Диференцијални равенки на движење. Диференцијални равенки на движење на материјална точка Вовед во динамика. Основни одредби

ДИНАМИКА

Електронски учебник по дисциплина: „Теоретска механика“

за студенти форма за кореспонденцијаобука

Во согласност со Федералниот образовен стандард

(трета генерација)

Сидоров В.Н., доктор по технички науки, професор

Јарославскиот државен технички универзитет

Јарослав, 2016 година

Вовед………………………………………………………………………………

Динамика…………………………………………………………………..

1.Вовед во динамика. Основни одредби ………………………………

1.1.Основни поими и дефиниции……………………………………

1.2. Њутнови закони и проблеми на динамиката………………………………………

1.3.Главни видови сили……………………………………………… ...........

Силата на гравитација……………………………………………………………………

Гравитација ………………………………………………………..

Сила на триење……………………………………………………………

Еластична сила………………………………………………………..

1.4.Диференцијални равенкидвижења…………………………..

Диференцијални равенки на движење на точка…………………..

Диференцијални равенки на механичко движење

системи………………………………………………………….

2. Општи теореми на динамиката…………………………. …………………………

2.1.Теорема за движењето на центарот на масата ………………….. …………………

2.2.Теорема за промена на моментумот…………………………

2.3.Теорема за промена на аголниот моментум…………

Моментна теорема……………………………………………………………………

Кинетички момент на круто тело………………………………….

Аксијален момент на инерција на круто тело ………………………………..

Теорема Хајгенс – Штајнер – Ојлер…………………………..

Равенка на динамика на ротационо движење на круто тело...

2.4.Теорема за промената на кинетичката енергија……………………..

Теорема за промена на кинетичката енергија на материјалот

поени………………………………………………………………….

Теорема за промената на кинетичката енергија на механичката

системи…………………………………………………………

Формули за пресметување на кинетичката енергија на цврсто тело

во различни случаи на движење…………………………………………………………

Примери за пресметување на работата на силите…………………………………….

2.5 Закон за зачувување на механичката енергија…………………………….

Вовед

„Кој не е запознаен со законите на механиката

тој не може да ја спознае природата“

Галилео Галилеј

Важноста на механиката, нејзината значајна улога во подобрувањето на производството, зголемувањето на неговата ефикасност, забрзувањето на научниот и техничкиот процес и воведувањето научни достигнувања, зголемувањето на продуктивноста на трудот и подобрувањето на квалитетот на производите, за жал, не е јасно разбрана од сите раководители на министерства и ресори. , повисоко образовните институции, како и што претставува механиката на нашите денови /1/.По правило, тоа се оценува според содржината на теоретската механика, изучувана во сите високотехнички образовни институции.

Студентите треба да знаат колку е важна теоретската механика, како една од основните инженерски дисциплини на високото образование, научната основа на најважните делови модерна технологија, еден вид мост што ги поврзува математиката и физиката со применетите науки, со идна професија. На часовите на теоретска механикаЗа прв пат, студентите се учат на системско размислување и способност да поставуваат и решаваат практични проблеми. Решете ги до крај, до нумеричкиот резултат. Научете да анализирате решение, воспоставете ги границите на неговата применливост и барањето за точноста на изворните податоци.

Подеднакво е важно студентите да знаат дека теоретската механика е само воведен, иако апсолутно неопходен, дел од колосалната градба на модерната механика во широка смисла на оваа фундаментална наука. Дека ќе се развива и во други гранки на механиката: јачина на материјали, теорија на плочи и школки, теорија на вибрации, регулација и стабилност, кинематика и динамика на машини и механизми, механика на течности и гасови, хемиска механика.

Достигнувањата во сите делови на машинството и изработката на инструменти, градежната индустрија и хидрауличното инженерство, ископувањето и преработката на руда, јаглен, нафта и гас, железнички и патен транспорт, бродоградба, авијација и вселенска технологија се засноваат на длабоко разбирање на законите на механика.

Учебникот е наменет за студенти по машинско инженерство, авто-машински специјалности на кореспондентни курсеви на технички универзитет според скратена програма за курсеви.

Значи, неколку дефиниции.

Теоретска механикае наука која ги проучува општите закони за механичко движење и рамнотежа на материјалните предмети и добиените механички интеракции помеѓу материјалните предмети.

Под механичко движење на материјален предметразбере промена на неговата положба во однос на другите материјални предмети што се јавува со текот на времето.

Под механичка интеракцијаимплицираат такви дејства на телата едно врз друго, при што се менуваат движењата на овие тела, или тие самите се деформираат (го менуваат својот облик).

Теоретската механика се состои од три дела: статика, кинематика и динамика.

ДИНАМИКА

Вовед во динамика. Основни одредби

Основни поими и дефиниции

Да ја формулираме уште еднаш во малку поинаква форма дефиницијата за динамиката како дел од механиката.

Динамика – гранка на механиката која го проучува движењето на материјалните предмети, земајќи ги предвид силите што дејствуваат на нив.

Типично, проучувањето на динамиката започнува со учење динамика на материјална точкаа потоа продолжи со учење динамика на механички систем.

Поради сличноста на формулациите на многу теореми и закони на овие делови од динамиката, со цел да се избегне непотребно дуплирање и да се намали обемот на текстот на учебникот, препорачливо е овие делови од динамиката да се презентираат заедно.

Да воведеме неколку дефиниции.

Инерција (закон за инерција) – својството на телата да одржуваат состојба на мирување или униформно праволиниско преводно движење во отсуство на дејство врз него од други тела (т.е. во отсуство на сили).

Инерција - способноста на телата да се спротивстават на обидите да ја променат, со помош на сили, нивната состојба на одмор или униформа праволиниско движење .

Квантитативна мерка за инерција е Тежина(м). Стандардот за маса е килограм (кг).

Следи дека колку е поинертно едно тело, толку е поголема неговата маса, толку помалку неговата состојба на мирување или еднолично движење се менува под влијание на одредена сила, толку помалку се менува брзината на телото, т.е. телото е подобро способно да се спротивстави на силата. И обратно, колку е помала масата на телото, толку повеќе се менува неговата состојба на мирување или еднолично движење, толку повеќе се менува брзината на телото, т.е. Телото е помалку отпорно на сила.

Закони и проблеми на динамиката

Да ги формулираме законите на динамиката на материјалната точка. Во теоретската механика тие се прифатени како аксиоми. Валидноста на овие закони се должи на тоа што врз нивна основа е изградена целата градба на класичната механика, чии закони се спроведуваат со голема точност. Прекршувањата на законите на класичната механика се забележуваат само при големи брзини (релативистичка механика) и на микроскопска скала (квантна механика).

Главните видови сили

Најпрво, да ја воведеме поделбата на сите сили кои се наоѓаат во природата на активни и реактивни (реакции на врски).

Активен наведете сила што може да постави тело во мирување во движење.

Реакција поврзувањето настанува како резултат на дејството на активна сила на неслободно тело и го спречува движењето на телото. Затоа, всушност, тоа е последица, одговор, последователен ефект на активна сила.

Да ги разгледаме силите кои најчесто се среќаваат во проблемите на механиката.

Гравитација

Оваа сила на гравитациско привлекување помеѓу две тела, одредена со законот за универзална гравитација:

каде е забрзувањето на гравитацијата на површината на Земјата, нумерички еднакво на е≈ 9,8 m/s 2, м– маса на тело, или механички систем, дефинирана како вкупна маса на сите точки на системот:

каде е векторот на радиусот k-о, точка на системот. Координатите на центарот на масата може да се добијат со проектирање на двете страни на еднаквоста (3.6) на оските:

(7)

Сила на триење

Инженерските пресметки се засноваат на експериментално утврдени закони наречени закони за суво триење (во отсуство на подмачкување), или Кулоновите закони:

· При обид да се движи едно тело по површината на друго, се јавува сила на триење ( статичка сила на триење ), чија вредност може да земе вредности од нула до некоја ограничувачка вредност.

· Големината на крајната сила на триење е еднаква на производот на некој бездимензионален, експериментално определен коефициент на триење ѓна силата на нормалниот притисок Н, т.е.

.

(8)

· По достигнувањето на граничната вредност на статичката сила на триење, откако ќе се исцрпат својствата на адхезија на површините за парење, телото почнува да се движи долж потпорната површина, а силата на отпорот на движење е речиси константна и не зависи од брзината (во разумни граници). Оваа сила се нарекува лизгачка сила на триење а таа е еднаква на граничната вредност на статичката сила на триење.

· површини.

Да ги претставиме вредностите на коефициентот на триење за некои тела:

Табела 1

Триење на тркалање

Сл.1

Кога тркалото се тркала без да се лизга (слика 1), реакцијата на потпирачот се движи малку напред по правецот на движењето на тркалото. Причината за ова е асиметричната деформација на материјалот на тркалото и потпорната површина во контактната зона. Под влијание на сила, притисокот на работ Б од контактната зона се зголемува, а на работ А се намалува. Како резултат на тоа, реакцијата се поместува кон движењето на тркалото за одредена количина к, повикан коефициент на триење на тркалање . На тркалото дејствуваат пар сили и со момент на отпор на тркалање насочен против ротацијата на тркалото:

Во услови на рамнотежа со рамномерно тркалање, моментите на парови на сили , и , се балансираат меѓу себе: , од кои следи проценка на вредноста на силата насочена против движењето на телото: . (10)

Односот за повеќето материјали е значително помал од коефициентот на триење ѓ.Ова го објаснува фактот дека во технологијата, секогаш кога е можно, тие се стремат да го заменат лизгањето со тркалање.

Еластична сила

Ова е силата со која деформираното тело се стреми да се врати во првобитната, недеформирана состојба. Ако, на пример, истегнете пружина за одредена количина λ , тогаш силата на еластичност и нејзиниот модул се еднакви, соодветно:

.

(11)

Знакот минус во векторската врска покажува дека силата е насочена во спротивна насока од поместувањето. Магнитуда Сосе нарекува " ригидност „и има димензија N/m.

Диференцијални равенки на движење

Диференцијални равенки на точка движење

Да се ​​вратиме на изразувањето на основниот закон на динамиката на точка во форма (3.2), пишувајќи го во форма на векторски диференцијални равенки од 1-ви и 2-ри реда (претставката ќе одговара на бројот на силата):

(17)

(18)

Да ги споредиме, на пример, системите на равенки (15) и (17). Лесно е да се види дека описот на движењето на точката во координатните оски е намален на 3 диференцијални равенки од втор ред, или (по трансформацијата) на 6 равенки од 1-ви ред. Во исто време, описот на движењето на точката во природните оски е поврзан со мешан систем на равенки, кој се состои од една диференцијална равенка од 1-ви ред (во однос на брзината) и две алгебарски.

Од ова можеме да заклучиме дека кога се анализира движењето на материјалната точка, понекогаш е полесно да се решат првиот и вториот проблем на динамиката, формулирајќи ги равенките на движење во природните оски.

Првиот или директниот проблем на динамиката на материјалната точка вклучува проблеми во кои, со оглед на равенките на движење на точката и нејзината маса, неопходно е да се најде силата (или силите) што дејствуваат на неа.

Вториот или инверзниот проблем на динамиката на материјалната точка вклучува проблеми во кои, врз основа на нејзината маса, силата (или силите) што дејствуваат на неа и познатите кинематички почетни услови, неопходно е да се одредат равенките на нејзиното движење.

Треба да се напомене дека при решавање на првиот проблем на динамиката, диференцијалните равенки се претвораат во алгебарски, чиешто решение на системот е тривијална задача. При решавање на 2-риот проблем на динамиката, за решавање на систем на диференцијални равенки потребно е да се формулира проблемот на Коши, т.е. на равенките додадете го т.н „рабни“ услови. Во нашиот случај тоа се услови кои наметнуваат ограничувања на положбата и брзината во почетниот (завршен) временски момент или т.н. "

Бидејќи, според законот за еднаквост на дејството и реакцијата, внатрешните сили се секогаш спарени (дејствуваат на секоја од двете точки кои дејствуваат), тие се еднакви, спротивно насочени и дејствуваат по права линија што ги поврзува овие точки, а потоа нивниот збир во парови е еднакво на нула. Покрај тоа, збирот на моментите на овие две сили за која било точка е исто така нула. Тоа значи дека збирот на сите внатрешни силиИ збирот на моментите на сите внатрешни сили на механичкиот систем посебно е еднаков на нула:

,

(22)

.

(23)

Тука се, соодветно, главниот вектор и главниот момент на внатрешните сили, пресметани во однос на точката О.

Равенките (22) и (23) се одразуваат својства на внатрешните сили на механичкиот систем .

Нека за некои к-та материјална точка на механичкиот систем, и надворешните и внатрешните сили дејствуваат истовремено. Бидејќи тие се применуваат на една точка, тие можат да се заменат со резултат на надворешни () и внатрешни () сили, соодветно. Потоа основниот закон на динамиката к-та точка на системот може да се запише како , затоа за целиот систем ќе биде:

(24)

Формално, бројот на равенки во (24) одговара на бројот nточки на механичкиот систем.

Изразите (24) претставуваат диференцијални равенки на движење на систем во векторска форма , ако ги заменат векторите за забрзување со првиот или вториот извод на векторот на брзината и радиусот, соодветно: По аналогија со равенките на движење на една точка (15), овие векторски равенки можат да се трансформираат во систем од 3 nдиференцијални равенки од 2 ред.

Општи теореми на динамиката

Општи се оние теореми за динамиката на материјална точка и механички систем кои даваат закони кои важат за секој случај на движење на материјални предмети во инерцијална референтна рамка.

Општо земено, овие теореми се последици на решенија на систем на диференцијални равенки што го опишува движењето на материјалната точка и механичкиот систем.

ДЕЛ 3. ДИНАМИКА.

Динамика Материјално тело- тело кое има маса.

Материјална точка

Материјал

А - бV -

Инерција

Телесна маса

Сила -

,

. А - б- - влечна сила на електричната локомотива; В- -

Систем Инерцијален

Движење Простор Време

Систем

ТЕМА 1

Првиот закон(закон за инерција).

Изолирани

На пример: - телесна тежина, -

- почетна брзина).

Втор закон(основен закон на динамиката).

Математички овој закон се изразува со векторска еднаквост

За време на забрзувањето, движењето на точката е подеднакво променливо (сл. 5: А -движење - бавно; б -движење - забрзано,. - точкаста маса, - вектор на забрзување, - вектор на сила, - вектор на брзина).

Кога - точката се движи рамномерно и праволиниско или кога - е во мирување (закон за инерција). Вториот закон ни овозможува да воспоставиме врска помеѓу телесна тежина, кој се наоѓа во близина на површината на земјата, а неговата Тежина , , каде е забрзувањето на слободниот пад.

Трет Закон(закон за еднаквост на дејство и реакција).

Два материјалточките делуваат една на друга со сили еднакви по големина и насочени по права линија што ги поврзува овие точки во спротивни насоки.

Бидејќи силите се применуваат на различни точки, системот на сили не е избалансиран (сл. 6). За возврат - односот на масите на точките кои содејствуваат е обратно пропорционален на нивните забрзувања.

Четврти закон(законот за независност на дејството на силите).

Забрзување,добиена од точка кога на неа дејствуваат неколку сили истовремено, е еднаква на геометрискиот збир на оние забрзувања што точката би ги добила кога секоја сила ќе се примени на неа посебно.

Објаснување (сл. 7).Резултантната сила е дефинирана како . Бидејќи , Тоа .

Втор (инверзен) проблем.

Знаејќи ја струјатана точката на силата, нејзината маса и почетните услови на движење, го одредуваат законот за движење на точката или која било друга нејзина кинематска карактеристика.

Почетнаусловите за движење на точка во декартовските оски се координатите на точката, , и проекцијата на почетната брзина на овие оски, и во моментот на времето што одговара на почетокот на движењето на точката и земено еднакво на нула .

Решавањето на проблемите од овој тип се сведува на составување диференцијални равенки (или една равенка) на движење на материјална точка и нивно последователно решавање со директно интегрирање или користење на теоријата на диференцијални равенки.

ТЕМА 2. ВОВЕД ВО ДИНАМИКА НА МЕХАНИЧКИ СИСТЕМ

2.1. Основни поими и дефиниции

Механичкисистем или систем на материјални точки е збир на материјални точки кои се во интеракција една со друга.

Примери на механички системи:

1. материјално тело, вклучително и апсолутно цврсто, како збирка на материјални честички кои содејствуваат; збир на меѓусебно поврзани цврсти материи; збир на планети во Сончевиот систем итн.

2. Јатото летачки птици не е механички систем, бидејќи не постои интеракција на сила меѓу птиците.

Бесплатномеханички систем е систем во кој не се наметнуваат врски на движењето на точките. На пример:движење на планетите од Сончевиот систем.

Неслободнимеханички систем - систем во кој врските се наметнуваат на движењето на точките. На пример:движење на делови во кој било механизам, машина итн.

Класификација на силите

Класификацијата на силите што делуваат на неслободен механички систем може да се претстави во форма на следниов дијаграм:

Надворешенсили - сили кои дејствуваат на точки на даден механички систем од други системи.

Домашни- сили на интеракција помеѓу точките на еден механички систем.

Произволна точка на системот (слика 1) е под влијание на: - резултатот на надворешните сили (индекс - прва буква Француски збор exterieur - (надворешен)); - резултат на внатрешните сили (индекс - од зборот interieur - (внатрешен)). Истата јачина на реакцијата на поврзување, во зависност од условите на задачата, може да биде и надворешна и внатрешна.

Својство на внатрешните сили

и - точки на интеракција на механичкиот систем (сл. 2). Врз основа на третиот закон за динамика

На другата страна: . Затоа, главниот вектор и главниот момент на внатрешните сили на механичкиот систем се еднакви на нула:

ДЕЛ 3. ДИНАМИКА.

ОСНОВНИ КОНЦЕПТИ НА КЛАСИЧНА МЕХАНИКА

Динамика- гранка на теоретската механика во која се изучува движењето материјални тела(точки) под влијание на применетите сили. Материјално тело- тело кое има маса.

Материјална точка- материјално тело, разликата во движењето на точките од кои е незначителна. Ова може да биде или тело чии димензии за време на неговото движење може да се занемарат, или тело со конечни димензии ако се движи преводно.

Материјалточките се нарекуваат и честички во кои се солиднапри определување на некои негови динамички карактеристики.

Примери на материјални точки (сл. 1): А -движење на Земјата околу Сонцето. Земјата е материјална точка; б- преводно движење на круто тело. Цврсто тело е материјална точка, бидејќи; V -ротација на телото околу оската. Честичка на телото е материјална точка.

Инерција- својството на материјалните тела да ја менуваат брзината на нивното движење побрзо или побавно под влијание на применетите сили.

Телесна масае скаларна позитивна величина која зависи од количината на супстанцијата содржана во дадено тело и ја одредува нејзината мерка на инерција при транслациското движење. Во класичната механика, масата е константна количина.

Сила- квантитативна мерка за механичка интеракција помеѓу тела или помеѓу тело (точка) и поле (електрично, магнетно и сл.). Силата е векторска величина која се карактеризира со големина, точка на примена и насока (линија на дејство) (сл. 2: - точка на примена е линијата на дејство на силата).

Во динамиката, заедно со постојаните сили, постојат и променливи сили, кои можат да зависат од времето, брзината , растојание или од севкупноста на овие количини, т.е.

Примери за такви сили се прикажани на сл. 3 . А -- телесна тежина, - сила на отпор на воздухот; б- - влечна сила на електричната локомотива; В- - силата на одбивање од или привлекување кон центарот.

Системреференца - координатен систем поврзан со тело во однос на кое се проучува движењето на друго тело. Инерцијаленсистем - систем во кој се задоволени првиот и вториот закон на динамиката. Ова е фиксен координатен систем или систем кој се движи рамномерно и линеарно преведувачки.

Движењево механиката тоа е промена на положбата на телото во просторот и времето. Просторво класичната механика, тридимензионална, предмет на Евклидовата геометрија. Време- скаларна големина што се јавува подеднакво во секој референтен систем.

Системединиците се збир на единици за мерење на физичките величини. За мерење на сите механички величини: доволни се три основни единици: единици за должина, време, маса или сила. Сите други мерни единици на механички величини се изведени од нив. Се користат два вида системи на единици: меѓународниот систем на единици SI (или помали - GHS) и техничкиот систем на единици - ICG.

ТЕМА 1. ВОВЕД ВО ДИНАМИКАТА НА МАТЕРИЈАЛНА ТОЧКА.

1.1. Закони на динамика на материјална точка (закони на Галилео-Њутн)

Првиот закон(закон за инерција).

Изолираниод надворешни влијанија, материјалната точка ја одржува својата состојба на мирување или се движи рамномерно и праволиниско додека применетите сили не ја принудат да ја промени оваа состојба.

Движењето што го врши точка во отсуство на сили или под дејство на избалансиран систем на сили се нарекува движење по инерција.

На пример:движење на телото по мазна (сила на триење е нула) хоризонтална површина (сл. 4: - телесна тежина, - нормална реакција на авионот). Од тогаш.

Кога телото се движи со иста брзина; кога телото е во мирување ( - почетна брзина).

Риков В.Т.

Упатство. - Краснодар: Кубански државен универзитет, 2006. - 100 стр.: 25 ill. Првиот дел од курсот на предавања со задачи за теоретска механика за физички специјалитети на класично универзитетско образование.
Прирачникот го претставува вториот дел од едукативно-методолошкиот комплекс за теоретска механика и механика на континуум. Содржи белешки за предавање за три дела од курсот по теоретска механика и механика на континуум: „Основна диференцијална равенка на динамиката“, „Движење во централно симетрично поле“ и „Ротационо движење на круто тело“. Како дел од воспитно-методолошкиот комплекс, прирачникот содржи контролни задачи (опции за тест) и прашања за завршното компјутерско тестирање (испит). Овој курс е надополнет со електронски учебник со фрагменти од предавања (на ласерски диск).
Прирачникот е наменет за студенти од втора и трета година на физика и физичко-технички факултети на универзитетите, може да биде корисен за студентите на техничките универзитети кои ги изучуваат основите на теоретската и техничката механика.
Фундаментална диференцијална равенка на динамиката (вториот закон на Њутн)
Структура на делот
Опис на движење на материјална точка
Проблеми со директна и инверзна динамика
Изведување на законот за зачувување на импулсот од основната диференцијална равенка на динамиката
Изведување на законот за зачувување на енергијата од основната диференцијална равенка на динамиката
Изведување на законот за зачувување на аголниот моментум од основната диференцијална равенка на динамиката
Интеграли на движење

Тест задача
Движење во централно симетрично поле
Структура на делот
Концептот на централно симетрично поле
Брзина во криволиниски координати
Забрзување во криволиниски координати
Брзина и забрзување во сферични координати
Равенки на движење во централно симетрично поле
Секторска брзина и секторско забрзување
Равенка на движење на материјална точка во гравитационо поле и Кулонов поле
Намалување на проблемот со две тела на проблем со едно тело. Намалена маса
Формулата на Радерфорд
Тест на тема: Брзина и забрзување во криволиниски координати
Ротационо движење на круто тело
Структура на делот
Концептот на цврсто тело. Ротационо и преведувачко движење
Кинетичка енергија на цврсто тело
Тензор за инерција
Намалување на тензорот на инерција во дијагонална форма
Физичко значење на дијагоналните компоненти на тензорот за инерција
Штајнерова теорема за тензорот на инерција
Моментум на круто тело
Равенки на ротационо движење на круто тело во ротирачки координатен систем
Ојлерови агли
Движење во неинерцијални референтни рамки
Тест на тема: Ротационо движење на круто тело
Препорачано читање
Апликација
Апликација
Некои основни формули и врски
Индекс на тема

Можете да напишете рецензија за книга и да ги споделите вашите искуства. Другите читатели секогаш ќе бидат заинтересирани за вашето мислење за книгите што сте ги прочитале.

N k k = G F(t, r G (t) G, r (t)) k= 1 ∑FG k= 1 Краснодар 2011 mrG = n k= 1 k n k= 1 k k= 1 k n k = G F(t, r G = G (t) G F(, r t, r G (t)) k= 1 ∑FG mrG = = G (t) G , r F ((t) t, r G k =) G (t), G F (r( t, G t)) k= 1 n ∑FG n ∑FG mrG = ∑FG Упатство) = G ∑FG F(r(t, r G = G t), G F(((t, r G t), G r (t) G t)) r , r (t)) (t) mrG = n ∑FG mrG = mrG = mrG = V.T. Риков Риков В.Т. ОСНОВНА ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА РАВЕНКА НА ДИНАМИКАТА Учебник Белешки за предавање Задачи за тестирање Прашања за завршна проверка (комбиниран испит) Краснодар 2006 UDC 531.01 BBK 22.25я73 R 944 Рецензент: доктор по физика и математика. науки, професор, раководител. Катедра за структурна механика на Кубанскиот технолошки универзитет I. M. Dunaev Rykov V. T. R 944 Основна диференцијална равенка на динамиката: Учебник. додаток. Краснодар: Кубан. држава уни., 2006. – 100 стр. Ил. 25. Библиографија 6 титули ISBN Прирачникот го претставува вториот дел од едукативно-методолошкиот комплекс за теоретска механика и механика на континуум. Содржи белешки за предавање за три дела од курсот по теоретска механика и механика на континуум: „Основна диференцијална равенка на динамиката“, „Движење во централно симетрично поле“ и „Ротационо движење на круто тело“. Како дел од воспитно-методолошкиот комплекс, прирачникот содржи контролни задачи (опции за тест) и прашања за завршното компјутерско тестирање (испит). Овој курс е надополнет со електронски учебник со фрагменти од предавања (на ласерски диск). Прирачникот е наменет за студенти од втора и трета година на физиката и физичко-техничките факултети на универзитетите, може да биде корисен за студентите на техничките универзитети кои ги изучуваат основите на теоретската и техничката механика. Објавено со одлука на Советот на Факултетот за физика и технологија на Кубанскиот државен универзитет UDC 531 (075.8) BBK 22.25ya73 ISBN © Државниот универзитет Кубан, 2006 година СОДРЖИНА Предговор................ ................................................... ....... 6 Поимник..................................... ........ ........................... 8 1. Основна диференцијална равенка на динамиката (втор Њутнов закон) .. ......... ................. 11 1.1. Структура на делот................................................ ... 11 1.2. Опис на движење на материјална точка......... 11 1.2.1. Декартов координатен систем........................ 12 1.2.2. Природен начин да се опише движењето на точка. Придружен триедар ................................................ ... .............. 13 1.3. Директни и инверзни проблеми на динамиката................................... 16 1.4. Изведување на законот за зачувување на импулсот од основната диференцијална равенка на динамиката................................... ................................................. 21 1.5. Изведување на законот за зачувување на енергијата од основната диференцијална равенка на динамиката................................... ................................................. 24 1.6. Изведување на законот за зачувување на аголниот моментум од основната диференцијална равенка на динамиката.................................. ...................... 26 1.7. Интеграли на движење ..................................................... .... 27 1.8. Движење во неинерцијални референтни рамки.......................................... .......................................... 28 1.9. Тест задача................................................ ... 28 1.9.1. Пример за решавање на проблем................................ 28 1.9.2. Опции за тест задачи.............................. 31 1.10. Завршни контролни (испитни) тестови .................. 35 1.10.1. Поле А ................................................ ..... ............ 35 1.10.2. Поле Б ................................................ ..... ............ 36 1.10.3. Поле В ................................................ ..... ............ 36 2. Движење во централно симетрично поле........... 38 2.1. Структура на делот................................................ ... 38 2.2. Концептот на централно симетрично поле......... 39 3 2.3. Брзина во криволиниски координати........... 39 2.4. Забрзување во криволиниски координати......... 40 2.5. Брзина и забрзување во сферични координати.............................................. ................ ................... 41 2.6. Равенки на движење во централно симетрично поле.......................................... .......... ..... 45 2.7. Секторска брзина и секторско забрзување...... 46 2.8. Равенка на движење на материјална точка во гравитационо поле и Кулонов поле................................... 48 2.8.1. Ефикасна енергија................................................ ... 48 2.8.2. Равенка на траекторија ................................................ .... 49 2.8.3. Зависност на обликот на траекторијата од вкупната енергија................................. ........... .......... 51 2.9. Намалување на проблемот со две тела на проблем со едно тело. Намалена маса................................................ ......... 52 2.10. Формулата на Радерфорд ................................................ ... 54 2.11. Тест на тема: Брзина и забрзување во криволиниски координати................................. 58 2.11.1. Пример за пополнување тест на тема брзина и забрзување во криволиниски координати. ........................... 58 2.11.2. Опции за тест задачи.......................... 59 2.12. Завршни контролни (испитни) тестови .................. 61 2.12.1. Поле А ................................................ ..... ............ 61 2.12.2. Поле Б ................................................ ..... ............ 62 2.12.3. Поле В ................................................ ..... ............ 63 3. Ротационо движење на круто тело........................ ........ 65 3.1. Структура на делот................................................ ... 65 3.2. Концептот на цврсто тело. Ротационо и преводно движење................................................ ...... 66 3.3. Кинетичка енергија на цврсто тело................... 69 3.4. Тензор на инерција................................................ ........ ..... 71 3.5. Намалување на тензорот на инерција во дијагонална форма................................................. ......... ..... 72 4 3.6. Физичко значење на дијагоналните компоненти на тензорот на инерција................................. ........ 74 3.7. Штајнерова теорема за тензорот на инерција.......... 76 3.8. Моментум на круто тело................................... 78 3.9. Равенки на ротационо движење на круто тело во ротирачки координатен систем................................. ................................. 79 3.10. Ојлерови агли................................................ ... .......... 82 3.11. Движење во неинерцијални референтни рамки.......................................... .......................................... 86 3.12. Тест на тема: Ротационо движење на круто тело.......................................... ............. .. 88 3.12.1. Примери за завршување контролни задачи................................................ ................................. 88 3.12.2. Домашен тест................................... 92 3.13. Завршни контролни (испитни) тестови .................. 92 3.13.1. Поле А ................................................ ..... ............ 92 3.13.2. Поле Б ................................................ ..... ............ 94 3.13.3. Поле В ................................................ ........ 95 Препорачана литература................................ ...... .......... 97 Додаток 1 .............................. ..... ..................... 98 Прилог 2. Некои основни формули и врски......... ................................................ ...... ... 100 Индекс на тема ................................... ............. ....... 102 5 ПРЕДГОВОР Оваа книга е „цврста компонента“ на образовно-методолошкиот комплекс за предметот „Теоретска механика и основи на механика на континуум“, кој е дел од државниот образовен стандард во специјалитетите: „физика“ – 010701, „радиофизика“ и електроника“ – 010801. Неговата електронска верзија (pdf формат) е објавена на веб-страницата на Државниот универзитет Кубан и на локалната мрежа на Факултетот за физика и технологија на Државниот универзитет Кубан. Севкупно, развиени се четири главни делови од образовниот и методолошки комплекс за теоретска механика и основите на механиката на континуум. Векторската и тензорската анализа - првиот дел од комплексот - има за цел да ги зајакне, и во голема мера, да формира основни знаења од областа на математичките основи не само на текот на теоретската механика, туку и на целиот курс на теоретската физика. Самиот тек на теоретската механика е поделен на два дела, од кои едниот содржи презентација на методи за решавање на механички проблеми врз основа на основната диференцијална равенка на динамиката - вториот закон на Њутн. Вториот дел е презентација на основите на аналитичката механика (третиот дел од образовно-методолошкиот комплекс). Четвртиот дел од комплексот ги содржи основите на механиката на континуум. Секој дел од комплексот и сите заедно се поддржани со електронски курсеви за обука - модифицирани компоненти, кои се HTML страници, дополнети со активни алатки за учење - функционални елементи на обуката. Овие алатки се поставени во архивирана форма на веб-страницата на KubSU и се дистрибуираат на ласерски дискови, прикачени на печатена копија или одделно. За разлика од цврстите компоненти, електронските компоненти ќе претрпат постојана модификација за да се подобри нивната ефикасност. 6 Основата на „цврстата компонента“ на образовниот комплекс се белешките од предавањата, дополнети со „поимник“ кој ги објаснува основните концепти на овој дел и азбучен индекс. По секој од трите делови од овој прирачник, се нуди тест задача со примери за решавање проблеми. Две контролни задачи од оваа компонента се завршени дома - ова се задачи за деловите 2 и 3. Задачата 3 е заедничка за секого и му се презентира на наставникот за проверка во тетратки за практична настава. Во задача 2, секој ученик пополнува една од 21 опција како што е наведено од наставникот. Задачата 1 се завршува во училницата во текот на една одделенска сесија (пар) на посебни парчиња хартија и се доставува до наставникот за проверка. Ако задачата е неуспешна, работата мора или да ја коригира ученикот (домашна) или повторно да ја заврши со друга опција (задачи во училница). Последните се изведуваат надвор од училишниот распоред во времето предложено од наставникот. Предлог дел наставно помагало содржи и помошен материјал: Во Додаток 1 се претставени компонентите на метричкиот тензор - средните цели на тестот 3, а во прилог 2 - основните формули и врски, запаметување кое е задолжително за да се добие задоволителна оценка на испитот. Секој дел од секој дел од прирачникот завршува со тест задачи - составен дел на комбиниран испит, чија основа е компјутерско тестирање со паралелно пополнување на предложените формулари и последователно интервју врз основа на компјутерски проценки и формуларот за тестирање. Полето „Б“ од тестот бара краток внес на формата на математички трансформации што водат до опцијата избрана во комплетот одговори. Во полето „C“ треба да ги запишете сите пресметки на формуларот и да го напишете нумеричкиот одговор на тастатурата. 7 ПОИМНИК Адитивната количина е физичка големина чија вредност за целиот систем е еднаква на збирот на нејзините вредности за одделни делови од системот. Ротациско движење е движење во кое брзината на најмалку една точка на круто тело е нула. Втората брзина на бегство е брзината на лансирање од планета што не ротира, што го става леталото на параболична траекторија. Импулсот на материјалната точка е производ на масата на точката и нејзината брзина. Импулсот на системот од материјални точки е адитивна величина, дефинирана како збир на импулсите на сите точки на системот. Интеграли на движење се величини кои се зачувани под одредени услови и се добиваат како резултат на едно интегрирање на основната диференцијална равенка на динамиката - систем на равенки од втор ред. Кинетичката енергија на материјалната точка е енергијата на движење еднаква на работата потребна за да се пренесе одредена брзина на дадена точка. Кинетичката енергија на системот од материјални точки е адитивна количина, дефинирана како збир на енергиите на сите точки на системот. Коваријантните компоненти на векторот се коефициентите на векторско проширување во вектори на взаемна основа. Коефициентите на афина врска се коефициенти на проширување на изводите на основните вектори во однос на координатите во однос на векторите на самата основа. Заобленоста на кривата е реципрочна на радиусот на допирниот круг. Моменталниот центар на брзини е точка чија брзина е нула во даден момент во времето. 8 Механичката работа на константна сила е скаларен производ на сила и поместување. Механичкото движење е промена на положбата на телото во просторот во однос на другите тела со текот на времето. Инверзниот проблем на динамиката е да се најдат равенките на движење на материјална точка користејќи дадени сили (познати функции на координати, време и брзина). Преводното движење е движење во кое секоја права линија идентификувана во цврсто тело се движи паралелно со себе. Потенцијалната енергија на материјалната точка е енергијата на полето заемодејство на тела или делови од телото, еднаква на работата на силите на полето за поместување на дадена материјална точка од дадена точка во просторот до нулта потенцијално ниво, избрано произволно. Намалена маса е масата на хипотетичка материјална точка, чие движење во централно симетрично поле се сведува на проблем на две тела. Директната задача на динамиката е да ги одреди силите што дејствуваат на материјална точка користејќи ги дадените равенки на движење. Симболите на Кристофел се симетрични коефициенти на афина врска. Систем на центар на маса (центар на инерција) – Референтен систем во кој моментумот на механичкиот систем е нула. Брзината е векторска количина, нумерички еднаква на поместувањето по единица време. Оскулирачки круг е круг кој има контакт од втор ред со крива, т.е. до бесконечно малици од втор ред, равенките на крива и оскулирачки круг во соседството на дадена точка не се разликуваат една од друга. 9 Придружен триедар – тројка од единечни вектори (тангента, нормален и бинормален вектори) што се користат за воведување на Декартов координатен систем што придружува точка. Круто тело е тело чие растојание помеѓу било кои две точки не се менува. Тензорот за инерција е симетричен тензор од втор ранг, чии компоненти ги одредуваат инерцијалните својства на круто тело во однос на ротационото движење. Траекторија е трага на подвижна точка во вселената. Равенките на движење се равенки кои ја одредуваат положбата на точка во просторот во произволен момент во времето. Забрзувањето е векторска величина, нумерички еднаква на промената на брзината по единица време. Нормално забрзување е забрзување нормално на брзината, еднакво на центрипеталното забрзување кога точката се движи со дадена брзина по круг во контакт со траекторијата. Централно симетрично поле е поле во кое потенцијалната енергија на материјалната точка зависи само од растојанието r до одреден центар „О“. Енергијата е способност на телото или системот на тела да работи. 10 1. ОСНОВНА ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА РАВЕНКА НА ДИНАМИКАТА (ВТОРИОТ ЗАКОН НА ЊУТОН) 1.1. Структура на пресек „траги“ „фасада“ Директни и инверзни проблеми на динамиката „фасада“ Опис на движење на материјална точка „траги“ „траги“ „траги“ „фасада“ Закон за зачувување на импулсот „фасада“ Природна равенка на кривата „траги“ „фасада“ Тестна работа „ траги“ „фасада“ Завршни контролни тестови „фасада“ Закон за зачувување на енергијата „траги“ „траги“ „фасада“ Векторска алгебра „траги“ „траги“ „фасада“ Закон за зачувување на аголен моментум Слика 1 - Главни елементи на пресек 1. 2. Опис на движење на материјална точка Механичкото движење се дефинира како промена на положбата на телото во просторот во однос на другите тела со текот на времето. Оваа дефиниција поставува две задачи: 1) избор на метод со кој може да се разликува една точка во просторот од друга; 2) изборот на тело во однос на кое се определува положбата на другите тела. 11 1.2.1. Декартов координатен систем Првата задача е поврзана со изборот на координатен систем. Во тридимензионалниот простор, секоја точка во просторот е поврзана со три броја, наречени координати на точката. Најочигледни се правоаголните ортогонални координати, кои обично се нарекуваат Декартови (именувани по францускиот научник Рене Декарт). 1 Рене Декарт беше првиот што го воведе концептот на скала, кој лежи во основата на изградбата на Декартовиот координатен систем. Во одредена точка во тродимензионалниот простор се конструирани три меѓусебно ортогонални, идентични по големина вектори i, j, k, кои истовремено се и мерни единици, т.е. нивната должина (модул) е, по дефиниција, еднаква на мерната единица. По овие вектори се насочени нумеричките оски, точките на кои се ставени во кореспонденција со точките во просторот со „проектирање“ - цртање нормална од точка на нумеричка оска, како што е прикажано на слика 1. Операцијата на проекција во Декартови координати води до собирањето на векторите ix, jy и kz по правилото на паралелограм, кое во овој случај дегенерира во правоаголник. Како резултат на тоа, позицијата на точка во просторот може да се одреди со помош на векторот r = ix + jy + kz, наречен „вектор на радиус“, бидејќи за разлика од другите вектори, потеклото на овој вектор секогаш се совпаѓа со потеклото на координатите. Промената на позицијата на точка во просторот со текот на времето доведува до појава на временска зависност на координатите на точката x = x(t), y = y (t), z = z (t) 1 Латинизираното име на Рене Декарт е Картезиј, затоа во литературата можете да го најдете името „Декартови координати“. 12 и радиус вектор r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) . Овие функционални односи се нарекуваат равенки на движење во координатни и векторски форми, соодветно z kz k r jy i y j ix x Слика 2 - Декартов координатен систем Брзината и забрзувањето на точката се дефинирани како прв и втор извод во однос на времето на радиусот вектор v = r (t) = ix (t) + jy (t) + kz (t) W = r (t) = ix (t) + jy (t) + kz (t) Насекаде во следново, точка а двојна точка над ознаката на одредено количество ќе го означи првиот и вториот извод на оваа величина во однос на времето. 1.2.2. Природен начин да се опише движењето на точка. Придружен триедар Равенката r = r (t) обично се нарекува равенка на крива во параметарска форма. Во случај на равенки на движење, параметарот е време. Бидејќи секое движење 13 се случува по одредена крива наречена траекторија, тогаш сегмент од траекторијата (пат) t t s (t) = ∫ r dt = ∫ x 2 + y 2 + z 2 dt , 2 t0 t0 што е монотона функција е поврзан со ова време на движење. Патеката што ја поминува телото може да се смета како нов параметар, кој обично се нарекува „природен“ или „канонски“ параметар. Соодветната крива равенка r = r(s) се нарекува равенка во канонската или природната параметаризација. τ m n Слика 3 – Придружен триедарски вектор dr ds е векторска тангента на траекторијата (слика 3), чија должина е еднаква на една, бидејќи dr = ds. Од τ= 14 dτ нормално на векторот τ, т.е. насочена нормално на траекторијата. За да го дознаеме физичкото (или, поточно, како што ќе видиме подоцна, геометриското) значење на овој вектор, да преминеме на диференцијација во однос на параметарот t, сметајќи го како време. d τ d ⎛ dr dt ⎞ dt d ⎛ dr 1 ⎞ 1 d 2 r 1 v d v ′ τ = = ⎜ − . ⎟ = ⎜ ⎟ = ds dt ⎝ dt ds ⎠ ds dt ⎝ dt v ⎠ v dt 2 v 2 v 3 dt Последната од овие односи може да се препише на следниов начин a 1 τ′ = 2 (a − aτ) = n 2 = 1 следува дека векторот τ′ = каде v aτ = τ v dv ; τ= dt v v d 2r – вектор на вкупно dt 2. забрзување. Бидејќи вкупното забрзување е еднакво на збирот на нормалните (центрипетални) и тангенцијалните забрзувања, векторот што го разгледуваме е еднаков на нормалниот вектор на забрзување поделен со квадратот на брзината. Кога се движите во круг, нормалното забрзување е еднакво на тангенцијалното забрзување, а векторот a = an = n v2, R каде n е нормалниот вектор на кругот, а R е радиусот на кругот. Следи дека векторот τ′ може да се претстави во форма τ′ = Kn, 1 каде K = е кривината на кривата - реципроцитет на радиусот на контактниот круг. Оскулирачки круг е крива која има контакт од втор ред со дадена крива 15. Ова значи дека, ограничувајќи се во проширувањето на равенката на кривата во серија на моќност во одреден момент до бесконечно малици од втор ред, нема да можеме да ја разликуваме оваа крива од круг. Векторот n понекогаш се нарекува главен нормален вектор. Од тангентниот вектор τ и нормалниот вектор, можеме да конструираме бинормален вектор m = [τ, n]. Три вектори τ, n и m формираат десна тројка - придружен триедар, со кој можете да го поврзете Декартовиот координатен систем што ја придружува точката, како што е прикажано на слика 3. 1.3. Директни и инверзни проблеми на динамиката Во 1632 година, Галилео Галилеј открил закон, а потоа во 1687 година Исак Њутн формулирал закон кој ги променил ставовите на филозофите за методите на опишување на движењето: „Секое тело одржува состојба на мирување или еднообразно и праволиниско движење сè додека применетите сили го принудуваат да се промени.“ ова е држава“. 1 Значењето на ова откритие не може да се прецени. Пред Галилео, филозофите верувале дека главната карактеристика на движењето е брзината и дека за да може телото да се движи со постојана брзина, мора да се примени постојана сила. Всушност, се чини дека искуството укажува токму на ова: ако примениме сила, телото се движи; ако престанеме да ја применуваме, телото запира. И само Галилео забележа дека со примена на сила, ние всушност само ја балансираме силата на триење што дејствува во реални услови на Земјата, покрај нашата желба (и често и набљудување). Следствено, потребна е сила не за да се одржи брзината константна, туку да се промени, т.е. пријави забрзување. 1 I. Њутн. Математички принципи на природната филозофија. 16 Точно, под условите на Земјата, невозможно е да се реализира набљудување на тело на кое не би влијаеле други тела, затоа механиката е принудена да претпоставува постоење на посебни референтни системи (инерцијални), во кои Њутновиот (Галилео ) мора да се исполни првиот закон. 1 Математичката формулација на првиот Њутнов закон бара додавање на изјавата за пропорционалност на силата со забрзувањето со изјавата за нивната паралелност како векторски величини? = ≡r . Δt → 0 Δt dt dt dt W = lim Искуството ни кажува дека скаларен коефициент може да биде величина што обично се нарекува телесна маса. Така, математичкото изразување на првиот Њутнов закон, земајќи го предвид додавањето на нови постулати, има форма F = mW, 1 Но со какви реални тела може да се поврзе таков референтен систем сè уште не е јасно. Етерската хипотеза (види „Теорија на релативноста“) може да го реши овој проблем, но негативниот резултат од експериментот на Мајкелсон ја исклучи оваа можност. Сепак, на механиката и се потребни такви референтни рамки и го постулира нивното постоење. 17 кој е познат како втор закон на Њутн. Бидејќи забрзувањето е определено за одредено специфично тело, на кое може да дејствуваат неколку сили, погодно е да се напише вториот Њутнов закон во форма n mr = ∑ Fa = F (t, r (t), r (t)) . a =1 Силата во општиот случај се смета како функција од координатите, брзините и времето. Оваа функција зависи од времето и експлицитно и имплицитно. Имплицитната временска зависност значи дека силата може да се промени поради промените на координатите (силата зависи од координатите) и брзината (силата зависи од брзината) на телото што се движи. Очигледната зависност од времето сугерира дека ако телото е во мирување во одредена фиксна точка во просторот, тогаш силата сепак се менува со текот на времето. Од гледна точка на математиката, вториот Њутнов закон доведува до два проблеми поврзани со две меѓусебно инверзни математички операции: диференцијација и интеграција. 1. Директна задача на динамиката: со помош на дадените равенки на движење r = r (t), определи ги силите што дејствуваат на материјалната точка. Овој проблем е проблем на фундаменталната физика, неговото решение е насочено кон изнаоѓање нови закони и законитости кои ја опишуваат интеракцијата на телата. Пример за решавање на директен проблем на динамиката е формулацијата на I. Њутн за законот за универзална гравитација заснована на емпириските закони на Кеплер, кои го опишуваат набљудуваното движење на планетите од Сончевиот систем (види Дел 2). 2. Инверзна задача на динамиката: дадени сили (познати функции на координати, време и брзина) ги наоѓаат равенките на движење на материјална точка. Ова е задача на применетата физика. Од гледна точка на овој проблем, вториот 18 закон на Њутн е систем на обични диференцијални равенки од втор ред d 2r m 2 = F (t, r (t), r (t)), (1. 1) dt решенија на кои се функции на време и константи на интеграција. x = x(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); y = y(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); z = z(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,). За да се избере решение кое одговара на одредено движење од бесконечно множество решенија, потребно е системот на диференцијални равенки да се дополни со почетни услови (проблема Коши) - да се постават во одреден момент во времето (t = 0) вредностите на координатите и брзините на точката: ⎧ x0 = x(t = 0), ⎪ r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨ y0 = y (t = 0), ⎪ z = z (t = 0) . ⎩ 0 v0 ⎧v0 x = x(t = 0), ⎪ = r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨v0 y = y (t = 0), ⎪ ⎩v0 x = z (t = 0). Забелешка 1. Во законите на I. Њутн, силата се подразбира како величина што ја карактеризира интеракцијата на телата, како резултат на што телата се деформираат или добиваат забрзување. Меѓутоа, често е погодно да се сведе проблемот на динамиката на проблемот на статиката со воведување, како што направи Д'Алембер во неговиот Дискурс за општата причина на ветровите (1744), инерцијална сила еднаква на производот од масата на телото и забрзувањето на референтната рамка, во која се разгледува даденото тело. Формално, ова изгледа како пренесување на десната страна од вториот закон на I. New19 на левата страна и доделување на овој дел името „сила на инерција“ F + (− mW) = 0, или F + Fin = 0. Резултирачката инерцијална сила очигледно не ја задоволува дефиницијата за сила дадена погоре. Во овој поглед, инерцијалните сили често се нарекуваат „фиктивни сили“, разбирајќи дека како сили тие се перципираат и мерат само од неинерцијален набљудувач поврзан со референтна рамка за забрзување. Сепак, треба да се нагласи дека за неинертен набљудувач, инерцијалните сили се перципираат како всушност да дејствуваат на сите тела на референтниот систем на сили. Присуството на овие сили е она што ја „објаснува“ рамнотежата (бестежината) на телата во постојано паѓање на сателит на планетата и (делумно) зависноста на забрзувањето на слободниот пад на Земјата од географската ширина на областа. Забелешка 2. Вториот Њутнов закон како систем на диференцијални равенки од втор ред се поврзува и со проблемот на единечна интеграција на овие равенки. Вака добиените величини се нарекуваат интеграли на движење и најважни се две околности поврзани со нив: 1) овие величини се адитивни (собирање), т.е. таква вредност за механички систем е збир на соодветните вредности за неговите поединечни делови; 2) при одредени физички разбирливи услови, овие количини не се менуваат, т.е. се зачувани, со што се изразуваат законите на конзервација во механиката. 20 1.4. Изведување на законот за зачувување на импулсот од основната диференцијална равенка на динамиката Размислете за систем од N материјални точки. Нека „a“ е бројот на точката. Дозволете ни да запишеме за секоја точка „а“ Њутновиот II закон dv (1.2) ma a = Fa , dt каде што Фа е резултат на сите сили што дејствуваат на точката „а“. Имајќи предвид дека ma = const, множејќи се со dt, собирајќи ги сите N равенки (1.2) и интегрирајќи ги во границите од t до t + Δt, добиваме N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = каде v a t +Δt N ∫ ∑ F dt , t a =1 a = ra (t) е брзината на точката „a“ во времето t, а ua = ra (t + Δt) е брзината на точката „a“ во времето t + Δt. Понатаму да ги замислиме силите што дејствуваат на точката „а“ како збир на надворешните Faex (надворешни - надворешни) и внатрешните Fain (внатрешни - внатрешни) сили Fa = Fain + Faex. Силите на интеракција на точката „а“ со другите точки вклучени во СИСТЕМОТ ќе ги нарекуваме внатрешни, а надворешни – со точки кои не се вклучени во системот. Да покажеме дека збирот на внатрешните сили исчезнува поради третиот закон на Њутн: силите со кои дејствуваат две тела се еднакви по големина и спротивни во насока Fab = − Fab ако точките „a“ и „b“ припаѓаат на СИСТЕМ. Всушност, силата што дејствува на точката „а“ од другите точки на системот е еднаква на 21 N Fain = ∑ Fab. b =1 Потоа N N N N N N N N N ∑ Fain = ∑∑ Fab = ∑∑ Fba = ∑∑ Fba = −∑∑ Fab = 0 . a =1 a =1 b =1 b =1 a =1 a =1 b =1 a =1 b =1 Така, збирот на сите сили што дејствуваат на систем од материјални точки се дегенерира во збир на само надворешни сили. Како резултат на тоа, добиваме N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = t +Δt N ∫ ∑F t a =1 ex a dt . (1.3) – промената на импулсот на систем од материјални точки е еднаква на моментумот на надворешните сили што делуваат на системот. Системот се нарекува затворен ако врз него не дејствуваат надворешни сили ∑F a =1 = 0. Во овој случај, моментумот ex a на системот не се менува (конзервиран) N N a =1 a =1 ∑ maua = ∑ ma va = const . (1.4) Обично оваа изјава се толкува како закон за зачувување на импулсот. Меѓутоа, во секојдневниот говор, под зачувување на нешто не подразбираме констатација за непроменливоста на содржината на ова нешто во нешто друго, туку разбирање во што се претворило ова изворно нешто. Ако се потрошат пари за купување на корисна работа, тогаш тоа не исчезнува, туку се трансформира во оваа работа. Но, ако нивната куповна моќ е намалена поради инфлацијата, тогаш следењето на синџирот на трансформации се покажува многу тешко, што создава чувство дека не се зачувани. Резултатот од мерењето на импулсот, како и секоја кинематска величина, зависи од референтниот систем во кој се вршат мерењата (се наоѓаат физичките инструменти кои ја мерат оваа големина). 22 Класичната (нерелативистичка) механика, споредувајќи ги резултатите од мерењата на кинематичките величини во различни референтни системи, премолчено произлегува од претпоставката дека концептот на симултаност на настаните не зависи од референтниот систем. Поради ова, односот помеѓу координатите, брзините и забрзувањата на точката, мерени со стационарен и подвижен набљудувач, се геометриски односи (Слика 4) dr du Velocity u = = r и забрзување W = = u , мерено со набљудувач K обично се нарекуваат апсолутна др ′ брзина и забрзување. Брзина u′ = = r ′ и забрзување dt du′ W ′ = = u ′ , мерено со набљудувач K′ – релативна брзина и забрзување. И брзината V и забрзувањето A на референтниот систем се преносливи. Mr′ r r = r′ + R u = u′ + V K′ K W =W′+ A R Слика 4 – Споредба на измерени величини Користејќи го законот за конверзија на брзина, кој често се нарекува теорема за собирање на брзината на Галилео, го добиваме моментумот на систем од материјални точки измерени во референтни системи K и K′ N N N a =1 a =1 a =1 ∑ maua = ∑ maua′ + V ∑ ma . Референтниот систем во кој моментумот на механичкиот систем е нула 23 N ∑ m u′ = 0 , a =1 a a се нарекува систем на центар на маса или центар на инерција. Очигледно, брзината на таквата референтна рамка е еднаква на N Vc = ∑m u a =1 N a a ∑m . (1.5) a a =1 Бидејќи во отсуство на надворешни сили моментумот на механичкиот систем не се менува, тогаш брзината на системот на центарот на масата исто така не се менува. Интегрирајќи го (1,5) со текот на времето, искористувајќи ја произволноста на изборот на потеклото на координатите (константата на интеграција ја поставивме еднаква на нула), доаѓаме до определување на центарот на маса (центар на инерција) на механичкиот систем. N rc = ∑m r a =1 N a a . ∑m a =1 (1,6) a 1,5. Изведување на законот за зачувување на енергијата од основната диференцијална равенка на динамиката Размислете за систем од N материјални точки. За секоја точка „а“ го запишуваме Њутновиот II закон (1.2) и ги множиме dr двата дела скаларно со брзината на точката va = a dt ⎛ dv ⎞ dr ⎞ ⎛ ma ⎜ va , a ⎟ = Fa , va = ⎜ Fa , a ⎟ dt ⎠ dt ⎠ ⎝ ⎝ По трансформациите, множејќи ги двете страни со dt, интегрирајќи се во границите од t1 до t2 и претпоставувајќи дека ra = ra (t1) , (Ra = ra (t2) ,) va = va (t1 ) , ua = va (t2) , добиваме 24 ma ua2 ma va2 − = 2 2 Ra ∫ (F , dr) . a a (1.7) ra Следно, да ја претставиме силата Fa како збир на потенцијални и дисипативни сили Fa = Fapot + Faad. Дисипативните сили се оние кои доведуваат до дисипација на механичката енергија, т.е. претворајќи го во други видови енергија. Потенцијални сили се оние чија работа во затворена јамка е нула. A = ∫ (Фапот, дра) = 0 . (1.8) L Да покажеме дека потенцијалното поле е градиент, т.е. ⎛ ∂Π a ∂Π a ∂Π a ⎞ +j +k Фапот = − град Π a (ra) = − ⎜ i ⎟ . (1.9) ∂ya ∂za ⎠ ⎝ ∂xa Навистина, во согласност со теоремата на Стоукс, можеме да напишеме пот пот ∫ (Fa , dra) = ∫∫ (rot Fa, ds) , L S каде S е површината опфатена со контура L Слика 5. S L Слика 5 – Контура и површина Стоуксовата теорема води до доказ за валидноста на (1.9) поради очигледната релација rot Fapot = ⎣⎡∇, Fapot ⎦⎤ = − [∇, ∇Π a ] = 0 , ∇ ∇Π 25 t Тоа е, ако векторското поле е изразено во однос на градиентот на скаларна функција, тогаш неговата работа по затворена контура е нужно нула. Вистина е и обратната изјава: ако циркулацијата на векторско поле по затворена контура е нула, тогаш секогаш е можно да се најде соодветното скаларно поле, чиј градиент е даденото векторско поле. Земајќи ја предвид (1.9), релацијата (1.7) може да се претстави како R ⎧ ma ua2 ⎫ ⎧ ma va2 ⎫ a D + Π a (Ra) ⎬ − ⎨ + Π a (ra) ⎬ = ∫ Fa , dra . ⎨ ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ ra () Вкупно имаме N такви равенки. Со собирање на сите овие равенки, го добиваме законот за зачувување на енергијата во класичната механика 1: промената на вкупната механичка енергија на системот е еднаква на работата на силите на дисипација ⎧ ma ua2 ⎫ N ⎧m v 2 ⎫ N a + Π a (Ra) ⎬ − ∑ ⎨ a + Π a (ra ) ⎬ = ∑ ∫ FaD , dra .(1.10) 2 a =1 ⎩ ⎭ a =1 ⎩ 2 ⎭ a =1 ra N ∑⎨ R () ако има нема дисипаторни сили, вкупната (кинетичка плус потенцијал) енергија на механичкиот систем не се менува („конзервирана“) и системот се нарекува конзервативен. 1.6. Изведување на законот за зачувување на аголниот моментум од основната диференцијална равенка на динамиката Размислете за систем од N материјални точки. За секоја точка „а“ го запишуваме Њутновиот II закон (1.2) и векторски ги множиме двете страни лево со векторот на радиусот на точката ⎡ dv ⎤ ma ⎢ ra , a ⎥ = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ = K a . dt ⎦ ⎣ 1 Оваа идеја за трансформации на механичка енергија се покажува како адекватна за објективната реалност само додека ги разгледуваме појавите кои не се придружени со трансформација на материјалната материја во материја на теренот и обратно. 26 Големината K a = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ (1.11) се нарекува момент на сила Fa во однос на потеклото. Поради очигледната врска d ⎣⎡ ra , va ⎦⎤ ⎡ d va ⎤ ⎡ dra ⎤ ⎡ dv ⎤ , va ⎥ = ⎢ ra , a ⎥ = ⎢ ra , +⎢ ⎢ ⎢ ⎥ d , ⎣ ⎣ г ⎡ ⎣ ра , ма ва ⎤⎦ = Ка . dt Како и досега, бројот на таквите равенки е N, а со нивно собирање се добива dM =K, (1.12) dt каде што се вика адитивната количина N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ , (1.13) a =1 аголниот моментум на механичкиот систем. Ако моментот на силите што дејствуваат на системот е нула, тогаш аголниот моментум на системот е зачуван N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ = const . (1.14) a =1 1.7. Интеграли на движење Големините разгледани во ставовите 1.4–1.6 кои се зачувани под одредени услови: импулс, енергија и аголен моментум се добиваат како резултат на едно интегрирање на основната диференцијална равенка на динамиката - равенката на движење, т.е. се првите интеграли на диференцијални равенки од втор ред. Поради ова, сите овие физички величини обично се нарекуваат интеграли на движење. Подоцна, во делот посветен на проучувањето на равенките на Лагранж од втор вид (равенки во кои се трансформира вториот Њутнов закон за конфигурацискиот простор27), ќе покажеме дека интегралите на движење може да се сметаат како последици на својствата на Њутновиот простор и време. . Законот за зачувување на енергијата е последица на хомогеноста на временската скала. Законот за зачувување на импулсот произлегува од хомогеноста на просторот, а законот за зачувување на аголниот моментум произлегува од изотропијата на просторот. 1.8. Движење во неинерцијални референтни системи 1.9. Тест задача 1.9.1. Пример за решавање на задача Најди ги равенките на движење на точка под влијание на привлечна сила кон центарот C1 и сила на одбивање околу центарот C2, пропорционални на растојанијата до центрите. Коефициентите на пропорционалност се еднакви на k1m и k2m, соодветно, каде што m е масата на точката M. Координатите на центрите во произволен момент во времето се одредуваат со односите: X1(t) = acoωt; Y1(t) = asinωt; Z1 = сhλt; X2 = Y2= 0; Z2 = Z1. Во почетниот момент, точката имала координати x = a; y = 0; z=0 и брзина со компоненти vx = vy = vz =0. Решете ја задачата под услов k1 > k2. Движењето на материјална точка под дејство на две сили F1 и F2 (слика 5) е определено со основната диференцијална равенка на динамиката - вториот закон на Њутн: mr = F1 + F2, каде што две точки над симболот значат повторена диференцијација во времето . Според условите на задачата, силите F1 и F2 се определуваат со релациите: 28 F1 = − k1mr1 ; F2 = k2 mr2 . Потребната количина е векторот на радиусот на точката M, затоа векторите r1 и r2 треба да се изразат преку векторот на радиусот и познатите вектори R1 = iX 1 (t) + jY1 (t) + kZ1 (t) = ia cos ωt + ja sin ωt + k cosh λt и R2 = iX 2 (t) + jY2 (t) + kZ 2 (t) = k cosh λt, каде што i, j, k се основните вектори на Декартовиот координатен систем. М r1 r r2 С1 R1 R2 О С2 „О“ е потеклото на координатите, R1 и R2 се вектори на радиусот на центрите за привлекување и одбивање, r е вектор на радиус на точката M, r1 и r2 се вектори кои ја одредуваат положбата на точката М во однос на центрите. Слика 6 – Точка M во полето на два центри Од слика 6 добиваме r1 = r − R1 ; r2 = r − R2 . Заменувајќи ги сите овие односи со вториот закон на Њутн и делејќи ги двете страни на равенката со маса m, добиваме нехомогена диференцијална равенка од втор ред со константни коефициенти: r + (k1 − k2)r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k (k1 − k2)ch λt . Бидејќи, според условите на задачата, k1 > k2, има смисла да се воведе ознаката – позитивната вредност k2 = k1 – k2. Тогаш добиената диференцијална равенка добива форма: r + k 2 r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k 2ch λt. Решението на оваа равенка треба да се бара во форма на збир од општото решение ro на хомогената равенка ro + k 2 ro = 0 и конкретното решение rch на нехомогената равенка r = ro + rch. За да конструираме општо решение, ја составуваме карактеристичната равенка λ2 + k2 = 0, чии корени се имагинарни: λ1,2 = ± ik, каде што i = −1. Поради ова, општото решение на хомогената равенка треба да се запише во форма r = A cos kt + B sin kt, каде што A и B се константи на векторска интеграција. Посебно решение може да се најде со формата на десната страна со воведување на неодредени коефициенти α1, α 2, α 3 rc = α1 cos ωt + α 2 sin ωt + α 3ch λt, rc = −ω2α1 cos ωt − ω2α 2 sin ωt + λ 2α 3ch λt . Заменувајќи го ова решение во нехомогена равенка и изедначувајќи ги коефициентите за идентични временски функции на левата и десната страна на равенките, добиваме систем од равенки што ги одредува неодредените коефициенти: α1 (k 2 − ω2) = iak1 ; α 2 (k 2 − ω2) = jak1 ; α 3 (k 2 + λ 2) = ik 2. Така, општото решение на нехомогената равенка има форма 30 r = A cos kt + B sin kt + k1 k2 a i t j k cosh λt. (cos ω + sin ω) + k 2 − ω2 k 2 + λ2 Интеграционите константи се одредуваат од почетните услови, кои можат да се напишат во векторска форма: r (t = 0) = ia; r (t = 0) = 0. За да се одредат константите на интеграција, потребно е да се знае брзината на точка во произволен временски момент ωk r = −kA sin kt + kB cos kt + 2 1 2 a (−i sin ωt k −ω 2 λk + j cos ωt) + 2 k sinh λt. k + λ2 Заменувајќи ги почетните услови во пронајденото решение, добиваме (t = 0): k k k2 ia = A + 2 1 2 ia + 2 k ; 0 = kB + 2 1 2 j ωa. 2 k −ω k +λ k −ω Да ги најдеме константите на интеграција од тука и да ги замениме во равенката во равенките на движење k r = ia cos kt + 2 1 2 + 2 k (ch λt − cos kt). ω k + λ2 Овој израз ги претставува бараните равенки на движење во векторска форма. Овие равенки на движење, како и целиот процес на нивно пребарување, може да се запишат во проекции на оските на Декартовиот координатен систем. + 1.9.2. Варијанти на тест задачи Најди ги равенките на движење на материјална точка под влијание на силата на привлекување кон центарот O1 и силата на одбивање од центарот O2. Силите се пропорционални на растојанијата до центрите, коефициентите на пропорционалност се еднакви на k1m и k2m, соодветно, каде што m е масата на точката. Координатите на 31 центар, почетните услови и условите наметнати на коефициентите се дадени во табелата. Првата колона го содржи бројот на опцијата. Во непарните варијанти, разгледајте k1 > k2, во непарни варијанти, k2 > k1. Варијанти на контролни задачи се дадени во Табела 1. Втората и третата колона ги прикажуваат координатите на центрите за привлекување и одбивност во произволен момент од времето t. Последните шест колони ги одредуваат почетните координати на материјалната точка и компонентите на нејзината почетна брзина, неопходни за одредување на константите на интеграција. Табела 1. Опции за пробна работа 1. Величините a, b, c, R, λ и ω се константни величини Опција 1 1 Координати на центарот O1 2 X 1 = a + bt ; Y1 = e ; Z1 = 0. Z 2 = 0. X 1 = –t 3 + cosh λt ; X 2 = 0; Y1 = 0; 3 5 X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + achλt ; a 0 a b 0 0 Z 2 = 0. X 1 = 0; X 2 = 0; Y1 = bt ; Y2 = Y1 + R cos ωt ; a 0 a 0 b b Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + ach λt ; 4 a a a 0 0 0 Y2 = Y1 + ashλt ; Z1 = R cos ωt. Z1 = 0. 4 0 0 a 0 0 b Z 2 = Z1 + R sin ωt. 4 Y1 = 0; x0 y0 z0 vx vy vz Y2 = R cos ωt ; Z1 = a + bt. Y1 = a; 4 3 X 2 = X 1 + R cos ωt ; Почетни вредности Y2 = Y1 + R sin ωt ; λt 2 Координати на центарот O2 Y2 = Y1 + пепел λt ; Z 2 = 0. 32 a 0 a 0 0 0 Продолжување на табелата 1 1 6 7 2 X 1 = пепел λt ; 3 X 2 = Y1 + R cos ωt ; Y1 = ach λt ; Y2 = 0; Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = ct; Y1 = 0; X 2 = 0; 4 9 0 0 a 0 0 b 0 0 a 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R sin ωt. Z1 = ae λt . 8 4 X 1 = пепел λt ; X 2 = X 1 + RCosωt; Y1 = 0; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z 2 = Z1 + RSinωt. X 1 = a + bt; Y1 = a + bt; X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 0 0 a a 0 b b o Y2 = Y1 + R sin ωt ; Z 2 = e −λt . λt Z1 = ae . 10 X 1 = a + ct 3 ; Y1 = a + bt ; Z1 = aeλt. 11 X 1 = a + bt 2; Y1 = ach λt ; Z1 = пепел λt. X 2 = 0; a a 0 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R sin ωt. X2 = X1; a 0 0 0 0 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = R sin ωt ; 12 X 1 = 0; Y1 = a + bt ; 4 Z1 = a + bt . 4 13 X 1 = пепел λt; Y1 = 0; Z1 = ach λt. 14 X 1 = ae−2λt ; Y1 = ae 2 λt ; Z1 = a + bt + ct 4 . 0 a a 0 b 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z2 = Z1. X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 b 0 Y2 = a + bt + ct; 3 Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = 0; 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z 2 = a cos ωt. 33 Крај на табелата 1 1 2 15 X 1 = ae Y1 = ae −2 λt 2 λt 3 X 2 = 0; ; ; Y1 = пепел λt ; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z2 = Z1. X 1 = R cos ωt ; 21 X 2 = X 1 + a + bt 2 ; Y2 = Y1 ; Z1 = a + bt. Z1 = 0. Y1 = R cos ωt ; X 2 = X 1 + пепел λt ; Y1 = 0; Y2 = a + bt ; Z1 = R sin ωt. 20 a 0 0 b 0 0 Y1 = R sin ωt ; 2 19 Z 2 = a cos ωt. X 2 = грев ωt ; 16 X 1 = a + bt; 18 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z1 = a + bt + ct 4 . 17 4 0 a 0 0 0 b 2 Z 2 = Z1 + ach λt. X1 = X2; X 2 = a + bt ; Y1 = 0; Y2 = ashλt ; Z1 = 0. Z 2 = achλt. 0 0 a 0 b 0 X 1 = 0; X 2 = aSinωt ; Y1 = 0; Y2 = aCosωt ; Z1 = a + bt + ct 4 . Z 2 = 0. X 1 = ashλt; X 2 = 0; Y1 = achλt ; Y2 = a + bt + ct; Z1 = 0. 0 0 a b 0 0 0 a a b 0 b 0 0 a 0 0 b 3 Z 2 = 0. Литература за тест задача 1. Meshchersky I.V. Збирка задачи од теоретска механика. М., 1986. П. 202. (Проблеми бр. 27.53 - 27.56, 27.62, 27.63). 2. Олховски И.И. Курс по теоретска механика за физичари. М., 1974. С. 43 – 63. 34 1.10. Завршни контролни (испитни) тестови 1.10.1. Поле А А.1.1. Основната диференцијална равенка за динамика на материјална точка има форма... А.1.2. Решавање на директен проблем на динамика значи... А1.3. Решавањето на инверзната задача на динамиката значи... А.1.5. Збирот на внатрешните сили кои делуваат на систем од материјални точки исчезнува поради... А.1.6. Импулсот на силата е... А.1.7. Центар на инерција систем е референтен систем во кој А.1.8. Центарот на маса е... А.1.9. Координатите на центарот на масата се одредуваат со формулата А.1.10. Брзината на системот на центарот на инерција се одредува со формулата... А.1.11. Законот за зачувување на импулсот на систем од материјални точки во најопшт облик е запишан како... А.1.12. Потенцијалното поле на сила се определува со релацијата... (основна дефиниција) А.1.13. Потенцијалното поле на сила се определува со релацијата... (последица на главната дефиниција) А.1.14. Ако полето F е потенцијално, тогаш... А.1.15. Аголниот моментум на систем од материјални точки е количеството... А.1.16. Моментот на силите кои делуваат на механички систем може да се определи со релацијата... А.1.17. Ако моментот на силите што дејствуваат на механички систем е еднаков на нула, тогаш ... A.1.18 е зачуван. Ако збирот на надворешните сили што дејствуваат на механички систем е еднаков на нула, тогаш ... A.1.19 е зачувана. Ако силите на дисипација не дејствуваат на механичкиот систем, тогаш останува ... A.1.20. Механичкиот систем се нарекува затворен ако 35 1.10.2. Поле B ua B.1.1. Резултатот од пресметувањето на интегралот ∑ ∫ d (m d v) a a a va е изразот ... Б.1.2. Импулсот на механичкиот систем во референтната рамка K е поврзан со моментумот на референтната рамка K′ што се движи во однос на него со брзина V со релацијата ... Б.1.3. Ако F = −∇Π, тогаш... Б.1.4. Работата што ја врши силата F = −∇Π по затворена јамка исчезнува поради … d va2 B1. 5. Временскиот извод е еднаков на ... dt B.1.6. Временскиот дериват на моментот на импулсот d е еднаков на ... dt 1.10.3. Поле В В.1.1. Ако точката со маса m се движи така што во моментот t нејзините координати се x = x(t), y = y(t), z = z (t), тогаш на неа дејствува сила F, компонента Fx (Fy , Fz) што е еднакво на... В.1.2. Ако точката се движи под влијание на сила kmr и ако при t = 0 имала координати (m) (x0, y0, z0) и брзина (m/s) (Vx, Vy, Vz), тогаш во моментот t = t1 s неговата координата x ќе биде еднаква на...(m) C.1.3. На темињата на правоаголен паралелепипед со страни a, b и c има точкасти маси m1, m2, m3 и m4. Најдете ја координатата (xc, yc, zc) на центарот на инерција. 36 m3 m4 z m3 m4 c m1 y m2 b m1 m2 a x Слика 7 – За задача В.1.3 В.1.4. Густината на прачка со должина варира според законот ρ = ρ(x). Центарот на масата на таквата прачка се наоѓа од потеклото на растојание... В.1.5. Силата F = (Fx, Fy, Fz) се применува на точка со координати x = a, y = b, z = c. Проекциите на моментот на оваа сила во однос на потеклото на координатите се еднакви на... 37 2. ДВИЖЕЊЕ ВО ЦЕНТРАЛНО СИМЕТРИЧНО ПОЛЕ 2.1. Структура на делот „користи“ Брзина и забрзување во кривилинеарни координати Анализа на тензори „траги“ „користи“ Интеграли на движење на контролната единица „траги“ „користи“ Брзина на секторот Векторски производ „траги“ „користи“ Траекторска равенка Определен интегрален „траги“ ” “користи” “користи” “Радерфорд формула Стерадијанска Слика 8 - Структура на делот “централно симетрично поле 38 2.2. Концепт на централно симетрично поле Да го наречеме полето централно симетрично во кое потенцијалната енергија на материјалната точка зависи само од растојанието r до одреден центар „О“. Ако потеклото на Декартовиот координатен систем е поставен во точката „О“, тогаш ова растојание ќе биде модулот на векторот на радиусот на точката, т.е. P = P(r), r = x 2 + y 2 + z 2. Во согласност со дефиницијата за потенцијално поле, силата ∂Π ∂Π ∂r ∂Π r ∂Π (2.1) F =− =− =− =− er делува на точка. ∂r ∂r ∂r ∂r r ∂r Во такво поле, еквипотенцијалните површини П(r) = const се совпаѓаат со координатните површини r = const во сферични координати. Силата (2.1), која во декартовските координати има три компоненти кои не се нула, во сферичните координати има само една ненулта компонента - проекцијата на основниот вектор er. Сето горенаведено не принудува да се свртиме кон сферични координати, чија симетрија се совпаѓа со симетријата на физичкото поле. Сферичните координати се посебен случај на ортогонални криволинеарни координати. 2.3. Брзина во криволиниски координати Нека xi (x1 = x, x2 = y, x3 = z,) се Декартови координати, а ξ = ξi(xk) се криволиниски координати – функции еден на еден на Декартови координати. По дефиниција, векторот на брзина dr (ξi (t)) ∂r ∂ξi v= = i = ei ξi , (2.2) ∂ξ ∂t dt каде што векторите ∂r ei = i (2.3) ∂ξ i 39 формираат таканаречена координатна (или холономска или интегрирана) основа. Квадратот на векторот на брзина е еднаков на v 2 = (ei, e j) ξi ξ j = gij ξi ξ j. Количини ⎛ ∂r ∂r ⎞ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z (2.4) gij = (ei , e j) = ⎜ i , j ⎟ = i + i + i j j ∂ξ ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ги претставуваат ковариантните компоненти на метричкиот тензор. Кинетичката енергија на материјална точка во криволиниски координати има форма mv 2 1 T= = mgij ξi ξ j . (2,5) 2 2 2,4. Забрзување во криволиниски координати Кај криволинеарните координати од времето не зависат само координатите на подвижната точка, туку и векторите на основата што се движат со неа, чии коефициенти на проширување се измерените компоненти на брзината и забрзувањето. Поради ова, кај криволинеарните координати на диференцијација подлежат не само координатите на точката, туку и основните вектори dei (ξi (t)) d v dei ξi (t) i i . (2.6) W= = = ei ξ + ξ dt dt dt Според правилото за диференцијација на сложената функција dei (ξi (t)) ∂ei d ξ j = j ∂ξ dt dt Изводот на векторот во однос на координатата е исто така вектор∂ei торус, затоа секој од деветте вектори може ∂ξ j да се прошири во основни вектори ∂ei (2.7) = Γijk ek . j ∂ξ 40 Коефициентите на проширување Γijk се нарекуваат коефициенти на афина врска. Просторите во кои се дефинирани коефициентите на афина врска се нарекуваат простори на афина врска. Просторите во кои коефициентите на афина врска се еднакви на нула се нарекуваат афини простори. Во афиниот простор, во најопшт случај, може да се воведат само праволиниски коси координати со произволни скали по секоја од оските. Основните вектори во таков простор се исти во сите негови точки. Ако се избере координатната основа (2.3), тогаш коефициентите на афината врска излегуваат симетрични во подлоги и во овој случај тие се нарекуваат Кристофелови симболи. Кристофеловите симболи можат да се изразат во однос на компонентите на метричкиот тензор и нивните координатни изводи ∂g jm ⎫ ⎧ ∂g ij ∂g 1 Γ ijk = g km ⎨− m + mij + (2,8) ⎬. ∂ξ ∂ξi ⎭ 2 ⎩ ∂ξ Величините gij се контраваријантни компоненти на метричкиот тензор - елементи на матрицата инверзна на gij. Коефициенти на проширување на векторот на забрзување во однос на главните базични вектори Dξ k k k k i j W = ξ + Γij ξ ξ = . (2.9) dt претставуваат контраваријантни компоненти на векторот на забрзување. 2.5. Брзина и забрзување во сферични координати Сферните координати ξ1 = r, ξ2 = θ, ξ3 = ϕ се поврзани со Декартовските координати x, y и z со следните односи (слика 9): x = rsinθcosϕ, y = rsinθsinϕ, z = rcosθ . 41 z θ y r ϕ x x Слика 9 – Врска помеѓу Декартови координати x, y, z со сферични координати r, θ, ϕ. Компонентите на метричкиот тензор ги наоѓаме со замена на овие релации во изразот (2.4) 1 + 1 1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1; ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ∂x ​​∂x ∂ y ∂ y ∂ 2 g 2 + 2 ∂ ξ ∂ ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎜; ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ∂x ​​∂x ∂y ∂y ∂z ∂z g33 = 3 3 + 3 3 + 3 3 = ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = r 2 грев 2 θ. ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ Недијагоналните компоненти на метричкиот тензор се еднакви на нула бидејќи сферичните координати се ортогонални криволиниски координати. Ова може да се потврди со директни пресметки или со конструирање тангенти на координатните линии на основните вектори (Слика 10). er eϕ θ eθ Слика 10 - Координатни линии и основни вектори во сферични координати Покрај главните и меѓусебните основи, често се користи и таканаречената физичка основа - единични вектори тангентни на координатните линии. Во оваа основа, физичката димензија на векторските компоненти, кои исто така обично се нарекуваат физички, се совпаѓа со димензијата на неговиот модул, кој го одредува името на основата. Заменувајќи ги добиените компоненти на метричкиот тензор во (2.5), добиваме израз за кинетичката енергија на материјалната точка во сферични координати 1 1 (2.10) T = mv 2 = m r 2 + r 2θ2 + r 2 sin 2 θφ2 . 2 2 Бидејќи сферичните координати ја рефлектираат симетријата на централно симетрично поле, изразот (2.10) се користи за да се опише движењето на материјална точка во централно симетрично поле. () 43 За да ги пронајдете контраваријантните компоненти на забрзувањето користејќи ја формулата (2.9), прво мора да ги најдете контраваријантните компоненти на метричкиот тензор како елементи на матрицата, инверзна матрица gij, а потоа и симболите Кристофел според формулите (2.8). Бидејќи матрицата gij е дијагонална во ортогоналните координати, елементите на нејзината инверзна матрица (исто така дијагонала) се едноставно инверзна на елементите gij: g11 = 1; g22 = r–2; g33 = r–2sin–2θ. Ајде прво да откриеме кој од симболите на Кристофел ќе биде ненула. За да го направите ова, ја пишуваме релацијата (2.8), ставајќи го надредениот знак еднаков на 1 ∂g j1 ⎫ ⎧ ∂gij ∂g 1 Γ1ij = g 11 ⎨− 1 + 1ji + i ⎬ . 2 ∂ξ ⎭ ⎩ ∂ξ ∂ξ Бидејќи недијагоналните компоненти на метричкиот тензор се еднакви на нула и компонентата g11 = 1 (константа), последните два члена во загради стануваат нула, а првиот член ќе биде не- нула за i = j = 2 и i = j = 3. Така, меѓу симболите на Кристофел со индекс 1 на врвот, само Γ122 и Γ133 ќе бидат ненула. Слично на тоа, наоѓаме симболи на Кристофел кои не се нула со индекси 2 и 3 на врвот. Вкупно има 6 ненула Кристофелов симболи: Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; 1 2 2 Γ12 = Γ 221 = ; Γ33 = − sin θ cos θ; r 1 3 Γ13 = Γ331 = ; Γ323 = Γ332 = ctgϑ. r (2.11) Заменувајќи ги овие релации во изразот (1.3), добиваме контраваријантни компоненти на забрзување во сферични координати: 44 W 1 = ξ1 + Γ122ξ 2 ξ2 + Γ133ξ3ξ3 = r − rθ2 − r sin 2 θφ2 ; 2 2 1 2 2 3 3 W 2 = ξ 2 + 2Γ12 ξ ξ + Γ33 ξ ξ = θ + r θ − sin θ cos θφ2 ; (2.12) r 2 3 1 3 W 3 = ξ3 + 2Γ13 ξξ + 2Γ323ξ2 ξ3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ. r 2.6. Равенки на движење во централно симетрично поле Во сферични координати, векторот на сила има само една ненулта компонента d Π (r) (2.13) Fr = − dr Поради ова, вториот закон на Њутн за материјална точка има форма d Π (r ) (2,14) mW 1 = m r − r θ2 − r sin 2 θφ2 = − dr 2 (2,15) W 2 = θ + rθ − sin θ cos θφ2 = 0 r 2 (2,16) W 3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ = 0 r Равенката (2.15 ) има две парцијални решенија ⎧0 ⎪ θ = ⎨π (2.17) ⎪⎩ 2 Првото од овие решенија е во спротивност со условот наметнат на криволинеарните координати; при θ = 0, Јакобијанот на трансформациите исчезнува J = g = r 2 sin θ = 0 ( ) θ= 0 Земајќи го предвид второто решение (2.17), равенките (2.14) и (2.16) го добиваат обликот d Π (r) (2.18) m (r − r ϕ2) = − dr 45 2 (2.19) ϕ + rϕ = 0 r Равенката (2.19) дозволува раздвојување на променливите d ϕ dr = r ϕ и првиот интеграл r 2ϕ = C , (2.20) каде што C е константа на интеграција. Во следниот пасус ќе се покаже дека оваа константа претставува двојно поголема брзина на секторот, и затоа, самиот интеграл (2.20) е вториот Кеплеров закон или интеграл на областа. За да го најдеме првиот интеграл од равенката (2.18), заменуваме со (2. 18) релација (2.20) ⎛ C2 ⎞ d Π (r) m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ и одделете ги променливите dr 1 dr 2 C 2 1 d Π (r) . = 3 − r= 2 dr dr r m dr Како резултат на интеграцијата, добиваме ⎛ mr 2 C 2 ⎞ + 2 ⎟ + Π (r) = const = E = T + Π (r) , (2.21) ⎜ r ⎠ ⎝ 2 т. е. законот за зачувување на механичката енергија, кој е лесно да се потврди со замена на (2.17) и (2.20) во (2.10). 2.7. Секторска брзина и секторско забрзување Секторска брзина – вредност, нумерички еднаква на површина, зафатен со векторот на радиусот на точката по единица време dS σ= . dt Како што може да се види од слика 11 46 1 1 [r , r + dr ] = [ r , dr ] , 2 2 а брзината на секторот се одредува со релацијата 1 (2.22) σ = ⎡⎣ r , r ⎤⎦ . 2 Во случај на движење на рамнина во цилиндрични координати r = ix + jy, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (2.22) има форма i j k 1 1 1 σ = x y 0 = kr 2ϕ = C . (2.23) 2 2 2 x y 0 dS = r dr r + dr dS Слика 11 – Плоштина поместена од векторот на радиусот Така, константата на интеграција C е двојно поголема од брзината на секторот. Пресметувајќи го временскиот извод на изразот (2.22), го добиваме секторското забрзување 47 1 ⎡r , r ⎤ . (2.24) 2⎣ ⎦ Според вториот закон на Њутн, изразот (2.24) претставува половина од моментот на сила поделен со масата, а претворањето на овој момент на нула доведува до зачувување на аголниот моментум (види дел 1.2). Секторската брзина е половина од аголниот момент поделен со масата. Со други зборови, првите интеграли на равенките на движење во централно симетрично поле би можеле да се напишат без експлицитно интегрирање на диференцијалните равенки на движење, само врз основа на фактот дека 1) движењето се јавува во отсуство на сили за дисипација; 2) момент на сили 1 K = ⎣⎡ r , F ⎦⎤ = ⎣⎡ r , r ⎦⎤ = 0 . (2,25) m станува нула. σ= 2,8. Равенка на движење на материјална точка во гравитационо поле и Кулонов поле 2.8.1. Ефективна енергија Променливите во релацијата (2.21) лесно се одвојуваат dr dt = , (2.26) 2 E ⎛ 2Π (r) C 2 ⎞ −⎜ + 2 ⎟ m ⎝ m r ⎠ и добиената врска (2.26) може да се анализира. Во случаите на Кулон и гравитационите полиња, потенцијалната енергија е обратно пропорционална на растојанието до центарот α ⎧α > 0 – силата на привлекување; Π (r) = − ⎨ (2.27) r ⎩α< 0 − силы оталкивания. В случае силы притяжения выражение в скобках в формуле (2.26) принимает вид 48 2 ⎛ α mC 2 ⎞ ⎜− + ⎟. m ⎝ r 2r 2 ⎠ Оба слагаемых в скобках имеют размерность энергии. Второе слагаемое mC 2 (2.28) U цб = 2r 2 называют центробежной энергией. Вместе с потенциальной энергией она образует так называемую «эффективную энергию», которая имеет минимум, соответствующий устойчивому движению (рисунок 12) α mC 2 (2.29) U эф = − + 2 . r 2r Центробежная энергия r Эффективная энергия Потенциальная энергия Uэфmin Рисунок 12 – Эффективная энергия 2.8.2. Уравнение траектории Вернемся к выражению (2.26). Для вычисления интеграла введем новую переменную 1 dr (2.30) u = , du = − 2 r r и выберем координату ϕ в качестве новой независимой переменной. Это возможно, если ϕ(t) – монотонная функция времени. Монотонность же этой функции вытекает из отличия от нуля производной по времени 49 C r2 во всей области за исключением r → ∞. С учетом этих замен выражение (2.26) приводится к интегралу −du ϕ − ϕ0 = ∫ = α ⎞ 2E ⎛ 2 − ⎜u − 2 u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ = = ϕ= ∫ 2 2E ⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞ +⎜ −⎜u − ⎟ 2 2 ⎟ mC ⎝ mC ⎠ ⎝ mC 2 ⎠ α u− mC 2 = arccos . 2E ⎛ α ⎞ +⎜ ⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ P ϕ= 2 2 π 2 Полюс Рисунок 13 – Геометрический смысл фокального параметра Возвращаясь к переменной r, получим уравнение траектории материальной точки в центрально-симметричном поле 50 r= p , 1 + ε cos(ϕ − ϕ0) (2.31) где mC 2 α – фокальный параметр орбиты; p= ε = 1+ 2mC 2 E α2 (2.32) (2.33) – эксцентриситет орбиты. Уравнение (2.31) представляет собой уравнение конического сечения. Геометрический смысл фокального параπ метра, которому радиус-вектор точки равен при ϕ − ϕ0 = 2 представлен на рисунке 13. 2.8.3. Зависимость формы траектории от полной энергии Вид конического сечения – траектории точки в центрально-симметричном поле – зависит от эксцентриситета, а тот согласно (2.33) зависит от полной энергии. 1. ε = 0. Траектория точки представляет собой окружность. Вкупна енергијаточка која се наоѓа на површината на планета со маса M и радиус R се определува со релацијата mv 2 GMm α2 − = − . E= 2 R2 2mC 2 2. 0< ε <1. Траектория точки представляет собой эллипс. Полная энергия точки ограничена значениями α2 mv 2 GMm − < − < 0. 2 R2 2mC 2 3. ε = 1. Траектория точки представляет собой параболу. Полная энергия точки обращается в нуль 51 mv 2 GMm − =0. 2 R2 Соответствующая скорость v2 = 2 GM = 2v1 (2.34) R называется второй космической скоростью, а v1 = GM R – первой космической скоростью 4. ε > 1. Траекторијата на точката е хипербола. Вкупната енергија на една точка е поголема од нула. 2.9. Намалување на проблемот со две тела на проблем со едно тело. Намалена маса Да го разгледаме проблемот на движењето на две тела под влијание на силата на заемодејство само едно со друго (слика 14) F12 m2 r r1 m1 r2 F21 O O – потекло на координатите; m1 и m2 – маси на тела кои содејствуваат Слика 14 – Проблем со две тела Да го напишеме вториот Њутнов закон за секое од телата 52 m1r1 = F12 = − F (r) ⎫⎪ ⎬ m2 r2 = F21 = F (r) ⎪⎭ ( 2.35) За векторот r имаме r = r2 − r1 . (2.36) Да ја поставиме задачата за изразување на векторите r1 и r2 преку векторот r. Самата равенка (2.36) не е доволна за ова. Нејасноста во дефиницијата на овие вектори се должи на произволноста на изборот на потеклото на координатите. Без ограничување на овој избор на кој било начин, невозможно е уникатно да се изразат векторите r1 и r2 во однос на векторот r. Бидејќи позицијата на потеклото на координатите треба да се определи само со положбата на овие две тела, има смисла да се комбинира со центарот на масата (центарот на инерција) на системот, т.е. стави m1r1 + m2 r2 = 0 . (2.37) Изразувајќи го векторот r2 со помош на векторот r1 користејќи (2.37) и заменувајќи го во (2.36), добиваме m2 m1 r1 = − r ; r2 = r. m1 + m2 m1 + m2 Заменувајќи ги овие релации во (2.35) наместо две равенки добиваме една mr = F (r), каде што се внесува величината m, наречена намалена маса mm (2.38) m= 1 2 . m1 + m2 Така, проблемот на движењето на две тела во полето на заемно дејство едно врз друго се сведува на проблемот на движење на точка со намалена маса во централно симетрично поле во центарот на системот на инерција. 53 2.10. Формулата на Радерфорд Во согласност со резултатите од претходниот пасус, проблемот со судирот на две честички и нивното последователно движење може да се сведе на движење на честичка во централното поле на стационарен центар. Овој проблем беше разгледан од Е. Радерфорд за да ги објасни резултатите од експериментот за расејување на α-честички од атоми на материјата (Слика 15). dχ dχ Vm dρ V∞ ρ Слика 15 – rm ϕ ϕ χ Распрснување на α-честичка од неподвижен атом Траекторијата на честичката отклонета од атомот мора да биде симетрична во однос на нормалната на траекторијата, спуштена од центарот на расејување. симетралата на аголот формиран од асимптотите). Во овој момент честичката е на најкраткото растојание rm од центарот. растојанието на кое се наоѓа изворот на α-честичките е многу поголемо од rm, така што можеме да претпоставиме дека честичката се движи од бесконечност. Брзината на оваа честичка во бесконечност е означена на слика 15 со V∞. Растојанието ρ на правата на векторот на брзина V∞ од правата паралелна на неа што минува низ центарот на расејување се нарекува растојание на удар. Аголот χ формиран од асимптотата на траекторијата на расфрланите честички со централната линија (истовремено поларната 54 оска на поларниот координатен систем) се нарекува агол на расејување. Особеноста на експериментот е дека растојанието на ударот, во принцип, не може да се одреди за време на експериментот. Резултатот од мерењата може да биде само бројот dN на честички чии агли на расејување припаѓаат на одреден интервал [χ,χ + dχ]. Не може да се одреди ниту бројот N на честичките N што паѓаат по единица време, ниту нивната густина на флукс n = (S е пресечната површина на упадниот зрак). Поради ова, таканаречениот ефективен пресек на расејување dσ, дефиниран со формулата (2.39) dN, се смета за карактеристика на расејување. (2.39) dσ = n Изразот dN n/ 2πρd ρ = = 2πρd ρ dσ = n n/ добиен како резултат на едноставна пресметка не зависи од густината на флуксот на инцидентните честички, но сепак зависи од растојанието на ударот. Не е тешко да се види дека аголот на расејување е монотона (монотоно опаѓачка) функција на растојанието на ударот, што овозможува ефективниот пресек на расејување да се изрази на следниов начин: dρ (2,40) d σ = 2πρ dχ . dχ dρ< 0 . Следует, однако, отВ этой формуле учтено, что dχ метить, что рассеиваемые частицы в ходе эксперимента регистрируются не внутри плоского угла dχ, а внутри телесного угла dΩ, заключенного между двумя бесконечно близкими конусами. На рисунке 16 представлен телесный 55 угол dΩ и второй бесконечно малый телесный угол dω, отнесенный к цилиндрической системе координат. Бесконечно малая поверхность ds на рисунке 16 представляет собой часть координатной поверхности – сферы – r = const. С этой поверхностью с точностью до бесконечно малых первого порядка совпадает бесконечно малый прямоугольник, построенный на векторах eθ d θ и eϕ d ϕ 5. Площадь этого прямоугольника равна ds = ⎡⎣ eθ , eϕ ⎤⎦ d θd ϕ = eθ eϕ d θd ϕ = rr sin θd θd ϕ . ds dΩ dω θ dθ r dϕ Рисунок 16 – К выводу связи плоского угла с телесным углом Соответствующий сферической поверхности, площадь которой с точностью до бесконечно малых второго порядка равна площади этого прямоугольника, телесный угол по определению равен ds d ω = 2 = sin θd θd ϕ . r Интегрируя этот угол по ϕ в границах от нуля до 2π, получим 5 Смотрите: часть первая раздел второй учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды 56 d Ω = 2π sin θd θ . Очевидно, что угол рассеяния χ есть ни что иное, как сферическая координата θ. Заменяя в (2.40) плоский угол телесным, получим ρ dρ (2.41) dσ = dΩ . sin χ d χ Таким образом, для дальнейшего решения задачи необходимо найти функцию ρ(χ). С этой целью обратимся опять к уравнению (2.26), произведя в ней замену переменных в соответствии с (2.30) и перейдя к независимой переменной ϕ. α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ dϕ = . 2 2E α2 α ⎞ ⎛ + 2 4 −⎜u − ⎟ 2 mC mC ⎝ mC 2 ⎠ Левую часть этого соотношения проинтегрируем от 0 до ϕ, а правую – в соответствующих границах для переменной u: 1 от 0 до um = rm α α um − − 2 mC mC 2 ϕ = arccos − arccos . α2 α2 2E 2E + + mC 2 m 2C 4 mC 2 m 2C 4 В соответствии с законами сохранения энергии и момента импульса можно записать mV∞2 mVm2 α ⎫ = − ;⎪ E= 2 2 rm ⎬ ⎪ C = ρV∞ = rmVm . ⎭ Выразив из этих уравнений um, приходим к выводу, что отличным от нуля будет только второе слагаемое в выражении для ϕ, и, следовательно, имеем 57 ⎛ 2E α2 α2 ⎞ 2 = + ⎜ ⎟ cos ϕ . m 2C 4 ⎝ mC 2 m 2C 4 ⎠ Так как интеграл движения C зависит от ρ, то его следует также заменить в соответствии с законом сохранения момента импульса. Учитывая, что 2ϕ + χ = π, получим формулу Резерфорда 2 ⎛ α ⎞ 1 dσ = ⎜ dΩ . 2 ⎟ ⎝ 2mV∞ ⎠ sin 4 χ 2 2.11. Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах 2.11.1. Пример выполнения контрольной работы по теме скорость и ускорение в криволинейных координатах Примером выполнения контрольного задания по этой теме является изложенный в пункте 2.5. метод определения скорости и ускорения в сферических координатах. Используя предлагаемую в третьей колонке с вязь декартовых координат с криволинейными, найдите диагональные компоненты метрического тензора (недиагональные равны нулю, так как все заданные криволинейные координаты являются ортогональными). Полученные Вами результаты сравните с таблицей приложения 1. Используя полученные компоненты метрического тензора, найдите необходимые для вычисления указанных в таблице 2 контравариантных компонент ускорения. 58 2.11.2. Варианты контрольных заданий Найти кинетическую энергию материальной точки и контравариантные компоненты ускорения в криволинейных координатах, представленных в таблице 2. Таблица 2. Варианты заданий контрольных заданий (a, b, c, R, λ, и ω – постоянные величины) Вариант 1 1 Компоненты ускорения 2 Связь с декартовыми координатами 3 W1 ξ1=λ; ξ2=μ; ξ3=ν –общие эллипсоидальные координаты x2 = (a + λ)(a 2 + μ)(a 2 + ν) ; (a 2 − b 2)(a 2 − c 2) y2 = (b 2 + λ)(b 2 + μ)(b 2 + ν) ; (b 2 − a 2)(b 2 − c 2) z2 = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W2 W3 W1 и W3; ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 ξ1 = u; ξ2 = v; ξ3 = w W2 W3 2 (c 2 + λ)(c 2 + μ)(c 2 + ν) . (c 2 − a 2)(c 2 − b 2) те же координаты те же координаты x2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)cos2ϕ; y2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. координаты вытянутого эллипсоида вращения Те же координаты вытянутого эллипсоида вращения x2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)cos2ϕ; координаты сплюснутого эллипсоида вращения конические координаты y2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. Те же координаты сплюснутого эллипсоида вращения u vw x= ; bc u 2 (v 2 − b 2)(w 2 − b 2) y2 = 2 ; b b2 − c2 u 2 (v 2 − c 2)(w 2 − c 2) z2 = 2 . c c2 − b2 Те же конические координаты Те же конические координаты 59 Окончание таблицы 2 1 11 2 3 параболоидальные координаты (A − λ)(A − μ)(A − v) x2 = ; (B − A) (B − λ)(B − μ)(B − v) y2 = ; (A − B) 1 z = (A + B − λ − μ − v). 2 Те же (параболоидальные) координаты Те же (параболоидальные) координаты W1 ξ1 = λ; ξ2 = μ; ξ3 = ν 12 W2 13 W3 14 W1 и W3; ξ1 = σ; параболические ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ 15 16 W2 и W3 W1, W2 координаты и W3 параболиче1 ξ = σ; ского ξ2 = τ; цилиндра ξ3 = z W1, W2 бицилинди W3 ξ1=σ; рические ξ2=τ; координаты ξ3=z W1 и W3; тороиξ1 = σ; дальные ξ2 = τ; коордиξ3 = ϕ наты Те же (параболические) координаты 19 20 W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; биполярные ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ Те же тороидальные координаты 21 W2 и W3 17 18 x = στ cos ϕ; y = στ sin ϕ; 1 z = (τ2 − σ 2) 2 x = στ; 1 y = (τ2 − σ 2); 2 z=z ash τ ; ch τ − cos σ a sin σ y= ; ch τ − cos σ z=z x= ash τ cos ϕ; ch τ − cos σ ash τ y= sin ϕ; ch τ − cos σ a sin σ z= ch τ − cos σ x= a sin τ cos ϕ; ch σ − cos τ a sin τ y= sin ϕ; ch σ − cos τ ash σ z= . ch σ − cos τ x= Те же биполярные координаты 60 2.12. Тесты итогового контроля (экзамена) 2.12.1. Поле A А.2.2. Приведенной массой в задаче двух тел называется величина … А.2.2. Скорость материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.3. Скорость материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.4. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.5. Квадрат скорости материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.6. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.7. Ускорение материальной точки в криволинейных координатах имеет вид … А.2.8. Кинетическая энергия точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.9. Момент импульса материальной точки, движущейся в центрально симметричном поле равен … А.2.10. Уравнение конического сечения имеет вид … А.2.11 Эксцентриситет орбиты в центрально симметричном гравитационном поле определяется … А.2.12. Площадь S сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол Ω, равна … S Ω А.2.13. Площадь сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол dω, если θ и ϕ сферические координаты, равна … 61 А.2.14. Момент импульса точки в центральном поле в процессе движения … А2.15. Момент силы, действующий на точку в центральном поле в процессе движения … A2.16. Второй закон Кеплера, известный как закон площадей при движении в плоскости xy имеет вид … 2.12.2. Поле B B.2.1. Если символы Кристоффеля в сферических координатах имеют вид … 1 2 2 Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; Γ12 = Γ 221 = ; Γ 33 = − sin θ cos θ; r 1 3 3 3 Γ13 = Γ31 = ; Γ 323 = Γ 32 = ctgϑ. r то компонента Wi ускорения точки в центральносимметричном поле равна … B.2.2. Частным решением уравнения 2 θ + rθ − sin θ cos θ ϕ2 = 0 , r удовлетворяющим требованиям, предъявляемым к криволинейным координатам, является … B.2.3. Первый интеграл дифференциального уравнения 2 ϕ + r ϕ = 0 имеет вид … r B.2.4. Первый интеграл дифференциального уравнения ⎛ C2 ⎞ dΠ – это … m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ B.2.5. Если в интеграле движений в центральном поле 1 E = m (r 2 + r 2 ϕ2) + Π (r) = const 2 учесть интеграл движений r 2 ϕ2 = C = const , то разделение переменных даст выражение … 62 B.2.6. Если в выражении dt = dr 2 E ⎛ C 2 2α ⎞ −⎜ − ⎟ m ⎝ r 2 mr ⎠ перейти к 1 новой переменной u = , то результатом будет выражение r B2.7. Если в выражении, описывающем движение в цен− r 2 du тральном поле dt = , перейти от пе2 E ⎛ 2 2 2α ⎞ u⎟ − ⎜C u − m ⎝ m ⎠ ременной t к новой переменной ϕ, то результатом будет … um −du B.2.8. Интеграл ∫ равен … 2 E ⎛ 2 2α ⎞ 0 −⎜u − u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ B.2.11. Зависимость прицельного расстояния ρ от угла расα χ сеяния χ определяется соотношением: ρ = ctg . От2 mV∞ 2 сюда эффективное сечение рассеяния d σ = 2πρ d ρ dΩ sin χ d χ будет равно … 2.12.3. Поле C C.2.1. Потенциальная энергия спутника Земли массой m кг, средняя высота орбиты которого h, равна … (МДж). Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли принять равным 10 м/с2. C.2.2. Чтобы уравнения движения двух взаимодействующих тел заменить одним уравнением в центральном поле, необходимо вместо масс тел m1 и m2 использовать величину … 63 С.2.3. Кинетическая энергия спутника массой m, движущегося по эллиптической орбите эксцентриситетом ε и секторной скоростью σ, когда радиус-вектор образует с полярной осью угол ϕ, равна… С.2.4. Модуль секторной скорости точки, координаты которой изменяются по закону: x = asinωt, y = bcosωt, равен (км2/c)… 64 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 3.1. Структура раздела Поступательное движение -полюс -End1 * Антиподы Вращательное движение -центрВращения -угловаяСкорость +векторноеУмножение(in УгловаяСкорость, in радиусВектор) End1 End3 End5 End2 векторнаяАлгебра -векторноеПроизведение -скалярноеПроизведение End4 тензорнаяАлгебра -законПреобразования -радиусВектор +приведение к диагональному виду() End6 линейнаяАлгебра -собственныеЗначения Рисунок 17 – Структура связей дисциплин 65 * -End2 3.2. Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение Понятие твердого тела в механике не связано непосредственно с какими-либо представлениями о характере взаимодействия его точек друг с другом. Определение твердого тела включает в себя лишь геометрическую его характеристику: твердым называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется. В соответствии с рисунком 18 определению твердого тела соответствует выражение rab = rab2 = const . (3.1) а rab b ra rb Рисунок 18 – К понятию твердого тела Определение (3.1) позволяет разделить движение твердого тела на два вида – поступательное и вращательное. Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, выделенная в твердом теле, перемещается параллельно самой себе. Из рисунка 18 следует, что при этом rab = ra − rb = const , (3.2) и, следовательно, ra = rb ; ra = rb , (3.3) т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы. Очевидно, что для описания поступательного дви66 жения твердого тела достаточно ограничиться описанием движения одной (любой) его точки. Эта избранная точка называется полюсом. Второй тип движения – это движение, при котором скорость хотя бы одной точки твердого тела равна нулю, называемое вращательным движением. Как видно из рисунка 19, модуль бесконечно малого вектора dr , совпадающий с длиной дуги, может быть выражен как dr = r sin αd ϕ = [ d ϕ, r ] , если ввести вектор угла поворота, совпадающего по направлению с осью вращения, т.е. прямой, скорости точек которой в данный момент времени равны нулю. dϕ dr r + dr dϕ Рисунок 19 – α r Вращательное движение твердого тела Если направление вектора определяется при этом по правилу буравчика, то последнее соотношение можно записать в векторной форме dr = [ d ϕ, r ] . Деля это соотношение на время dt, получим связь линейdr dϕ ной v = и угловой ω = скорости dt dt v = [ω, r ] . (3.4.) Из определения (3.1) вытекает, что относительная скорость двух точек твердого тела, всегда перпендикулярна соединяющему их отрезку прямой 67 drab2 = 2 rab , rab = 0, т.е. rab ⊥ rab . dt Это позволяет движение любой точки a твердого тела представить как движение полюса (любой точки O), соответствующего поступательному движению твердого тела, и вращению вокруг полюса с угловой скоростью ω (рисунок 20) dR va = vo + [ω, ra ] , va = a , ra = Ra − ro . (3.5) dt () а ra′ ra Ra Рисунок 20 – ro O′ О ro′ Абсолютное и относительное положение точки твердого тела Покажем, что угловая скорость не зависит от выбора полюса. Рассмотрим два полюса O и O′, и предположим, что вокруг них твердое тело вращается с разными угловыми скоростями ω и ω′ [ω, ro − ro′ ] = − [ω′, r0′ − r0 ] ⇒ [ω − ω′, ro − ro′ ] = 0 . Так как векторы ω − ω′ и ro − ro′ не параллельны, и последний из них не равен нулю, то равен нулю первый вектор, т.е. ω = ω′ . Таким образом, угловая скорость твердого тела не зависит от выбора полюса. Если твердое тело вращается с угловой скоростью ω вокруг некоторой своей точки, то с такой же угловой скоростью оно вращается и вокруг любой другой своей точки. 68 3.3. Кинетическая энергия твердого тела В силу аддитивности энергии выражение для кинетической энергии твердого тела можно записать в виде ma va2 mvo2 1 1 2 ∑ 2 = 2 + 2 ∑ ma (vo [ω, ra ]) + 2 ∑ ma [ω, ra ] .(3.6) a a a Первое слагаемое в правой части выражения (3.6) представляет собой кинетическую энергию материальной точки с массой, равной массе всего твердого тела, и скоростью полюса, что соответствует поступательному движению твердого тела. В силу этого первое слагаемое естественно назвать кинетической энергией поступательного движения твердого тела N mv 2 Tпост = o , m = ∑ ma . (3.7) 2 a =1 Последнее слагаемое в (3.6) остается единственным отличным от нуля, если положить скорость полюса равной нулю, что соответствует определению вращательного движения твердого тела. Поэтому это слагаемое естественно назвать кинетической энергией вращательного движения 1 2 Tвр = ∑ ma [ ω, ra ] . (3.8) 2 a Второе слагаемое в правой части (3.6) содержит характеристики как поступательного, так и вращательного движений. Это слагаемое можно обратить в нуль путем выбора в качестве полюса центра масс твердого тела ⎛ ⎞ ∑ ma (vo [ω, ra ]) = ∑ ma (ra [ vo , ω]) = ⎜ ∑ ma ra [ vo , ω] ⎟ . a a ⎝ a ⎠ Если положить ∑ ma ra ro = rc = a = 0, ∑ ma a 69 то кинетическую энергию твердого тела можно представить в виде двух слагаемых – кинетической энергии вращательного и поступательного движения твердого тела mv 2 1 2 T = o + ∑ ma [ ω, ra ] . 2 2 a Кинетическая энергия твердого тела будет совпадать с кинетической энергией его вращательного движения, если в качестве полюса выбрать мгновенный центр скоростей – точку, скорость которой равна нулю в данный момент времени. Существование такой точки для непоступательного движения можно легко доказать, рассмотрев скорости двух точек твердого тела (рисунок 19). а va vb b ra С Рисунок 21 – rb Мгновенный центр скоростей Проекции векторов скоростей точек a и b на направления, перпендикулярные этим векторам равны нулю, а значит должны быть равны нулю и проекции на эти направления скорости точки, находящейся на пресечении этих направлений. Если эти направления не параллельный друг другу (не поступательное движение), то скорость такой точки может быть равна только нулю. Таким образом, при вычислении кинетической энергии твердого тела в качестве полюса следует выбирать либо центр масс твердого тела, либо мгновенный центр скоростей. 70 3.4. Тензор инерции Кинетическая энергия твердого тела содержит сомножители, как одинаковые для всех точек твердого тела (вектор угловой скорости), так и требующие суммирования по всем точкам. При этом угловая скорость вычисляется в каждый момент времени, структура твердого тела остается неизменной, что заставляет искать пути раздельного вычисления этих величин – суммирования по точкам и компонент угловой скорости. Для такого разделения преобразуем квадрат векторного произведения [ω, ra ]2 = ([ω, ra ] , [ω, ra ]) = ω, ⎡⎣ra , [ω, ra ]⎤⎦ = () () = ω, ωra2 − ra (ω, ra) = ω2 ra2 − (ω, ra) . 2 В первом слагаемом квадрат скорости уже может быть вынесен за знак суммирования по точкам, но во втором это оказывается невозможно для вектора целиком или его модуля. Поэтому скалярное произведение приходится разбивать на отдельные слагаемые и выносить каждую компоненту угловой скорости. Для этого представим в декартовых координатах ω2 = δij ωi ω j ; (ω, ra) = ωi xi . Тогда выражение (3.8) приводится к виду 1 Tвр = I ij ωi ω j , 2 где симметричный тензор второго ранга N (I ij = I ji = ∑ ma δij ra2 − xia x aj a =1 (3.9)) (3.10) называют тензором инерции твердого тела. Выражение (3.10) определяет компоненты тензора инерции в том случае, когда точки твердого тела представляют собой счетное множество. В случае непрерывного распределения точек твердого тела – множества мощности континуум – массу одной точки следует заменить массой 71 бесконечно малого объема, а суммирование по точкам заменить интегрированием по объему I ij = ∫ ρ δij ra2 − xia x aj dV . (3.11) () V Замечание 1. Тензор инерции определяется через радиус-вектор и его компоненты. Так как сам радиус-вектор определен только в декартовых координатах (исключение составляют криволинейные координаты, позаимствовавшие у декартовых начало координат, называемое, как правило, полюсом), то и тензор инерции определен только в декартовых координатах. Это не значит, однако, что тензор инерции вообще нельзя записать в криволинейных координатах. Для перехода к криволинейным координатам нужно лишь в выражениях (3.10) или (3.11) использовать связь декартовых координат с криволинейными. Замечание 2. Так как компоненты радиус-вектора (декартовы координаты) ведут себя как компоненты тензора первого ранга только при поворотах осей декартовой системы координат вокруг ее начала, то и величины (3.10) и (3.11) являются компонентами тензора второго ранга только по отношению к поворотам осей декартовой системы координат. 3.5. Приведение тензора инерции к диагональному виду Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции можно привести к диагональному виду путем поворота осей декартовой системы координат. Такая задача носит название задачи на собственные значения линейного оператора. Некоторый оператор L называется линейным, если для любых двух чисел α и β и любых двух функций ϕ и ψ выполняется условие L(αϕ + β ψ) = αLϕ + βLψ. Если для некоторой функции ϕ выполняется условие 72 Lϕ = λϕ, где λ – некоторое число, то функция ϕ называется собственной функцией оператора L, а число λ – его собственным значением. Рассмотрим действие тензора инерции на векторы ei базиса декартовой системы координат как действие некоторого линейного оператора. Если при этом I ij e j = λ ei , то векторы ei следует назвать собственными векторами тензора инерции, а число λ – его собственным значением. Задача на собственные значения может быть записана в виде (3.12) (I ij − λδij)e j = 0 . Очевидным решением получившейся системы однородных линейных уравнений является решение λ 0 0 I ij = λδij ⇒ I ij = 0 λ 0 , 0 0 λ т.е. тензор инерции приводится к шаровому тензору с единственной независимой компонентой. Однако, как известно из линейной алгебры, система однородных линейных уравнений (3.12) допускает ненулевое решение и в случае, если определитель системы обращается в ноль (это условие является необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения). I11 − λ I12 I13 (3.13) I ij − λδij = I12 I 22 − λ I 23 = 0 . I13 I 23 I 33 − λ Уравнение (3.13) в общем случае имеет три независимых корня, называемых главными моментами инерции, I1 = I11 = λ1, I2 = I22 = λ2, I3 = I33 = λ3. 73 Приведение тензора инерции к диагональному виду эквивалентно приведению к каноническому виду уравнения эллипсоида (3.14) Iijxixj = I1X12 + I2X22 + I3X32 = 1, называемого эллипсоидом инерции. В зависимости от количества независимых главных моментов инерции, т.е. количества независимых корней уравнения (3.13), твердые тела классифицируются следующим образом. 1. Асимметричный волчок. Все три корня I1, I2, I3 отличны друг от друга и от нуля. 2. Симметричный волчок. Два главных момента инерции совпадают I1 = I2 ≠ I3. Частным случаем симметричного волчка является ротатор, один из главных моментов инерции которого равен нулю I3 = 0. Ротатор является достаточно адекватной моделью двухатомной молекулы, в которой один из характерных размеров в 105 раз меньше двух других. 3. Шаровой волчок. Все три главных момента инерции совпадают I1 = I2 = I3 = 0. 3.6. Физический смысл диагональных компонент тензора инерции Если тензор инерции приведен к диагональному виду (часто говорят: к главным осям), то в случае счетного множества точек он имеет вид ∑ ma (ya2 + za2) 0 0 0 ∑ ma (xa2 + za2) 0 0 ∑ ma (xa2 + ya2) a I ij = a 0 . a представляет собой квадрат расВеличина x + y = стояния точки a от оси z, как это видно из рисунка 20. Если 2 a 2 a 2 az 74 теперь ввести понятие момента инерции материальной точки относительно данной оси как произведение массы точки на квадрат расстояния до данной оси I ax = ma ya2 + za2 = 2ax ; I ay = ma xa2 + za2 = 2ay ; () (() I az = ma xa2 + ya2 = 2 az) , то можно ввести аддитивную величину – момент инерции твердого тела относительно данной оси, равную сумме моментов инерции всех точек твердого тела относительно данной оси. I x = ∑ ma ya2 + za2 ; I y = ∑ ma xa2 + za2 ; a () (a ()) I z = ∑ ma xa2 + ya2 . a (3.15) Таким образом, диагональные компоненты тензора инерции представляют собой моменты инерции твердого тела относительно координатных осей. za ra ya xa Рисунок 22 – za К интерпретации понятия момента инерции Замечание 1. Для описания движения одной материальной точки понятие момента ее инерции не играет ни75 какой роли. Это понятие необходимо лишь для того, чтобы показать, что момент инерции твердого тела есть величина аддитивная. Замечание 2. Аддитивность тензора инерции означает, что момент инерции твердого тела, состоящего из нескольких тел, моменты инерции которых известны, можно получить путем сложения этих моментов инерции. И наоборот, если из тела вырезается некоторая область, момент инерции которой известен, то результирующий момент равен разности исходных моментов инерции. 3.7. Теорема Штейнера для тензора инерции Компоненты тензора инерции, представляемые в таблицах, вычисляются, как правило, относительно главных осей тензора инерции, т.е. осей, проходящих через центр масс твердого тела. В то же время часто возникает необходимость вычислять кинетическую энергию твердого тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр масс, но параллельной одной из главных осей тензора инерции. Закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе координатных осей отличается от закона преобразования компонент тензора второго ранга, так как компоненты радиус-вектора – декартовы координаты – ведут себя как компоненты тензора только при поворотах координатных осей. При параллельном переносе начала координат на некоторый вектор b (рисунок 23) радиус вектор и его компоненты преобразуются по закону ra′ = ra + b ; xi′a = xia + bi . Подставляя эти соотношения в выражение (3.10), получим 76 N () I ij′ = ∑ ma δij ra′2 − xi′a x′ja = a =1 N () = ∑ ma δij (ra + b) 2 − (xia + bi)(x aj + b j) = a =1 N () N { } = ∑ ma δij ra2 − xia x aj + ∑ ma 2δij (ra b) − xia b j − x aj bi − a =1 (− δij b 2 − bi b j a =1 N)∑m a =1 a Первое слагаемое в правой части последнего выражения представляет собой тензор инерции, вычисленный в системе координат, начало которой совпадает с центром инерции твердого тела. По этой же причине обращается в ноль и следующее слагаемое. В итоге получаем закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе декартовых координат () I ij′ = I ij + m δij b 2 − bi b j , x′3 x3 N m = ∑ ma . (3.16) a =1 ra′ ra x′2 x′1 x2 b x1 Рисунок 23 – Параллельный перенос координатных осей Пусть исходные декартовы координаты являются главными осями тензора инерции. Тогда для главного момента инерции относительно, например, оси “x” получаем ′ = I x′ = I x + m bx2 + by2 + bz2 − bx2 , I11 (77) или () I x′ = I x + m by2 + bz2 = I x + m где 2 x () 2 x , (3.17) = by2 + bz2 – расстояние между осями “x” и “x′”. 3.8. Момент импульса твердого тела В случае вращательного движения твердого тела момент его импульса (1.13) также может быть выражен через компоненты тензора инерции. Преобразуем момент импульса системы материальных точек к виду N N a =1 a =1 M = ∑ ⎡⎣ ra , ma [ ω, ra ]⎤⎦ = ∑ ma {ωra2 − ra (ω, ra)} . Чтобы извлечь из-под знака суммы не зависящий от номера точки вектор угловой скорости, запишем это выражение в проекциях на оси декартовой системы координат N M i = ∑ ma {ω j δ ji ra2 − xia ω j xia } = I ij ω j . (3.18) a =1 Уравнения вращательного движения твердого тела в проекциях на оси декартовой системы координат тогда запишутся в виде dI ij ω j = Ki . (3.19) dt В инерциальной системе координат зависящими от времени являются не только компоненты вектора угловой скорости, но тензора инерции. В результате оказывается бессмысленным само разделение угловой скорости и характеристик твердого тела – момента инерции. Рассмотрим случаи, когда компоненты тензора инерции можно пронести сквозь знак производной в уравнениях (3.19). 1. Шаровой волчок. Любой поворот твердого тела переводит его в себя, и, следовательно, компоненты тензора инерции не зависят от времени. В этом случае момент импульса можно записать в виде 78 M = I ω, I x = I y = I z = I . (3.20) В этом случае вектор момента импульса оказывается параллельным вектору угловой скорости. 2. Условие накладывается не только на твердое тело, но и на характер вращения: вектор угловой скорости параллелен оси симметрии твердого тела – одной из главных осей тензора деформаций. В этом случае момент импульса также можно записать в виде (3.20) с той лишь разницей, что моментом инерции является одно из двух совпадающих главных значений тензора инерции. В обоих рассмотренных случаях уравнения вращательного движения (3.19) принимают вид dω I =K. (3.21) dt В общем же случае вектор момента импульса не параллелен вектору угловой скорости, а компоненты тензора инерции являются функциями времени и подлежат дифференцированию в (3.19). Чтобы избавиться от этого недостатка, уравнения (3.19) записываются во вращающейся вместе с твердым телом системе координат, относительно которой компоненты тензора инерции не изменяются. 3.9. Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат Рассмотрим, как влияет на вектор переход во вращающуюся систему координат. Пусть система координат вращается так, как это показано на рисунке 24. Постоянный вектор A получает при этом приращение dA , определяемое его вращением в обратном направлении dA = − ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Тогда приращение dA вектора A в инерциальной системе координат связано с его приращением d ′A во вращающейся системе координат соотношением 79 dA = d ′A − dA = d ′A + ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Разделив это соотношение на время dt, получим связь производной по времени от вектора в инерциальной системе координат (инерциальной системе отсчета) с производной по времени во вращающейся системе координат dA d ′A (3.22) = + ⎡ ω, A⎤⎦ . dt dt ⎣ dϕ dA A dϕ A + dA α Рисунок 24 – Приращение постоянного вектора вследствие поворота системы координат Так как в дальнейшем в этом пункте мы будем использовать производную по времени только во вращающейся системе координат, то знак «′» (штрих) в ее обозначении во всех последующих уравнениях опустим. Тогда уравнения вращательного движения (3.12) можно записать в виде dM + ⎡ω, M ⎦⎤ = K . (3.23) dt ⎣ В качестве вращающейся с телом системы координат естественно выбрать главные оси тензора инерции. Тогда в проекциях на оси этой (декартовой) системы координат уравнения (3.23) примут вид 80 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2 ω3 = K1 ; dt d ω2 I2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = K 2 ; (3.24) dt d ω3 I3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = K 3 . dt Уравнения (3.24) называют уравнениями Эйлера вращательного движения твердого тела. Даже в случае свободного вращения произвольного твердого тела (асимметричного волчка) I1 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2ω3 = 0; dt d ω2 (3.25) + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; I2 dt d ω3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = 0. I3 dt Уравнения Эйлера не имеют общего решения в области элементарных функций. Решениями системы уравнений (3.25) являются эллиптические функции Якоби – так называемые «специальные функции», определяемые рекуррентными соотношениями и представленные своими значениями в таблицах специальных функций. Система (3.25) допускает решение в области элементарных функций в случае вращения симметричного волчка: I1 = I2 dω I1 1 + (I 3 − I1) ω2ω3 = 0; dt d ω2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; . I1 dt d ω3 = 0. dt I1 81 Последнее из этих уравнений дает решение ω3 = const. Введем постоянную величину I −I Ω = ω3 3 1 = const , (3.26) I1 имеющую размерность угловой скорости. Система оставшихся двух уравнений d ω1 ⎫ = −Ωω2 ⎪ ⎪ dt ⎬ d ω2 = Ωω1 ⎪ ⎪⎭ dt может быть решена либо путем сведения к двум независимым однородным линеарни равенки втор ред, или со помош на помошна комплексна променлива ω = ω1 + iω2. Помножувајќи ја втората од овие равенки со i = −1 и собирајќи ја со првата за сложената вредност ω ја добиваме равенката dω = iΩω, чиешто dt решение има форма ω = AeiΩt, каде што A е константа на интеграција. Изедначувајќи ги реалните и имагинарните делови, добиваме ω1 = AcosΩt, ω2 = AsinΩt. Проекцијата на векторот на аголната брзина на рамнина нормална на оската на симетрија на врвот ω⊥ = ω12 + ω22 = константна, останувајќи константна по големина, опишува круг околу оската x3 со аголна брзина (3.26), наречена аголна брзина на прецесија. 3.10. Ојлерови агли Ојлеровата теорема: Произволна ротација на круто тело околу фиксна точка може да се постигне 82 со три последователни ротации околу три оски кои минуваат низ фиксната точка. Доказ. Да претпоставиме дека конечната положба на телото е дадена и одредена од положбата на координатниот систем Oξηζ (Слика 25). Размислете за правата ON на пресекот на рамнините Oxy и Oξηζ. Оваа права линија се нарекува линија на јазли. Дозволете ни да избереме позитивна насока на линијата на јазли ВКЛУЧЕНО, така што најкратката транзиција од оската Oz кон оската Oζ ќе се одреди во позитивна насока (спротивно од стрелките на часовникот) кога се гледа од позитивната насока на линијата на јазли. z ζ ηθ N1 y″ k e2 n2 n1 e3 i ϕ x ψ n ψ y′ θ y ϕ e1 j ξ N Слика 25 – Ојлерови агли Првата ротација по агол ϕ (аголот помеѓу позитивните насоки на оската Ox и линијата на јазли ON) се изведува околу оската Oz. По првата ротација, оската Ox, која во почетниот момент се совпадна со оската Ox, ќе се совпадне со линијата на јазлите ON, оската Oη со правата линија Oy". Втората ротација за агол θ е направена околу линијата на јазли. По втората ротација, рамнината Oξη ќе се совпадне со нејзината конечна позиција. Оската Ox сепак ќе се совпаѓа со линијата на јазли ON, оската Oη ќе се совпаѓа со правата линија 83 Oy". ќе се совпадне со неговата конечна положба.Третата (последна) ротација се врши околу оската Oζ со агол ψ.По третото ротирање на оската на подвижниот систем координатите ќе ја заземат својата конечна, однапред одредена позиција.Теоремата е докажана.Од горенаведеното е јасно дека аглите ϕ, θ и ψ ја одредуваат положбата на телото што се движи околу фиксна точка. Овие агли се нарекуваат: ϕ - агол на прецесија, θ - агол на нутација и ψ - агол сопствена ротација. Очигледно, секој момент на времето одговара на одредена положба на телото и одредени вредности на Ојлеровите агли. Следствено, Ојлеровите агли се функции на времето ϕ = ϕ(t), θ = θ(t) и ψ = ψ(t) . Овие функционални зависности се нарекуваат равенки на движење на круто тело околу фиксна точка, бидејќи тие го одредуваат законот на неговото движење. За да може да се запише кој било вектор во ротирачки координатен систем, потребно е да се изразат основните вектори на стационарен координатен систем i, j, k преку векторите e1, e2, e3 на ротирачки координатен систем замрзнат во круто тело. За таа цел воведуваме три помошни вектори. Да го означиме единичниот вектор на линијата јазли со n. Дозволете ни да конструираме две помошни координатни триедари: n, n1, k и n, n2, k, ориентирани како десничарски координатни системи (Слика 22), при што векторот n1 лежи во рамнината Oxy, и векторот n2 во рамнината Oξη. Да ги изразиме единечните вектори на координатниот систем во мирување преку овие помошни вектори 84 i = n cos ϕ − n1 sin ϕ; j = n sin ϕ + n1 cos ϕ; (3.27) k = e3 cos θ + n 2 sin θ. Помошните вектори, пак, може лесно да се изразат преку векторите на ротирачкиот координатен систем n = e1 cos ψ − e2 sin ψ; n1 = n 2 cos θ − e3 sin θ; (3.28) n 2 = e1 sin ψ + e2 cos ψ. Заменувајќи го (3.27) во (3.28), ја добиваме конечната врска помеѓу основните вектори на стационарниот координатен систем и основните вектори на ротирачкиот координатен систем i = (e1 cos ψ - e2 sin ψ) cos ϕ − − [(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]sin ϕ = = e1 (cos ψ cos ϕ − sin ψ sin ϕ cos θ) − − e2 (грев ψ cos ϕ + e2 cos ψ sin ϕ cos θ) + e3 грев ϕ грев θ; j = (e1 cos ψ − e2 sin ψ) sin ϕ + +[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]cos ϕ = = e1 (cos ψ sin ϕ + cos ϕ sin ψ cos θ) + + e2 (− sin ψ sin ϕ + cos ϕ cos ψ cos θ) − e3 sin θ cos ϕ; k = e3 cos θ + (e1 sin ψ + e2 cos ψ) sin θ = = e1 грев ψ sin θ + e2 cos ψ sin θ + e3 cos θ. Овие трансформации можат да се запишат во матрица L11 L12 L13 i j k = e1 e2 e3 L21 L22 L23 . L31 L32 L33 Матрицата на ротација е одредена со елементите L11 = cosψcosϕ – sinψsinϕcosθ; L12 = cosψsinϕ + sinψcosϕcosθ; 85 L13 = sinψsinθ; L21 = sinψcosϕ + cosψsinϕcosθ; L22 = – sinψsinϕ + cosψcosϕcosθ; L23 = cosψsinθ; L31 = sinϕsinθ; L32 = –sinθcosϕ; L11 = cosθ. Тогаш компонентите на произволен вектор на аголна брзина на ротација околу заедничкиот почеток може да се изразат преку компонентите на аголната брзина во ротирачки координатен систем замрзнат во круто тело на следниов начин: L11 L12 L13 Ωx Ωy Ω z = Ω1 Ω2 Ω3 L21 L22 L31 L32 L23. L33 Задача. Запишете ги инверзните трансформации, од стационарен координатен систем до ротирачки координатен систем. 3.11. Движење во неинерцијални референтни системи Во став 1. 4. го разгледавме преминот од еден референтен систем (K) во друг (K´), движејќи се транслаторно во однос на првиот, векторите на радиусот на произволна точка „М“, измерени во овие референтни системи (од овие набљудувачи) се поврзани со релацијата (слика 4, стр. 23) r = r′ + R. Да го пресметаме, како во параграф 1.4, временскиот извод на овој израз dr dr ′ dR , = + dt dt dt сега претпоставувајќи дека референтниот систем K´ и координатниот систем поврзан со него ротираат со одредена аголна брзина ω(t) . Во случај на преводно движење, првиот член од десната страна на последниот израз беше брзината на точката М, измерена од набљудувачот K´. Во случај на ротационо движење, излегува дека векторот r ′ се мери со набљудувачот K′, а временскиот извод го пресметува набљудувачот К. За да се изолира релативната брзина на точката М, ја користиме формулата (3.22), која одредува врската помеѓу временскиот извод на векторот во транслационално подвижна референтна рамка со изводот во ротирачка референтна рамка dr ′ d ′r ′ = + [ ω, r ′] = u′ + [ ω, r ′], dt dt каде d ′r ′ u′ = dt Извод на време мерено со набљудувач K′. Така, избирајќи го како пол потеклото на координатите на системот K´, определено со векторот на радиусот R, ја добиваме теоремата за собирање на брзини за ротирачки координатен систем u = V + u′ + [ ω, r ′] , (3.29) каде што ознаките одговараат на ознаките од став 1.4. Пресметување на временскиот извод на изразот (3.29) du dV du′ ⎡ d ω ⎤ ⎡ dr ′ ⎤ = + + , r ′⎥ + ⎢ ω, ⎥ dt dt dt ⎢⎣ dt ⎦ ⎣ ⎣ ⎣ ⎣ ⎦ u′ = + [ ω, u′] , dt dt ја добиваме врската помеѓу забрзувањата du dV d ′u ′ = + + 2 [ ω, u′] + [ ε, r ′] + ⎡⎣ω, [ ω , r ′ ]⎤⎦ dt dt dt Вообичаените ознаки за овие забрзувања одговараат на нивното физичко значење: du Wabs = – забрзување на точката M, мерено од набљудувач во мирување dt – апсолутно забрзување; 87 dV ′ – забрзување на набљудувачот K′ во однос на набљудувачот dt K – преносливо забрзување; d ′u′ Wrel = – забрзување на точката M, мерено од набљудувачот K′ – релативно забрзување; WCor = 2 [ ω, u′] – забрзување што произлегува поради движењето на Wper = движење на точката M во ротирачка референтна рамка со брзина која не е паралелна со векторот на аголната брзина, – Кориолисово забрзување; [ ε, r ′] – забрзување поради нерамномерноста на ротационото движење на референтниот систем K′, нема општо прифатено име; Wсс = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ – нормално или центрипетално забрзување, чие значење станува очигледно во конкретниот случај на ротирачки диск, кога векторот ω е нормален на векторот r ′. Навистина, во овој случај Wtss = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ = ω (ω, r ′) − r ′ω2 = −r ′ω2 – векторот е насочен нормално (нормално) на линеарната брзина долж радиусот до центарот. 3.12. Тест

Галилео-Њутновите закони за механика

Динамиката се заснова на закони (аксиоми), кои се генерализација на практичната човечка активност. Од овие закони логично произлегуваат различни принципи на механиката. Овие закони беа генерализирани од Галилео и Њутн и формулирани во однос на материјална точка.

Првиот закон на Њутн(закон за инерција). Материјалната точка на која не дејствуваат сили или на која се делува систем на рамнотежа на сили, има способност да ја одржува својата состојба на мирување или еднообразно и линеарно движење.

И во првиот и во вториот случај, забрзувањето на точката е нула.Оваа кинематска состојба на точката се нарекува инерцијален.

Се повикуваат сите референтни системи во однос на кои важи законот за инерција инерцијален.

Вториот закон на Њутн(основен закон на динамиката). Забрзувањето на материјалната точка во однос на инерцијалната референтна рамка е пропорционално на силата што се применува на точката и е насочено долж оваа сила (сл. 1).

Овој закон може да се изрази во форма

(1)

Каде мПозитивен коефициент кој ги карактеризира инерцијалните својства на материјалната точка се нарекува маса на точката. Масата во класичната механика се смета за константна количина. Единицата за маса на SI е килограм (kg); – точкасто забрзување; – сила применета на точка.

Ориз. 1

Ориз. 2

Масата обично се одредува со силата на гравитацијата и забрзувањето поради гравитацијата на површината на Земјата. Според (1) имаме

Третиот Њутнов закон(закон за еднаквост на силите на дејство и реакција). Силите на интеракција помеѓу две материјални точки се еднакви по големина и спротивни во насока (сл. 2), т.е.

Четврти закон(законот за независност на дејството на силите). Со истовремено дејство на неколку сили, материјалната точка добива забрзување еднакво на геометрискиот збир на оние забрзувања што би ги стекнала при дејство на секоја од овие сили посебно. Така, силите што се применуваат на материјална точка дејствуваат врз неа независно една од друга.

Нека се примени систем на сили на материјална точка тогаш, според вториот закон на Њутн, забрзувањето од дејството на секоја сила се определува со изразот (1):

Забрзување со истовремено дејство на сите сили

(3)

Со собирање (2) и користење (3), ја добиваме основната равенка за динамиката на точка:

Но точката го стекнува истото забрзување под влијание на една сила

Бидејќи системот на сили и силата го дава истото забрзување до точката, тогаш овој систем на сили и силата се еквивалентни.

Диференцијални равенки на движење на материјална точка

3.1.2.1. Диференцијални равенки на движење на слободна точка

Ориз. 3

На слободната материјална точка нека дејствува систем на сили што има резултат, види Сл. 3. Потоа, според основниот закон за динамика,

(4)

Забрзувањето на точка може да се претстави како , затоа еднаквоста (4) има форма:

. (5)

Равенката (5) е векторска диференцијална равенка на движење на материјална точка. Ако го проектираме на оските на Декартов координатен систем, ќе добиеме диференцијални равенки на движење на материјална точка во проекции на овие оски:

Кога точка се движи во рамнина Оксисистемот на равенки (6) има форма:

Кога точката се движи права линија по оска Волдобиваме една диференцијална равенка на движење:

Имајќи проектирано еднаквост (5) на природните координатни оски, добиваме диференцијални равенки на движење на точка во проекции на природните координатни оски:

1.2.2. Диференцијални равенки на движење на неслободна точка

Врз основа на принципот на ослободување од врски, неслободна точка може да се претвори во слободна точка со замена на дејството на врските со нивните реакции. Нека биде резултатот од реакциите на врската, тогаш основната равенка на динамиката на точката ќе ја добие формата:

(7)

Имајќи проектирано (7) на оските на Декартовиот координатен систем, добиваме диференцијални равенки на движење на неслободна точка во проекции на овие оски:

За да се решат проблемите, неопходно е да се додадат ограничувачки равенки на овие равенки.

Диференцијални равенки на движење на точка во проекции на природни координатни оски:

1.2.3. Диференцијални равенки за релативно движење на точка

Основна равенка на динамика на точки валидна за инерцијална референтна рамка каде што забрзувањето е апсолутно. Според Кориолисовата теорема, апсолутното забрзување

каде е забрзувањето на преносното движење; – релативно забрзување на точката во однос на подвижниот координатен систем; – Кориолисово забрзување.

Заменувајќи го изразот за апсолутно забрзување во основната равенка на динамиката на точката, добиваме

Да ја воведеме следната нотација: – пренослива сила на инерција; – Кориолисова инерцијална сила.

Тогаш равенката (9) добива форма

(10)

Добиената еднаквост ја изразува динамичната теорема Кориолисова.

Кориолисова теорема. Релативното движење на материјалната точка може да се смета за апсолутно ако силите за пренос и инерција на Кориолис се додадат на силите што дејствуваат на точката.

Да го разгледаме случајот на релативна рамнотежа на точка Потоа забрзувањето на Кориолис Заменувајќи ги овие вредности во равенката (10), го добиваме условот за релативна рамнотежа на точка:

За да може основниот закон за динамика за релативното движење на точката да се совпадне со основниот закон на нејзиното апсолутно движење, треба да се исполнат следниве услови:

Овој услов е задоволен ако подвижниот координатен систем се движи транслативно директно и рамномерно Во однос на овие референтни системи, како и во однос на стационарни, кога ќе се исполни законот за инерција. Затоа, сите референтни системи кои се движат преводно, праволиниско и рамномерно, како и оние во мирување, се инерцијален.

Бидејќи законите на динамиката се исти во сите инерцијални референтни системи, тогаш во сите овие системи механичките феномени се одвиваат на ист начин ако истиот настан се земе како референтна точка. Ова го следи принципот на релативност на класичната механика.

Принципот на релативност на класичната механика.Ниту еден механички експеримент не може да го открие инерцијалното движење на референтниот систем, учествувајќи со него во ова движење.

Слободни вибрации на материјална точка. Ефект на постојана сила врз слободното осцилирање

Бесплатни вибрации(или свој флуктуации) - тоа се флуктуацииосцилаторен систем, постигнат само поради првично дадената енергија (потенцијална или кинетичка) во отсуство на надворешни влијанија

Диференцијална равенка на слободни вибрацииво отсуство на отпор:

Општото решение на оваа равенка ја има формата каде

Во случај кога положната сила што дејствува на материјална точка има тенденција да ја врати во првобитната положба, движењето на точката ќе биде осцилаторно по природа. Оваа сила обично се нарекува ресторативна.

Под дејство на сила на враќање, материјалната точка се движи според синусоидален закон, т.е. хармонично осцилаторно движење.

Постојаната сила P не ја менува природата на осцилациите направени од точка под влијание на силата за враќање F, туку само го поместува центарот на овие осцилации кон дејството на силата P за износот на статичко отклонување.

Движење на материјална точка во услови на резонанца

Во случај кога, т.е. кога фреквенцијата на вознемирувачката сила е еднаква на фреквенцијата на природните осцилации, се јавува таканаречениот феномен на резонанца.

Резонанца е нагло зголемување на амплитудата на принудните осцилации. Се јавува кога фреквенцијата на природните осцилации се совпаѓа со фреквенцијата на движечката сила

Опсегот на принудни осцилации за време на резонанца ќе се зголемува на неодредено време со текот на времето

Принудени осцилации на материјална точка со отпор пропорционален на брзината.

Ротационо движење

Во овој случај . Потоа

– кинетичката енергија на телото за време на ротационото движење е еднаква на половина од производот од моментот на инерција на телото во однос на оската на ротација и квадратот на неговата аголна брзина.

Теорема на Кениг

Кинетичката енергија на механичкиот систем е енергијата на движење на центарот на масата плус енергијата на движење во однос на центарот на масата:

Т=Т0+Тр(\приказ стил (T\;=\;T_(0)+T_(r))\;,)

Каде што T - (\displaystyle T) TTTTTTtTTTTtt е вкупната кинетичка енергија на системот, (\displaystyle T_(0))T0 е кинетичката енергија на движењето на центарот на масата, (\displaystyle T_(r))Tr е релативната кинетичка енергија на системот.

Со други зборови, вкупната кинетичка енергија на едно тело или систем на тела во сложено движење е еднаква на збирот на енергијата на системот во транслациското движење и енергијата на системот во неговото сферично движење во однос на центарот на масата.

Попрецизна формулација: вкупната кинетичка енергија на целиот систем е еднаква на збирот на кинетичката енергија на целата маса на системот, концентрирана во неговиот центар на маса и се движи со брзината на центарот на масата, плус кинетичката енергија на истиот систем во неговиот релативен систем во однос на центарот на масата

Слика 1 - Слободен пад на тело.

Бидејќи товарот е мал, отпорот на воздухот е прилично мал, а енергијата за негово надминување е мала и може да се занемари. Брзината на телото не е голема и на кратко растојание не го достигнува моментот кога се балансира со триење со воздухот и забрзувањето запира.

Во моментот на судир со земјата, кинетичката енергија е максимална. Бидејќи телото ја има својата максимална брзина. А потенцијалната енергија е нула, бидејќи телото стигнало до површината на земјата, а висината е нула. Односно, она што се случува е дека максималната потенцијална енергија на горната точка, додека се движи, се претвора во кинетичка енергија, која пак достигнува максимум во долната точка. Но, збирот на сите енергии во системот за време на движењето останува константен. Како што се намалува потенцијалната енергија, кинетичката енергија се зголемува.

Идеални врски

Кога точка се движи по површина или по крива, реакцијата на врската може да се разложи на нормални и тангентни компоненти. Тангенталната компонента на реакцијата ја претставува силата на триење. Колку е помазна површината или кривата, толку ќе биде помала тангенцијалната компонента на реакцијата. Ако површината или кривата се целосно мазни, тогаш реакцијата е нормална на површината

Идеални врскисе нарекуваат врски без триење чии реакции немаат тангенцијални компоненти

Принципот на ослободување од врските, според кој неслободно тело може да се смета за слободно ако ги отфрлиме врските што делуваат на него и ги замениме со сили - реакции на врските.

Реакција на комуникацијаСилата со која дадена врска дејствува на телото, спречувајќи едно или друго од неговите движења, се нарекува реакција на врската. Реакција на комуникацијанасочени во насока спротивна од местото каде што врската го спречува движењето на телото.

Цврст печат

Наоѓањето на реакцијата на круто вградување се сведува на одредување на компонентите X АИ Y Аспречување на линеарното движење на зракот во рамнината на дејство на силите и алгебарската вредност на моментот m А, спречувајќи го зракот да ротира под влијание на силите што се применуваат на него.

Сл.4

Решение.Овој проблем може да се реши со користење на познати статички методи со составување равенки за рамнотежа. Но, во овој случај, прво ќе треба да ги пронајдете силите во прачките. Принципот на можни движења ни овозможува да најдеме сила Фпоедноставно, користејќи ја општата равенка на статиката.

Покажуваме активни сили и. На системот му даваме можно движење со вртење на шипката АДпод агол (сл. 66). Бидејќи шахтата ќе направи преводно движење, движењата на сите негови точки ќе бидат исти:

Каде а=АО=БД.

Создаваме равенка на работа: . Агол .

Затоа добиваме. Од тука.

Општа равенка на динамиката.

Според принципот на d'Alembert, материјалниот систем кој се движи под влијание на одредени сили може да се смета дека е во рамнотежа ако нивните инерцијални сили се применат на сите точки на системот. Ова значи дека можете да го користите принципот на можни движења.

Збирот на делата на силите на инерција на точките на нивните можни движења ќе се додаде на работната равенка (1):

Или според принципот на можни брзини (2):

Овие равенки се нарекуваат општа равенка на динамиката . Тоа ви овозможува да решите голема класа на проблеми кои вклучуваат проучување на движењето на прилично сложени материјални системи.

Равенките (3) и (4) покажуваат дека во секој фиксен момент во времето збирот на елементарните работи на активните сили и инерцијалните сили на сите виртуелни поместувања е еднаков на нула, под услов да се наметнат идеални и ограничувачки врски на системот.

Вреди да се нагласи уште една важна предност на овој метод, општата равенка на динамиката, - реакциите на (идеалните) врски се исклучени при проучување на движењето на системот.

Понекогаш оваа равенка може да се користи за проучување на движењето на механичките системи и во случаи кога не сите врски се идеални, на пример, кога има врски со триење. За да го направите ова, неопходно е да се додадат на активните сили оние компоненти на реакциите што се предизвикани од присуството на сили на триење.

Сл.11

Рамнотежата се смета за стабилна ако на телото во оваа положба му се даде мала брзина или се помести на мало растојание и овие отстапувања не се зголемуваат во иднина.

Може да се докаже (теорема Лагранж-Дирихле) дека ако во рамнотежна положба на конзервативен систем неговата потенцијална енергија има минимум, тогаш оваа рамнотежна позиција е стабилна.

За конзервативен систем со еден степен на слобода, условот за минимална потенцијална енергија, а со тоа и стабилноста на рамнотежната положба, се одредува со вториот извод, неговата вредност во рамнотежна положба,

Законите на класичната механика. Диференцијална равенка на движење на материјална точка.

Постојат такви референтни системи, наречени инерцијални, во однос на кои материјалните точки, кога на нив не дејствуваат сили (или на нив дејствуваат меѓусебно избалансирани сили), се во состојба на мирување или рамномерно линеарно движење.

Во инерцијална референтна рамка, забрзувањето добиено од материјална точка со константна маса е директно пропорционално на резултатот од сите сили што се применуваат на неа и обратно пропорционално на неговата маса.

Материјалните точки меѓусебно комуницираат со сили од иста природа, насочени по права линија што ги поврзува овие точки, еднакви по големина и спротивни во насока

ΣX = m(d 2 x/dt 2); ΣY = m(d 2 y/dt 2),

каде ΣX и ΣY се алгебарски збирови на проекции на сили кои дејствуваат на точка на соодветната координатни оски; x и y се тековните координати на точката.

Користејќи ги добиените диференцијални зависности, се решаваат два главни динамички проблеми:

• врз основа на даденото движење на точка се одредуваат силите што дејствуваат на неа;
• Знаејќи ги силите што дејствуваат на точката, тие го одредуваат нејзиното движење.