Даден е законот за распределба на случајната променлива x. Дискретна случајна променлива, закон за распределба на веројатност
Поглавје 1. Дискретни случајна вредност
§ 1. Поими за случајна променлива.
Закон за распределба на дискретна случајна променлива.
Дефиниција : Случајна е величина која, како резултат на тестирањето, зема само една вредност од можен сет на нејзини вредности, однапред непозната и во зависност од случајни причини.
Постојат два вида случајни променливи: дискретни и континуирани.
Дефиниција : Се повикува случајната променлива X дискретни (дисконтинуирано) ако множеството од неговите вредности е конечно или бесконечно, но може да се брои.
Со други зборови, можните вредности на дискретна случајна променлива може да се пренумерираат.
Случајна променлива може да се опише со користење на нејзиниот закон за дистрибуција.
Дефиниција : Закон за распределба на дискретна случајна променлива повикајте ја кореспонденцијата помеѓу можните вредности на случајна променлива и нивните веројатности.
Законот за дистрибуција на дискретна случајна променлива X може да биде наведен во форма на табела, во првиот ред од која сите можни вредности на случајната променлива се наведени во растечки редослед, а во вториот ред соодветните веројатности на овие вредности, т.е.
каде што р1+ р2+…+ рn=1
Таквата табела се нарекува дистрибутивна серија на дискретна случајна променлива.
Ако множеството можни вредности на случајна променлива е бесконечно, тогаш серијата p1+ p2+…+ pn+… конвергира и нејзиниот збир е еднаков на 1.
Законот за распределба на дискретна случајна променлива X може да се прикаже графички, за која е изградена скршена линија во правоаголен координатен систем, поврзувајќи секвенцијално точки со координати (xi; pi), i=1,2,…n. Резултирачката линија се нарекува дистрибутивен полигон (сл. 1).
Органска хемија" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">органската хемија се 0,7 и 0,8, соодветно. Направете закон за распределба за случајната променлива X - бројот на испити што студентот ќе ги положи.
Решение. Разгледуваната случајна променлива X како резултат на испитот може да земе една од следните вредности: x1=0, x2=1, x3=2.
Да ја најдеме веројатноста за овие вредности Да ги означиме настаните:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Значи, законот за распределба на случајната променлива X е даден со табелата:
Контрола: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Функција на дистрибуција
Целосен опис на случајна променлива е даден и со функцијата за дистрибуција.
Дефиниција: Дистрибутивна функција на дискретна случајна променлива X се нарекува функција F(x), која за секоја вредност x ја одредува веројатноста случајната променлива X да земе вредност помала од x:
F(x)=P(X<х)
Геометриски, функцијата на дистрибуција се толкува како веројатност случајната променлива X да ја земе вредноста што е претставена на бројната права со точка која лежи лево од точката x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) е неопаѓачка функција на (-∞;+∞);
3) F(x) - континуирано лево во точките x= xi (i=1,2,...n) и континуирано во сите други точки;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Ако законот за распределба на дискретна случајна променлива X е даден во форма на табела:
тогаш функцијата за дистрибуција F(x) се одредува со формулата:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 за x≤ x1,
р1 на x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 на x2< х≤ х3
1 за x> xn.
Неговиот график е прикажан на Сл. 2:
§ 3. Нумерички карактеристики на дискретна случајна променлива.
Важни нумерички карактеристики вклучуваат очекуваната вредност.
Дефиниција: Математичко очекување M(X) дискретна случајна променлива X е збир на производите на сите нејзини вредности и нивните соодветни веројатности:
М(Х) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Математичкото очекување служи како карактеристика на просечната вредност на случајна променлива.
Својства на математичкото очекување:
1)M(C)=C, каде што C е константна вредност;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);
4) M(X Y)=M(X) M(Y), каде што X, Y се независни случајни променливи;
5)M(X±C)=M(X)±C, каде што C е константна вредност;
За да се карактеризира степенот на дисперзија на можните вредности на дискретна случајна променлива околу нејзината средна вредност, се користи дисперзија.
Дефиниција: Варијанса Д ( X ) случајната променлива X е математичко очекување на квадратното отстапување на случајната променлива од нејзиното математичко очекување:
Карактеристики на дисперзија:
1)D(C)=0, каде што C е константна вредност;
2)D(X)>0, каде што X е случајна променлива;
3)D(C X)=C2 D(X), каде што C е константна вредност;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), каде што X, Y се независни случајни променливи;
За да се пресмета варијансата, често е погодно да се користи формулата:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
каде M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Варијансата D(X) има димензија на квадратна случајна променлива, што не е секогаш погодно. Затоа, вредноста √D(X) се користи и како индикатор за дисперзија на можните вредности на случајна променлива.
Дефиниција: Стандардна девијација σ(X) случајната променлива X се нарекува квадратен корен на варијансата:
Задача бр. 2.Дискретната случајна променлива X е специфицирана со законот за распределба:
Најдете го P2, функцијата за распределба F(x) и нацртајте го нејзиниот график, како и M(X), D(X), σ(X).
Решение: Бидејќи збирот на веројатностите на можните вредности на случајната променлива X е еднаков на 1, тогаш
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Да ја најдеме функцијата за распределба F(x)=P(X Геометриски, оваа еднаквост може да се толкува на следниов начин: F(x) е веројатноста случајната променлива да ја земе вредноста што е претставена на бројната оска со точката што лежи лево од точката x. Ако x≤-1, тогаш F(x)=0, бидејќи нема ниту една вредност на оваа случајна променлива на (-∞;x); Ако -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Ако 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) има две вредности x1=-1 и x2=0; Ако 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Ако 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Ако x>3, тогаш F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, бидејќи четири вредности x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 спаѓаат во интервалот (-∞;x) и x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 на x≤-1, 0,1 на -1<х≤0, 0,2 на 0<х≤1, F(x)= 0,5 на 1<х≤2, 0,7 во 2<х≤3, 1 на x>3 Да ја претставиме функцијата F(x) графички (сл. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Закон за биномна распределба дискретна случајна променлива, Поасонов закон. Дефиниција: Бином
се нарекува закон за распределба на дискретна случајна променлива X - бројот на појавувања на настанот А во n независни повторени испитувања, во секое од кои настанот А може да се случи со веројатност p или да не се случи со веројатност q = 1-p. Тогаш P(X=m) - веројатноста за појава на настанот A точно m пати во n испитувања се пресметува со помош на формулата Бернули: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Математичкото очекување, дисперзија и стандардно отстапување на случајна променлива X распределена според бинарен закон се пронајдени, соодветно, користејќи ги формулите: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Веројатноста за настанот А - „поставување петка“ во секоја проба е иста и еднаква на 1/6 , т.е. P(A)=p=1/6, потоа P(A)=1-p=q=5/6, каде - „недобивање А“. Случајната променлива X може да ги земе следните вредности: 0;1;2;3. Ја наоѓаме веројатноста за секоја од можните вредности на X користејќи ја формулата на Бернули: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Тоа. законот за распределба на случајната променлива X има форма: Контрола: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Ајде да ги најдеме нумеричките карактеристики на случајната променлива X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Задача бр.4.Автоматска машина запечатува делови. Веројатноста дека произведениот дел ќе биде неисправен е 0,002. Најдете ја веројатноста дека меѓу 1000 избрани делови ќе има: а) 5 неисправни; б) барем еден е неисправен. Решение:
Бројот n=1000 е голем, веројатноста да се произведе неисправен дел p=0,002 е мала, а настаните што се разгледуваат (делот се покажува како дефектен) се независни, затоа важи Поасоновата формула: Рn(m)= д-
λ
λm Да најдеме λ=np=1000 0,002=2. а) Најдете ја веројатноста дека ќе има 5 неисправни делови (m=5): Р1000(5)= д-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 б) Најдете ја веројатноста дека ќе има барем еден неисправен дел. Настан А - „барем еден од избраните делови е неисправен“ е спротивен на настанот - „сите избрани делови не се неисправни.“ Затоа, P(A) = 1-P(). Оттука саканата веројатност е еднаква на: P(A)=1-P1000(0)=1- д-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Задачи за самостојна работа.
1.1
1.2.
Дисперзираната случајна променлива X е специфицирана со законот за дистрибуција: Најдете p4, функцијата за распределба F(X) и нацртајте го нејзиниот график, како и M(X), D(X), σ(X). 1.3.
Во кутијата има 9 маркери, од кои 2 повеќе не пишуваат. Земете 3 маркери по случаен избор. Случајната променлива X е бројот на маркери за пишување меѓу земените. Направете закон за распределба на случајна променлива. 1.4.
Има 6 учебници по случаен избор наредени на полица од библиотеката, од кои 4 се врзани. Библиотекарката зема 4 учебници по случаен избор. Случајна променлива X е бројот на врзани учебници меѓу земените. Направете закон за распределба на случајна променлива. 1.5.
На билетот има две задачи. Веројатноста за правилно решавање на првиот проблем е 0,9, вториот е 0,7. Случајна променлива X е бројот на правилно решени проблеми во тикетот. Направете закон за распределба, пресметајте ги математичкото очекување и варијансата на оваа случајна променлива, а исто така пронајдете ја функцијата за распределба F(x) и изградете го нејзиниот график. 1.6.
Тројца стрелци пукаат во цел. Веројатноста да се погоди целта со еден истрел е 0,5 за првиот стрелец, 0,8 за вториот и 0,7 за третиот. Случајната променлива X е бројот на удари во целта ако стрелците испукаат еден по еден истрел. Најдете го законот за распределба, M(X),D(X). 1.7.
Кошаркар ја фрла топката во кошот со веројатност да го погоди секој удар од 0,8. За секој погодок добива по 10 поени, а доколку промаши не му се доделуваат поени. Направете закон за распределба за случајната променлива X - бројот на поени што ги добил кошаркар во 3 шута. Најдете M(X),D(X), како и веројатноста дека ќе добие повеќе од 10 поени. 1.8.
На картите се напишани букви, вкупно 5 самогласки и 3 согласки. 3 картички се избираат по случаен избор и секој пат кога земената картичка се враќа назад. Случајната променлива X е бројот на самогласки меѓу земените. Направете закон за распределба и најдете M(X),D(X),σ(X). 1.9.
Во просек, 60% од договорите Друштво за осигурувањеплаќа суми за осигурување во врска со настанување на осигурен случај. Подгответе закон за распределба за случајната променлива X - бројот на договори за кои е платен износот на осигурувањето меѓу четири договори избрани по случаен избор. Најдете ги нумеричките карактеристики на оваа величина. 1.10.
Радио станицата испраќа повик (не повеќе од четири) во одредени интервали додека не се воспостави двонасочна комуникација. Веројатноста да се добие одговор на повик е 0,3. Случајната променлива X е бројот на испратени повик знаци. Направете закон за распределба и најдете F(x). 1.11.
Има 3 клучеви, од кои само еден одговара на бравата. Подгответе закон за распределба на случајната променлива X-број на обиди за отворање на бравата, доколку испробаниот клуч не учествува во следните обиди. Најдете M(X), D(X). 1.12.
Се вршат последователни независни тестови на три уреди за доверливост. Секој следен уред се тестира само ако претходниот се покажа како сигурен. Веројатноста да се помине тестот за секој уред е 0,9. Подгответе закон за дистрибуција за случајната променлива X-број на тестирани уреди. 1.13
.Дискретната случајна променлива X има три можни вредности: x1=1, x2, x3 и x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Блокот на електронски уреди содржи 100 идентични елементи. Веројатноста за неуспех на секој елемент во времето Т е 0,002. Елементите работат независно. Најдете ја веројатноста дека не повеќе од два елементи ќе откажат во времето Т. 1.15.
Учебникот е објавен во тираж од 50.000 примероци. Веројатноста дека учебникот е погрешно врзан е 0,0002. Најдете ја веројатноста дека циркулацијата содржи: а) четири неисправни книги, б) помалку од две неисправни книги. 1
.16.
Бројот на повици кои пристигнуваат во PBX секоја минута се распределува според законот на Поасон со параметар λ=1,5. Најдете ја веројатноста дека за една минута ќе пристигне следново: а) два повици; б) барем еден повик. 1.17.
Најдете M(Z),D(Z) ако Z=3X+Y. 1.18.
Дадени се законите за распределба на две независни случајни променливи: Најдете M(Z),D(Z) ако Z=X+2Y. Одговори:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 на x≤-2, 0,3 на -2<х≤0, F(x)= 0,5 на 0<х≤2, 0,9 во 2<х≤5, 1 на x>5 0,3 на -1<х≤0, 0,4 на 0<х≤1, F(x)= 0,6 на 1<х≤2, 0,7 во 2<х≤3, 1 на x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 на x≤0, 0,03 во 0<х≤1, F(x)= 0,37 на 1<х≤2, 1 за x>2 М(Х)=2; D(X)=0,62 М(Х)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
М(Х)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ М(Х)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
М(Х)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
а) 0,0189; б) 0,00049 1.16.
а) 0,0702; б)0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Поглавје 2. Континуирана случајна променлива
Дефиниција: Континуирано
е величина чиишто сите можни вредности целосно пополнуваат конечен или бесконечен распон на бројната права. Очигледно, бројот на можни вредности на континуирана случајна променлива е бесконечен. Континуирана случајна променлива може да се специфицира со помош на функцијата за дистрибуција. Дефиниција:Ф функција на дистрибуција
континуирана случајна променлива X се нарекува функција F(x), која одредува за секоја вредност xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> Р Функцијата за дистрибуција понекогаш се нарекува и кумулативна дистрибутивна функција. Својства на дистрибутивната функција:
1)1≤ F(x) ≤1 2) За континуирана случајна променлива, функцијата на дистрибуција е континуирана во која било точка и може да се диференцира насекаде, освен, можеби, во поединечни точки. 3) Веројатноста случајната променлива X да падне во еден од интервалите (a;b), [a;b], [a;b], е еднаква на разликата помеѓу вредностите на функцијата F(x) во точките a и b, т.е. R(a)<Х 4) Веројатноста дека континуираната случајна променлива X ќе земе една посебна вредност е 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Одредувањето на континуирана случајна променлива со помош на функцијата за дистрибуција не е единствениот начин. Да го воведеме концептот на густина на дистрибуција на веројатност (густина на дистрибуција). Дефиниција
:
Густина на дистрибуција на веројатност
ѓ
(
x
)
на континуирана случајна променлива X е изводот на нејзината дистрибутивна функција, т.е. Функцијата за густина на веројатност понекогаш се нарекува функција на диференцијална распределба или закон за диференцијална распределба. Се вика графикот на распределбата на густината на веројатноста f(x). крива на дистрибуција на веројатност
.
Својства на дистрибуција на густина на веројатност:
1) f(x) ≥0, на xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8s; б) Познато е дека F(x)= ∫ f(x)dx Затоа, x ако x≤2, тогаш F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 ако x>6, тогаш F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. Така, 0 на x≤2, F(x)= (x-2)2/16 на 2<х≤6, 1 за x>6. Графикот на функцијата F(x) е прикажан на сл.3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 на x≤0, F(x)= (3 арктан x)/π на 0<х≤√3, 1 за x>√3. Најдете ја функцијата за диференцијална распределба f(x) Решение:
Бидејќи f(x)= F’(x), тогаш DIV_ADBLOCK93"> · Математичко очекување M (X)
континуираната случајна променлива X се определува со еднаквоста: M(X)= ∫ x f(x)dx, под услов овој интеграл апсолутно да конвергира. · Дисперзија
Д
(
X
)
континуираната случајна променлива X се определува со еднаквоста: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, или D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · Стандардна девијација σ(X)
континуираната случајна променлива се определува со еднаквоста: Сите својства на математичкото очекување и дисперзија, дискутирани претходно за дисперзирани случајни променливи, важат и за континуирани. Задача бр.3.Случајната променлива X е специфицирана со диференцијалната функција f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Проблеми за самостојно решавање.
2.1.
Континуирана случајна променлива X е одредена со функцијата за дистрибуција: 0 на x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 за x≤ π/6, F(x)= - cos 3x на π/6<х≤ π/3, 1 за x> π/3. Најдете ја функцијата за диференцијална распределба f(x), а исто така Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 на x≤2, f(x)= c x на 2<х≤4, 0 за x>4. 2.4.
Континуирана случајна променлива X е одредена со густината на дистрибуцијата: 0 на x≤0, f(x)= c √x на 0<х≤1, 0 за x>1. Најдете: а) број в; б) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> на x, 0 на x. Најдете: а) F(x) и конструирај го неговиот график; б) M(X),D(X), σ(X); в) веројатноста дека во четири независни испитувања вредноста на X ќе потрае точно 2 пати поголема од вредноста што му припаѓа на интервалот (1;4). 2.6.
Густината на распределбата на веројатноста на континуирана случајна променлива X е дадена: f(x)= 2(x-2) на x, 0 на x. Најдете: а) F(x) и конструирај го неговиот график; б) M(X),D(X), σ (X); в) веројатноста дека во три независни испитувања вредноста на X ќе потрае точно 2 пати поголема од вредноста што му припаѓа на сегментот. 2.7.
Функцијата f(x) е дадена како: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Функцијата f(x) е дадена како: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Најдете ја: а) вредноста на константата c на која функцијата ќе биде густина на веројатност на некоја случајна променлива X; б) функција на дистрибуција F(x). 2.9.
Случајната променлива X, концентрирана на интервалот (3;7), е специфицирана со дистрибутивната функција F(x)= . Најдете ја веројатноста за тоа случајната променлива X ќе ја земе вредноста: а) помала од 5, б) не помала од 7. 2.10.
Случајна променлива X, концентрирана на интервалот (-1;4), е дадена со функцијата за распределба F(x)= . Најдете ја веројатноста за тоа случајната променлива X ќе ја земе вредноста: а) помала од 2, б) не помала од 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Најдете: а) број в; б) M(X); в) веројатност P(X> M(X)). 2.12.
Случајната променлива е специфицирана со функцијата за диференцијална дистрибуција: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Најдете: а) M(X); б) веројатност P(X≤M(X)) 2.13.
Рем распределбата е дадена со густината на веројатноста: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> за x ≥0. Докажете дека f(x) е навистина функција на густина на веројатност. 2.14.
Густината на распределбата на веројатноста на континуирана случајна променлива X е дадена: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(сл. 5) 2.16.
Случајната променлива X е распределена според законот “ правоаголен триаголник„во интервалот (0;4) (сл. 5). Најдете аналитички израз за густината на веројатноста f(x) на целата бројна права. Одговори
0 на x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 за x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x на π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 за x≤a, f(x)= за a<х 0 за x≥b. Графикот на функцијата f(x) е прикажан на сл. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Задача бр. 1.Случајната променлива X е рамномерно распределена на сегментот. Најдете: а) густина на распределбата на веројатноста f(x) и нацртајте ја; б) функцијата за распределба F(x) и нацртајте ја; в) M(X),D(X), σ(X). Решение:
Користејќи ги формулите дискутирани погоре, со a=3, b=7, наоѓаме: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> на 3≤х≤7, 0 за x>7 Ајде да го изградиме неговиот график (сл. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 на x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">сл. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 на x<0, f(x)= λε-λх за x≥0. Функцијата на распределба на случајна променлива X, распределена според експоненцијалниот закон, е дадена со формулата: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> Сл. 6 Математичкото очекување, варијансата и стандардното отстапување на експоненцијалната распределба се соодветно еднакви на: M(X)= , D(X)=, σ (Х)= Така, математичкото очекување и стандардното отстапување на експоненцијалната распределба се еднакви меѓу себе. Веројатноста X да падне во интервалот (a;b) се пресметува со формулата: P(a<Х Задача бр. 2.Просечното време на работа без дефекти на уредот е 100 часа. Под претпоставка дека времето на работа без дефекти на уредот има закон за експоненцијална дистрибуција, најдете: а) густина на дистрибуција на веројатност; б) функција на дистрибуција; в) веројатноста дека времето на работа без дефекти на уредот ќе надмине 120 часа. Решение:
Според условот, математичката распределба M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 на x<0, а) f(x)= 0,01e -0,01x за x≥0. б) F(x)= 0 на x<0, 1-e -0,01x на x≥0. в) Ја наоѓаме саканата веројатност користејќи ја функцијата за распределба: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3. §
3.Закон за нормална дистрибуција Дефиниција:
Континуирана случајна променлива X има закон за нормална дистрибуција (закон на Гаус),
ако неговата густина на дистрибуција има форма: каде m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Се нарекува кривата на нормална дистрибуција нормална или Гаусова крива
(сл.7) Функцијата на распределба на случајна променлива X, распределена според нормалниот закон, се изразува преку Лапласовата функција Ф (x) според формулата: каде е Лапласовата функција. Коментар:
Функцијата Ф(x) е непарна (Ф(-х)=-Ф(х)), освен тоа, за x>5 можеме да претпоставиме Ф(х) ≈1/2. Графикот на дистрибутивната функција F(x) е прикажан на сл. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Веројатноста дека апсолутната вредност на отстапувањето е помала позитивен бројδ се пресметува со формулата: Конкретно, за m=0 важи следнава еднаквост: „Правило на три сигма“
Ако случајната променлива X има закон за нормална распределба со параметри m и σ, тогаш речиси е сигурно дека нејзината вредност лежи во интервалот (a-3σ; a+3σ), бидејќи https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) б) Да ја користиме формулата: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Од табелата со вредности на функции Ф(х) наоѓаме Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413. Значи, саканата веројатност: P(28 Задачи за самостојна работа
3.1.
Случајната променлива X е рамномерно распределена во интервалот (-3;5). Најдете: б) функција на дистрибуција F(x); в) нумерички карактеристики; г) веројатност P(4<х<6). 3.2.
Случајната променлива X е рамномерно распределена на сегментот. Најдете: а) густина на дистрибуција f(x); б) функција на дистрибуција F(x); в) нумерички карактеристики; г) веројатност P(3≤х≤6). 3.3.
На автопатот има автоматски семафор, на кој зеленото светло е вклучено 2 минути, жолтото 3 секунди, црвеното 30 секунди итн. Автомобил вози по автопатот во случаен момент. Најдете ја веројатноста дека автомобилот ќе помине на семафор без да застане. 3.4.
Возовите на метрото сообраќаат редовно во интервали од 2 минути. Патник влегува во платформата по случаен момент. Која е веројатноста дека патникот ќе мора да чека повеќе од 50 секунди за воз? Најдете го математичкото очекување на случајната променлива X - времето на чекање за возот. 3.5.
Најдете ја варијансата и стандардното отстапување на експоненцијалната распределба дадена со функцијата за распределба: F(x)= 0 на x<0, 1-8x за x≥0. 3.6.
Континуирана случајна променлива X е специфицирана со густината на распределбата на веројатноста: f(x)= 0 на x<0, 0,7 e-0,7x на x≥0. а) Наведете го законот за распределба на случајната променлива што се разгледува. б) Најдете ја функцијата за распределба F(X) и нумеричките карактеристики на случајната променлива X. 3.7.
Случајната променлива X се распределува според експоненцијалниот закон специфициран со густината на распределбата на веројатноста: f(x)= 0 на x<0, 0,4 e-0,4 x на x≥0. Најдете ја веројатноста дека како резултат на тестот X ќе земе вредност од интервалот (2,5;5). 3.8.
Континуирана случајна променлива X се распределува според експоненцијалниот закон специфициран со функцијата за распределба: F(x)= 0 на x<0, 1-0,6x на x≥0 Најдете ја веројатноста дека, како резултат на тестот, X ќе земе вредност од сегментот. 3.9.
Очекуваната вредност и стандардното отстапување на нормално распределената случајна променлива се 8 и 2, соодветно. а) густина на дистрибуција f(x); б) веројатноста дека како резултат на тестот X ќе земе вредност од интервалот (10;14). 3.10.
Случајната променлива X е нормално распределена со математичко очекување од 3,5 и варијанса од 0,04. Најдете: а) густина на дистрибуција f(x); б) веројатноста дека како резултат на тестот X ќе земе вредност од сегментот . 3.11.
Случајната променлива X е нормално распределена со M(X)=0 и D(X)=1. Кој од настаните: |X|≤0,6 или |X|≥0,6 е поверојатен? 3.12.
Случајната променлива X се распределува нормално со M(X)=0 и D(X)=1. Од кој интервал (-0,5;-0,1) или (1;2) е поверојатно да се земе вредност за време на еден тест? 3.13.
Тековната цена по акција може да се моделира со користење на законот за нормална дистрибуција со M(X)=10 ден. единици и σ (X)=0,3 ден. единици Најдете: а) веројатноста дека моменталната цена на акцијата ќе биде од 9,8 ден. единици до 10,4 дена единици; б) користејќи го „правилото три сигма“, пронајдете ги границите во кои ќе се наоѓа моменталната цена на акциите. 3.14.
Супстанцијата се мери без систематски грешки. Случајните грешки при мерење подлежат на нормалниот закон со просечен однос на квадрат σ=5g. Најдете ја веројатноста дека во четири независни експерименти нема да се појави грешка во три мерење во апсолутна вредност 3r. 3.15.
Случајната променлива X е нормално распределена со M(X)=12,6. Веројатноста случајната променлива да падне во интервалот (11,4;13,8) е 0,6826. Најдете ја стандардната девијација σ. 3.16.
Случајната променлива X се распределува нормално со M(X)=12 и D(X)=36. Најдете го интервалот во кој ќе падне случајната променлива X како резултат на тестот со веројатност од 0,9973. 3.17.
Делот произведен од автоматска машина се смета за неисправен ако отстапувањето X на неговиот контролиран параметар од номиналната вредност надминува модуло 2 мерни единици. Се претпоставува дека случајната променлива X е нормално распределена со M(X)=0 и σ(X)=0,7. Колкав процент на неисправни делови произведува машината? 3.18.
Параметарот X на делот е распределен нормално со математичко очекување 2 еднакво на номиналната вредност и стандардно отстапување од 0,014. Најдете ја веројатноста дека отстапувањето на X од номиналната вредност нема да надмине 1% од номиналната вредност. Одговори
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> б) 0 за x≤-3, F(x)= лево"> 3.10.
а) f(x)= , б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
а) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. X; значење Ф(5); веројатноста дека случајната променлива Xќе земе вредности од сегментот. Конструирај дистрибутивен полигон. Поставете го законот за распределба на случајна променлива Xво форма на табела. Најдете ја функцијата за распределба на случајна променлива X. Конструирај графикони на функции и . Пресметајте го математичкото очекување, варијансата, режимот и медијаната на случајна променлива X. Примерок А: 6 9 7 6 4 4 Примерок Б: 55 72 54 53 64 53 59 48 42 46 50 63 71 56 54 59 54 44 50 43 51 52 60 43 50 70 68 59 53 58 62 49 59 51 52 47 57 71 60 46 55 58 72 47 60 65 63 63 58 56 55 51 64 54 54 63 56 44 73 41 68 54 48 52 52 50 55 49 71 67 58 46 50 51 72 63 64 48 47 55 Опција 17. Пресметајте го неговото математичко очекување и варијанса. Најдете ја функцијата за распределба на случајна променлива X. Конструирај графикони на функции и . Пресметајте го математичкото очекување, варијансата, режимот и медијаната на случајната променлива X. · примерок просек; · варијанса на примерокот; Режим и медијана; Примерок А: 0 0 2 2 1 4 · примерок просек; · варијанса на примерокот; стандардно отстапување на примерокот; · режим и медијана; Примерок Б: 166 154 168 169 178 182 169 159 161 150 149 173 173 156 164 169 157 148 169 149 157 171 154 152 164 157 177 155 167 169 175 166 167 150 156 162 170 167 161 158 168 164 170 172 173 157 157 162 156 150 154 163 143 170 170 168 151 174 155 163 166 173 162 182 166 163 170 173 159 149 172 176 Опција 18. Пресметајте го неговото математичко очекување и варијанса. Најдете ја функцијата за распределба на случајната променлива X. Нацртајте графикони на функциите и . Пресметајте го математичкото очекување, варијансата, режимот и медијаната на случајна променлива X. · примерок просек; · варијанса на примерокот; стандардно отстапување на примерокот; · режим и медијана; Примерок А: 4 7 6 3 3 4 · примерок просек; · варијанса на примерокот; стандардно отстапување на примерокот; · режим и медијана; Примерок Б: 152 161 141 155 171 160 150 157 154 164 138 172 155 152 177 160 168 157 115 128 154 149 150 141 172 154 144 177 151 128 150 147 143 164 156 145 156 170 171 142 148 153 152 170 142 153 162 128 150 146 155 154 163 142 171 138 128 158 140 160 144 150 162 151 163 157 177 127 141 160 160 142 159 147 142 122 155 144 170 177 Опција 19. 1. На локацијата работат 16 жени и 5 мажи. 3 лица беа избрани по случаен избор со помош на нивните персонални броеви. Најдете ја веројатноста дека сите избрани луѓе ќе бидат мажи. 2. Се фрлаат четири монети. Најдете ја веројатноста дека само две монети ќе имаат „грб“. 3. Зборот „ПСИХОЛОГИЈА“ е составен од картички, од кои секоја има напишана по една буква. Картите се мешаат и се вадат една по една без враќање. Најдете ја веројатноста извадените букви да формираат збор: а) ПСИХОЛОГИЈА; б) ПЕРСОНАЛ. 4. Урната содржи 6 црни и 7 бели топчиња. По случаен избор се извлекуваат 5 топчиња. Најдете ја веројатноста дека меѓу нив има: а. 3 бели топчиња; б. помалку од 3 бели топчиња; в. барем една бела топка. 5. Веројатност да се случи некој настан Аво една проба е еднаква на 0,5. Најдете ги веројатностите на следните настани: а. настан Асе појавува 3 пати во серија од 5 независни испитувања; б. настан Аќе се појави најмалку 30 и не повеќе од 40 пати во серија од 50 испитувања. 6. Има 100 машини со иста моќ, кои работат независно една од друга во ист режим, во кои погонот им е вклучен 0,8 работни часа. Која е веројатноста дека во секој даден момент во времето ќе бидат вклучени од 70 до 86 машини? 7. Првата урна содржи 4 бели и 7 црни топки, а втората урна содржи 8 бели и 3 црни топки. Од првата урна по случаен избор се извлекуваат 4 топчиња, а од втората 1 топка. Најдете ја веројатноста дека меѓу извлечените топчиња има само 4 црни топчиња. 8. Продажниот салон за автомобили дневно прима автомобили од три марки во томови: „Москвич“ – 40%; „Ока“ - 20%; „Волга“ - 40% од сите увезени автомобили. Кај автомобилите на „Москвич“, 0,5% имаат уред за заштита од кражба, Ока – 0,01%, Волга – 0,1%. Најдете ја веројатноста дека автомобилот однесен на преглед има уред за заштита од кражба. 9. Броеви и се избираат по случаен избор на сегментот. Најдете ја веројатноста дека овие бројки ги задоволуваат неравенките. 10. Даден е законот за распределба на случајна променлива X: Најдете ја функцијата за распределба на случајна променлива X; значење Ф(2); веројатноста дека случајната променлива Xќе зема вредности од интервалот. Конструирај дистрибутивен полигон. Како што е познато, случајна променлива
се нарекува променлива количина која може да заземе одредени вредности во зависност од случајот. Случајните променливи се означуваат со големи букви од латинската азбука (X, Y, Z), а нивните вредности се означуваат со соодветни мали букви (x, y, z). Случајните променливи се делат на дисконтинуирани (дискретни) и континуирани. Дискретна случајна променлива
е случајна променлива која зема само конечно или бесконечно (броиво) множество вредности со одредени ненула веројатности. Закон за распределба на дискретна случајна променлива
е функција која ги поврзува вредностите на случајна променлива со нивните соодветни веројатности. Законот за распределба може да се специфицира на еден од следниве начини. 1
. Законот за распределба може да се даде преку табелата:
каде λ>0, k = 0, 1, 2, ... . V)со користење на функција на дистрибуција F(x)
, што ја одредува за секоја вредност x веројатноста случајната променлива X да земе вредност помала од x, т.е. F(x) = P(X< x). Својства на функцијата F(x) 3
. Законот за дистрибуција може да се специфицира графички
– дистрибутивен полигон (многуаголник) (види задача 3). Забележете дека за да се решат некои проблеми не е неопходно да се знае законот за распределба. Во некои случаи, доволно е да се знае еден или неколку броеви кои ги одразуваат најважните карактеристики на законот за распределба. Ова може да биде број што го има значењето на „просечната вредност“ на случајна променлива или број што ја покажува просечната големина на отстапувањето на случајна променлива од нејзината средна вредност. Броевите од овој вид се нарекуваат нумерички карактеристики на случајна променлива. Основни нумерички карактеристики на дискретна случајна променлива
: Издадени се 1000 лозови: 5 од нив ќе добијат 500 рубли, 10 ќе добијат 100 рубли, 20 ќе добијат 50 рубли, 50 ќе добијат 10 рубли. Одреди го законот за распределба на веројатност на случајната променлива X - добивки по тикет. Решение.
Според условите на проблемот, можни се следните вредности на случајната променлива X: 0, 10, 50, 100 и 500. Бројот на тикети без добивка е 1000 – (5+10+20+50) = 915, потоа P(X=0) = 915/1000 = 0,915. Слично, ги наоѓаме сите други веројатности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Дозволете ни да го претставиме добиениот закон во форма на табела: Да го најдеме математичкото очекување на вредноста X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5 Уредот се состои од три независни елементи кои работат. Веројатноста за неуспех на секој елемент во еден експеримент е 0,1. Направете закон за дистрибуција за бројот на неуспешни елементи во еден експеримент, конструирајте дистрибутивен полигон. Најдете ја функцијата за распределба F(x) и нацртајте ја. Најдете ги математичкото очекување, варијансата и стандардната девијација на дискретна случајна променлива. Решение.
1.
Дискретната случајна променлива X = (бројот на неуспешни елементи во еден експеримент) ги има следните можни вредности: x 1 = 0 (ниту еден од елементите на уредот не успеа), x 2 = 1 (еден елемент не успеа), x 3 = 2 ( два елементи не успеаја ) и x 4 =3 (три елементи не успеаја). Дефектите на елементите се независни едни од други, веројатноста за дефект на секој елемент е еднаква, затоа е применлива Формулата на Бернули
. Имајќи предвид дека според условот n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, ги одредуваме веројатностите на вредностите: Така, саканиот закон за биномна распределба на X ја има формата: Ги исцртуваме можните вредности на x i долж оската на апсцисата и соодветните веројатности p i долж оската на ординатите. Да ги конструираме точките M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Со поврзување на овие точки со праволиниски отсечки, го добиваме саканиот дистрибутивен полигон. 3.
Да ја најдеме функцијата за распределба F(x) = Р(Х График на функцијата F(x) 4.
За биномна дистрибуција X: Во примената на теоријата на веројатност, квантитативните карактеристики на експериментот се од примарна важност. Количината што може квантитативно да се определи и која како резултат на експеримент може да добие различни вредности во зависност од случајот се нарекува случајна променлива. Примери на случајни променливи: 1. Колку пати се појавува парен број поени во десет фрлања на матрицата. 2. Бројот на удари по целта од стрелец кој истрелува низа истрели. 3. Број на фрагменти од школка што експлодира. Во секој од дадените примери, случајната променлива може да земе само изолирани вредности, односно вредности што може да се нумерираат со помош на природна серија на броеви. Таквата случајна променлива, чиишто можни вредности се поединечни изолирани броеви, кои оваа променлива ги зема со одредени веројатности, се нарекува дискретни. Бројот на можни вредности на дискретна случајна променлива може да биде конечен или бесконечен (броен). Закон за дистрибуцијаДискретна случајна променлива е список на нејзините можни вредности и нивните соодветни веројатности. Законот за дистрибуција на дискретна случајна променлива може да се специфицира во форма на табела (серија на распределба на веројатност), аналитички и графички (полигон на распределба на веројатност). При спроведување на експеримент, неопходно е да се процени вредноста што се проучува „во просек“. Улогата на просечната вредност на случајната променлива ја игра нумеричката карактеристика наречена математичко очекување,што се одредува со формулата Каде x 1 , x 2
,.. , x n– вредности на случајни променливи X, А стр 1 ,стр 2 ,
... , стр n- веројатностите на овие вредности (забележете дека стр 1
+
стр 2
+…+
стр n =
1). Пример. Се изведува пукање кон целта (сл. 11). Удар во I дава три поени, во II – два поени, во III – еден поен. Бројот на поени постигнати во еден удар од еден стрелец има закон за распределба на формата За да се спореди вештината на стрелците, доволно е да се споредат просечните вредности на постигнатите поени, т.е. математички очекувања М(X) И М(Y):
М(X)
=
1
0,4
+ 2
0,2
+ 3
0,4
= 2,0, М(Y)
=
1
0,2
+ 2
0,5
+ 3
0,3
= 2,1. Вториот стрелец во просек дава малку поголем број на поени, т.е. ќе даде подобри резултати кога се пука повеќе пати. Да ги забележиме својствата на математичкото очекување: 1. Математичкото очекување на константна вредност е еднакво на самата константа: М(В)
= В. 2. Математичкото очекување од збирот на случајни променливи е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите: М =(X 1 +
X 2 +…+
X n)=
М(X 1)+
М(X 2)+…+
М(X n). 3. Математичкото очекување на производот на меѓусебно независни случајни променливи е еднакво на производот од математичките очекувања на факторите М(X 1 X 2 …
X n)
=
М(X 1)М(X 2)…
М(X n). 4. Математичката негација на биномната распределба е еднаква на производот од бројот на испитувања и веројатноста да се случи настан во едно испитување (задача 4.6). М(X)
= пр. Да се процени како случајната променлива „во просек“ отстапува од нејзините математички очекувања, т.е. Со цел да се карактеризира ширењето на вредностите на случајна променлива во теоријата на веројатност, се користи концептот на дисперзија. Варијансаслучајна променлива Xсе нарекува математичко очекување на квадратното отстапување: Д(X)
=
М[(X
-
М(X)) 2 ]. Дисперзијата е нумеричка карактеристика на дисперзијата на случајна променлива. Од дефиницијата е јасно дека колку е помала дисперзијата на случајната променлива, толку поблиску се наоѓаат нејзините можни вредности околу математичкото очекување, односно, толку подобро вредностите на случајната променлива се карактеризираат со нејзиното математичко очекување. . Од дефиницијата произлегува дека варијансата може да се пресмета со помош на формулата Удобно е да се пресмета варијансата користејќи друга формула: Д(X)
=
М(X 2)
- (М(X)) 2 .
Дисперзијата ги има следниве својства: 1. Варијансата на константата е нула: Д(В)
=
0.
2. Константниот фактор може да се извади од знакот на дисперзија со негово квадратирање: Д(CX)
=
В 2 Д(X). 3. Варијансата на збирот на независни случајни променливи е еднаква на збирот на варијансата на поимите: Д(X 1 +
X 2 +
X 3 +…+
X n)=
Д(X 1)+
Д(X 2)+…+
Д(X n) 4. Варијансата на биномната распределба е еднаква на производот од бројот на испитувања и веројатноста за појава и непојавување на настан во едно испитување: Д(X)
= npq. Во теоријата на веројатност, често се користи нумеричка карактеристика еднаква на квадратниот корен на варијансата на случајна променлива. Оваа нумеричка карактеристика се нарекува средно квадратно отстапување и се означува со симболот Ја карактеризира приближната големина на отстапувањето на случајната променлива од нејзината просечна вредност и ја има истата димензија како и случајната променлива. 4.1.
Стрелецот испука три истрели во целта. Веројатноста да се погоди целта со секој истрел е 0,3. Конструирај дистрибутивна серија за бројот на погодоци. Решение. Бројот на погодоци е дискретна случајна променлива X. Секоја вредност x n
случајна променлива Xодговара на одредена веројатност П n . Законот за распределба на дискретна случајна променлива во овој случај може да се специфицира во близина на дистрибуција. Во овој проблем Xзема вредности 0, 1, 2, 3. Според формулата на Бернули Ајде да ги најдеме веројатностите на можните вредности на случајната променлива: Р 3 (0)
= (0,7) 3 =
0,343, Р 3 (1)
= Р 3 (2)
= Р 3 (3)
= (0,3) 3 =
0,027. Со подредување на вредностите на случајната променлива Xсо зголемен редослед, ја добиваме серијата на дистрибуција: X n Имајте на ум дека износот значи веројатност дека случајната променлива Xќе земе барем една вредност од можните, и затоа овој настан е сигурен 4.2
.Во урната има четири топчиња со броеви од 1 до 4. Се вадат две топки. Случајна вредност X– збирот на броевите на топчињата. Конструирај дистрибутивна серија на случајна променлива X. Решение.Вредности на случајни променливи Xсе 3, 4, 5, 6, 7. Да ги најдеме соодветните веројатности. Вредност на случајна променлива 3 Xможе да се прифати во единствениот случај кога една од избраните топки го има бројот 1, а другата 2. Бројот на можни исходи од тестот е еднаков на бројот на комбинации од четири (бројот на можни парови на топки) од две. Користејќи ја класичната формула за веројатност ја добиваме Исто така, Р(X= 4) =Р(X= 6) =Р(X= 7) = 1/6. Збирот 5 може да се појави во два случаи: 1 + 4 и 2 + 3, така Xима форма: Најдете ја функцијата за дистрибуција Ф(x) случајна променлива Xи заговор. Пресметајте за Xнеговото математичко очекување и варијанса. Решение. Законот за распределба на случајна променлива може да се специфицира со функцијата за распределба Ф(x)
=Стр(X
x).
Дистрибутивна функција Ф(x) е неопаѓачка, лево-континуирана функција дефинирана на целата бројна права, додека Ф
(-
)=
0,Ф
(+
)=
1. За дискретна случајна променлива, оваа функција се изразува со формулата Затоа во овој случај График на функција на дистрибуција Ф(x) е скалеста линија (сл. 12) Ф(x) Очекувана вредностМ(X) е пондериран аритметички просек на вредностите X 1 , Х 2 ,……X nслучајна променлива Xсо вага ρ
1,
ρ
2, ……
, ρ
n
и се нарекува средна вредност на случајната променлива X. Според формулата М(X)= x 1
ρ
1 + x 2
ρ
2 +……+ x n
ρ
n М(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72. Дисперзијаго карактеризира степенот на дисперзија на вредностите на случајната променлива од нејзината просечна вредност и се означува Д(X): Д(X)= М[(HM(X)) 2 ]= М(X 2)
–[М(X)] 2 . За дискретна случајна променлива, варијансата има форма или може да се пресмета со формулата Заменувајќи ги нумеричките податоци на проблемот во формулата, добиваме: М(X 2)
=
3 2
∙ 0,14+5 2
∙ 0,2+7 2
∙ 0,49+11 2
∙ 0,17 = 50,84 Д(X)
= 50,84-6,72 2
= 5,6816. 4.4.
Две коцки се фрлаат двапати во исто време. Напишете го биномниот закон за распределба на дискретна случајна променлива X- бројот на појавувања на парен вкупен број поени на две коцки. Решение. Дозволете ни да воведеме случаен настан А= (две коцки со едно фрлање резултираа со вкупно парен број на поени). Користејќи ја класичната дефиниција на веројатноста наоѓаме Р(А)=
Каде n
- бројот на можни исходи од тестот е пронајден според правилото множење: n
= 6∙6 =36, м
-
број на луѓе кои го фаворизираат настанот Аисходи - еднакви м= 3∙6=18. Така, веројатноста за успех во едно испитување е ρ
= П(А)=
1/2.
Проблемот е решен со помош на тест шема на Бернули. Еден предизвик овде би бил да фрлате две коцки еднаш. Број на такви тестови n
= 2. Случајна променлива Xзема вредности 0, 1, 2 со веројатности Р 2 (0)
= Потребната биномна дистрибуција на случајна променлива Xможе да се претстави како дистрибутивна серија: X n ρ
n 4.5
. Во серија од шест делови има четири стандардни. Три дела беа избрани по случаен избор. Конструирај распределба на веројатност на дискретна случајна променлива X– бројот на стандардни делови меѓу избраните и да се најде неговото математичко очекување. Решение.Вредности на случајни променливи Xсе броевите 0,1,2,3. Јасно е дека Р(X=0)=0, бидејќи има само два нестандардни делови. Р(X=1) = Р(X= 2) = Р(X=3) = Закон за распределба на случајна променлива XДа го претставиме во форма на дистрибутивна серија: X n ρ
n Очекувана вредност М(X)=1
∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2. 4.6
. Докажете дека математичкото очекување на дискретна случајна променлива X- број на појави на настанот АВ nнезависни испитувања, во секое од кои веројатноста да се случи некој настан е еднаква на ρ
– еднаков на производот од бројот на испитувања со веројатноста за појава на настан во едно испитување, односно да се докаже дека математичкото очекување на биномната распределба М(X)
=n .
ρ
, и дисперзија Д(X)
=н.п.
. Решение.Случајна вредност Xможе да земе вредности 0, 1, 2..., n. Веројатност Р(X= k) се наоѓа со помош на формулата на Бернули: Р(X=к)= Р n(к)= Серии на дистрибуција на случајна променлива Xима форма: X n ρ
n q n Каде q=
1-
ρ
. За математичкото очекување го имаме изразот: М(X)= Во случај на еден тест, односно со n= 1 за случајна променлива X 1 – број на појави на настанот А- серијата на дистрибуција има форма: X n ρ
n М(X 1)=
0∙q +
1
∙ стр
=
стр Д(X 1)
=
стр
–
стр 2
=
стр(1-
стр)
=
pq. Ако X k – број на појави на настанот Аво кој тест, тогаш Р(X До)=
ρ
И X=X 1 +X 2 +….+X n . Од тука добиваме М(X)= М(X 1
)+ М(X 2)+
… + М(X n)=
nρ,
Д(X)=Д(X 1)+D(X 2)+
...
+D(X n)=npq. 4.7.
Одделот за контрола на квалитетот ги проверува производите за стандардност. Веројатноста дека производот е стандарден е 0,9. Секоја серија содржи 5 производи. Најдете го математичкото очекување на дискретна случајна променлива X- бројот на серии, од кои секоја ќе содржи 4 стандардни производи - ако 50 серии се предмет на проверка. Решение. Веројатноста дека ќе има 4 стандардни производи во секоја случајно избрана серија е константна; да го означиме со ρ
.Потоа математичкото очекување на случајната променлива Xеднакви М(X)=
50∙ρ.
Ајде да ја најдеме веројатноста ρ
според формулата на Бернули: ρ=P 5 (4)= М(X)=
50∙0,32=16. 4.8
. Се фрлаат три коцки. Најдете го математичкото очекување на збирот на паднатите поени. Решение.Можете да ја најдете распределбата на случајна променлива X- збирот на паднатите поени и потоа неговото математичко очекување. Сепак, овој пат е премногу тежок. Полесно е да се користи друга техника, која претставува случајна променлива X, чие математичко очекување треба да се пресмета, во форма на збир од неколку поедноставни случајни променливи, чие математичко очекување е полесно да се пресмета. Ако случајната променлива X јасе бројот на поени поени јас- ти коски ( јас= 1, 2, 3), потоа збирот на поени Xќе се изрази во форма X = X 1 + X 2 + X 3 . За да се пресмета математичкото очекување на првичната случајна променлива, останува само да се користи својството на математичко очекување М(X 1
+ X 2 + X 3
)= М(X 1
)+ М(X 2)+ М(X 3
). Очигледно е дека Р(X јас = К)=
1/6, ДО=
1, 2, 3, 4, 5, 6,
јас=
1,
2, 3. Затоа, математичкото очекување на случајната променлива X јасизгледа како М(X јас)
=
1/6∙1
+ 1/6∙2
+1/6∙3
+ 1/6∙4
+ 1/6∙5
+ 1/6∙6
= 7/2, М(X)
=
3∙7/2 = 10,5.
4.9.
Определете го математичкото очекување на бројот на уреди што не успеале за време на тестирањето ако: а) веројатноста за неуспех за сите уреди е иста Р, а бројот на уреди што се тестираат е еднаков на n; б) веројатност за неуспех за јас
–
на уредот е еднаков на стр јас
,
јас=
1,
2, … , n. Решение.Нека случајната променлива Xе бројот на неуспешни уреди, тогаш X = X 1 + X 2 + … + X n ,
X јас
=
Јасно е дека Р(X јас =
1)=
Р јас ,
Р(X јас =
0)=
1–
Р јас ,i= 1,
2,
…
,n. М(X јас)=
1∙Р јас +
0∙(1-Р јас)=Стр јас , М(X)= М(X 1)+ М(X 2)+ … +М(X n)=Стр 1 +Стр 2 + … + П n .
Во случајот „а“ веројатноста за дефект на уредот е иста, т.е Р јас =стр,i= 1,
2, …
,n. М(X)=
н.п.. Овој одговор би можел да се добие веднаш ако забележиме дека случајната променлива Xима биномна дистрибуција со параметри ( n,
стр).
4.10.
Две коцки се фрлаат истовремено двапати. Напишете го биномниот закон за распределба на дискретна случајна променлива X -бројот на ролни на парен број поени на две коцки. Решение. Нека А= (превртување парен број на првата матрица), Б =(префрлање парен број на втората коцка). Добивањето парен број на двете коцки во едно фрлање се изразува со производот АБ.Потоа Р
(АБ)
= Р(А)∙Р(ВО)
=
Резултатот од второто фрлање на две коцки не зависи од првата, така што формулата на Бернули се применува кога n
=
2,стр = 1/4,
q
=
1– p = 3/4.
Случајна вредност Xможе да земе вредности 0, 1, 2 ,
чија веројатност може да се најде со формулата на Бернули: Р(X= 0)= П 2
(0)
=
q
2
= 9/16, Р(X= 1)= П 2
(1)= В Р(X= 2)= П 2
(2)= В Серии на дистрибуција на случајна променлива X: 4.11.
Уредот се состои од голем број елементи кои независно работат со иста многу мала веројатност за дефект на секој елемент со текот на времето т. Најдете го просечниот број на одбивања со текот на времето телементи, ако веројатноста барем еден елемент да не успее во ова време е 0,98. Решение.
Број на луѓе кои одбиле со текот на времето телементи – случајна променлива X, кој се распределува според законот на Поасон, бидејќи бројот на елементи е голем, елементите работат независно и веројатноста за дефект на секој елемент е мала. Просечен број на појави на настан во nтестови еднакви М(X)
=
н.п..
Од веројатноста за неуспех ДОелементи од nизразено со формулата Р n
(ДО)
каде што
=
н.п., тогаш веројатноста дека ниту еден елемент нема да пропадне во текот на времето т
доаѓаме до К = 0: Р n
(0)= д - . Затоа, веројатноста за спротивен настан е во времето т
барем еден елемент не успее - еднаков на 1 - д -
. Според условите на проблемот, оваа веројатност е 0,98. Од равенството. 1
- д -
= 0,98, д -
= 1 – 0,98 =
0,02, од тука
=
- н
0,02
4. Така, со време тработа на уредот, во просек 4 елементи ќе пропаднат. 4.12
. Коцките се тркалаат додека не се појави „два“. Најдете го просечниот број на фрлања. Решение. Ајде да воведеме случајна променлива X– бројот на тестови кои мора да се направат додека не се случи настанот од нас. Веројатноста дека X= 1 е еднаква на веројатноста при едно фрлање на коцката да се појават „две“, т.е. Р(X= 1)
= 1/6. Настан X= 2 значи дека на првиот тест „двајцата“ не се појавија, но на вториот се појавија. Веројатност за настан X= 2 се наоѓа според правилото за множење на веројатностите на независни настани: Р(X= 2)
= (5/6)∙(1/6) Исто така, Р(X= 3)
= (5/6) 2 ∙1/6, Р(X= 4)
= (5/6) 2 ∙1/6 итн. Добиваме серија распределби на веројатност: (5/6) До
∙1/6 Просечниот број на фрлања (проби) е математичко очекување М(X)
=
1∙1/6 +
2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6
+ … + ДО
(5/6) ДО -1 ∙1/6
+ … = 1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2
+ … + ДО
(5/6) ДО -1
+ …) Ајде да го најдеме збирот на серијата: Оттука, М(X)
=
(1/6) (1/ (1 –
5/6) 2
= 6. Така, треба да направите во просек 6 фрлања на коцките додека не се појави „два“. 4.13.
Независни тестови се вршат со иста веројатност за појава на настанот Аво секој тест. Најдете ја веројатноста да се случи некој настан А, ако варијансата на бројот на појави на настан во три независни испитувања е 0,63 .
Решение.Бројот на појави на настан во три обиди е случајна променлива X, распоредени според биномниот закон. Варијансата на бројот на појави на настан во независни испитувања (со иста веројатност за појава на настанот во секое испитување) е еднаква на производот од бројот на испитувања според веројатностите за појава и непојавување на настанот (проблем 4.6) Д(X)
=
npq.
По услов n
=
3,
Д(X)
=
0,63, за да можеш Рнајдете од равенката 0,63
= 3∙Р(1-Р), кој има две решенија Р 1
=
0,7 и Р 2
=
0,3. ЗАКОН ЗА РАСПРЕДЕЛБА И КАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЈНИ ПРОМЕНЛИВИ Случајни променливи, нивна класификација и методи на опис. Случајна количина е количина која како резултат на експеримент може да добие една или друга вредност, но која не е однапред позната. Според тоа, за случајна променлива, можете да наведете само вредности, од кои едната дефинитивно ќе ја земе како резултат на експериментот. Во продолжение, овие вредности ќе ги наречеме можни вредности на случајната променлива. Бидејќи случајната променлива квантитативно го карактеризира случајниот резултат на експериментот, може да се смета како квантитативна карактеристика на случаен настан. Случајните променливи обично се означуваат со големи букви од латинската азбука, на пример, X..Y..Z и нивните можни вредности со соодветни мали букви. Постојат три типа на случајни променливи: Дискретни; Континуирано; Измешано. Дискретние случајна променлива чиј број на можни вредности формира броиво множество. За возврат, множеството чии елементи можат да се нумерираат се нарекува броиво. Зборот „дискретно“ доаѓа од латинскиот discretus, што значи „неконтинуирано, составено од посебни делови“. Пример 1. Дискретна случајна променлива е бројот на неисправни делови X во серија од nпроизводи. Навистина, можните вредности на оваа случајна променлива се серија од цели броеви од 0 до n. Пример 2. Дискретна случајна променлива е бројот на истрели пред првиот удар во целта. Овде, како и во Пример 1, можните вредности може да се нумерираат, иако во ограничувачкиот случај можната вредност е бесконечно голем број. Континуираное случајна променлива чиишто можни вредности континуирано пополнуваат одреден интервал од нумеричката оска, понекогаш наречен интервал на постоење на оваа случајна променлива. Така, на кој било конечен интервал на постоење, бројот на можни вредности на континуирана случајна променлива е бесконечно голем. Пример 3. Континуирана случајна променлива е месечната потрошувачка на електрична енергија на едно претпријатие. Пример 4. Континуирана случајна променлива е грешката во мерењето на висината со помош на висиномер. Нека се знае од принципот на работа на височината дека грешката лежи во опсегот од 0 до 2 m. Затоа, интервалот на постоење на оваа случајна променлива е интервал од 0 до 2 m. Закон за распределба на случајни променливи. Случајна променлива се смета за целосно специфицирана ако нејзините можни вредности се наведени на нумеричката оска и е воспоставен законот за распределба. Закон за распределба на случајна променлива е врска која воспоставува врска помеѓу можните вредности на случајна променлива и соодветните веројатности. Случајната променлива се вели дека е распределена според даден закон или предмет на даден закон за распределба. Како закони за дистрибуција се користат голем број на веројатности, функција на дистрибуција, густина на веројатност и карактеристична функција. Законот за распределба дава целосен веројатен опис на случајна променлива. Според законот за распределба, може да се процени пред експериментот кои можни вредности на случајна променлива ќе се појавуваат почесто, а кои поретко. За дискретна случајна променлива, законот за распределба може да се определи во форма на табела, аналитички (во форма на формула) и графички. Наједноставната форма за одредување на законот за распределба на дискретна случајна променлива е табела (матрица), која ги наведува во растечки редослед сите можни вредности на случајната променлива и нивните соодветни веројатности, т.е. Таквата табела се нарекува дистрибутивна серија на дискретна случајна променлива. 1 Настаните X 1, X 2,..., X n, што се состојат во фактот дека како резултат на тестот, случајната променлива X ќе ги земе вредностите x 1, x 2,... x n, соодветно, се неконзистентни и единствени можни (бидејќи во табелата се наведени сите можни вредности на случајна променлива), т.е. формираат целосна група. Според тоа, збирот на нивните веројатности е еднаков на 1. Така, за која било дискретна случајна променлива (Оваа единица некако се дистрибуира меѓу вредностите на случајната променлива, па оттука и терминот „распределба“). Серијата на дистрибуција може да се прикаже графички ако вредностите на случајната променлива се нацртани долж оската на апсцисата, а нивните соодветни веројатности се нацртани по должината на оската на ординатите. Поврзувањето на добиените точки формира скршена линија наречена многуаголник или многуаголник на распределбата на веројатноста (сл. 1). ПримерНа лотаријата е вклучено: автомобил од 5.000 ден. единици, 4 телевизори по цена од 250 ден. единици, 5 видео рекордери од 200 ден. единици За 7 дена се продаваат вкупно 1000 билети. единици Подгответе закон за распределба на нето добивките добиени од учесник на лотарија кој купил еден тикет. Решение. Можните вредности на случајната променлива X - нето добивките по тикет - се еднакви на 0-7 = -7 пари. единици (ако тикетот не добил), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. единици (ако тикетот има добивки од видеорекордер, ТВ или автомобил, соодветно). Со оглед на тоа што од 1000 тикети бројот на недобитници е 990, а посочените добивки се 5, 4 и 1, соодветно, и користејќи ја класичната дефиниција за веројатност, добиваме.
1.2.
p4=0,1; 0 на x≤-1,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 за x≤a,
,
Нормалната крива е симетрична во однос на правата x=m, има максимум на x=a, еднаква на .
,
X
–28
–20
–12
–4
стр
0,22
0,44
0,17
0,1
0,07
X
стр
0,1
0,2
0,3
0,4
За биномна распределба M(X)=np, за Поасонова распределба M(X)=λ
За биномна распределба D(X)=npq, за Поасонова распределба D(X)=λПримери за решавање проблеми на тема „Закон за распределба на дискретна случајна променлива“
Задача 1.
Задача 3.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Проверете: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
за 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
за 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
за 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
за x > 3 ќе има F(x) = 1, бидејќи настанот е сигурен. 
- математичко очекување M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- варијанса D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- стандардна девијација σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
.
.
,
0,3(0,7) 2
= 0,441,
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
.
.
.
,
,Р 2 (1)
=
∙
,Р 2 (2)
=
=1/5,
= 3/5,
= 1/5.
ρ
До
(1-ρ
) n-До
ρq n- 1
ρq n- 2
ρ
n
ρq n -
1
+2
ρ
2
q n -
2
+…+.n
ρ
n
= 0,94∙0,1=0,32.
.
,Р∙q
=
6/16,
,
Р 2
=
1/16.
,
ДОе
ДО -1
= (
е ДО)
е
.
Се вчитува...