Дводимензионална случајна променлива. Дискретни дводимензионални случајни променливи Најдете ја распределбата на дводимензионална случајна променлива

Нека дводимензионален случајна вредност$(X,Y)$.

Дефиниција 1

Законот за распределба на дводимензионална случајна променлива $(X,Y)$ е збир од можни парови броеви $(x_i,\ y_j)$ (каде $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) и нивните веројатности $p_(ij)$ .

Најчесто, законот за распределба на дводимензионална случајна променлива е запишан во форма на табела (табела 1).

Слика 1. Закон за распределба на дводимензионална случајна променлива.

Да се потсетиме сега теоремата за собирање на веројатности на независни настани.

Теорема 1

Веројатноста за збир на конечен број независни настани $(\A)_1$, $(\A)_2$, ... ,$\(\A)_n$ се пресметува со формулата:

Користејќи ја оваа формула, можете да ги добиете законите за распределба за секоја компонента на дводимензионална случајна променлива, односно:

Од ова ќе следи дека збирот на сите веројатности на дводимензионален систем ја има следната форма:

Да го разгледаме детално (чекор по чекор) проблемот поврзан со концептот на законот за распределба на дводимензионална случајна променлива.

Пример 1

Законот за распределба на дводимензионална случајна променлива е даден со следната табела:

Слика 2.

Најдете ги законите за распределба на случајните променливи $X,\ Y$, $X+Y$ и проверете во секој случај дали вкупниот збир на веројатности е еднаков на една.

Дозволете ни прво да ја најдеме распределбата на случајната променлива $X$. Случајната променлива $X$ може да ги земе вредностите $x_1=2,$ $x_2=3$, $x_3=5$. За да ја пронајдеме распределбата ќе ја користиме теорема 1.

Прво, да го најдеме збирот на веројатности $x_1$ како што следува:

Слика 3.

Слично, наоѓаме $P\left(x_2\right)$ и $P\left(x_3\десно)$:

\ \

Слика 4.

Сега да ја најдеме распределбата на случајната променлива $Y$. Случајната променлива $Y$ може да ги земе вредностите $x_1=1, $ $x_2=3$, $x_3=4$. За да ја пронајдеме распределбата ќе ја користиме теорема 1.

Прво да го најдеме збирот на веројатности $y_1$ како што следува:

Слика 5.

Слично на тоа, наоѓаме $P\left(y_2\right)$ и $P\left(y_3\десно)$:

\ \

Ова значи дека законот за распределба на вредноста $X$ ја има следната форма:

Слика 6.

Ајде да ја провериме еднаквоста на вкупниот збир на веројатности:

Останува да се најде законот за распределба на случајната променлива $X+Y$.

За погодност, да го означиме со $Z$: $Z=X+Y$.

Прво, да откриеме какви вредности може да има оваа количина. За да го направите ова, ќе ги додадеме вредностите на $X$ и $Y$ во парови. Ги добиваме следните вредности: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Сега, отфрлајќи ги соодветните вредности, откриваме дека случајната променлива $X+Y$ може да ги земе вредностите $z_1 =3,\ z_2=4,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $

Ајде прво да најдеме $P(z_1)$. Бидејќи вредноста на $z_1$ е една, таа се наоѓа на следниов начин:

Слика 7.

Сите веројатности освен $P(z_4)$ се наоѓаат слично:

Сега да најдеме $P(z_4)$ на следниов начин:

Слика 8.

Ова значи дека законот за распределба на вредноста $Z$ ја има следната форма:

Слика 9.

Ајде да ја провериме еднаквоста на вкупниот збир на веројатности:

дводимензионални дискретна дистрибуцијаслучајно

Често резултатот од експериментот се опишува со неколку случајни променливи: . На пример, времето во дадено место во одредено време од денот може да се карактеризира со следните случајни променливи: X 1 - температура, X 2 - притисок, X 3 - влажност на воздухот, X 4 - брзина на ветерот.

Во овој случај, зборуваме за повеќедимензионална случајна променлива или систем на случајни променливи.

Размислете за дводимензионална случајна променлива чии можни вредности се парови на броеви. Геометриски, дводимензионална случајна променлива може да се толкува како случајна точка на рамнина.

Доколку компонентите XИ Yсе дискретни случајни променливи, тогаш е дискретна дводимензионална случајна променлива, и ако XИ Yсе континуирани, тогаш е континуирана дводимензионална случајна променлива.

Законот за дистрибуција на веројатност на дводимензионална случајна променлива е кореспонденција помеѓу можните вредности и нивните веројатности.

Законот за распределба на дводимензионална дискретна случајна променлива може да се специфицира во форма на табела со двоен влез (види Табела 6.1), каде што е веројатноста дека компонентата Xго доби значењето x јас, и компонентата Y- значење y ј .

Табела 6.1.1.

	y 1	y 2	y ј	y м
x 1	стр 11	стр 12	стр 1j	стр 1м
x 2	стр 21	стр 22	стр 2j	стр 2м

x јас	стр i1	стр i2	стр ij	стр јас сум

x n	стр n1	стр n2	стр њ	стр nm

Бидејќи настаните сочинуваат целосна група на парно некомпатибилни настани, збирот на веројатностите е еднаков на 1, т.е.

Од Табела 6.1 можете да ги најдете законите за дистрибуција на еднодимензионални компоненти XИ Y.

Пример 6.1.1 . Најдете ги законите за дистрибуција на компонентите XИ Y,ако распределбата на дводимензионална случајна променлива е дадена во форма на табела 6.1.2.

Табела 6.1.2.

Ако ја поправиме вредноста на еден од аргументите, на пример, тогаш добиената дистрибуција на вредноста Xнаречена условна распределба. Слично е дефинирана условната дистрибуција Y.

Пример 6.1.2 . Според распределбата на дводимензионална случајна променлива дадена во Табела. 6.1.2, најдете: а) условен закон за распределба на компонентата Xсо оглед на тоа; б) закон за условна распределба Yпод услов да.

Решение. Условни веројатности на компоненти XИ Yпресметано со помош на формули

Закон за условна распределба Xпод услов да ја има формата

Контрола:.

Законот за распределба на дводимензионална случајна променлива може да биде наведен во форма дистрибутивни функции, што ја одредува за секој пар броеви веројатноста дека Xќе земе вредност помала од X, и каде Yќе земе вредност помала од y:

Геометриски, функцијата значи веројатност случајната точка да падне во бесконечен квадрат со неговото теме во точката (сл. 6.1.1).

Да ги забележиме својствата.

1. Опсегот на вредности на функцијата е , т.е. .
2. Функција - функција која не се намалува за секој аргумент.
3. Постојат ограничувачки односи:

Кога функцијата на дистрибуција на системот ќе стане еднаква на функцијата на дистрибуција на компонентата X, т.е. .

Исто така,.

Знаејќи го ова, можете да ја најдете веројатноста за случајна точка да падне во правоаголникот ABCD.

Имено,

Пример 6.1.3. Дводимензионална дискретна случајна променлива е специфицирана со табела за дистрибуција

Најдете ја функцијата за дистрибуција.

Решение. Вредност во случај на дискретни компоненти XИ Yсе наоѓа со собирање на сите веројатности со индекси јасИ ј, за што, . Тогаш, ако и, тогаш (настаните и се невозможни). Слично добиваме:

ако и, тогаш;

ако и, тогаш.

Да ги претставиме добиените резултати во форма на табела (6.1.3) на вредности:

За дводимензионален континуиранслучајна променлива, се воведува концептот на густина на веројатност

Геометриската густина на веројатноста е дистрибутивна површина во просторот

Дводимензионалната густина на веројатност ги има следните својства:

3. Функцијата за распределба може да се изрази преку формулата

4. Веројатноста континуирана случајна променлива да падне во регионот е еднаква на

5. Во согласност со својството (4) на функцијата, важат следните формули:

Пример 6.1.4.Дадена е дистрибутивната функција на дводимензионална случајна променлива

Дефиниција.Ако се дадени две случајни променливи на ист простор на елементарни настани XИ Y,тогаш велат дека е дадено дводимензионална случајна променлива (X,Y) .

Пример.Машината става печат на челични плочки. Контролирана должина Xи ширина Y. − дводимензионален SV.

НЕ XИ Yимаат свои дистрибутивни функции и други карактеристики.

Дефиниција. Дистрибутивна функција на дводимензионална случајна променлива (X,Y) наречена функција.

Дефиниција. Законот за распределба на дискретна дводимензионална случајна променлива (X, Y) наречена маса

			…


…

За дводимензионална дискретна SV.

Својства:

2) ако, тогаш ; ако тогаш ;

4) − функција на дистрибуција X;

− функција на дистрибуција Y.

Веројатност за дводимензионални SV вредности да паднат во правоаголник:

Дефиниција.Дводимензионална случајна променлива (X,Y)повикани континуирано , ако неговата дистрибутивна функција е континуиран и има насекаде (освен, можеби, конечен број кривини) континуиран мешан парцијален извод од втор ред .

Дефиниција. Густината на заедничката распределба на веројатност на дводимензионална континуирана SV наречена функција.

Тогаш очигледно .

Пример 1.Дводимензионален континуиран SV е одреден со функцијата за дистрибуција

Тогаш густината на дистрибуција има форма

Пример 2.Дводимензионален континуиран SV е одреден со густината на дистрибуцијата

Да ја најдеме нејзината дистрибутивна функција:

Својства:

3) за која било област.

Нека биде позната густината на дистрибуцијата на спојницата. Тогаш густината на дистрибуција на секоја од компонентите на дводимензионалниот SV се наоѓа на следниов начин:

Пример 2 (продолжува).

Некои автори ја нарекуваат густина на дистрибуција на дводимензионалните SW компоненти маргиналнагустини на распределба на веројатност .

Условни закони за дистрибуција на компоненти на систем на дискретни SV.

Условна веројатност, каде .

Закон за условна дистрибуција на компонентата Xна:

X			…
Р			…

Слично за , каде .

Ајде да создадеме закон за условна распределба Xна Y= 2.

Потоа законот за условна распределба

X	-1
Р

Дефиниција. Условна густина на дистрибуција на компонентата X по дадена вредност Y=yповикан .

Слично:.

Дефиниција. Условно математички чекајќи дискретна SV Y at се нарекува , каде што − види погоре.

Оттука,.

За континуираноНЕ Y .

Очигледно, ова е функција на аргументот X. Оваа функција се нарекува регресивна функција на Y на X .

Дефинирано слично регресивна функција X на Y : .

Теорема 5. (За функцијата на дистрибуција на независни СВ)

НЕ XИ Y

Последица.Континуирано СВ XИ Yсе независни ако и само ако .

Во примерот 1 во. Затоа, СВ XИ Yнезависна.

Нумерички карактеристики на компонентите на дводимензионална случајна променлива

За дискретна SV:

За континуирано CB: .

Дисперзијата и стандардното отстапување за сите SV се одредуваат со користење на истите формули познати нам:

Дефиниција.Точката се нарекува центар на дисперзија дводимензионален SV.

Дефиниција. Коваријанса (момент на корелација) СВ се нарекува

За дискретни SV: .

За континуирано CB: .

Формула за пресметка: .

За независни СВ.

Непријатноста на карактеристиката е нејзината димензија (квадратот на мерната единица на компонентите). Следната количина е ослободена од овој недостаток.

Дефиниција. Коефициент на корелација НЕ XИ Yповикани

За независни СВ.

За кој било пар SV . Познато е дека ако и само ако, кога, каде.

Дефиниција.НЕ XИ Yсе нарекуваат неповрзани , Ако .

Врска помеѓу корелација и зависност од SV:

− ако СВ XИ Yво корелација, т.е. , тогаш тие се зависни; обратното не е точно;

− ако СВ XИ Yтогаш се независни ; спротивното не е точно.

Забелешка 1.Ако НЕ XИ Yраспределени според нормалниот закон и , тогаш тие се независни.

Забелешка 2.Практично значење како мерка за зависност се оправдува само кога заедничката распределба на парот е нормална или приближно нормална. За произволно СВ XИ Yможеш да дојдеш до погрешен заклучок т.е. Можеби дури и кога XИ Yсе поврзани со строга функционална зависност.

Забелешка 3.ВО математичка статистикакорелацијата е веројатност (статистичка) зависност помеѓу количествата која, општо земено, нема строго функционална природа. Корелациската зависност се јавува кога една од величините зависи не само од втората, туку и од голем број случајни фактори, или кога меѓу условите од кои зависи едната или другата количина, постојат услови заеднички за двете.

Пример 4.За СВ XИ Yод пример 3 најдете .

Решение.

Пример 5.Дадена е густината на заедничката распределба на дводимензионални SV.

Збир на случајни променливи X 1 ,X 2 ,...,X стр, дефинирани на формите на просторот за веројатност (). П-димензионална случајна променлива ( X 1 ,X 2 ,...,X стр). Ако економски процесопишан со користење на две случајни променливи X 1 и X 2, потоа се одредува дводимензионална случајна променлива ( X 1 ,X 2) или ( X,Y).

Дистрибутивна функцијасистеми од две случајни променливи ( X,Y), се смета како функција на променливи се нарекува веројатност да се случи некој настан :

Вредностите на функцијата за дистрибуција ја задоволуваат нееднаквоста

СО геометриска точкаприказ на функцијата на дистрибуција Ф(x,y) ја одредува веројатноста дека случајна точка ( X,Y) ќе падне во бесконечен квадрант со темето во точката ( X,на), бидејќи точката ( X,Y) ќе биде под и лево од посоченото теме (сл. 9.1).

X,Y) во полулента (сл. 9.2) или во полулента (сл. 9.3) се изразува со формулите:

соодветно. Веројатност за удирање вредности X,Y) во правоаголник (сл. 9.4) може да се најде со помош на формулата:

Сл.9.2 Сл.9.3 Сл.9.4

Дискретнинаречена дводимензионална величина чии компоненти се дискретни.

Закон за дистрибуцијадводимензионална дискретна случајна променлива ( X,Y) е збир на сите можни вредности ( x i, y j), , дискретни случајни променливи XИ Yи нивните соодветни веројатности , карактеризирајќи ја веројатноста дека компонентата Xќе ја земе вредноста x iа во исто време и компонента Yќе ја земе вредноста y j, и

Закон за дистрибуција на дводимензионална дискретна случајна променлива ( X,Y) се дадени во форма на табела. 9.1.

Табела 9.1

Ω X Ω Y	x 1	x 2	…	x i	…
y 1	стр(x 1 ,y 1)	стр(x 2 ,y 1)	…	p( x i,y 1)	…
y 2	стр(x 1 ,y 2)	стр(x 2 ,y 2)	…	p( x i,y 2)	…
…	…	…	…	…	…
y јас	стр(x 1 ,y јас)	стр(x 2 ,y јас)	…	p( x i,y јас)	…
…	…	…	…	…	…

Континуиранонаречена дводимензионална случајна променлива чии компоненти се континуирани. Функција Р(X,на), еднаква на границатаоднос на веројатноста да се погоди дводимензионална случајна променлива ( X,Y) во правоаголник со страни и до плоштината на овој правоаголник, кога двете страни на правоаголникот се стремат кон нула, се вика густина на дистрибуција на веројатност:

Знаејќи ја густината на дистрибуцијата, можете да ја најдете функцијата на дистрибуција користејќи ја формулата:

На сите точки каде што има мешан извод од втор ред на функцијата на дистрибуција , густина на дистрибуција на веројатност може да се најде со помош на формулата:

Веројатност да се погоди случајна точка ( X,на) до областа Дсе определува со еднаквоста:

Веројатноста дека случајна променлива Xго доби значењето X<х под услов случајната променлива Yзеде фиксна вредност Y=y, се пресметува со формулата:

Исто така,

Формули за пресметување на густини на распределба на условна веројатност на компонентите XИ Y :

Збир на условни веројатности стр(x 1 |y јас), стр(x 2 |y јас), …, стр(x i |y i), … исполнување на условот Y=y i, се нарекува условна распределба на компонентата Xна Y=y iX,Y), Каде

Слично на тоа, условната дистрибуција на компонентата Yна X=x iдискретна дводимензионална случајна променлива ( X,Y) е збир на условни веројатности кои го исполнуваат условот X=x i, Каде

Почетниот момент на нарачкаk+sдводимензионална случајна променлива ( X,Y и т.е. .

Ако XИ Y -тогаш дискретни случајни променливи

Ако XИ Y -континуирани случајни променливи, тогаш

Централен моментсо цел k+sдводимензионална случајна променлива ( X,Y) се нарекува математичко очекување на производите И , оние.

Ако количините на компонентите се дискретни, тогаш

Ако количините на компонентите се континуирани, тогаш

Каде Р(X,y) – густина на дистрибуција на дводимензионална случајна променлива ( X,Y).

Условно математичко очекувањеY(X) на X=x(на Y=y) се нарекува израз на формата:

– за дискретна случајна променлива Y(X);

– за континуирана случајна променлива Y(X).

Математички очекувања на компонентите XИ Yдводимензионалната случајна променлива се пресметува со помош на формулите:

Момент на корелацијанезависни случајни променливи XИ Yвклучена во дводимензионалната случајна променлива ( X,Y), се нарекува математичко очекување на производите на отстапувањата на овие количини:

Момент на корелација на две независни случајни променливи XX,Y), е еднакво на нула.

Коефициент на корелацијаслучајни променливи Xи Y вклучени во дводимензионалната случајна променлива ( X,Y), се нарекува сооднос на моментот на корелација со производот на стандардните отстапувања на овие големини:

Коефициентот на корелација го карактеризира степенот (блискоста) на линеарната корелација помеѓу XИ Y.Случајните променливи за кои , се нарекуваат неповрзани.

Коефициентот на корелација ги задоволува следниве својства:

1. Коефициентот на корелација не зависи од мерните единици на случајните променливи.

2. Апсолутната вредност на коефициентот на корелација не надминува една:

3. Ако тогаш помеѓу компонентите XИ Yслучајна променлива ( X, Y) постои линеарна функционална врска:

4. Ако тогаш компоненти XИ Yдводимензионалните случајни променливи се неповрзани.

5. Ако тогаш компоненти XИ Yдводимензионални случајни променливи се зависни.

Равенки М(X|Y=y)=φ( на) И М(Y|X=x)=ψ( x) се нарекуваат регресивни равенки, а линиите определени со нив се нарекуваат регресивни линии.

Задачи

9.1. Дводимензионална дискретна случајна променлива (X, Y)е дадено со законот за распределба:

Табела 9.2

Ω x Ω y
	0,2	0,15	0,08	0,05
	0,1	0,05	0,05	0,1
	0,05	0,07	0,08	0,02

Најдете: а) закони за распределба на компонентите XИ Y;

б) условен закон за распределба на вредноста Yна X =1;

в) функција на дистрибуција.

Откријте дали количините се независни XИ Y. Пресметај веројатност и основни нумерички карактеристики М(X),М(Y),Д(X),Д(Y),Р(X,Y), .

Решение.а) Случајни променливи Xи Y се дефинирани на множество кое се состои од елементарни исходи, кое има форма:

Настан ( X= 1) одговара на збир на исходи чија прва компонента е еднаква на 1: (1;0), (1;1), (1;2). Овие резултати се некомпатибилни. Веројатноста дека Xќе ја земе вредноста x i, според аксиомата 3 на Колмогоров, е еднаква на:

Исто така

Затоа, маргиналната дистрибуција на компонентата X, може да се специфицира во форма на табела. 9.3.

Табела 9.3

б) Множество условни веројатности Р(1;0), Р(1;1), Р(1;2) исполнување на условот X=1, се нарекува условна распределба на компонентата Yна X=1. Веројатност за вредностите на вредноста Yна X=1 наоѓаме користејќи ја формулата:

Оттогаш, заменувајќи ги вредностите на соодветните веројатности, добиваме

Значи, условната дистрибуција на компонентата Yна X=1 има форма:

Табела 9.5

y j
	0,48	0,30	0,22

Бидејќи законите за условна и безусловна дистрибуција не се совпаѓаат (видете табели 9.4 и 9.5), вредностите XИ Yзависни. Овој заклучок се потврдува со фактот дека еднаквоста

за кој било пар можни вредности XИ Y.

На пример,

в) Дистрибутивна функција Ф(x,y) дводимензионална случајна променлива (X,Y)има форма:

каде што сумирањето се врши над сите точки (), за кои неравенките се истовремено исполнети x i И y j . Тогаш за даден закон за распределба, добиваме:

Попогодно е да се прикаже резултатот во форма на Табела 9.6.

Табела 9.6

X y

0,20 0,35 0,43 0,48
0,30 0,5 0,63 0,78
0,35 0,62 0,83
Да ги искористиме формулите за почетните моменти и резултатите од табелите 9.3 и 9.4 и да ги пресметаме математичките очекувања на компонентите XИ Y:

Ние ги пресметуваме варијансите користејќи го вториот почетен момент и резултатите од табелата. 9.3 и 9.4:

Да се пресмета коваријанса ДО(X, Y) користиме слична формула во почетниот момент:

Коефициентот на корелација се одредува со формулата:

Потребната веројатност е дефинирана како веројатност да падне во регион на рамнината дефинирана со соодветната неравенка:

9.2. Бродот пренесува „SOS“ порака, која може да ја примат две радио станици. Овој сигнал може да го прими една радио станица независно од другата. Веројатноста дека сигналот е примен од првата радио станица е 0,95; веројатноста дека сигналот е примен од втората радио станица е 0,85. Најдете го законот за дистрибуција на дводимензионална случајна променлива која го карактеризира приемот на сигнал од две радио станици. Напишете ја функцијата за дистрибуција.

Решение:Нека X– настан кој се состои во тоа што сигналот го прима првата радио станица. Y– настанот е што сигналот го прима втора радио станица.

Повеќекратни значења .

X=1 – сигнал примен од првата радио станица;

X=0 – сигналот не бил примен од првата радио станица.

Повеќекратни значења .

Y=l – сигнал примен од втората радио станица,

Y=0 – сигналот не го прима втората радио станица.

Веројатноста дека сигналот не е примен ниту од првата, ниту од втората радиостаница е:

Веројатност за прием на сигнал од првата радио станица:

Веројатност дека сигналот е примен од втората радио станица:

Веројатноста дека сигналот е примен и од првата и од втората радиостаница е еднаква на: .

Тогаш законот за распределба на дводимензионална случајна променлива е еднаков на:

y x
0,007 0,142
0,042 0,807
X,y) значење Ф(X,y) е еднаков на збирот на веројатностите на тие можни вредности на случајната променлива ( X,Y), кои спаѓаат во наведениот правоаголник.

Тогаш функцијата за дистрибуција ќе изгледа вака:

9.3. Две компании произведуваат идентични производи. Секој, независно од другиот, може да одлучи да го модернизира производството. Веројатноста дека првата фирма донела таква одлука е 0,6. Веројатноста за донесување ваква одлука од страна на втората фирма е 0,65. Напишете го законот за распределба на дводимензионална случајна променлива што ја карактеризира одлуката за модернизација на производството на две фирми. Напишете ја функцијата за дистрибуција.

Одговор:Закон за дистрибуција:

0,14 0,21
0,26 0,39
За секоја фиксна вредност на точка со координати ( x,y) вредноста е еднаква на збирот на веројатностите на оние можни вредности што спаѓаат во наведениот правоаголник .

9.4. Клипните прстени за автомобилски мотори се направени на автоматски струг. Се мери дебелината на прстенот (случајна вредност X) и дијаметар на дупката (случајна вредност Y). Познато е дека околу 5% од сите клипни прстени се неисправни. Покрај тоа, 3% од дефектите се предизвикани од нестандардни дијаметри на дупките, 1% - од нестандардна дебелина и 1% - се отфрлени по двете основи. Најдете: заедничка дистрибуција на дводимензионална случајна променлива ( X,Y); еднодимензионални распределби на компоненти XИ Y;математички очекувања на компонентите XИ Y; момент на корелација и коефициент на корелација помеѓу компонентите XИ Yдводимензионална случајна променлива ( X,Y).

Одговор:Закон за дистрибуција:

0,01 0,03
0,01 0,95
; ; ; ; ; .

9.5. Фабричките производи се неисправни поради дефекти Аизнесува 4%, а поради дефект ВО– 3,5%. Стандардното производство е 96%. Определете колкав процент од сите производи ги имаат двата типа на дефекти.

9.6. Случајна вредност ( X,Y) распоредени со постојана густина внатре во плоштадот Р, чии темиња имаат координати (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Одреди ја густината на распределбата на случајната променлива ( X,Y) и условни густини на дистрибуција Р(X\на), Р(на\X).

Решение.Ајде да изградиме во авион x 0yдаден квадрат (сл. 9.5) и определи ги равенките на страните на квадратот ABCD, користејќи ја равенката на права линија што минува низ две дадени точки: Замена на координатите на темињата АИ ВОја добиваме секвенцијално равенката на страната АБ: или .

Слично на тоа, ја наоѓаме равенката на страната Сонцето: страни ЦД: и страни Д.А.: . : .D X, Y) е хемисфера центрирана на почетокот на радиусот Р.Најдете ја густината на распределбата на веројатноста.

Одговор:

9.10. Дадена е дискретна дводимензионална случајна променлива:

0,25 0,10
0,15 0,05
0,32 0,13
Најдете: а) закон за условна распределба X, под услов тоа y= 10;

б) закон за условна распределба Y, под услов тоа x =10;

в) математичко очекување, дисперзија, коефициент на корелација.

9.11. Континуирана дводимензионална случајна променлива ( X,Y)рамномерно распоредени во правоаголен триаголник со темиња ЗА(0;0), А(0;8), ВО(8,0).

Најдете: а) густина на дистрибуција на веројатност;