Што се случува ако се подели со. Поделба со нула. Фасцинантна математика. Нестандардни методи на забранета поделба

Евгениј ШИРЈАЕВ, наставник и раководител на математичката лабораторија на Политехничкиот музеј, му кажа на AiF за поделбата со нула:

1. Надлежност на прашањето

Се согласувам, она што го прави правилото особено провокативно е забраната. Како може ова да не се направи? Кој забрани? Што е со нашите граѓански права?

Ниту Уставот, ниту Кривичниот законик, ниту повелбата на вашето училиште не се противат на интелектуалното дејствување што не интересира. Тоа значи дека забраната нема правна сила и ништо не ве спречува да се обидете да поделите нешто со нула токму овде, на страниците на AiF. На пример, илјада.

2. Ајде да делиме како што е научено

Запомнете, кога првпат научивте како да делите, првите примери беа решени со проверка на множење: резултатот помножен со делителот мораше да се совпадне со дивидендата. Не се совпадна - тие не одлучија.

Пример 1. 1000: 0 =...

Да заборавиме на забранетото правило за момент и да направиме неколку обиди да го погодиме одговорот.

Неточните ќе бидат отсечени со проверка. Обидете се со следниве опции: 100, 1, −23, 17, 0, 10.000. За секоја од нив, проверката ќе го даде истиот резултат:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0

Со множење на нула, сè се претвора во себе, а никогаш во илјада. Заклучокот е лесно да се формулира: ниту еден број нема да го помине тестот. Односно, ниту еден број не може да биде резултат на делење на ненулта број со нула. Таквата поделба не е забранета, туку едноставно нема резултат.

3. Нијанса

За малку ќе пропуштивме една можност да ја побиеме забраната. Да, признаваме дека број кој не е нула не може да се подели со 0. Но, можеби самиот 0 може?

Пример 2. 0: 0 = ...

Кои се вашите предлози за приватно? 100? Ве молиме: количникот од 100 помножен со делителот 0 е еднаков на дивидендата 0.

Повеќе опции! 1? Се вклопува исто така. И −23, и 17, и тоа е тоа. Во овој пример, тестот ќе биде позитивен за кој било број. И, да бидам искрен, решението во овој пример не треба да се нарекува број, туку збир на броеви. Сите. И не треба долго да се согласиме дека Алиса не е Алиса, туку Мери Ен, и дека и двете се сон на зајаците.

4. Што е со вишата математика?

Проблемот е решен, нијансите се земени во предвид, точките се поставени, сè стана јасно - одговорот на примерот со делење со нула не може да биде единствен број. Решавањето на ваквите проблеми е безнадежно и невозможно. Што значи... интересно! Земете две.

Пример 3. Дознајте како да поделите 1000 со 0.

Но никако. Но, 1000 лесно може да се подели со други броеви. Па, ајде барем да го направиме она што функционира, дури и ако ја смениме задачата. И тогаш, гледате, се занесуваме, а одговорот ќе се појави сам по себе. Да заборавиме на нулата за една минута и да поделиме со сто:

Стотка е далеку од нула. Ајде да направиме чекор кон него со намалување на делителот:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Динамиката е очигледна: колку е поблиску делителот до нула, толку е поголем количникот. Трендот може да се набљудува понатаму со преместување на дропки и продолжување со намалување на броителот:

Останува да се забележи дека можеме да се приближиме до нулата колку што сакаме, правејќи го количникот толку голем колку што сакаме.

Во овој процес нема нула и нема последен количник. Го означивме движењето кон нив со замена на бројот со низа што се приближува кон бројот што нè интересира:

Ова подразбира слична замена за дивидендата:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Не е за ништо што стрелките се двострани: некои секвенци можат да се спојат со броеви. Потоа можеме да ја поврземе низата со нејзината нумеричка граница.

Ајде да ја погледнеме низата количници:

Расте неограничено, не стремејќи се кон ниеден број и надминувајќи ниту еден. Математичарите додаваат симболи на броевите ∞ да може да се стави двострана стрелка до ваква низа:

Споредбата со бројот на низи кои имаат ограничување ни овозможува да предложиме решение за третиот пример:

Кога елементарно се дели низа која конвергира на 1000 со низа од позитивни броеви што се конвергираат на 0, добиваме низа што конвергира на ∞.

5. И тука е нијансата со две нули

Каков е резултатот од делењето на две низи од позитивни броеви кои се спојуваат на нула? Ако се исти, тогаш единицата е идентична. Ако секвенцата на дивиденда се конвергира на нула побрзо, тогаш особено тоа е низа со нулта граница. И кога елементите на делителот се намалуваат многу побрзо од оние на дивидендата, низата на количникот ќе се зголеми многу:

Неизвесна ситуација. И тоа се нарекува: несигурност на типот 0/0 . Кога математичарите гледаат низи кои одговараат на таква несигурност, тие не брзаат да поделат два идентични броја еден со друг, туку да сфатат која од низите се движи побрзо до нула и колку точно. И секој пример ќе има свој специфичен одговор!

6. Во животот

Омовиот закон ги поврзува струјата, напонот и отпорот во колото. Често се пишува во оваа форма:

Да си дозволиме да го игнорираме уредното физичко разбирање и формално да гледаме на десната страна како количник на два броја. Да замислиме дека решаваме училишен проблем на струја. Состојбата го дава напонот во волти и отпорот во оми. Прашањето е очигледно, решението е во една акција.

Сега да ја погледнеме дефиницијата за суперспроводливост: ова е својството на некои метали да имаат нула електричен отпор.

Па, ајде да го решиме проблемот за суперспроводливо коло? Само поставете го R= 0 Ако не успее, физиката отвора интересен проблем, зад кој, очигледно, се крие научно откритие. И луѓето кои успеаја да се поделат со нула во оваа ситуација ја добија Нобеловата награда. Корисно е да можете да ги заобиколите сите забрани!

Ако ги прекршите општоприфатените правила во светот на науката, можете да ги добиете најнеочекуваните резултати.

Уште од училиште, наставниците ни кажуваа дека во математиката постои едно правило што не може да се прекрши. Звучи вака: „Не можете да делите со нула!

Зошто толку познат број 0, кој толку често го среќаваме во секојдневниот живот, предизвикува толку многу тешкотии при извршување на едноставна аритметичка операција како што е делењето?

Ајде да го разгледаме ова прашање.

Ако поделиме еден број со уште помали броеви, резултатот ќе биде сè поголеми вредности. На пример

Така, излегува дека ако поделиме со број кој тежнее кон нула, ќе го добиеме најголемиот резултат со тенденција кон бесконечност.

Дали ова значи дека ако го поделиме нашиот број со нула, ќе добиеме бесконечност?

Ова звучи логично, но сè што знаеме е дека ако поделиме со број близок по вредност до нула, тогаш резултатот ќе се стреми само кон бесконечност и тоа не значи дека кога ќе се подели со нула ќе завршиме со бесконечност. Зошто е ова така?

Прво, треба да разбереме што е аритметичката операција на делењето. Значи, ако поделиме 20 со 10, тоа ќе значи колку пати ќе треба да го собереме бројот 10 за да добиеме 20 како резултат, или кој број треба да го земеме двапати за да добиеме 20.

Општо земено, поделбата е инверзна аритметичка операција на множење. На пример, кога множиме кој било број со X, можеме да го поставиме прашањето: „Дали има некој број што треба да го помножиме со резултатот за да ја дознаеме првобитната вредност на X?“ И ако има таков број, тогаш тоа ќе биде инверзна вредност за X. На пример, ако помножиме 2 со 5, добиваме 10. Ако по ова помножиме 10 со една петтина, повторно добиваме 2:

Така, 1/5 е реципрочно од 5, реципрочното од 10 е 1/10.

Како што веќе забележавте, при множење на број со реципроцитет, одговорот секогаш ќе биде еден. И ако сакате да поделите број со нула, ќе треба да го најдете неговиот инверзен број, кој треба да биде еднаков на еден поделен со нула.

Ова ќе значи дека кога ќе се помножи со нула резултатот мора да биде еден, а бидејќи е познато дека ако помножите било кој број со 0 добивате 0, тогаш тоа е невозможно и нулата нема реципрочен број.

Дали е можно да се смисли нешто за да се заобиколи оваа противречност?

Претходно, математичарите веќе наоѓаа начини да ги заобиколат математичките правила, бидејќи во минатото, според математичките правила, беше невозможно да се добие вредноста на квадратниот корен на негативен број, тогаш беше предложено таквите квадратни корени да се означат со имагинарни броеви. . Како резултат на тоа, се појави нова гранка на математиката за сложени броеви.

Па зошто и ние да не се обидеме да воведеме ново правило, според кое поделено со нула би се означувало со знак за бесконечност и да видиме што ќе се случи?

Да претпоставиме дека не знаеме ништо за бесконечноста. Во овој случај, ако почнеме од реципрочниот број нула, а потоа множејќи ја нулата со бесконечност, треба да добиеме еден. И ако на ова додадеме уште една вредност на нула поделена со бесконечност, резултатот треба да биде бројот два:

Во согласност со дистрибутивниот закон на математиката, левата страна на равенката може да се претстави како:

а бидејќи 0+0=0, тогаш нашата равенка ќе добие форма 0*∞=2, поради тоа што веќе дефиниравме 0*∞=1, излегува дека 1=2.

Ова звучи смешно. Сепак, овој одговор, исто така, не може да се смета за целосно неточен, бидејќи таквите пресметки едноставно не работат за обични броеви. На пример, во Римановата сфера се користи делење со нула, но на сосема поинаков начин, а ова е сосема друга приказна...

Накратко, делењето со нула на вообичаен начин не завршува добро, но сепак тоа не треба да ни биде пречка да експериментираме на полето на математиката, во случај да успееме да отвориме нови области за истражување.

Сите се сеќаваат од училиште дека не може да се дели со нула. На основците никогаш не им се објаснува зошто тоа не треба да се прави. Тие едноставно нудат да го сфатат ова како дадено, заедно со други забрани како „не можете да ги ставате прстите во приклучоци“ или „не треба да поставувате глупави прашања на возрасните“. AiF.ru одлучи да открие дали наставниците во училиштето биле во право.

Алгебарско објаснување на неможноста за делење со нула

Од алгебарска гледна точка, не можете да делите со нула, бидејќи тоа нема никаква смисла. Да земеме два произволни броја, a и b, и да ги помножиме со нула. a × 0 е еднакво на нула и b × 0 е еднакво на нула. Излегува дека a × 0 и b × 0 се еднакви, бидејќи производот во двата случаи е еднаков на нула. Така, можеме да ја создадеме равенката: 0 × a = 0 × b. Сега да претпоставиме дека можеме да делиме со нула: ги делиме двете страни на равенката со неа и добиваме дека a = b. Излегува дека ако дозволиме операција на делење со нула, тогаш сите броеви се совпаѓаат. Но, 5 не е еднакво на 6, а 10 не е еднакво на ½. Се појавува неизвесност, која наставниците претпочитаат да не им ја кажуваат на испитувачките помлади средношколци.

Објаснување на неможноста за делење со нула од гледна точка на математичка анализа

Во средно училиште ја изучуваат теоријата на граници, која зборува и за неможноста да се дели со нула. Овој број таму се толкува како „недефинирана бесконечно мала количина“. Значи, ако ја разгледаме равенката 0 × X = 0 во рамките на оваа теорија, ќе откриеме дека X не може да се најде бидејќи за да го направиме ова ќе треба да ја поделиме нулата со нула. И ова исто така нема никаква смисла, бидејќи и дивидендата и делителот во овој случај се неопределени количини, затоа е невозможно да се извлече заклучок за нивната еднаквост или нееднаквост.

Кога може да се подели со нула?

За разлика од учениците, студентите на техничките универзитети можат да поделат со нула. Операција која е невозможна во алгебра може да се изврши и во други области на математичкото знаење. Во нив се појавуваат нови дополнителни услови на проблемот што го дозволуваат ова дејство. Поделбата со нула ќе биде возможна за оние кои слушаат курс на предавања за нестандардна анализа, ја проучуваат функцијата на делтата на Дирак и ќе се запознаат со продолжената комплексна рамнина.

Строга забрана за делење со нула се воведува и во пониските одделенија. Децата обично не размислуваат за нејзините причини, но всушност е интересно и корисно да се знае зошто нешто е забрането.

Аритметички операции

Аритметичките операции што се изучуваат на училиште не се еквивалентни од гледна точка на математичарите. Тие препознаваат само две од овие операции како валидни - собирање и множење. Тие се вклучени во самиот концепт на број, а сите други дејства со броеви се на овој или оној начин изградени на овие две. Односно, не само што е невозможна поделба со нула, туку и генерално е невозможна.

Одземање и делење

Што недостасува од останатите акции? Повторно, од училиште знаеме дека, на пример, одземање четири од седум значи да земете седум слатки, да јадете четири од нив и да ги изброите оние што остануваат. Но, математичарите, кога јадат слатки и воопшто, ги доживуваат сосема поинаку. За нив има само собирање, односно ознаката 7 - 4 значи број кој кога ќе се додаде на бројот 4 ќе биде еднаков на 7. Односно за математичарите 7 - 4 е кратка нотација на равенката : x + 4 = 7. Ова не е одземање, туку проблем - најдете го бројот што треба да се стави на местото на x.

Истото важи и за делење и множење. Поделувајќи десет на два, помлад ученик става десет бонбони во две идентични купишта. Математичарот и овде ја гледа равенката: 2 x = 10.

Ова објаснува зошто е забрането делењето со нула: тоа е едноставно невозможно. Влезот 6: 0 треба да се претвори во равенката 0 · x = 6. Односно, треба да пронајдете број што може да се помножи со нула и да добиете 6. Но, познато е дека множењето со нула секогаш дава нула. Ова е суштинското својство на нула.

Така, не постои број кој, кога ќе се помножи со нула, ќе даде некој друг број освен нула. Ова значи дека оваа равенка нема решение, нема број што би корелирал со ознаката 6: 0, односно нема смисла. Тие зборуваат за неговата бесмисленост кога е забрането делењето со нула.

Дали нулата се дели со нула?

Дали е можно да се подели нула со нула? Равенката 0 · x = 0 не предизвикува никакви тешкотии, и можете да ја земете оваа нула за x и да добиете 0 · 0 = 0. Тогаш 0: 0 = 0? Но, ако, на пример, земеме еден како x, добиваме и 0 1 = 0. Можете да земете било кој број за x и да го делите со нула, а резултатот ќе остане ист: 0: 0 = 9, 0 : 0 = 51, и така натаму Понатаму.

Така, апсолутно секој број може да се вметне во оваа равенка, и невозможно е да се избере кој било конкретен, невозможно е да се одреди кој број е означен со ознаката 0: 0. Тоа е, оваа ознака исто така нема смисла, а поделбата со нула е сè уште невозможно: не е ни делив со себе.

Ова е важна карактеристика на операцијата за делење, односно множење и поврзаниот број нула.

Останува прашањето: дали е можно да се одземе? Може да се каже дека вистинската математика започнува со ова интересно прашање. За да го најдете одговорот на него, треба да ги научите формалните математички дефиниции за множества на броеви и да се запознаете со операциите на нив. На пример, не постојат само едноставни, туку и чија поделба се разликува од поделбата на обичните. Ова не е вклучено во училишната програма, но универзитетските предавања по математика започнуваат со ова.

Дури и на училиште, наставниците се обидуваа да ни го закопаат наједноставното правило: „Секој број помножен со нула е еднаков на нула!, - но сепак околу него постојано се појавуваат многу контроверзии. Некои луѓе едноставно се сеќаваат на правилото и не се мачат себеси со прашањето „зошто?“ „Не можете и тоа е тоа, затоа што така рекоа на училиште, правилото е правило! Некој може да пополни половина тетратка со формули, докажувајќи го ова правило или, обратно, неговата нелогичност.

Во контакт со

Кој е во право на крајот?

За време на овие спорови и двајцата со спротивставени гледишта се гледаат како овен и со сета сила докажуваат дека се во право. Иако, ако ги погледнете од страна, можете да видите не еден, туку два овни како ги потпираат роговите еден на друг. Единствената разлика меѓу нив е што едниот е нешто помалку образован од другиот.

Најчесто, оние кои сметаат дека ова правило е неточно, се обидуваат да се повикаат на логиката на овој начин:

Имам две јаболка на масата, ако ставам нула јаболка на нив, односно не ставам ниту едно, тогаш моите две јаболка нема да исчезнат! Правилото е нелогично!

Навистина, јаболката нема никаде да исчезнат, но не затоа што правилото е нелогично, туку затоа што овде се користи малку поинаква равенка: 2 + 0 = 2. Затоа, веднаш да го отфрлиме овој заклучок - нелогичен е, иако има спротивна цел - да повикам на логика.

Што е множење

Првично правилото за множењебеше дефинирано само за природни броеви: множењето е број што си се додава одреден број пати, што значи дека бројот е природен. Така, секој број со множење може да се намали на оваа равенка:

1. 25×3 = 75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25×3 = 25 + 25 + 25

Од оваа равенка произлегува дека дека множењето е поедноставено собирање.

Што е нула

Секој човек знае од детството: нула е празнина.И покрај фактот што оваа празнина има ознака, таа воопшто не носи ништо. Научниците од античкиот исток мислеа поинаку - тие му пристапија на прашањето филозофски и повлекоа некои паралели помеѓу празнината и бесконечноста и видоа длабоко значење во овој број. На крајот на краиштата, нулата, која има значење на празнина, стои до кој било природен број, го множи десет пати. Оттука и сите контроверзии за множењето - овој број носи толку многу недоследност што станува тешко да не се збуни. Покрај тоа, нулата постојано се користи за дефинирање на празни цифри во децимални фракции, тоа се прави и пред и по децималната точка.

Дали е можно да се множи со празнина?

Може да се множи со нула, но тоа е бескорисно, бидејќи, што и да се каже, дури и кога се множат негативните броеви, сепак ќе добиете нула. Доволно е само да се сетите на ова едноставно правило и никогаш повеќе да не го поставувате ова прашање. Всушност, сè е поедноставно отколку што изгледа на прв поглед. Нема скриени значења и тајни, како што веруваа древните научници. Подолу ќе дадеме најлогично објаснување дека ова множење е бескорисно, бидејќи кога ќе помножите број со него, сепак ќе го добиете истото - нула.

Враќајќи се на самиот почеток, на аргументот за две јаболка, 2 пати 0 изгледа вака:

• Ако јадете две јаболка пет пати, тогаш јадете 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 јаболка
• Ако јадете две од нив три пати, тогаш јадете 2×3 = 2+2+2 = 6 јаболка
• Ако јадете две јаболка нула пати, тогаш ништо нема да се јаде - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

На крајот на краиштата, јадењето јаболко 0 пати значи да не се јаде ниту едно. Ова ќе му биде јасно и на најмалото дете. Што и да се каже, резултатот ќе биде 0, два или три може да се заменат со апсолутно секој број и резултатот ќе биде апсолутно ист. И едноставно кажано, тогаш нула не е ништо, и кога имате нема ништо, тогаш колку и да се множиш, сепак е исто ќе биде нула. Не постои такво нешто како магија, и ништо нема да направи јаболко, дури и ако помножите 0 со милион. Ова е наједноставното, најразбирливо и најлогично објаснување на правилото за множење со нула. За човек кој е далеку од сите формули и математика, ваквото објаснување ќе биде доволно за да се разреши дисонанцата во главата и се да си дојде на свое место.

Поделба

Од сето горенаведено, следува уште едно важно правило:

Не можете да делите со нула!

Ова правило, исто така, упорно ни се буши во главата уште од детството. Едноставно знаеме дека е невозможно да направиме сè без да ги наполниме главите со непотребни информации. Ако неочекувано ви се постави прашањето зошто е забрането да се дели со нула, тогаш повеќето ќе бидат збунети и нема да можат јасно да одговорат на наједноставното прашање од училишната програма, бидејќи нема толку многу спорови и противречности околу ова правило.

Сите едноставно го запамтија правилото и не го делат со нула, не сомневајќи се дека одговорот се крие на површината. Собирањето, множењето, делењето и одземањето се нееднакви, од горенаведените важат само множењето и собирањето, а од нив се градат сите други манипулации со броеви. Односно, ознаката 10: 2 е кратенка на равенката 2 * x = 10. Тоа значи дека ознаката 10: 0 е истата кратенка за 0 * x = 10. Излегува дека делењето со нула е задача за најдете број, множејќи се со 0, добивате 10 А ние веќе сфативме дека таков број не постои, што значи дека оваа равенка нема решение и ќе биде априори неточна.

Дозволете ми да ви кажам,

За да не се дели со 0!

Исечете 1 колку сакате, по должина,

Само не дели со 0!