Агилар Еугенио Мануел Фернандез

14.04.2018 - 5:26

Мнозинството училишни учебници, објавени во изминатите стотици години, се проникнати со идеите за „прогрес“ или „еволуција“ - идејата дека секоја следна генерација на човештвото знае и може да направи повеќе и подобро од претходната. И ако споредите времиња пред десетици или стотици генерации, контрастот станува едноставно впечатлив.

Мудроста на античките

Навистина, треба само да се погледнат портретите или бистите на угледните експерти кои често ги илустрираат соодветните параграфи: високи чела, збрчкани лица, сериозни очи, респектабилна растурена брада - и потоа да се споредат со она што е претставено во истите параграфи како највисоките. достигнување овие научници да шмркаат со мешавина од ароганција и презир.

Ха! Мислеа и работеа цел живот, читаа безброј дела на други мислители, се расправаа со други како нив за да создадат некаква Талесова теорема или Паскалов закон, што сега секое дете од не највисоки оценки го учи за неколку лекции. Зарем ова не е јасен доказ за напредок?

Не, не, таков презирен став никогаш не се прикажува експлицитно, напротив, со зборови, нашите книги на секој можен начин ја возвишуваат мудроста на древните. Сепак, вреди да се спојат два и два, па дури и најзаостанатиот студент ќе сфати: ако ова е мудрост, тогаш што беше глупост во тие денови?! Колку биле примитивни нашите предци!

Токму во оваа светлина, идејата дека пред само неколку илјади дивјаци во шипки со грубо изделкани камени секири се возеле низ светот, за кои дури и лак и стрела изгледале како врв на технолошкиот гениј, изгледа многу веродостојна. И уште порано? Заборави! Мајмуни, само мајмуни. Има некои противречности со оваа слика за развојот на цивилизацијата - на пример, „мрачните векови“ на средновековниот Западна Европаили неверојатните „седум светски чуда“ се чини дека не се ништо повеќе од исклучоци кои го докажуваат правилото.

Законот на Архимед

Но, колку е оправдано таквото воздигнување над генијалците од минатите векови? Дали е вистина дека ако некој од нив некако завршил во нашиве денови, тогаш кој било студент средно школоби можеле ли лесно да се споредите со него во однос на менталниот развој? И тој можеше да го удри со некој вид логаритам или интеграл?

Да се ​​свртиме кон еден од навидум најпознатите мислители за нас антички свет. Архимед. Секој ја знае неговата приказна, нели? Тој е прикажан во безброј книги и популарни научни филмови, дури и во неколку детски цртани филмови. Смешен старец кој трчал гол низ градот извикувајќи „Еурека!“, откако преку едноставен експеримент во сопствената бања открил дека „тело потопено во течност е подложено на пловна сила еднаква на тежината на течноста што ја поместува .“

Користејќи го овој принцип, подоцна наречен „Архимедов закон“, научил произволно да го мери волуменот на телата сложена форма. И на патот, тој му помогна на тиранинот од Сиракуза да разоткрие еден измамен златар кој направил круна по нарачка не од чисто злато, туку од легура на злато и сребро. Тој исто така бил познат механичар, автор на „Архимедов шраф“ и бројни воени машини и механизми кои ги преплашувале античките римски напаѓачи. Меѓутоа, тие, и покрај сите лукави воени средства, некако ја зазедоа Сиракуза, а кутриот Архимед умре од рацете на неукиот римски војник бидејќи бараше „да не се допираат неговите цртежи“.

И, еве, тој исто така рече: „Дај ми потпора и јас ќе ја свртам Земјата!“ - кој, и покрај неговиот импресивен звук, не беше ништо повеќе од илустрација на наједноставниот механички принцип на лост. Па, тоа е веројатно сè, нели?

Познавање на екумената

За жал, ниту блиску. Секоја повеќе или помалку сериозна биографија ќе ни каже дека Архимед не само што бил извонреден филозоф, природен научник и пронаоѓач, туку, пред сè, еден од најголемите математичари од грчко-римската ера. Тој беше далеку од самоук, но доби одлично образование во Александрија Египетска, главна научен центарод тоа време, и целиот свој живот го поминал во кореспонденција со научници од таму.

Количината на знаење достапно во Александрија во 3 век п.н.е е незамисливо, бидејќи ги содржеше не само достигнувањата на сите народи од медитеранскиот басен, туку, благодарение на походите на Александар Македонски, исто така многу мистериозни цивилизацииМесопотамија, Персија, па дури и долината на Инд. Така, преку Архимед можеме да се надеваме дека барем малку ќе го допреме знаењето за речиси целата „Екумена“.

Освен тоа, историчарите на науката со право веруваат дека за Архимед знаеме многу повеќе отколку за кој било друг антички математичар. Точно, тие веднаш додаваат дека практично ништо не знаеме за другите. Значи, навредливо малку знаеме за Архимед. Се разбира, никој не се сомневаше во одличната математичка репутација на Архимед со илјадници години, но колку подалеку тој одеше, толку повеќе се поставуваа прашања за точно какви резултати и што е најважно, КАКО ги постигна.

Изгубени докази

Факт е дека многу малку од оригиналните дела на Архимед преживеале не само до ден-денес, туку дури и до ренесансата, кога интересот за сериозна математика се појави за прв пат по многу стотици години. Се разбира, не зборуваме за ракописи напишани со негова рака, туку барем за сигурни копии од копии или целосни преводи на други јазици.

За жал, огромен дел од наследството на антиката е зачувано само во цитати дадени од други, понекогаш многу подоцнежни, автори, а тоа се однесува не само на Архимед, туку и на апсолутно сите други извонредни антички научници и филозофи. Она што мислиме дека го знаеме за нив е само многу мал дел од она што тие всушност го постигнале. Освен тоа, овој мал дел содржи безброј случајни и намерни искривувања на многу книжници, преведувачи и коментатори, од кои не сите биле подеднакво чесни и совесни.

Покрај тоа, како и многу математичари од раните епохи, Архимед во неговите дела не секогаш даваше детални доказинивните формули и теореми. Ова се должеше и на фактот дека за практична применане се бара доказ, а со тоа што секогаш постоел круг на завидливи луѓе кои сакале да присвојат значаен резултаткон себе. Чувањето во тајност на методот на докажување овозможи да се потврди сопственото авторство или да се побие авторството на измамник, доколку се појави потреба. Понекогаш, за дополнително да се збуни ситуацијата, се објавуваа лажни докази со намерно воведени неточности и грешки.

Се разбира, кога резултатот доби општо признание, точните докази сè уште беа објавени, но, од очигледни причини, бројот на ракописи што ги запишаа беше многу помал од бројот на оние што го дадоа само конечното решение. Тоа беше дополнително комплицирано со фактот што во античката грчка математика, цртежите не само што го илустрираа текстот на доказот, туку и самите беа суштински дел од него - и не секој писар беше доволно вешт во копирањето сложени геометриски форми. Поради ова, многу докази беа изгубени засекогаш.

Методот на Архимед

За околу илјада години, меѓу таквите дела кои засекогаш беа изгубени за човештвото беше расправата на Архимед „Метод на теоремите на механиката“, честопати позната како „Метод“. Во него Архимед детално објаснил како постигнал некои од неговите најневеројатни резултати.

Неговото значење за разбирање на наследството на овој антички грчки мислител е толку големо што историчарите на науката понекогаш го нарекуваат овој трактат „листа на мозокот на Архимед“. Без пристап до барем извадоци од овој текст, се сметаше дека е речиси невозможно да се одреди вистинското ниво на математичкото знаење и вештини на Архимед.

Првата трошка надеж дека ова дело сепак би можело да опстане се појавило кон средината на 19 век. Заземањето на Египет од страна на Наполеонската војска и извозот од таму во Европа на огромно количество културен имот предизвика интерес кај просветените луѓе за проучување на Античкиот Исток. Во тој момент квинтесенција на се античка историјаБиблијата била разгледувана, но нејзиниот авторитет до одреден степен бил поткопан од критиките од просветителските мислители.

Директното проучување на спомениците на минатите цивилизации отвори можност да се потврди библискиот текст со факти, а многу Европејци и Американци со ентузијазам се зафатија со оваа задача. Некои патувале низ земјите од Блискиот Исток во потрага по изгубени уметнички дела, некои на свој трошок ископувале урнатини на изгубени градови, а некои барале одамна заборавени ракописи во библиотеките на земјите од Блискиот Исток.

Библиски научник

За жал, и покрај фактот што многу од овие „библиски научници“ од 19 век постигнаа неверојатни резултати, во најголем дел тие беа многу далеку од професионални. Што е одлично илустрирано со следната епизода. Познатиот германски „библиски научник“ Константин фон Тишендорф работел во библиотеките во Константинопол во 1840-тите.

Оттаму донел дома страница од ракопис што го интересирал, на која забележал неколку полуизбришани сложени математички пресметки на грчки јазик.

Колку и да е тажно да се признае, тој очигледно едноставно ја искинал од книгата кога библиотекарката гледала на другата страна. Сега оваа страница се чува во библиотеката на Универзитетот во Кембриџ, и како доказ за неверојатно случајно откритие и за варварскиот однос на некои западни „научници“ кон наследството на антиката.

Иако оваа страница подоцна одигра улога во откривањето на наследството на Архимед, вистинската заслуга за откривањето на книгата, која подоцна стана позната како Палимпсест на Архимед, не му припаѓа на Тишендорф, туку на еден нејасен турски библиотекар. При составувањето на каталогот внимавал и на линиите на математичките пресметки и навел извадок од нив во каталогот на библиотеката, кој бил објавен и дистрибуиран низ светот.

Неверојатен документ

На почетокот на 20 век, овој каталог паднал во рацете на данскиот историчар и филолог Јохан Лудвиг Хајберг, кој бил толку заинтригиран што не бил премногу мрзлив да стигне до Константинопол и лично се запознал со книгата во 1906 година. Она што го виде го шокираше до срж.

Излегува дека во неговите раце паднал неверојатен документ. На прв поглед, прилично обична литургиска книга од пустинскиот манастир Мар Саба, во близина на Ерусалим, препишана во 13 век. Но, ако погледнете внимателно, низ литургискиот текст имаше слаби линии од претходниот грчки, преполни со научни и филозофски термини. На секој специјалист запознаен со културата на средниот век веднаш му беше јасно што значи тоа.

За жал, пергаментот на кој се пишуваа средновековни книги беше направен од телешка кожа и беше скапа работа. Затоа, недостигот од овој материјал честопати се решаваше сосема директно: помалку потребните книги беа поделени на посебни листови, мастилото беше исчистено од овие листови, потоа тие повторно беа зашиени и на нив се пишуваше нов текст. Терминот „палимпсест“ само значи ракопис над избришан текст.

Во случајот со Палимпсестот на Архимед, секој од оригиналните лисја исто така беше преклопен на половина за да се создаде помала книга. Затоа испадна дека новиот текст е испишан преку стариот. Како материјал за пишување, непознатиот монах-писар користел збирки на научни и политички дела составени во Византиската империја околу 950-тите. За среќа, чистењето не беше направено многу темелно, што овозможи да се открие изворниот текст.

Прелиминарното испитување на Хајберг покажа дека авторството на голем број текстови од 10 век не му припаѓа на никој друг туку на Архимед и што е најважно, меѓу нив посакуваниот „Метод“ е присутен речиси во целост! За жал, библиотеката забранила вадење на ракописот од нејзините простории (откако се сретнал со ликови како Тишендорф, кој може да ги обвини?), па научникот ангажирал фотограф за повторно да го фотографира целиот кодекс за него. Потоа, вооружен со ништо повеќе од лупа, Хајберг почна макотрпно да ја дешифрира фотокопијата. Успеа да среди многу, а конечниот резултат беше објавен во 1910-1915 година, беше објавен доста брзо и Англиски превод. Откривањето на изгубеното дело на Архимед предизвика многу врева, па дури и се најде на насловната страница на Њујорк Тајмс.

Но, тешката судбина на Палимпсест на Архимед не заврши тука. За време на Првата светска војна (како резултат на што Отоманската империјапрестана да постои) и за време на опустошувањето веднаш по него, апсолутно немаше време за антички ракописи во Константинопол. Како и во времето на Наполеон од Египет, така и во 1920-тите огромен проток на турски вредни предмети се влеа во Европа. Дури многу подоцна беше можно да се утврди дека одреден приватен колекционер можел да го купи и однесе Палимпсестот во Париз. Каде што долго време стана само љубопитност, вртејќи се во свет многу далеку од знаење.

Код од заборав

Интересот за книгата беше обновен дури во 1971 година, повторно благодарение на каталогот на библиотеката. Експертот за античка грчка култура од Оксфорд, Најџел Вилсон, го привлече вниманието на интересен документ од библиотеката во Кембриџ, страница која веќе ни е позната, грубо искината од Тишендорф.

Факт е дека пребарувањето во античките грчки речници покажа дека некои од термините употребени на страницата се карактеристични конкретно за делата на Архимед.

Вилсон добил дозвола потемелно да го испита документот и не само што потврдил дека страницата му припаѓа на Палимпсестот, туку и докажал дека со помош на претходно недостапните технологии (како ултравиолетовото осветлување), текстот од 10 век може целосно да се обнови.

Остануваше само да се најде кодот кој потонал во заборав. Академскиот свет започна интензивна потрага, но не дојде до ништо. Конечно, во 1991 година, вработен во една од водечките светски аукциски куќи, Кристи, добил писмо од одредено француско семејство, во кое било наведено дека сакаат да го на аукција истиот Палимпсест. Веста беше примена со прилично голема количина на скептицизам, но последователниот преглед донесе неочекувано позитивна пресуда.

Како резултат на сензационално наддавање, документот бил продаден на анонимен милијардер за 2 милиони долари. Сите светски научнициго задржаа здивот - на крајот на краиштата, по волја на новиот сопственик, книгата едноставно можеше засекогаш да биде заклучена во сеф.

Вистински кошмар

За среќа, стравувањата беа неосновани. Кога Вил Ноел, кустос за ракописи во Музејот на уметност Волтерс во Балтимор (САД), му пристапил на агентот на сопственикот со барање да добие дозвола за обновување и проучување на Палимпсестот, неговата иницијатива беше примена со ентузијазам. Тие велат дека милијардерот своето богатство го стекнал во високата технологија и затоа не бил толку далеку од науката и нејзините интереси.

Од 1999 до 2008 г цела група специјалисти од различни области, од филологија и историја на уметност до спектроскопија и компјутерска анализаподатоци, се занимаваше со реставрација и скенирање на Палимпсестот на Архимед. Не беше лесна работа.

Самиот Ноел го опишува својот прв впечаток за ракописот: „Бев ужаснат, згрозен, ова е апсолутно одвратен документ, изгледа многу, многу, многу грдо, воопшто не наликува на голем артефакт. Само кошмар, вистински кошмар! Изгорено , со изобилство од „ПВА лепак по крајот, под лентите на овој лепак, се крие голем дел од текстот на Архимед, кој требаше да го обновиме. Секаде има канцелариски кит, страниците се покриени со хартиени ленти. Едноставно нема зборови за да се опише лошата состојба на Архимед Палимпсест“.

Во манастирот книгата активно се користела во божествените служби, па на многу места е обоена со восок од свеќи. За време на мистериозниот период 1920-1990 година. некој фалсификувал шарени „древновизантиски“ минијатури на некои страници во обид да ја подигне вредноста на ракописот. Но, главниот проблем беше што целиот кодекс беше сериозно оштетен од мувла, на некои места јадејќи низ страниците.

Зрна песок во универзумот

Но, имаше и радости. Кога кодексот бил исечен на посебни листови, било откриено дека многу линии од текстот на Архимед биле скриени во сврзувачката и затоа недостапни за Хајберг - понекогаш тоа биле клучни точки во докажувањето на теоремите.

Фотографијата во различни опсези на електромагнетниот спектар, од инфрацрвена до рендгенска зраци, проследена со компјутерска обработка на слики, овозможи да се реконструираат буквите од текстот од 10 век дури и таму каде што биле некако скриени или целосно невидливи со голо око.

Но, зошто сета оваа макотрпна работа? Зошто да барате многу години? Што може да се најде во текстот на делата на Архимед, а особено во „Методот“ скриен од нас цел милениум, што би го оправдало ентузијазмот на научниците во однос на Палимпсестот на Архимед?

Одамна беше познато дека Архимед се интересира за многу големи и многу мали количини и поврзување на едно со друго. На пример, за да го пресмета обемот на кругот, тој го впишал во многуаголник со голем број страни, но мала должина. Или го интересираше бројот на ситни зрна песок во Универзумот, кој беше претставен како огромен број. Ова е приближна вредност на она што овие денови се нарекуваат бесконечно големи и бесконечно мали количини. Но, дали Архимед бил способен да работи со математичка бесконечност во вистинска, модерна смисла на зборот?

Архимедови интеграли

и на прв поглед, бесконечноста не е ништо повеќе од апстрактна математичка апстракција. Но, дури откако математичарите научија да работат со оваа категорија, се појави таканаречената „математичка анализа“, математички пристап за опишување на какви било промени и, особено, движење. Овој пристап е во основата на речиси сите современи инженерски, физички, па дури и економски пресметки; без него е невозможно да се изгради облакодер, да се дизајнира авион или да се пресмета лансирањето на сателит во орбитата.

Основата на нашата модерна математичка анализа, диференцијалното и интегралното пресметување, беа создадени од Њутн и Лајбниц кон крајот на 17 век, и речиси веднаш светот почна да се менува. Така, токму работата со бесконечноста ја разликува цивилизацијата на коњски влечење и ветерници не само од цивилизацијата на компјутерите и вселенските бродови, туку дури и од цивилизацијата на парните машини и железницата.

Значи, прашањето за бесконечноста има огромно, дури би можело да се каже „дефинирање на цивилизацијата“ значење. И по работата на Хајберг на почетокот на 20 век и, особено, по работата на тимот на Ноел пред неколку години, што беше испреплетена со многу јас, одговорот на ова прашање е многу јасен и нагласен: да, Архимед го знаеше концептот на бесконечност. многу добро, и не само теоретски управувано со него, туку и практично го користев во пресметките! Неговите пресметки се беспрекорни, неговите докази издржуваат внимателно тестирање од современите математичари. Смешно е, тој доста често го користи она што во модерната математика се нарекува „Риманови суми“, во чест на познат математичар... XIX век.

Кога ги пресметува волумените, Архимед користи техника која може да се нарече само интегрално сметање. Точно, ако детално ги прочитате неговите пресметки, добивате чувство дека ова е составен калкулус „од друг свет“. Иако има многу заедничко со она што ни е познато денес, некои пристапи изгледаат сосема туѓо и неприродно. Тие не се полоши или подобри, тие се само различни. И ова ми праќа студ на 'рбетот: ова виша математика, генетски во никој случај не е поврзан со модерната! Милениуми по Архимед, современите научници сето тоа го измислиле од почеток, одново, со иста содржина, но во малку поинаква форма.

Метод на исцрпеност

За жал, Палимпсест на Архимед не дава и не може да одговори на уште едно интригантно прашање: до кој степен ваквите методи на пресметување биле единствени за Архимед и ја одразувале неговата сопствена генијалност, и до кој степен биле типични за грчко-римските математичари и инженери воопшто? Најмалку еден метод на пресметување, еден вид пресметка што Архимед ја совладал, може да се проследи околу 5 век п.н.е. д. Ова е „метод на исцрпување“, кој беше развиен во Античка Грцијаобично се поврзува со името на Евдокс од Книд, иако постојат докази дека тој бил познат порано.

Се разбира, овој метод подоцна бил или повторно измислен или реконструиран во 17 век. Искуството од математиката во последните векови ни кажува дека научниците кои течно зборуваат применета математика, многу ретко се одговорни за теоретски откритија. Архимед, пред сè, е применет научник; тој е заинтересиран за проблеми со пресметување на специфични должини, области и волумени.

Значи, можеби неговата методологија за работа со бесконечни количества не била толку развиена колку рафинирана или преработена од него. Но, ако научниците од Александрија или некои други научно училиштеантичкиот свет во слободна сопственост математичка анализа, клучот за модерни технологии, што друго би можеле да знаат и да можат да направат? Хоризонтите што ги отвора таквата претпоставка го одземаат здивот.

Горчлива лекција

Сега кога ја знаеме приказната за Палимпсест на Архимед, можеме да се повлечеме и да размислиме. Да, за жал, неговото откривање доцни. Во 20 век, тој стана сензација, но сензација само меѓу специјалистите во историјата на науката. Но, што ќе се случеше ако неговата приказна испаднеше поинаку? Ако овој ракопис паднал во рацете на научниците 100, 300, 500 години порано? Што ако Њутн ја прочитал оваа книга додека бил во училиште? Или Коперник? Или ?

Современите истражувачи самоуверено тврдат дека дури и за математичарите од 19 век оваа работа би била од повеќе од академски интерес. За математичарите од 17-18 век, неговото значење би било огромно.

И во ренесансата, ако падне во вистински раце, едноставно ќе произведе ефект на експлозија на бомба, целосно преобликувајќи го идниот развој на математиката и инженерството. Што изгубивме со тоа што го изгубивме пристапот до само една древна книга со векови? Градови на Марс, меѓуѕвездени вселенски бродови, еколошки термонуклеарни реактори? Никогаш нема да дознаеме...

Но, оваа горчлива лекција не треба да се троши залудно. Колку подеднакво важни, а можеби и уште повредни, книги и документи сè уште се кријат од нас? Дали е на правливите полици во архивите и библиотеките, скриени во музејските складишта, заклучени во огноотпорни кабинети на колекционери? Колку тајни чуваат недешифрирани клинесто писмо и натписи на ѕидовите на античките згради?

Ако текстот напишан во 200-тите п.н.е сè уште може да се смета за револуционерен не помалку од две илјади години подоцна, дали постојат антички дела кои можат да дадат значителен поттик за науката и технологијата денес? Преземаме ризик и никогаш нема да дознаеме ако не се ослободиме од арогантно игнорантската идеја за „примитивноста“ на нашите предци.

Да потсетиме, зборувавме и за тајното знаење на древните свештеници кои знаеле

Георги Калецки

• 6172 прегледи

Архимед беше човек со толку возвишен начин на размислување, толку длабочина на душата и богатство на знаење што не сакаше да пишува ништо за работите што му ја дадоа славата на не смртен, туку божествен ум, но, со оглед на конструкција на машини и, воопшто, секоја уметност вклучена во секојдневните потреби, подло и безобразно, целата своја ревност ја насочил кон такви активности во кои убавината и совршенството не се мешаат со потребите.животот. И не може да не се поверува на приказните дека тајно бил маѓепсан од одредена сирена која не го оставила ниту за момент, па затоа заборавила на храната и грижата за своето тело. Направил многу прекрасни откритија, но ги замолил пријателите и роднините да постават на неговиот гроб само цилиндар со топка внатре и да напишат пресметка за односот на нивните волумени.

Архимед не се закачи од големо значењесите машини што ги правел, ги сметал само за едноставни геометриски играчки со кои работел слободно време, а потоа најмногу на инсистирање на кралот Хиеро, кој постојано ги насочувал своите студии од чисто интелектуални предмети кон материјалните работи.

Во момент на опасност што му се закануваше на неговиот роден град, Архимед успеа да ја напушти својата „канцеларија“ и да ја посвети целата своја сила на нејзината одбрана.

Сето ова е толку убаво што неволно се поставува прашањето: „Дали е ова вистина? Зарем ова не е легенда создадена околу Архимед? А дека таквите легенди всушност биле создадени, може да се види и од многу заедничко објаснување за тоа како Архимед го открил законот што го носи неговото име: секое тело потопено во течност губи тежина колку што течноста тежи во волуменот на ова тело. Ова објаснување се заснова на следниов приказ на римскиот архитект Витрувиј.

„Кога Хиеро, кој ја постигна кралската власт во Сиракуза, по успешното завршување на неговите походи, реши, со завет на бесмртните богови, да постави богата круна во еден од храмовите, нареди да се направи за одредена сума. и му ја одмерила потребната количина на злато на изведувачот. Во времето определено со договорот, Архимед (3 век п.н.е.) му доставил на кралот фино изведено дело, кое очигледно точно одговарало на тежината на златото наменето за него.

Откако кралот дознал дека дел од златото е скриено и дека за време на правењето на круната била измешана иста количина сребро во неа, тој, огорчен од навредата што му била нанесена и не наоѓајќи начин да ја докаже оваа кражба, му се обрати на Архимед со барање сами да го решите ова прашање.

Така се случи, додека Архимед размислуваше за ова, тој, седејќи во бањата, забележа дека колку подлабоко го втурнува телото во неа, толку повеќе вода течеше преку работ. Оваа идеја му послужи како начин да си го реши прашањето и без двоумење, пресреќен, скокна од бањата и се упати кон својот дом, викајќи гласно дека го нашол тоа што го барал, бидејќи додека трчал постојано викал внатре. Грчка „еурека, еурека“.

Забележете дека приказната на Витрувиј не го спомнува законот на Архимед. Всушност, како што може да се види од метриката на Херон од Александрија (околу 100 г. н.е.), Архимед верувал дека ако телото што треба да се измери е преносливо, тогаш треба да се направи правоаголен сад кој може да го смести ова тело, да го наполни со вода и спуштете го во неговото тело не е во ред; тогаш е јасно дека одредена количина на вода ќе се излее на тој начин што каков и да бил волуменот на телото потопено во вода, толку многу вода ќе недостасува во овој сад откако телото ќе се извади од него.

Ако го измерите просторот што стана празен, можете да го најдете волуменот на спуштеното тело, а со тоа и густината.

Сега да се обидеме да го замислиме Архимед ослободен од акумулираните легенди. Неговиот ученик Хераклид составил изгубена/сега биографија на својот учител.

Оваа биографија очигледно била многу иконографска, бидејќи авторот дури му го припишувал на Архимед откривањето на конусни делови, кои не може да одговараат на реалноста. Ајде да се обидеме да ја реконструираме биографијата на Архимед врз основа на сигурно утврдени факти.

Архимед умрел во 212 п.н.е. д. - во годината на заземањето на Сиракуза од римската војска. Византиски писател од 12 век. Цеци известува дека умрел на 75-годишна возраст; врз оваа основа, општо прифатено е дека Архимед е роден на Сицилија во 287 година п.н.е. д. Кога Архимед имал околу десет години, познатиот крал Пир од Епир ја нападнал Сицилија.

Во борбата против Пир напредувал Иеро, кој бил роднина на Архимед, а во 270 г.п.н.е. д. станал владетел на Сиракуза. Првата половина од неговото владеење не била мирна; се вклучил во првата пунска војна (264-241 п.н.е.), каде се борел против Римјаните во сојуз со Картагинците, но набрзо се повлекол од војната. На крајот на војната, Сицилија стана римска провинција, Сиракуза сè уште беше слободна.

Од 241 п.н.е д. започнува мирниот период на владеењето на Хиеро, кој се обидел да одржува добри односи и со Римјаните и со Картагинците; сепак, тој активно се подготвува да одбие можни напади врз слободата на Сиракуза и ја зајакнува одбраната на неговиот роден град, вклучувајќи го Архимед во оваа работа, како што напиша Плутарх.

Ова беше позадината на која се одвиваа активностите на Архимед. Од целосните дела на Архимед што дојдоа до нас, да го разгледаме следново.

1. „Квадрација на парабола“.

2. Две книги „За топката и цилиндерот“.

3. „За коноидите и сфероидите“.

4. „За спиралите“.

Овие дела претставуваат комплетна група пораки напишани од Архимед до одреден Доситеј, ученик на Конон од Самос, кој бил нешто како научен надзорник на Архимед и му ја дал програмата за работа отелотворена во овие пораки. Редоследот по кој се напишани овие есеи е целосно утврден од воведите што ги придружуваат.

Првото од овие дела му било напишано на Доситеј по смртта на Конон. Конон од Самос на историчарите им бил познат од следната легенда. Во 246 п.н.е. д. египетскиот владетел Птоломеј III Еуергет ја започнал Третата сириска војна и тргнал во поход против Антиохија; неговата сопруга Вереника, молејќи се за успешен крај на кампањата, им ја жртвуваше косата на боговите. По завршувањето на кампањата, се покажа дека нејзината коса не е во слепоочницата; тогаш дворскиот астроном Конон изјавил дека овие влакна биле поставени од боговите на небото и формирале ново соѕвездие „Косата на Береника“. Овој настан го пееше дворскиот поет Калимах, како резултат на што им стана познат на историчарите.

Кононбил всушност многу важен научник кој имал големо влијание врз научниот развојАрхимед, кој можел да го запознае на Сицилија, каде Конон вршел астрономски истражувања, или во Александрија за време на престојот на Архимед таму.

Вториот научник со кој Архимед одржувал кореспонденција бил познатиот Ератостен Киренски (285-205 п.н.е.), кој бил поканет во Александрија во 245 година од Птоломеј Евергет да го образува својот син и наследник Птоломеј IV Филопатор. Најпогодно време за оваа посета дојде по завршувањето на првата пунска војна, кога владетелот на Сиракуза, Хиеро, можеше да го ослободи Архимед во Александрија.

Легендата за Берника е важна по тоа што во 246 п.н.е. д. Конон бил жив, затоа, есејот „За квадратурата на параболата“ е напишан по оваа година. Но, во 246 година, Архимед веќе имал 41 година; така, Архимед морал да се занимава со научна работа во неговите години на опаѓање, приближувајќи се на возраста. Од 50. Обично историчарите ја датираат смртта на Конон во триесеттите години на 3 век п.н.е., тогаш се претпоставува дека Квадратурата на параболата може да се датира приближно во 235 п.н.е.

Дозволете ни да го одредиме приближното време на преостанатите дела на Архимед:

5. Две книга „На рамнотежа“ рамни фигури».

6." Ефод, или Послание до Ератостен за механички теореми“.

7. Две книги „За лебдечките тела“.

8. „Мерење круг“.

9. „Псамит“.

10. „Проблемот на бикот“.

Двете книги „За рамнотежата на рамни фигури“ имаат за цел да го одредат тежиштето на параболичен сегмент; така тие се напишани по „Квадрација на параболата“.

Во воведот на Ефод, Архимед напишал за теоремите што ги нашол. Овие теореми се покажаа различни од оние пронајдени порано: навистина, во претходните теореми, коноидните и сфероидните тела, како и нивните сегменти, беа споредувани по големина со конуси и цилиндри, и ниту едно од овие тела не се покажа еднакво на цврста фигура ограничена со авиони; од разгледуваните тела, ограничени со две рамнини и цилиндрични површини, секое излегува дека е еднакво на една од цврстите фигури ограничени со рамнини.

Така, „Ефод“ се пишува по „Коноиди и сфероиди“.

Втората книга, „За лебдечки тела“, ја испитува рамнотежната положба на параболоидниот сегмент, за кој е неопходно да се знае положбата на центарот на гравитација на соодветниот волумен. Бидејќи оваа позиција е дефинирана во „Ефод“, книгите за пливање биле напишани по „Ефодот“.

Така, редоследот на овие дела може да се смета за воспоставен - сите тие беа напишани по „Квадрација на параболата“.

Останатите три дела се однесуваат на пресметковната математика. Од нив, книгата „За мерењето на круговите“ е особено интересна, напишана, како што напиша самиот Архимед, порано од „Псамита“.

Во првите четири посочени дела (во посланијата до Доситеј), Архимед се занимава со определување на површините и волумените на различни фигури и тела. Неговото решение се состои од две фази: во првата, тој го решава проблемот најпрво механички, разбивајќи ја фигурата што се проучува на многу мали делови, многу слични на „неделивиот“ на Демокрит; Добивајќи го на тој начин решението на проблемот, тој го докажува строго геометриски, користејќи го методот на исцрпување Еуддокс, конструирајќи последователни множества праволиниски фигури или плочи така што тие ја „исцрпуваат“ целата површина или волумен на измерената фигура. Во „Squaring the Parabola“ тој тоа го прави земајќи го методот на исцрпеност во неговата оригинална форма. Ајде да го разгледаме овој метод.

Нека AOB(сл. 3) претставува сегмент од парабола, чија површина треба да се одреди; нека ОС е оската на параболата, која ја земаме како оска X, потоа односот помеѓу апсцисите Xи ординати напараболата ќе изгледа вака:

Сл.3

Архимед го користи својството на параболата дека сите нејзини дијаметри се паралелни. Тој впишува триаголник во парабола AOB, чие теме се совпаѓа со темето на параболата; Да ја земеме плоштината на овој триаголник како една. Од оската Ое оската на параболата, тогаш СО- средна точка на права линија АБ, ОС- дијаметар на сегментот AOB.

По изборот на триаголникот AOBдобиваме уште два сегменти од параболата. Ајде да ги поделиме акордите ОПИ ОБна половина во поени ДИ Д"и цртаат отсечки ДЕИ D"E". Поврзување на точките со прави линии ЕИ Е"соодветно со А, ЗАИ ВО, добиваме уште два триаголници ОЕОИ В.Е.„О. Ајде да нацртаме прави линии ДД"И ЕЕ"добиената фигура очигледно ќе биде паралелограм.

Но На пр.ја претставува ординатата што одговара на апсцисата О.Г., А AC- ордината за апсциса ОС. Бидејќи А.Ц.=2На пр., тогаш според равенката (1) параболите

или

Ајде да ги поместиме триаголниците ОЕОИ БЕ" Опаралелно со оската Отака што тие стануваат основи на права линија АБ. Уште од височините ЕДИ ЕД"еднакви, тогаш лесно може да се види дека збирот на плоштините на овие триаголници во поместената положба е еднаков на четвртина AOB, или, бидејќи областа AOBземено како едно.

Збирот на плоштините на добиените три триаголници е:

Ако се разгледаат уште четири отсечки на акордите АЕ, ЕО, ОЕ“ и Е„Би впишете триаголници во нив, тогаш слично расудување ќе покаже дека збирот на плоштините на овие четири триаголници е еднаков насуми на триаголници ОЕОИ ОЕ„Б; Со собирање на овие триаголници, го добиваме збирот

Продолжувајќи да размислуваме на ист начин, откриваме дека површината на сегментот што се разгледува е еднаква на збирот на геометриската прогресија:

Така, ако се конструира правоаголник (паралелограм) врз основа на сегментот AB и неговата оска OS, тогаш површината на параболичниот сегмент ќе биде еднаква на 2/3 од областа на овој паралелограм.

Во книгите „За сферата и цилиндерот“ се забележува следната еволуција на методот на исцрпување. Утврдената вредност лежи помеѓу два сума, од кои едниот е поголем, а другиот помал од утврдената вредност, а односот на овие збирови може да се направи произволно блиску до единството.

Истиот метод се користи во книгите „За спирали“ и „За коноиди и сфероиди“, но сега дефинитивен услов е разликата помеѓу овие збирови да може произволно да се направи блиску до нула.

Бидејќи книгата „За мерење на круг“ ја користи третата форма на методот на исцрпување, постојат сите причини да се верува дека оваа книга е напишана не порано од делата „За спирали“ и „За коноиди и сфероиди“. Покрај тоа, интересна е сличноста на темите на книгата „За спирали“ и „Мерења на кругот“: и двете се однесуваат на определувањето на обемот, но само во првата книга обемот се добива со градење, а во вториот со пресметка.

Така, најраното преживеано целосно дело на Архимед е „Квадратурата на параболата“, напишана од него на 45-годишна возраст. Што правел Архимед порано? Извештајот на Полибиј за опсадата на Сиракуза наведува дека Првата пунска војна не го решила прашањето за формата на односите меѓу Рим и Картагина. Картагинците не можеа да се помират со загубата на Сицилија, а малку подоцна и Сардинија и Корзика, заземени од Рим.

Во 218 п.н.е. д. Втората пунска војна започна со поход. Ханибал од Шпанија преку Алпите до Италија. Серијата блескави победи на Ханибал, од кои најважна беше победата кај Кана (216 п.н.е.), го ставија Рим во многу тешка ситуација, но сепак Римјаните не се предадоа. Ханибал мораше да бара сојузници. Следната година по победата во Кана, умре деведесетгодишниот Хиеро, кој му остана лојален на Рим, но по неговата смрт во Сиракуза преовладуваше антиримската партија и Сиракуза се приклучи на востанието на грчките колонии во Сицилија. Војска под команда на Апиј Клавдиј и флота под команда на Маркус Марцел беа испратени против Сиракуза. Римјаните сакале да ја заземат Сиракуза со првиот напад, надевајќи се со големиот број работници да ги завршат подготовките во рок од пет дена. Но, во исто време, тие не ја земаа предвид уметноста на Архимед, не сфатија дека понекогаш талентот на една личност може да направи повеќе од огромен број раце. Архимед подготвил такви средства за одбрана внатре во градот, како и против напаѓачите од морето, што бранителите немале потреба да се мачат со непредвидена работа во случај на неочекувани методи на напад; Тие имаа сè подготвено однапред за да го одбијат непријателот во секој случај.

Потоа Полибиј зборува за нападот на римската флота од морето. Архимед изградил машини, приспособувајќи ги да фрлаат проектили на кое било растојание. Значи, ако непријателот пливал оддалеку, тогаш Архимед го удирал со фрлачи на камења од долг дострел со тешки гранати или стрели и го втурнал во тешка положба. Кога гранати почнале да го надлетуваат непријателот, Архимед користел помали машини, секој пат во зависност од далечината, и толку многу ги преплашил Римјаните што не се осмелиле да го нападнат или да се приближат до градот со бродови. Конечно, Маркус (Марселус), изнервиран од неуспесите, бил принуден да се обиде тајно да се приближи до градот со бродови ноќе. Кога Римјаните се приближиле до брегот на растојание за стрелање, Архимед употребил уште едно средство насочено против војниците кои се бореле од бродовите, имено: тој наредил да се направат многу дупки на ѕидот приближно на висина на човековата висина, од надворешната страна на ширината на четири прсти; Тој постави пушки на отворите од внатрешната страна на ѕидот, пукаше кон војниците на бродот низ отворите и со тоа ги лиши од секаква можност да направат било што. Така, без разлика дали непријателот бил далеку или блиску, Архимед не само што ги уништил сите негови планови, туку предизвикал и големи пустоши во неговите редови.

Во моментов, она што го направи Архимед се нарекува пукање со квадрат: целата област што ја опкружува тврдината е поделена на квадрати и за секој квадрат се одредува котата (аголот со хоризонтот на муцката) за пиштолот од кој треба да се пука. Единствената разлика е во тоа што во времето на Архимед, наместо да се менува котата, требало да се користи промена на калибарот на пиштолот. Во секој случај, кога непријателот се појавуваше на кој било плоштад, се користеа пушки од калибар што одговара на овој плоштад. Овој вид на нулирање бара многу прелиминарна работа за да се одредат растојанијата за различни квадрати и да се избере најдобриот калибар на пиштоли.

Кога бродот се приближил до градскиот ѕид, покрај дејството на фрлачкото оружје, од возилото се спуштила и железна шепа закачена на синџир; операторот на устата на машината со оваа шепа го зграпчи на некое место лакот на бродот, а потоа го спушти крајот на машината што се наоѓа во градот. Кога лакот на садот беше подигнат на овој начин и садот беше поставен вертикално на крмата, раката на рачката беше фиксирана неподвижна, а шепата заедно со синџирот беше одвоена од машината со уред за ослободување. Како резултат на тоа, некои бродови лежеа на нивните страни, други целосно се превртеа, додека мнозинството, паѓајќи со глава во морето од значителна височина, потона и се наполни со вода, предизвикувајќи голема конфузија и ужас кај екипажот. Генијалноста на Архимед го одведе Марко во очај; со жалење виде дека опколените се потсмеваат на неговите напори и му нанесуваат големи загуби.

Римјаните многу страдале од фрлачите на камења и катапултите од кои биле гаѓани; Сиракужаните имаа на залиха многу одлични и прецизни оружја за фрлање, за кои кралот Хиеро обезбеди средства, а Архимед измисли и вешто изгради машини.

Пресметката на машините што креваат бродови е незамислива без да се земе предвид губењето на тежината на брод потопен во морето; ова може да се спореди со откривањето на законот на Архимед.

Сега да разгледаме подетално две книги од Архимед „За рамнотежата на рамни фигури“ (или за центарот на гравитација на рамни фигури). Се вели дека првата книга од ова дело е посветена на теоријата на потпора; некои автори дури веруваат дека оваа книга, земена одделно, е првото дело на Архимед, а втората книга, која содржи дефиниција за центарот на гравитација на параболичен сегмент, претставува независно дело.

Меѓутоа, во првата книга се определуваат само центрите на гравитација на оние рамни фигури (паралелограм, триаголник) кои се потребни за докажување на теоремите од втората книга. Покрај тоа, многу од одредбите во втората книга се генерализации направени врз основа на размислувањата претставени во првата книга (првата реченица од втората книга е генерализација на петтата и шестата реченица од првата книга). Првата книга не може да се смета за прв есеј на темата што се разгледува, бидејќи не го дава најважното нешто - дефиницијата на центарот на гравитација. Ова беше направено во дело што му претходеше на создавањето на Квадратурата на параболата, во која има референци за ова дело. Извадоци од него се зачувани во Механиката на Херон од Александрија и Математичката библиотека на Папус. Најважниот од овие пасуси е дефиницијата формулирана од Архимед за концептот центар на гравитација: тежиштето на телото е точка која се наоѓа внатре во него, која има својство дека ако тешко тело е ментално суспендирано од него, останува во мирување и ја одржува првобитната положба.

Законите на рамнотежата се изведени од Архимед од следните претпоставки поставени на почетокот на првата книга „За рамнотежа“.

1. Еднаквите тежини на еднакви должини се избалансирани, но при нееднакви должини не се избалансирани, туку ги надминуваат тежините на поголема должина.

2. Ако, при балансирање на тегови на која било должина, се додаде нешто на една од тежините, тогаш тие нема да бидат избалансирани, туку тежината на која е додадена ќе биде поголема.

3. Ако нешто се одземе од една од тегови, тие нема да бидат избалансирани, но тежината од која не е одземено ќе биде поголема.

4. Кога еднакви и слични рамни фигури се комбинираат една со друга, нивните центри на гравитација исто така се комбинираат едни со други.

5. За нееднакви, но слични фигури, центрите на гравитација се наоѓаат слично.

6. Ако количините се избалансирани на која било должина, тогаш и количините еднакви на нив се избалансираат на истите должини.

7. Во која било фигура, чиј периметар е конвексен насекаде во иста насока, центарот на гравитација се наоѓа во внатрешноста на фигурата.

Дозволете ни да го прикажеме доказот на Архимед во формата како што го дал Галилео.

Нека во точка ЗАсуспендиран од средината на рокерот МНима должина 2(а+б)(сл. 4).

Ориз. 4

На овој рокер е прикачен еднообразен зрак со помош на бесконечен број вертикални јажиња. КЛиста должина 2(а+б). Целиот систем очигледно ќе биде во рамнотежа, што нема да се наруши ако го пресечеме гредата по линијата ССво два сегменти: КС- должина 2 АИ Ц.Л.- должина 2 б. После ова, ги исечеме сите јажиња освен две: ААИ ББ, сместена во средината на сегментите KS и CL, поради што нема да се наруши ниту рамнотежата. Така, вредноста КС = 2Ана рамото АД = бќе ја избалансира вредноста Ц.Л.на рамото ОБ - А. Со други зборови, во рамнотежа, оптоварувањата што се применуваат во АИ ВО, ќе биде обратно пропорционален на соодветните раменици.

Рамнотежата нема да се наруши ако ги ротираме двата исечени делови околу нивните оски ААИ ББна кој било агол; Ова е токму она што го имплицира претпоставката 6, што е еквивалентно на оваа формулација. Дејството на оптоварувањето кое се применува во дадена точка се определува само од неговата големина, односно воопшто не зависи од обликот или ориентацијата на ова оптоварување.

Можност за ротирање на двете оски на гредата околу оските ААИ ББсе јавува само според Маховиот закон за пропорционалност на моментите со должината на раката во прв степен и исклучува други закони, на пример, квадратната зависност; Затоа, доказот на Архимед е прилично ригорозен.

Законот за рамнотежа на лостот е користен од Архимед како основа на методот на геометриска интеграција, што тој го навел во Ефодот, како средство за истражување и прелиминарно решавање на проблемите. Ќе го покажеме едноставен пример, имено на квадратурата на параболичниот сегмент разгледан погоре, но ќе направиме само поедноставување: нема да ја најдеме плоштината на отсечката, која е еднаква на две третини од паралелограмот, туку плоштината што останува од паралелограм ако овој сегмент е отсечен од него. Тогаш проблемот може да се формулира на следниов начин: најдете ја областа затворена помеѓу оската x и лакот на параболата дадена со равенката, и ординатата што одговара на апсцисата ОП=л(сл. 5).

Ориз. 5

Ајде да земеме лост со еднаква рака АОГдолжина 2 лсо потпора ЗА; на едно од неговите раменици ќе поставиме квадрат OAVи поделете го на голем број многу тенки ленти со ширина Δ x. Нека КЛ- една од овие ленти што одговара на апсцисата добро = X; потоа ординатата КЛ = наќе се изрази О 2 и целата површина на лентата

Да го преместиме до крајот на рачката А; моментот на оваа лента во однос на точката ЗАеднакви

Ајде да се обидеме да го избалансираме овој момент со закачување лента на левата страна на рачката на исто растојание x МНиста ширина Δх. Должина на соодветната ордината МНќе се определи со споредување на моментите на двете ленти во однос на ЗА:

каде

Правејќи го ова со секоја лента, на левата рака на рачката добиваме низа ленти континуирано распоредени по должината ОДИ. Бидејќи ординатите на овие ленти се пропорционални на растојанијата X, тогаш нивните краеви ќе бидат лоцирани во права линија ОНТ; екстремна ординатна вредност GT = ал 2.

Плоштад С = OAV, центриран на крајот А, избалансиран со прикачен на страна О.Г.тријаголник ОГТ. Областа на овој триаголник е

a е растојанието на неговиот центар на гравитација од врвот ЗА:

Споредувајќи го моментот на овој триаголник во однос на ЗАсо момент за истата точка, концентриран во точката Апотребната површина С, добиваме

каде

или

што се совпаѓа со резултатот пронајден погоре.

Успешноста на заклучокот се добива како резултат на намалување на степенот на кривата што се разгледува - одредување на големината на површината ограничена со два правоаголни сегменти и крива од втор степен е сведена на одредување Центар на гравитацијаобласта ограничена со крива од прв степен, т.е. права линија. Овој метод очигледно може да се примени на криви чија равенка ја има формата y = секира h.

Покрај наведените дела, кои ни стигнаа во целост, фрагменти од повеќе од рани делаАрхимед, достапна во „Механика“ на Херон и во 8-мата книга на „Библиотека“ на Папус.

Херон има пасус од книгата на потпори на Архимед, каде што не се забележуваат траги од концептот на центар на гравитација. Тој пишува: ако гредата е поддржана на краевите, тогаш половина од тежината паѓа на секоја потпора; ако има трета потпора меѓу краевите, тогаш половина од тежината на гредите во двата соседни распони паѓа на неа; така што средната потпора носи половина од тежината на целата греда без разлика каде е поставена.

Од книгата на Архимед, чиј наслов е тешко да се одреди (дали е „На потпора“, или „За рамнотежа“ или „Механика“), има големи пасуси: еден во „Механика“ на Херон (Книга I, стр. 24), а уште една во „Математичката библиотека“ на Папус (Книга VIII, стр. 5-8). Овие пасуси покажуваат како се докажало постоењето и уникатноста на центарот на гравитација на круто тело со произволна форма.

Архимед ја испитува вертикалната рамнина А БЕ ЦЕ ДЕ, горе ограничен со хоризонтална линија АБ. Ако на оваа права линија се постави тешко тело, тоа може да биде во таква положба што ќе остане во мирување, без да се ротира или да падне. Ако сега ментално го продолжиме авионот А БЕ ЦЕ ДЕ, тогаш ќе го пресече лежечкото тело на два дела кои имаат еднакви моменти и меѓусебно се избалансирани. Ако потоа го преуредите товарот така што ќе ја допре правата линија АБсо другиот дел, тогаш можете да му дадете таква положба што, спуштајќи се, ќе остане во мирување и нема да падне. Ако пак го замислиме авионот А БЕ ЦЕ ДЕпродолжен, тогаш исто така ќе го подели товарот на два меѓусебно избалансирани делови и ќе биде пресечен со првата рамнина што го поделила истото оптоварување на два меѓусебно избалансирани делови; ако овие рамнини не се сечат, тогаш истите делови би биле и избалансирани и неурамнотежени, што е апсурдно.

Ајде да замислиме права линија АБ, нормално на хоризонталната рамнина; ставете го товарот на точката Атака што тој, користејќи директни АБкако штанд, тој остана невознемирен. Ако продолжиме право АБ, тогаш некој дел од него ќе биде внатре во предметното тело. Ајде повторно да го ставиме на оваа права линија со друг дел, така што повторно ќе стане неподвижен; потоа продолжената линија АБќе бидат пресечени со сегментот првично содржан во телото.

Навистина, ако не се пресече, тогаш би било можно некои рамнини извлечени низ секоја од овие линии да не се сечат една со друга внатре во телото, и секој од нив го дели товарот на делови кои се и избалансирани и неурамнотежени, што е бесмислено. ; затоа споменатите линии ќе се вкрстат внатре во телото.

Ако во други позиции товарот се става на точката Атака што останува во мирување, тогаш повторно продолжената права АБ нужно ќе ги пресекува сегментите на првобитните прави линии содржани во телото. Од ова е јасно дека таквите имагинарни линии се сечат една со друга во иста точка; оваа точка се нарекува Центар на гравитација.

Како последица на тоа, излегува дека телото фиксирано во оваа точка останува во рамнотежа во која било положба.

Погоре опишаниот метод се користи и во правилата дадени од Херон (Механика, Книга II, стр. 35-36) за пронаоѓање на центарот на гравитација на различни рамни фигури. За да го направите ова, го одредуваме тежиштето на триаголникот кој е униформен по дебелина и рамномерен по тежина. Нека биде даден триаголник ABC(сл. 6). Ајде да ја поделиме линијата Сонцетополовини во точката Ди поврзете АИ Д. Ако го потпрете триаголникот на линија АД, нема да има момент во ниту една насока, бидејќи триаголници ABDИ ADCсе еднакви. На ист начин, ако ја поделите линијата ACво точката Еи поврзете ги точките ВОИ Е, тогаш ако го потпрете триаголникот на линијата БИДИ, исто така нема да се навалува во една или друга насока. Од триаголникот, се поддржани на секоја од линиите АДИ БИДИ, е во рамнотежа на своите делови и не се навалува во една или друга насока, тогаш заедничката точка Ф, каде што се сечат овие две линии е центарот на гравитација.

Сл.6

Од триаголници ABDИ ADCеднакво, ова доведе некои истражувачи да помислат дека Архимед или еден од неговите претходници верувале дека тежиштето на рамна фигура ќе биде точката на која линиите се сечат, делејќи ја областа на фигурата на два еднакви дела. Неможноста за таква претпоставка веднаш се утврдува ако прочитаме како се одредува тежиштето на четириаголник.

Нека е даден четириаголник А БЕ ЦЕ ДЕ(сл. 7). Ајде да ги поврземе точките ВОИ Ди подели БДполовини во точката Е; ајде и да се поврземе АИ Е, ЕИ СОи подели ги линиите AEИ ЕУна точките ФИ ННа начинот на кој AEбеше еднаква на двојно поголема вредност Ф.Е., А CH- двојно НЕ. Потоа центарот на гравитација на триаголникот ABD- точка Ф, и центарот на триаголникот BDC- точка Н.

Ориз. 7Сл.8

Истото го добиваме ако претставуваме триаголник ABDконцентрирани во точка Фи триаголник BCD- во точката Х. Потоа линијата FHстанува рокерска рака на чии краеви се наоѓаат овие количини. Затоа, ако ја поделите линијата FHво точката ГНа начинот на кој Г.Х.поврзани со FGкако е тежината Ф, односно тежината на триаголникот ABDна тежина Н- до тежината на триаголникот BDC, потоа посочете Г, во кој и двете тежини се избалансирани, е центарот на гравитација на овој четириаголник.

Момент на тежина Фе еднаков на збирот на моментите на тежините на сите делови на триаголникот ABD, со други зборови, Архимед го имал на располагање сиот материјал од модерната теорија на паралелни сили. Затоа, при пренесувањето на резултатите добиени од Архимед, може да се користи модерна презентација, под услов неопходен услов за зачувување на неговиот цртеж.

Дозволете ни да покажеме како Архимед го определил тежиштето на сегментот на параболата (предлог VIII од втората книга „За рамнотежата на рамни фигури“).

Нека е дадена параболична отсечка AOBсо врвот ЗА(Сл. 8). Ајде да го нацртаме дијаметарот ОСи впиши триаголник во параболата AOB. Погоре е прикажано дека плоштината на сегментот на параболата е еднаква на 4/3 од триаголникот AOB. Да претпоставиме дека оваа област е еднаква на три, тогаш површината на преостанатите сегменти на параболата е АОФИ ПОБЕДИќе биде еднаква на еден. Ајде да ги поделиме акордите ОПИ ОБна половина; ајде да ги нацртаме дијаметрите ФДИ НЕ, како и директно ДЕИ FH. Еве

Нека ОС = ч; центарот на гравитација на параболичен сегмент лежи на ОС, и сегменти АФОИ OVN- соодветно на дијаметрите ФДИ ЕХ.

Да претпоставиме дека растојанието од центарот на сегментот AOBдо земјата АБеднакви kh, Каде к- неизвесен коефициент; подеднакво растојанијата од права линија ДЕцентри на гравитација на сегменти АОФИ ПОБЕДИсе еднакви:-. Следно, висината на центарот на гравитација на триаголникот AOBнад основата АБеднаква на 1/3 ч, и растојанието СК = h/2. Сега го добиваме моментот на површината на сегментот AOBрелативно АБ еднаков на збиротмоменти на триаголни површини AOBи двата сегменти АФОИ ВНО. Во овој случај

Намалувајќи го овој израз за А, по очигледни поедноставувања добиваме

каде

Така, центарот на гравитација на параболичен сегмент е на дијаметар на растојание од 2/5 од неговата должина од основата. Второто дело на Архимед, кое има одредена врска со механиката, е книгата „За спиралите“. На самиот почеток, терминологијата е интересна, покажувајќи го развојот на концептот на брзина. „Брзина“ сè уште не се користела како именка во времето на Архимед: постоела придавка што се користела како „повеќе или помалку брза“ и „подеднакво брза“; ова беше името за движењата во кои се минуваа исти патеки во исто време, без оглед на тоа како се случуваа овие движења. За да ја означи униформноста на движењето, Архимед го употребил изразот „подеднакво брзо со себе“, т.е. движењата мора да бидат подеднакво брзи во сите временски интервали на кои може да се подели целото движење.

Главната тема на ова дело е задачата: да се изгради права линија чија должина би била еднаква на обемот. За да го реши ова, Архимед го користи кинематскиот метод; тој гради крива, таканаречена Архимедова спирала, чиј вектор на радиус варира пропорционално на поларниот агол (сл. 9).

Сл.9

Нека точката О го претставува полот на спиралата, чиј вектор на радиус во текот на првата револуција стана еднаков на р = ОП, и права линија АДе тангента на спиралата во точката А. Спирала се формира како резултат на додавање на две движења: униформа - праволиниски во права линија OASи униформа - кружни. Ако точката што ја опишува линијата запре кога пристигнала во точката А, тогаш во пренослива ротација би го опишал кругот прикажан на цртежот АКЛсо радиус р.

Нека ACИ AEпретставуваат многу мали движења на точката што ја опишува спиралата во двете движења на компонентите - по радиусот и нормално на неа по должината на кругот. При додавање на овие движења, точката што ја опишува спиралата од положбата Аќе оди на точка Ди директно АДќе биде тангента на спиралата. Нормално на радиусот ОПајде да направиме директен ОБи продолжи по тангентата АДдодека не ја пресече оваа права во точката ВО. На почетокот на првата револуција правата линија ја зазеде позицијата OAS; од ОПбеа измерени аглите на вртење на ротирачката права линија.

Откако ќе истече првото време на ротација, правата линија ќе се врати во првобитната положба, аголот на ротација ќе стане еднаков на 360° и точката Аротирачка права линија ќе опише круг со радиус р. Така, патеката што ја минува точката Аво релативно движење по радиусот за време на првата револуција, е еднаква на ОП,а при преносливо движење околу круг - неговата должина. Но, овие патеки се поврзани како брзини или како поместувања во ист временски период, т.е ACИ AE. Од сличноста на триаголниците AEDи BOA добиваме:

Со други зборови, ако ОПе патеката што ја минува точка во линеарно релативно движење, тогаш ВО- патеката помината од точката во исто време Аво преносливо движење, т.е. обем АКЛА.

Тријаголник AED, во суштина го претставува диференцијалниот триаголник Бароу-Њутн, и можно е концептот на овој триаголник да се појавил кај Исак Бароу како резултат на читањето на делата на Архимед, кои тој ги објавил со ревидирани докази во 1675 година. Во секој случај, студијата на делата на Архимед од математичарите XVII V. беше неопходна подготвителна работа за појавата на класичната бесконечно мала анализа.

Последното дело на Архимед е неговиот есеј „За лебдечките тела“. Во првата книга, тој ги утврдува основните закони за рамнотежа на телата во течност и ги разгледува условите на рамнотежа на сферичен сегмент потопен во вода, чија површина ја смета исто така сферична, како површината на вистинските земни мориња. Во втората книга, тој го формулира законот што го носи неговото име и потоа ги разгледува условите за рамнотежа за сегмент од параболоид на револуција што лебди во течност, а површината на течноста сега се смета за рамна.

Неговото расудување се заснова на теореми кои го одредуваат волуменот и положбата на центарот на гравитација на сегмент од параболоид на револуција.

Кога тешко цврсто тело е потопено во течност чија густина е поголема од густината на телото, тоа потонува во течноста така што површината на течноста (т.н. лебдечка рамнина) отсекува волумен од телото, тежина на течноста во која е еднаква на тежината на телото.

Ако ги конструираме сите пловечки рамнини за различни положби на пловечко тело, тогаш обвивката на сите такви рамнини ќе биде одредена површина, која се нарекува површина на пресеци.

Центрите на гравитација на волумените отсечени од лебдечките рамнини формираат површина наречена површина на центри.

За овие површини постојат следните теореми.

1. Пловечката рамнина ја допира површината на деловите во центарот на гравитација на фигурата, отсечени од површината на телото на пловечката рамнина.

2. Тангентата рамнина на површината на центрите е паралелна со соодветната пловечка рамнина.

За да се пронајдат сите пловечки рамнини во рамнотежните позиции на лебдечкото тело, потребно е да се спуштат нормалите на површината на центрите од неговиот центар на гравитација и да се нацрта пресечна рамнина што одговара на овие норми. Овие авиони ќе бидат потребните пловечки авиони.

Архимед ги разгледа само оние рамнотежни позиции кога основата на сегментот е или целосно надвор од површината на течноста (врвот на сегментот свртен надолу) или целосно внатре во течноста (сегментот лебди со врвот над површината на течноста).

Бидејќи сегментот припаѓа на параболоид на револуција, овој проблем може да се сведе на рамномерен со замена на сите површини со линии што ги претставуваат нивните пресеци со рамнина нацртана низ оската на параболоидот. Да го означиме пресекот на овој сегмент АБА, неговата оска ОБ, основа АОАи центар на гравитација Од 0(ОС 0= l/3 ОБ) (сл. 10). Нека НН- пресек на сегментот по површината на течноста, Д.Б.- оска на потопениот дел, а Е(ДЕ= l/3 Д.Б.) е центар на гравитација на волуменот на потопениот дел.

Ориз. 10

Површината на пресеците ќе биде претставена со парабола ЛДЛ, чиј врв Дсе наоѓа на површината на течноста; оваа парабола ја претставува параболата АБА, поместена нагоре за растојание БД. За да ја добиете површината на центрите, треба да користите точка Енацртајте ја истата парабола КЕК. Ако Архимед го разгледа случајот кога основата АОАе над површината на течноста, тогаш и треба дел Д"ДД"параболи на пресеци ограничени со точки Д",Д", чии тангенси минуваат низ крајот Аоснови, како и соодветниот дел Е"ЕЕ"параболи на центри ( D"E"паралелно ОБ). Невозможно е да ги продолжи овие површини понатаму, бидејќи за ова ќе треба да го одреди волуменот на сегментот отсечен со рамнина што ги пресекува и страничната површина на сегментот и рамнината на основата, а тој не реши овој проблем.

Доколку е потребно да се одреди рамнотежна положба на отсечка која лебди со својот врв нагоре, тогаш потребно е да се одреди волуменот и центарот на гравитација на потопениот дел од отсечката, кој ќе има форма АНА, со други зборови, ќе ја претставува разликата на два параболични отсечки БННИ ВАА. Врз основа на ова, можеме да конструираме нови криви на пресеци и центри, кои исто така ќе бидат некои параболи.

Следно, треба да ги земеме предвид моментите на парот формиран од тежината на сегментот и силата на притисок на поместената вода што се применува во центарот на гравитација на потопениот дел; рамнотежата се јавува кога, при отстапување од положбата на рамнотежа, овој момент се покажува како ресторативен. Така, Архимед добива само стабилни позиции на рамнотежа.

Разликата помеѓу методот на Архимед и современиот метод е во тоа што сега се претпоставува дека густината на течноста е константна и се менуваат димензиите на сегментот што се разгледува, додека Архимед ја одржува положбата на телото константна, но ја менува густината на течност. Неговата методологија, во суштина, малку се разликува од методологијата развиена во 19 век. користејќи ги теоремите на Дупин.

Од ова не треба да се извлече заклучок за идентитетот на овие методи, како што прават некои истражувачи, наоѓајќи кај Архимед дури и концептот на метацентар, воспоставен дури во 18 век.

Главната разлика е во тоа што Архимед не можел да конструира пресечни површини за сите положби на телото во однос на површината на течноста, и затоа не го знаел тоа, бидејќи кај Грците конструктивноста била критериум за постоење на една или друга геометриска слика или операција. Со моќта на својот гениј, Архимед успеал да се искачи на височините што ги постигнала науката во 19 век.

За целосно карактеризирање на Архимед, треба да се забележи дека Архимед ја нашол вредноста. Што го натерало да најде нумерички израз за односот на кругот со дијаметарот, особено затоа што веќе имал конструкција што му дозволувала да најде права линија еднаква на должината на дадена круг?

Во историјата на европската наука околу 1600 година, математичарите исто така барале да најдат попрецизна вредност за бројот π. Тоа беше времето кога Адријан Мекиј го најде значењето, а Лудолф од Келн го пресметал бројот π точен до 36-то децимално место. Вилиброд Снел го открил методот на триангулација и го применил за да ја одреди големината на Земјата.

Имаше ли нешто слично во времето на Архимед? Тит Ливиј, опишувајќи ја опсадата на Сиракуза во 24-та книга од неговата историја на Рим, го нарекува Архимед „уникатен контемплатор на небото и светилниците“. Архимед се сеќава на пронајдената нумеричка вредност I во неговиот „Псамит“, каде што зборува за одредување на големината на светот и пресметување на бројот на зрна песок што би можеле да го пополнат обемот на светот. Тој исто така прави набљудувања за да ја пресмета големината на Сонцето и неговото растојание од Земјата. Тој ги применува своите набљудувања во центарот на Земјата; Патем, ова е прво појавување во историјата на астрономијата на концептот на таканаречената паралакса; Најблискиот претходник на Архимед, Аристарх од Самос, спроведувајќи ги истите набљудувања на површината на Земјата, верувал дека тие ги даваат истите резултати како набљудувањата да се направени од центарот на Земјата.

За да ја одреди потребната количина на песок, Архимед создал броен систем со кој би можеле да се претстават многу големи броеви. Не бил единствениот што го правел ова: системот на броеви за големи броеви го создал неговиот помлад современ Аполониј од Перга. Точно, инженерскиот ум на Архимед не беше ограничен на едноставни пресметки; тој, кој не придаваше големо значење на машините што ги изгради, опиша само една од нив - „астрономската сфера“ што ја изгради. Оваа сфера, по заземањето на Сиракуза од Римјаните, му била дадена како плен на Маркус Марцел, кој ја сместил во Храмот на храброста и го задржал за себе само вториот, помал примерок.

Во дијалогот на Цицерон „За државата“, еден од ликовите, Сулпициус Гал (кој исто така бил астроном и предвидел дури и затемнување на Месечината) ја покажува оваа сфера. Раскажувачот што го слушал рекол за Архимед дека овој Сицилијанец има гениј со кој човековата природа не изгледа способна да се изедначи. За да може да ги претстави движењата на Сонцето, Месечината и петте ѕвезди, тој мораше да се откаже од употребата на цврста сфера, на која би било невозможно да се репродуцираат, и да излезе со друга од сосема поинаков тип.

Она што беше чудесно во изумот на Архимед беше уметноста во која тој можеше да се обедини во еден систем и да ги репродуцира, со една единствена ротација, сите многу различни движења и различни периоди на револуција на различните светилници. Кога Гал ја покрена сферата во движење, со секоја револуција можеше да се види како Месечината се појавува по Сонцето на хоризонтот на земјата; како таа се појавува секој ден на небото; тогаш можеше да се види како Сонцето исчезна на небото и потоа малку по малку Месечината падна во сенката на земјата токму во моментот кога Сонцето беше на спротивната страна.

Друго дело на Архимед, пронајдено во 18 век, е поврзано со голем број. а објавена во 1773 година од познатиот германски писател Лесинг. Ова е таканаречениот „Проблем на бикот“, испратен од Архимед за да го решат александриските научници кои се занимаваат со слични прашања:

Колку бикови има Сонцето, можеш ли да ми го најдеш, странец?

(Ако размислувате за нив, сметајте ги за мудрост, ако не сте вонземјани).

Како и во полињата на Тринакриска Сицилија, островите на маснотиите

Некогаш многу од нив паселе во четири стада.

Стадата имаа различни бои: едното светеше млечно бело,

Темно морски брандругото стадо имаше боја.

Третиот беше црвен, последниот беше шарен. И во секоја

Стадото беше исполнето со мажјаци со голема сила.

Ако X, Y, ЗИ ТДа ги означиме броевите на бели, црни, црвени и шарени бикови, тогаш тие мора да ги задоволат следните равенки:

Одделете ги и кравите, колку од секоја боја имаше,

Барем никој во бројки нема да ве нарече неук,

Сепак, нема да бидете вброени меѓу мудреците.

Овие неизвесни равенки можат да се решат; најмалите вредности на непознатите што ги задоволуваат се изразуваат со седум и осумцифрени броеви. Архимед не смета дека ова е доволно за да ја заслужи титулата мудрец. Така тој додава уште два услова:

1. Збирот на бели и црни бикови мора да биде точен квадрат:

2. Збирот на шарени и црвени бикови мора да биде еднаков на одреден триаголен број:

Каде ПИ П"- некои цели броеви.

По ова, Архимед продолжува:

Ако го најдете ова, странец, размислувајќи низ вашиот ум,

И можете точно да го именувате бројот на секое стадо,

Потоа оди си, горди на победата, и ќе се смета

Дека во оваа мудрост целосно сте надминале сè.

На решавање на овие проблеми работеа голем број математичари. Во германскиот превод на изданието на Архимед, Т. Хит го означува редоследот на вкупниот број бикови:

Архимед поставил проблем за кој знаел дека е практично невозможно да се реши.