На методолошки материјале само за референца и се однесува на широк опсег на теми. Статијата дава преглед на графиконите на основните елементарни функции и го разгледува најважното прашање - како правилно и БРЗО да се изгради графикон. Во текот на студијата виша математикабез познавање на главните распореди елементарни функцииЌе биде тешко, па затоа е многу важно да се запамети како изгледаат графиците на параболата, хиперболата, синусот, косинусот итн. и да запомните некои од вредностите на функцијата. Ќе зборуваме и за некои својства на главните функции.

Не тврдам комплетност и научна темелност на материјалите, акцентот ќе биде ставен, пред сè, на практиката - оние работи со кои се среќава буквално на секој чекор, во која било тема од вишата математика. Табели за кукли? Може да се каже така.

Поради многубројните барања на читателите табела со содржина што може да се кликне:

Во продолжение има ултракраток синопсис на темата
– совладајте 16 видови графикони со проучување на ШЕСТ страници!

Сериозно, шест, дури и јас бев изненаден. Ова резиме содржи подобрена графика и е достапно за номинална такса; може да се погледне демо верзија. Удобно е да се испечати датотеката така што графиконите се секогаш при рака. Ви благодариме за поддршката на проектот!

И да почнеме веднаш:

Како правилно да се конструираат координатни оски?

Во пракса, тестовите речиси секогаш ги пополнуваат учениците во посебни тетратки, наредени на квадрат. Зошто ви се потребни карирани ознаки? На крајот на краиштата, работата, во принцип, може да се направи на листови А4. А кафезот е неопходен само за висококвалитетен и прецизен дизајн на цртежи.

Секое цртање на графикон на функции започнува со координатни оски .

Цртежите можат да бидат дводимензионални или тридимензионални.

Ајде прво да го разгледаме дводимензионалниот случај Декартов правоаголен координатен систем:

1) Нацртајте координатни оски. Оската се нарекува x-оска , а оската е y-оска . Секогаш се трудиме да ги нацртаме уредно и не криво. Стрелките исто така не треба да личат на брадата на Папа Карло.

2) Ги потпишуваме оските со големи букви „X“ и „Y“. Не заборавајте да ги означите секирите.

3) Поставете ја скалата по оските: нацртајте нула и два. Кога правите цртеж, најзгодната и најчесто користена скала е: 1 единица = 2 ќелии (цртеж лево) - ако е можно, држете се до неа. Меѓутоа, одвреме-навреме се случува цртежот да не се вклопи на листот на тетратката - тогаш ја намалуваме скалата: 1 единица = 1 ќелија (цртеж од десната страна). Тоа е ретко, но се случува обемот на цртежот да се намали (или да се зголеми) уште повеќе

НЕМА ПОТРЕБА од „митралез“…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,….За координатна рамнинане е споменик на Декарт, а студентот не е гулаб. Ние ставивме нулаИ две единици долж оските. Понекогаш наместоединици, погодно е да се „означат“ други вредности, на пример, „два“ на оската на апсцисата и „три“ на оската на ординатите - и овој систем (0, 2 и 3) исто така уникатно ќе ја дефинира координатната мрежа.

Подобро е да се проценат проценетите димензии на цртежот ПРЕД да се конструира цртежот. Така, на пример, ако задачата бара цртање триаголник со темиња , , , тогаш е сосема јасно дека популарната скала од 1 единица = 2 ќелии нема да работи. Зошто? Ајде да ја погледнеме поентата - тука ќе треба да измерите петнаесет сантиметри надолу, и, очигледно, цртежот нема да се вклопи (или едвај се вклопува) на лист од тетратка. Затоа, веднаш избираме помала скала: 1 единица = 1 ќелија.

Патем, околу сантиметри и тетратки ќелии. Дали е вистина дека 30 ќелии за тетратки содржат 15 сантиметри? За забава измерете 15 сантиметри во тетратката со линијар. Во СССР ова можеби беше точно... Интересно е да се забележи дека ако ги измерите истите овие сантиметри хоризонтално и вертикално, резултатите (во ќелиите) ќе бидат различни! Строго кажано, модерните тетратки не се карирани, туку правоаголни. Ова може да изгледа бесмислено, но цртањето, на пример, круг со компас во такви ситуации е многу незгодно. Да бидам искрен, во такви моменти почнувате да размислувате за исправноста на другарот Сталин, кој беше испратен во кампови за хакерска работа во производството, а да не зборуваме за домашната автомобилска индустрија, паѓање авиони или експлозии на електрани.

Зборувајќи за квалитет, или кратка препорака за канцелариски материјал. Денес, повеќето од тетратките што се во продажба се, во најмала рака, целосна глупост. Од причина што се навлажнуваат, и тоа не само од гел пенкала, туку и од хемиско пенкала! Заштедуваат пари на хартија. За регистрација тестовиПрепорачувам да користите тетратки од Архангелската фабрика за пулпа и хартија (18 листови, решетка) или „Пјатерочка“, иако е поскапа. Препорачливо е да изберете гел пенкало; дури и најевтиниот кинески гел за полнење е многу подобар од хемиско пенкало, кое или ја размачка или кине хартијата. Единственото „конкурентно“ хемиско пенкало на кое можам да се сетам е Ерих Краузе. Таа пишува јасно, убаво и доследно – дали со полно јадро или со речиси празно.

дополнително: Визијата за правоаголен координатен систем низ очите на аналитичката геометрија е опфатена во статијата Линеарна (не) зависност на вектори. Основа на вектори, детални информации за координатни четвртини може да се најдат во вториот пасус од лекцијата Линеарни неравенки.

3D куќиште

Овде е скоро исто.

1) Нацртајте координатни оски. Стандард: оската се применуваат – насочена нагоре, оска – насочена надесно, оска – насочена надолу кон лево строгопод агол од 45 степени.

2) Обележете ги оските.

3) Поставете ја скалата долж оските. Скалата долж оската е два пати помала од скалата долж другите оски. Исто така, забележете дека во десниот цртеж користев нестандарден "засек" по должината на оската (оваа можност е веќе спомената погоре). Од моја гледна точка, ова е попрецизно, побрзо и естетски попријатно - нема потреба да се бара средината на клетката под микроскоп и да се „изваја“ единица блиску до потеклото на координатите.

Кога правите 3D цртеж, повторно, дајте приоритет на размерот
1 единица = 2 ќелии (цртеж лево).

За што се сите овие правила? Правилата се направени за да се прекршат. Тоа е она што ќе го направам сега. Факт е дека следните цртежи на статијата ќе ги направам јас во Excel, а координатните оски ќе изгледаат неточни од гледна точка правилен дизајн. Би можел да ги нацртам сите графикони со рака, но всушност е страшно да ги нацртам бидејќи Excel не сака да ги нацрта многу попрецизно.

Графикони и основни својства на елементарните функции

Линеарна функција е дадена со равенката. Графикот на линеарни функции е директно. За да се изгради права линија, доволно е да се знаат две точки.

Пример 1

Конструирај график на функцијата. Ајде да најдеме две точки. Поволно е да се избере нула како една од точките.

Ако тогаш

Да земеме уште една точка, на пример, 1.

Ако тогаш

При завршување на задачите, координатите на точките обично се сумираат во табела:

И самите вредности се пресметуваат усно или на нацрт, калкулатор.

Пронајдени се две точки, ајде да го направиме цртежот:

Кога подготвуваме цртеж, секогаш ја потпишуваме графиката.

Би било корисно да се потсетиме на посебни случаи на линеарна функција:

Забележете како ги ставив потписите, потписите не треба да дозволуваат несогласувања при проучување на цртежот. ВО во овој случајБеше крајно непожелно да се стави потпис до точката на вкрстување на линиите или долу десно помеѓу графиконите.

1) Линеарна функција од формата () се нарекува директна пропорционалност. На пример,. Графикот на директна пропорционалност секогаш поминува низ потеклото. Така, конструирањето права линија е поедноставено - доволно е да се најде само една точка.

2) Равенката на формата одредува права линија паралелна на оската, особено, самата оска е дадена со равенката. Графикот на функцијата се конструира веднаш, без да се најдат точки. Односно, записот треба да се разбере на следниов начин: „y е секогаш еднаков на –4, за која било вредност на x“.

3) Равенката на формата одредува права линија паралелна на оската, особено самата оска е дадена со равенката. Веднаш се исцртува и графикот на функцијата. Влезот треба да се разбере на следниов начин: „x е секогаш, за која било вредност на y, еднаква на 1“.

Некои ќе прашаат, зошто се сеќавате на 6-то одделение?! Така е, можеби е така, но со текот на годините на пракса запознав десетина студенти кои беа збунети од задачата да направат график како или.

Конструирањето права линија е најчестото дејство при изработка на цртежи.

Правата линија е детално дискутирана во текот на аналитичката геометрија, а заинтересираните можат да се повикаат на статијата Равенка на права линија на рамнина.

График на квадратна, кубна функција, график на полином

Парабола. Распоред квадратна функција () претставува парабола. Размислете за познатиот случај:

Да се ​​потсетиме на некои својства на функцијата.

Значи, решението на нашата равенка: – токму во оваа точка се наоѓа темето на параболата. Зошто е тоа така може да се најде во теоретскиот напис за изводот и лекцијата за екстреми на функцијата. Во меѓувреме, да ја пресметаме соодветната вредност „Y“:

Така, темето е во точката

Сега наоѓаме други точки, додека дрско ја користиме симетријата на параболата. Треба да се напомене дека функцијата – не е дури, но, сепак, никој не ја откажал симетријата на параболата.

По кој редослед да се најдат преостанатите бодови, мислам дека ќе биде јасно од конечната табела:

Овој конструктивен алгоритам фигуративно може да се нарече „шатл“ или принцип „напред и назад“ со Анфиса Чехова.

Ајде да го направиме цртежот:

Од испитаните графикони, на ум ми доаѓа уште една корисна карактеристика:

За квадратна функција () точно е следново:

Ако , тогаш гранките на параболата се насочени нагоре.

Ако , тогаш гранките на параболата се насочени надолу.

Продлабочено знаење за кривата може да се добие на часот Хипербола и парабола.

Со функцијата е дадена кубна парабола. Еве еден цртеж познат од училиштето:

Да ги наведеме главните својства на функцијата

График на функција

Претставува една од гранките на параболата. Ајде да го направиме цртежот:

Главните својства на функцијата:

Во овој случај, оската е вертикална асимптота за графикот на хипербола кај .

Би било ГРУМА грешка ако при изготвувањето на цртежот безгрижно дозволите графикот да се вкрсти со асимптота.

Исто така, едностраните граници ни кажуваат дека хиперболата не е ограничен одозгораИ не е ограничен одоздола.

Да ја испитаме функцијата во бесконечност: , односно, ако почнеме да се движиме по оската лево (или десно) до бесконечност, тогаш „игрите“ ќе бидат во уреден чекор бескрајно блискупристап до нула, и, соодветно, гранките на хиперболата бескрајно блискусе приближи до оската.

Значи, оската е хоризонтална асимптота за графикот на функцијата, ако „x“ се стреми кон плус или минус бесконечност.

Функцијата е чудно, и, според тоа, хиперболата е симетрична во однос на потеклото. Овој факт е очигледен од цртежот, покрај тоа, лесно се проверува аналитички: .

Графикот на функција од формата () претставува две гранки на хипербола.

Ако , тогаш хиперболата се наоѓа во првата и третата координатна четвртина(види слика погоре).

Ако , тогаш хиперболата се наоѓа во втората и четвртата координатна четвртина.

Посочената шема на престој на хипербола е лесно да се анализира од гледна точка на геометриските трансформации на графиконите.

Пример 3

Конструирај ја десната гранка на хиперболата

Ние го користиме методот на градење по точка, и поволно е да се изберат вредностите така што тие се деливи со целина:

Ајде да го направиме цртежот:

Нема да биде тешко да се конструира левата гранка на хиперболата; тука ќе помогне необичноста на функцијата. Грубо кажано, во табелата за конструкција на точка, ментално додаваме минус на секој број, ги ставаме соодветните точки и ја цртаме втората гранка.

Детални геометриски информации за разгледуваната линија може да се најдат во статијата Хипербола и парабола.

График на експоненцијална функција

ВО овој ставВеднаш ќе ја разгледам експоненцијалната функција, бидејќи во проблемите на вишата математика во 95% од случаите се појавува експоненцијалната.

Дозволете ми да ве потсетам дека ова е ирационален број: , ова ќе биде потребно при конструирање график, кој, всушност, ќе го изградам без церемонија. Три бода се веројатно доволни:

Ајде да го оставиме графикот на функцијата сам за сега, повеќе за него подоцна.

Главните својства на функцијата:

Графиконите на функции, итн., изгледаат фундаментално исто.

Морам да кажам дека вториот случај се јавува поретко во пракса, но се случува, па затоа сметав дека е неопходно да го вклучам во оваа статија.

График на логаритамска функција

Размислете за функција со природен логаритам.
Ајде да направиме цртеж точка-по-точка:

Ако сте заборавиле што е логаритам, ве молиме погледнете ги вашите училишни учебници.

Главните својства на функцијата:

Домен:

Опсег на вредности: .

Функцијата не е ограничена одозгора: , иако бавно, но гранката на логаритмот оди до бесконечност.
Да го испитаме однесувањето на функцијата близу нула десно: . Значи, оската е вертикална асимптота за графикот на функција како „x“ се стреми кон нула од десно.

Императив е да се знае и да се запамети типичната вредност на логаритамот: .

Во принцип, графикот на логаритамот до основата изгледа исто: , , (децимален логаритам до основата 10) итн. Згора на тоа, колку е поголема основата, графикот ќе биде порамен.

Ние нема да го разгледаме случајот; не се сеќавам кога последен пат направив графикон со таква основа. А логаритамот се чини дека е многу редок гостин во проблемите од вишата математика.

На крајот од овој став ќе кажам уште еден факт: Експоненцијална функција и логаритамска функција– ова се две меѓусебно инверзни функции. Ако внимателно го погледнете графикот на логаритмот, можете да видите дека ова е истиот експонент, само што се наоѓа малку поинаку.

Графикони на тригонометриски функции

Каде започнува тригонометриското мачење на училиште? Во право. Од синус

Ајде да ја нацртаме функцијата

Оваа линија се нарекува синусоид.

Да те потсетам дека „пи“ е ирационален број: , а во тригонометријата ти ги заслепува очите.

Главните својства на функцијата:

Оваа функција е периодичнисо период . Што значи тоа? Да го погледнеме сегментот. Лево и десно од него, точно истото парче од графиконот се повторува бескрајно.

Домен: , односно за која било вредност на „x“ има синусна вредност.

Опсег на вредности: . Функцијата е ограничен: , односно, сите „игри“ се строго во сегментот .
Ова не се случува: или, поточно, се случува, но овие равенки немаат решение.

1. Дробна линеарна функција и нејзиниот график

Функција од формата y = P(x) / Q(x), каде што P(x) и Q(x) се полиноми, се нарекува фракциона рационална функција.

Веројатно веќе сте запознаени со концептот на рационални броеви. Исто така рационални функциисе функции кои можат да се претстават како количник на два полиноми.

Ако фракционата рационална функција е количник на две линеарни функции - полиноми од прв степен, т.е. функција на формата

y = (ax + b) / (cx + d), тогаш се нарекува фракционо линеарно.

Забележете дека во функцијата y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (во спротивно функцијата станува линеарна y = ax/d + b/d) и дека a/c ≠ b/d (инаку функцијата е константна). Линеарната фракциона функција е дефинирана за сите реални броеви освен x = -d/c. Графиконите на дробните линеарни функции не се разликуваат по форма од графикот y = 1/x што го знаете. Се повикува крива која е график на функцијата y = 1/x хипербола. Со неограничено зголемување на x во апсолутна вредност, функцијата y = 1/x се намалува неограничено во апсолутна вредност и двете гранки на графикот се приближуваат до апсцисата: десната се приближува одозгора, а левата одоздола. Линиите до кои се приближуваат гранките на хиперболата се нарекуваат нејзини асимптоти.

Пример 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Решение.

Да го избереме целиот дел: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Сега е лесно да се види дека графикот на оваа функција е добиен од графикот на функцијата y = 1/x со следните трансформации: поместување за 3 единични сегменти надесно, растегнување по оската Oy 7 пати и поместување за 2 единечни сегменти нагоре.

Секоја дропка y = (ax + b) / (cx + d) може да се напише на сличен начин, истакнувајќи го „целобројниот дел“. Следствено, графиконите на сите дробни линеарни функции се хиперболи, поместени на различни начини по координатните оски и испружени по оската Oy.

За да се конструира график на која било произволна фракционо-линеарна функција, воопшто не е неопходно да се трансформира дропот што ја дефинира оваа функција. Бидејќи знаеме дека графикот е хипербола, доволно ќе биде да ги најдеме правите линии до кои се приближуваат неговите гранки - асимптоти на хиперболата x = -d/c и y = a/c.

Пример 2.

Најдете ги асимптотите на графикот на функцијата y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функцијата не е дефинирана, при x = -1. Тоа значи дека правата линија x = -1 служи како вертикална асимптота. За да ја пронајдеме хоризонталната асимптота, ајде да дознаеме до какви вредности се приближуваат функцијата y(x) кога аргументот x се зголемува во апсолутна вредност.

За да го направите ова, поделете го броителот и именителот на дропката со x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Како x → ∞ дропот ќе се стреми кон 3/2. Ова значи дека хоризонталната асимптота е права линија y = 3/2.

Пример 3.

Графиконирајте ја функцијата y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Да го избереме „целиот дел“ од дропката:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Сега е лесно да се види дека графикот на оваа функција е добиен од графикот на функцијата y = 1/x со следните трансформации: поместување за 1 единица налево, симетричен приказ во однос на Ox и поместување за 2 единици отсечки нагоре по оската Oy.

Домен D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Опсег на вредности E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Пресечни точки со оски: c Oy: (0; 1); в Вол: (-1/2; 0). Функцијата се зголемува на секој интервал од доменот на дефиниција.

Одговор: Слика 1.

2. Дробна рационална функција

Размислете за фракциона рационална функција од формата y = P(x) / Q(x), каде што P(x) и Q(x) се полиноми со степен повисок од првиот.

Примери за такви рационални функции:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ако функцијата y = P(x) / Q(x) претставува количник на два полиноми со степен повисок од првиот, тогаш нејзиниот график, по правило, ќе биде покомплексен и понекогаш може да биде тешко да се конструира точно , со сите детали. Сепак, често е доволно да се користат техники слични на оние што веќе ги воведовме погоре.

Дропката нека е правилна дропка (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Очигледно, графикот на фракционата рационална функција може да се добие како збир на графикони на елементарни дропки.

Подготвување графикони на дробни рационални функции

Да разгледаме неколку начини за конструирање графикони на фракциона рационална функција.

Пример 4.

Нацртајте график на функцијата y = 1/x 2 .

Решение.

Го користиме графикот на функцијата y = x 2 за да конструираме график од y = 1/x 2 и ја користиме техниката на „делење“ на графиконите.

Домен D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Опсег на вредности E(y) = (0; +∞).

Нема точки на вкрстување со оските. Функцијата е изедначена. Се зголемува за сите x од интервалот (-∞; 0), се намалува за x од 0 на +∞.

Одговор: Слика 2.

Пример 5.

Графикувајте ја функцијата y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Решение.

Домен D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Овде ја користевме техниката на факторизација, редукција и редукција до линеарна функција.

Одговор: Слика 3.

Пример 6.

Графикувајте ја функцијата y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Решение.

Доменот на дефиниција е D(y) = R. Бидејќи функцијата е парна, графикот е симетричен во однос на ординатата. Пред да изградиме график, да го трансформираме изразот повторно, истакнувајќи го целиот дел:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Забележете дека изолирањето на целобројниот дел во формулата на фракциона рационална функција е едно од главните при конструирање графикони.

Ако x → ±∞, тогаш y → 1, т.е. правата линија y = 1 е хоризонтална асимптота.

Одговор: Слика 4.

Пример 7.

Да ја разгледаме функцијата y = x/(x 2 + 1) и да се обидеме точно да ја најдеме нејзината најголема вредност, т.е. највисоката точка на десната половина од графиконот. За прецизно конструирање на овој график, денешното знаење не е доволно. Очигледно, нашата крива не може да се „издигне“ многу високо, затоа што именителот брзо почнува да го „престигнува“ броителот. Ајде да видиме дали вредноста на функцијата може да биде еднаква на 1. За да го направиме ова, треба да ја решиме равенката x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Оваа равенка нема вистински корени. Ова значи дека нашата претпоставка е неточна. За да ја пронајдете најголемата вредност на функцијата, треба да откриете на кое најголемо A решение ќе има равенката A = x/(x 2 + 1). Да ја замениме првобитната равенка со квадратна: Ax 2 – x + A = 0. Оваа равенка има решение кога 1 – 4A 2 ≥ 0. Оттука ја наоѓаме најголемата вредност A = 1/2.

Одговор: Слика 5, max y(x) = ½.

Сè уште имате прашања? Не знаете како да графиконите функции?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
Првата лекција е бесплатна!

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.

Една од најпознатите експоненцијални функции во математиката е експонентот. Тој го претставува Ојлеровиот број подигнат до одредената моќност. Во Excel има посебен оператор кој ви овозможува да го пресметате. Ајде да видиме како може да се користи во пракса.

Експонентот е Ојлеровиот број подигнат до дадена моќност. Самиот Ојлеров број е приближно 2,718281828. Понекогаш се нарекува и број Непиер. Експонентната функција изгледа вака:

каде e е Ојлеровиот број и n е степенот на подигање.

За да се пресмета овој индикатор во Excel, се користи посебен оператор - EXP. Покрај тоа, оваа функција може да се прикаже како график. За работа со овие алатки ќе зборуваме понатаму.

Метод 1: Пресметајте го експонентот со рачно внесување на функцијата

EXP (број)

Односно, оваа формула содржи само еден аргумент. Тоа е токму моќта до која треба да се подигне Ојлеровиот број. Овој аргумент може да биде таков нумеричка вредност, и имаат форма на референца за ќелија која содржи експонент.

Метод 2: Користење на волшебникот за функции

Иако синтаксата за пресметување на експонентот е исклучително едноставна, некои корисници претпочитаат да ја користат Волшебник за функции. Ајде да погледнеме како тоа е направено со пример.

Ако како аргумент се користи референца на ќелија која содржи експонент, тогаш треба да го поставите курсорот во полето "Број"и едноставно изберете ја таа ќелија на листот. Неговите координати веднаш ќе бидат прикажани на теренот. По ова, за да го пресметате резултатот, кликнете на копчето "ДОБРО".

Метод 3: заговор

Дополнително, во Excel е можно да се конструира график користејќи ги резултатите добиени од пресметувањето на експонентот како основа. За да се изгради графикон, листот веќе мора да има пресметани вредности на експонентот на различни моќи. Тие можат да се пресметаат со користење на еден од методите опишани погоре.

y (x) = e x, чиј извод е еднаков на самата функција.

Експонентот се означува како , или .

Број д

Основата на степенот на експонент е број д. Ова е ирационален број. Тоа е приближно еднакво
д ≈ 2,718281828459045...

Бројот e се одредува преку границата на низата. Ова е т.н втора прекрасна граница:
.

Бројот e може да се претстави и како серија:
.

Експоненцијален график

Експоненцијален график, y = e x.

Графикот ја покажува експоненцијалната ддо одреден степен X.
y (x) = e x
Графикот покажува дека експонентот монотоно се зголемува.

Формули

Основните формули се исти како и за експоненцијална функцијасо електрична база e.

;
;
;

Израз на експоненцијална функција со произволна основа од степен a преку експоненцијална:
.

Приватни вредности

Нека y (x) = e x. Потоа
.

Својства на експонент

Експонентот има својства на експоненцијална функција со база на моќност д > 1 .

Домен, збир на вредности

Експонент y (x) = e xдефинирани за сите x.
Неговиот домен на дефиниција:
- ∞ < x + ∞ .
Нејзините многу значења:
0 < y < + ∞ .

Екстреми, зголемување, намалување

Експоненцијалот е монотоно растечка функција, па затоа нема екстреми. Неговите главни својства се претставени во табелата.

Инверзна функција

Инверзната на експонентот е природниот логаритам.
;
.

Извод на експонентот

Дериват ддо одреден степен Xеднаква на ддо одреден степен X :
.
Извод од n-ти ред:
.
Изведување формули > > >

Интегрален

Комплексни броеви

Дејства со сложени броевиспроведено со користење Ојлерови формули:
,
каде е имагинарната единица:
.

Изрази преку хиперболични функции

; ;
.

Изрази со помош на тригонометриски функции

; ;
;
.

Проширување на серијата на моќност

Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендијаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.