вредност на интегралот и да се процени грешката. Грешката се намалува како што се зголемува n-бројот

сегментни партиции. Сепак, ова ја зголемува грешката за заокружување

со собирање на вредностите на интегралите пресметани на делумни отсечки.

Грешката на скратувањето зависи од својствата на интеграндот и должината на парцијалниот сегмент.

2. Изведување на формулата на Симпсон

Ако за секој пар отсечки конструираме полином од втор степен, потоа го интегрираме и го користиме својството за адитивност на интегралот, ја добиваме Симпсоновата формула.

Да го разгледаме интеградот на сегментот. Да го замениме овој интегранд со Лагранж интерполациски полином од втор степен, кој се совпаѓа со точките:

Ајде да се интегрираме:

и се нарекува Симпсонова формула.

Добиената вредност за интегралот се совпаѓа со областа на криволинеарен трапез ограничен со оската, прави линии и парабола што минува низ точките

Сега да ја процениме грешката на интеграцијата користејќи ја формулата на Симпсон. Ќе претпоставиме дека има континуирани изводи на интервалот . Ајде да ја надополниме разликата

Веќе е можно да се примени теоремата за средна вредност на секој од овие два интеграли, бидејќи функцијата е континуирана вклучена и не-негативна на првиот интервал на интеграција и непозитивна на вториот (т.е. не го менува знакот на секој од овие интервали). Затоа:

(ја користевме теоремата за средна вредност бидејќи - е континуирана функција; ).

Диференцирајќи двапати и потоа применувајќи ја теоремата за средна вредност, добиваме уште еден израз за:

, Каде

Од двете проценки за тоа произлегува дека формулата на Симпсон е точна за полиноми со степен не поголем од три. Да ја напишеме формулата на Симпсон, на пример, во форма:

Ако сегментот за интегрирање е преголем, тогаш тој се дели на еднакви делови (претпоставувајќи ), а потоа на секој пар соседни сегменти, ,..., примени ја формулата Симпсон, имено:

Ајде да ја напишеме формулата на Симпсон во општа форма:

Грешка на формулата на Симпсон - метод од четврти ред:

, (3)

Бидејќи методот Симпсон ви овозможува да добиете висока точност, ако не и премногу висока. Во спротивно, методот од втор ред може да даде поголема точност.

На пример, за функција, трапезоидна форма за за го дава точниот резултат, додека со помош на формулата на Симпсон добиваме

3. Геометриска илустрација

На отсечка со должина 2h, се конструира парабола која минува низ три точки, . Областа под параболата, затворена помеѓу оската OX и правите линии, се зема еднаква на интегралот.

Посебна карактеристика на примената на формулата на Симпсон е фактот што бројот на партиции на сегментот за интегрирање е парен.

Ако бројот на отсечки на партицијата е непарен, тогаш за првите три отсечки треба да се примени формула користејќи парабола од трет степен што минува низ првите четири точки за приближување на интеграндот.

(4)

Ова е формулата за три осми на Симпсон.

За произволен сегмент на интеграција, формулата (4) може да се „продолжи“; во овој случај, бројот на делумни отсечки мора да биде повеќекратен од три (точки).

, m=2,3,... (5)

Цел дел

Можете да ги добиете формулите на Newton-Cotes од повисоки нарачки:

(6)

Број на партициони сегменти;

Степенот на користениот полином;

Извод од ти ред во точката ;

Чекор на разделување.

Во табела 1 се прикажани коефициентите. Секоја линија одговара на еден сет на интервали по јазли за да се конструира полином со степен k. За да ја користите оваа шема за повеќе множества (на пример, со k=2 и n=6), треба да ги „продолжите“ коефициентите и потоа да ги додадете.

Табела 1:

Алгоритмот за проценка на грешки за трапезоидните формули и Симпсоновите формули може да се напише како: (7),

каде е коефициент во зависност од методот на интеграција и својствата на интеграндот;

ж - чекор на интеграција;

стр - редослед на методот.

Правилото на Рунге се користи за пресметување на грешката со пресметување на интегралот двапати со чекорите h и kh.

(8) - постериори проценка. Потоа Iref.= +Ro (9), рафинирана вредност на интегралот.

Ако редоследот на методот е непознат, потребно е да се пресмета I по трет пат со чекор , односно:

од систем од три равенки:

со непознати I, A и p добиваме:

Од (10) следува (11)

Така, методот на двојна пресметка, користен потребниот број пати, овозможува да се пресмета интегралот со даден степен на точност. Потребниот број на партиции се избира автоматски. Во овој случај, можете да користите повеќе повици до потпрограмите на соодветните методи на интеграција без да ги менувате алгоритмите на овие методи. Меѓутоа, за методите кои користат подеднакво поврзани јазли, можно е да се изменат алгоритмите и да се преполови бројот на пресметки на интеградот со користење на интегралните збирови акумулирани за време на претходните повеќекратни партиции на интервалот на интеграција. Две приближни вредности на интегралот и, пресметани со трапезоиден метод со чекори и, се поврзани со релацијата:

Слично на тоа, за интегралите пресметани со помош на формулата со чекори и , важат следните односи:

,

(13)

4. Избор на чекор за интеграција

За да го изберете чекорот за интеграција, можете да го користите изразот на преостанатиот член. Земете го, на пример, остатокот од формулата на Симпсон:

Ако ê ê, тогаш ê ê .

Врз основа на дадената точност e на методот на интеграција, го одредуваме соодветниот чекор од последната неравенка.

, .

Сепак, овој метод бара евалуација (што не е секогаш можно во пракса). Затоа, тие користат други методи за одредување на проценката на точноста, кои овозможуваат да се избере посакуваниот чекор h за време на пресметките.

Ајде да погледнеме една од овие техники. Нека

,

каде е приближната вредност на интегралот со чекор . Ајде да го намалиме чекорот за половина, делејќи го сегментот на два еднакви делови и ().

Сега да претпоставиме дека не се менува премногу брзо, така што е речиси константна: . Потоа И , каде , тоа е .

Од ова можеме да го извлечеме следниот заклучок: ако , односно ако , , a е потребната точност, тогаш чекорот е погоден за пресметување на интегралот со доволна точност. Ако, тогаш пресметката се повторува во чекори и потоа се споредува, итн. Ова правило се нарекува правило на Рунге.

Меѓутоа, при примената на правилото на Рунге, неопходно е да се земе предвид големината на грешката во пресметката: како што се намалува, апсолутната грешка во пресметувањето на интегралот се зголемува (зависноста од е обратно пропорционална) и, доколку е доволно мала, може да испадне дека е поголема од грешката на методот. Ако го надмине, тогаш правилото на Рунге не може да се примени за овој чекор и не може да се постигне саканата точност. Во такви случаи потребно е да се зголеми вредноста.

Кога го изведувате правилото на Рунге, во суштина ја користевте претпоставката дека . Ако има само табела на вредности, тогаш проверката за „константност“ може да се направи директно од табелата. Понатамошниот развој на горенаведените алгоритми ни овозможува да преминеме на адаптивни алгоритми, во кои, со избирање на различен чекор на интеграција во различни делови на интеграцискиот сегмент, во зависност од својствата, бројот на пресметки на интеграндот се намалува.

Друга шема за рафинирање на интегралните вредности е процесот на Ајтен. Интегралот се пресметува во чекори, и . Пресметување вредности. Потоа (14).

Мерката за точност на методот Симпсон се зема како:

5. Примери

Пример 1.Пресметајте го интегралот користејќи ја формулата на Симпсон ако е даден со табела. Проценете ја грешката.

Табела 3.

Решение: Да пресметаме со формулата (1) за и интеграл .

Според правилото на Рунге добиваме Accept.

Пример 2.Пресметај интеграл .

Решение: Имаме. Оттука h==0,1. Резултатите од пресметката се прикажани во Табела 4.

Табела 4.

Пресметка на интегралот со помош на формулата на Симпсон

		y0=1,00000; -0,329573е £ 3. Проценки за грешката на методот Симпсон: £ 0,0000017 за =0,1, £ 0,0000002 за =0,05. За да се спречат грешките во заокружувањето да го искриват толку точниот резултат за формулата на Симпсон, сите пресметки беа извршени со шест децимални места. Конечни резултати: