Биномна дистрибуција. Дискретни дистрибуции во EXCEL. Биномна распределба на случајна променлива Биномна дистрибуција Excel

Да ја разгледаме Биномната распределба, да ги пресметаме нејзините математичко очекување, варијанса и режим. Користејќи ја функцијата MS EXCEL BINOM.DIST(), ќе нацртаме графикони на функцијата на дистрибуција и густина на веројатност. Да го процениме параметарот на дистрибуцијата p, математичкото очекување на распределбата и стандардното отстапување. Да ја разгледаме и распределбата на Бернули.

Дефиниција. Нека се одржат nиспитувања, во секоја од кои може да се случат само 2 настани: настанот „успех“ со веројатноста стр или настан „неуспех“ со веројатност q =1-p (т.н Шема на Бернули,Бернулииспитувања).

Веројатноста за добивање точно x успех во овие n тестовите се еднакви на:

Број на успеси во примерокот x е случајна променлива која има Биномна дистрибуција(Англиски) Биномдистрибуција) стрИ n – се параметрите на оваа дистрибуција.

Ве молиме запомнете дека треба да го користите Бернули шемии соодветно Биномна дистрибуција,треба да се исполнат следните услови:

• Секој тест мора да има точно два исходи, конвенционално наречени „успех“ и „неуспех“.
• резултатот од секој тест не треба да зависи од резултатите од претходните тестови (независност на тестот).
• веројатност за успех стр мора да биде константна за сите тестови.

Биномна дистрибуција во MS EXCEL

Во MS EXCEL, почнувајќи од верзијата 2010 година, за постои функција BINOM.DIST(), Англиско име- BINOM.DIST(), кој ви овозможува да ја пресметате веројатноста дека примерокот точно ќе содржи X„успех“ (т.е. функција на густина на веројатност p(x), види формула погоре), и кумулативна дистрибутивна функција(веројатност дека примерокот ќе има xили помалку „успеси“, вклучувајќи 0).

Пред MS EXCEL 2010, EXCEL имаше функција BINOMDIST(), која исто така ви овозможува да пресметате функција на дистрибуцијаИ густина на веројатност p(x). BINOMIST() е оставен во MS EXCEL 2010 за компатибилност.

Примерната датотека содржи графикони распределба на густина на веројатностИ .

Биномна дистрибуцијаја има ознаката Б (n ; стр) .

Забелешка: За градење кумулативна дистрибутивна функцијадијаграм за совршен тип Распоред, За густина на дистрибуција – Хистограм со групирање. За повеќе информации за креирање графикони, прочитајте ја статијата Основни типови графикони.

Забелешка: За погодност за пишување формули, во датотеката за пример се креирани имиња за параметри Биномна дистрибуција: n и стр.

Датотеката за пример покажува различни пресметки на веројатност користејќи функции MS EXCEL:

Како што можете да видите на сликата погоре, се претпоставува дека:

• Бесконечната популација од која е земен примерокот содржи 10% (или 0,1) валидни елементи (параметар стр, трет функциски аргумент = BINOM.DIST() )
• Да се ​​пресмета веројатноста дека во примерок од 10 елементи (параметар n, вториот аргумент на функцијата) ќе има точно 5 валидни елементи (првиот аргумент), треба да ја напишете формулата: =BINOM.DIST(5, 10, 0,1, НЕТОЧНО)
• Последниот, четврти елемент е поставен = FALSE, т.е. се враќа вредноста на функцијата густина на дистрибуција .

Ако вредноста на четвртиот аргумент = TRUE, тогаш функцијата BINOM.DIST() ја враќа вредноста кумулативна дистрибутивна функцијаили едноставно Дистрибутивна функција. Во овој случај, можете да ја пресметате веројатноста дека бројот на добри елементи во примерокот ќе биде од одреден опсег, на пример, 2 или помалку (вклучувајќи 0).

За да го направите ова, треба да ја напишете формулата: = BINOM.DIST(2; 10; 0.1; ТОЧНО)

Забелешка: За нецелобројна вредност на x, . На пример, следните формулиќе ја врати истата вредност: =BINOM.DIST( 2 ; 10; 0,1; ВИСТИНА)=BINOM.DIST( 2,9 ; 10; 0,1; ВИСТИНА)

Забелешка: Во датотеката за пример густина на веројатностИ функција на дистрибуцијаисто така се пресметува со користење на дефиницијата и функцијата NUMBERCOMB() .

Индикатори за дистрибуција

ВО пример датотека на работниот лист ПримерПостојат формули за пресметување на некои индикатори за дистрибуција:

• =n*p;
• (стандардна девијација на квадрат) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

Да ја изведеме формулата математичко очекувањеБиномна дистрибуцијакористење Коло Бернули .

По дефиниција, случајната променлива X во Шема на Бернули(Случајна променлива Бернули) има функција на дистрибуција :

Оваа дистрибуција се нарекува Бернули дистрибуција .

Забелешка : Бернули дистрибуција– посебен случај Биномна дистрибуцијасо параметар n=1.

Ајде да генерираме 3 низи од по 100 броеви со различни веројатности за успех: 0,1; 0,5 и 0,9. За да го направите ова во прозорецот Генерирање на случаен бројДозволете ни да ги поставиме следните параметри за секоја веројатност p:

Забелешка: Ако ја поставите опцијата Случајно расејување (Случајно семе), потоа можете да изберете одреден случаен сет на генерирани броеви. На пример, со поставување на оваа опција =25, можете да генерирате исти множества случајни броеви на различни компјутери (ако, се разбира, другите параметри на дистрибуција се исти). Вредноста на опцијата може да земе цели броеви од 1 до 32.767. Име на опцијата Случајно расејувањеможе да биде збунувачки. Подобро би било да се преведе како Бирајте број со случајни броеви .

Како резултат на тоа, ќе имаме 3 колони од 100 броеви, врз основа на кои можеме, на пример, да ја процениме веројатноста за успех стрспоред формулата: Број на успеси/100(цм. пример лист со датотеки GenerationBernoulli).

Забелешка: За Бернули дистрибуциисо p=0,5 можете да ја користите формулата =RANDBETWEEN(0;1) која одговара на .

Генерирање на случаен број. Биномна дистрибуција

Да претпоставиме дека има 7 неисправни производи во примерокот. Ова значи дека е „многу веројатно“ процентот на неисправни производи да се промени стр, што е карактеристика на нашиот производствен процес. Иако таквата ситуација е „многу веројатна“, постои можност (алфа ризик, грешка тип 1, „лажна тревога“) стростана непроменет, а зголемениот број на неисправни производи се должи на случајно земање мостри.

Како што може да се види на сликата подолу, 7 е бројот на неисправни производи што е прифатлив за процес со p=0,21 со иста вредност Алфа. Ова илустрира дека кога ќе се надмине прагот на неисправните ставки во примерокот, стр„Најверојатно“ се зголеми. Фразата „најверојатно“ значи дека постои само 10% веројатност (100%-90%) дека отстапувањето на процентот на неисправни производи над прагот се должи само на случајни причини.

Така, надминувањето на прагот на бројот на неисправни производи во примерокот може да послужи како сигнал дека процесот е вознемирен и дека почнал да произведува искористени производи. Опоголем процент на неисправни производи.

Забелешка: Пред MS EXCEL 2010, EXCEL имаше функција CRITBINOM(), која е еквивалентна на BINOM.INV(). CRITBINOM() е оставен во MS EXCEL 2010 и повисок за компатибилност.

Врска на Биномната дистрибуција со други распределби

Доколку параметарот nБиномна дистрибуцијасе стреми кон бесконечноста, и стрсе стреми кон 0, тогаш во овој случај Биномна дистрибуцијаможе да се приближи. Можеме да формулираме услови кога приближувањето Поасон дистрибуцијаработи добро:

• стр(помалку стри повеќе n, толку е попрецизно приближувањето);
• стр >0,9 (со оглед на тоа q =1- стр, пресметките во овој случај мора да се направат преку q(А Xтреба да се замени со n - x). Затоа, колку помалку qи повеќе n, толку е попрецизно приближувањето).

На 0,110 Биномна дистрибуцијаможе да се приближи.

Од своја страна, Биномна дистрибуцијаможе да послужи како добра апроксимација кога големината на населението е N Хипергеометриска дистрибуцијамногу поголема од големината на примерокот n (т.е. N>>n или n/N). Можете да прочитате повеќе за врската помеѓу горенаведените распределби во статијата. Таму се дадени и примери за приближување и условите за тоа кога е можни и со која точност се објаснети.

СОВЕТ: Можете да прочитате за другите дистрибуции на MS EXCEL во статијата.

Биномната распределба е една од најважните распределби на веројатност на дискретно променлива случајна променлива. Биномната распределба е распределба на веројатност на бројот мпојава на настан АВ nмеѓусебно независни набљудувања. Често настан Асе нарекува „успех“ на набљудување, а спротивниот настан се нарекува „неуспех“, но оваа ознака е многу условена.

Биномни услови за распределба:

• вкупно спроведена nиспитувања во кои настанот Аможе или не може да се појави;
• настан Аво секое испитување може да се случи со иста веројатност стр;
• тестовите се меѓусебно независни.

Веројатноста дека во nнастан за тестирање Аточно ќе дојде мпати, може да се пресмета со формулата на Бернули:

Каде стр- веројатност да се случи некој настан А;

q = 1 - стр- веројатноста да се случи спротивен настан.

Ајде да го сфатиме зошто биномната распределба е поврзана со Бернулиовата формула на начин опишан погоре? . Настан - број на успеси кај nтестовите се поделени на голем број опции, во секоја од нив се постигнува успех мтестови, и неуспех - во n - мтестови. Ајде да разгледаме една од овие опции - Б1 . Користејќи го правилото за собирање веројатности, ги множиме веројатностите на спротивни настани:

,

а ако означиме q = 1 - стр, Тоа

.

Секоја друга опција во која муспех и n - мнеуспеси. Бројот на такви опции е еднаков на бројот на начини на кои може да се nтест добие муспех.

Збир на сите веројатности мброеви за појава на настани А(броеви од 0 до n) е еднакво на еден:

каде што секој член претставува член во биномот на Њутн. Затоа, распределбата што се разгледува се нарекува биномна распределба.

Во пракса, често е неопходно да се пресметаат веројатности „не повеќе од муспех во nтестови“ или „барем муспех во nтестови". За ова се користат следните формули.

Интегралната функција, т.е веројатност Ф(м) што има nнабљудувачки настан Анема повеќе да дојде меднаш, може да се пресмета со формулата:

За возврат веројатност Ф(≥м) што има nнабљудувачки настан Аќе дојде не помалку меднаш, се пресметува со формулата:

Понекогаш е попогодно да се пресмета веројатноста тоа nнабљудувачки настан Анема повеќе да дојде мпати, преку веројатноста за спротивен настан:

.

Која формула да се користи зависи од тоа која од нив има збир што содржи помалку поими.

Карактеристиките на биномната распределба се пресметуваат со помош на следните формули .

Очекувана вредност: .

Дисперзија:.

Стандардна девијација: .

Биномна дистрибуција и пресметки во MS Excel

Биномна веројатност П n ( м) и вредностите на интегралната функција Ф(м) може да се пресмета со помош на функцијата MS Excel BINOM.DIST. Прозорецот за соодветната пресметка е прикажан подолу (клик со лев клик за зголемување).

MS Excel бара од вас да ги внесете следните податоци:

• број на успеси;
• број на тестови;
• веројатност за успех;
• интеграл - логичка вредност: 0 - ако треба да ја пресметате веројатноста П n ( м) и 1 - ако веројатноста Ф(м).

Пример 1.Менаџерот на компанијата ги сумираше информациите за бројот на продадени камери во последните 100 дена. Табелата ги сумира информациите и ги пресметува веројатностите дека одреден број камери ќе се продаваат дневно.

Денот завршува со добивка доколку се продадат 13 или повеќе камери. Веројатност дека денот ќе се одработи профитабилно:

Веројатност дека еден ден ќе се одработи без профит:

Нека веројатноста дека еден ден е одработен со добивка е константна и еднаква на 0,61, а бројот на продадени камери дневно не зависи од денот. Потоа можеме да ја користиме биномната дистрибуција, каде што настанот А- денот ќе се одработи со профит, - без профит.

Веројатност дека сите 6 дена ќе бидат одработени со добивка:

.

Го добиваме истиот резултат користејќи ја функцијата MS Excel BINOM.DIST (вредноста на интегралната вредност е 0):

П 6 (6 ) = BINOM.DIST(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.

Веројатноста дека од 6 дена 4 или повеќе дена ќе бидат работени со добивка:

Каде ,

,

Користејќи ја функцијата MS Excel BINOM.DIST, ја пресметуваме веројатноста дека од 6 дена не повеќе од 3 дена ќе бидат завршени со добивка (вредноста на интегралната вредност е 1):

П 6 (≤3 ) = BINOM.DIST(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.

Веројатност дека сите 6 дена ќе бидат одработени со загуби:

,

Можеме да го пресметаме истиот индикатор користејќи ја функцијата MS Excel BINOM.DIST:

П 6 (0 ) = BINOM.DIST(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.

Решете го проблемот сами и потоа видете го решението

Пример 2.Во урната има 2 бели и 3 црни топки. Од урната се вади топка, се поставува бојата и се враќа назад. Обидот се повторува 5 пати. Бројот на појавувања на бели топчиња е дискретна случајна променлива X, распоредени според биномниот закон. Направете закон за распределба на случајна променлива. Дефинирајте го режимот, математичкото очекување и дисперзијата.

Ајде да продолжиме да ги решаваме проблемите заедно

Пример 3.Од курирската служба отидовме на локациите n= 5 курири. Секој курир е веројатно стр= 0,3, без оглед на другите, доцни за објектот. Дискретна случајна променлива X- број на задоцнети курири. Конструирај дистрибутивна серија за оваа случајна променлива. Најдете го неговото математичко очекување, варијанса, стандардна девијација. Најдете ја веројатноста дека најмалку двајца курири ќе доцнат на предметите.

Во овој и во следните неколку објави ќе ги разгледаме математичките модели на случајни настани. Математички моделе математички израз што претставува случајна променлива. За дискретни случајни променливи, овој математички израз е познат како функција на дистрибуција.

Ако проблемот ви дозволува експлицитно да напишете математички израз што претставува случајна променлива, можете да ја пресметате точната веројатност за која било од нејзините вредности. Во овој случај, можете да ги пресметате и наведете сите вредности на функцијата за дистрибуција. Различни распределби на случајни променливи се среќаваат во деловните, социолошките и медицинските апликации. Една од најкорисните дистрибуции е биномот.

Биномна дистрибуцијасе користи за симулирање на ситуации кои се карактеризираат со следните карактеристики.

• Примерокот се состои од фиксен број на елементи n, претставувајќи ги резултатите од одреден тест.
• Секој елемент на примерокот припаѓа на една од двете меѓусебно ексклузивни категории кои го исцрпуваат целиот простор на примерокот. Обично овие две категории се нарекуваат успех и неуспех.
• Веројатност за успех Ре константна. Затоа, веројатноста за неуспех е 1 – стр.
• Исходот (т.е. успех или неуспех) на кое било испитување не зависи од исходот на друго испитување. За да се обезбеди независност на резултатите, елементите на примерокот обично се добиваат со користење на два различни методи. Секој елемент во примерокот е случајно извлечен од бесконечна популација без реверзија или од конечна популација со реверзија.

Преземете ја белешката во или формат, примери во формат

Биномната распределба се користи за да се процени бројот на успеси во примерокот кој се состои од nнабљудувања. Да го земеме нарачката како пример. За да направат нарачка, клиентите на Saxon Company можат да ја користат интерактивната електронска форма и да ја испратат до компанијата. Информацискиот систем потоа проверува дали има грешки, нецелосни или неточни информации во нарачките. Секоја нарачка за која станува збор е означена и вклучена во дневниот извештај за исклучоци. Податоците собрани од компанијата покажуваат дека веројатноста за грешки во нарачките е 0,1. Една компанија би сакала да знае колкава е веројатноста да се најде одреден број на погрешни нарачки во даден примерок. На пример, да претпоставиме дека клиентите завршиле четири електронски форми. Која е веројатноста сите нарачки да бидат без грешки? Како да се пресмета оваа веројатност? Со успех ќе разбереме грешка при пополнување на формуларот, а сите други исходи ќе се сметаат за неуспешни. Потсетиме дека сме заинтересирани за бројот на погрешни нарачки во даден примерок.

Какви резултати можеме да забележиме? Ако примерокот се состои од четири нарачки, еден, два, три или сите четири може да бидат неточни и сите да бидат точни. Дали случајната променлива што го опишува бројот на погрешно пополнети формулари може да добие некоја друга вредност? Ова не е можно бидејќи бројот на неточни обрасци не може да ја надмине големината на примерокот nили да биде негативен. Така, случајна променлива што го почитува законот за биномна дистрибуција зема вредности од 0 до n.

Да претпоставиме дека во примерок од четири реда се забележани следните резултати:

Која е веројатноста да се најдат три погрешни нарачки во примерок од четири нарачки, по наведениот редослед? Затоа што прелиминарни студиипокажа дека веројатноста за грешка при пополнување на формуларот е 0,10, веројатностите за горенаведените исходи се пресметуваат на следниов начин:

Бидејќи исходите не зависат еден од друг, веројатноста за одредената низа на исходи е еднаква на: p*p*(1–p)*p = 0,1*0,1*0,9*0,1 = 0,0009. Ако треба да го пресметате бројот на избори X nелементи, треба да ја користите комбинацијата формула (1):

каде n! = n * (n –1) * (n – 2) * … * 2 * 1 - факториел на број n, и 0! = 1 и 1! = 1 по дефиниција.

Овој израз често се нарекува . Така, ако n = 4 и X = 3, бројот на секвенци кои се состојат од три елементи извлечени од големината на примерокот од 4 се одредува со следнава формула:

Затоа, веројатноста за откривање на три погрешни нарачки се пресметува на следниов начин:

(Број на можни секвенци) *
(веројатност за одредена низа) = 4 * 0,0009 = 0,0036

Слично, можете да ја пресметате веројатноста дека меѓу четирите нарачки ќе има еден или два погрешни, како и веројатноста дека сите нарачки се погрешни или сите се точни. Меѓутоа, со зголемување на големината на примерокот nодредувањето на веројатноста за одредена низа на исходи станува потешко. Во овој случај, соодветно математички модел, опишувајќи ја биномната распределба на бројот на избори Xобјекти од избор кој содржи nелементи.

Биномна дистрибуција

Каде P(X)- веројатност Xуспех за дадена големина на примерокот nи веројатноста за успех Р, X = 0, 1, … n.

Ве молиме имајте предвид дека формулата (2) е формализирање на интуитивни заклучоци. Случајна вредност X, која ја почитува биномната распределба, може да земе која било цел број во опсег од 0 до n. Работа РX(1 – стр)n – Xја претставува веројатноста за одредена низа која се состои од Xуспех во големина на примерок еднаков на n. Вредноста го одредува бројот на можни комбинации што се состојат од Xуспех во nтестови. Затоа, за даден број на тестови nи веројатноста за успех Рверојатноста за низа која се состои од Xуспех, еднаков

P(X) = (број на можни секвенци) * (веројатност за одредена низа) =

Да разгледаме примери што ја илустрираат примената на формулата (2).

1. Да претпоставиме дека веројатноста за погрешно пополнување на формуларот е 0,1. Која е веројатноста дека меѓу четири пополнети обрасци, три ќе бидат неточни? Користејќи ја формулата (2), откриваме дека веројатноста за откривање на три погрешни нарачки во примерок составен од четири реда е еднаква на

2. Да претпоставиме дека веројатноста за погрешно пополнување на формуларот е 0,1. Која е веројатноста дека меѓу четири пополнети обрасци, најмалку три ќе бидат неточни? Како што е прикажано во претходниот пример, веројатноста дека меѓу четири пополнети обрасци, три ќе бидат неточни е 0,0036. За да ја пресметате веројатноста дека меѓу четири пополнети обрасци најмалку три ќе бидат неточни, треба да ја додадете веројатноста дека меѓу четирите пополнети обрасци три ќе бидат неточни и веројатноста дека меѓу четирите пополнети обрасци сите ќе бидат неточни. Веројатноста за вториот настан е

Така, веројатноста дека меѓу четири пополнети обрасци најмалку три ќе бидат неточни е еднаква на

P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037

3. Да претпоставиме дека веројатноста за погрешно пополнување на формуларот е 0,1. Која е веројатноста од четири пополнети формулари помалку од три да бидат неточни? Веројатност за овој настан

P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Користејќи ја формулата (2), ја пресметуваме секоја од овие веројатности:

Затоа, P(X< 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.

Веројатност P(X< 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х>3. Потоа P(X< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.

Како што се зголемува големината на примерокот nпресметките слични на оние направени во примерот 3 стануваат тешки. За да се избегнат овие компликации, многу биномни веројатности се однапред табелирани. Некои од овие веројатности се прикажани на сл. 1. На пример, да се добие веројатноста дека X= 2 во n= 4 и стр= 0,1, треба да го извлечете од табелата бројот на пресекот на линијата X= 2 и колони Р = 0,1.

Ориз. 1. Биномна веројатност при n = 4, X= 2 и Р = 0,1

Биномната распределба може да се пресмета со помош на функцијата Excel =BINOM.DIST() (сл. 2), која има 4 параметри: број на успеси - X, број на тестови (или големина на примерокот) - n, веројатност за успех - Р, параметар интегрален, која ја зема вредноста ТОЧНО (во овој случај, се пресметува веројатноста не помалку Xнастани) или НЕТОЧНО (во овој случај се пресметува веројатноста точно Xнастани).

Ориз. 2. Параметри на функции =BINOM.DIST()

За горенаведените три примери, пресметките се прикажани на сл. 3 (видете ја и датотеката Excel). Секоја колона содржи една формула. Броевите ги покажуваат одговорите на примерите на соодветниот број).

Ориз. 3. Пресметка на биномна дистрибуција во Excel за n= 4 и стр = 0,1

Својства на биномната распределба

Биномната распределба зависи од параметрите nИ Р. Биномната распределба може да биде или симетрична или асиметрична. Ако p = 0,05, биномната распределба е симетрична без оглед на вредноста на параметарот n. Меѓутоа, ако p ≠ 0,05, дистрибуцијата станува искривена. Колку е поблиску вредноста на параметарот Рдо 0,05 и колку е поголема големината на примерокот n, толку помалку е изразена асиметријата на распределбата. Така, распределбата на бројот на погрешно пополнети обрасци е искривена надесно бидејќи стр= 0,1 (сл. 4).

Ориз. 4. Хистограм на биномна дистрибуција кај n= 4 и стр = 0,1

Очекување на биномна дистрибуцијаеднаков на производот од големината на примерокот nза веројатноста за успех Р:

(3) М = Е(Х) =н.п.

Во просек, со доволно долга серија на тестови во примерок составен од четири нарачки, може да има p = E(X) = 4 x 0,1 = 0,4 неправилно пополнети формулари.

Стандардна девијација на биномната распределба

На пример, стандардното отстапување на бројот на неправилно пополнети обрасци во сметководството систем за информацииеднакво на:

Користени се материјали од книгата Левин и др.Статистика за менаџери. – М.: Вилијамс, 2004. – стр. 307–313

Теоријата на веројатност е невидливо присутна во нашите животи. Не обрнуваме внимание на тоа, но секој настан во нашиот живот има една или друга веројатност. Имајќи го предвид огромниот број можни сценарија, ни е неопходно да ги утврдиме најверојатните и најмалку веројатните од нив. Најзгодно е графички да се анализираат ваквите веројатностични податоци. Дистрибуцијата може да ни помогне во ова. Бином е еден од најлесните и најточните.

Пред да преминеме директно на математиката и теоријата на веројатност, ајде да откриеме кој прв го смислил овој тип на дистрибуција и каква е историјата на развојот на математичкиот апарат за овој концепт.

Приказна

Концептот на веројатност е познат уште од античко време. Меѓутоа, античките математичари не му придавале големо значење и можеле само да ги постават основите на теоријата која подоцна станала теорија на веројатност. Тие создадоа некои комбинаторни методи кои многу им помогнаа на оние кои подоцна ја создадоа и развија самата теорија.

Во втората половина на XVII век започнува формирањето на основните концепти и методи на теоријата на веројатност. Беа воведени дефиниции за случајни променливи и методи за пресметување на веројатноста за едноставни и некои сложени независни и зависни настани. Овој интерес за случајни променливи и веројатности беше диктиран од коцкањето: секој човек сакаше да знае какви се неговите шанси да ја добие играта.

Следната фаза беше примената на методите за математичка анализа во теоријата на веројатност. Истакнати математичари како Лаплас, Гаус, Поасон и Бернули се зафатија со оваа задача. Токму тие ја унапредија оваа област од математиката на ново ниво. Џејмс Бернули го откри законот за биномна дистрибуција. Патем, како што ќе дознаеме подоцна, врз основа на ова откритие беа направени уште неколку, што овозможи да се создаде законот за нормална дистрибуција и многу други.

Сега, пред да започнеме да ја опишуваме биномната дистрибуција, малку ќе ја освежиме нашата меморија за концептите на теоријата на веројатност, кои веројатно веќе сме ги заборавиле од училиште.

Основи на теоријата на веројатност

Ќе ги разгледаме таквите системи, како резултат на кои се можни само два исхода: „успех“ и „неуспех“. Ова е лесно да се разбере со пример: фрламе паричка, надевајќи се дека ќе дојде до глави. Веројатноста за секој од можните настани (паѓање глави - „успех“, паѓање глави - „неуспех“) се еднакви на 50 проценти ако паричката е совршено избалансирана и нема други фактори кои можат да влијаат на експериментот.

Тоа беше наједноставниот настан. Но, исто така има комплексни системи, во кои се извршуваат последователни дејства, а веројатностите за исходите од овие дејства ќе се разликуваат. На пример, земете го следниов систем: во кутија, чија содржина не можеме да ја видиме, има шест апсолутно идентични топки, три пара сини, црвени и бели бои. Треба да добиеме неколку топки по случаен избор. Според тоа, со прво извлекување на едно од белите топки, значително ќе ја намалиме веројатноста дека следно ќе добиеме и бела топка. Ова се случува затоа што се менува бројот на објекти во системот.

Во следниот дел, ќе разгледаме посложени математички концепти кои нè доближуваат до она што се зборовите " нормална дистрибуција“, „биномна дистрибуција“ и слично.

Елементи на математичка статистика

Во статистиката, која е една од областите на примена на теоријата на веројатност, има многу примери каде податоците за анализа не се експлицитно дадени. Тоа е, не нумерички, туку во форма на поделба по карактеристики, на пример, по пол. За да се применат математички алатки на таквите податоци и да се извлечат некои заклучоци од добиените резултати, неопходно е оригиналните податоци да се претворат во нумерички формат. Вообичаено, за да се направи ова, на позитивен исход му се доделува вредност 1, а на негативниот исход му се доделува вредност од 0. Така, добиваме статистички податоци кои можат да се анализираат со помош на математички методи.

Следниот чекор во разбирањето што е биномна дистрибуција на случајна променлива е да се одреди варијансата на случајната променлива и математичкото очекување. Ќе зборуваме за ова во следниот дел.

Очекувана вредност

Всушност, не е тешко да се разбере што е математичко очекување. Размислете за систем во кој има многу различни настани со свои различни веројатности. Математичкото очекување ќе биде количината еднаков на збиротпроизводи на вредностите на овие настани (во математичка форма што ја разгледавме во последниот дел) според веројатноста за нивно појавување.

Математичкото очекување за биномна дистрибуција се пресметува со користење на истата шема: ја земаме вредноста на случајната променлива, ја множиме со веројатноста за позитивен исход, а потоа ги сумираме добиените податоци за сите променливи. Многу е погодно да се прикажат овие податоци графички - така подобро се согледува разликата помеѓу математичките очекувања од различни вредности.

Во следниот дел ќе ви кажеме малку за друг концепт - варијансата на случајна променлива. Тој е исто така тесно поврзан со концептот на биномна распределба на веројатност и е негова карактеристика.

Варијанса на биномната распределба

Оваа вредност е тесно поврзана со претходната и исто така ја карактеризира дистрибуцијата на статистичките податоци. Тој го претставува просечниот квадрат на отстапувањата на вредностите од нивните математичко очекување. Односно, варијансата на случајната променлива е збирот на квадратните разлики помеѓу вредноста на случајната променлива и нејзината математичко очекување, помножено со веројатноста за овој настан.

Општо земено, ова е сè што треба да знаеме за варијансата за да разбереме што е биномна распределба на веројатност. Сега да преминеме директно на нашата главна тема. Имено, што се крие зад ваквата навидум прилично сложена фраза „закон за биномна дистрибуција“.

Биномна дистрибуција

Ајде прво да откриеме зошто оваа дистрибуција е биномна. Потекнува од зборот „бином“. Можеби сте слушнале за биномот на Њутн - формула која може да се користи за проширување на збирот на кои било два броја a и b до која било ненегативна моќност n.

Како што веројатно веќе погодивте, Њутновата биномна формула и формулата за биномна дистрибуција се речиси исти формули. Со единствен исклучок што втората има практично значење за конкретни количини, а првата е само општа математичка алатка, чија примена во пракса може да биде различна.

Формули за дистрибуција

Функцијата за биномна дистрибуција може да се запише како збир од следните поими:

(n!/(n-k)!k!)*p k *q n-k

Овде n е бројот на независни случајни експерименти, p е бројот на успешни исходи, q е бројот на неуспешни исходи, k е бројот на експериментот (може да зема вредности од 0 до n),! - означување на фактор, функција на број чија вредност е еднаква на производот на сите броеви што доаѓаат пред него (на пример, за бројот 4: 4!=1*2*3*4=24).

Дополнително, функцијата за биномна дистрибуција може да се запише како нецелосна бета функција. Сепак, ова е покомплексна дефиниција, која се користи само при решавање на сложени статистички проблеми.

Биномната дистрибуција, чии примери ги разгледавме погоре, е една од најпознатите едноставни типовираспределби во теоријата на веројатност. Постои и нормална распределба, која е еден вид бином. Се користи најчесто и најлесно се пресметува. Постојат, исто така, распределби на Бернули, распределби на Поасон и условни распределби. Сите од нив графички ги карактеризираат опсегот на веројатност на одреден процес под различни услови.

Во следниот дел ќе ги разгледаме аспектите поврзани со употребата на овој математички апарат во вистински живот. На прв поглед, се разбира, се чини дека ова е само уште една математичка работа, која, како и обично, не наоѓа примена во реалниот живот, и генерално не му е потребна на никого освен на самите математичари. Меѓутоа, тоа не е така. На крајот на краиштата, сите видови дистрибуции и нивните графички прикази беа создадени исклучиво за практични цели, а не како каприц на научниците.

Апликација

Се разбира, најважната примена на дистрибуциите е во статистиката, бидејќи тие бараат сложена анализа на многу податоци. Како што покажува практиката, многу множества на податоци имаат приближно исти распределби на вредности: критичните региони со многу ниски и многу високи вредности, по правило, содржат помалку елементи од просечните вредности.

Анализата на големи збирки податоци е потребна не само во статистиката. Незаменливо е, на пример, во физичка хемија. Во оваа наука се користи за одредување на многу количини кои се поврзани со случајни вибрации и движења на атомите и молекулите.

Во следниот дел ќе разбереме колку е важно да се користат статистички концепти како бином распределба на случајна променлива во Секојдневниот животза мене и тебе.

Зошто ми треба?

Многу луѓе си го поставуваат ова прашање кога станува збор за математиката. Патем, математиката за џабе не се нарекува кралица на науките. Тоа е основа на физиката, хемијата, биологијата, економијата, а во секоја од овие науки се користи и одредена дистрибуција: дали е дискретна биномна дистрибуција или нормална, не е важно. И ако погледнеме повнимателно на светот околу нас, ќе видиме дека математиката се користи насекаде: во секојдневниот живот, на работа, па дури и човечките односи можат да се претстават во форма на статистички податоци и да се анализираат (ова, патем , е она што оние кои работат во специјални организации вклучени во собирање информации).

Сега да разговараме малку за тоа што да правиме ако треба да знаете многу повеќе на оваа тема од она што го наведовме во оваа статија.

Информациите што ги дадовме во оваа статија се далеку од целосни. Има многу нијанси во однос на тоа каква форма може да има дистрибуцијата. Биномната распределба, како што веќе дознавме, е еден од главните типови на кои целината математичка статистикаи теоријата на веројатност.

Ако се заинтересирате, или во врска со вашата работа треба да знаете многу повеќе на оваа тема, ќе треба да студирате специјализирана литература. Треба да започнете со универзитетски курс математичка анализаи одете таму до делот за теоријата на веројатност. Познавањето на сериите исто така ќе ви помогне, бидејќи биномната распределба на веројатност не е ништо повеќе од серија последователни поими.

Заклучок

Пред да ја завршиме статијата, би сакале да ви кажеме уште една интересна работа. Тоа директно се однесува на темата на нашата статија и на целата математика воопшто.

Многу луѓе велат дека математиката е бескорисна наука и ништо што учеле во училиште не им било корисно. Но, знаењето никогаш не е излишно, и ако нешто не ви е корисно во животот, тоа значи дека едноставно не се сеќавате на тоа. Ако имате знаење, тие можат да ви помогнат, но ако немате, тогаш не можете да очекувате помош од нив.

Значи, го разгледавме концептот на биномна дистрибуција и сите дефиниции поврзани со него и разговаравме за тоа како се применува во нашите животи.