Серии на броеви: дефиниции, својства, знаци на конвергенција, примери, решенија. Серии на броеви: дефиниции, својства, знаци на конвергенција, примери, решенија Серии за знакот d'Alembert

Жан Лерон д'Алембер бил познат француски математичар од 18 век. Во принцип, d'Alembert специјализирал за диференцијални равенкии, врз основа на неговото истражување, работеше на балистика за да може подобро да летаат топовите на Неговото Височество. Во исто време, не заборавив на серијата на броеви; не беше за ништо што редовите на трупите на Наполеон подоцна се споија и се разминуваа толку јасно.

Пред да го формулираме самиот знак, да разгледаме важно прашање:
Кога треба да се користи тестот за конвергенција на D'Alembert?

Да почнеме со преглед прво. Да се потсетиме на случаите кога треба да ги користите најпопуларните граница на споредба. Ограничувачкиот критериум за споредба се применува кога во општиот термин на серијата:
1) Именителот содржи полином.
2) Полиномите се и во броителот и во именителот.
3) Еден или двата полиноми можат да бидат под коренот.

Главните предуслови за примена на тестот d'Alembert се како што следува:

1) Заедничкиот термин на серијата („полнење“ на серијата) вклучува одреден број до одреден степен, на пример, , и така натаму. Покрај тоа, воопшто не е важно каде се наоѓа оваа работа, во броителот или во именителот - важно е тоа што е присутно таму.

2) Заедничкиот термин на серијата го вклучува факторот. Што е факторско? Ништо комплицирано, факториел е само кондензиран приказ на производот:

…

…

! Кога го користиме тестот на d'Alembert, ќе треба детално да го опишеме факторот. Како и во претходниот пасус, факторот може да се наоѓа на врвот или на дното на фракцијата.

3) Ако во општиот термин на серијата постои „синџир на фактори“, на пример, . Овој случај е редок, но! Кога проучувате таква серија, често се прави грешка - видете го Пример 6.

Заедно со моќи и/или фактори, полиномите често се наоѓаат во пополнувањето на серијата; тоа не ја менува ситуацијата - треба да го користите знакот на Д'Алембер.

Дополнително, во заеднички член од серијата и степенот и факторот може да се појават истовремено; може да има два факторила, два степени, важно е да има барем нештоод разгледуваните точки - и токму тоа е предуслов за користење на знакот D'Alembert.

Знак D'Alembert: Ајде да размислиме серија на позитивни броеви. Ако постои ограничување на односот на следниот член со претходниот: , тогаш:
а) Кога ред конвергира
б) Кога ред се разминува
в) Кога знакот не дава одговор. Треба да користите друг знак. Најчесто тоа се добива во случај кога се обидуваат да го применат тестот d'Alembert каде што е неопходно да се користи ограничувачкиот споредбен тест.

Кој сè уште има проблеми со лимити или недоразбирање на границите, погледнете ја темата Граници. Примери на решенија. Без разбирање на границата и способноста да се открие неизвесноста, за жал, не може да се напредува понатаму. И сега долгоочекуваните примери.

Пример 1
Тоа го гледаме во општиот термин на серијата што го имаме , и ова е сигурен предуслов за користење на тестот на d'Alembert. Прво, целосното решение и дизајнот на примерокот, коментари подолу.

Ние го користиме знакот d'Alembert:

конвергира.

(1) Го составуваме односот на следниот член од серијата со претходниот: . Од условот гледаме дека општиот термин на серијата е . За да го добиете следниот член на серијата потребно е наместо да се замени: .
(2) Се ослободуваме од четирикатната дропка. Ако имате искуство со решението, можете да го прескокнете овој чекор.
(3) Отворете ги заградите во броителот. Во именителот ги вадиме четирите од моќта.
(4) Намалете за . Ја земаме константата над граничниот знак. Во броителот прикажуваме слични поими во загради.
(5) Несигурноста се елиминира на стандарден начин - со делење на броителот и именителот со „en“ до највисоката моќност.
(6) Броителите член по член ги делиме со именители и ги означуваме поимите кои имаат тенденција на нула.
(7) Го поедноставуваме одговорот и забележуваме дека со заклучокот дека, според критериумот на D’Alembert, серијата што се проучува се спојува.

Во разгледуваниот пример, во општиот член на серијата наидовме на полином од 2 степен. Што да направите ако има полином од 3, 4 или повисок степен? Факт е дека ако се даде полином од повисок степен, тогаш ќе се појават тешкотии со отворањето на заградите. Во овој случај, можете да го користите методот на решение „турбо“.

Пример 2 Ајде да земеме слична серија и да ја испитаме за конвергенција
Прво целосно решение, а потоа коментари:

Ние го користиме знакот d'Alembert:

Така, серијата што се проучува конвергира.

(1) Ја создаваме релацијата .
(2) Се ослободуваме од четирикатната дропка.
(3) Размислете за изразот во броителот и изразот во именителот. Гледаме дека во броителот треба да ги отвориме заградите и да ги подигнеме до четвртата сила: , што апсолутно не сакаме да го направиме. Покрај тоа, за оние кои не се запознаени со Њутновиот бином, оваа задача можеби воопшто не е изводлива. Ајде да ги анализираме повисоките степени: ако ги отвориме заградите на врвот, ќе го добиеме највисокиот степен. Подолу ја имаме истата висока диплома: . По аналогија со претходниот пример, очигледно е дека при делење на членот броител и именителот по член, завршуваме со еден во граница. Или, како што велат математичарите, полиноми и - истиот редослед на раст. Така, сосема е можно да се заокружи односот со едноставен молив и веднаш да се укаже дека оваа работа се стреми кон еден. Со вториот пар полиноми се справуваме на ист начин: и , и тие истиот редослед на раст, а нивниот сооднос се стреми кон единство.

Всушност, таков „хак“ можеше да се направи во Пример бр. 1, но за полином од 2 степен таквото решение сè уште изгледа некако недостоинствено. Лично, јас го правам ова: ако има полином (или полиноми) од прв или втор степен, го користам „долгиот“ пат за решавање на Пример 1. Ако наидам на полином од 3 или повеќе високи степени, јас го користам методот „турбо“ сличен на Пример 2.

Пример 3 .

Ајде да погледнеме типични примери со факториел:

Пример 4 Испитајте ја серијата за конвергенција

Заедничкиот термин на серијата ги вклучува и степенот и факторот. Јасно е како ден дека тука мора да се користи знакот d'Alembert. Ајде да одлучиме.

Така, серијата што се проучува се разминува.

(1) Ја создаваме релацијата . Повторуваме повторно. По услов, заеднички член на серијата е: . За да го добиеме следниот термин во серијата, наместо тоа треба да се замени, Така: .
(2) Се ослободуваме од четирикатната дропка.
(3) Стиснете ги седумте од степенот. Детално ги опишуваме факторите. Како да го направите ова - видете го почетокот на лекцијата.
(4) Сечеме се што може да се исече.
(5) Ја поместуваме константата надвор од граничниот знак. Отворете ги заградите во броителот.
(6) Ја елиминираме несигурноста на стандарден начин - со делење на броителот и именителот со „en“ до највисоката моќност.

Пример 5Испитајте ја серијата за конвергенција Целосното решение е подолу.

Пример 6Испитајте ја серијата за конвергенција

Понекогаш има серии кои содржат „синџир“ на фактори во нивното пополнување; ние сè уште не сме го разгледале овој тип на серии. Како да проучувате серија со „синџир“ на фактори? Користете го знакот d'Alembert. Но, прво, за да разбереме што се случува, да ја опишеме серијата детално:

Од проширувањето гледаме дека секој следен член на серијата има дополнителен фактор додаден на именителот, затоа, ако заедничкиот член на серијата е , тогаш следниот член на серијата е:
. Ова е местото каде што тие често автоматски прават грешка, формално пишувајќи според алгоритмот што

Приближно решение за примерок може да изгледа вака: Да го користиме знакот на Д'Алембер:
Така, серијата што се проучува конвергира.
ЗНАК ЗА РАДИКАЛЕН КАШИ

Аугустин Луј Коши е уште попознат француски математичар. Секој студент може да ви ја каже биографијата на Коши. техничка специјалност. Во најживописните бои. Не случајно ова име е врежано на првиот кат на Ајфеловата кула.

Тестот за конвергенција на Коши за позитивни серии на броеви е нешто сличен на тестот на Д'Алемберт што штотуку беше дискутиран.

Знак на радикал Коши:Ајде да размислиме серија на позитивни броеви. Ако има ограничување: , тогаш:
а) Кога ред конвергира. Конкретно, серијата конвергира во .
б) Кога ред се разминува. Конкретно, серијата се разминува во .
в) Кога знакот не дава одговор. Треба да користите друг знак. Интересно е да се забележи дека ако тестот на Коши не ни даде одговор на прашањето за конвергенција на серијата, тогаш ниту тестот на Д'Алембер нема да ни даде одговор. Но, ако тестот на d’Alembert не даде одговор, тогаш тестот на Коши може да „работи“. Односно, знакот Коши во оваа смисла е посилен знак.

Кога треба да го користите радикалниот знак Коши?Радикалниот Коши тест обично се користи во случаи кога заедничкиот термин од серијата ПОЛНОе во степенот во зависност од "en". Или кога коренот „добро“ е извлечен од заеднички член на серијата. Има и егзотични случаи, но нема да се грижиме за нив.

Пример 7Испитајте ја серијата за конвергенција

Гледаме дека општиот термин на серијата е целосно под моќ во зависност од , што значи дека треба да го користиме радикалниот тест на Коши:

Така, серијата што се проучува се разминува.

(1) Под коренот го формулираме заедничкиот термин на серијата.
(2) Истото го препишуваме, само без коренот, користејќи го својството степени.
(3) Во индикаторот, броителот го делиме со именителот член по член, што покажува дека
(4) Како резултат на тоа, имаме неизвесност. Ова е местото каде што можете да одите долгиот пат: коцка, коцка, потоа поделете ги броителот и именителот со „en“ до највисоката моќност. Но во во овој случајПостои поефективно решение: можете да ги поделите членот на броителот и именителот по член директно под постојаната моќност. За да се елиминира несигурноста, поделете ги броителот и именителот со (највисоката моќност).
(5) Ние всушност вршиме поделба по термин по член и ги означуваме поимите кои имаат тенденција на нула.
(6) Го потсетуваме одговорот, означуваме што имаме и заклучуваме дека серијата се разминува.

Еве поедноставен пример за независна одлука:

Пример 8 Испитајте ја серијата за конвергенција

И уште неколку типични примери.

Целосното решение и дизајнот на примерокот се подолу.

Пример 9 Испитајте ја серијата за конвергенција
Го користиме радикалниот тест на Коши:

Така, серијата што се проучува конвергира.

(1) Ставете го заедничкиот член од серијата под коренот.
(2) Го препишуваме истото, но без коренот, додека ги отвораме заградите користејќи ја скратената формула за множење: .
(3) Во индикаторот, броителот го делиме со именителот член по член и означуваме дека .
(4) Неизвесност на формата . Овде можете директно да го поделите броителот со именителот во загради со „en“ до највисок степен. Слично наидовме и кога студиравме втора прекрасна граница. Но, овде ситуацијата е поинаква. Ако коефициентите на повисоките сили беа идентични, на пример: , тогаш трикот со поделба по термин по термин веќе не би функционирал и би било неопходно да се користи втората извонредна граница. Но, ние ги имаме овие коефициенти различни(5 и 6), затоа е можно (и неопходно) да се подели поим по член (патем, напротив - втората забележителна граница за различникоефициентите на повисоките сили повеќе не работат).
(5) Ние всушност вршиме поделба по термин по член и покажуваме кои поими имаат тенденција на нула.
(6) Неизвесноста е елиминирана, останува наједноставната граница: Зошто во бескрајно големима тенденција на нула? Бидејќи основата на степенот ја задоволува нееднаквоста. Ако некој се сомнева во правичноста на лимитот, тогаш нема да бидам мрзлив, ќе земам калкулатор:
Ако тогаш
Ако тогаш
Ако тогаш
Ако тогаш
Ако тогаш
… итн. до бесконечност - односно во граница:
(7) Посочуваме дека заклучуваме дека серијата конвергира.

Пример 10 Испитајте ја серијата за конвергенција

Ова е пример за да го решите сами.

Понекогаш се нуди провокативен пример за решение, на пример:. Еве во експонент нема „mk“, само константа. Тука треба да ги квадратите броителот и именителот (добивате полиноми), а потоа следете го алгоритмот од статијата Редови за кукли. Во таков пример, треба да работи или потребниот тест за конвергенција на серијата или ограничувачкиот тест за споредба.
ЗНАК ЗА ИНТЕГРАЛЕН КАШИ

Ќе ги разочарам оние кои не го разбраа добро материјалот од првиот курс. За да го примените интегралниот тест на Коши, мора да бидете повеќе или помалку сигурни во наоѓањето деривати, интеграли, а исто така да имате вештина за пресметување неправилен интегралпрв вид. Во учебниците за математичка анализаИнтегралниот тест на Коши е даден математички строго; ајде да го формулираме тестот на многу примитивен, но разбирлив начин. И веднаш примери за појаснување.

Интегрален Коши тест:Ајде да размислиме серија на позитивни броеви. Дали оваа серија се спојува или се разминува?

Пример 11 Испитајте ја серијата за конвергенција

Речиси класика. Природен логаритам и некои глупости.

Главниот предуслов за користење на интегралниот тест на Коши ее фактот дека во општиот член на серијата постои одредена функција и нејзин извод. Од темата Дериватверојатно се сеќавате на наједноставната работа на табелата: , а ние имаме токму таков канонски случај.

Како да се користи интегралниот атрибут? Прво, ја земаме интегралната икона и ги препишуваме горните и долните граници од „бројачот“ на серијата: . Потоа под интегралот го препишуваме „пополнувањето“ на серијата со буквата „тој“: . Нешто недостасува..., о, да, треба да залепите и диференцијална икона во броителот: .

Сега треба да пресметаме неправилен интеграл. Во овој случај, можни се два случаи:

1) Ако се испостави дека интегралот се конвергира, тогаш нашата серија исто така ќе се спои.

2) Ако се покаже дека интегралот се разминува, тогаш нашата серија исто така ќе се разминува.

Повторувам, ако материјалот е занемарен, тогаш читањето на параграфот ќе биде тешко и нејасно, бидејќи употребата на карактеристика во суштина се сведува на пресметување неправилен интегралпрв вид.

Целосното решение и формат на пример треба да изгледаат вака:

Го користиме интегралниот знак:

Така, серијата што се проучува се разминувазаедно со соодветниот неправилен интеграл.

Пример 12 Испитајте ја серијата за конвергенција

Дизајн на решение и примерок на крајот од часот

Во разгледаните примери, логаритамот може да биде и под коренот; тоа нема да го промени методот на решение.

И уште два примери за почеток

Пример 13 Испитајте ја серијата за конвергенција

Според општите „параметри“, генералниот термин на серијата се чини дека е погоден за користење на ограничувачкиот критериум за споредба. Треба само да ги отворите заградите и веднаш да ги доставите до кандидатот за целосно да се спореди оваа серијасо конвергентна серија. Сепак, малку изневерував, можеби нема да се отворат заградите, но сепак решението преку критериумот за ограничување споредување ќе изгледа прилично претенциозно.

Затоа, го користиме интегралниот тест на Коши:

Функцијата интегранд е континуирано вклучена

конвергиразаедно со соодветниот неправилен интеграл.

! Забелешка:добиениот број ене е збир од серијата!!!

Пример 14 Испитајте ја серијата за конвергенција

Решението и дизајнот на примерокот се на крајот од делот што завршува.

За целосно и неотповикливо да ја совладате темата за серии со броеви, посетете ги темите.

Решенија и одговори:

Пример 3:Ние го користиме знакот d'Alembert:

Така, серијата што се проучува се разминува.
Забелешка: Исто така беше можно да се користи методот на решение „турбо“: веднаш заокружете го соодносот со молив, означете дека има тенденција кон единство и забележете: „од ист ред на раст“.

Пример 5: Го користиме знакот d'Alembert: Така, серијата што се проучува конвергира.

Пример 8:

Така, серијата што се проучува конвергира.

Пример 10:
Го користиме радикалниот тест на Коши.

Така, серијата што се проучува се разминува.
Забелешка: Овде основата е степен, така

Пример 12: Користиме интегрален знак.

Се добива конечен број, што значи серија што се проучува конвергира

Пример 14: Го користиме знакот интегрален
Интеграндот е континуиран на .

Така, серијата што се проучува се разминувазаедно со соодветниот неправилен интеграл.
Забелешка: Серијата може да се испита и користејќиограничувачки критериум за споредба . За да го направите ова, треба да ги отворите заградите под коренот и да ја споредите серијата што се проучува со дивергентната серија.

Наизменични редови. Лајбницовиот знак. Примери на решенија

За да ги разберете примерите од оваа лекција, треба добро да ги разберете сериите со позитивни броеви: да разберете што е серија, да го знаете потребниот знак за конвергенција на серијата, да можете да примените споредбени тестови, тестот на d'Alembert , тест на Коши. Темата може да се подигне речиси од нула со постојано проучување на написите Редови за куклиИ Знак D'Alembert. Знаците на Коши. Логично, оваа лекција е трета по ред, и ќе ви овозможи не само да ги разберете наизменичните редови, туку и да го консолидирате веќе опфатениот материјал! Ќе има малку новини, а совладувањето на наизменични редови нема да биде тешко. Сè е едноставно и достапно.

Што е наизменична серија?Ова е јасно или речиси јасно од самото име. Само едноставен пример. Да ја погледнеме серијата и да ја опишеме подетално:

И сега ќе има убиствен коментар. Членовите на наизменична серија имаат наизменични знаци: плус, минус, плус, минус, плус, минус итн. до бесконечност.
Порамнувањето обезбедува множител: ако е парен, ќе има знак плус, ако е непарно, ќе има знак минус. Во математички жаргон, ова нешто се нарекува „флешер“. Така, наизменична серија се „идентификува“ со минус еден до степен „en“.

Во практични примери, алтернацијата на термините од серијата може да се обезбеди не само од множителот, туку и од неговите браќа и сестри: , , , …. На пример:

Замката се „измамите“: , , итн. - такви множители не обезбедуваат промена на знакот. Апсолутно е јасно дека за секој природен: , , . Редовите со измами се лизгаат не само на особено надарените ученици, тие се појавуваат од време на време „сами“ за време на решението функционална серија.

Како да се испита наизменични серии за конвергенција?Користете го тестот на Лајбниц. Не сакам да кажам ништо за германскиот гигант на мислата Готфрид Вилхелм Лајбниц, бидејќи покрај неговите математички дела, тој напиша и неколку тома за филозофија. Опасно за мозокот.

Лајбницовиот тест: Ако членовите на наизменична серија монотононамалување на модулот, тогаш серијата конвергира. Или во две точки:

2) Условите на серијата се намалуваат во апсолутна вредност: . Покрај тоа, тие се намалуваат монотоно.

Доколку се заврши и дветеуслови, тогаш серијата конвергира.

Кратки информации за модулот се дадени во прирачникотТопла формули училишен курсматематичари , но за погодност уште еднаш:

Што значи „модуло“? Модулот, како што се сеќаваме од училиште, го „јаде“ знакот минус. Да се вратиме на редот. Ментално избришете ги сите знаци со гума и да ги погледнеме бројките. Тоа ќе го видиме секој следенчлен на серијата помалкуод претходниот. Така, следните фрази го означуваат истото:

– Членови на серијата без разлика на знакотсе намалуваат.
– Се намалуваат членовите на серијата модуло.
– Се намалуваат членовите на серијата во апсолутна вредност.
– Модулзаедничкиот член на серијата има тенденција на нула: Крај на помошта

Сега да зборуваме малку за монотонијата. Монотонијата е досадна конзистентност.

Членови на серијата строго монотононамалување на модулот ако СЕКОЈ СЛЕДЕН член од серијата модулоПОМАЛКУ од претходното: . Серијата има строга монотоност на намалување; може да се опише детално:

Или можеме накратко да кажеме: секој следен член на серијата модулопомалку од претходниот: .

Членови на серијата не е строго монотононамалување на модулот ако СЕКОЈ СЛЕДЕН член од серискиот модул НЕ Е ПОГОЛЕМ од претходниот: . Да разгледаме серија со фактор: Овде постои лабава монотоност, бидејќи првите два члена од серијата се идентични по модул. Односно секој следен член на серијата модулоне повеќе од претходниот: .

Под условите на Лајбницовата теорема, мора да се задоволи опаѓачката монотоност (не е важно дали е строга или нестрога). Во овој случај, членовите на серијата можат дури и зголемување на модулот за некое време, но „опашката“ на серијата нужно мора монотоно да се намалува. Нема потреба да се плашите од она што го натрупав; практичните примери ќе стават сè на свое место:

Пример 1Испитајте ја серијата за конвергенција

Вообичаениот термин на серијата вклучува фактор, што значи дека треба да го користите критериумот Лајбниц

1) Проверка на редот за алтернација. Обично во овој момент од одлуката серијата се опишува детално и се изрекува пресудата „Серијата е наизменично“.

2) Дали условите од серијата се намалуваат во апсолутна вредност? Потребно е да се реши границата, која најчесто е многу едноставна.

– условите на серијата не се намалуваат во модулот. Патем, веќе нема потреба да се расправа за монотонијата на намалувањето. Заклучок: серијата се разминува.

Како да дознаете што е еднакво? Многу едноставно. Како што знаете, модулот ги уништува лошите страни, па за да создадете еден, само треба да го отстраните трепкачкото светло од покривот. Во овој случај, заедничкиот термин на серијата е . Глупаво го тргаме „светлечкото светло“: .

Пример 2 Испитајте ја серијата за конвергенција

Го користиме критериумот на Лајбниц:

1) Серијата е наизменично.

2) – условите на серијата се намалуваат во апсолутна вредност. Секој следен член на серијата има помала апсолутна вредност од претходниот: така, намалувањето е монотоно.

Заклучок: серијата конвергира.

Сè би било многу едноставно - но тука не е крајот на решението!

Ако една серија се конвергира според тестот на Лајбниц, тогаш се вели и дека серијата конвергира условно.

Ако серија составена од модули исто така се спојува, тогаш тие велат дека серијата се спојува апсолутно.

Затоа, на дневен ред е втората фаза од решавање на типичен проблем - проучување на знакот на наизменичната серија за апсолутна конвергенција.

Не сум моја вина - тоа е само теоријата на сериите на броеви =)

Да ја испитаме нашата серија за апсолутна конвергенција.
Ајде да составиме серија модули - повторно едноставно го отстрануваме факторот што обезбедува алтернација на знаците: - дивергира (хармонична серија).

Така нашата серија не е апсолутно конвергентен.
Серија која се проучува конвергира само условно.

Забележете дека во Примерот бр. 1 нема потреба да се проучува неапсолутна конвергенција, бидејќи на првиот чекор беше заклучено дека серијата се разминува.

Собираме кофи, лопати, автомобили и го оставаме песокот да го погледне светот со широко отворени очи од кабината на мојот багер:

Пример 3 Испитајте ја серијата за конвергенција Го користиме критериумот Лајбниц:

1)
Оваа серија е наизменично.

2) – условите од серијата се намалуваат во апсолутна вредност. Секој следен член на серијата има помала апсолутна вредност од претходниот: тоа значи дека намалувањето е монотоно. Заклучок: Серијата се спојува.

Анализирајќи го пополнувањето на серијата, доаѓаме до заклучок дека тука е неопходно да се користи ограничувачкиот критериум за споредба. Попогодно е да се отворат заградите во именителот:

Да ја споредиме оваа серија со конвергентна серија. За споредба го користиме ограничувачкиот критериум.

Се добива конечен број различен од нула, што значи дека серијата конвергира со серијата. Серија која се проучува се спојува апсолутно.

Пример 4 Испитајте ја серијата за конвергенција

Пример 5 Испитајте ја серијата за конвергенција

Ова се примери за да одлучите сами. Целосно решение и дизајн на примерок на крајот од делот.

Како што можете да видите, наизменични редови се едноставни и здодевни! Но, не брзајте да ја затворите страницата, на само неколку екрани ќе погледнеме случај што збунува многумина. Во меѓувреме, уште неколку примери за вежбање и повторување.

Пример 6 Испитајте ја серијата за конвергенција

Го користиме критериумот на Лајбниц.
1) Серијата е наизменично.
2)
Условите на серијата се намалуваат во модулот. Секој следен член на серијата има помала апсолутна вредност од претходниот, што значи дека намалувањето е монотоно. Заклучок: серијата конвергира.

Имајте предвид дека не ги опишав детално членовите на серијата. Секогаш е препорачливо да ги опишете, но поради неодолива мрзеливост во „тешки“ случаи, можете да се ограничите на фразата „Серијата е наизменично во знакот“. Патем, нема потреба формално да се третира оваа точка, ние секогаш проверуваме(барем ментално) дека серијата всушност се менува. Брзиот поглед не успева, а грешката се прави автоматски. Запомнете за „измамите“, , , ако постојат, тогаш треба да се ослободите од нив, добивајќи „редовна“ серија со позитивни термини.

Втората суптилност се однесува на фразата за монотонијата, која исто така ја скратив колку што можев. Можете да го направите ова, и скоро секогаш вашата задача ќе биде прифатена. Ќе кажам нешто сосема лошо - лично, често молчам за монотонијата, а таква бројка поминува. Но, бидете подготвени да опишете сè во детали, до детални синџири на нееднаквости (видете го примерот на почетокот на лекцијата). Дополнително, понекогаш монотонијата не е строга, а тоа исто така треба да се следи за да се замени зборот „помалку“ со зборот „не повеќе“.

Ја испитуваме серијата за апсолутна конвергенција:

Очигледно, треба да го користите радикалниот тест на Коши:

Така, серијата се спојува. Серија која се проучува се спојува апсолутно.

Пример 7Испитајте ја серијата за конвергенција

Ова е пример за независно решение.Често има наизменични редови кои предизвикуваат потешкотии.

Пример 8Испитајте ја серијата за конвергенција

Го користиме критериумот на Лајбниц:
1) Серијата е наизменично.

Поентата е дека не постојат стандардни, секојдневни техники за решавање на таквите граници. Каде оди оваа граница? До нула, до бесконечност? Она што е важно овде е ШТО расте побрзо во бесконечност– броител или именител.

ЗАБЕЛЕШКА: концептот за редослед на раст на функцијата е детално опфатен во статијатаМетоди за решавање на лимити . Ние имаме граници на низа, но ова не ја менува суштината.

Ако броителот кај расте побрзо од факториелот, тогаш . Ако, во бесконечност, факторот расте побрзо од броителот, тогаш, напротив, ќе ја „повлече“ границата на нула: . Или можеби оваа граница е еднаква на некој ненулта број?

Ајде да се обидеме да ги запишеме првите неколку термини од серијата:
можете да замените некој полином од илјадити степен, ова повторно нема да ја промени ситуацијата - порано или подоцна факторот сè уште ќе го „престигне“ таков страшен полином. Факториски повеќе висок редрастод која било секвенца на моќ.

– Факториалот расте побрзо од производ од која било количинаекспоненцијални и моќни секвенци (нашиот случај).

– Било којекспоненцијалната низа расте побрзо од која било секвенца на моќност, на пример: , . Експоненцијална низа повисок ред на растод која било секвенца на моќ. Слично на факториелот, експоненцијалната низа го „влече“ производот од кој било број од кои било секвенци на моќност или полиноми: .

– Има ли нешто „поладно“ од факторско? Јадете! Експоненцијалната низа на моќност („en“ до моќта „en“) расте побрзо од факториелот. Во пракса тоа е ретко, но информациите нема да бидат излишни. Крај на помошта

Така, втората точка од студијата (сè уште се сеќавате на ова? =)) може да се напише на следниов начин:
2) , бидејќи редоследот на раст е повисок од .
Условите на серијата се намалуваат во модулот, почнувајќи од некој број, во овој случај, секој следен член на серијата е помал во апсолутна вредност од претходниот, со што намалувањето е монотоно.

Заклучок: серијата конвергира.

Тука е токму љубопитниот случај кога термините на серијата прво се зголемуваат во апсолутна вредност, поради што имавме погрешно првично мислење за лимитот. Но, почнувајќи од некој број „ен“, факторот е престигнат од броителот, а „опашката“ на серијата станува монотоно опаѓачка, што е фундаментално важно за исполнување на условите на теоремата на Лајбниц. Тешко е да се открие што точно е ова „en“.

Според соодветната теорема, од апсолутната конвергенција на серијата, следи условната конвергенција на серијата. Заклучок: Студиска серија се спојува апсолутно.

И за крај, неколку примери за да одлучите сами. Една од истата опера (препрочитајте ја помошта), но поедноставна. Друга за гурманите е да го консолидираат интегралниот знак на конвергенција.

Пример 9Испитајте ја серијата за конвергенција

Пример 10Испитајте ја серијата за конвергенција

По висококвалитетно проучување на нумерички позитивни и наизменични серии, со чиста совест можете да продолжите на функционална серија, кои не се помалку монотони и монотони се интересни.

Решенија и одговори:

Пример 4: Го користиме критериумот Лајбниц:

1) Оваа серија е наизменично.
2)
Условите на серијата не се намалуваат во модулот. Заклучок: Серијата се разминува.. , во овој случај, секој следен член на серијата е помал во апсолутна вредност од претходниот, со што намалувањето е монотоно.

Така, серијата се разминува заедно со соодветниот несоодветен интеграл. Серија која се проучува конвергира само условно.

Оваа статија ги собира и структурира информациите неопходни за решавање на речиси секој пример на тема серии на броеви, од наоѓање збир на серија до испитување за конвергенција.

Преглед на статијата.

Да почнеме со дефинициите за позитивни и наизменични серии и концептот на конвергенција. Следно, ќе ги разгледаме стандардните серии, како што се хармоничната серија, генерализираната хармонична серија и ќе се потсетиме на формулата за наоѓање на збирот на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија. После ова, ќе преминеме на својствата на конвергентни серии, ќе се задржиме на потребниот услов за конвергенција на серијата и ќе наведеме доволно критериуми за конвергенција на серијата. Теоријата ќе ја разводниме со решенија на типични примери со детални објаснувања.

Навигација на страницата.

Основни дефиниции и концепти.

Дозволете ни да имаме бројна низа каде .

Еве пример за броена низа: .

Серија на броевие збир од членовите на нумеричка низа на формата .

Како пример серија на броевиможете да го дадете збирот на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија со именителот q = -0,5: .

Се јави заеднички член на броевната серијаили k-ти член од серијата.

За претходниот пример, општиот член на серијата на броеви има форма .

Делумна сума на бројна серијае збир од формата , каде што n е малку природен број. уште се нарекува и n-ти парцијален збир на бројна серија.

На пример, четвртиот делумен збир од серијата Ете го .

Делумни износи формираат бесконечна низа делумни износисерија на броеви.

За нашата серија, n-тата делумна сума се наоѓа со помош на формулата за збир од првите n членови на геометриска прогресија , односно ќе ја имаме следната низа од парцијални збирови: .

Се вика серијата на броеви конвергентен, ако има конечна граница на низата парцијални збирови. Ако границата на низата од парцијални збирови на бројна серија не постои или е бесконечна, тогаш серијата се нарекува дивергентни.

Збир на конвергентна бројна серијасе нарекува граница на низата на неговите парцијални збирови, т.е. .

Во нашиот пример, според тоа, серијата конвергира, а неговиот збир е еднаков на шеснаесет третини: .

Пример за дивергентна серија е збирот на геометриска прогресија со именител поголем од еден: . n-тиот парцијален збир се определува со изразот , а границата на парцијалните суми е бесконечна: .

Друг пример за дивергентна бројна серија е збир на формата . Во овој случај, n-тата парцијална сума може да се пресмета како. Границата на парцијалните суми е бесконечна .

Збир на формата повикани хармонична бројна серија.

Збир на формата , каде што s е некој реален број, се нарекува генерализирана со хармонична бројна серија.

Горенаведените дефиниции се доволни за да ги оправдаат следните многу често користени изјави; Ви препорачуваме да ги запомните.

СЕРИЈАТА ХАРМОНИК Е ДИВЕРГЕНТНА.

Дозволете ни да ја докажеме дивергенцијата на хармониската серија.

Да претпоставиме дека серијата се спојува. Потоа, постои конечна граница на неговите парцијални збирови. Во овој случај, можеме да напишеме и , што нè води до еднаквост .

На другата страна,

Следниве нееднаквости се несомнени. Така,. Добиената нееднаквост ни укажува дека еднаквоста не може да се постигне, што е во спротивност со нашата претпоставка за конвергенција на хармониските серии.

Заклучок: хармониската серија се разминува.

ЗБИРОТ НА ГЕОМЕТРИСКАТА ПРОГРЕСИЈА ОД ВИДОТ СО ИМЕНИТЕЛ q Е КОНВЕРГИРАН НУМЕРИЧКИ РЕЗЕР IF , И ДИВЕРГИРАН НИР ЗА .

Да го докажеме тоа.

Знаеме дека збирот на првите n членови на геометриската прогресија се наоѓа со формулата .

Кога е фер

што укажува на конвергенција на броевната серија.

За q = 1 ја имаме бројната серија . Нејзините парцијални суми се наоѓаат како , а границата на парцијалните суми е бесконечна , што укажува на дивергенција на серијата во овој случај.

Ако q = -1, тогаш броената серија ќе добие форма . Делумните суми земаат вредност за непарни n и за парни n. Од ова можеме да заклучиме дека нема ограничување на делумните суми и серијата се разминува.

Кога е фер

што укажува на дивергенција на броевната серија.

ОПШТО, ХАРМОНИЧКАТА СЕРИЈА КОНВЕРГИРА ВО s > 1 И ДИВЕРГИРА ВО .

Доказ.

За s = 1 добиваме хармонична серија, а погоре ја утврдивме нејзината дивергенција.

На s неравенството важи за сите природни k. Поради дивергенцијата на хармониските серии, може да се тврди дека низата на нејзините парцијални збирови е неограничена (бидејќи не постои конечна граница). Тогаш низата од парцијални збирови на бројна серија е уште понеограничена (секој член од оваа серија е поголем од соодветниот член на хармониската серија); затоа, генерализираната хармонична серија се разминува како s.

Останува да се докаже конвергенцијата на серијата за s > 1.

Ајде да ја запишеме разликата:

Очигледно, тогаш

Дозволете ни да ја запишеме добиената неравенка за n = 2, 4, 8, 16, ...

Користејќи ги овие резултати, можете да го направите следново со оригиналната серија на броеви:

Изразување е збир на геометриска прогресија чиј именител е . Бидејќи го разгледуваме случајот за s > 1, тогаш. Затоа
. Така, низата од парцијални збирови на генерализирана хармонична серија за s > 1 се зголемува и истовремено е ограничена одозгора со вредноста , затоа, има граница, што укажува на конвергенција на серијата. Доказот е целосен.

Се вика серијата на броеви позитивен знак, ако сите негови услови се позитивни, т.е. .

Се вика серијата на броеви сигнализирање, ако знаците на неговите соседни членови се различни. Наизменична бројна серија може да се запише како или , Каде .

Се вика серијата на броеви наизменичен знак, ако содржи бесконечен број на позитивни и негативни членови.

Наизменична броена серија е посебен случај на наизменична броена серија.

Редови

се позитивни, наизменични и наизменични, соодветно.

За наизменична серија, постои концепт на апсолутна и условна конвергенција.

апсолутно конвергентен, ако се конвергира низа апсолутни вредности на нејзините членови, односно конвергира позитивна бројна серија.

На пример, серија на броеви И апсолутно се спојуваат, бидејќи серијата се спојува , што е збир на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија.

Се нарекува наизменична серија условно конвергентен, ако серијата се разминува и серијата конвергира.

Пример за условно конвергентна бројна серија е серијата . Серија на броеви , составена од апсолутните вредности на термините на оригиналната серија, дивергентна, бидејќи е хармонична. Во исто време, оригиналната серија е конвергентна, што лесно се утврдува со користење на . Така, нумеричкиот знак е наизменична серија условно конвергентен.

Својства на конвергентна бројна серија.

Пример.

Докажете ја конвергенцијата на сериите на броеви.

Решение.

Ајде да ја напишеме серијата во поинаква форма . Бројната серија конвергира, бидејќи генерализираната хармонична серија е конвергентна за s > 1, а поради второто својство на конвергентна бројна серија, серијата со нумеричкиот коефициент исто така ќе конвергира.

Пример.

Дали серијата на броеви се спојува?

Решение.

Ајде да ја трансформираме оригиналната серија: . Така, го добивме збирот на две бројни серии и , и секоја од нив конвергира (види го претходниот пример). Следствено, врз основа на третото својство на конвергентна броевна серија, оригиналната серија исто така конвергира.

Пример.

Докажете ја конвергенцијата на бројна серија и пресметајте го нејзиниот износ.

Решение.

Оваа бројна серија може да се претстави како разлика помеѓу две серии:

Секоја од овие серии претставува збир на геометриска прогресија која бескрајно се намалува и затоа е конвергентна. Третото својство на конвергентните серии ни овозможува да тврдиме дека оригиналната бројна серија конвергира. Ајде да ја пресметаме нејзината сума.

Првиот член од серијата е еден, а именителот на соодветната геометриска прогресија е еднаков на 0,5, затоа, .

Првиот член од серијата е 3, а именителот на соодветната бесконечно опаѓачка геометриска прогресија е 1/3, така што .

Да ги искористиме добиените резултати за да го најдеме збирот на оригиналната броена серија:

Неопходен услов за конвергенција на серија.

Ако една бројна серија конвергира, тогаш границата на нејзиниот k-ти член е еднаква на нула: .

При испитување на која било бројна серија за конвергенција, првото нешто што треба да се провери е исполнувањето на потребниот услов за конвергенција. Неисполнувањето на овој услов означува дивергенција на сериите на броеви, односно ако , тогаш серијата се разминува.

Од друга страна, треба да разберете дека оваа состојба не е доволна. Односно, исполнувањето на еднаквоста не укажува на конвергенција на сериите на броеви. На пример, за хармонична серија потребниот услов за конвергенција е задоволен, а серијата се разминува.

Пример.

Испитајте бројна серија за конвергенција.

Решение.

Ајде да го провериме потребниот услов за конвергенција на бројна серија:

Граница n-тиот член од серијата на броеви не е еднаков на нула, затоа, серијата се разминува.

Доволни знаци на конвергенција на позитивна серија.

Кога користите доволни карактеристики за проучување на сериите на броеви за конвергенција, постојано наидувате на проблеми, па затоа препорачуваме да се свртите кон овој дел ако имате какви било тешкотии.

Неопходен и доволен услов за конвергенција на позитивна бројна серија.

За конвергенција на позитивна бројна серија потребно е и доволно низата од неговите парцијални збирови да биде ограничена.

Да почнеме со знаците на споредување на серии. Нивната суштина лежи во споредувањето на нумеричките серии што се проучуваат со серија чијашто конвергенција или дивергенција е позната.

Првиот, вториот и третиот знак на споредба.

Првиот знак за споредба на сериите.

Нека се две позитивни бројни серии и неравенството важи за сите k = 1, 2, 3, ... Тогаш конвергенцијата на серијата имплицира конвергенција, а дивергенцијата на серијата имплицира дивергенција на .

Првиот споредбен критериум се користи многу често и е многу моќна алатка за проучување на сериите на броеви за конвергенција. Главниот проблем е изборот на соодветна серија за споредба. Серијата за споредба обично (но не секогаш) се избира така што експонентот на неговиот k-ти член е еднаков на разликата помеѓу експонентите на броителот и именителот на k-тиот член од нумеричката серија што се проучува. На пример, разликата помеѓу експонентите на броителот и именителот нека биде еднаква на 2 – 3 = -1, затоа, за споредба, избираме серија со k-ти член, односно хармонична серија. Ајде да погледнеме неколку примери.

Пример.

Воспоставете конвергенција или дивергенција на серија.

Решение.

Бидејќи границата на општиот член на серијата е еднаква на нула, тогаш неопходниот услов за конвергенција на серијата е исполнет.

Лесно е да се види дека неравенството е точно за сите природни k. Знаеме дека хармониската серија е дивергентна; затоа, според првиот критериум на споредба, оригиналната серија е исто така дивергентна.

Пример.

Испитајте ја бројната серија за конвергенција.

Решение.

Предусловконвергенција на сериите на броеви е задоволена, бидејќи . Нееднаквоста е очигледна за која било природна вредност на к. Серијата конвергира, бидејќи генерализираната хармонична серија е конвергентна за s > 1. Така, првиот знак за споредба на сериите ни овозможува да ја наведеме конвергенцијата на оригиналната бројна серија.

Пример.

Определете ја конвергенцијата или дивергенцијата на бројна серија.

Решение.

, значи, задоволен е потребниот услов за конвергенција на броевната серија. Кој ред да го изберам за споредба? Се предлага бројна серија, а за да се одлучиме за s, внимателно ја испитуваме броевната низа. Условите на низата од броеви се зголемуваат кон бесконечноста. Така, почнувајќи од некој број N (имено, од N = 1619), термините на оваа низа ќе бидат поголеми од 2. Поаѓајќи од овој број N, неравенството е точно. Бројната серија конвергира поради првото својство на конвергентните серии, бидејќи се добива од конвергентна серија со отфрлање на првите N – 1 членови. Така, според првиот критериум за споредба, серијата е конвергентна, а врз основа на првото својство на конвергентна бројна серија, серијата исто така ќе се спојува.

Вториот знак за споредба.

Нека и да биде позитивен број серија. Ако , тогаш конвергенцијата на серијата подразбира конвергенција на . Ако , тогаш дивергенцијата на броевната серија подразбира дивергенција на .

Последица.

Ако и , тогаш конвергенцијата на едната серија подразбира конвергенција на другата, а дивергенцијата подразбира дивергенција.

Ние ја испитуваме серијата за конвергенција користејќи го вториот критериум за споредба. Како серија земаме конвергентна серија. Да ја најдеме границата на односот на k-ти членови од серијата броеви:

Така, според вториот критериум за споредба, од конвергенција на бројна серија, следи конвергенција на оригиналната серија.

Пример.

Испитајте ја конвергенцијата на бројна серија.

Решение.

Дозволете ни да го провериме потребниот услов за конвергенција на серијата . Условот е исполнет. За да го примениме вториот критериум за споредба, да ја земеме хармоничната серија. Да ја најдеме границата на односот на kth членовите:

Следствено, од дивергенцијата на хармониските серии, следи дивергенцијата на оригиналната серија според вториот критериум на споредба.

За информација ви го претставуваме третиот критериум за споредување на серии.

Третиот знак за споредба.

Нека и да биде позитивен број серија. Ако условот е задоволен од некој број N, тогаш конвергенцијата на серијата подразбира конвергенција, а дивергенцијата на серијата подразбира дивергенција.

Знак D'Alembert.

Коментар.

Тестот на D'Alembert е валиден ако границата е бесконечна, односно ако , тогаш серијата конвергира ако , тогаш серијата се разминува.

Ако , тогаш тестот на d'Alembert не дава информации за конвергенцијата или дивергенцијата на сериите и потребно е дополнително истражување.

Пример.

Испитајте бројна серија за конвергенција користејќи го критериумот на d'Alembert.

Решение.

Да го провериме исполнувањето на потребниот услов за конвергенција на бројна серија; да ја пресметаме границата користејќи:

Условот е исполнет.

Ајде да го користиме знакот d'Alembert:

Така, серијата се спојува.

Знак на радикален Коши.

Нека е позитивна бројна серија. Ако , тогаш бројната серија конвергира, ако , тогаш серијата се разминува.

Коментар.

Радикалниот тест на Коши е валиден ако границата е бесконечна, односно ако , тогаш серијата конвергира ако , тогаш серијата се разминува.

Ако , тогаш радикалниот Коши тест не дава информации за конвергенцијата или дивергенцијата на сериите и потребно е дополнително истражување.

Обично е прилично лесно да се препознаат случаите каде што е најдобро да се користи радикалниот тест на Коши. Типичен случај е кога општиот член на бројна серија е израз на експоненцијална моќност. Ајде да погледнеме неколку примери.

Пример.

Испитајте позитивна бројна серија за конвергенција користејќи го радикалниот Коши тест.

Решение.

. Со помош на радикалниот Коши тест го добиваме .

Затоа, серијата се спојува.

Пример.

Дали серијата на броеви се спојува? .

Решение.

Дозволете ни да го искористиме радикалниот тест на Коши , според тоа, серијата на броеви конвергира.

Интегрален Коши тест.

Нека е позитивна бројна серија. Да креираме функција од континуиран аргумент y = f(x) слична на функцијата. Нека функцијата y = f(x) е позитивна, континуирана и опаѓачка на интервалот , каде што ). Потоа во случај на конвергенција неправилен интегралсеријата на броеви што се проучува се конвергира. Ако несоодветниот интеграл се разминува, тогаш се разминува и оригиналната серија.

При проверка на намалувањето на функцијата y = f(x) на интервал, теоријата од делот може да ви биде корисна.

Пример.

Испитајте бројна серија со позитивни членови за конвергенција.

Решение.

Потребниот услов за конвергенција на серијата е задоволен, бидејќи . Да ја разгледаме функцијата. Тој е позитивен, континуиран и се намалува во интервалот. Континуитетот и позитивноста на оваа функција е несомнено, но да се задржиме на намалувањето малку подетално. Ајде да го најдеме дериватот:
. Тој е негативен на интервалот, затоа функцијата се намалува на овој интервал.

Знаци на конвергенција на серии.
Знак D'Alembert. Знаците на Коши

Работа, работа - и разбирањето ќе дојде подоцна
Џ.Л. д'Алембер

Честитки до сите за почетокот учебната година! Денеска е 1 септември, а во чест на празникот, решив да ги запознаам читателите со она што долго време со нетрпение го очекувавте и сте желни да го дознаете - знаци на конвергенција на нумерички позитивни серии. Празникот први септември и моите честитки се секогаш релевантни, во ред е ако е навистина лето надвор, сега повторно го полагате испитот по трет пат, учете дали сте ја посетиле оваа страница!

За оние кои штотуку почнуваат да учат серии, препорачувам прво да ја прочитате статијата Серии на броеви за кукли. Всушност, оваа количка е продолжение на банкетот. Значи, денес во лекцијата ќе разгледаме примери и решенија за темите:

Еден од вообичаените знаци за споредба што се среќава во практични примери е знакот D'Alembert. Знаците на Коши се поретки, но и многу популарни. Како и секогаш, ќе се обидам да го претставам материјалот едноставно, достапен и разбирлив. Темата не е најтешка, а сите задачи се до одреден степен стандардни.

D'Alembert-овиот тест за конвергенција

Жан Лерон д'Алембер бил познат француски математичар од 18 век. Општо земено, d’Alembert специјализирал за диференцијални равенки и, врз основа на неговото истражување, студирал балистика за да може подобро да летаат топовите на Неговото Височество. Во исто време, не заборавив на серијата на броеви; не беше за ништо што редовите на трупите на Наполеон подоцна се споија и се разминуваа толку јасно.

1) Именителот содржи полином.
2) Полиномите се и во броителот и во именителот.
3) Еден или двата полиноми можат да бидат под коренот.
4) Се разбира, може да има повеќе полиноми и корени.

Главните предуслови за примена на тестот d'Alembert се како што следува:

1) Заедничкиот термин на серијата („пополнување“ на серијата) вклучува одреден број до одреден степен, на пример, , и така натаму. Покрај тоа, воопшто не е важно каде се наоѓа оваа работа, во броителот или во именителот - важно е тоа што е присутно таму.

2) Заедничкиот термин на серијата го вклучува факторот. Повторно ги вкрстивме мечевите со факториел во лекцијата Редоследот на броеви и неговата граница. Сепак, нема да му наштети повторно да ја раширите самосклопената покривка за маса:

…

…

Знак D'Alembert: Ајде да размислиме серија на позитивни броеви. Ако постои ограничување на односот на следниот член со претходниот: , тогаш:
а) Кога ред конвергира
б) Кога ред се разминува
в) Кога знакот не дава одговор. Треба да користите друг знак. Најчесто тоа се добива во случај кога се обидуваат да го применат тестот D'Alembert каде што е неопходно да се користи ограничувачкиот споредбен тест.

За оние кои сè уште имаат проблеми со границите или недоразбирање на границите, погледнете ја лекцијата Граници. Примери на решенија. Без разбирање на границата и способноста да се открие неизвесноста, за жал, не може да се напредува понатаму.

И сега долгоочекуваните примери.

Пример 1

Тоа го гледаме во општиот термин на серијата што го имаме , и ова е сигурен предуслов за користење на тестот на d'Alembert. Прво, целосното решение и дизајнот на примерокот, коментари подолу.

Ние го користиме знакот d'Alembert:

конвергира.
(1) Го составуваме односот на следниот член од серијата со претходниот: . Од условот гледаме дека општиот термин на серијата е . За да го добиете следниот член од серијата што ви треба НАМЕСТО да се замени: .
(2) Се ослободуваме од четирикатната дропка. Ако имате искуство со решението, можете да го прескокнете овој чекор.
(3) Отворете ги заградите во броителот. Во именителот ги вадиме четирите од моќта.
(4) Намалете за . Ја земаме константата над граничниот знак. Во броителот прикажуваме слични поими во загради.
(5) Несигурноста се елиминира на стандарден начин - со делење на броителот и именителот со „en“ до највисоката моќност.
(6) Броителите член по член ги делиме со именители и ги означуваме поимите кои имаат тенденција на нула.
(7) Го поедноставуваме одговорот и забележуваме дека со заклучокот дека, според критериумот на D’Alembert, серијата што се проучува се спојува.

Пример 2

Ајде да земеме слична серија и да ја испитаме за конвергенција

Прво целосно решение, а потоа коментари:

Ние го користиме знакот d'Alembert:

Така, серијата што се проучува конвергира.

(1) Ја создаваме релацијата .

(3) Размислете за изразот во броителот и изразот во именителот. Гледаме дека во броителот треба да ги отвориме заградите и да ги подигнеме до четвртата сила: , што апсолутно не сакаме да го направиме. А за оние кои не се запознаени со Њутновиот бином, оваа задача ќе биде уште потешка. Ајде да ги анализираме повисоките степени: ако ги отвориме заградите на врвот , тогаш ќе добиеме висока диплома. Подолу ја имаме истата висока диплома: . По аналогија со претходниот пример, очигледно е дека при делење на членот броител и именителот по член, завршуваме со еден во граница. Или, како што велат математичарите, полиноми И - истиот редослед на раст. Така, сосема е можно да се опише односот со едноставен молив и веднаш посочете дека оваа работа се стреми кон еден. Со вториот пар полиноми се справуваме на ист начин: и , и тие истиот редослед на раст, а нивниот сооднос се стреми кон единство.

Всушност, таков „хак“ можеше да се направи во Пример бр. 1, но за полином од 2 степен таквото решение сè уште изгледа некако недостоинствено. Лично го правам ова: ако има полином (или полиноми) од прв или втор степен, го користам методот „долг“ за решавање на Пример 1. Ако наидам на полином од 3 или повисок степен, го користам „турбо“ метод сличен на Пример 2.

Пример 3

Испитајте ја серијата за конвергенција

Ајде да погледнеме типични примери со факториел:

Пример 4

Испитајте ја серијата за конвергенција

Така, серијата што се проучува се разминува.
(1) Ја создаваме релацијата . Повторуваме повторно. По услов, заедничкиот термин на серијата е: . За да го добиеме следниот термин во серијата, наместо тоа треба да се замени, Така: .
(2) Се ослободуваме од четирикатната дропка.
(3) Стиснете ги седумте од степенот. Детално ги опишуваме факторите. Како да го направите ова - видете го почетокот на лекцијата или написот за низите на броеви.
(4) Сечеме се што може да се исече.
(5) Ја поместуваме константата надвор од граничниот знак. Отворете ги заградите во броителот.
(6) Ја елиминираме несигурноста на стандарден начин - со делење на броителот и именителот со „en“ до највисоката моќност.

Пример 5

Испитајте ја серијата за конвергенција

Целосно решение и дизајн на примерок на крајот од лекцијата

Пример 6

Испитајте ја серијата за конвергенција

Од проширувањето гледаме дека секој следен член на серијата има дополнителен фактор додаден на именителот, затоа, ако заедничкиот член на серијата , потоа следниот член на серијата:
. Ова е местото каде што тие често автоматски прават грешка, формално пишувајќи според алгоритмот што

Примерок решение може да изгледа вака:

Ние го користиме знакот d'Alembert:

Така, серијата што се проучува конвергира.

Знак на радикал Коши

Аугустин Луј Коши е уште попознат француски математичар. Секој студент по инженерство може да ви ја каже биографијата на Коши. Во најживописните бои. Не случајно ова име е врежано на првиот кат на Ајфеловата кула.

Знак на радикал Коши:Ајде да размислиме серија на позитивни броеви. Ако има ограничување: , тогаш:
а) Кога ред конвергира. Конкретно, серијата конвергира во .
б) Кога ред се разминува. Конкретно, серијата се разминува во .
в) Кога знакот не дава одговор. Треба да користите друг знак. Интересно е да се забележи дека ако тестот на Коши не ни даде одговор на прашањето за конвергенција на серија, тогаш ниту тестот на Д'Алембер нема да даде одговор. Но, ако тестот на d’Alembert не даде одговор, тогаш тестот на Коши може да „работи“. Односно, знакот Коши во оваа смисла е посилен знак.

Кога треба да го користите радикалниот знак Коши?Радикалниот Коши тест обично се користи во случаи кога коренот „добро“ е извлечен од заеднички член на серијата. По правило, оваа пиперка е во одреден степен што зависи од. Има и егзотични случаи, но нема да се грижиме за нив.

Пример 7

Испитајте ја серијата за конвергенција

Гледаме дека дропот е целосно под моќ во зависност од „en“, што значи дека треба да го користиме радикалниот Коши тест:

Така, серијата што се проучува се разминува.

(1) Под коренот го формулираме заедничкиот термин на серијата.

(2) Истото го препишуваме, само без коренот, користејќи го својството степени.
(3) Во индикаторот, броителот го делиме со именителот член по член, што покажува дека
(4) Како резултат на тоа, имаме неизвесност. Овде можете да одите на долг пат: коцка, коцка, а потоа поделете ги броителот и именителот со „en“ коцка. Но, во овој случај постои поефикасно решение: оваа техника може да се користи директно под постојан степен. За да се елиминира несигурноста, поделете ги броителот и именителот со (највисоката моќност на полиномите).

(5) Вршиме делење термин по член и ги означуваме поимите кои имаат тенденција на нула.
(6) Го потсетуваме одговорот, означуваме што имаме и заклучуваме дека серијата се разминува.

Еве еден поедноставен пример за да го решите сами:

Пример 8

Испитајте ја серијата за конвергенција

И уште неколку типични примери.

Целосно решение и дизајн на примерок на крајот од лекцијата

Пример 9

Испитајте ја серијата за конвергенција
Го користиме радикалниот тест на Коши:

Така, серијата што се проучува конвергира.

(1) Ставете го заедничкиот член од серијата под коренот.

(2) Го препишуваме истото, но без коренот, додека ги отвораме заградите користејќи ја скратената формула за множење: .
(3) Во индикаторот, броителот го делиме со именителот член по член и означуваме дека .
(4) Се добива неизвесност на формата и тука може да се изврши поделба директно под степенот. Но, со еден услов:коефициентите на повисоките сили на полиномите мора да бидат различни. Нашите се различни (5 и 6), и затоа е можно (и неопходно) да се поделат двата ката на . Доколку овие коефициенти се исти, на пример (1 и 1): , тогаш таков трик не функционира и треба да го искористите втора прекрасна граница. Ако се сеќавате, овие суптилности беа дискутирани во последниот пасус од статијата Методи за решавање на лимити.

(5) Ние всушност вршиме поделба по термин по член и покажуваме кои поими имаат тенденција на нула.
(6) Неизвесноста е елиминирана, ни останува наједноставната граница: . Зошто во бескрајно големима тенденција на нула? Бидејќи основата на степенот ја задоволува нееднаквоста. Ако некој се сомнева во правичноста на лимитот , тогаш нема да бидам мрзлив, ќе земам калкулатор:
Ако тогаш
Ако тогаш
Ако тогаш
Ако тогаш
Ако тогаш
… итн. до бесконечност - односно во граница:

Токму така бескрајно намалена геометриска прогресијана прстите =)
! Никогаш не користете ја оваа техника како доказ! Бидејќи само затоа што нешто е очигледно, тоа не значи дека е правилно.

(7) Посочуваме дека заклучуваме дека серијата конвергира.

Пример 10

Испитајте ја серијата за конвергенција

Ова е пример за да го решите сами.

Интегрален Коши тест

Или само составен знак. Ќе ги разочарам оние кои не го разбраа добро материјалот од првиот курс. За да го примените интегралниот тест на Коши, мора да бидете повеќе или помалку сигурни во наоѓањето деривати, интеграли, а исто така да имате вештина за пресметување неправилен интегралпрв вид.

Во учебниците по математичка анализа интегрален Коши тестдаден математички строго, но премногу збунувачки, па затоа знакот ќе го формулирам не премногу строго, но јасно:

Ајде да размислиме серија на позитивни броеви. Ако има несоодветен интеграл, тогаш серијата конвергира или се разминува заедно со овој интеграл.

И само неколку примери за појаснување:

Пример 11

Испитајте ја серијата за конвергенција

Речиси класика. Природен логаритам и некои глупости.

Главниот предуслов за користење на интегралниот тест на Коши ее фактот што општиот член на серијата содржи фактори слични на одредена функција и нејзиниот извод. Од темата

Тест за конвергенција на Д'Алембер Тест за конвергенција на радикалниот Коши Тест за конвергенција на интегрален Коши

Главните предуслови за примена на тестот d'Alembert се како што следува:

2) Заедничкиот термин на серијата го вклучува факторот. Вкрстивме мечеви со факториел назад на час Редоследот на броеви и неговата граница. Сепак, нема да му наштети повторно да ја раширите самосклопената покривка за маса:

…

…

Дополнително, во заеднички член од серијата и степенот и факторот може да се појават истовремено; може да има два факторила, два степени, важно е да има барем нешторазгледуваните точки - и токму тоа е предуслов за користење на знакот D'Alembert.

Знак D'Alembert: Ајде да размислиме серија на позитивни броеви. Ако постои ограничување на односот на следниот член со претходниот: , тогаш:
а) Кога ред конвергира. Конкретно, серијата конвергира во .
б) Кога ред се разминува. Конкретно, серијата се разминува во .
в) Кога знакот не дава одговор. Треба да користите друг знак. Најчесто тоа се добива во случај кога се обидуваат да го применат тестот d'Alembert каде што е неопходно да се користи ограничувачкиот споредбен тест.

И сега долгоочекуваните примери.

Пример 1

Ние го користиме знакот d'Alembert:

конвергира.

Пример 2

Ајде да земеме слична серија и да ја испитаме за конвергенција

Прво целосно решение, а потоа коментари:

Ние го користиме знакот d'Alembert:

Така, серијата што се проучува конвергира.

Пример 3

Испитајте ја серијата за конвергенција

Комплетно решение и дизајн на примерок на крајот од часот за низите на броеви.
(4) Сечеме се што може да се исече.
(5) Ја поместуваме константата надвор од граничниот знак. Отворете ги заградите во броителот.
(6) Ја елиминираме несигурноста на стандарден начин - со делење на броителот и именителот со „en“ до највисоката моќност.

Пример 5

Испитајте ја серијата за конвергенција

Целосно решение и дизајн на примерок на крајот од лекцијата

Пример 6

Испитајте ја серијата за конвергенција

Примерок решение може да изгледа вака:

Ние го користиме знакот d'Alembert:

Така, серијата што се проучува конвергира.

Главните предуслови за примена на тестот d'Alembert се како што следува:

1) Заедничкиот термин на серијата („полнење“ на серијата) вклучува одреден број до одреден степен, на пример, , и така натаму. Згора на тоа, воопшто не е важно каде се наоѓаат овие функции, во броител или во именителот - важно е тие да се присутни таму.

2) Заедничкиот термин на серијата го вклучува факторот. Што е факторско?

…

…

3) Ако во општиот термин на серијата постои „синџир на фактори“, на пример, . Овој случај е редок.

Без разбирање на границата и способноста да се открие неизвесноста, за жал, не може да се напредува понатаму.

Пример:
Решение:Тоа го гледаме во општиот термин на серијата што го имаме , и ова е сигурен предуслов за користење на тестот на d'Alembert.

Ние го користиме знакот d'Alembert:

конвергира.

Знак на радикален Коши.

! Интересно е да се забележи дека ако тестот на Коши не ни даде одговор на прашањето за конвергенција на серијата, тогаш ниту тестот на Д'Алембер нема да ни даде одговор. Но, ако тестот на d’Alembert не даде одговор, тогаш тестот на Коши може да „работи“. Односно, знакот Коши во оваа смисла е посилен знак.

!!! Кога треба да го користите радикалниот знак Коши?Радикалниот Коши тест обично се користи во случаи кога заедничкиот термин од серијата ПОЛНОе во степенот во зависност од "en". Или кога коренот „добро“ е извлечен од заеднички член на серијата. Има и егзотични случаи, но нема да се грижиме за нив.

Пример:Испитајте ја серијата за конвергенција

Решение:Гледаме дека општиот термин на серијата е целосно под моќ во зависност од , што значи дека треба да го користиме радикалниот тест на Коши:

Така, серијата што се проучува се разминува.

Интегрален Коши тест.

За да го примените интегралниот тест на Коши, мора да бидете повеќе или помалку сигурни во наоѓањето деривати, интеграли, а исто така да имате вештина за пресметување неправилен интегралпрв вид.

Ќе го формулирам со мои зборови (за полесно разбирање).

Интегрален Коши тест:Ајде да размислиме серија на позитивни броеви. Оваа серија конвергира или дивергира заедно со соодветниот несоодветен интеграл.

! !! Главниот предуслов за користење на интегралниот тест на Коши ее фактот дека во општиот член на серијата постои одредена функција и нејзин извод.

Пример:Испитајте ја серијата за конвергенција

Решение:Од темата Дериватверојатно се сеќавате на наједноставната работа на табелата: , а ние имаме токму таков канонски случај.

Сега треба да го пресметаме неправилниот интеграл. Во овој случај, можни се два случаи:

1) Ако се испостави дека интегралот се конвергира, тогаш нашата серија исто така ќе се спои.

2) Ако се покаже дека интегралот се разминува, тогаш нашата серија исто така ќе се разминува.

Го користиме интегралниот знак:

Функцијата интегранд е континуирано вклучена

Така, серијата што се проучува се разминувазаедно со соодветниот неправилен интеграл.

Пример:Истражете ја конвергенцијата на серијата

Решение:пред се, да провериме неопходен знак за конвергенција на серија. Ова не е формалност, туку одлична шанса да се справиме со примерот со „малку крвопролевање“.

Редоследот на броевиповисоко редослед на раст, отколку , затоа , односно потребниот знак на конвергенција е задоволен, а серијата може или да се спојува или да се разминува.

Така, треба да користите некој вид знак. Но, кој? Граница на споредбаочигледно не одговара, бидејќи логаритам е втиснат во заедничкиот термин од серијата, Знаците на Д'Алембер и Кошиисто така, не доведуваат до резултати. Ако имавме, тогаш барем ќе можевме да излеземе интегрална карактеристика.

„Увид на сцената“ сугерира дивергентна серија (случај на генерализирана хармонична серија), но повторно се поставува прашањето, како да се земе предвид логаритамот во броителот?

Она што останува е првиот знак за споредба, базиран на нееднаквости, кој често не се зема предвид и собира прашина на далечна полица. Ајде да ја опишеме серијата подетално:

Дозволете ми да ве потсетам дека - неограничено расте броена низа:

И, почнувајќи од бројот, неравенството ќе се задоволи:

односно членовите на серијата ќе бидат уште повеќерелевантни членови дивергентни ред.

Како резултат на тоа, серијата нема друг избор освен да се растера.

Конвергенцијата или дивергенцијата на бројна серија зависи од нејзината „бесконечна опашка“ (остаток). Во нашиот случај, можеме да го игнорираме фактот дека нееднаквоста не е точна за првите два броја - тоа не влијае на заклучокот.

Завршениот пример треба да изгледа вака:

Ајде да ја споредиме оваа серија со дивергентна серија.
За сите броеви, почнувајќи од , неравенството е задоволена, затоа според споредбениот критериум сериите што се испитуваат се разминува.

Наизменични редови. Лајбницовиот знак. Примери на решенија.

Што е наизменична серија?Ова е јасно или речиси јасно од самото име. Само едноставен пример.

Да ја погледнеме серијата и да ја опишеме подетално:

Порамнувањето обезбедува множител: ако е парен, ќе има знак плус, ако е непарно, ќе има знак минус.

Замката се „измамите“: , , итн. - такви множители не обезбедуваат промена на знакот. Апсолутно е јасно дека за секој природен: , , .

Како да се испита наизменични серии за конвергенција?Користете го тестот на Лајбниц.

Лајбницовиот тест: Ако во наизменична серија се исполнети два услова: 1) членовите на серијата монотоно се намалуваат во апсолутна вредност. 2) границата на заедничкиот член во модул е еднаква на нула, тогаш серијата конвергира, а модулот на збирот на оваа серија не го надминува модулот на првиот член.

Кратки информации за модулот:

Што значи „модуло“? Модулот, како што се сеќаваме од училиште, го „јаде“ знакот минус. Да се вратиме на редот . Ментално избришете ги сите знаци со гума и да ги погледнеме бројките. Тоа ќе го видиме секој следенчлен на серијата помалкуод претходниот.

Сега малку за монотонијата.

Членови на серијата строго монотононамалување на модулот ако СЕКОЈ СЛЕДЕН член од серијата модулоПОМАЛКУ од претходното: . За ред Строгата монотоност на намалувањето е исполнета, може детално да се опише:

Или можеме накратко да кажеме: секој следен член на серијата модулопомалку од претходниот: .

Членови на серијата не е строго монотононамалување на модулот ако СЕКОЈ СЛЕДЕН член од серискиот модул НЕ Е ПОГОЛЕМ од претходниот: . Размислете за серија со факториел: Овде постои лабава монотоност, бидејќи првите два члена од серијата се идентични по модул. Односно секој следен член на серијата модулоне повеќе од претходниот: .

Пример:Испитајте ја серијата за конвергенција

Решение:Вообичаениот термин на серијата вклучува фактор, што значи дека треба да го користите критериумот Лајбниц

1) Проверка на серијата за монотоно намалување.

1<2<3<…, т.е. n+1>n -првиот услов не е исполнет

2) – вториот услов исто така не е исполнет.

Заклучок: серијата се разминува.

Дефиниција:Ако една серија конвергира според критериумот Лајбниц и се конвергира и серија составена од модули, тогаш тие велат дека серијата се спојува апсолутно.

Ако една серија конвергира според критериумот Лајбниц, а серијата составена од модули се разминува, тогаш се вели дека серијата е конвергира условно.

Ако се конвергира серија составена од модули, тогаш оваа серија исто така конвергира.

Затоа, наизменична конвергентна серија мора да се испита за апсолутна или условна конвергенција.

Пример:

Решение:Го користиме критериумот на Лајбниц:

1) Секој следен член на серијата е помал во апсолутна вредност од претходниот: – првиот услов е исполнет.

2) – задоволен е и вториот услов.

Заклучок: серијата конвергира.

Ајде да провериме за условна или апсолутна конвергенција.

Ајде да направиме серија модули - повторно едноставно го отстрануваме мултипликаторот, што обезбедува алтернација на знаци:
– дивергира (хармонична серија).

Така нашата серија не е апсолутно конвергентен.
Серија која се проучува конвергира условно.

Пример:Испитајте серија за условна или апсолутна конвергенција

Решение:Го користиме критериумот на Лајбниц:
1) Ајде да се обидеме да ги запишеме првите неколку термини од серијата:

…?!

Ако броителот кај расте побрзо од факториелот, тогаш . Ако, во бесконечност, факторот расте побрзо од броителот, тогаш тој, напротив, ќе ја „повлече“ границата на нула: . Или можеби оваа граница е еднаква на некој ненулта број? или . Наместо тоа, можете да замените некој полином од илјадити степен, ова повторно нема да ја промени ситуацијата - порано или подоцна факторот сè уште ќе „престигне“ таков страшен полином. Факториски повисок ред на раст.

– Било којекспоненцијалната низа расте побрзо од која било секвенца на моќност, на пример: , . Експоненцијална низа повисок ред на растод која било секвенца на моќ. Слично на факториелот, експоненцијалната низа го „влече“ производот од кој било број на секвенци на моќност или полиноми: .

– Има ли нешто „појако“ од факторско? Јадете! Експоненцијалната низа на моќност („en“ до моќта на „en“) расте побрзо од факторската. Во пракса тоа е ретко, но информациите нема да бидат излишни.

Крај на помошта

Така, втората точка од студијата може да се напише на следниов начин:
2) , бидејќи редоследот на раст е повисок од .
Условите на серијата се намалуваат во модулот, почнувајќи од некој број, во овој случај, секој следен член на серијата е помал во апсолутна вредност од претходниот, со што намалувањето е монотоно.

Заклучок: серијата конвергира.

Тука е токму љубопитниот случај кога термините на серијата прво се зголемуваат во апсолутна вредност, поради што имавме погрешно првично мислење за лимитот. Но, почнувајќи од некој број „ен“, факторот го надминува броителот, а „опашката“ на серијата станува монотоно опаѓачка, што е фундаментално важно за исполнување на условите на теоремата на Лајбниц. Тешко е да се открие што точно е ова „en“..

Ја испитуваме серијата за апсолутна или условна конвергенција:

И тука знакот на Д’Алембер веќе функционира:

Ние го користиме знакот d'Alembert:

Така, серијата се спојува.

Серија која се проучува се спојува апсолутно.

Анализираниот пример може да се реши на друг начин (користиме доволен критериум за конвергенција на наизменична серија).

Доволен знак за конвергенција на наизменична серија:Ако се конвергира серија составена од апсолутни вредности на членовите на дадена серија, тогаш се конвергира и дадената серија.

Втор начин:

Испитајте серија за условна или апсолутна конвергенција

Решение : Ја испитуваме серијата за апсолутна конвергенција:

Ние го користиме знакот d'Alembert:

Така, серијата се спојува.
Врз основа на доволен критериум за конвергенција на наизменична серија, самата серија конвергира.

Заклучок: Студиска серија се спојува апсолутно.

Да се пресмета збирот на серија со дадена точностЌе ја користиме следнава теорема:

Нека се потпише наизменичната серија ги задоволува условите на Лајбницовиот критериум и нека - неговиот nделумна сума. Тогаш серијата конвергира и грешката во приближното пресметување на нејзиниот збир Сво апсолутна вредност не го надминува модулот на првиот отфрлен член: