Димензионална анализа и метод на аналогија. Дешковски А., Коифман Ју.Г. Метод на димензии во решавање на проблеми. Експериментално определување на константите на критериумската равенка

Во случаи кога не постојат равенки кои го опишуваат процесот и не е можно нивно составување, може да се користи димензионална анализа за да се одреди типот на критериуми од кои треба да се состави равенката за сличност. Прво, сепак, неопходно е да се одредат сите параметри суштински за опишување на процесот. Ова може да се направи врз основа на искуство или теоретски размислувања.

Димензионалниот метод ги дели физичките величини на основни (примарни), кои директно ја карактеризираат мерката (без поврзаност со други големини) и деривати, кои се изразуваат преку основните величини во согласност со физичките закони.

Во системот SI на основните единици им се дадени ознаки: должина Л, Тежина М, време Т, температура Θ , моментална јачина Јас, моќта на светлината Ј, количина на супстанција Н.

Изразување на количина φ преку основните се нарекува димензија. Формула за димензија на изведена величина, на пример со четири основни мерни единици Л, М, Т, Θ, има форма:

Каде а, б, в, г- реални броеви.

Според равенката, бездимензионалните броеви имаат димензија нула, а основните величини имаат димензија еднаква на една.

Покрај горенаведениот принцип, методот се заснова на аксиомата дека може да се додаваат и одземаат само количини и комплекси на големини кои имаат иста димензија. Од овие одредби произлегува дека доколку некоја физичка величина на пр ∆ стр, се дефинира како функција на други физички величини во форма ∆ стр= ѓ(В, ρ, η, л, г) , тогаш оваа зависност може да се претстави како:

,

Каде В– постојана.

Ако потоа ја изразиме димензијата на секоја изводна количина во однос на основните димензии, тогаш можеме да ги најдеме вредностите на експонентите x, y, zитн. Така:

Во согласност со равенката, по замена на димензиите добиваме:

Групирање тогаш хомогени членови, ние најдовме:

Ако ги изедначиме експонентите од двете страни на равенката со исти основни единици, ќе го добиеме следниот систем на равенки:

Во овој систем од три равенки има пет непознати. Следствено, кои било три од овие непознати може да се изразат во однос на другите две, имено x, yИ рпреку zИ v:

По замена на експоненти
И во функциите на моќ добиваме:

.

Критериумската равенка го опишува протокот на течност во цевката. Оваа равенка вклучува, како што е прикажано погоре, два сложени критериуми и еден симплекс критериум. Сега, користејќи димензионална анализа, се воспоставени типовите на овие критериуми: ова е Ојлеровиот критериум ЕУ=∆ стр/(ρ В 2 ) , Рејнолдс критериум Одг= Vdρ/η и параметарски критериум на геометриска сличност G=л/ г. За конечно да се утврди формата на критериумската равенка, неопходно е експериментално да се одредат вредностите на константите В, z И vво равенка.

1. Експериментално определување на константите на критериумската равенка

При спроведување на експерименти, се мерат и одредуваат димензионалните вредности содржани во сите критериуми за сличност. Врз основа на резултатите од експериментите, се пресметуваат вредностите на критериумите. Потоа се составуваат табели во кои, според вредностите на критериумот К 1 внесете ги вредностите на дефинирачките критериуми К 2 , К 3 итн. Оваа операција ја завршува подготвителната фаза на обработка на експериментите.

Да ги сумираме табеларните податоци во форма на закон за моќ:

Се користи логаритамски координатен систем. Избор на експоненти м, nитн. постигнуваат таков распоред на експериментални точки на графикот така што низ нив може да се повлече права линија. Правилната равенка ја дава посакуваната врска помеѓу критериумите.

Ќе покажеме како да ги одредиме константите на критериумската равенка во пракса:

.

Во логаритамски координати lgK 2 – lgK 1 Ова е равенката на права линија:

.

При исцртување на експериментални точки на графиконот (сл. 4), повлечете права линија низ нив, чиј наклон ја одредува вредноста на константата м= tgβ.

Ориз. 4. Обработка на експериментални податоци

Останува да се најде константа . За која било точка на права на графикот
. Затоа вредноста Внајдете од кој било пар соодветни вредности К 1 И К 2 , мерено на права линија на графикот. За сигурност на вредноста се одредува со неколку точки на права линија и просечната вредност се заменува во конечната формула:

Со поголем број критериуми, одредувањето на константите на равенките станува нешто покомплицирано и се врши според методот опишан во книгата.

Во логаритамските координати не е секогаш можно да се лоцираат експериментални точки по права линија. Ова се случува кога набљудуваната зависност не е опишана со равенка за моќност и потребно е да се бара функција од различен тип.

При решавање на проблеми во физиката на кое било ниво, исклучително е важно да се одреди најсоодветниот метод или методи и дури потоа да се премине на „техничка“ имплементација. Виртуозни наставници (намерно го користевме овој израз, бидејќи сметаме дека читањето е во голема мера слично парче музикаимпровизирачките музичари и виртуозните учители кои нашле свои, оригинални пристапи за толкување и толкување на физичките закони) посветуваат многу време на прелиминарна дискусија за проблемот. Со други зборови, дискусијата за метод често не е помалку важна од решавањето на проблемот, бидејќи постои еден вид размена на техники, контакт различни точкивизија, која, всушност, е целта на процесот на учење. Процесот на подготовка за решавање на проблем на многу начини е сличен на процесот на подготовка на актер за претстава. Дискутирање за улоги, ликови, размислување за интонации, музички репризи и уметнички украси се најважните елементипотопување на актерот во улогата. Не е случајно што многу познати театарски работници го ценат подготвителниот процес и се потсетуваат на атмосферата на пробите и на сопствените откритија. Во наставниот процес наставникот користи различни методи или „спектар на методи“. Еден од општите методи за решавање е решавање на проблеми со помош на димензионален метод. Суштината на овој метод е дека саканиот модел може да се претстави како производ на моќните функции на физичките величини од кои зависи саканата карактеристика. Важна точкаРешението е да се најдат овие количини. Анализата на димензиите на левата и десната страна на релацијата ни овозможува да ја одредиме аналитичката зависност до константен фактор.

Да разгледаме, на пример, од што може да зависи притисокот во гасот. Од секојдневното искуство знаеме дека притисокот е функција од температурата (со зголемување на температурата, го зголемуваме притисокот), концентрацијата (притисокот на гасот ќе се зголеми ако, без промена на неговата температура, ставиме повеќе молекули во даден волумен). Природно е да се претпостави дека притисокот на гасот зависи од масата на молекулите и нивната брзина. Јасно е дека колку е поголема масата на молекулите, толку ќе биде поголем притисокот, со други константни вредности. Очигледно, како што се зголемува брзината на молекулите, притисокот ќе се зголемува. (Забележете дека сите горенаведени размислувања сугерираат дека сите експоненти во конечната формула мора да бидат позитивни!) Може да се претпостави дека притисокот на гасот зависи од неговиот волумен, но ако одржуваме константна концентрација на молекулите, тогаш притисокот зависи од не зависи од волуменот. Навистина, ако доведеме два сада во контакт со идентични гасови со иста концентрација, молекуларни брзини, температура итн., тогаш со отстранување на преградата што ги одвојува гасовите, нема да го промениме притисокот. Така, со менување на јачината на звукот, но оставање на концентрацијата и другите параметри непроменети, не го променивме притисокот. Со други зборови, нема да мораме да внесуваме волумен во нашето расудување. Се чини дека имаме право да изградиме функционална врска, но можеби воведовме непотребни информации? Факт е дека температурата е енергетска карактеристика на телата, затоа е поврзана со енергијата на молекулите, т.е. е функција на масата и брзината на молекулите што го сочинуваат телото. Затоа, со вклучување во нашите претпоставки зависноста на притисокот од концентрацијата, брзината и масата на молекулите, ние веќе се „погриживме“ за сите можни зависности, кои може да вклучуваат и температура. Со други зборови, саканата функционална зависност може да се напише како:

Еве стр- притисок на гасот, Т 0 - молекуларна маса, n– концентрација, u – брзина на молекулата.

Да замислиме притисок, маса, концентрација, брзина во основните количини на меѓународниот систем:

Зависноста (1) во јазикот на димензиите има форма:

Споредувајќи ги димензиите на левата и десната страна се добива систем на равенки

Решавајќи (4), добиваме А = 1; б= 1; Со= 2. Притисокот на гасот сега може да се запише како

(5)

Да обрнеме внимание на фактот дека коефициентот на пропорционалност не може да се одреди со помош на димензионалниот метод, но, сепак, добивме добра апроксимација на познатата врска (основната равенка на молекуларната кинетичка теорија).

Да разгледаме неколку проблеми, користејќи го примерот на нивното решение за да ја покажеме суштината на димензионалниот метод.

Проблем 1. Оцени го изразот за периодот на осцилација на математичко нишало со помош на димензионална анализа. Да претпоставиме дека периодот на осцилација на нишалото зависи од неговата должина, забрзувањето на гравитацијата и масата на товарот(!):

(6)

Ајде да ги замислиме сите горенаведени вредности:

Земајќи ја предвид (7), саканата шема ја препишуваме со изразот

(8)

(9)

Сега е лесно да се запише системот на равенки:

Така, ; Со = 0.

(11)

Забележете дека „масата има нулта димензија“, т.е. Периодот на осцилација на математичкото нишало не зависи од масата:

Проблем 2. Експериментите покажаа дека брзината на звукот во гасовите зависи од притисокот и густината на медиумот. Споредете ги брзините на звукот во гас за две состојби .

На прв поглед, се чини дека треба да ја земеме предвид температурата на гасот, бидејќи е добро познато дека брзината на звукот зависи од температурата. Сепак (споредете со аргументот погоре) притисокот може да се изрази како функција од густината (концентрацијата) и температурата на медиумот. Затоа, една од количините (притисок, густина, температура) е „екстра“. Бидејќи според условите на проблемот од нас се бара да ги споредиме брзините на различни притисоци и густини, разумно е да се исклучи температурата од разгледување. Забележете дека ако направиме споредба за различни притисоци и температури, ќе ја исклучиме густината.

Брзината на звукот во услови на овој проблем може да се претстави

Релацијата (13) ја препишуваме како

(14)

Од (14) имаме

Решението (15) дава .

Експерименталните резултати ја имаат следната функционална врска:

Брзината на звукот за две состојби е:

(17)

Од (17) го добиваме односот на брзината

Проблем 3. Јаже е намотано околу цилиндричен столб. Едниот крај на јажето се влече со сила Ф. За да се спречи лизгањето на јажето по столбот, кога само едно вртење е намотано на столбот, вториот крај се држи со сила. ѓ. Со која сила треба да се држи овој крај на јажето ако има а nсе врти? Како ќе се промени силата ѓ, ако изберете столб со двојно поголем радиус? (Сила ѓне зависи од дебелината на јажето.)

Јасно е дека силата ѓВ во овој случајможе да зависи само од применетата надворешна сила Ф, коефициент на триење и дијаметар на колона. Математичката врска може да се претстави како

(19)

Бидејќи коефициентот на триење е бездимензионална големина, ја препишуваме (19) во форма

бидејќи А = 1; Со= 0 (a е коефициентот на пропорционалност поврзан со μ). За второто, третото, ... Пна ранетиот пресврт пишуваме слични изрази:

(21)

Заменувајќи го α од (20) во (21), добиваме:

Добро е познато дека „методот на димензии“ често успешно се користи во хидродинамиката и аеродинамиката. Во некои случаи, тоа ви овозможува да го „оцените решението“ доста брзо и со добар степен на сигурност.

Апсолутно е јасно дека во овој случај силата на отпор може да зависи од густината на течноста, брзината на проток и површината на пресекот на телото:

(23)

Откако ги извршивме соодветните трансформации, го откриваме тоа

(24)

По правило, релацијата (24) е претставена во форма

(25)

Каде. Коефициент Сого карактеризира рационализирањето на телата и зема различни вредности за телата: за топка Со= 0,2 – 0,4, за тркалезен диск Со= 1,1 – 1,2, за тело во облик на капка Со» 0,04. (Јаворски Б.М., Пински А.А. Основи на физиката. - Т. 1. - М.: Наука, 1974.)

Досега разгледавме примери во кои коефициентот на пропорционалност остана бездимензионална големина, но тоа не значи дека секогаш треба да го следиме ова. Сосема е можно коефициентот на пропорционалност да се направи „димензионален“, во зависност од големината на главните количини. На пример, сосема е соодветно да се претстави гравитационата константа . Со други зборови, присуството на димензија во гравитационата константа значи дека нејзината нумеричка вредност зависи од изборот на основните величини. (Тука ни се чини соодветно да се повикаме на написот на Д.В. Сивукин „За меѓународниот систем на физички количини“, УФН, 129, 335, 1975 година.)

Проблем 5. Да се ​​определи енергијата на гравитациското заемодејство на две точки маси Т 1 и Т 2 се наоѓа на далечина реден од друг.

Покрај предложениот метод за димензионална анализа, ќе го дополниме решението на проблемот принцип на симетријадојдовни количини. Размислувањата за симетријата даваат причина да се верува дека енергијата на интеракцијата треба да зависи од Т 1 и Т 2 на ист начин, т.е. тие мора да се појават во последниот израз во ист степен:

(26)

Очигледно е дека

Анализирајќи ја релацијата (26), откриваме дека

А = 1; б= 1; Со = –1,

(28)

Задача 6.Најдете ја силата на интеракција помеѓу две точки полнежи q 1 и q 2 се наоѓа на далечина р.

Можеме да користиме симетрија овде, но ако не сакаме да правиме претпоставки за симетрија или не сме сигурни за таквата симетрија, тогаш можеме да користиме други методи. Оваа статија е напишана за да покаже различни методи, па затоа ќе го решиме проблемот на поинаков начин. Аналогијата со претходниот проблем е очигледна, но во овој случај можете да го користите принципот на наоѓање еквивалентни количини. Ајде да се обидеме да ја одредиме еквивалентната вредност - напнатост електрично поленаплаќаат q 1 на местото на полнење q 2. Јасно е дека потребната сила е производот q 2 до пронајдената јачина на полето. Затоа, ќе ја претпоставиме зависноста на напнатоста од саканите вредности во форма:

Ајде да замислиме сè во основни единици:

По завршувањето на сите трансформации, добиваме систем на равенки

Така, А = –1; б= 1; Со= –2, а изразот за затегнатоста добива форма

Посакуваната сила на интеракција може да се претстави со изразот

(33)

Во односот (33) не постои бездимензионален коефициент 4π, кој е воведен од историски причини.

Задача 7.Одреди ја јачината на гравитационото поле на бесконечен цилиндар со радиус р 0 и густина r на растојание Р (Р > р 0) од оската на цилиндерот.

Затоа што не можеме да правиме претпоставки за еднаквост р 0 и Р, тогаш е доста тешко да се реши овој проблем со димензионален метод без да се вклучат други размислувања. Ајде да се обидеме да ја разбереме физичката суштина на параметарот r. Ја карактеризира густината на дистрибуцијата на масата што ја создава јачината на полето од интерес за нас. Ако цилиндерот е компресиран, оставајќи ја масата внатре во цилиндерот непроменета, тогаш јачината на полето (на фиксно растојание Р > р 0) ќе биде исто. Со други зборови, линеарната густина е поважна карактеристика, па затоа е применлив методот на замена на променливата. Ајде да замислиме. Сега s е нова променлива во предложениот проблем, со:

а. Хоризонталните и вертикалните брзини и гравитациското забрзување ја земаат формата, соодветно:

Ајде да изградиме математичка структура за опсегот и висината на летот:

(39)

Анализирајќи го изразот (39), сега го добиваме

(40)

(41)

Овој метод е покомплексен, но добро функционира доколку е можно да се направи разлика помеѓу количините измерени со иста мерна единица. На пример: инерцијална и гравитациона маса („инерцијални“ и „гравитациони“ килограми), вертикално и хоризонтално растојание („вертикални“ и „хоризонтални“ метри), јачина на струјата во едното и во другото коло итн.

Сумирајќи ги сите погоре, забележуваме:

1. Димензионалниот метод може да се користи ако саканата количина може да се прикаже како функција на моќност.

2. Димензионалниот метод ви овозможува да го решите проблемот квалитативно и да добиете одговор точен на коефициент.

3. Во некои случаи, димензионалниот метод е единствениот начин да се реши проблемот и барем да се процени одговорот.

4. Димензионалната анализа за решавање проблеми е широко користена во научното истражување.

5. Решавањето проблеми со помош на димензионалниот метод е дополнителен или помошен метод кој ви овозможува подобро да ја разберете интеракцијата на количините и нивното влијание едни врз други.

Суштината на методот за анализа на изводливост на трошоците се заснова на фактот дека во процесот на претприемничка активност, трошоците за секоја специфична област, како и за поединечни елементи, немаат истиот степенризик. Со други зборови, степенот на ризик на две различни линии на деловно работење на иста компанија не е ист; и степенот на ризик за поединечни елементи на трошоците во рамките на истата дејност, исто така, варира. Така, на пример, хипотетички, да се биде во бизнисот со коцкање е поризичен во споредба со производството на леб, а трошоците што една диверзифицирана компанија ги прави за развој на овие две области на нејзината активност ќе се разликуваат и по степенот на ризик. Дури и ако претпоставиме дека износот на трошоците во ставката „изнајмување на простории“ ќе биде ист во двете насоки, тогаш степенот на ризик сепак ќе биде поголем во бизнисот со коцкање. Истата ситуација опстојува со трошоците во иста насока. Степенот на ризик во однос на трошоците поврзани со купувањето на суровини (кои можеби не се испорачуваат точно на време, неговиот квалитет може целосно да не одговара на технолошките стандарди или неговите потрошувачки својства може делумно да се изгубат за време на складирањето во самото претпријатие), итн.) ќе бидат повисоки отколку во трошоците за плата.

Така, одредувањето на степенот на ризик преку анализа на трошоците и придобивките е фокусирано на идентификување на потенцијалните ризични области. Овој пристап е исто така препорачлив од гледна точка на тоа што овозможува да се идентификуваат „тесните грла“ во активностите на претпријатието во однос на ризичноста, а потоа да се развијат начини за нивно отстранување.

Пречекорувањата на трошоците може да се појават под влијание на сите видови ризици кои беа дискутирани претходно за време на нивната класификација.

Откако го сумиравме акумулираното светско и домашно искуство во анализата на степенот на ризик со користење на методот за анализа на физибилити на трошоците, можеме да заклучиме дека е неопходно да се користи градација на трошоците за ризичните области во овој пристап.

За да се анализира изводливоста на трошоците, состојбата за секој од елементите на трошоците треба да се подели на ризични области (табела 4.1), кои претставуваат зона на општи загуби, во чии граници конкретните загуби не ја надминуваат граничната вредност на утврдената ниво на ризик:

• 1) регион на апсолутна стабилност;
• 2) област на нормална стабилност;
• 3) регион на нестабилна состојба:
• 4) област на критична состојба;
• 5) област на криза.

Во областа на апсолутна одржливост, степенот на ризик за разгледуваниот елемент на трошоци одговара на нула ризик. Оваа област се карактеризира со отсуство на какви било загуби при извршување на деловни активности со гарантиран прием на планирана добивка, чија големина е теоретски неограничена. Елементот на трошоците, кој е во областа на нормална стабилност, се карактеризира со минимален степен на ризик. За оваа област, максималните загуби што може да ги направи деловниот субјект не треба да ги надминуваат границите на планираната нето-добивка (т.е. оној дел од неа што останува кај деловниот субјект по оданочувањето и сите други плаќања што се направени кај ова претпријатие од добивката , на пример, исплата на дивиденда). Така, минималниот степен на ризик обезбедува компанијата да ги „покрие“ сите свои трошоци и да го добие оној дел од добивката што и овозможува да ги покрие сите даноци.

Како по правило, во пазарна економија, како што беше прикажано претходно, насоката која има минимален степен на ризик се должи на фактот што државата е нејзина главна договорна страна. Тоа може да се одвива во различни форми, од кои главни се: извршување трансакции со хартии од вредноствладини или општински органи, учество во реализација на работи финансирани од државни или општински буџети и сл.

Областа на нестабилна состојба се карактеризира со зголемен ризик, додека нивото на загуби не ја надминува големината на проценетата добивка (т.е. оној дел од добивката што останува кај претпријатието по сите исплати во буџетот, плаќање на камата на заемот, казни и казни). Така, со таков степен на ризик, деловниот субјект ризикува дека во најлош случај ќе добие добивка, чиј износ ќе биде помал од неговото пресметано ниво, но во исто време ќе може да ги покрие сите негови трошоци. .

Во границите на областа на критичната состојба, која одговара на критичен степен на ризик, можни се загуби во границите на бруто-добивката (т.е. вкупниот износ на добивката што ја примил претпријатието пред да се направат сите одбитоци и одбитоци). Таквиот ризик е непожелен, бидејќи во овој случај компанијата ризикува да изгуби не само профит, туку и да не ги покрие целосно своите трошоци.

Неприфатлив ризик, кој одговара на областа на криза, значи прифаќање од страна на деловниот субјект на таков степен на ризик што подразбира можност да не се покријат сите трошоци на компанијата поврзани со оваа област на нејзината дејност. .

Табела 4.1 - Области на активност на претпријатието.

Откако ќе се пресмета коефициентот b врз основа на историски податоци, секоја ставка на трошоците. Таа се анализира одделно за нејзина идентификација по области на ризик и максимални загуби. Во овој случај, степенот на ризик на целата линија на деловна активност ќе одговара на максималната вредност на ризикот за елементите на трошоците. Предноста на овој метод е тоа што знаејќи ја ставката на трошоците за која ризикот е максимален, можно е да се најдат начини да се намали (на пример, ако максималната точка на ризик паѓа на трошоците поврзани со изнајмување на простории, тогаш можете да одбијте да го изнајмите и купите и така натаму.)

Главниот недостаток на овој пристап за одредување на степенот на ризик, како и со статистички метод, е тоа што претпријатието не ги анализира изворите на ризик, туку го прифаќа ризикот како холистичка вредност, со што ги игнорира неговите повеќекомпоненти.

Основни концепти на теоријата на моделирање

Моделирањето е метод на експериментално проучување модел на феномен наместо природен феномен. Моделот е избран така што експерименталните резултати можат да се прошират на природен феномен.

Нека се моделира полето за количина w. Потоа, при прецизно моделирање на слични точки на моделот и објектот со целосен размер, условот мора да биде исполнет

каде е симулациската скала.

Во случај на приближно моделирање, добиваме

Односот се нарекува степен на изобличување.

Ако степенот на изобличување не ја надминува точноста на мерењето, тогаш приближното моделирање не се разликува од точното. Невозможно е однапред да се уверите дека вредноста не надминува одредена однапред одредена вредност, бидејќи во повеќето случаи таа не може ни да се одреди однапред.

Метод на аналогии

Ако два физички феномени од различна физичка природа се опишани со идентични равенки и услови на единственост (граница или, во стационарен случај, гранични услови) претставени во бездимензионална форма, тогаш појавите се нарекуваат аналогни. Под исти услови, појавите од иста физичка природа се нарекуваат слични.

И покрај фактот дека слични феномени имаат различна физичка природа, тие припаѓаат на еден индивидуален генерализиран случај. Оваа околност овозможи да се создаде многу удобен метод на аналогии за проучување на физичките феномени. Нејзината суштина е следна: не се испитува феноменот што се проучува, за кој е тешко или невозможно да се измерат потребните количини, туку специјално избрана појава слична на онаа што се проучува. Како пример, разгледајте ја електротермалната аналогија. Во овој случај, феноменот што се проучува е стационарно температурно поле, а неговата аналогија е стационарно електрично потенцијално поле

Термичка равенка

(9.3)

каде е апсолутната температура,

и равенката на електричниот потенцијал

(9.4)

каде што електричниот потенцијал е сличен. Во бездимензионална форма, овие равенки ќе бидат идентични.

Ако се создадат гранични услови за потенцијалот кои се слични на оние за температура, тогаш во бездимензионална форма тие исто така ќе бидат идентични.

Електротермалната аналогија е широко користена во проучувањето на процесите на топлинска спроводливост. На пример, температурните полиња на лопатките на гасната турбина се измерени со овој метод.

Димензионална анализа

Понекогаш треба да ги проучувате процесите кои сè уште не се опишани со диференцијални равенки. Единствениот начин за учење е експериментот. Препорачливо е резултатите од експериментот да се претстават во генерализирана форма, но за ова треба да можете да најдете бездимензионални комплекси карактеристични за таков процес

Димензионалната анализа е метод за составување бездимензионални комплекси во услови каде што процесот што се проучува сè уште не е опишан со диференцијални равенки.

Сите физички количини може да се поделат на примарни и секундарни. За процесите на пренос на топлина обично се избираат следниве како примарни: должина L,маса м, време т, количина на топлина Ппрекумерна температура . Тогаш секундарните количини ќе бидат такви количини како коефициент на пренос на топлина, термичка дифузија аи така натаму.

Формулите за димензија на секундарните величини имаат форма на мономи на моќност. На пример, димензионалната формула за коефициентот на пренос на топлина ја има формата

(9.5)

Каде П- количина на топлина.

Нека бидат познати сите физички количини суштински за процесот што се проучува. Треба да најдеме бездимензионални комплекси.

Дозволете ни да составиме производ од формули на димензии на сите физички количини суштински за процесот во некои сè уште неодредени степени; очигледно, тоа ќе биде моќен моном (за процесот). Да претпоставиме дека неговата димензија (на мономот на моќноста) е еднаква на нула, односно, експонентите на моќноста на примарните величини вклучени во димензионалната формула се намалени, тогаш може да се претстави мономот на моќност (за процесот). во вид на производ од бездимензионални комплекси на димензионални величини. Тоа значи дека ако составиме производ од формули на димензии кои се од суштинско значење за процесите на физичките големини во неопределени сили, тогаш од услов збирот на експонентите на примарните величини на овој моном на моќност да биде еднаков на нула, можеме да одредиме потребните бездимензионални комплекси.

Дозволете ни да ја демонстрираме оваа операција користејќи го примерот на периодичен процес на топлинска спроводливост во цврсто тело измиено со течна течност за ладење. Тоа ќе го претпоставиме диференцијални равенкинепознат за процесот што се разгледува. Треба да најдеме бездимензионални комплекси.

Суштинските физички количества за процесот што се проучува ќе бидат следните: карактеристична големина л(m), топлинска спроводливост солидна, (J/(m K)), специфичен топлински капацитет на цврсто тело Со(J/(kg K)), густина на цврсто тело (kg/m 3), коефициент на пренос на топлина (пренос на топлина) (J/m 2 K)), временски период , (в), карактеристична вишок температура (К). Дозволете ни да конструираме од овие величини моќен моном на формата

Експонент на примарна величина се нарекува димензија на секундарната величина во однос на дадената примарна величина.

Да го замениме со физички количини (освен П)според нивните формули за димензии, како резултат добиваме

Во овој случај, експонентите имаат вредности на кои Писпаѓа од равенката.

Да ги изедначиме експонентите на мономот со нула:

за должина

a – b - 3i - 2k = 0; (9.8)

за количината на топлина П

0; (9.9)

за време

за температура

за маса м

Има вкупно седум значајни количини, има пет равенки за одредување на индикаторите, што значи само два индикатора, на пример, ба k може да се избере произволно.

Да ги изразиме сите експоненти преку бИ к.Како резултат добиваме:

од (8.8), (8.9), (8.12)

f = -b - k; (9.14)

r=b + k; (9.15)

од (8.11) и (8.9)

n = b + f + k = b +(-b–k) + k = 0; (9.16)

од (8.12) и (8.9)

i = f = -b -k. (9.17)

Сега мономот може да се претстави во форма

Бидејќи индикаторите бИ кможе да се избере произволно, да претпоставиме:

1. во исто време пишуваме

СО СИГОРНО РАЗУДУВАЊЕ „ОД КРАЈ ДО ПОЧЕТОК“ ПРИ ОЦЕНУВАЊЕ НА ПРОЦЕСНИТЕ ФАКТОРИ

Општи информации за методот на димензионална анализа

При студирањето механички појависе воведуваат голем број концепти, на пример, енергија, брзина, напон итн., кои го карактеризираат феноменот што се разгледува и може да се специфицираат и дефинираат со помош на броеви. Сите прашања за движењето и рамнотежата се формулирани како проблеми за одредување одредени функции и нумерички вредности за количества што карактеризираат феномен, а при решавање на ваквите проблеми во чисто теоретски студии, законите на природата и различните геометриски (просторни) односи се претставени во форма на функционални равенки - обично диференцијални.

Многу често немаме можност да го истакнеме проблемот во математичка форма, бидејќи механичкиот феномен што се проучува е толку сложен што сè уште не постои прифатлива шема за него и сè уште нема равенки на движење. Оваа ситуација се среќаваме при решавање на проблеми од областа на механиката на авионите, механиката на флуиди, во проблемите на проучување на силата и деформацијата итн. Во овие случаи, главната улога ја играат експерименталните истражувачки методи, кои овозможуваат да се утврдат наједноставните експериментални податоци, кои последователно ја формираат основата на кохерентни теории со строг математички апарат. Сепак, самите експерименти можат да се спроведат само врз основа на прелиминарна теоретска анализа. Контрадикторноста се решава преку итеративен истражувачки процес, изнесување претпоставки и хипотези и нивно експериментално тестирање. Во овој случај, тие се засноваат на присуството на сличност на природните појави, како општ закон. Теоријата за сличност и димензии е, до одреден степен, „граматика“ на експериментот.

Димензии на количини

Мерните единици на различни физички величини, комбинирани врз основа на нивната конзистентност, формираат систем на единици. Во моментов се користи Меѓународниот систем на единици (SI). Во SI, мерните единици на таканаречените примарни величини се избираат независно една од друга - маса (килограм, kg), должина (метар, m), време (секунда, секунда, s), струја (ампер, а) , температура (степен Келвин, К) и светлосен интензитет (свеќа, sv). Тие се нарекуваат основни единици. Мерните единици на преостанатите, секундарни величини се изразуваат во однос на примарните. Формулата што ја покажува зависноста на мерната единица на секундарната големина од примарните мерни единици се нарекува димензија на оваа величина.

Димензијата на секундарната величина се наоѓа со помош на дефинирачка равенка, која служи како дефиниција на оваа величина во математичка форма. На пример, дефинирачката равенка за брзината е

.

Ќе ја означиме димензијата на количината користејќи го симболот на оваа количина земена во квадратни загради, тогаш

, или
,

каде [L], [T] се димензиите на должината и времето, соодветно.

Дефинитивната равенка за сила може да се смета за вториот Њутнов закон

Тогаш димензијата на сила ќе ја има следната форма

[F]=[M][L][T] .

Дефинитивната равенка и формулата за димензијата на работата, соодветно, ќе ја имаат формата

A=Fs и [A]=[M][L] [Т] .

Во принцип, ќе имаме врска

[П] =[М] [L] [Т] (1).

Ајде да обрнеме внимание на снимањето на односот помеѓу димензиите; ова исто така ќе ни биде корисно.

Теореми на теоријата на сличност

Формирањето на теоријата на сличност во историскиот аспект се карактеризира со нејзините три главни теореми.

Првата теорема за сличностформулира потребните условии својства на слични системи, тврдејќи дека сличните појави имаат исти критериуми за сличност во форма на бездимензионални изрази, кои се мерка за односот на интензитетот на два физички ефекти кои се значајни за процесот што се проучува.

Втора теорема за сличност(P-теорема) ја докажува можноста равенката да се сведе на критериумска форма без да се утврди доволноста на условите за постоење на сличност.

Трета теорема за сличностукажува на границите на природната дистрибуција на едно искуство, бидејќи слични појави ќе бидат оние кои имаат слични услови на недвосмисленост и исти дефинирачки критериуми.

Така, методолошката суштина на теоријата на димензиите лежи во фактот дека секој систем на равенки што содржи математичка претстава на законите што ја регулираат појавата може да се формулира како врска помеѓу бездимензионални величини. Дефинитивните критериуми се составени од меѓусебно независни величини кои се вклучени во условите на единственоста: геометриски односи, физички параметри, гранични (почетни и гранични) услови. Системот на дефинирање на параметри мора да има својства на комплетност. Некои од дефинирачките параметри може да бидат физички димензионални константи; ние ќе ги наречеме фундаментални променливи, за разлика од другите - прилагодливи променливи. На пример, забрзување поради гравитацијата. Таа е фундаментална променлива. Во копнени услови - константна вредност и - променлива во услови на простор.

За правилно да ја примени димензионалната анализа, истражувачот мора да ја знае природата и бројот на фундаментални и контролирани променливи во неговиот експеримент.

Во овој случај, постои практичен заклучок од теоријата на димензионална анализа и тој лежи во фактот дека ако експериментаторот навистина ги знае сите променливи на процесот што се проучува, но сè уште нема математичка претстава на законот во форма на равенка, тогаш тој има право да ги трансформира со примена на првиот дел Бакингемова теорема: „Ако некоја равенка е недвосмислена во однос на димензиите, тогаш таа може да се трансформира во релација која содржи збир од бездимензионални комбинации на количини“.

Равенка која е хомогена во однос на димензиите е онаа чија форма не зависи од изборот на основните единици.

П.С. Емпириските обрасци обично се приближни. Ова се описи во форма на нехомогени равенки. Во нивниот дизајн, тие имаат димензионални коефициенти кои „работат“ само во одреден систем на мерни единици. Последователно, со акумулацијата на податоците, доаѓаме до опис во форма на хомогени равенки, т.е. мерни единици независни од системот.

Бездимензионални комбинации, во прашање се производи или соодноси на количества составени така што во секоја комбинација се поништуваат димензиите. Во овој случај, се формираат производи од неколку димензионални количини од различна физичка природа комплекси, односот на дводимензионални величини од иста физичка природа – симплекси.

Наместо да се менува секоја променлива по ред,а промените кај некои од нив може да предизвикааттешкотии, истражувачот може само да вариракомбинации. Оваа околност значително го поедноставува експериментот и ви овозможува да ги прикажете добиените податоци во графичка форма и да ги анализирате многу побрзо и со поголема точност.

Користејќи го методот на димензионална анализа, организирајќи веродостојно расудување „од крај до почеток“.

По разгледувањето на горенаведеното генерални информации, можете особено да обрнете внимание на следните точки.

Најефективната примена на димензионалната анализа е кога постои една бездимензионална комбинација. Во овој случај, доволно е експериментално да се одреди само коефициентот за совпаѓање (доволно е да се спроведе еден експеримент за да се состави и реши една равенка). Задачата станува посложена како што се зголемува бројот на бездимензионални комбинации. Усогласеноста со барањето за целосен опис на физичкиот систем, по правило, е можно (или можеби така се верува) со зголемување на бројот на земени предвид променливи. Но, во исто време, веројатноста за комплицирање на типот на функцијата се зголемува и, што е најважно, обемот на експерименталната работа нагло се зголемува. Воведувањето дополнителни основни единици некако го ублажува проблемот, но не секогаш и не целосно. Фактот дека теоријата на димензионална анализа се развива со текот на времето е многу охрабрувачки и ја води потрагата по нови можности.

Па, што ако, кога бараме и формираме збир фактори што треба да се земат предвид, т.е., во суштина, повторно создавајќи ја структурата на физичкиот систем што се проучува, користиме организација на веродостојно расудување „од крај до почеток“ според Пап ?

За да се разбере дадениот предлог и да се консолидираат основите на методот на димензионална анализа, предлагаме да се анализира пример за воспоставување на односот на факторите кои ја одредуваат ефективноста на кршењето на експлозивот во подземното ископување на рудни наоѓалишта.

Земајќи ги предвид принципите систематски пристап, со право можеме да процениме дека два системски објекти во интеракција формираат нов динамичен систем. Во производните активности, овие предмети се предмет на трансформација и објективен инструмент на трансформација.

При кршење на рудата врз основа на уништување на експлозив, како такви можеме да ја сметаме рудната маса и системот на експлозивни полнења (дупки).

При користење на принципите на димензионална анализа со организација на веродостојно расудување „од крај до почеток“, ја добиваме следната линија на расудување и систем на односи помеѓу параметрите на експлозивниот комплекс и карактеристиките на низата.

Ознаките и формулите за димензиите на користените променливи се дадени во Табела.

Премин од формулата (5) во формулата (1), откривајќи ги воспоставените односи, а исто така имајќи ја предвид претходно воспоставената врска помеѓу дијаметарот на средината и дијаметарот на максималното камерно парче

г ср = к 6 г м 2/3 , (6)

добиваме општа равенка за односот помеѓу факторите кои го одредуваат квалитетот на дробење:

г ср = kW 2/3 [ с т заменик / р заб 1/3 Д -2/3 л SCR 2/3 М зар 2|3 У бб 2/3 А 1/3 В Бур ДО е В] n (7)

Дозволете ни да го трансформираме последниот израз за да создадеме бездимензионални комплекси, имајќи предвид:

П= М зар У бб ; q бб = М зар В Бур ДО е ; М заб =0.25 стр р заб г SCR 2 ;

Каде М зар – маса на експлозивно полнење на 1 m должина на дупнатината, kg/m;

М заб – маса на стоп во 1 m стопа, kg/m;

У бб – калориска вредност на експлозивите, kcal/kg.

Во броителот и именителот што ги користиме [М зар 1/3 У бб 1/3 (0.25 стрг SCR 2 ) 1/3 ] . Конечно ќе го добиеме

Сите комплекси и симплекси имаат физичко значење. Според експерименталните податоци и податоците од практиката, моќниот експонент n=1/3, и коефициентот ксе одредува во зависност од скалата на поедноставување на изразувањето (8).

Иако успехот на димензионалната анализа зависи од правилното разбирање на физичкото значење специфична задача, по изборот на променливите и основните димензии, овој метод може да се примени целосно автоматски. Следствено, овој метод е лесно да се прикаже во форма на рецепт, сепак имајќи предвид дека таквиот „рецепт“ бара од истражувачот правилно да ги избере составните компоненти. Единственото нешто што можеме да го направиме овде е да дадеме некои општи насоки.

Фаза 1.Изберете независни променливи кои влијаат на системот. Исто така, неопходно е да се земат предвид димензионалните коефициенти и физичките константи доколку играат важна улога. Ова е најодговорноната фаза на целата работа.

Фаза 2.Изберете систем на основни димензии преку кој можете да ги изразите единиците на сите избрани променливи. Најчесто се користат следните системи: во механика и динамика на течности МЛq(Понекогаш FLq), В термодинамика МЛqТ или МЛqТ.Х.; во електротехниката и нуклеарната физика МЛqДОили МЛqm., во овој случај, температурата или може да се смета како основна количина или да се изрази преку молекуларната кинетичка енергија.

Фаза 3.Запишете ги димензиите на избраните независни променливи и креирајте бездимензионални комбинации. Решението ќе биде точно ако: 1) секоја комбинација е бездимензионална; 2) бројот на комбинации не е помал од оној што го предвидува р-теоремата; 3) секоја променлива се појавува во комбинации барем еднаш.

Фаза 4.Испитајте ги добиените комбинации од гледна точка на нивната прифатливост, физичко значење и (ако треба да се користи методот на најмали квадрати) концентрацијата на несигурност, ако е можно, во една комбинација. Ако комбинациите не ги задоволуваат овие критериуми, тогаш можете: 1) да добиете друго решение за равенките на експонентите за да го пронајдете најдоброто множество комбинации; 2) изберете различен систем на основни димензии и завршете ја целата работа од самиот почеток; 3) проверете ја исправноста на изборот на независни променливи.

Фаза 5. Кога ќе се добие задоволителен сет на бездимензионални комбинации, истражувачот може да направи план за промена на комбинациите со менување на вредностите на избраните променливи во неговата опрема. На дизајнот на експериментите треба да му се посвети посебно внимание.

При користење на методот на димензионална анализа со организација на веродостојно расудување „од крај до почеток“, неопходно е да се воведат сериозни корекции, особено во првата фаза.

Кратки заклучоци

Денес е можно да се формулираат концептуални одредби за научно-истражувачка работа користејќи веќе воспоставен регулаторен алгоритам. Следењето чекор-по-чекор ви овозможува да го насочите пребарувањето за тема и да ги одредите нејзините фази на имплементација со пристап до научни принципи и препораки. Познавањето на содржината на поединечните постапки придонесува за нивно стручно оценување и избор на најприфатливите и најефикасните.

Напредок на научното истражување може да се претстави во форма на логички дијаграм, утврден во процесот на извршување на истражувањето, истакнувајќи три фази карактеристични за секоја активност:

Подготвителна фаза: Може да се нарече и фаза на методолошка подготовка на истражувањето и формирање на методолошка поддршка за истражувачка работа. Обемот на работа е како што следува. Дефинирање на проблемот, развој на концептуален опис на предметот на истражување и дефинирање (формулирање) на темата на истражување. Изготвување програма за истражување со поставување задачи и развивање план за нивно решавање. Оправдан избор на методи на истражување. Развој на експериментални методи.

Главна сцена: - извршна (технолошка), спроведување на програмата и план за истражување.

Завршна фаза: - обработка на резултатите од истражувањето, формулирање на главни одредби, препораки, испитување.

Научните предлози се нова научна вистина - тоа е она што треба и може да се брани. Формулирањето на научните предлози може да биде математичко или логично. Научните принципи помагаат во причината и го решаваат проблемот. Научните одредби мора да бидат насочени, т.е. ја одразуваат (ја содржат) темата за која се решени. За да се постигне општа врска помеѓу содржината на истражувачката работа и стратегијата за нејзино спроведување, се препорачува да се работи на структурата на извештајот за истражување пред и (или) по развивањето на овие одредби. Во првиот случај, работата на структурата на извештајот има дури и хеуристички потенцијал и придонесува за разбирање на истражувачките идеи; во вториот случај, делува како еден вид тест на стратегијата и повратни информацииуправување со истражување

Да потсетиме дека постои логика на барање, работа и ете geeky презентација. Првата дијалектика е динамична, со циклуси, враќања, тешка за формализирање, втората е логика на статична состојба, формална, т.е. кои имаат строго дефинирана форма.

Како заклучок, Препорачливо е да не се прекине да се работи на структурата на извештајот во текот на целото времетраење на истражувачката работа и со тоа повремено да се „проверуваат часовниците на ДВЕТЕ ЛОГИКИ“.

Систематизацијата на современите рударски проблеми на административно ниво придонесува за зголемување на ефикасноста на работата на концептот.

Кога даваме методолошка поддршка за истражувачката работа, често се среќаваме со ситуации кога теоретските принципи за конкретен проблем сè уште не се целосно развиени. Соодветно е да се користи методолошки „лизинг“. Како пример за таков пристап и негова можна употреба, интерес е методот на димензионална анализа со организација на веродостојно расудување „од крај до почеток“.

Основни поими и поими

Истражувачот на природата е искуството. Тој никогаш не мами... Мора да правиме експерименти, да ги менуваме околностите, додека не научиме од нив општи правила, бидејќи искуството ги дава вистинските правила.

Леонардо да Винчи