Фракталната природа на хаосот. Златен пресек, фрактали и хаос во врска со одредени идеи за универзумот. Од хаос до ред
Теоријата на хаос неодамна стана еден од најмодерните пристапи за истражување на пазарот. За жал, сè уште не постои точна математичка дефиниција за концептот на хаос. Сега хаосот често се дефинира како екстремна непредвидливост на постојано нелинеарно и неправилно сложено движење што се случува во динамичен систем.
ХАОСОТ НЕ Е Случаен
Треба да се напомене дека хаосот не е случаен, и покрај неговата непредвидливост. Згора на тоа, хаосот е динамички детерминиран (одреден). На прв поглед, непредвидливоста се граничи со случајноста - на крајот на краиштата, ние, по правило, не можеме да предвидиме само случајни појави.
И ако го третирате пазарот како случајна прошетка, тогаш тоа е токму така. Меѓутоа, хаосот не е случаен, тој ги почитува сопствените закони. Според теоријата на хаос, ако зборувате за хаотично движење на цената, тогаш не треба да мислите на случајно движење на цената, туку на друго, особено нарачано движење. Ако пазарната динамика е хаотична, тие не се случајни, иако сè уште се непредвидливи.
Непредвидливоста на хаосот
Непредвидливоста на хаосот се објаснува главно со неговата значајна зависност од почетните услови. Оваа зависност покажува дека дури и најмалите грешки во мерењето на параметрите на предметот што се проучува може да доведат до целосно неточни предвидувања.
Овие грешки може да настанат поради елементарно непознавање на сите почетни услови. Нешто дефинитивно ќе ни избега од вниманието, што значи дека веќе во самата формулација на проблемот ќе има внатрешна грешка, што ќе доведе до значителни грешки во предвидувањата.
„Ефект на пеперутка“
Во врска со неможноста да се направат долгорочни временски прогнози, значајната зависност од почетните услови понекогаш се нарекува „ефект на пеперутка“. „Ефектот на пеперутката“ се однесува на можноста мафтањето со крилото на пеперутката во Бразил да резултира со торнадо во Тексас.
Дополнителни неточности во резултатите од истражувањето и пресметките можат да воведат најневидливите фактори кои влијаат на системот на прв поглед, кои се појавуваат во периодот на неговото постоење од почетниот момент до појавата на вистинскиот и конечниот резултат. Во овој случај, факторите на влијание можат да бидат и егзогени (надворешни) и ендогени (внатрешни).
Впечатлив пример за хаотично однесување е движењето на топката за билијард. Ако некогаш сте играле билијард, тогаш знаете дека конечниот резултат зависи од почетната точност на ударот, неговата сила, позицијата на знакот во однос на топката, проценката на локацијата на топката што се удира, како и локацијата на другите топки на масата. Најмалата непрецизност во еден од овие фактори доведува до најнепредвидливи последици - топката може да се тркала сосема поинаку од местото каде што очекувал билјард играчот. Покрај тоа, дури и ако билијардецот направил сè правилно, обидете се да ги предвидите движењата на топката по пет или шест судири.
Да разгледаме уште еден пример за влијанието на почетните услови врз конечниот резултат. Да замислиме, на пример, камен на врвот на планина. Само турнете го малку и тој ќе се тркала до самото подножје на планината. Јасно е дека многу мала промена во силата на туркањето и неговата насока може да доведе до многу значајна промена во местото каде каменот застанува на подножјето. Меѓутоа, постои една многу значајна разлика помеѓу примерот со камен и хаотичен систем.
Во првата, факторите кои влијаат на каменот при неговото паѓање од планината (ветер, пречки, промени во внатрешната структура поради судири и сл.) повеќе немаат силно влијание врз крајниот резултат во однос на почетните услови. Во хаотичните системи, малите промени имаат значително влијание врз исходот не само во почетните услови, туку и во други фактори.
Според тоа, еден од главните заклучоци на теоријата на хаосот е следниот - невозможно е да се предвиди иднината, бидејќи секогаш ќе има грешки во мерењето, генерирани, меѓу другото, од непознавање на сите фактори и услови.
Истото е едноставно - малите промени и/или грешки може да имаат големи последици.
Слика 1. Значајна зависност на резултатот од почетните услови и факторите на влијание
- Друго основно својство на хаосот е експоненцијалната акумулација на грешка. Според квантната механика, почетните услови се секогаш неизвесни, а според теоријата на хаос, овие несигурности брзо ќе растат и ќе ги надминат дозволените граници на предвидливост.
- Вториот заклучок на теоријата на хаосот е дека веродостојноста на прогнозите брзо се намалува со текот на времето.
Слика 2. Експоненцијален пад на прогнозната доверба
Обично се вели дека хаосот е повисок облик на ред, но поправилно е хаосот да се смета за друг облик на ред - неизбежно во секој динамичен систем, редот во вообичаена смисла е проследен со хаос, а хаосот е проследен со ред. Ако го дефинираме хаосот како неред, тогаш во таквото неред дефинитивно ќе можеме да ја видиме нашата посебна форма на ред. На пример, чадот од цигарите, кој првично се издига во форма на нарачана колона, под влијание на надворешното опкружување, добива сè побизарни форми, а неговите движења стануваат хаотични.Друг пример за случајност во природата е лист од кое било дрво. Може да се тврди дека ќе најдете многу слични лисја, на пример даб, но ниту еден пар идентични лисја. Разликата е однапред одредена од температурата, ветерот, влажноста и многу други надворешни фактори, покрај чисто внатрешни причини (на пример, генетски разлики).
Движењето од ред во хаос и назад се чини дека е суштината на универзумот, без разлика какви манифестации од него проучуваме. Дури и во човечкиот мозок има и ред и хаос во исто време. Првиот одговара на левата хемисфера на мозокот, а вториот на десната. Левата хемисфера е одговорна за свесното човечко однесување, за развојот на линеарни правила и стратегии во човековото однесување, каде што е јасно дефинирано „ако... тогаш...“. Во десната хемисфера владее нелинеарност и хаос. Интуицијата е една од манифестациите на десната хемисфера на мозокот.
Теоријата на хаосот го проучува редот на хаотичен систем, кој изгледа случаен, неуреден. Во исто време, теоријата на хаос помага да се изгради модел на таков систем, без да се постави задача точно да се предвиди однесувањето на хаотичен систем во иднина.
Првите елементи на теоријата на хаосот се појавија во 19 век, но оваа теорија го доби својот вистински научен развој во втората половина на 20 век, заедно со работата на Едвард Лоренц од Технолошкиот институт во Масачусетс и француско-американскиот математичар Беноа Б. Манделброт).
Едвард Лоренц своевремено (почетокот на 60-тите години на 20 век, дело објавено во 1963 година) ги разгледувал тешкотиите во временската прогноза.
Пред работата на Лоренц, во светот на науката преовладуваа две мислења во врска со можноста за прецизно прогнозирање на времето во бесконечен временски период.
Првиот пристап беше формулиран уште во 1776 година од францускиот математичар Пјер Симон Лаплас. Лаплас изјави дека„...ако замислиме ум кој во даден момент ги сфатил сите врски помеѓу објектите во Универзумот, тогаш ќе може да ја утврди соодветната положба, движења и општи ефекти на сите овие објекти во секое време во минатото. или во иднина“. Овој негов пристап беше многу сличен на познатите зборови на Архимед: „Дај ми потпора и ќе го свртам целиот свет наопаку“.
Така, Лаплас и неговите поддржувачи рекоа дека за точно да се предвиди времето, потребно е само да се соберат повеќе информации за сите честички во Универзумот, нивната локација, брзина, маса, насока на движење, забрзување итн. Лаплас мислеше дека колку повеќе човек знае, толку поточна ќе биде неговата прогноза за иднината.
Вториот пристап кон можноста за временска прогноза беше најјасно формулиран пред кој било друг од друг француски математичар, Жил Анри Поенкаре. Во 1903 година тој рече:„Ако ги знаевме точно законите на природата и положбата на Универзумот во почетниот момент, би можеле точно да ја предвидиме позицијата на истиот универзум во наредниот момент. Но, дури и ако законите на природата ни ги откријат сите нивни тајни, ние тогаш би можеле само приближно да ја знаеме почетната позиција. Ако ова ни овозможи да ја предвидиме последователната ситуација со иста приближување, тоа би било сè што бараме, а можеме да кажеме дека феноменот е предвиден, дека е регулиран со закони. не е секогаш така, може да се случи малите разлики во почетните услови да произведат многу големи разлики во конечниот феномен. Мала грешка во првата ќе произведе огромна грешка во втората. Предвидувањето станува невозможно, а ние се занимаваме со феномен кој се развива случајно“.
Во овие зборови на Поенкаре го наоѓаме постулатот на теоријата на хаосот за зависноста од почетните услови. Подоцнежниот развој на науката, особено квантната механика, го поби детерминизмот на Лаплас. Во 1927 година, германскиот физичар Вернер Хајзенберг го открил и формулирал принципот на несигурност. Овој принцип објаснува зошто некои случајни појави не се покоруваат на лапласкиот детерминизам. Хајзенберг го покажа принципот на несигурност користејќи го примерот на радиоактивно нуклеарно распаѓање. Така, поради многу малата големина на јадрото, невозможно е да се знаат сите процеси што се случуваат во него. Затоа, без разлика колку информации собираме за јадрото, невозможно е точно да се предвиди кога ова јадро ќе се распадне.
Какви алатки има теоријата на хаос? Како прво, ова се привлечни и фрактали.
Атрактор(од англиски за да привлечат- привлекување) е геометриска структура која го карактеризира однесувањето во фазен простор по долго време.
Овде станува неопходно да се дефинира концептот на фазен простор. Значи, фазниот простор е апстрактен простор чии координати се степените на слобода на системот. На пример, движењето на нишалото има два степени на слобода. Ова движење е целосно определено од почетната брзина и положба на нишалото.
Ако нема отпор на движењето на нишалото, тогаш фазниот простор ќе биде затворена крива. Во реалноста на Земјата, движењето на нишалото е под влијание на силата на триење. Во овој случај, фазниот простор ќе биде спирален.
Слика 3. Движење на нишалото како пример за фазен простор
Едноставно кажано, привлекувач е она што системот се стреми да го постигне, она што го привлекува.
- Најмногу едноставен типпривлекувачот е поентата. Таков привлекувач е карактеристичен за нишалото во присуство на триење. Без разлика на почетната брзина и положба, таквото нишало секогаш ќе мирува, т.е. точно.
- Следниот тип на привлекувач е граничниот циклус, кој има форма на затворена крива линија. Пример за таков привлекувач е нишалото, на кое не влијае триењето. Друг пример на лимитниот циклус е чукањето на срцето. Фреквенцијата на отчукување може да се намалува и зголемува, но секогаш се стреми кон својот привлекувач, неговата затворена крива.
- Третиот тип на привлекувачи е торус. На слика 4, торусот е прикажан во горниот десен агол.
Слика 4. Главни типови на привлекувачи. Погоре прикажани се три предвидливи, едноставни привлекувачи. Подолу се три хаотични атрактори.
И покрај сложеноста на однесувањето на хаотичните привлекувачи, понекогаш наречени чудни привлекувачи, познавањето на фазниот простор овозможува да се претстави однесувањето на системот во геометриска форма и соодветно да се предвиди.И иако е речиси невозможно системот да се наоѓа во одреден момент во времето во одредена точка во фазниот простор, областа каде што се наоѓа објектот и неговата тенденција кон привлекувачот се предвидливи.
Првиот хаотичен привлекувач бил привлечникот Лоренц. На слика 3.7. тоа е прикажано во долниот лев агол.
Слика 5. Хаотичен Лоренц атрактор
Лоренцовиот привлечник се пресметува врз основа на само три степени на слобода - три обични диференцијални равенки, три константи и три почетни услови. Сепак, и покрај неговата едноставност, системот Лоренц се однесува на псевдо-случаен (хаотичен) начин.Откако го симулираше својот систем на компјутер, Лоренц ја идентификуваше причината за неговото хаотично однесување - разликата во почетните услови. Дури и микроскопското отстапување на два системи на самиот почеток во процесот на еволуција доведе до експоненцијална акумулација на грешки и, соодветно, нивна стохастичка дивергенција.
Во исто време, секој привлекувач има ограничувачки димензии, така што експоненцијалната дивергенција на две траектории на различни системи не може да продолжи бесконечно. Порано или подоцна, орбитите повторно ќе се спојат и ќе поминат една до друга или дури и ќе се совпаднат, иако второто е многу малку веројатно. Патем, совпаѓањето на траекториите е правило на однесување на едноставни предвидливи привлекувачи.
Конвергенција-дивергенција (исто така наречена преклопување и истегнување, соодветно) на хаотичен привлекувач систематски ги елиминира првичните информации и ги заменува со нови информации. Како што траекториите се спојуваат, ефектот на миопија почнува да се појавува - неизвесноста на информациите од големи размери се зголемува. Кога траекториите се разминуваат, напротив, тие се разминуваат и ефектот на далекувидноста се појавува кога се зголемува неизвесноста на информациите од мал обем.
Како резултат на постојаната конвергенција и дивергенција на хаотичен привлекувач, неизвесноста брзо се зголемува, што со секој момент во времето нè лишува од можноста да правиме точни прогнози. Она со што науката е толку горда - способноста да воспостави врски помеѓу причините и последиците - е невозможно во хаотични системи. Не постои причинско-последична врска помеѓу минатото и иднината во хаос.
Овде треба да се забележи дека брзината на конвергенција-дивергенција е мерка за хаос, т.е. нумерички израз за тоа колку е хаотичен системот. Друга статистичка мерка за хаосот е димензијата на привлекувачот.
Така, може да се забележи дека главната особина на хаотичните привлекувачи е конвергенција-дивергенција на траектории на различни системи, кои случајно се мешаат постепено и бесконечно.
Пресекот на фракталната геометрија и теоријата на хаосот е евидентен овде. И, иако една од алатките на теоријата на хаосот ефрактална геометрија, фракталот е спротивно на хаосот.
Главната разлика помеѓу хаосот и фракталот е дека првиот е динамичен феномен, додека фракталот е статичен. Динамичкото својство на хаосот се подразбира како нестабилна и непериодична промена на траекторијата.
ФРАКТАЛ
Фрактал- Ова геометриска фигура, одреден делшто се повторува одново и одново, па оттука се манифестира едно од својствата на фракталот - самосличноста.Друго својство на фракталот е фракционалноста. Дробноста на фракталот е математичка рефлексија на степенот на неправилност на фракталот.
Всушност, сè што изгледа случајно и неправилно може да биде фрактал, како што се облаците, дрвјата, свиоците на реките, отчукувањата на срцето, популациите на животните и миграциите или пламенот.
Слика 6. Фрактал на тепих Сиерпински
Овој фрактал се добива преку серија повторувања. Итерација (од латински iteratio - повторување) е повторена примена на која било математичка операција.
Слика 7. Изградба на сиерпински тепих
Хаотичен привлекувач е фрактал. Зошто? Во чуден привлечник, како и во фрактал, како што се зголемува, се откриваат се повеќе детали, т.е. Се активира принципот на самосличност. Без разлика како ја менуваме големината на привлекувачот, тој секогаш ќе остане пропорционално ист.
Во техничката анализа, типичен пример за фрактал се Елиотовите бранови, каде што функционира и принципот на сопствена сличност.
Првиот најпознат и авторитетен научник кој ги проучувал фракталите бил Беноа Манделброт. Во средината на 60-тите години на 20 век, тој развил фрактална геометрија или, како што ја нарекувал и геометријата на природата. Манделброт напиша за ова во неговото познато дело „Фрактална геометрија на природата“(Фрактална геометрија на природата). Многу луѓе го нарекуваат Манделброт татко на фракталите, бидејќи... тој беше првиот што го употреби во однос на анализата на нејасни, неправилни форми.
Дополнителна идеја својствена за фракталноста се нецелобројните димензии. Обично зборуваме за еднодимензионални, дводимензионални, тридимензионални итн. цел број свет. Сепак, може да има и нецелобројни димензии, на пример, 2.72. Манделброт таквите димензии ги нарекува фрактални димензии.
Логиката на постоење на нецелобројни димензии е многу едноставна. Така, во природата тешко дека постои идеална топка или коцка, затоа, 3-димензионалната димензија на оваа вистинска топка или коцка е невозможна и мора да постојат други димензии за да се опишат таквите предмети.
Токму за мерење на такви неправилни, фрактални фигури беше воведен концептот на мерење на фрактал. На пример, стуткајте парче хартија во топка. Од гледна точка на класичната Евклидова геометрија, новоформираниот објект ќе биде тродимензионална топка. Меѓутоа, во реалноста сè уште е само дводимензионално парче хартија, иако стуткано во топка. Од ова можеме да претпоставиме дека новиот објект ќе има димензија поголема од 2, но помала од 3. Ова не се вклопува добро со Евклидовата геометрија, но може добро да се опише со користење на фрактална геометрија, која би навела дека новиот објект ќе биде во фрактална димензија приближно еднаква на 2,5, т.е. имаат фрактална димензија од околу 2,5.
Детерминистички фрактали
Постојат детерминистички фрактали, чиј пример е тепихот Сиерпински, и сложени фрактали. Кога се конструира првото, не се потребни формули или равенки. Доволно е да земете лист хартија и да извршите неколку повторувања на некоја форма. Сложените фрактали имаат бесконечна сложеност, иако се генерираат со едноставна формула.Класичен пример за сложен фрактал е множеството
Манделброт, добиен од едноставната формула Zn+1=Zna+C, каде што Z и C се сложени броеви, а a е позитивен број. На слика 8 гледаме фрактал од 2 степен, каде a = 2.Слика 8. Сет Манделброт
Системите можат да преминат во хаос на различни начини. Меѓу вторите, се издвојуваат бифуркации, кои се изучувани со теоријата на бифуркации.
Бифуркација (од лат. бифуркус- бифуркација) е процес на квалитативна транзиција од состојба на рамнотежа во хаос преку последователна многу мала промена (на пример, Фејгенбаум удвојување за време на двојна бифуркација) на периодични точки.
Неопходно е да се забележи што се случуваквалитетменување на својствата на системот, т.н. катастрофален скок. Моментот на скокот (бифуркација при двојна бифуркација) се јавува воточка на бифуркација.
Хаосот може да настане преку бифуркација, како што е прикажано од Мичел Фајгенбаум. При креирањето на сопствената теорија за фракталите, Фајгенбаум главно ја анализирал логистичката равенка Xn+1=CXn - C(Xn)2, каде што C е надворешен параметар, од кој заклучил дека при одредени ограничувања во сите такви равенки има премин од рамнотежна состојба до хаос.
Подолу е класичен биолошки пример на оваа равенка.
На пример, популација на поединци со нормализирана големина Xn живее во изолација. Една година подоцна, се појавуваат потомци нумерирани Xn+1. Растот на населението е опишан со првиот член од десната страна на равенката (СХn), каде што коефициентот C ја одредува стапката на раст и е одредувачки параметар. Губењето на животните (поради пренаселеност, недостаток на храна и сл.) се одредува со вториот, нелинеарен член (C(Xn)2).
Резултатот од пресметките се следните заклучоци:
- во Ц< 1 популяция с ростом n вымирает;
- во областа 1< С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0 = 1 - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится одбивни фикснаточка. Од оваа точка натаму, функцијата никогаш не конвергира во една точка. Пред оваа точка беше атрактивна фиксна;
- во опсегот 3< С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается;
- на C > 3,57, областите на различни решенија се преклопуваат (се чини дека се обоени) и однесувањето на системот станува хаотично.
Зависноста на големината на населението од параметарот C е прикажана на следната слика.
Слика 9. Премин во хаос низ бифуркации, почетна фаза на равенката Xn+1=CXn - C(Xn)2
Динамичките променливи Xn земаат вредности кои силно зависат од почетните услови. Кога пресметките се вршат на компјутер, дури и за многу блиски почетни вредности на C, крајните вредности може нагло да се разликуваат. Покрај тоа, пресметките стануваат неточни, бидејќи тие почнуваат да зависат од случајни процеси во самиот компјутер (напонски бранови, итн.).
Така, состојбата на системот во моментот на бифуркација е крајно нестабилна и бесконечно мало влијание може да доведе до избор на понатамошен пат на движење, а тоа, како што веќе знаеме, е главната карактеристика на хаотичен систем (значителна зависност на почетните услови).
Фајгенбаум воспоставил универзални закони за транзиција кон динамичен хаос кога периодот се удвојува, кои експериментално биле потврдени за широка класа на механички, хидродинамички, хемиски и други системи. Резултатот од истражувањето на Фајгенбаум беше т.н. „Дрвото Фејгенбаум“.
Слика 10. Дрво Feigenbaum (пресметка врз основа на малку изменета логистичка формула)
Што се бифуркации во секојдневниот живот, во едноставни термини. Како што знаеме од дефиницијата, бифуркациите се случуваат кога системот преминува од состојба на привидна стабилност и рамнотежа во хаос.
Примери за такви транзиции се чадот, водата и многу други вообичаени природни феномени. Така, чадот што се крева нагоре првично изгледа како уредна колона. Меѓутоа, по некое време, таа почнува да претрпува промени кои на почетокот изгледаат уредни, но потоа стануваат хаотично непредвидливи.
Всушност, првиот премин од стабилност кон некоја форма на привидна уредност, но веќе променливост, се случува на првата точка на бифуркација. Понатаму, бројот на бифуркации се зголемува, достигнувајќи огромни вредности. Со секоја бифуркација, функцијата за турбуленција на чад се приближува до хаос.
Користејќи ја теоријата на бифуркации, можно е да се предвиди природата на движењето што се случува за време на транзицијата на системот во квалитативно различна состојба, како и регионот на постоење на системот и да се оцени неговата стабилност.
За жал, самото постоење на теоријата на хаос е тешко да се помири со класичната наука. Вообичаено, научните идеи се тестираат со правење предвидувања и нивно проверување во однос на вистинските резултати. Сепак, како што веќе знаеме, хаосот е непредвидлив; кога проучувате хаотичен систем, можете само да го предвидите неговиот модел на однесување.
Затоа, со помош на хаос, не само што е невозможно да се конструира точна прогноза, туку и, соодветно, да се провери. Сепак, тоа не треба да значи дека теоријата на хаос, потврдена и во математичките пресметки и во животот, е неточна.
Во моментов, не постои математички прецизен апарат за примена на теоријата на хаос за проучување на пазарните цени, така што нема брзање да се примени знаењето за хаосот. Во исто време, ова е навистина најперспективната модерна област на математиката од гледна точка на применети истражувања на финансиските пазари.
1.1. Што се фрактали и хаос?
Некогаш, на повеќето луѓе им се чинеше дека геометријата во природата е ограничена на такви едноставни фигури како што се права, круг, конусен пресек, многуаголник, сфера, квадратна површина и нивни комбинации. На пример, што може да биде поубаво од изјавата дека планетите во нашиот Сончев систем се движат околу Сонцето во елипсовидни орбити? Овој извонреден закон е еден од трите постулати на планетарното движење формулирани од Јоханес Кеплер врз основа на набљудувања и мерења направени од Тихо Брахе. Подоцна, Сер Исак Њутн го извел законот за инверзен квадрат за гравитациона привлечност како решение за некоја диференцијална равенка, при што Кеплеровите закони следуваат од неговото решение. Во овој и во други случаи, кога примената на едноставни геометриски модели беше успешна, тоа доведе до огромни научни достигнувања.
Сепак, многу природни системи се толку сложени и неправилни што користењето само познати објекти од класичната геометрија за нивно моделирање изгледа безнадежно. Како, на пример, можете да изградите модел на планински венец или круна од дрво во однос на геометријата? Како да се опише разновидноста на биолошките конфигурации што ги набљудуваме во светот на растенијата и животните? Замислете ја сложеноста на циркулаторниот систем, кој се состои од многу капилари и садови и доставува крв до секоја клетка на човечкото тело. Замислете колку паметно се наредени белите дробови и пупките, кои во структурата потсетуваат на дрвја со разгранета круна.
Динамиката на реалниот живот може да биде исто толку сложена и неправилна. природни системи. Како да се пристапи кон моделирање на каскадни водопади или турбулентни процеси кои го одредуваат времето?
Која математика е одговорна за ритамот на срцето и мозокот забележан на електрокардиограмот и енцефалограмот, особено оние ненадејни напади на аритмија кои можат да предизвикаат дефект на срцето? Дали е можно математички да се опише ненадејната појава на бран на паника на финансиските пазари или дури да се изгради математички модел на општествено однесување?
Фракталите и математичкиот хаос се соодветни алатки за истражување на овие прашања. Терминот фрактал се однесува на некоја статична геометриска конфигурација, како што е слика од водопад. Хаос е динамичен термин кој се користи за опишување на феномени слични на турбулентното временско однесување. Оваа книга е вовед во математиката зад овие концепти. Се претпоставува дека откако ќе ги совлада методите наведени овде, читателот ќе може да продолжи кон проучување на апликации од специјализирани извори.
На пример, истражувањата покажуваат дека во физиологијата постои и „добар“ и „лош“ хаос. Во експериментите со мачки, беше забележано дека изгледот на електрокардиограмот земен пред и по администрацијата на кокаин се менува од редовна низа високи врвови проследени со мали шила до многу неправилна низа, што веројатно укажува на напад на аритмија. Од друга страна, моделот на електроенцефалограмот се менува од неправилен и непредвидлив до многу помазен. Видете ја и анализата за можната улога на хаосот во развојот на срцевите заболувања.
Честопати она што го набљудуваме во природата не заинтригира со бескрајното повторување на истата шема, зголемено или намалено онолку пати колку што сакате. На пример, едно дрво има гранки. На овие гранки има помали гранки итн. Теоретски, елементот „вилушка“ се повторува на неодредено време, станува сè помал и помал. Истото може да се види кога се гледа фотографија од планински терен. Обидете се да зумирате малку на планинскиот венец - повторно ќе ги видите планините. Зумирајте дополнително и сепак ќе можете да видите што личи на планини, благодарение на вашата (статистичка) способност да го разликувате видот на објектот на сликата. Така се манифестира својството на самосличност карактеристично за фракталите (Делови 2.1 и 5.1).
Голем дел од работата на фракталите ја користи самосличноста како дефинирачко својство. Следејќи го Беноа Манделбро, го прифаќаме ставот дека фракталите треба да се дефинираат во однос на фракталната димензија (Поглавје 5). Оттука доаѓа зборот фрактал. Концептот на фракциона димензија е многу сложен концепт, кој ќе го претставиме во неколку фази. Правата линија е еднодимензионален објект, додека рамнината е дводимензионален објект. Како што ќе видиме подоцна, со темелно извртување на права линија или рамнина, можете да ја зголемите димензијата на добиената конфигурација; во овој случај, новата димензија обично ќе биде фракционална во некоја смисла, што треба да го разјасниме. Врската помеѓу дробната димензија и самосличноста е во тоа што со помош на самосличноста е можно да се конструира множество од фракциони димензии на наједноставен начин (Дел 2.1). Дури и во случај на многу посложени фрактали, како што е границата на множеството Манделброт (Дел 8.3), кога нема чиста самосличност, има речиси целосно повторување на основната форма во сè понамалена форма.
ВО Англиски јазикхаосот обично се дефинира како состојба на целосно нарушување или конфузија. Некои речници го користат концептот на состојба во која владее случајноста. Терминот хаос во математиката се користи во потесна смисла.
Иако не постои универзална дефиниција за математички хаос, се чини дека постои целосна согласност дека секој вид на хаос има својство на непредвидливост. Ова својство се нарекува суштинска зависност од почетните услови (Дел 6.5). Доволно чудно, тоа не е еквивалентно на случајно однесување. Всушност, математичкиот хаос е карактеристична карактеристика на детерминистичките динамички системи. Затоа, флуктуациите забележани во состојба на хаос се чини дека се само случајни - нивните вредности се целосно предодредени од влезните параметри. Но, во пракса никогаш немаме апсолутно точни информации за почетните услови. Грешки, дури и ако се незначителни, секогаш се појавуваат при мерење на влезните параметри. Она што се чини дека е случаен излез од динамичен систем се должи на големи грешки што може да се појават кога системот се однесува хаотично.
Некогаш се веруваше дека во детерминистички систем, со оглед на доволно компјутерски ресурси, секогаш ќе можеме да направиме значајно предвидување (како што е сигурна временска прогноза), и покрај малите грешки во мерењето на моменталната состојба. Во присуство на хаос тоа не е случај.
Дури и најмоќниот компјутер нема да ни дозволи да направиме точна прогноза врз основа на математички систем со значителна зависност од почетните услови.
Од наша гледна точка, најинтересното прашање во теоријата на фрактали и хаос е како да се поврзат овие концепти заедно. Многу важни фрактали, вклучувајќи ја снегулката Кох, тепихот Сиерпински и класичниот сет на Кантор за кој се дискутираше во Поглавје 2, може да се добијат како привлекувачи на системи со повторени функции (Поглавје 4). Анализата на овие повторени функционални системи го посочува патот кон изградбата на хаотични оператори поврзани со споменатите фрактали (Поглавје 7).
Вовед
|
„Зошто геометријата често се нарекува „ладна“ и „сува“? Една од причините е што не може да го опише обликот на облак, планина, крајбрежје или дрво. Облаците не се сфери, планините не се конуси, крајбрежјето не се кругови, кората на дрвјата не е мазен, молњата не патува по права линија. Општо земено, тврдам дека многу објекти во природата се толку неправилни и фрагментирани што во споредба со Евклид - термин што во ова дело ја означува целата стандардна геометрија - Природата нема само поголема сложеност , но сложеноста на сосема поинакво ниво. Бројот на различни скали на должина на природните објекти е, за сите практични цели, бесконечен“. |
|
Б. Манделброт |
Фрактален сет - слична структура - е еден од „жешките“ предмети на модерната наука.
Ваквите предмети се познати подолго време, но вистинскиот интерес за нив се појави по активните активности за популаризација на Беноа Манделброт, кој работеше во IBM.
Концептите на фрактална и фрактална геометрија, кои се појавија во доцните 70-ти, станаа цврсто воспоставени меѓу математичарите и програмерите од средината на 80-тите. Зборот фрактал е изведен од латинскиот fractus и значи составена од фрагменти. Беноа Манделброт го предложи во 1975 година да се однесува на неправилните, но слични структури со кои се занимавал. Раѓањето на фракталната геометрија обично се поврзува со објавувањето на книгата на Манделброт „Фракталната геометрија на природата“ во 1977 година. Неговите дела ги користеле научните резултати на други научници кои работеле во периодот 1875-1925 година на истата област (Поенкаре, Фату, Јулија, Кантор, Хаусдорф). Но, само во наше време беше можно да се комбинира нивната работа во единствен систем.
1977 година може да се смета за почеток на револуцијата што ја создава геометријата на фракталите не само во математиката и физиката, туку и во сите природни науки. Па дури и во општествените науки, каде лингвистите открија општи фрактални обрасци во структурата на широк спектар на јазици. И сето тоа за неколку години! Историјата на науката не познава такви стапки на општо научно проширување.
Фракталите се форми со бесконечна количина на детали. Кога ќе се зголемат, тие не стануваат поедноставни, туку остануваат сложени како и пред зголемувањето. Во природата, можете да ги најдете насекаде. Секоја гранка од дрво, кога ќе се зголеми, наликува на цело дрво. Секој камен од планина наликува на цела планина. Теоријата на фрактали првпат беше развиена за да ја проучува природата. Сега се користи во голем број други области. И, природно, убавината ги прави фракталите популарни!
Убавината на фракталите е двојна: го воодушевува окото (и увото), за што сведочи светската изложба на фрактални слики организирана од група математичари предводени од Пејтген и Рихтер. Подоцна, експонатите на оваа грандиозна изложба беа доловени во илустрации за книгата „Убавината на фракталите“. Но, постои уште еден, поапстрактен или возвишен аспект на убавината на фракталите, отворен, според Р. Фејнман, само за менталниот поглед на теоретичарот; во оваа смисла, фракталите се убави поради убавината на тежок математички проблем. .
Фракталите имаат уште еден аспект што ги прави уште поубави во очите на теоретичарот. Структурата на фракталите е толку сложена што остава забележлив отпечаток на физичките процеси што се случуваат на фракталите како медиум. Фракталите различно се расфрлаат електромагнетно зрачење, различно вибрираат и звучат, различно спроведуваат електрицитет, а дифузијата на материјата се јавува различно по фракталите. Се појавува ново поле на природните науки - физика на фрактали. Фракталите стануваат погодни модели, нешто како интеграбилни проблеми на класичната механика, за опишување процеси во медиуми кои претходно се сметаа за неуредни.
Течност, гас, цврста - три состојби на хомогена материја кои постојат во тридимензионалниот свет кои ни се познати. Но, каква е димензијата на облакот, здивот чад, поточно нивните граници, заматени од турбулентното движење на воздухот? Се испостави дека е повеќе од два, но помалку од три. На сличен начин, можете да ги пресметате димензиите на другите реални објекти како крајбрежје или круна од дрво. Човечкиот циркулаторен систем, на пример, има димензија од околу 2,7. Сите објекти со нејасна, хаотична, нарушена структура се испостави дека се состојат од фрактали. Врската помеѓу хаосот и фракталите е далеку од случајна - ја изразува нивната длабока заедништво. Фракталната геометрија може да се нарече геометрија на хаосот.
Со фрактален пристап, хаосот престанува да биде сино нарушување и добива фина структура. Науката за фрактал е сè уште многу млада и има голема иднина пред неа. Убавината на фракталите ни оддалеку не е исцрпена и сепак ќе ни даде многу ремек-дела - оние кои го воодушевуваат окото и оние кои носат вистинско задоволство во умот.
Улогата на фракталите во компјутерската графика денес е доста голема. Тие доаѓаат на помош, на пример, кога е потребно, користејќи неколку коефициенти, да дефинираат линии и површини со многу сложени форми. Од гледна точка на компјутерската графика, фракталната геометрија е неопходна кога се генерираат вештачки облаци, планини и морски површини. Всушност, пронајден е начин за лесно претставување на сложени неевклидски објекти, чии слики се многу слични на природните.
Едно од главните својства на фракталите е самосличноста. Во наједноставниот случај, мал дел од фрактал содржи информации за целиот фрактал.
Дефиницијата на Манделброт за фрактал е: „Фракталот е структура која се состои од делови кои во некоја смисла се слични на целината“.
Класификација на фрактали
За да се претстави целата разновидност на фрактали, погодно е да се прибегне кон нивната општо прифатена класификација .
1.Геометриски фрактали
Фракталите од оваа класа се највизуелни. Во дводимензионалниот случај, тие се добиваат со помош на некоја скршена линија (или површина во тродимензионалниот случај), наречена генератор. Во еден чекор од алгоритмот, секој од сегментите што ја сочинуваат полилинијата се заменува со генераторска полилинија, на соодветна скала. Како резултат на бескрајно повторување на оваа постапка, се добива геометриски фрактал.
За да добиете друг фрактален објект, треба да ги промените правилата за градба. Нека формираниот елемент е два еднакви сегменти поврзани под прав агол. Во нултата генерација, го заменуваме единечниот сегмент со овој генерички елемент, така што аголот е на врвот. Можеме да кажеме дека со таква замена има поместување на средината на врската. Кога се конструираат следните генерации, се следи правилото: првата врска лево се заменува со формирачки елемент, така што средината на врската е поместена лево од насоката на движење, а при замена на следните врски, насоките на поместувањето на средините на сегментите мора наизменично. .
Во компјутерската графика, употребата на геометриски фрактали е неопходна кога се добиваат слики од дрвја, грмушки и крајбрежја. Дводимензионалните геометриски фрактали се користат за создавање тродимензионални текстури (шеми на површината на објектот).
2.Алгебарски фрактали
Ова е најголемата група на фрактали. Тие се добиваат со употреба на нелинеарни процеси во n-димензионални простори.
3. Стохастички фрактали
Друга добро позната класа на фрактали се стохастичките фрактали, кои се добиваат ако некои од неговите параметри случајно се променат во итеративен процес. Во овој случај, добиените предмети се многу слични на природните - асиметрични дрвја, груби крајбрежја итн. Дводимензионалните стохастички фрактали се користат при моделирање на теренски и морски површини.
Постојат и други класификации на фрактали, на пример, поделба на фрактали на детерминистички (алгебарски и геометриски) и недетерминистички (стохастички).
Секој фрактал има бескрајно повторувачка форма. При креирање на таков фрактал, природно најлесниот начин е да се повтори неколку дејства што ја создаваат оваа форма. Наместо зборот „повторување“ можете да го користите математичкиот синоним „итерација“.
За да креирате вистински фрактал, треба да повторите бесконечен број пати. Меѓутоа, кога го правите ова на компјутер, можностите се ограничени со брзина и број на поени, па повторувањата се вршат повеќе пати. Зголемувањето на бројот на повторувања ги прави фракталите попрецизни.
ВИДОВИ ИТЕРАЦИЈА
Постојат три главни типа на повторување:
1. Замена за повторување - Создава фрактали со замена на некои геометриски форми со други форми.
2. Итерација на IFS - Создава фрактали со примена на геометриски трансформации (како што се ротација и рефлексија) на геометриски форми.
3. Итерација на формули - Вклучува неколку начини за создавање фрактали со повторување на некоја математичка формула или неколку формули.
Исто така, постојат неколку неосновни типови на повторување. На пример, фракталите може да се создадат со повторување на процесот на виткање хартија. Сепак, овие фрактали може да се креираат и со користење на барем еден од основните типови на повторување.
Итерација за замена
Еден начин да се создадат фрактали е со повторување на замена. За да го направите ова, започнуваме со фигура наречена основа. Секое парче од основата потоа се заменува со друго парче наречено мотив. Во новиот цртеж секој дел повторно го заменуваме со мотив. Ако ги извршиме овие замени бесконечен број пати, ќе завршиме со фрактал.
L-системи
Итерацијата за замена е многу едноставна. Сè што е потребно е повторно да се замени основата со мотив. За компјутер, пак, не е доволно да се има слика на основата и мотивот. Ни треба начин да складираме фрактални податоци што не троши многу меморија на графика и ни овозможува да креираме едноставни алгоритми за цртање фрактали. Најдобар таков метод се l-системи.). L-систем е граматика на одреден јазик (прилично едноставен), кој го опишува иницијаторот и трансформацијата извршена на него, користејќи алатки слични на оние на јазикот Logo (аксиоматски опис на наједноставните геометриски фигури и дозволените трансформации на рамнина и во вселената). L-системите беа развиени од А. Линденмаер („l“ во „Л -system" е неговиот почетен). Тие се составени од дефиниција за агол, аксиома и најмалку едно правило. Аксиома е почетна форма (основа) што се користи во процесот на создавање на фрактал. Правилата укажуваат кои симболи во аксиомата мора да се замени со други симболи.
Повеќето фрактали со фрактални димензии од 0 до 2 може да се изразат со употреба на l-системи. Комбинацијата на неколку симболи и правила може да создаде многу сложени фрактали. Таквите l-системи се користат за изработка на реални модели на растенија.
Итерација на формула
Итерацијата со формула е наједноставниот тип на повторување, но е најважен и дава најкомплексни резултати. Се заснова на користење на математичка формула за континуирано менување на број.
Теоретска позадина.
Но, фракталната геометрија главно ја користеле само математичари и физичари. Така се појави идејата да се користат принципите на фракталната геометрија во биологијата.
Врз основа на фактот дека Фракталите во нежива природа го одразуваат процесот на уништување (ентропијата се зголемува) а во живата природа – процесот на создавање (ентропијата се намалува).
Термодинамичките процеси во живата природа го следат патот на намалување на ентропијата на системот и зголемување на организацијата на објектите. Овие својства се основни за живата природа. Други својства на живите суштества се растот и развојот. Односно, жив објект постепено се расплетува во просторот и времето, зголемувајќи ја неговата големина и маса. (крајбрежјето е резултат на уништување на одредени неживи тела (карпи)). Односно, врз основа на горенаведеното, претпоставивме дека фракталните феномени можат да се забележат во живата природа и можеме да се обидеме да ги конструираме. Во првата фаза, решивме да се обидеме да следиме фрактални феномени каде што тие самите молат да се реализираат. Во биологијата, при проучувањето на растот на растенијата, беше идентификуван таков модел како „разгранување“.
Разгранувањето настанало за време на еволуцијата на растителното тело дури и пред појавата на органите. Постојат неколку видови на разгранување: дихотомно, моноподијално, симподијално.
На дихотомнаЗа време на разгранувањето, конусот за раст се двои, формирајќи две пука, од кои секоја пак произведува уште две пука итн. Ова разгранување е најстарото и е застапено кај мововите на клубовите и некои други растенија (слика 2).
(Слика 2)
(Слика 3)
На моноподијаленразгранување, постои долг, неограничен апикален раст на главната оска од прв ред - моноподијата од која се протегаат пократки странични оски од вториот и последователниот ред. Нивниот број зависи од животниот век на растението. Ова разгранување е карактеристично за многу гимносперми (смрека, ела, чемпрес итн.) (сл. 4). Нивното стебло претставува оска од ист ред. За да изградите ваков тип на разгранување, треба да ги поставите сите параметри во работната област како што е прикажано на Слика 5.
(Слика 4)
(Слика 5)
На симподијалнаЗа време на разгранувањето, главната оска престанува да расте рано, но под нејзиниот врв почнува да расте странична пупка.Истрелот што расте од неа изгледа дека ја продолжува оската од прв ред. Ова пукање, пак, исто така го запира апикалниот раст, а потоа почнува да расте неговата странична пупка, од која произлегува оска од трет ред итн. Таквото разгранување е типично за повеќето дрвја, грмушки итн. (Слика 6). За да изградите ваков тип на разгранување, треба да ги поставите сите параметри во работниот простор како што е прикажано на слика 7. Симподијалното разгранување е еволутивно понапредно.
(Слика 6)
(Слика 7)
Постојат два вида тост, примарен раст и секундарен раст.
Примарниот раст се јавува во близина на апикалните корени и стебла. Започнува со апикална маристеја и главно се поврзува со издолжување на телото на растението. За време на примарниот раст, се формираат примарни ткива, кои го сочинуваат примарното тело на растението. Примитивните растенија, како и многу современи васкуларни растенија, се состојат целосно од примарни ткива.
Покрај примарниот раст, многу растенија подлежат на дополнителен раст, што предизвикува задебелување на стеблото. Се нарекува секундарен и е поврзан со активноста на страничниот меристем, камбиумот, кој формира секундарни спроводливи ткива. Секундарните спроводници заедно со ткивото на плута го сочинуваат секундарното тело на растението.
Секундарниот раст е придружен со промена на бојата на стеблото. И во зависност од количината на секундарно проводно ткиво, бојата потемнува.
Решение за проблемот.
Идејата дојде да се обиде да создаде програма со која може да се симулираат круни на дрвја.
За време на работата, создадена е програма која ви овозможува брзо и практично да симулирате разгранување. Во оваа програма, за разлика од другите, како што се зголемува бројот на повторувања, структурата станува посложена со тоа што не ги дроби сличните структури во себе, туку со расплетување слични структури од точките на раст. Затоа, во овој случај, можеме да го сметаме бројот на повторувања како возраст на растението. Карактеристична карактеристика на програмата е нејзиниот кориснички интерфејс. За разлика од другите програми, не треба да внесувате податоци во форма на формула, туку визуелно да изградите единствена структура.
Во мојата работа го користев геометрискиот метод за конструирање фрактали, бидејќи е најзгодно за изградба на слики на круната. Сликите се конструираат додека растат.
Значајна разлика помеѓу мојата програма и програмите од овој вид е употребата на кориснички интерфејс. Овој интерфејс е удобен бидејќи на корисникот му е лесно да ги внесе сите потребни податоци.
Во оваа програма користев рекурзивен повик до процедурата за конструирање на една фигура.
Програмскиот алгоритам е како што следува:
Корисникот одредува една фигура, локацијата на пупките за раст, аголот на наклон, бројот на генерации и степенот на намалување на следната фигура.
Сите овие податоци потоа се запишуваат во низа.
Програмата конструира една фигура со даден агол. Одредува каде се точките на раст. Ја конструира следната слика од оваа точка одреден број пати. Големината на фигурата е помала од почетната за одреден број пати. Покрај тоа, секоја нова фигура се разликува по боја од претходната. Бојата на последната линија е светло зелена, па со многу повторувања ги симулира листовите кои се всушност на краевите на гранките. Брзината на конструкција зависи од бројот на повторувања, така што треба да внесете вредност не повеќе од 10.
Заклучок
Атрактивноста на задачата за конструирање фрактални слики не лежи само во фактот што овие слики се многу убави, туку и во фактот што тие се конструирани со користење на едноставни алгоритми.
Во реалниот свет нема да најдеме геометриски форми кои одговараат на каноните на Евклидовата геометрија. Со комбинирање на идејата за фракталност со идејата за формативна случајност, модерната геометрија направи огромен квалитативен скок. За прв пат во својата историја, математиката можеше правилно да го одрази светот во сета негова различност. сложени форми, без прибегнување кон повеќестепени купишта сè поапстрактни и вештачки интелектуални структури. Во овој поглед, особено е значајно како фракталната геометрија го слика светот. Тука човекот научил да создава различни геометриски форми како самата природа. Да почнеме со него само на екранот.
Дополнително, моделите на фрактален раст брзо се преселиле подалеку од компјутерската графика. Тие се покажаа како феноменално продуктивни во многу области од физиката и хемијата. Така, тие внесуваат теоретска јасност на многу проблеми поврзани со јачината на материјалите. Дури и мистериозниот феномен на топчести молњи беше моделиран на фрактални структури направени од тенка жица. Во затворен простор, однесувањето на оваа структура е слично на однесувањето на молњата со летечки топки. Ако материјалот модел е толку ефикасен, тогаш од ова директно произлегува ефективноста на идеите за фракталната структура на самите топчести молњи.
Во ова дело, јас, заедно со науката на нашите денови, се обидов да совладам одреден тип на геометриски опис на природата - фрактал. Изгледите за работа на ова поле се бесконечни, исто како и самата природа.
КОРИСТЕНИ КНИГИ
С. К. Абачиев Концепт на модерната природна наука. Балашиха - 1998 година.
R. Baas, M. Vervay, H. GüntherДелфи 5: за корисници: транс. со него. - Издавачка групаБХВ, 2000 година
Г. П. Јаковлев, В. А. Челомбитко ботаника. M. 1990 година
Http://library.thinkquest.org/26242/russian/tutorial/tutorial.html
http://mahp.oil.rb.ru/kniga/
Http://www.chat.ru/~fractals/
Http://www.geocities.com/SoHo/Studios/6648/fractals.htm
Http://www.ipm.sci-nnov.ru/~demidov/java.htm
Http://www.visti.net/cplusp/all_96/6n96y/6n96y1a.htm
Препис
1 Richard M. Kronover ФРАКТАЛИ И ХАОС ВО ДИНАМИЧКИТЕ СИСТЕМИ. ОСНОВИ НА ТЕОРИЈАТА. Превод од англиски од T. E. Krenkel и A. L. Soloveichik, уредено од T. E. Krenkel Препорачано од UMO во областа на електрониката и применетата математика како учебник за студенти од насоката „Применета математика“ ПОСТМАРКЕТ МОСКВА 2000 г.
2 P. M. Kronover. Фрактали и хаос во динамичките системи. Основи на теоријата. Москва: Поштенски пазар, стр. Рецензенти: Катедра за теорија на веројатност и применета математика, Московски технички универзитет за комуникации и информатика; Професорот Б. Ју Стернин. Првиот полноправен учебник за новата математичка дисциплина што брзо се развива досега беше објавен само на руски како монографии. Добро избраните вежби и алгоритми ја прават книгата одлична алатка за студенти на додипломски и постдипломски студии, специјалисти за примена на оваа теорија во различни области од биологија до лингвистика. Вовед во фрактали и хаос Richard M. Crownover University of Missouri-Columbia Jones and Bartlett Publishers Boston London ОРИГИНАЛНО ИЗДАНИЕ НА АНГЛИСКИ ЈАЗИК ОБЈАВЕНО ОД Jones and Bartlett Publishers, Inc. 40 Tall Pine Drive, Sudbury, MA АВТОРСКИ ПРАВА 1995 СИТЕ ПРАВА РЕЗЕРВИРАНИ 1999 Превод на руски, ZAO Postmarket Enterprise ISBN
3 Содржини Предговор 5 1. Вовед Што се фрактали и хаос? Позадина t Класични фрактали Самосличност на L-системот Cantor dust Peano криви Сетови и пресликувања Прелиминари од теоријата на множества Метрички простори Компресивни пресликувања Афини трансформации Хаусдорф метрички I Системи на итерирани функции Системи на итерирани функции Имплементација на SIF SIF со кондензација Minkoski Пресметка на димензија Хаотична динамика I Атрактор Лоренц Повторени пресликувања Фејгенбаум универзалност Шарковски периодичност Хаос 169
4 4 Содржина 7. Хаотична динамика II Суштинска зависност Симболичка динамика Хаос и фрактали Подигнување засенчување Рандомизиран SIF алгоритам Комплексна динамика Јулија поставува Орбити во множества Јулија Манделброт множество Хаос и Џулија множества Кејли проблем Случајно движење фрактали посредноместослучајно и FBD 27S 9.6. Фуриева анализа FBD Фурие филтрирање 28S A. Дополнителни информации од анализата 297 AL. Комплетност и компактност 297 А.2. Континуирани мапирања на ЗОС А.З. Hausdorff metric II SOE A.4. Тополошка димензија 311 А.5. Hausdorff димензија 317 A.6. Брза Фуриеова трансформација 32C B. Теорија на ренормализација и Поенкаре фрактали 32E Б.1. Теорија на ренормализација 321 Б.2. Поенкаре фрактали ZZS Референци 341 Индекс на предмет 34
5 Предговор Се чини дека два такви различни математички објекти како фрактали и хаос треба да се проучуваат независно еден од друг: на крајот на краиштата, теоријата на фрактали се заснова на геометријата и теоријата на димензија, а теоријата на хаосот е развој на теорија на динамички системи. Од друга страна, меѓу нив постои одредена врска, која често се губи во деталите на презентирањето на секоја од теориите. Оваа книга, прво, е воведен курс во теоријата на фрактали и теоријата на хаосот, и второ, го испитува прашањето како некои фрактали (привлекувачи на системи на повторени функции) можат да генерираат хаос. Поглавјата 2-5 опфаќаат голем број важни идеи и концепти поврзани со детерминистички фрактали: самосличност, повторени функционални системи и димензија. Овде се опишани и L-системите, чија употреба во голема мера ја олеснува графичката конструкција, особено во случај на фрактали кои по форма личат на растенија. Излагањето на теоријата на детерминистички хаос е поделено во две поглавја. Поглавје 6, „Хаотична динамика I“, го воведува предметот на основно ниво, со сложени концепти како што е симболичката динамика опфатени првенствено преку примери. Поглавје 7, „Хаотична динамика на I“, главно е наменето за студенти со добра математичка позадина и може да се испушти ако предметот е наменет да се поедностави. Од друга страна, тука се манифестира горенаведениот однос помеѓу фракталите и хаосот. Поглавје 8, „Комплексна динамика“, за множествата на Џулија и Манделброт, е напишано во поедноставен стил. Резултатите засновани на сложени теореми од теоријата на функции на сложена променлива не се докажани, туку се правилно истакнати и интензивно се користат. Покрај резултатите од теоријата на функции на сложена променлива, презентацијата опфаќа многу важни прашања, на пример, прашањето дали множеството Јулија е поврзано или целосно дисконтинуирано, чиј одговор го дава множеството Манделброт.
6 6 Предговор Друг пристап, не помалку важен за разбирање, е развиен во Поглавје 9, посветен на случајните фрактали, особено на фракталното брауново движење. Ваквите генерализации на класичното брауново движење се широко користени во моделирањето на природните феномени. Во принцип, материјалот од ова поглавје може да се прочита во секое време по поглавјето за димензионалност. Книгата се заснова на едносеместарски курс што го предавав на Универзитетот Мисури-Колумбија во годините. Слушателите беа главно студенти од математика, природни науки, технички специјалности и некои други дисциплини. Им препорачав прво да го поминат напредниот курс математичка анализаи линеарна алгебра, но обично се примаат на часовите заинтересирани студенти кои имале одредено искуство во математичко истражување, без разлика дали се чисти или Применета математика. За разлика од традиционалниот формат на многу математички курсеви, теорема-доказ-пример-проблем игра голема улога во проучувањето на фракталите и хаосот. компјутерско моделирање. Всушност, повеќето студенти најпрво учат за постоењето на фрактали со гледање неверојатни слики на компјутерски дисплеј. Оваа книга предлага користење на компјутерски експерименти и теорија заедно, за што се вклучени дваесет компјутерски алгоритми. Овие алгоритми се дадени во генерализирана форма, односно без оглед на синтаксата на кој било специфичен јазик. Според моето искуство, не постои програмски јазик или софтверски пакет што одговара на сите. Учениците со кои имав интеракција програмираа на Pascal, C, C++, Fortran, Matlab и Mathematica. Еден од најдобрите софтвери за експериментирање со фрактали е бесплатно достапната програма Fractint. Тоа ви овозможува да изградите различни фрактали и работи неверојатно брзо. Голем дел од материјалот неопходен за проучување на фракталите и хаосот е вклучен во главниот текст на книгата. Вовед во теоријата на множествата, афините трансформации, метричките простори, множествата на Кантор и кривите на Пеано е накратко опфатен. Со исклучок на материјалот од седмото поглавје, книгата содржи само неколку докази кои бараат сериозна подготовка на ниво на напреден курс по калкулус. Таквите докази се означени
7 liptirutjiuaut - i со знак (*). Тие може да бидат испуштени, но се препорачува студентите да ги запаметат исказите на теоремите. Други, посложени параграфи се вклучени во додатокот. A. Како резултат на тоа, книгата може да се користи како основа за курсеви со различен степен на сложеност. Сметка што се држи до поглавјата 1-6 и 8-9, односно, го исклучува поглавјето 7, „Хаотична динамика II“, и се претвора во прис. Само за референтни цели, се препорачува како основен курс. Во различни семестри успеав да поминам дел од седмото поглавје и одбрани параграфи од додатокот. И, особено, посветено на Хаусдорфовата метрика и Хаусдорфовата димензија, но само по цена на прескокнување или забрзување на проучувањето на дел од претходниот материјал. Црно-белите слики во оваа книга се испечатени со помош на потсистемот за графика Postscript. Многу од сликите се создадени во Matlab, што е особено корисно за конструирање кривини во тродимензионален простор. Matlab е исто така добро прилагоден за програмирање и визуелизирање на L-системи (Дел 2.2), пајакови дијаграми (Поглавје 6) и фрактално брауново движење (Поглавје 9). Сликите кои бараа пополнување на областите ограничени со криви се добиени со помош на пакетот Mathematica. Сликите за кои е потребна битмапа графика (даден пиксел во дадено време за да се одреди нејзината боја, црна или бела) беа генерирани во Fortran и потоа се конвертираа излезната датотека во формат Postscript. На овој начин е добиен графички приказ на системите на повторени функции од четвртото поглавје и сложената динамика од осмото поглавје. Вметнувањата во боја беа направени со помош на програмата Practint. Би сакал да изразам благодарност за плодната комуникација до моите колеги, кои исто така се заинтересирани за теоријата на хаосот, фракталите и математиката поврзана со овие концепти. Прво, би сакал да му се заблагодарам на Џ. Келер, кој ме запозна со фракталите во 1984 година кога му беше потребна помош со истражувачки проект за фрактал, и на неговиот дипломиран студент С. Чен, кој одлично ја владее темата. Последователно, научив многу од живите дискусии со K. Ahlbrandt, C. Chicone, D. Petty, P. Pfeiffer и P. Spekman. Благодарен сум на Р. Делавер за неговите белешки за предавање за теоремата на Шарковски и на П. Хагерти, кој беше мој студент во 1993 година, за неговата професионална помош во создавањето на илустрациите на Математика.
8 8 Предговор Голема благодарност до E. Beltrami, A. C. Cliney, R. W. Easton и M. J. Field, R. D. Neidinger, A. Norton и K. Short, кои го прегледаа ракописот. Нивните разгледувани критики и сугестии несомнено имаа позитивно влијание врз финалното издание. Многу сум благодарен на C. Hesler, Jr., потпретседател на Jones and Bartlett Publishers, за неговата енергична помош во изработката на овој учебник. Голема благодарност до П. Керол и М. Сервантес од издавачите Џонс и Бартлет, и М. Финли од Одделот за печатење, за нивната работа во производството на книгата. Посебно сакам да и се заблагодарам на мојата сопруга, Мери, за нејзиното трпение и поддршка во текот на пишувањето на оваа книга.
9 Поглавје 1. Вовед 1.1. Што се фрактали и хаос? Некогаш, на повеќето луѓе им се чинеше дека геометријата во природата е ограничена на такви едноставни фигури како што се права, круг, конусен пресек, многуаголник, сфера, квадратна површина и нивни комбинации. На пример, што може да биде поубаво од изјавата дека планетите во нашиот Сончев систем се движат околу Сонцето во елипсовидни орбити? Овој извонреден закон е еден од трите постулати на планетарното движење формулирани од Јоханес Кеплер врз основа на набљудувања и мерења направени од Тихо Брахе. Подоцна, Сер Исак Њутн го извел законот за инверзен квадрат за гравитациона привлечност како решение за некоја диференцијална равенка, при што Кеплеровите закони следуваат од неговото решение. Во овој и во други случаи, кога примената на едноставни геометриски модели беше успешна, тоа доведе до огромни научни достигнувања. Сепак, многу природни системи се толку сложени и неправилни што користењето само познати објекти од класичната геометрија за нивно моделирање изгледа безнадежно. Како, на пример, можете да изградите модел на планински венец или круна од дрво во однос на геометријата? Како да се опише разновидноста на биолошките конфигурации што ги набљудуваме во светот на растенијата и животните? Замислете ја сложеноста на циркулаторниот систем, кој се состои од многу капилари и садови и доставува крв до секоја клетка на човечкото тело. Замислете колку паметно се наредени белите дробови и пупките, кои во структурата потсетуваат на дрвја со разгранета круна. Динамиката на реалните природни системи може да биде исто толку сложена и неправилна. Како да се пристапи кон моделирање на каскадни водопади или турбулентни процеси кои го одредуваат времето? Која математика е одговорна за ритамот на срцето и мозокот?
10 10 Поглавје 1 I Вовед Дали мозокот е забележан на електрокардиограмот и енцефалограмот, особено за оние ненадејни напади на аритмија кои можат да предизвикаат дефект на срцето? Дали е можно математички да се опише ненадејната појава на бран на паника на финансиските пазари или дури да се изгради математички модел на општествено однесување? Фракталите и математичкиот хаос се погодни средства за истражување на поставените прашања. Терминот фрактал се однесува на некоја статична геометриска конфигурација, како што е слика од водопад. Хаос е динамичен термин кој се користи за опишување на феномени слични на турбулентното временско однесување. Оваа книга е вовед во математиката зад овие концепти. Се претпоставува дека откако ќе ги совлада методите наведени овде, читателот ќе може да продолжи кон проучување на апликации од специјализирани извори 1. На пример, истражувањата покажуваат дека во физиологијата постои и „добар“ и „лош“ хаос. Во експериментите со мачки, беше забележано дека изгледот на електрокардиограмот земен пред и по администрацијата на кокаин се менува од редовна низа високи врвови проследени со мали шила до многу неправилна низа, што веројатно укажува на напад на аритмија. Од друга страна, моделот на електроенцефалограмот се менува од неправилен и непредвидлив до многу помазен. Видете ја и анализата за можната улога на хаосот во развојот на срцевите заболувања. Честопати она што го набљудуваме во природата не заинтригира со бескрајното повторување на истата шема, зголемено или намалено онолку пати колку што сакате. На пример, едно дрво има гранки. На овие гранки има помали гранки итн. Теоретски, елементот „вилушка“ се повторува на неодредено време, станува сè помал и помал. Истото може да се види кога се гледа фотографија од планински терен. Обидете се да зумирате малку на планинскиот венец и повторно ќе ги видите планините. Зумирајте дополнително и сепак ќе можете да видите што личи на планини, благодарение на вашата (статистичка) способност да го разликувате видот на објектот на сликата. Така се манифестира својството на самосличност карактеристично за фракталите (Делови 2.1 и 5.1). : За чудни привлечници, хаотична динамика и „патишта до хаос“ види. Овде и подолу се белешките на потстраницата од преведувачите.
11 1.1 Што се фрактали и хаос? 11 Голем дел од работата на фракталите ја користи самосличноста како дефинирачко својство. Следејќи го Беноа Манделбро, го прифаќаме ставот дека фракталите треба да се дефинираат во однос на фракталната димензија (Поглавје 5). Оттука доаѓа зборот фрактал. Концептот на фракциона димензија е многу сложен концепт, кој ќе го претставиме во неколку фази. Правата линија е еднодимензионален објект, а рамнината е дводимензионална. Како што ќе видиме подоцна, со темелно извртување на права линија или рамнина, можете да ја зголемите димензијата на добиената конфигурација; во овој случај, новата димензија обично ќе биде фракционална во некоја смисла, што треба да го разјасниме. Врската помеѓу дробната димензија и самосличноста е во тоа што со помош на самосличноста е можно да се конструира множество од фракциони димензии на наједноставен начин (Дел 2.1). Дури и во случај на многу посложени фрактали, како што е границата на множеството Манделброт (Дел 8.3), кога нема чиста самосличност, има речиси целосно повторување на основната форма во сè понамалена форма. На англиски, хаосот обично се дефинира како состојба на целосно нарушување или конфузија. Некои речници го користат концептот на состојба во која владее случајноста. Терминот хаос во математиката се користи во потесна смисла. Иако не постои универзална дефиниција за математички хаос, се чини дека постои целосна согласност дека секој вид на хаос има својство на непредвидливост. Ова својство се нарекува суштинска зависност од почетните услови (Дел 6.5). Доволно чудно, тоа не е еквивалентно на случајно однесување. Всушност, математичкиот хаос е карактеристична карактеристика на детерминистичките динамички системи. Затоа, флуктуациите забележани во состојба на хаос изгледаат само случајни; нивните вредности се целосно однапред одредени од влезните параметри. Но, во пракса никогаш немаме апсолутно точни информации за почетните услови. Грешки, дури и ако се незначителни, секогаш се појавуваат при мерење на влезните параметри. Она што се чини дека е случаен излез од динамичен систем се должи на големи грешки што може да се појават кога системот се однесува хаотично. Некогаш се веруваше дека во детерминистички систем, со оглед на доволно компјутерски ресурси, секогаш сме во
12 може да направи значајно предвидување (на пример, да даде сигурна временска прогноза), и покрај малите грешки во мерењето на моменталната состојба. Во присуство на хаос тоа не е случај. Дури и најмоќниот компјутер нема да ни дозволи да направиме точна прогноза врз основа на математички систем со значителна зависност од почетните услови. Од наша гледна точка, најинтересното прашање во теоријата на фрактали и хаос е како да се поврзат овие концепти заедно. Многу важни фрактали, вклучувајќи ја снегулката Кох, тепихот Сиерпински и класичниот сет на Кантор за кој се дискутираше во Поглавје 2, може да се добијат како привлекувачи на системи со повторени функции (Поглавје 4). Анализата на овие системи на повторени функции го посочува патот до изградбата на хаотични оператори поврзани со споменатите фрактали (Поглавје 7). пред беше дочекан со несреќно непријателство, бидејќи тоа се случи во историјата на развојот на многу други математички идеи. Еден познат математичар, Чарлс Хермит, дури ги нарече чудовишта. Барем општиот консензус ги препозна како патологија од интерес само за истражувачите кои ги злоупотребуваат математичките моди, а не и за вистинските научници. Како резултат на напорите на Беноа Манделброт, овој став се промени, а фракталната геометрија стана почитувана применета наука. Манделброт го измислил терминот фрактал врз основа на теоријата на Хаусдорф за фрактална (фракционална) димензија, предложена во 1919 година. Многу години пред да се појави неговата прва книга за фрактална геометрија, Манделброт започна да го истражува појавувањето на чудовишта и други патологии во природата. Тој најде ниша за неугледните сетови на Кантор, облините на Пеано, функциите на Вајерштрас и нивните многубројни варијации, кои се сметаа за бесмислици. Тој и неговите студенти открија многу нови фрактали, како што се фрактално брауновско движење за моделирање на шумски и планински пејзажи, флуктуации на нивото на реките и отчукувања на срцето. Со неговото објавување
13 1.2 Позадина 13 книги апликациите на фракталната геометрија почнаа да се појавуваат како печурки после дожд. Ова влијаеше и на многу применети науки и на чиста математика. Ниту филмската индустрија не беше изоставена. Милиони луѓе се восхитуваа на планинскиот пејзаж во филмот „Star Migration II: The Wrath of Khan“, конструиран со помош на фрактали. Францускиот математичар Анри Поенкаре го иницираше истражувањето на нелинеарната динамика околу 1890 година, што доведе до модерна теорија на хаос. Интересот за оваа тема значително се зголеми кога Едвард Лоренц, нелинеарен моделер на времето, откри во 1963 година дека долгорочните временски прогнози се невозможни. Лоренц истакна дека дури и малите грешки во мерењето на моменталната состојба на временските услови може да доведат до целосно неточни предвидувања за идните временски услови. Оваа суштинска зависност од почетните услови лежи во основата на математичката теорија на хаосот. Траекториите на честичките на Брауновото движење, кои ги проучувале Роберт Браун уште во 1828 година и Алберт Ајнштајн во 1905 година, се пример за фрактални криви, иако нивниот математички опис не бил даден дури во 1923 година од Норберт Винер. Во 1890 година, Пеано ја конструирал својата позната крива, континуирано мапирање кое преобразува сегмент во квадрат и, според тоа, ја зголемува неговата димензија од еден на два. Границата на снегулката Кох (1904), чии димензии се d и 1,2618, е уште една добро позната крива за зголемување на димензиите. Фрактал, во никој случај не сличен на крива, што Манделброт го нарече прашина е класичниот сет на Кантор (1875 или порано). Овој сет е толку редок што не содржи интервали, но сепак има ист број на поени како интервалот. Манделброт користел таква „прашина“ за моделирање на стационарен шум во телефонијата. Во многу ситуации се појавува фрактална прашина од еден или друг вид. Всушност, тој е универзален фрактал во смисла дека секој фрактал, привлекувач на систем на повторени функции, е или фрактална прашина или негова проекција на простор со помали димензии. Различни фрактали слични на дрво беа користени не само за моделирање на дрвјата на растенијата, туку и на бронхијалното дрво (гранки кои носат воздух во белите дробови), функцијата на бубрезите и циркулаторниот систем.
14 14 Поглавје 1 / Вовед итн. Интересно е да се забележи претпоставката на Леонардо да Винчи дека сите гранки на дрво на дадена висина, кога ќе се соберат заедно, се еднакви по дебелина на стеблото (под нивното ниво). Ова подразбира фрактален модел за круната на дрвото во форма на фрактална површина. Многу извонредни својства на фракталите и хаосот се откриени со проучување на повторените мапирања. Во овој случај тие започнуваат со некоја функција y = f(x) и го разгледуваат однесувањето на низата /(x), /(/(x)), /(/(/(x))),... Во комплексната рамнина, работа од овој вид се искачува, очигледно, до името на Кејли, кој го истражувал Њутновиот метод за наоѓање на коренот како што се применува на сложени, а не само реални функции (1879). Извонреден напредок во проучувањето на повторените сложени мапирања беше направен од Гастон Јулија и Пјер Фату (1919). Секако, сè беше направено без помош на компјутерска графика. Деновиве, многумина веќе видоа шарени постери на кои се претставени комплетите на Џулија и сетот Манделброт, кој е тесно поврзан со нив. Природно е да се започне со совладување на математичката теорија на хаосот со повторени мапирања. Проучувањето на фракталите и хаосот отвора прекрасни можности, како во проучувањето на бесконечен број апликации, така и во областа на чистата математика. Но, во исто време, како што често се случува во таканаречената нова математика, откритијата се засноваат на пионерската работа на големите математичари од минатото. Сер Исак Њутн го сфати ова кога рече: „Ако сум видел подалеку од другите, тоа е затоа што застанав на рамениците на џинови“.
15 Поглавје 2. Класични фрактали 2.1. Самосличност Да поделиме отсечка на N еднакви делови. Тогаш секој дел може да се смета за копија на целиот сегмент, намален за 1/r пати. Очигледно, N и r се поврзани со релацијата Nr = 1 (сл. 2.1). Ако квадратот е поделен на N еднакви квадрати (со површина 1/g 2 пати помала од плоштината на оригиналот), тогаш односот ќе се запише како Nr 2 = 1. Ако коцката е поделена на N еднакви коцки (со волумен 1/g 3 пати помал од оригиналниот волумен), тогаш врската ќе ја има следната форма: iw 3 = 1. Забележете дека димензијата d на објектот, било да е тоа еднодимензионален сегмент, дво- димензионален квадрат или тродимензионална коцка, се појавува како моќност r во односот помеѓу JV, бројот на еднакви подобјекти и коефициентот на сличност r. Имено: Nr d = 1. (2.1) Множествата конструирани на сл. 2.1, имаат целобројна димензија. Да се запрашаме дали е можна таква конструкција во која експонентот d во еднаквоста (2.1) не е цел број, односно таква што кога оригиналното множество е поделено на N дисјунктни подмножества добиени со скалирање на оригиналот со фактор r, вредноста на d нема да се изразува како цел број. Одговорот, како што ќе видиме, е убедливо да! Таквото множество се нарекува самосличен фрактал. Вредноста d се нарекува фрактална (фракционална) димензија или димензија на сличност. Експлицитен израз за d во однос на N и r се наоѓа со земање на логаритам од двете страни на (2.1): логаритамот може да се земе на која било позитивна основа освен единството, на пример до основата 10 или основата e «2,
16 16 Поглавје 2 / Класични фрактали e o o o N=3 r=1/3 d=l N=9t=l/3d=2 / N=27 g=sq d=3 Сл Врска помеѓу димензија и коефициент на сличност Поопшт тип Self -слични фрактали се дискутирани во стр. Фракталот сè уште може да биде унија од дисјунктни подмножества добиени со скалирање на оригиналот, но коефициентите на сличност повеќе не се нужно исти за сите подмножества. Во овој случај, формулата за димензија (2.2) не е применлива. Терминот фрактал првпат беше воведен во 1975 година од Беноа Манделброт, пионер во полето на фракталната геометрија.1 Многу математички идеи се оформија долго пред ова, уште во 19 век, во делата на Георг Кантор, Карл Вајерштрас, Џузепе Пеано и други. Концептот на фрактална (фракционална) димензија се појави во 1919 година во делото на Феликс Хаусдорф. Сепак, Манделброт ги спои овие идеи и го иницираше систематското проучување на фракталите и нивните апликации. Во 5. поглавје и прилог. А.5 ќе биде даден ригорозна математичка презентација на прашањата поврзани со фракционата димензија. Покрај тоа, терминот фрактал е изведен од Латински глагол frangere да се скрши и придавката fractus фракционо.
17 2.1 Самосличност 17 Сл. Забележете овде дека некои множества од целобројна димензија се исто така фрактали, како што следува од нашата дефиниција. Снегулка Кох. Границата на снегулката, измислена од Хелг фон Кох во 1904 година (сл. 2.2), е опишана со крива составена од три идентични фрактали со димензија d "1.2618. Секоја третина од снегулката се конструира итеративно, почнувајќи од едната страна на рамностран триаголник. Нека KQ е почетниот сегмент. Да ја отстраниме средната третина и да додадеме два нови сегменти со иста должина, како што е прикажано на сл. Да го наречеме добиеното множество K\. Да ја повториме оваа постапка многу пати, при секој чекор да ја замениме средната третина со два нови сегменти. Да ја означиме со Kn фигурата добиена по n-тиот чекор. Интуитивно е јасно дека низата криви (K n )^=i конвергира до некоја гранична крива K. Ќе спроведеме ригорозна математичка студија за конвергенцијата на таквите низи на криви и други множества во Дел 3.5 и во App. А.З. Засега, да претпоставиме дека кривата K постои и да разгледаме некои нејзини својства.
18 18 Поглавје 2 / Класични фрактали (а) (б) (в) (г) Сл а) Ко, б) К и в) К 2, г) К 3, Ако земете копија од К, намалена за три пати (g = 1/3), тогаш целото множество K може да биде составено од N = 4 такви копии. Следствено, релацијата на самосличност (2.1) е задоволена за наведените LG и r, а димензијата на фракталот ќе биде: 19 2.1 VaMonododue 1U Сл Сиерпински теорема за тепих Границата на снегулката Кох има бесконечна должина. Доказ. Доволно е да се покаже дека секој од трите идентични фрактали K добиени со итерации (сл. 2.3) има бесконечна должина. Нека оригиналниот сегмент има единечна должина. Тогаш должината на кривата K\ е 4/3. Должината на кривата K2 е 4 2 /3 2. Продолжувајќи вака, имаме дека кривата K n по n-тиот чекор има должина од 4 "/3". Следствено, должината на граничната крива K е еднаква на бесконечност: лири 4 n /3 n = 00. Сиерпински тепих. Друг пример за едноставен самосличен фрактал е тепихот Сиерпински (сл. 2.4), измислен од полскиот математичар Вацлав Сиерпински во 1915 година. Самиот поим тепих (заптивка) му припаѓа на Манделброт. Во методот на изградба подолу, започнуваме со одреден регион и последователно ги елиминираме внатрешните подрегиони. Подоцна ќе разгледаме други методи, особено со користење на L-системи (Дел 2.2), како и врз основа на системи на повторени функции (Поглавје 4). Почетното множество SQ нека биде рамностран триаголник заедно со областа што ја опфаќа. Ајде да го поделиме SQ на четири 20 20 Поглавје 2 / Класични фрактали Сл. Изградба на сиерпински тепих помали триаголни површини со поврзување на средните точки на страните на првобитниот триаголник со отсечки. Ајде да ја отстраниме внатрешноста на малата централна триаголна област. Да го наречеме преостанатото множество S\ (сл. 2.5). Потоа ја повторуваме постапката за секој од трите преостанати мали триаголници и ја добиваме следната приближност 5d. Продолжувајќи на овој начин, добиваме низа од вгнездени множества S n, чие вкрстување го формира тепихот 5. Од конструкцијата е јасно дека целиот тепих е спој на N 3 во суштина разединети копии преполовени; коефициент на сличност r = 1/2 (и хоризонтално и вертикално). Според тоа, 5 е самосличен фрактал со димензија: d = log(3)/log(2) „1.5850. Очигледно, вкупната површина на деловите исфрлени за време на изградбата е точно еднаква на површината на оригиналниот триаголник. Во првиот чекор отфрливме 1/4 од површината. Во следниот чекор, исфрливме три триаголници, секој со површина еднаква на 1/4 2 од површината на оригиналниот. Расудувајќи вака, убедени сме дека вкупниот удел на отфрлената површина изнесувал: 1/4 + 3(1/4 2) (1/4 3) + + 3 + Оваа сума е еднаква на 1 (Пр. 4 на крајот на овој дел). Затоа, можеме да тврдиме дека преостанатиот сет S, односно тепихот, 21 2.2 Самосличноста 21 има површина од мерка нула. Ова го прави S „совршено“ множество, во смисла дека го дели својот комплемент на бесконечен број триаголни области, додека има нула дебелина. Менгеровиот сунѓер. Постојат и тридимензионални аналози на теписи. Следејќи го Манделброт, таквите сетови ги нарекуваме сунѓери. Сунѓерот прикажан на сл. 2.6, се нарекува сунѓер Менгер, именуван по Карл Менгер. Ова е самосличен фрактал со N = 20 и r = 1/3. Неговата димензија е: d = log(20)/ log(3) * 2,7268. Таков сунѓер има волумен на мерка нула. Деталите за изградбата и анализата ги оставаме на читателот. Вежби Определете ја фракционата димензија (димензија на сличност) на фракталите што се конструирани како што е прикажано на сл. Одредете ја фракционата димензија (димензија на сличност) на фракталите што се конструирани како што е наведено на сл. Конструирајте фрактал различен од фракталот на сл. 2.8 (а), но со иста димензија. 4. Покажете дека збирот на плоштините на триаголниците отфрлени за време на изградбата на тепихот Сиерпински е еднаков на плоштината на оригиналниот триаголник. Совет: користете ја релацијата: 1/(1 - x) = 1 + x + x 2 -\, за x< Рассмотрим фрактал, который строится, как указано на рис Этот фрактал иногда называют пылью Серпинского. Записать бесконечный ряд для суммы площадей частей, которые были удалены при построении. Найти сумму этого ряда. 6. (Компьютерный эксперимент.) Исследовать, какая связь существует между треугольником Паскаля (состоящим из биномиальных коэффициентов) и ковром Серпинского(см. ). 22 22 Поглавје 2 / Класични фрактали Сл. 1 23 2.2 L-системи 23 (а) (б) Сл. Конструкции за вежбање. 2 Сл. Конструкции за контрола на L-системи Концептот на L-системи, тесно поврзан со самослични фрактали, се појави дури во 1968 година благодарение на Аристрид Линденмаер. L-системите првично беа воведени во изучувањето на формалните јазици и исто така беа користени во биолошките модели на селекција. Тие можат да се користат за конструирање на многу познати само-слични фрактали, вклучувајќи ја снегулката Кох и тепихот Сиерпински. Некои други класични конструкции, на пример, кривите на Пеано (дела на Пеано, Хилберт, Сиерпински), исто така се вклопуваат во оваа шема. И секако, L-системите го отвораат патот до бесконечна разновидност на нови фрактали, што беше причина за нивната широка употреба во компјутерската графика за конструирање фрактални дрвја и растенија. Следува нашата презентација на L-системи 24 24 Поглавје 2 / Класични фрактали главно на работата на Прузинкевич и Ханан и е ограничена на случајот на детерминистички L-системи и рамнина графика. За графичка имплементација на L-системите, како излезен потсистем се користи таканаречената тертилна графика (turtle turtle). Во овој случај, точката (желка) се движи низ екранот во дискретни чекори, обично следејќи ја својата ознака, но доколку е потребно, може да се движи без цртање. Имаме на располагање три параметри (x, y, a), каде што (x, y) се координатите на желката и насоката во која таа гледа. Желката е обучена да интерпретира и извршува низа наредби дадени со коден збор, чии букви се читаат од лево кон десно. Кодниот збор е резултат на системот L и може да ги содржи следните букви: F се движи напред еден чекор, цртајќи трага. b движете се еден чекор напред без да нацртате трага. [ отворете ја гранката (за детали, видете подолу) ] затворете ја гранката (за детали, видете подолу) + зголемете го аголот a за износот b намалувајте го аголот a за износот b Големината на чекорот и вредноста на зголемување долж аголот b се однапред поставени и остануваат непроменет за сите движења на желката. Ако почетната насока на движење a (аголот измерен од позитивната насока на оската X) не е наведен, тогаш поставуваме еднаква на нула. Неколку примери ја илустрираат употребата на команди за разгранување (означени со ], [) и помошни променливи (означени со X, Y итн.). Командите за разгранување се користат за конструирање дрвја и растенија, а помошните променливи ја олеснуваат изградбата на некои L-системи. Формално, детерминистичкиот L-систем се состои од азбука, збор за иницијализација наречена аксиома или иницијатор и збир на генеративни правила кои покажуваат како зборот треба да се трансформира додека се движи од ниво до ниво (итерација до повторување). На пример, може да се замени буквата F со користење на генеративното правило newf = F F+-f-F F, што одговара на L-системот за снегулката Кох што се дискутира подолу. Симболите +, ], [ не се ажурираат, туку едноставно остануваат на местата каде што се појавуваат. Ажурирањето на буквите во даден збор се претпоставува дека е истовремено, 25 2.2 L-системи 25 односно, сите букви од зборот на едно ниво се ажурираат пред која било буква на следното ниво. L-системот што одговара на снегулката Кох (сл. 2.2) е дефиниран на следниов начин: 0 = m/3 Аксиома: F++F++F Правило за генерирање: newf = F F++F F Графички приказ на аксиомата F+ +F++ F е рамностран триаголник. Желката прави еден чекор напред, потоа аголот a се зголемува за 2tg/3 и желката прави уште еден чекор напред, аголот a повторно се зголемува за 2tg/3 и желката прави уште еден чекор. Во првиот чекор, секоја буква F во почетниот збор F++F++F се заменува со F-F++F F: (F-F++F-F)++(F-F++F-F)++( F-F ++F-F). Отстранувајќи ги заградите добиваме: F-F++F-F++F-F++F-F++F-F++F-F. Повторувајќи го овој процес, во вториот чекор добиваме: F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F ++F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F итн. Псевдокод за повторување на генераторите правила во ова наједноставниот случај, кога се користат само правила од формата F = newf, b = newb, изгледа вака: Алгоритам (L-SYSTEM) Цел: ги имплементира правилата F = newf, b = newb. Влез: аксиома (збор за иницијализирање) newf (правило за генерирање) newb (правило за генерирање) ниво (број на повторувања) Излез: збор (збор за резултат) 26 26 Поглавје 2 / Класични фрактали Иницијализација: W = аксиома n = должина(w) Т = ( ) (празно множество) Чекори: додека ниво > 0 за j = 1 до n ако W(j) = +,T = (T +), крај ако i W(j) = -,T = (T -), крај ако W(j) = [,T = (T [), крај ако ii-w(j) = ],T = (T ]), крај ако W(j) = F,T = (T newf), крај ако W(j) = b,t = (T крај за W = T ниво = ниво 1 крај додека збор = W newb), крајот ако Забелешка: W(j) е j-та буква во зборот W, (T која има прикачен знак +. +) низа T, до Подоцна ќе го разгледаме соодветниот псевдо-код за графика на желки во овој дел. Список на правила за генерирање за различните L-системи кои се споменати во текстот може да се најде на крајот од овој дел. Графикот на Сл. нема прекини, бидејќи желката се движи во единечни чекори и секој пат црта своја трага. Дисконтинуирани графикони може да се добијат со користење на командата „b“ во системот L, односно командата „движи чекор напред без цртање“. Примерите вклучуваат слики од мозаици на сл. и синџири на сл. Кога се конструираат фрактали користејќи само едно правило за генерирање, се појавува следната тешкотија. Не можеме да го промениме правецот на читање на правилото на некои чекори, односно да го читаме не од лево кон десно, туку од десно кон лево. Без да се реши овој проблем, невозможно е да се добијат L-системи за Peano криви, кои се дискутирани во следниот дел. 27 2.2 L-системи 27 Сл. Остров по 2 повторувања На пример, со цел да се конструира фрактал наречен „змеј на Хартер-Автопатот“, потребно е да може да се смени насоката на читање на правилото за генерирање прикажано на сл. кривата се користи како иницијатор или аксиома лево. Правилото за генерирање во овој случај е да се повлече иницијаторот прво во насока нанапред, а потоа во обратна насока. Таквата шема не се вклопува во рамката на L-системите кои користат само едно правило за генерирање. Овој проблем може да се реши со внесување на две различни команди за движење напред, на пример X и Y. Ќе претпоставиме дека желката ги толкува X и Y на ист начин, односно како чекор напред. Користејќи ги овие две букви, генеративното правило за змејот може да се запише на следниов начин: аксиома = X, newx = X+Y+, newy = X-Y. Сепак, не би сакале да го напуштиме оригиналниот пристап, во кој има само една буква F, толкувана 28 28 Поглавје 2 / Класични фрактали Fig Мозаик по 3 повторувања (Патрик Хагерти) Мај како еден чекор напред. За да се вратиме на рамката на овој пристап, буквите X и Y ќе ги сметаме за помошни променливи игнорирани од желката и ќе ги замениме во правилото за генерирање со FX и FY, соодветно. Добиваме: аксиома = FX, FX = FX+YF+, YF = -FX-YF. Понатаму забележуваме дека истиот резултат може да се постигне со користење на следните правила за генерирање: аксиома = FX, newf = F, newx = X+YF+, newy = -FX-Y. 29 2.2 L-системи 29 Сл. Ланец по 3 повторувања (Yan-Xi Lo) * Правило за генерирање на 3 иницијатори Сл. Иницијатор и правило за змејот Хартер-Хајвеј 30 30 Поглавје 2 j Класични фрактали Сл. Harter-Highway Dragon по 12 повторувања Подолу се дадени неколку чекори за конструирање змеј користејќи ги овие генеративни правила: 1-ви чекори: FX+YF+ 2-ри чекор: FX+YF++-FX-YF+ 3 1-ви чекори: FX +YF++-FX-YF++-FX+YF+ FX-YF+ 4-ти чекор: FX+YF++-FX-YF++-FX+YF+ FX-YF++ -FX+YF++-FX-YF+ FX+YF+ FX- YF+ Сликата покажува змеј после 12 повторувања. Забележете дека змејот се состои од неколку слични делови. Како заклучок, да ја погледнеме операцијата на разгранување. Кога ќе се сретнеме со симболот [ (отворена гранка), се сеќаваме на положбата и насоката на желката, односно на променливите (x, y, a) и подоцна се враќаме на овие поставки. За складирање на тројки (x, y, a) 31 2.% L-систем Fig Weed по 4 повторувања се користи оџакот "x\ yx ah X2 Y2 "2 X n Нагоре "n и се запишуваат нови податоци до крајот на оџакот. Кога гранката е затворена, на променливите (x, y, a) им се доделуваат вредностите прочитани од крајот на оџакот. Овие вредности потоа се отстрануваат од оџакот. Така, една гранка се одредува со два симболи: [ Отвори гранка. Чувајте (zh, y, a) на крајот од оџакот. ] Затворете ја филијалата. Доделете ги променливите (x, y, a) вредностите прочитани од крајот на оџакот, а потоа отстранете ги од оџакот. Сликата и 2.16 покажуваат фрактали конструирани со помош на операцијата за разгранување. Подолу е алгоритам кој ви овозможува да добиете графичка претстава на збор користејќи графика на желка. 32 32 Поглавје 2 / Алгоритам за класични фрактали (ГРАФИКА НА ЖЕЛКИ) Цел: имплементира графика на желка за коден збор кој се состои од буквите F, b, [, ], + и. Влез: збор (резултат на L-системот) во (агол инкремент) a (почетна насока) Излез: Графички приказ на зборот. Иницијализација: графички режим (види подолу за детали) W = збор n = \ должина (збор) стек = ( ) (празен сет) Чекори: за j = 1 до n ако W(j) = +, o = a + в, крај ако W(j) -, a = a 9, крај ако W(j) = F, x = x 0 + cos(o;), y = yo + sin(a), повлече линија од точката (ho ,уо) до точката (x, y), x 0 = x, Уо = У крај ако W(j) = 6, XQ = XQ + cos(a), j/o = Уо + sin( а), крај ако / = должина (оџак), стек (I + 1,1) = XQ стек (I + 1,2) = yo стек (I + 1,3) = крај ако W(j) = ], I = должина (оџак), XQ = оџак (/, 1) 2/o = оџак (1,2) стек (/,3) 33 2.2 L-системи 33 Слика. За да го направите ова, доволно е да ги следите точно истите чекори како во Алгоритам 2.2.2, но наместо да го прикажувате на екранот, треба да ги следите најмалите и најголемите вредности на x и y. Прво, ги поставуваме овие вредности еднакви на нула: xtrn xmax = O, ymin = агли = 0. Секогаш кога се појавува нова точка (x, y), димензиите на прозорецот се ажурираат: xtrn = iain(x,xmin), xmax = ma.x( x, xtah), 34 34 Поглавје 2 / Класични фрактали Fig Snowflake по 3 повторувања (Jong By Kim) ymin min(?/, ymin), utah = max.(y,ymax). Вредностите xmin, xmax, ymin и utah, добиени на крајот од алгоритмот се користат за иницијализирање на графичкиот прозорец на желка. Генерирање правила за L-системи. Правилата за генерирање на L-системите се наведени по азбучен ред. Змеј Хартер-Хајвеј (сл. 2.14): аксиома = FX newf = F newx = X+YF+ newy = FX Y 35 2.2 L-системи „ 35 Смоква Цвет по 3 повторувања (Брендон Нелсон) Сиерпински тепих (сл. 2.4): аксиома = FXF FF FF Њуф = FF newx = FXF++FXF++FXF Хилбертовата крива што ја исполнува рамнината (сл. 22. ): аксиома = X newf = F newx = -YF+XFX+FYnewy = +XF-YFY-FX+ Gosper крива што ја пополнува рамнината (сл. 2.26): аксиома = XF newf = F newx = X+YF++YF -FX FXFX-YF+ 36 36 Поглавје 2 / Класични фрактали newy = -FX+YFYF++YF+FX FX-Y 0 = tg/3 Peano крива, пополнувајќи ја рамнината (сл. 2.22, 2.23): аксиома = F newf = F-F+F+ F+F-F-F-F+F Q = 7g/4 9 = IT/2 Сиерпински крива, рамнина за полнење (сл. 2.25): аксиома = F+XF+F+XF newf = F newx = XF-F+F-XF+F +XF-F+F-X a = tg/4 0 = tg/2 Буш (сл. 2.16): аксиома = F newf = -F+F+[+F-F-]-[-F+F+F] 6> = 7g /8 Мозаик (сл. 2.11): аксиома = F-F-F-F newf = F-b+FF-F-FF-Fb-FF+b-FF+F+FF+Fb+FFF newb = bbbbbb остров (сл. 2.10): аксиома = F+F+F+F newf = F+F-F-FFF+F+F-F 6> = 7g/2 Снегулка (сл. 2.17): аксиома = [F]+[F]+[F]+[F]+ [F]+[F] newf = F[++F][-FF]FF[+F][-F]FF (9 = 7 g/3 Кох снегулка (сл. 2.2): аксиома = F++F+ + F newf = F-F++F-F 0 = 7r/2 Weed (сл. 2.15): аксиома = F 37 2.2 L-системи 37 Сл Генерирање правило за вежбање. 2 newf = F[+F]F[-F]F 0 = tg/7 Цвет (сл. 2.18): аксиома = F[+F+F][-F-F][++F][ F]F newf = FF[++F][+F][F][-F][F] a =?r/2 c = 7g/1b Синџир (сл. 2.12): аксиома = F+F+F+F newf = F +b-F-FFF+F+b-F newb = bbb 0 = tg/2 Вежби а) Кој е зборот на излезот од следниот L-систем по две повторувања: аксиома = F (збор за иницијализација) newf =FF-[F] +[F] a = tg/2 (почетна насока) б) Графички претстави го зборот пронајден во претходниот пасус. 38 38 Поглавје 2 / Класични фрактали 2. Напишете псевдокод за L-системи (користејќи „newf“ итн.) кои ги спроведуваат правилата на сл. Ставете аксиома = F. 3. Конструирајте L-системи за фрактали од Пр. 1, p Прикажете го резултатот од L-системот во графикон. 4. Измислите и имплементирајте три нови L-системи на компјутер, чиј резултат би биле ваши сопствени верзии на следните фигури: а) снегулка или остров (со граница без прекини); б) мозаик или острови (со дисконтинуирана граница); в) грмушка или плевел. 5. (Компјутерски експеримент.) Истражете од гледна точка на фракталните својства еден од многуте објекти претставени во објектот. Можни теми: а) растенија со вкрстено опрашување (цвети); б) мозаик; в) ориентален украс; г) фрактална музика Cantor Dust Класичниот сет на Cantor, или Cantor dust, е именуван по Георг Кантор, кој го опишал во 1883 година. Постоењето на прав Кантор било забележано претходно од Хенри Смит во 1875 година или порано. Ова множество им е добро познато на студентите од курсот за математичка анализа како пример за множество нула Лебежова мерка, чијашто кардиналност е еднаква на кардиналноста на континуумот. Фракталните својства на Канторската прашина се од големо значење, особено затоа што многу познати фрактали се блиски роднини на оваа група. Изградбата на класичната Cantor прашина започнува со отфрлање на средната третина (не вклучувајќи ги краевите) на единечен сегмент. Тоа е, оригиналниот сет е сегмент, а првиот чекор е да се отстрани отворениот интервал (1/3,2/3). На следниот и на сите други чекори, ја исфрламе средната третина (не вклучувајќи ги краевите) од сите сегменти на тековното ниво. Така, добиваме (сл. 2.20) низа од множества: 39 2.3 Канторовата прашина 39 Сл Конструкција на Канторовата прашина Co = d = U C 2 = U U U Граничното множество C, кое е пресек на множествата C n, n = 0,1,2,..., се нарекува класична канторов прав. . Отсега едноставно ќе го нарекуваме Cantor dust. Својства на канторна прашина. 1. Канторската прашина е самосличен фрактал со димензија d = log(2)/log(3) «0,6309, бидејќи релацијата Nr d = 1 важи за N 2 и r = 1/3. 2. Канторовата прашина не содржи интервали со позитивна должина. Ова е очигледно од изградбата. 3. Збирот на должините на интервалите отстранети при конструирањето на множеството C е точно еднаков на 1. За да го покажете ова, разгледајте го следниот доказ. Должината на првиот интервал што го исфрливме е 40 40 Поглавје 2 / Класичните фрактали е 1/3. За да добиеме Cr, отфрливме два интервали, секој со должина 1/3 од 2. Во следниот чекор, отфрливме 2 2 интервали, секој со должина 1/3 од 3, итн. Така, збирот на должините на отстранетите интервали 5 е: 5 = 1 /3 + 2/ / p ~ 1 /Z p +. Но, овој израз може да се препише како: 5 = (1/3) (1 + 2/3 + (2/3) 2 + (2/3) 3 +), и користејќи ја формулата за збир на геометриска прогресија, имено, 1 добиваме: Можеме да претпоставиме дека ако останало нешто во C по отстранувањето на сите овие интервали, тогаш веројатно не многу. Сепак, тоа не е случај, што е потврдено со следното својство. 4. Изненадувачки резултат од споредувањето на множеството Cantor со интервалот е дека кардиналностите на овие множества се еднакви. Две множества имаат еднаква кардиналност ако има кореспонденција еден-на-еден помеѓу точките од овие множества. Во случај на конечни множества, оваа изјава е тривијална. За бесконечни множества, како интервал или множество Cantor, концептот на кардиналност бара внимателно ракување. Како едноставна илустрација на кажаното, доволно е да се забележи дека отсечките и се со еднаква дебелина и покрај тоа што вториот интервал е двојно подолг од првиот. Кореспонденцијата еден-на-еден во овој случај е дадена со пресликувањето /(x) = 2x, каде што x. Пред да продолжиме со докажувањето на главната теорема за кардиналноста на множеството Кантор, да се потсетиме како да ја претставиме точката x од отсечката во броен систем со основа N, N > 2. Да ја поделиме отсечката на N еднакви интервали. секој со должина 1/N. Да ги нумерираме овие интервали на следниов начин: 0,1,2,..., N 1. Ако се покаже дека точката x припаѓа на интервалот означен со 5, тогаш поставуваме xi = 5. Потоа овој интервал го делиме на N ново интервали, секој со должина 1/ iV 2. Да ги нумерираме овие интервали како претходно: 41 2.3 Канторовата прашина 41 0,1,2,...,N 1. Ако точката x припаѓа на нов интервал со број 3, тогаш нека x% = 3. Продолжувајќи на овој начин, добиваме бесконечна низа (а: n)^L x, и секоја вредност x n дефинира интервал кој содржи x во n-тиот чекор од процесот на партиционирање. Како резултат на тоа, бројот x може да се претстави со бесконечна низа: XI X2_ *3_ N + N 2 + N 3 "и секој таков приказ одговара на одредена точка од отсечката. Накратко се пишува на следниов начин: x = 0,2 : 1X2X3... (по основа 7V) и се нарекува претставување на x во основниот N броен систем или во ТВ-аринскиот систем. Очигледно, запишување број во децимален системнотацијата, која сме навикнати да ја користиме, е посебен случај оваа дефиниција. Да обрнеме внимание на неколку математички аспекти кои бараат посебно внимание. Прво, некои броеви имаат повеќе од една IV-ary репрезентација. Тоа се броеви од формата j/n k, каде што j и k се позитивни цели броеви. За такви броеви, може да се наведат две IV-ари претстави: едната завршува со сите нули, а другата со сите N 1. На пример, x = 1/2 во бинарниот систем може да се претстави со 2 на два начина: 1/ 2 = 0, /2 = 0, Било кој број од типот различен од j/n k се запишува во броевниот систем IV на единствен начин. Неодговорено го оставивме и прашањето дали произволна IV-ари претстава одговара на единствена x/. Овие прашања се решаваат на ист начин како и во случајот со обична децимална нотација. 2 Ја задржавме ознаката што ја користи авторот за бесконечно периодична дропка. 42 42 Поглавје 2 / Теорема за класични фрактали Моќта на Канторското множество C е еднаква на моќноста на континуумот. Доказ. Треба да воспоставиме кореспонденција еден-на-еден помеѓу точките од C и точките на сегментот. За да го направите ова, треба да ги земеме предвид бинарните (основа 2) како и тројните (основа 3) претстави на точките на сегментот. За да се избегне двосмисленост во случај кога точката има две бинарни или тројни претстави, секогаш ќе ја избереме претставата што завршува со сите во бинарниот случај и сите две во тројниот случај. Забележуваме дека точката спаѓа во множеството Кантор C ако и само ако нема такви во неговата тројна претстава, односно кога содржи само нули и два. Тогаш саканата кореспонденција на точките од C со точките на отсечката се постигнува со замена на сите два во тројната претстава на x со единици. Вака добиениот бинарен приказ дефинира одреден реален број y. На пример, ако x C е: x = 0, (во тројниот систем), тогаш поставуваме y = 0, (во бинарниот систем). Опишаната постапка одредува кореспонденција еден на еден помеѓу x 6 C и y. 5. Класичната Cantor прашина е пример за компактен, совршен и целосно дисконтинуиран сет. Овие концепти се објаснети во Поглавје 3. Покрај тоа, може да се тврди дека тополошки класичното множество Кантор е дефинирано како компактно, совршено и целосно дисконтинуирано множество. Ова значи дека секој компактен, совршен и целосно дисконтинуиран сет може континуирано да се трансформира во Cantor прав, а постои и инверзна трансформација што може да се користи за враќање на оригиналниот сет. Секое такво множество обично се нарекува множество Cantor. Меѓутоа, не треба да се мисли дека сите множества на Кантор се самослични. Покрај тоа, дури и фракталната димензија на различните самослични множества на Кантор не е нужно иста, како што покажува следниот пример. Министерство за образование и наука Руска ФедерацијаСОЈУДЕН ДРЖАВЕН БУЏЕТ ВИСОКООБРАЗОВНА ИНСТИТУЦИЈА „САРАТОВ НАЦИОНАЛЕН ИСТРАЖУВАЧКИ ДРЖАВЕН УНИВЕРЗИТЕТ“ Одделение за информациски системи и технологии http://chair36.msiu.ru Н.В. Лукјанова Фрактали Фрактали Дефиниција за фрактал Концептите на фрактална и фрактална геометрија што се појавија во доцните 70-ти, од средината на 80-тите Фрактали Дефиниција Fractus (лат.) - се состои од фрагменти Фрактал (лат. fractus смачкан) е бескрајно самослична геометриска фигура, чиј секој фрагмент се повторува како што се намалува скалата. ФРАКТАЛИ Многу природни предмети и појави не се мазни, туку се скршени. Меѓу нив има лисја од дрвја, крајбрежје, молњи итн. Вообичаените диференцибилни не се погодни за опишување на овие објекти ИЗРАБОТКА НА АЛГОРИТМИ ЗА МОДЕЛИРАЊЕ НА СЛИКИ НА ПОСЛЕДНАТА ПОВРШИНА ЗАСНОВАНА НА МЕТОДИ НА ФРАКТАЛНА ГЕОМЕТРИЈА. Основни поими и дефиниции на фракталната геометрија При изучување на функционирањето МИНИСТЕРСТВО ЗА ОБРАЗОВАНИЕ И НАУКА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЈА ДРЖАВЕН УНИВЕРЗИТЕТ НОВОСИБИРСК Специјализиран центар за образование и истражување Одделение: 7-мо одделение. Програмска секција: Информатичка технологија Тема на часот: Компјутерска графика Планирани резултати: Предмет имплементација на логички дејства во текот на решението образовни задачи; систематизација Одделение за информациски системи и технологии http://chair36.msiu.ru Н.В. Лукјанова Фрактали Фрактали Сложени броеви Сложените броеви се продолжување на множеството реални броеви. Секој комплексен број може Сподели P.G. Харков Национален универзитет за механика и математика 014 Дискретна математика. Белешки за предавање. Содржина. Алгебра на множества..1 Концепт на множество... 1. Операции на множества... Научна и практична конференција на Националната образовна установа СОУ „Царицинскаја 1“ Фрактална графика Заврши: ученици од 8-мо одделение Водач: Шевченко Т.И. Волгоград, 2014 година Релевантност на работата: Најнови настани на терен Тема 4. НУМЕРИЧНО РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕАРНИ РАВЕНКИ -1- Тема 4. НУМЕРИЧНО РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕАРНИ РАВЕНКИ 4.0. Изјавување на проблемот Проблемот за наоѓање на корените на нелинеарната равенка од формата y=f() често се среќава во научната Предмет. Равенки со модул Содржина.. Модул.. Наједноставни равенки со модул.. Метод на интервали.. Модул Апсолутната вредност (модул) на бројот е растојанието на координатната права од точка до 6. Основи на фракталната геометрија. 6.1. Концептот на фрактални објекти. 6.2 Фрактална димензија. 6.2.1 Димензии на сличност. 6.2.2. Димензија Хаусдорф-Бесикович. 6.2.3. Минковски димензија. 6.3 Математиката, кога се гледа правилно, ја одразува не само вистината, туку и неспоредливата убавина. Бертранд Расел. Презентацијата ја креираше ученик од 11 одделение „Б“ ГУСЕВ АЛЕКСАНДАР Вие, се разбира, слушнавте Равенки Во алгебрата се разгледуваат два вида еднаквости: идентитети и равенки. Идентитетот е еднаквост што се задоволува за сите валидни) вредности на буквите вклучени во него. За идентитети се користат знаци Поглавје 1 ИНТЕГРАЛНИ РАВЕНКИ Предавање 1 1 Вовед Равенката се нарекува интегрална ако непознатата функција влезе во равенката под знакот интегрален.Се разбира, ние нема да разгледуваме интегрален Поглавје 0 РЕДЛИЦИ Алгоритми А- Поставување нумерички секвенци А- Аритметичка прогресијаА- Геометриска прогресија А- Збир А-5 Бесконечно опаѓачка геометриска прогресија Решението не е линеарни равенкиАлгебарските или трансценденталните равенки не можат секогаш точно да се решат.Концептот на точност на решението подразбира:) можност за пишување „точна формула“ или поточно Ојлеровиот метод Проблемот со наоѓање одредено решение за диференцијалната равенка () f (6.) може приближно да се реши со нумерички методи. Да се најде одредено решение за равенката (6.) на интервалот [ a Математичко моделирање на термоенергетски објекти Предавање 1 Нелинеарни алгебарски и трансцендентални равенки. Поими и поими 2 Моделирањето е проучување на објект или систем на објекти од I. V. Yakovlev Материјали за математика MathUs.ru Квадратни равенки и неравенки со параметри. Оваа статија е посветена на прашањата за локацијата на коренот квадратен триномво зависност од параметарот. Оддел Диференцијално пресметување на функции од една и неколку променливи Функција на реален аргумент Реални броеви Позитивните цели броеви се нарекуваат природни броеви Додавање на природни броеви ПРИКАЗНА ЗА ФРАКТАЛИ С.В. Григориев и Е.Г. Јашина Дефиниција за фрактал Строга дефиниција: фрактал е множество чија димензија Хаусдорф-Бесикович (D F) е строго поголема од тополошката ПРЕДАВАЊЕ 5Б Тополошки простори 3. Делумен редослед. Најмали топологии. Насоки 1. Делумен редослед Да се потсетиме на Дефиницијата. Велат дека на множеството R му е дадена делумна редовна релација, Граници и континуитет. Граница на функција Нека функцијата = f) е дефинирана во некое соседство на точката = a. Покрај тоа, во самата точка a функцијата не е нужно дефинирана. Дефиниција. Бројот b се нарекува граница СОДРЖИНА ВОВЕД 4 Тема 1 ЕЛЕМЕНТИ НА ТЕОРИЈАТА НА МОБЕЛЕШТА Предавање 1 Сетови 6 Предавање Нумерички множества 14 Предавање 3 Лица на нумерички множества 1 Предавање 4 Множество комплексни броеви 7 Тема ТЕОРИЈА НА ГРАНИЦИ Предавање ГЛАВА 1. Проективна геометрија 1.1. Проективен простор Да ни биде даден (n + 1)-димензионален векторски простор V (6.1, дел I) и непразно множество P од произволна природа. За множеството P се вели дека е обдарено ДРЖАВЕН ПОЛИТЕХНИЧКИ УНИВЕРЗИТЕТ САНТ ПЕТЕРБУРГ Катедра за радиофизика Лебедев Б.Б. Наоѓање резонантни фреквенции и мерење модели на зрачење на фрактални антени Минковски Лабораторија ПРОМЕНЛИВИ И ПОСТОЈНИ КОЛИЧИНИ Како резултат на мерење на физичките величини (време, површина, волумен, маса, брзина и сл.) нивните нумерички вредности. Математиката се занимава со количини, расеан Hausdorff мерки Да почнеме со неколку водечки размислувања. Потсетете се (види предавање) дека надворешната Лебежова мерка на подмножеството A R n е одредена со формулата λ n(a) = inf λ n (P i) : A i P i, P i P, каде што P е класа на сите За едно семејство на неврони со ограничена сложеност на меѓусебно преуредување А.П. Соколов Вовед Праговите функции на логичката алгебра се математички модел на неврони. Тие се од интерес поради Растерска, векторска и фрактална графика Компјутерската графика е посебна област на компјутерската наука која ги проучува методите и техниките за создавање и обработка на слики на компјутерски екран со помош на специјални Анализа на проблемот „Лекција по физичко образование“ Првата забелешка, која значително го поедноставува разбирањето на решението на овој проблем, е дека нè интересира само односот на силите на преостанатите ученици со силата на Коља, но не Предавање 13: Класификација на квадриците на рамнината Урал Федерален универзитет, Институт за математика и компјутерски науки, Катедра за алгебра и дискретна математика Воведни забелешки Во претходните три ПРЕДАВАЊЕ 6А Тополошки простори 2. Насоки 1. Делумен редослед Да се потсетиме на Дефиницијата. Релација со парцијален ред се вели дека е дадена на множество R ако за некои парови (x, y) елементи Федерална агенцијапо образование Московскиот државен универзитет за геодезија и картографија (МИГАиК) МЕТОДИСКИ УПАТСТВА И ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЈНА РАБОТА по предметот ВИСОКА МАТЕМАТИКА Нумерички Поглавје 3. ДИНАМИЧКО ПРОГРАМИРАЊЕ Методот на динамичко програмирање (DP) се заснова на идејата за разгледување, заедно со даден индивидуален проблем за оптимизација, цело семејство на поединци Поглавје 8 Функции и графикони Променливи и зависности меѓу нив. Две величини се нарекуваат директно пропорционални ако нивниот однос е константен, односно ако =, каде е константен број што не се менува со промените СОДРЖИНА Предговор..................................... 3 Симболи....... ................................ 5 ГЛАВА ПРВА ТОПОЛОШКИ ПРОСТОРИ И КАРТИРАЊА 1. Тополошки простори...... . .............. Предавање 10. Фрактали и хаотична динамика. 1. Концептот на фрактално множество. Фрактална димензија. 2. Геометрија на чудни привлекувачи. 3. Мултифрактални спектри. 1. Концептот на фрактално множество. Предавање 3 ОСНОВНИ АЛГОРИТАМСКИ СТРУКТУРИ. ВИДОВИ АЛГОРИТМИ 1. Основни алгоритамски структури. 2. Претставување на алгоритамски структури со помош на команди. 3. Комбинации на основни команди. 4. Помошен BBK.4ya7t+.4ya7.6 M5 Учебникот е вклучен во сојузната листа Merzlyak A.G. М5 Алгебра: 9-то одделение: учебник за ученици од општообразовни организации / А.Г. Мерзљак, В.М. Полјаков. М.: Вентана-Граф, 07. 368 Поглавје 3 Јорданова теорема План. Затворена крива, незатворена крива, незатворена крива без самопресеци, затворена крива без самопресеци, Јорданова теорема за крива без самопресеци кои лежат на Федерален универзитет Урал, Институт за математика и компјутерски науки, Катедра за алгебра и дискретна математика Дефиниција на основа Дефиниција Основата на векторскиот простор е подредена Тјуринг машина 1 Машината Тјуринг е математички концепт, а не вистинска компјутерска машина. МТ е математички модел на компјутерски уред. МТ беше предложен од Алан Туринг во 1936 година Функции на неколку променливи Во многу прашања од геометријата, природните науки и други дисциплини, треба да се работи со функции од две три или повеќе променливи Примери: Плоштина на триаголник S a h каде што a е основата Тема Цели и дробни делови од број Час 1 (часови) Цел на часот Дидактички Да ги запознае учениците со целините и дробните делови на бројот Да ги утврдат нивните својства и односите меѓу нив Да научи како да конструираат наједноставни Дел 5. Веб технологии и компјутерски дизајн 267 UDC 004.921 M.S. Израелјан, В.Н. Беловодски Донецк Национален технички универзитет, Донецк Оддел за компјутерски системи за следење АНАЛИЗА НА АЛГЕБРА ПОВЕЌЕ ФУНКЦИИ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕНЛИВИЕдна независна променлива не ги опфаќа сите зависности што постојат во природата. Затоа, природно е да се прошири добро познатиот концепт на функционална зависност и да се воведе I. V. Yakovlev Материјали за математика MathUs.ru Параметри и квадратен трином. 2 Оваа статија е посветена на локацијата на корените на квадратен трином во зависност од параметарот. Пресметка на корените Предавање 3. 3. Њутнова метода (тангенти. Да поставиме некоја почетна апроксимација [,b] и да ја линеаризираме функцијата f(во соседството користејќи сегмент од Тејлоровата серија f(= f(+ f "((-. (5 Наместо равенката (решаваме UDC 51798868 ПРИНЦИП НА ГЕНЕРАЛИЗИРАНИ КОНТРАСТНИ МАПИРАЊА ВО ПСЕВДОМЕТРИСКИ ПРОСТОРИ A I Перов Воронежски Државниот универзитетПри проучување на системи на равенки (алгебарски диференцијал Ју С. Илјашенко Атрактори и нивната фрактална димензија MCNMO Летно училиште„Модерна математика“ Дубна, јули 2004 година Y.S. Илјашенко Атракторите и нивната фрактална димензија Електронска публикација Москва, 2016 година Тема 7 Ранг на матрица Основна мала теорема за ранг на матрица и нејзините последици Системи од m линеарни равенки со непознати теорема Кронекер-Капели Основен систем на решенија на хомоген систем на линеарни равенки ЗЛАТНА ПРОПОРЦИЈА, ФРАКТАЛИ И ХАОС ВО ВРСКА СО НЕКОИ ПОГЛЕДУВАЊА ЗА Вселената Соколчук К.Ју., Остапович В.В. (Научен и технички центар „Булат НВР“, Киев, Украина) Дефиниција.Фрактал е структура која се состои од делови кои во некоја смисла се слични на целината. Самиот термин „фрактал“ значи „фракционо“. Кога внимателно ќе погледнете во форма на фрактал, ја гледате истата структура без разлика колку сте зголемени. Таквата сличност може да се види во природата, гледајќи ги планините, облаците, крајбрежјето итн. со различно зумирање. Може да се најде кога се проучуваат формите на молекулите или галаксиите. Фракталноста брзо станува една од најобемните метафори за објаснување и разбирање на светот. Сепак, не постои апсолутно прецизна дефиниција за фрактал. Можеби еден ден ќе се најде, но тоа можеби нема да се случи поради фактот што фракталната геометрија е геометријата на природата. Дефиницијата за фрактал е на исто ниво со дефиницијата за природата. Концептот на фракталноста на универзумот и неговите поединечни елементи се појавија во втората половина на дваесеттиот век во рамките на новата научна парадигма која ги комбинира синергетиката, кибернетиката, компјутерската наука и други теории кои имаат универзално значење за секој феномен на постоење. Фракталната хипотеза се заснова на концептите на теоријата на хаос и нелинеарни динамички системи. Поради ова, како и некои други својства (хиерархиска структура, повратна информација, чувствителност на почетни услови итн.), фракталните објекти имаат зголемена стабилност и приспособливост на надворешни услови во споредба со статичките системи. Математички алгоритам за конструирање фрактали на универзумот.За математичко моделирање на конструкцијата на фрактали како нелинеарни динамички системи, вообичаено е да се користат повторливи формули. Објектите конструирани со помош на рекурзија имаат внатрешна самосличност и отпорност на грешки (случајни и систематски). Покрај тоа, и ова изгледа важно, рекурзијата е неопходна особина на автокреативните (т.е. само-градење) системи. Како алгоритам ја избравме серијата за собирање Фибоначи, бидејќи во различни објекти на природата (првенствено „живи“) се чини дека е премногу често за да биде несреќа. Резултати од моделирање на фибоначи фрактални објекти. Следејќи ги делата на проф. А.П. Стахов, да ја генерализираме формулата на Бине (генерирање на серијата Фибоначи) на множеството од сите реални броеви. Резултирачката функција: F(x) =(φ x -(-φ) -x)/√5(
1)
Ќе ја наречеме „програма Фибоначи“. Како и кај серијата Фибоначи, следните односи важат за множеството реални броеви: F(x+1) = F(x) + F(x-1)(2)
F(x+1)/F(x) → φat x→ +∞,φ = (1+√5)/2 = 1,6180…
(3)
F(x+1)/F(x) → -1/φ при x→ - ∞(4)
Функција F(x)припаѓа на доменот на сложени броеви, само во одредени точки влегуваат во доменот на реалните броеви (на Xцел број). Фазниот портрет на програмата Фибоначи (во општ случај) е спирала и пригушен синусоид (сл. 1) долж оската X (реалниот дел од комплексниот број). а) б) Сл.1. Фазен портрет на генерализираната серија Фибоначи на рамнината на сложени броеви (а) и позицијата на спиралата на програмата Фибоначи во просторот (б). Равенката (2) како функција од почетните услови x 0 ,
x 1и број на циклуси X, го претставуваме во форма:
F(x+1, x 0, x 1) = x 1 *F(x) + x 0 *F(x-1)
(5)
Равенката (5) опишува збир на одредени дискретни објекти конструирани со помош на програмата Фибоначи, чија структура е слична, а разликата лежи само во размерот (избор на почетни услови x 0 и x 1) и (или) времето (x - број на циклуси) параметри. Така, имаме работа со програма (генерализација на формулата на Бине) која обезбедува рекурентни релации во доменот на сложени броеви. Следејќи ги идеите развиени од B. Mandelbrot, ова е неопходно и доволно за формирање на фрактални објекти во одредена област (x, x 0, x 1). Да земеме предвид дека сличноста на хиерархиските структури, изразена преку златниот пресек φ, идеално се приближува со зголемување X(број на циклуси), а изборот на почетни услови кои се максимално различни едни од други (по редови на големина) само незначително го зголемува бројот на циклуси за да се постигне потребната точност на проценката φ. Тогаш целиот простор-временски континуум може да се претстави како единствен фрактален објект, чии поединечни елементи се привлекувачи на фрактали на следното, пониско хиерархиско ниво. Да го разгледаме прашањето за внатрешната сличност на оваа структура подетално. Временското мерење (т.е. x 0 и x 1 – const) ја обезбедува сличноста на соседните хиерархиски нивоа, изразена како φ (што е очигледно, во согласност со формулата (3)). Исто така, не бара доказ дека за нивоата x и x-2 сличноста е изразена како φ 2. Општо земено, за нивоата x и x-n, нивниот сооднос е еднаков на φ n. Во регионот на негативни вредности на циклусите x, сличноста во општиот случај има форма: 1/(-φ) n. Да го разгледаме развојот во просторот користејќи го примерот на x и x 1 – const, а променливата ќе биде x 0. За x 0 = 0 или 2 и x 1 = 1 ги имаме, соодветно, тривијалните серии Фибоначи и Лукас. Нивниот однос (кој произлегува едноставно од формулата на Бине) со ист број на циклуси x е еднаков на √5 или, што е исто: φ + 1/φ. Во случај на x 0 = 3 (т.е. редот по Лука), односот се изразува како φ 2 + 1/φ 3 = 2,854... Понатаму, сликата суштински не се менува. Сличноста во просторниот развој може да се запише користејќи само два броја – 1 и φ, како и елементарни математички операции со нив (+, -, *, :). Веројатно е можно да се изведе општа формула. Така, ако „нашиот свет“ е изграден според програмата Фибоначи, мора некако да го најдеме „златниот сооднос“ - φ - во сите негови многубројни манифестации. Всушност, ова е забележано главно кај материјалните предмети, кои обично се нарекуваат „жива“ материја. Причината, според нас, е тоа што во повеќето случаи го разгледуваме развојот на објектот во дел каде што сите три параметри се променливи - x, x 0, x 1. На пример, периодичната табела на елементи на Менделеев. Сите елементи беа формирани на различни
циклуси (фази) на развојот на Универзумот и под различни почетни услови (релативно кажано - температура, маса, ентропија и други карактеристики на привлекувачите). Бесмислено е да се бара некаква редовна сличност во нивната структура, нумерички изразена преку φ и 1. Исто така, масите на планетите или нивните радиуси, или радиусите на орбитите на ротација, не можат да се опишат преку „златната хармонија“, и покрај бројните обиди. Од друга страна, објектите на „живата“ материја, вклучително и луѓето, како интегрални објекти со фиксни почетни услови и можност за нивно набљудување во сите циклуси на развој, носат хармонија во нивната морфолошка структура и функционирање, изразена преку φ. (Не даваме вистински податоци; тие се на веб-страницата „Музеј на златна хармонија“, создадена од проф. А.П. Стахов). Така, структурата и топологијата на нашиот Универзум може да се кодираат со користење само на два броја - 1 и φ во рамките на опишувањето на развојот како извршување на програмата Фибоначи. Очигледно, овие бројки се примарни, бидејќи со нивна помош програмата се пишува и извршува. Како се појавиле, во време кога Создателот само ја „пишувал“ програмата за конструирање на Универзумот?Да замислиме дека програмата во форма на симболи е напишана, структурирана или пакувана (термините може да бидат какви било) како авто- објект за создавање, во кој секое следно ниво е функција од двете претходни (програма Фибоначи). Дозволете ни да избереме три соседни хиерархиски нивоа. Вредноста на φ едноставно следи од односот на најблиските нивоа. Врската помеѓу три соседни нивоа всушност се сведува на добро познатата врска: φ 2 = φ + 1 или φ 2 – φ = 1. Така, самиот запис на програмата генерира два прости броеви φ и 1. Како што покажа проф. Стахов А.П., системите за нумерирање и кодирање на информации кои користат φ имаат предности во однос на другите (децимални, бинарни, итн.) во однос на наоѓање грешки, нивна диференцијација и корекција. За правилно спроведување на развојната програма, овие својства се чини дека се исклучително важни. Интеракција на објектите на програмата Фибоначи и нивната табела. Прифаќајќи го концептот (или хипотезата) за глобална интеракција на објектите на Универзумот, во сегашната фаза на истражување користевме елементарни алгебарски операции на собирање, множење итн. како механизми на интеракција на фракталите. За прикажување на добиените структури се користеше 3-Д компјутерска графика. Треба да се земе предвид дека структурите што се појавуваат за време на интеракцијата на фракталите се генерално n-димензионални, така што добиените слики се во суштина тродимензионални делови во „рамнината“ на развојните циклуси на поединечни компоненти. А) Бројачите на развојните циклуси на објектите во интеракција се совпаѓаат. Сл.2аСл.2б Сл. 2 Фазен портрет (2а) и поглед во тродимензионален простор (2б) на објект добиен од односот на објектите на Фибоначи и Лукас (почетни услови 0 и 1; 2 и 1, соодветно). Ознаки на сл. 2б - X и Y оски - реални и имагинарни делови на објектот, Z оска - бројач на циклуси (еден за Фибоначи и Лукас). Фазниот портрет на објектот (сл. 2а) е генерално многу сличен на добро познатата симболична слика на принципот на Универзумот: Очигледно, не е случајно што во некои дела серијата Фибоначи и Лукас се сметаат за машки и женски принципи (Јин и Јанг). Моделот на Слика 2а, исто така, зазема ни најмалку место во филозофските и уметничките идеи на луѓето што живееле на нашата земја. Б) Во случај кога бројачите на циклуси на објектите кои дејствуваат не се совпаѓаат, наместо параметарски криви (сл. 1б и 2б), добиваме тродимензионални површини како пресеци на „рамнината“ на циклусите (време).
Сл.3. Собирање на фрактали на Фибоначи и Лукас. Координатни оскиво хоризонтална рамнина – реалниот и имагинарниот дел од збирот. Вертикално – бројачот на циклуси (лево – за фракталот Фибоначи, десно – за Лука).
Сл.4. Производ на фрактали на Фибоначи и Лукас. Ознаки - како на слика 3
Сликите прикажани на сликите 3 и 4 тешко се толкуваат. Промената на почетните услови или на секантната временска рамнина доведува до истите спирално-вител структури со некои надворешни разлики. Потребни се дополнителни истражувања во оваа насока. Хипотетички, може да се претпостави поврзаност помеѓу моделот што се разгледува и теоријата на поливортекс на А.Ф. Бугаев. или торзиони полиња на Шипов Г.И. Во овој поглед, неопходно е да се земе предвид следната околност. Во рамките на теоријата на сложени променливи, може да се дојде до многу функции кои генерираат спирални форми во фазната рамнина. Ова е природата на овие бројки. Во нашиот случај на нелинеарен динамичен модел (програма Фибоначи), комплексните броеви природно се појавуваат во рамките на генерализацијата на серијата Фибоначи и формулата на Бине, кои опишуваат некои својства на природните броеви (1, 2, 3, 4, ... ). Случајот е во извесна смисла аналоген на квантната механичка теорија во физиката. Таму, при решавањето на равенката на Шредингеровите бранови, нужно се добиваат функции на сложени променливи. Имагинарната компонента, според некои езотеричари (на пример, А.Г. Шнајдерман), ја одразува неманифестираната компонента на универзумот во нашиот простор.
Фрактали на програмата Фибоначи и Хаос.
За сложени нелинеарни динамички системи во рамките на синергетиката, важен е концептот на бифуркациски точки. Суштината на феноменот е во тоа што, при одредени почетни услови, системот од детерминистичка состојба по одреден број развојни циклуси ја губи стабилноста, колабира и оди во состојба на хаос. Такви првични услови постојат и за нашиот модел. Испадна дека овие се исти прости броеви –φ и 1. Под такви почетни услови, развојот на објектот е прикажан на сл. 5.
Сл.5. Бифуркациона транзиција на објект конструиран со помош на програмата Фибоначи. Y(x ) беше пресметан според равенката. (5) користејќи првични услови:
x 0 = -φ и x 1 = 1.
За да се покрие што е можно поголем број на циклуси (по должината на оската X), вредностите на состојбата на објектот (по оската Y) се прикажани на логаритамска скала. Може да се види дека точката на транзиција кон состојба на динамичен хаос е во вредности од 39-40 циклуси. При анализа на формулата (5) и добиените резултати, беше откриено дека однесувањето на системот не се менува со пропорционална промена на почетните услови, т.е. за да се добие точката на бифуркација во општиот случај: x 0 = -aφ и x 1 = a (каде што a е кој било реален број, освен, се разбира, тривијалниот случај a = 0). Ова е илустрирано на Сл. 6, каде детално е прикажан делот на преминот на бифуркација.
Сл.6. Регионот на бифуркациона транзиција на објекти конструирани со помош на програмата Фибоначи.
Како критериум за состојбата на објектот користевме модул пресметан на стандарден начин, како за серијата Фибоначи (формула (3)). Почетните услови се множители на оние употребени на слика 5 и се разликуваат едни од други за 10 15 (црвена боја - a = 10 7, сина - a = 10 -8). Се гледа дека до 36-от циклус објектите се развиваат детерминистички, модулот и во двата случаи е еднаков на 1/φ (0,61830....). Понатаму, процесот на уништување се зголемува како лавина и по 39-40 циклуси настанува состојба на динамичен хаос. Се чини дека објектите се делат и се развиваат истовремено во неколку состојби (модули – 2, 1, 1/φ, 0). Позицијата на точката на бифуркација (39-40 циклуси) веројатно има фундаментално значење во врска со езотеричното знаење. Да ја забележиме исклучителната стабилност на точката на бифуркација, бидејќи менувањето на почетните услови за 15 реда на величина не го помести ниту за еден циклус. Резултатите од пресметката претставени на сл. 5 и 6 се однесуваат на случајот a > 0. Ако a< 0 (например, х 0 = 1 и х 1 = -1/φ), то картина становится зеркальной и точка бифуркации смещается к отрицательным значениям циклов -39-40. Возможно, этот случай представляет модель обратного перехода: «динамический хаос → детерминированная структура».В заключение на рис.7 показан видбифуркационного перехода в динамический хаос с помощью 3-D графики для стороннего «далеко отстоящего» наблюдателя.
Сл.7. Транзицијата „детерминистичка структура - динамичен хаос“ за објект што се гради според програмата Фибоначи,
Во рамките на езотерични идеи, може да се нарече „вкрстен ширење“. Ова е особено јасно кога се прикажуваат промени во фазниот портрет на објект во динамика користејќи ги можностите за анимација на програмите Matcad или Matlab.
Заклучок.
- Концептот на „Фибоначи програма“ е предложен како генерализација на формулата на Бине во доменот на сите реални броеви.
- Користењето на програмата Фибоначи ви овозможува да користите рекурентна формула за моделирање на нелинеарни динамички системи - фрактални објекти во форма на спирала на збир од сложени броеви кои го носат „златниот сооднос“ во нивната структура.
- Хипотетичкиот математички алгоритам на Универзумот - програмата Фибоначи ни овозможува да објасниме некои од езотеричните идеи.
- Постојат одредени почетни услови под кои објектот создаден со помош на програмата Фибоначи се уништува по 39-40 циклуси и оди во состојба на динамичен хаос.
- Едно лице може да се претстави како интегрален фрактален објект на Универзумот, кој е во континуиран цикличен развој во рамките на транзицискиот „материјален свет (Јанг) - духовна или информативна состојба (Јин)“.
Се вчитува...