Двајца рамноправни противници играат шах. Еквивалентни трансформации. Поедноставување на формулите. Совршени нормални форми
Дефиниција. Две равенки f 1 (x) = g 1 (x) и f 2 (x) = g 2 (x) се нарекуваат еквивалентни ако множествата на нивните корени се совпаѓаат.
На пример, равенките x 2 - 9 = 0 и (2 X + 6)(X- 3) = 0 се еквивалентни, бидејќи и двата ги имаат броевите 3 и -3 како корени. Равенки (3 X + 1)-2 = x 2- + 1 и x 2+ 1 = 0, бидејќи и двете немаат корени, т.е. множествата на нивните корени се совпаѓаат.
Дефиниција. Замената на равенката со еквивалентна равенка се нарекува еквивалентна трансформација.
Сега да откриеме кои трансформации ни овозможуваат да добиеме еквивалентни равенки.
Теорема 1.Нека ја равенката f(x) и g(x)дефинирани на сетот и ч(x) е израз дефиниран на истото множество. Потоа равенките f(x) = g(x)(1) и f(x) + h(x) =g(x) + h(x) (2) се еквивалентни.
Доказ. Да означиме со Т 1 -збир на решенија за равенката (1), и преку Т 2 -збир на решенија на равенката (2). Тогаш равенките (1) и (2) ќе бидат еквивалентни ако Т 1 = Т 2.За да се потврди ова, неопходно е да се покаже дека кој било корен на Т 1е коренот на равенката (2) и, обратно, кој било корен на Т 2е коренот на равенката (1).
Дозволете го бројот А- корен на равенката (1). Потоа а? Т 1,и кога ќе се замени во равенката (1) ја претвора во вистинска нумеричка еднаквост f(a) = g(a), и изразот h (x)се претвора во нумерички израз ч(а), што има смисла на сетот X.Да ги додадеме двете страни на вистинската еднаквост f(a) = g(a)нумерички израз ч(а). Добиваме, според својствата на вистинските нумерички еднаквости, вистинска нумеричка еднаквост f(a) + h(а) =g(a) + h(а), што укажува дека бројот Ае коренот на равенката (2).
Значи, докажано е дека секој корен од равенката (1) е и корен на равенката (2), т.е. Т 1Со Т 2.
Нека сега А -корен од равенката (2). Потоа А? Т 2и кога ќе се замени во равенката (2) ја претвора во вистинска нумеричка еднаквост f(a) + h(а) =g(a) + h(а). Да го додадеме на двете страни на оваа еднаквост нумеричкиот израз - ч(а), Добиваме вистинска нумеричка еднаквост f(x) = g(x),што укажува дека бројот А -коренот на равенката (1).
Значи, докажано е дека секој корен од равенката (2) е и корен на равенката (1), т.е. Т 2Со Т 1.
Бидејќи Т 1Со Т 2И Т 2Со Т 1,тогаш по дефиниција на еднакви множества Т 1= Т 2, што значи дека равенките (1) и (2) се еквивалентни.
Оваа теорема може да се формулира поинаку: ако двете страни на равенката со доменот на дефиниција XДодадете го истиот израз со променлива дефинирана на истото множество, а потоа добиваме нова равенка еквивалентна на дадената.
Од оваа теорема следуваат последиците што се користат при решавање на равенките:
1. Ако го додадеме истиот број на двете страни на равенката, добиваме равенка еквивалентна на дадената.
2. Ако некој поим (нумерички израз или израз со променлива) се префрли од еден дел на равенката во друг, менувајќи го знакот на поимот во спротивен, тогаш добиваме равенка еквивалентна на дадената.
Теорема 2.Нека ја равенката f(x) = g(x)дефинирани на сетот XИ h (x) -израз кој е дефиниран на истото множество и не исчезнува за ниедна вредност Xод многу X.Потоа равенките f(x) = g(x)И f(x) h(x) =g(x) h(x) се еквивалентни.
Доказот за оваа теорема е сличен на доказот на теорема 1.
Теорема 2 може да се формулира поинаку: ако двете страни на равенката имаат домен Xпомножено со истиот израз, кој е дефиниран на истото множество и не исчезнува на него, тогаш добиваме нова равенка еквивалентна на дадената.
Последица од оваа теорема следи: Ако двете страни на равенката се помножат (или поделат) со ист број освен нула, добиваме равенка еквивалентна на дадената.
Решавање равенки во една променлива
Да ја решиме равенката 1- x/3 = x/6, x ? Ри ќе ги оправдаме сите трансформации што ќе ги извршиме во процесот на решавање.
| Трансформации | Образложение за трансформација |
| 1. Да ги доведеме изразите од левата и десната страна на равенката до заеднички именител: (6-2 X)/ 6 = X/6 | Направивме идентична трансформација на изразот од левата страна на равенката. |
| 2. Да го отфрлиме заедничкиот именител: 6-2 X = X | Ги помноживме двете страни на равенката со 6 (теорема 2) и добивме равенка еквивалентна на оваа. |
| 3. Изразот -2x го пренесуваме на десната страна од равенката со спротивен знак: 6 = X+2X. | Ја искористивме последицата од теорема 1 и добивме равенка еквивалентна на претходната и, според тоа, на дадената. |
| 4. Претставуваме слични поими на десната страна на равенката: 6 = 3 X. | Изврши идентитетска трансформација на изразот. |
| 5. Поделете ги двете страни на равенката со 3: X = 2. | Го искористивме заклучокот од теорема 2 и добивме равенка еквивалентна на претходната, а со тоа и на оваа |
Бидејќи сите трансформации што ги извршивме при решавањето на оваа равенка беа еквивалентни, можеме да кажеме дека 2 е коренот на оваа равенка.
Ако во процесот на решавање на равенката не се исполнети условите од теоремите 1 и 2, тогаш може да дојде до губење на корените или да се појават надворешни корени. Затоа, важно е, кога се трансформира равенка за да се добие поедноставна, да се осигура дека тие водат до равенка еквивалентна на дадената.
Размислете, на пример, равенката x(x - 1) = 2x, x? Р. Ајде да ги поделиме двата дела по X, ја добиваме равенката X - 1 = 2, од каде X= 3, т.е. оваа равенка има еден корен - бројот 3. Но, дали е ова вистина? Лесно е да се види дека ако во оваа равенка наместо променлива Xзамена 0, се претвора во вистинска нумеричка еднаквост 0·(0 - 1) = 2·0. Тоа значи дека 0 е коренот на оваа равенка, која ја изгубивме при извршувањето на трансформациите. Ајде да ги анализираме. Првото нешто што го направивме беше да ги поделиме двете страни на равенката со X,тие. помножено со израз 1/ x, но на X= О, нема смисла. Следствено, не го исполнивме условот од теорема 2, што доведе до губење на коренот.
За да се увериме дека множеството корени на оваа равенка се состои од два броја 0 и 3, презентираме друго решение. Да го преместиме изразот 2 Xод десно кон лево: x(x- 1) - 2x = 0. Да го извадиме од заградите на левата страна од равенката Xи наведете слични термини: x(x - 3) = 0. Производот на два фактора е еднаков на нула ако и само ако барем еден од нив е еднаков на нула, затоа x= 0 или X- 3 = 0. Од тука гледаме дека корените на оваа равенка се 0 и 3.
Во почетниот курс по математика теоретска основарешавање равенки е односот помеѓу компонентите и резултатите од акциите. На пример, решавање на равенката ( X·9):24 = 3 е оправдано на следниов начин. Бидејќи непознатата е во дивидендата, за да ја пронајдете дивидендата, треба да го помножите делителот со количникот: X·9 = 24·3, или X· 9 = 72.
За да го пронајдете непознатиот фактор, треба да го поделите производот со познатиот фактор: x = 72:9 или x = 8, значи, коренот на оваа равенка е бројот 8.
Вежби
1 . Одреди кои од следните записи се равенки во една променлива:
А) ( X-3) 5 = 12 X; г) 3 + (12-7) 5 = 16;
б) ( X-3) 5 = 12; г) ( X-3)· y =12X;
V) ( X-3) 17 + 12; д) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. Равенка 2 X 4 + 4X 2 -6 = 0 дефинирани на сетот природни броеви. Објаснете зошто бројот 1 е коренот на оваа равенка, но 2 и -1 не се неговите корени.
3. Во равенката ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 еден број се брише и се заменува со точки. Најдете го избришаниот број ако знаете дека коренот на оваа равенка е бројот 2.
4. Формулирајте ги условите под кои:
а) бројот 5 е коренот на равенката f(x) = g(x);
б) бројот 7 не е коренот на равенката f(x) = g(x).
5. Определи кои од следните парови равенки се еквивалентни на множеството реални броеви:
а) 3 + 7 X= -4 и 2(3 + 7l X) = -8;
6)3 + 7X= -4 и 6 + 7 X = -1;
в) 3 + 7 X= -4 и l X + 2 = 0.
6. Формулирајте ги својствата на релацијата за еквивалентност на равенката. Кои од нив се користат во процесот на решавање на равенката?
7. Решете ги равенките (сите се дадени на множеството реални броеви) и оправдајте ги сите трансформации извршени во процесот на нивно поедноставување:
а) (7 x+4)/2 – x = (3x-5)/2;
б) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;
во 2- X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. Ученикот ја реши равенката 5 X + 15 = 3 X+ 9 вака: го извадив бројот 5 од заградите на левата страна и бројот 3 од десната страна и ја добив равенката 5 (х+ 3) = 3(X+ 3) и потоа ги подели двете страни во изразот X+ 3. Ја добив еднаквоста 5 = 3 и заклучив дека оваа равенка нема корени. Дали студентот е точен?
9. Реши ја равенката 2/(2- x) – ½ = 4/((2- x)x); X? Р. Дали бројот 2 е коренот на оваа равенка?
10. Решете ги равенките користејќи ја врската помеѓу компонентите и резултатите од дејствата:
А) ( X+ 70) 4 = 328; в) (85 X + 765): 170 = 98;
б) 560: ( X+ 9) - 56; Г) ( X - 13581):709 = 306.
11. Решавајте задачи користејќи аритметички и алгебарски методи:
а) На првата полица има 16 повеќе книги отколку на втората. Ако отстраните 3 книги од секоја полица, тогаш на првата полица ќе има еден и пол пати повеќе книги отколку на втората. Колку книги има на секоја полица?
б) Велосипедистот го поминал целото растојание од местото на кампот до станицата, еднакво на 26 km, за 1 час и 10 минути. Во првите 40 минути од ова време тој возел со една брзина, а остатокот од времето со брзина 3 km/h помалку. Најдете ја брзината на велосипедистот на првиот дел од патувањето.
Дел 2. Логичка еквивалентност на формулите. Нормални форми за пропозициски формули на алгебра
Релација на еквивалентност
Користејќи ги табелите за вистинитост, можете да утврдите за кои множества на вистинити вредности на влезните променливи формулата ќе земе вистинска или неточна вредност (како и изјава со соодветна логичка структура), кои формули ќе бидат тавтологии или противречности, и определи и дали две дадени формули еквивалент.
Во логиката, за две реченици се вели дека се еквивалентни ако и двете се вистинити или неточни. Зборот „истовремено“ во оваа фраза е двосмислен. Така, за речениците „Утре ќе биде вторник“ и „Вчера беше недела“, овој збор има буквално значење: во понеделник и двете се вистинити, а во останатите денови од неделата и двајцата се неточни. За равенките " x = 2"И" 2x = 4„„истовремено“ значи „во исти вредности на променливата“. Предвидувањата „Утре ќе врне“ и „Не е точно дека нема да врне утре“ истовремено ќе бидат потврдени (испаднат како вистинити) или нема да бидат потврдени (испаднат дека е неточно). Во суштина, ова е иста прогноза изразена во две различни форми, кои можат да бидат претставени со формулите XИ . Овие формули се и вистинити и лажни. За да проверите, доволно е да креирате табела за вистинитост:
| X | ||
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
Гледаме дека вредностите на вистината во првата и последната колона се совпаѓаат. Природно е таквите формули, како и соодветните реченици, да се сметаат за еквивалентни.
Формулите F 1 и F 2 се вели дека се еквивалентни ако нивниот еквивалент е тавтологија.
Еквивалентноста на две формули се запишува на следниов начин: (читај: формула F 1е еквивалентно на формулата F 2).
Постојат три начини да се провери дали формулите се еквивалентни: 1) да се креира нивниот еквивалент и да се користи табелата за вистинитост за да се провери дали е тавтологија; 2) за секоја формула, креирајте табела за вистинитост и споредете ги конечните резултати; ако во добиените колони со исти множества на променливи вредности вистинитостите на двете формули се еднакви, тогаш формулите се еквивалентни; 3) користење на еквивалентни трансформации.
Пример 2.1:Откријте дали формулите се еквивалентни: 1) , ; 2), .
1) Да го користиме првиот метод за одредување на еквивалентноста, односно ќе откриеме дали еквивалентноста на формулите е исто така тавтологија.
Ајде да создадеме еквивалентна формула: . Резултирачката формула содржи две различни променливи ( АИ ВО) и 6 операции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Ова значи дека соодветната табела за вистинитост ќе има 5 редови и 8 колони:
| А | ВО | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Од последната колона на табелата за вистинитост е јасно дека конструираната еквиваленција е тавтологија и, според тоа, .
2) За да откриеме дали формулите се еквивалентни, го користиме вториот метод, односно составуваме табела за вистинитост за секоја од формулите и ги споредуваме добиените колони. ( Коментар. За ефикасно користење на вториот метод, неопходно е сите составени табели за вистинитост да започнат исто, т.е множествата на променливи вредности беа исти во соодветните редови .)
Формулата содржи две различни променливи и 2 операции, што значи дека соодветната табела за вистинитост има 5 редови и 4 колони:
| А | ВО | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
Формулата содржи две различни променливи и 3 операции, што значи дека соодветната табела за вистинитост има 5 редови и 5 колони:
| А | ВО | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Споредувајќи ги добиените колони од составените табели за вистинитост (бидејќи табелите почнуваат исто, не можеме да обрнеме внимание на множествата на вредности на променливи), гледаме дека тие не се совпаѓаат и, според тоа, формулите не се еквивалентни ().
Изразот не е формула (бидејќи симболот " " не се однесува на никаква логичка операција). Тоа изразува ставпомеѓу формули (како и еднаквост меѓу броевите, паралелизам меѓу правите итн.).
Валидна е теоремата за својствата на еквивалентната релација:
Теорема 2.1.Релација на еквивалентност помеѓу исказите алгебарски формули:
1) рефлексивно: ;
2) симетрично: ако , тогаш ;
3) преодно: ако и , тогаш .
Законите на логиката
Еквиваленциите на исказите логички формули често се нарекуваат законите на логиката. Ги наведуваме најважните од нив:
1. – закон за идентитет.
2. – закон за исклучена средина
3. – закон на противречност
4. – дисјункција со нула
5. – сврзник со нула
6. – дисјункција со единство
7. – сврзник со еден
8. – закон за двојна негација
9. – комутативност на сврзникот
10. – комутативност на дисјункција
11. – асоцијативност на сврзникот
12. – асоцијативност на дисјункција
13. – распределба на сврзникот
14. – распределба на дисјункција
15. – закони на идемотенција
16. 
; 
– закони за апсорпција
17. 
; 
- Законите на Де Морган
18. 
– закон кој изразува импликација преку дисјункција
19. 
– закон за контрапозиција
20. – закони кои изразуваат еквивалентност преку други логички операции
Законите на логиката се користат за да се поедностават сложените формули и да се докаже идентичната вистина или неточност на формулите.
Еквивалентни трансформации. Поедноставување на формули
Ако истата формула се замени насекаде наместо некоја променлива во еквивалентни формули, тогаш новодобиените формули исто така ќе испаднат дека се еквивалентни во согласност со правилото за замена. На овој начин, од секоја еквиваленција може да се добијат онолку нови еквиваленции по желба.
Пример 1:Ако наместо тоа во законот на Де Морган Xзамена, и наместо тоа Yзамена , добиваме нова еквиваленција. Валидноста на добиената еквиваленција може лесно да се потврди со помош на табела на вистинитост.
Ако некоја формула која е дел од формулата Ф, заменете со формула еквивалентна на формулата , тогаш добиената формула ќе биде еквивалентна на формулата Ф.
Потоа за формулата од Пример 2 може да се направат следните замени:
– законот за двојна негација;
- Законот на Де Морган;
– законот за двојна негација;
– закон за асоцијативност;
– законот за немоќ.
Според својството на транзитивност на релацијата еквивалентност, можеме да го констатираме тоа 
.
Замена на една формула со друга што е еквивалентна на неа се нарекува еквивалентна трансформација формули.
Под поедноставување формулите кои не содржат знаци за импликација и еквивалентност се сфаќаат како еквивалентна трансформација што води до формула која не содржи негации на неелементарни формули (особено, двојни негативни) или содржи вкупно помал број на сврзувачки и дисјункција знаци од оригиналниот.
Пример 2.2:Ајде да ја поедноставиме формулата 
.
Во првиот чекор го применивме законот кој ја трансформира импликацијата во дисјункција. На вториот чекор го применивме комутативниот закон. На третиот чекор го применивме законот за немоќ. Четвртиот е законот на Де Морган. И петти е законот за двојна негација.
Забелешка 1. Ако одредена формула е тавтологија, тогаш секоја формула еквивалентна на неа е исто така тавтологија.
Така, еквивалентни трансформации може да се користат и за да се докаже идентичната вистина на одредени формули. За ова оваа формулапотребно е да се води со еквивалентни трансформации до една од формулите, кои се тавтологии.
Забелешка 2. Некои тавтологии и еквиваленции се комбинираат во парови (законот на контрадикција и законот на алтернативни, комутативни, асоцијативни закони итн.). Овие кореспонденции откриваат т.н принцип на двојност .
Се нарекуваат две формули кои не содржат знаци за импликација и еквивалентност двојна , ако секој од нив може да се добие од другиот со замена на знаците соодветно со .
Принципот на двојност го наведува следново:
Теорема 2.2:Ако две формули кои не содржат знаци за импликација и еквивалентност се еквивалентни, тогаш нивните двојни формули се исто така еквивалентни.
Нормални форми
Нормална формае синтаксички недвосмислен начин на пишување формула која имплементира дадена функција.
Користејќи ги познатите логички закони, секоја формула може да се трансформира во еквивалентна формула на формата 
, каде и секоја е или променлива, или негација на променлива, или спој на променливи или нивни негации. Со други зборови, секоја формула може да се сведе на еквивалентна формула со едноставна стандардна форма, која ќе биде дисјункција на елементи, од кои секоја е спој на поединечни различни логички променливи или со или без знак за негација.
Пример 2.3:Во големите формули или при повеќекратни трансформации, вообичаено е да се испушти сврзниот знак (по аналогија со знакот за множење): . Гледаме дека по извршените трансформации, формулата е дисјункција на три сврзници.
Оваа форма се нарекува дисјунктивна нормална форма (DNF). Се нарекува индивидуален DNF елемент елементарен сврзник или составен дел на единица.
Слично на тоа, секоја формула може да се сведе на еквивалентна формула, која ќе биде спој на елементи, од кои секоја ќе биде дисјункција на логички променливи со или без знак за негација. Односно, секоја формула може да се сведе на еквивалентна формула на формата 
, каде и секоја е или променлива, или негација на променлива, или дисјункција на променливи или нивни негации. Оваа форма се нарекува конјунктивна нормална форма
(КНФ).
Пример 2.4:
Се нарекува посебен елемент на CNF елементарна дисјункција или составен дел од нула.
Очигледно, секоја формула има бесконечно многу DNF и CNF.
Пример 2.5:Ајде да најдеме неколку DNF за формулата 
.
Совршени нормални форми
SDNF (совршен DNF) е DNF во кој секој елементарен сврзник ги содржи сите елементарни искази или нивните негации еднаш; елементарните сврзници не се повторуваат.
SKNF (совршена CNF) е CNF во која секоја елементарна дисјункција ги содржи сите елементарни искази или нивните негации еднаш; елементарните дисјункции не се повторуваат.
Пример 2.6: 1) – SDNF
2) 1 - SKNF
Ајде да формулираме карактеристични карактеристики SDNF (SKNF).
1) Сите членови на дисјункцијата (сврзникот) се различни;
2) Сите членови на секој сврзник (дисјункција) се различни;
3) Ниту еден сврзник (дисјункција) не содржи и променлива и нејзина негација;
4) Секој сврзник (дисјункција) ги содржи сите променливи вклучени во оригиналната формула.
Како што гледаме, карактеристичните црти (но не и формите!) ја задоволуваат дефиницијата за двојност, па затоа е доволно да се разбере една форма за да се научи како да се добијат и двете.
Од DNF (CNF) користејќи еквивалентни трансформации, лесно може да се добие SDNF (SKNF). Бидејќи правилата за добивање на совршени нормални форми се исто така двојни, ние детално ќе го анализираме правилото за добивање SDNF и самите ќе го формулираме правилото за добивање на SCNF, користејќи ја дефиницијата за двојност.
Општо правилодоведување на формулата во SDNF користејќи еквивалентни трансформации:
За да се даде формулата Ф, што не е идентично неточно, за SDNF, доволно е:
1) доведете ја до некој вид DNF;
2) отстранете ги термините на дисјункцијата што ја содржи променливата заедно со нејзината негација (ако има);
3) отстранете ги сите, освен еден од идентичните термини на дисјункцијата (доколку ги има);
4) отстранете ги сите, освен еден од идентичните членови на секој сврзник (ако ги има);
5) ако некој сврзник не содржи променлива од променливите вклучени во оригиналната формула, додадете термин на оваа сврзница и применете го соодветниот дистрибутивен закон;
6) ако добиената дисјункција содржи идентични термини, користете го рецептот 3.
Резултирачката формула е SDNF на оваа формула.
Пример 2.7:Ајде да најдеме SDNF и SCNF за формулата 
.
Бидејќи DNF за оваа формула е веќе пронајден (види Пример 2.5), ќе започнеме со добивање на SDNF:
2) во добиената дисјункција нема променливи заедно со нивните негации;
3) во дисјункцијата нема идентични членови;
4) нема идентични променливи во ниту еден сврзник;
5) на првиот елементарен сврзник ги содржи сите променливи вклучени во оригиналната формула, а на вториот елементарен сврзник недостасува променлива z, па да додадеме член на него и да го примениме дистрибутивниот закон: ;
6) лесно се забележува дека во дисјункцијата се појавиле идентични поими, па затоа отстрануваме еден (рецепт 3);
3) отстранете една од идентичните дисјункции: 
;
4) останатите дисјункции немаат идентични поими;
5) ниту една од елементарните дисјункции не ги содржи сите променливи вклучени во оригиналната формула, па да ја дополниме секоја од нив со сврзникот: ;
6) во добиениот сврзник нема идентични дисјункции, затоа пронајдената конјунктивна форма е совршена.
Бидејќи во агрегат формулите SKNF и SDNF Ф 8 членови, тогаш најверојатно се пронајдени правилно.
Секоја изводлива (фалсификувана) формула има еден единствен SDNF и еден единствен SCNF. Тавтологијата нема SKNF, но контрадикторноста нема SKNF.
Дефиниција.Две формули за логичка алгебра А и Бсе нарекуваат еквивалент,ако ги земат истите логички вредности на кој било сет на вредности вклучени во формулите на елементарните искази.
Еквивалентноста на формулите ќе ја означиме со знакот и ознаката А ВОзначи дека формулите А и Бсе еквивалентни.
На пример, формулите се еквивалентни:
Формулата А се нарекува идентично точно (или тавтологија), ако ја земе вредноста 1 за сите вредности на променливите вклучени во него.
На пример, формулите се исто така вистинити , .
Формула Аповикани идентично неточно,ако ја земе вредноста 0 за сите вредности на променливите вклучени во него.
На пример, формулата е идентично неточна.
Јасно е дека релацијата еквивалентност е рефлексна, симетрична и транзитивна.
Помеѓу поимите еквивалентност и еквивалентност постои следнава врска: ако формулите АИ ВОсе еквивалентни, потоа формулата А ВО- тавтологија, и обратно, ако формулата А ВО- тавтологија, потоа формули АИ ВОсе еквивалентни.
Најважните еквиваленции на алгебрата на логиката може да се поделат во три групи.
1. Основни еквиваленции:
Дозволете ни да докажеме еден од законите на апсорпција. Размислете за формулата . Ако во оваа формула А= 1 тогаш, очигледно, а потоа како спој на две вистинити изјави. Ајде сега во формулата A x = 0. Но, тогаш, според дефиницијата на операцијата на сврзникот, и сврзникот ќе биде неточен . Значи, во сите случаи вредностите на формулата Аодговараат на вредностите А,а со тоа и А x.
2. Еквиваленции кои изразуваат некои логички операции преку други:
Јасно е дека еквиваленциите 5 и 6 се добиваат од еквиваленциите 3 и 4, соодветно, ако земеме негации од двата дела на второто и го користиме законот за отстранување на двојните негации. Така, на првите четири еквиваленции им треба доказ. Да докажеме две од нив: првиот и третиот.
Бидејќи со истите логички вредности XИ наако формулите , , , се вистинити, тогаш и сврзникот ќе биде точен 
.
Затоа, во овој случај, двете страни на еквивалентноста имаат исти вистински вредности.
Нека сега XИ наимаат различни логички вредности. Тогаш еквивалентноста и една од двете импликации или ќе бидат лажни. Во исто време
сврзникот ќе биде лажен . Така, во овој случај, двете страни на еквивалентноста имаат исто логично значење.
Размислете за еквиваленција 3. Ако XИ наземете ги вистинските вредности во исто време, тогаш врската ќе биде вистинита x&yи лажна негација на сврзник. Во исто време, и и ќе биде лажно, и затоа дисјункцијата исто така ќе биде лажна .
Нека сега барем една од променливите Xили наоценува на лажно. Тогаш сврзникот ќе биде лажен x&yи нејзината вистинска негација. Во исто време, негацијата на барем една од променливите ќе биде вистинита, и затоа дисјункцијата исто така ќе биде вистинита .
Затоа, во сите случаи, двете страни на еквивалентноста 3 ги земаат истите логички вредности.
Еквиваленциите 2 и 4 се докажуваат на сличен начин.
Од еквиваленциите на оваа група произлегува дека секоја формула во алгебрата на логиката може да се замени со еквивалентна формула која содржи само две логички операции: сврзник и негација или дисјункција и негација.
Не е можно понатамошно елиминирање на логичките операции. Значи, ако користиме само сврзник, тогаш таква формула како негација Xне може да се изрази со помош на операторот за конјункција.
Сепак, постојат операции со кои може да се изрази која било од петте логички операции што ги користиме. Таква операција е, на пример, операцијата „Мозочен удар на Шефер“. Оваа операција е означена со симболот x|yи се одредува со следната табела на вистинитост:
| x | y | x|y |
Очигледно, постојат еквиваленции:
2) x&y (x|y)|(x|y).
Од овие две еквиваленции произлегува дека која било формула во алгебрата на логиката може да се замени со еквивалентна формула која ја содржи само операцијата „Schaeffer stroke“.
Забележи го тоа .
Операцијата може да се внесе слично 
.
3. Еквиваленции кои ги изразуваат основните закони на алгебрата на логиката:
1. x&y y&x -комутативност на сврзникот.
2. x на y X- комутативност на дисјункцијата.
3. x&(y&y) (x&y)&z- асоцијативност на сврзникот.
4. X(y z ) (Х y) z е асоцијативноста на дисјункцијата.
5. x&(y z) (x&y) (x&z)- дистрибутивноста на сврзникот во однос на дисјункцијата.
6. X (y&z) (Х y)& (x z ) - дистрибутивноста на дисјункцијата во однос на сврзникот.
Да го докажеме последниот од наведените закони. Ако X= 1, тогаш формулите ќе бидат вистинити X (y& z), X y, x z . Но, тогаш и сврзникот ќе биде вистинит (Х y)& (x z ). Така, кога X= 1, двете страни на еквивалентноста 6 ги земаат истите логички вредности (точно).
Нека сега x = 0. Потоа X (y&z) y&z, x на наИ x z z , па затоа и сврзникот X (y&z) y&z. Затоа, овде двете страни на еквивалентноста 6 се еквивалентни на истата формула y&z,и затоа земете ги истите логички вредности.
§ 5. Еквивалентни трансформации на формули
Користејќи ги еквиваленциите на групите I, II и III, можете да замените дел од формулата или формулата со еквивалентна формула. Ваквите трансформации на формулите се нарекуваат еквивалент.
Еквивалентни трансформации се користат за докажување еквиваленции, за доведување на формули во дадена форма, за поедноставување на формули.
Формула Асе смета за поедноставна од неговата еквивалентна формула ВО,ако содржи помалку букви, помалку логички операции. Во овој случај, операциите на еквиваленција и импликација обично се заменуваат со операциите на дисјункција и конјункција, а негацијата се класифицира како елементарни искази. Ајде да погледнеме голем број примери.
1. Докажи еквивалентност 
.
Користење на еквиваленции на групите I, II и III
2.
Поедноставете ја формулата 
.
Ајде да напишеме синџир од еквивалентни формули:
3. Докажи ја идентичната вистина на формулата
Ајде да напишеме синџир од еквивалентни формули:
Булова алгебра
Еквиваленциите од групата III покажуваат дека алгебрата на логиката има комутативни и асоцијативни закони во врска со операциите на сврзување и дисјункција и дистрибутивен закон на сврзник во врска со дисјункција; истите закони важат и во алгебрата на броеви. Затоа, истите трансформации можат да се извршат и на формулите на алгебрата на логиката што се вршат во алгебрата на броеви (отворање загради, нивно ставање во загради, ставање заеднички фактор надвор од загради).
Но, во алгебрата на логиката можни се други трансформации, врз основа на употребата на еквиваленции:
Оваа карактеристика ни овозможува да дојдеме до далекусежни генерализации.
Размислете за непразен сет Мелементи од која било природа ( x,y,z,...} , во која се дефинираат релацијата „=“ (еднакво) и три операции: „+“ (собирање), „“ (множење) и „-“ (негирање), што е предмет на следните аксиоми:
Комутативни закони:
1а. x + y = y + x, 1б. X y = y X.
Закони за асоцијација:
2а. x + (y + z)= (x + y) + z, 2б. X (y z) = (x y) z.
Дистрибутивни закони:
3а. (x + y) z = (x z ) + (y G) 3б. (x y) + z = (x+z) (y + z).
Закони на импотенција:
4а. x + x = x, 4б. X x = x.
Закон за двојна негација:
Законите на Де Морган:
6а. , 6б . .
Закони на апсорпција:
7а. x + (y X)= X, 7б. X (y + x) = x.
Премногу Мповикани Булова алгебра.
Ако под главните елементи x, y, z, ...Ако мислиме искази со операциите „+“, „“, „-“ дисјункција, сврзник, негација, соодветно, а знакот за еднакво се смета за знак за еквиваленција, тогаш, како што следува од еквиваленциите на групите I, II и III. , сите аксиоми на Буловата алгебра се задоволени.
Во оние случаи кога за одреден систем на аксиоми е можно да се одберат одредени предмети и специфични односи меѓу нив за да се задоволат сите аксиоми, велат дека е пронајдено. толкување(или модел)на овој систем на аксиоми.
Ова значи дека алгебрата на логиката е интерпретација на Буловата алгебра. Буловата алгебра има и други толкувања. На пример, ако под главните елементи x, y, z, ...множества Ммислиме множества, со операциите „+“, „“, „-“ унија, пресек, собирање, соодветно, а под знакот за еднакво - знакот за еднаквост на множества, тогаш доаѓаме до алгебрата на множества. Не е тешко да се потврди дека во множеството алгебра се задоволени сите аксиоми на Буловата алгебра.
Меѓу различните толкувања на Буловата алгебра, постојат толкувања од техничка природа. Еден од нив ќе се дискутира подолу. Како што ќе се покаже, тој игра важна улога во модерната автоматизација.
Функции на логичка алгебра
Како што веќе беше забележано, значењето на формулата за логичка алгебра целосно зависи од значењата на изјавите вклучени во оваа формула. Според тоа, формулата на алгебрата на логиката е функција на елементарните искази вклучени во неа.
На пример, формулата е функција
три променливи f(x,y,z).Особеноста на оваа функција е фактот што нејзините аргументи земаат една од двете вредности: нула или една, а во исто време функцијата зема и една од двете вредности: нула или една.
Дефиниција. Функција на логичка алгебрахектари променливи (или Булова функција)се нарекува функција од променливи ha, каде што секоја променлива зема две вредности: 0 и 1, а функцијата може да земе само една од двете вредности: 0 или 1.
Јасно е дека идентично вистинити и идентично неточни формули на алгебрата на логиката претставуваат постојани функции, и две еквивалентни формули ја изразуваат истата функција.
Ајде да дознаеме колкав е бројот на функции на n променливи. Очигледно, секоја функција на алгебрата на логиката (како и формулата на алгебрата на логиката) може да се специфицира со помош на табела за вистинитост, која ќе содржи 2 n реда. Затоа, секоја функција од n променливи зема 2 n вредности кои се состојат од нули и единици. Така, функцијата од n променливи е целосно одредена со множество вредности од нули и единици со должина 2 n. (Вкупниот број на множества нули и единици со должина 2 n е еднаков на . Тоа значи дека бројот на различни функции на алгебрата на логиката Ппроменливите се еднакви на .
Конкретно, постојат четири различни функции на една променлива и шеснаесет различни функции на две променливи. Да ги запишеме сите функции на алгебрата на логиката во едно Идве променливи.
Размислете за табела на вистинитост за различни функции на една променлива. Очигледно изгледа вака:
| x | f 1 (x) | f2 (x) | f 3 (x) | f 3 (x) |
| 1 | ||||
Од оваа табела следува дека две функции од една променлива ќе бидат константни: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0, а f2 (x) X,И f 3 (x) .
Табелата на вистинитост за сите можни функции на две променливи има форма:
f i = f i (x,y)
| x | y | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | f 7 | f 8 | f 9 | f 10 | f 11 | f 12 | f 13 | f 14 | f 15 | f 16 |
Јасно е дека аналитичките изрази на овие функции можат да се напишат на следниов начин.
Ви овозможува да преминете од равенката што се решава на т.н еквивалентни равенкиИ последователни равенки, од чии решенија е можно да се определи решението на првобитната равенка. Во оваа статија детално ќе анализираме кои равенки се нарекуваат еквивалентни, а кои се нарекуваат последователни равенки, ќе ги дадеме соодветните дефиниции, ќе дадеме објаснувачки примери и ќе објасниме како да ги пронајдеме корените на равенката користејќи ги познатите корени на еквивалентна равенка и последователна равенка. .
Еквивалентни равенки, дефиниција, примери
Дозволете ни да дефинираме еквивалентни равенки.
Дефиниција
Еквивалентни равенки- тоа се равенки кои имаат исти корени или немаат корени.
Дефиниции кои се исти по значење, но малку различни по формулација, се дадени во различни учебници по математика, на пример,
Дефиниција
Се повикуваат двете равенки f(x)=g(x) и r(x)=s(x). еквивалент, ако имаат исти корени (или, особено, ако двете равенки немаат корени).
Дефиниција
Се нарекуваат равенки кои имаат исти корени еквивалентни равенки. Равенките кои немаат корени исто така се сметаат за еквивалентни.
Под истите корени се подразбира следново: ако некој број е корен на една од еквивалентните равенки, тогаш тој е корен и на која било друга од овие равенки, а ниту една од еквивалентните равенки не може да има корен што не е корен на кој било друг од нив.овие равенки.
Да дадеме примери на еквивалентни равенки. На пример, три равенки 4 x = 8, 2 x = 4 и x = 2 се еквивалентни. Навистина, секој од нив има еден корен 2, така што тие се еквивалентни по дефиниција. Друг пример: две равенки x·0=0 и 2+x=x+2 се еквивалентни, множествата на нивните решенија се совпаѓаат: коренот и на првата и на втората од нив е кој било број. Двете равенки x=x+5 и x 4 =−1 се исто така примери за еквивалентни равенки; и двете немаат реални решенија.
За да се заврши сликата, вреди да се дадат примери на нееднакви равенки. На пример, равенките x=2 и x 2 =4 не се еквивалентни, бидејќи втората равенка има корен −2, кој не е коренот на првата равенка. Равенките и исто така не се еквивалентни, бидејќи корените на втората равенка се кои било броеви, а бројот нула не е коренот на првата равенка.
Наведената дефиниција за еквивалентни равенки се применува и за равенките со една променлива и за равенките со голем број променливи. Меѓутоа, за равенките со два, три итн. променливи, зборот „корени“ во дефиницијата мора да се замени со зборот „решенија“. Значи,
Дефиниција
Еквивалентни равенки- тоа се равенки кои имаат исти решенија или ги немаат.
Да покажеме пример на еквивалентни равенки со неколку променливи. x 2 +y 2 +z 2 =0 и 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - еве пример за еквивалентни равенки со три променливи x, y и z, и двете имаат единствено решение (0, 0 , 0). Но, равенките со две променливи x+y=5 и x·y=1 не се еквивалентни, бидејќи, на пример, пар вредности x=2, y=3 е решение за првата равенка (при замена на овие вредности во првата равенка ја добиваме точната равенка 2+3=5), но не е решение за втората (при замена на овие вредности во втората равенка ја добиваме неточната равенка 2·3=1).
Равенки за последица
Еве ги дефинициите за последователните равенки од училишните учебници:
Дефиниција
Ако секој корен од равенката f(x)=g(x) е истовремено и корен на равенката p(x)=h(x), тогаш се вика равенката p(x)=h(x) последицаравенки f(x)=g(x) .
Дефиниција
Ако сите корени на првата равенка се корени на втората равенка, тогаш втората равенка се вика последицапрвата равенка.
Ајде да дадеме неколку примери на последователни равенки. Равенката x 2 =3 2 е последица на равенката x−3=0. Навистина, втората равенка има еден корен x=3, овој корен е и коренот на равенката x 2 =3 2, затоа, по дефиниција, равенката x 2 =3 2 е последица на равенката x−3= 0. Друг пример: равенката (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 е последица на равенката 
, бидејќи сите корени на втората равенка (има два од нив, овие се 2 и 3) очигледно се корените на првата равенка.
Од дефиницијата за последователна равенка произлегува дека апсолутно секоја равенка е последица на секоја равенка која нема корени.
Вреди да се наведат неколку прилично очигледни последици од дефиницијата на еквивалентни равенки и дефиницијата на последователна равенка:
- Ако две равенки се еквивалентни, тогаш секоја од нив е последица на другата.
- Ако секоја од двете равенки е последица на другата, тогаш овие равенки се еквивалентни.
- Две равенки се еквивалентни ако и само ако секоја од нив е последица на другата.
1. Двајца рамноправни играчи играат натпревар во кој нема реми. Која е веројатноста првиот играч да победи: а) еден натпревар од два? б) два од четири? в) три од шест?
Одговор:А) ; б) ; V)
3. Сегмент АБразделени со точка СОво сооднос 2:1. Четири точки се фрлаат по случаен избор на овој сегмент. Најдете ја веројатноста дека два од нив ќе бидат лево од точката C, а два - десно.
Одговор:
4. Најдете ја веројатноста дека настанот А ќе се случи точно 70 пати во 243 испитувања, ако веројатноста овој настан да се случи во секое испитување е 0,25.
Одговор: .
5. Веројатноста да се има момче е 0,515. Најдете ја веројатноста дека меѓу 100 новороденчиња ќе има еднаков број на момчиња и девојчиња.
Одговор: 0,0782
6. Продавницата добила 500 шишиња во стаклени садови. Веројатноста дека некое шише ќе се скрши за време на транспортот е 0,003. Најдете ја веројатноста продавницата да добие скршени шишиња: а) точно две; б) помалку од два; в) најмалку два; г) најмалку еден.
Одговор:а) 0,22; б) 0,20; в) 0,80; г) 0,95
7. Автомобилска фабрика произведува 80% од автомобилите без значителни дефекти. Колкава е веројатноста меѓу 600-те автомобили испорачани од фабриката до автомобилската берза да има најмалку 500 автомобили без значителни дефекти?
Одговор: 0,02.
8. Колку пати мора да се фрли паричка за да може со веројатност од 0,95 да се очекува дека релативната фреквенција на изгледот на грбот ќе отстапи од веројатноста Р=0,5 изглед на грбот со едно фрлање паричка не повеќе од 0,02?
Одговор: n ≥ 2401.
9. Веројатноста да се случи настан во секој од 100 независни настани е константна и еднаква на стр=0,8. Најдете ја веројатноста дека настанот ќе се појави: а) најмалку 75 пати и не повеќе од 90 пати; б) најмалку 75 пати; в) не повеќе од 74 пати.
Одговор:а Б В) .
10. Веројатноста да се случи настан во секое од независните испитувања е 0,2. Најдете какво отстапување на релативната фреквенција на појава на настан од неговата веројатност може да се очекува со веројатност од 0,9128 со 5000 обиди.
Одговор:
11. Колку пати мора да се фрли паричка за со веројатност 0,6 да се очекува дека отстапувањето на релативната фреквенција на изгледот на грбот од веројатноста стр=0,5 нема да биде повеќе од 0,01 во апсолутна вредност.
Одговор: n = 1764.
12. Веројатноста да се случи настан во секое од 10.000 независни испитувања е 0,75. Најдете ја веројатноста релативната фреквенција на појава на настан да отстапи од нејзината веројатност во апсолутна вредност за не повеќе од 0,01.
Одговор: .
13. Веројатноста да се случи настан во секое од независните испитувања е 0,5. Најдете го бројот на испитувања n, при што со веројатност од 0,7698 можеме да очекуваме дека релативната фреквенција на појава на настан ќе отстапи од нејзината веројатност во апсолутна вредност за не повеќе од 0,02.
Се вчитува...