Наједноставниот тип на дистрибуција на гама е дистрибуција со густина

Каде - параметар поместување, - гама функција, т.е.

(2)

Секоја дистрибуција може да се „прошири“ во семејство со поместување на скалата. Навистина, за случајна променлива која има функција на дистрибуција, земете ја во предвид фамилија на случајни променливи , каде е параметарот на скалата и е параметарот на смена. Тогаш функцијата на дистрибуција е .

Вклучувајќи ја секоја дистрибуција со густина на формата (1) во семејството на поместување на скала, ги добиваме гама распределбите прифатени во параметаризацијата на семејството:

Еве - параметар на обликот, - параметар на скала, - параметар за поместување, гама функцијата е дадена со формулата (2).

Во литературата има и други параметризации. Значи, наместо параметар, често се користи параметарот . Понекогаш се разгледува семејство со два параметри, со испуштање на параметарот на поместување, но задржувајќи го параметарот на скалата или неговиот аналог - параметарот . За некои применети проблеми (на пример, при проучување на доверливоста на техничките уреди), ова е оправдано, бидејќи од суштински размислувања се чини природно да се прифати дека густината на распределбата на веројатноста е позитивна за позитивните вредности на аргументот и само за нив. Оваа претпоставка е поврзана со долготрајна дискусија во 80-тите за „пропишаните индикатори за доверливост“, на кои нема да се задржиме.

Посебните случаи на дистрибуција на гама за одредени вредности на параметри имаат посебни имиња. Кога имаме експоненцијална распределба. Природната гама дистрибуција е Erlang дистрибуција што се користи, особено, во теорија редица. Ако случајната променлива има гама дистрибуција со параметар на обликот таков што - цел број и, има хи-квадрат дистрибуција на степени на слобода.

Примени на гама дистрибуција

Дистрибуцијата на гама има широка примена во различни области техничките науки(особено, во теоријата на доверливост и тестови), во метеорологијата, медицината, економијата. Особено, дистрибуцијата на гама може да биде предмет на вкупниот работен век на производот, должината на ланецот на проводни честички прашина, времето кога производот ја достигнува граничната состојба за време на корозија, времето до kth дефект итн. . Очекуваниот животен век на пациентите со хронични заболувања и времето за постигнување одреден ефект во текот на лекувањето во некои случаи имаат гама дистрибуција. Оваа дистрибуција се покажа како најадекватна за опишување на побарувачката во голем број економски и математички модели на управување со залихите.

Можноста за користење на гама дистрибуцијата во голем број применети проблеми понекогаш може да се оправда со својството за репродуктивност: збирот на независни експоненцијално распределени случајни променливи со ист параметар има гама дистрибуција со параметри на обликот и размерот. и смена. Затоа, гама дистрибуцијата често се користи во оние области на примена кои користат експоненцијална дистрибуција.

Стотици публикации се посветени на различни прашања од статистичката теорија поврзани со дистрибуцијата на гама (види резимеа). Оваа статија, која не тврди дека е сеопфатна, испитува само некои математички и статистички проблеми поврзани со развојот на државен стандард.

Да ја разгледаме распределбата на Гама, да ги пресметаме нејзините математичко очекување, дисперзија и режим. Користејќи ја функцијата MS EXCEL GAMMA.DIST(), ќе конструираме графикони на функцијата на дистрибуција и густина на веројатност. Ајде да генерираме низа од случајни броеви и да ги процениме параметрите на дистрибуцијата.

Гама дистрибуција(Англиски) Гамадистрибуција) зависи од 2 параметри: р(го определува обликот на распределбата) и λ (го одредува размерот). оваа дистрибуција е дадена со следнава формула:

каде Г(r) е гама функција:

ако r е позитивен цел број, тогаш Г(r)=(r-1)!

Горенаведениот формулар за влез густина на дистрибуцијајасно ја покажува својата поврзаност со. Кога r=1 Гама дистрибуцијасе сведува на Експоненцијална дистрибуцијасо параметар λ.

Ако параметарот λ е цел број, тогаш Гама дистрибуцијае збирот рнезависни и идентично распоредени експоненцијален законсо параметар λ на случајни променливи x. Така, случајната променлива y= x 1 + x 2 +… x rТоа има гама дистрибуцијасо параметри ри λ.

, пак, е тесно поврзан со дискретни. Ако Поасон дистрибуцијаго опишува бројот на случајни настани што се случиле во одреден временски интервал, тогаш Експоненцијална дистрибуција,во овој случај, ја опишува должината на временскиот интервал помеѓу два последователни настани.

Од ова произлегува дека, на пример, ако се опише времето пред појавата на првиот настан експоненцијална распределбасо параметарот λ, потоа се опишува времето пред почетокот на вториот настан гама дистрибуцијасо r = 2 и истиот параметар λ.

Дистрибуција на гама во MS EXCEL

MS EXCEL усвојува еквивалентна, но различна по параметри, форма на снимање густина гама дистрибуција.

Параметар α ( алфа) е еквивалентно на параметарот р, и параметарот б (бета) – параметар 1/λ. Подолу ќе се придржуваме токму на оваа нотација, бидејќи ова ќе го олесни пишувањето формули.

Во MS EXCEL, почнувајќи од верзијата 2010 година, за Гама дистрибуцијапостои функција GAMMA.DIST (), англиското име е GAMMA.DIST (), што ви овозможува да пресметате густина на веројатност(види формула погоре) и (веројатност дека има случајна променлива X гама дистрибуција, ќе земе вредност помала или еднаква на x).

Забелешка: Пред MS EXCEL 2010, EXCEL ја имаше функцијата GAMMADIST(), која ви овозможува да пресметате кумулативна дистрибутивна функцијаИ густина на веројатност. GAMMADIST() е оставен во MS EXCEL 2010 заради компатибилност.

Графикони на функции

Примерната датотека содржи графикони распределба на густина на веројатностИ кумулативна дистрибутивна функција.

Гама дистрибуцијаја има ознаката Гама (алфа; бета).

Забелешка: За погодност за пишување формули во пример датотеката за параметри за дистрибуција алфа и бетасоздадени се соодветните.

Забелешка: Зависноста од 2 параметри овозможува да се конструираат распределби на различни форми, што ја проширува примената на оваа дистрибуција. Гама дистрибуција, како и Експоненцијална дистрибуцијачесто се користи за пресметување на времето на чекање помеѓу случајните настани. Дополнително, можно е да се користи оваа дистрибуција за моделирање на нивоата на врнежи и при дизајнирање патишта.

Како што е прикажано погоре, ако параметарот алфа= 1, потоа функцијата GAMMA.DIST() се враќа со параметарот 1/бета. Доколку параметарот бета= 1, функцијата GAMMA.DIST() го враќа стандардот гама дистрибуција.

Забелешка: Затоа што е посебен случај гама дистрибуција, потоа формулата =GAMMA.DIST(x;n/2;2;TRUE) за позитивен цел број n го враќа истиот резултат како формулата =CHI2.DIST(x;n; ТОЧНО)или =1-CHI2.DIST.PH(x;n) . И формулата =GAMMA.DIST(x;n/2;2;FALSE)го враќа истиот резултат како формулата =CHI2.DIST(x;n; НЕТОЧНО), т.е. густина на веројатност Дистрибуции на CH2.

ВО пример датотека на листот графиконидадена е пресметка гама дистрибуцијаеднакви алфа*бетаИ

Ненегативна случајна променлива има гама дистрибуција, ако неговата густина на дистрибуција е изразена со формулата

каде и , е гама функцијата:

Така, гама дистрибуцијае дистрибуција со два параметри, зазема важно место во математичка статистикаи теории за доверливост. Оваа дистрибуција има ограничување од едната страна.

Ако параметарот на обликот на кривата на дистрибуција е цел број, тогаш гама распределбата го опишува времето потребно за појава на настани (неуспеси), под услов тие да се независни и да се случуваат со постојан интензитет.

Во повеќето случаи, оваа дистрибуција го опишува времето на работа на системот со вишок за дефекти на елементите што стареат, времето за обновување на системот со вишок за дефекти на елементите што стареат, времето за обновување на системот итн. За различни квантитативни вредности од параметрите, дистрибуцијата на гама добива широк спектар на форми, што ја објаснува нејзината широка употреба.

Густината на веројатноста на гама распределбата се определува со еднаквоста ако

Дистрибутивна функција. (9)

Забележете дека функцијата за доверливост се изразува со формулата:

Функцијата гама ги има следните својства: , , (11)

од каде произлегува дека ако е ненегативен цел број, тогаш

Покрај тоа, последователно ќе ни треба уште едно својство на функцијата гама: ; . (13)

Пример.Реставрацијата на електронската опрема го почитува законот за дистрибуција на гама со параметри и . Определете ја веројатноста за обновување на опремата за еден час.

Решение. За да ја одредиме веројатноста за закрепнување, ја користиме формулата (9).

За позитивни цели броеви функции , и на .

Ако преминеме на нови променливи чии вредности ќе бидат изразени; , тогаш го добиваме интегралот на табелата:

Во овој израз, решението на интегралот од десната страна може да се одреди со користење на истата формула:

и кога ќе има

Кога и новите променливи ќе бидат еднакви на и , а самиот интеграл ќе биде еднаков на

Вредноста на функцијата ќе биде еднаква на

Да ги најдеме нумеричките карактеристики на случајна променлива која е предмет на гама дистрибуција

Во согласност со еднаквоста (13), добиваме . (14)

Го наоѓаме вториот почетен момент користејќи ја формулата

каде . (15)

Имајте на ум дека во , стапката на неуспех се намалува монотоно, што одговара на периодот на работа на производот. Кога стапката на неуспех се зголемува, што го карактеризира периодот на абење и стареење на елементите.

Кога распределбата на гама се совпаѓа со експоненцијалната распределба, кога распределбата на гама се приближува до нормалниот закон. Ако зема вредности на произволни цели броеви позитивни бројки, тогаш се нарекува таква дистрибуција на гама нарачајте Erlang дистрибуција:

Тука е доволно само да се истакне дека законот Ерланг Збирот на независни случајни променливи е подреден на тиот ред, од кои секоја е распределена според експоненцијален закон со параметар. Ерланговиот закон тиот ред е тесно поврзан со стационарен Поасон (наједноставен) проток со интензитет .

Навистина, нека има таков тек на настаните во времето (сл. 6).

Ориз. 6. Графички приказ на Поасонов тек на настани низ времето

Размислете за временски интервал кој се состои од збирот интервали помеѓу настаните во таков тек. Може да се докаже дека случајната променлива ќе го почитува законот на Ерланг -ти ред.

Густина на дистрибуција на случајна променлива распределена според Ерланговиот закон тиот ред, може да се изрази преку табеларната функција за дистрибуција на Поасон:

Доколку вредноста е множител на и, тогаш гама дистрибуцијата се совпаѓа со дистрибуцијата хи-квадрат.

Забележете дека функцијата за дистрибуција на случајна променлива може да се пресмета со користење следнава формула:

каде што се определени со изразите (12) и (13).

Следствено, имаме еднаквости што ќе ни бидат корисни подоцна:

Пример.Протокот на производи произведени на транспортерот е наједноставен со параметарот. Сите произведени производи се контролираат, неисправните се ставаат во посебна кутија која може да собере не повеќе од производи, веројатноста за дефекти е еднаква на . Определете го законот за распределба на времето за полнење кутија со неисправни производи и количината , врз основа на фактот дека кутијата најверојатно нема да се прелее за време на смената.

Решение. Интензитетот на наједноставниот проток на неисправни производи ќе биде . Очигледно, времето потребно за да се наполни кутија со неисправни производи се дистрибуира според законот на Ерланг.

со параметри и:

оттука (18) и (19): ; .

Бројот на неисправни производи со текот на времето ќе се дистрибуира според законот на Поасон со параметарот . Затоа, потребниот број мора да се најде од состојбата . (20)

На пример, на [производ/ч]; ; [ч]

од равенката на

Случајна променлива со Erlang дистрибуција ги има следните нумерички карактеристики (Табела 6).

Табела 6

Забележете дека случајната променлива со нормализирана Ерланг дистрибуција од ти ред ги има следните нумерички карактеристики (Табела 7).

Табела 7

Униформа дистрибуција. Континуирана вредност X се распределува рамномернона интервалот ( а, б), ако сите негови можни вредности се на овој интервал и густината на распределбата на веројатноста е константна:

За случајна променлива X, рамномерно распоредени во интервалот ( а, б) (сл. 4), веројатноста да падне во кој било интервал ( x 1 , x 2), лежејќи во интервалот ( а, б), е еднакво на:

(30)


Ориз. 4. Парцела за густина на подеднаква дистрибуција

Примери за рамномерно распределени количини се грешките во заокружувањето. Значи, ако сите табеларни вредности на одредена функција се заокружени на иста цифра, тогаш избирајќи табеларна вредност по случаен избор, сметаме дека грешката за заокружување на избраниот број е случајна променлива рамномерно распределена во интервалот

Експоненцијална дистрибуција. Континуирана случајна променлива XТоа има експоненцијална распределба

(31)

Графикот на густината на веројатноста (31) е претставен на сл. 5.

Ориз. 5. Заплет на густина на експоненцијална распределба

Време ТРаботата без дефекти на компјутерски систем е случајна променлива која има експоненцијална распределба со параметарот λ , чие физичко значење е просечниот број на дефекти по единица време, не сметајќи го времето на прекин на системот за поправки.

Нормална (гаусова) дистрибуција. Случајна вредност XТоа има нормално (Гаусска) дистрибуција, ако неговата густина на дистрибуција на веројатност е одредена од зависноста:

(32)

Каде м = М(X) , .

На се нарекува нормална дистрибуција стандарден.

Графикот на густина на нормалната дистрибуција (32) е претставен на сл. 6.

Ориз. 6. Парцела за густина на нормална дистрибуција

Нормалната дистрибуција е најчеста распределба кај различни случајни природни феномени. Така, грешки при извршување на команди од автоматизиран уред, грешки при лансирање на вселенско летало во дадена точкапростор, грешки во параметрите на компјутерскиот систем итн. во повеќето случаи имаат нормални или блиски до нормална дистрибуција. Покрај тоа, случајните променливи формирани со собирање на голем број случајни членови се распределени речиси според нормален закон.

Гама дистрибуција. Случајна вредност XТоа има гама дистрибуција, ако неговата густина на дистрибуција на веројатност е изразена со формулата:

(33)

Каде - Ојлерова гама функција.

Гама дистрибуција

Дистрибуцијата на гама е дистрибуција со два параметри. Зазема прилично важно место во теоријата и практиката на доверливост. Густината на дистрибуција е ограничена на едната страна (). Ако параметарот a од обликот на кривата на дистрибуција има цел број, тоа укажува на веројатноста да се случат ист број настани (на пример, неуспеси)

под услов да се независни и да се појавуваат со постојан интензитет λ (види Сл. 4.4).

Дистрибуцијата на гама е широко користена за да се опише појавата на дефекти на елементите кои стареат, времето на обновување и времето помеѓу дефектите на вишокот системи. За различни параметри, дистрибуцијата на гама добива различни форми, што ја објаснува нејзината широка употреба.

Густината на веројатноста на дистрибуцијата на гама се определува со еднаквоста

каде λ > 0, α > 0.

Кривите на густината на дистрибуцијата се прикажани на сл. 4.5.

Ориз. 4.5.

Дистрибутивна функција

Очекувањата и варијансата се еднакви соодветно

На α< 1 интенсивность отказов монотонно убывает, что соответствует периоду приработки изделия, при α >1 – се зголемува, што е типично за периодот на абење и стареење на елементите.

При α = 1, дистрибуцијата на гама се совпаѓа со експоненцијалната распределба; при α > 10, гама распределбата се приближува до нормалниот закон. Ако a ги земе вредностите на произволни позитивни цели броеви, тогаш се нарекува таква дистрибуција на гама Erlang дистрибуција.Ако λ = 1/2, а вредноста на a е повеќекратна од 1/2, тогаш дистрибуцијата на гама се совпаѓа со распределбата χ2 ( хи-квадрат).

Воспоставување на функцијата за дистрибуција на показателите за доверливост врз основа на резултатите од обработката на статистички информациски податоци

Најкомплетната карактеристика на доверливоста на сложениот систем е закон за дистрибуција,изразена како функција на дистрибуција, густина на дистрибуцијаили функции на доверливост.

Формата на функцијата теоретска дистрибуција може да се процени со емпириската функција на дистрибуција (сл. 4.6), која е одредена од релацијата

Каде Т, -број на неуспеси по временски интервал т; N -опсег на тестирање; тјас < t < t јас+1 – временскиот интервал низ кој се одредува емпириската функција.

Ориз. 4.6.

Емпириската функција се конструира со собирање на зголемувањата добиени во секој временски интервал:

Каде k -број на интервали.

Функцијата за емпириска доверливост е спротивна од функцијата на дистрибуција; се одредува со формулата

Проценката на густината на веројатноста се наоѓа од хистограмот. Конструкцијата на хистограм се сведува на следново. Целиот временски опсег тподелени во интервали т 1, т 2, ..., т i и за секој од нив густината на веројатноста се проценува со помош на формулата

Каде Тјас – број на неуспеси по јас-ти интервал, јас = 1, 2,..., k; (тјас + 1 - тз) – временски период јас-ти интервал; Н– обем на тестови; к– број на интервали.

Пример за хистограм е прикажан на сл. 4.7.

Ориз. 4.7.

Измазнување на чекор хистограм во мазна крива, но неговиот изглед може да се процени за законот за распределба на случајна променлива. Во пракса, за да ја измазнуваат кривата, на пример, тие често го користат методот најмали квадрати. За попрецизно да се утврди законот за распределба, потребно е бројот на интервали да биде најмалку пет, а бројот на реализирања што спаѓаат во секој интервал да биде најмалку десет.

Несогласувања во разбирањето на терминологијата за доверливост

Проблемот со терминологијата е доста сложен во различни области на науката и воопшто на човековата активност. Познато е дека споровите за термините траат многу векови. Ако ги погледнете преводите на песните, можете да видите јасна потврда на оваа идеја. На пример, преводите на таквото светски познато ремек дело како „Хамлет“ од Б. Л. Пастернак и П. P. Gnedich се многу различни. Во првиот од нив, значењето на трагедијата ја надминува музиката на стихот, за разлика од вториот. И оригиналниот „Хамлет“, напишан на јазикот од 16 век, е тешко разбирлив за неангличаните, но и за Англичаните, бидејќи самиот јазик еволуирал многу во текот на неколку векови, како, всушност, секој друг јазикот во согласност со законот за синхронизам-десинхронизам.

Слична слика е забележана и во светските религии. Преводот на Библијата од црковнословенски на руски, кој траеше 25 години, ги „разведе“ (до тој степен да го запре преводот) свети Филарет Московски (Дроздов) и најголемиот црковен писател - свети Теофан Осаменик (објавување од неговите собрани дела во 42 тома се планира во блиска иднина). Преводите и појаснувањата на „книгата со книги“ од Библијата ги „префрлаат“ луѓето во логорите на непомирливите непријатели во животот во нашиот свет. Се раѓаат секти, еретици и херои, понекогаш се пролева и крв. И бројните преводи на руски на фундаменталното дело на Имануел Кант во областа на филозофијата „Критика на чистиот разум“ само ја зајакнуваат валидноста на нашата теза за сложеноста на проблемот со терминологијата (супер-голем систем) во различни области на науката и човековата активност. генерално.

Во областа на науката и технологијата се случуваат антиномски појави. Едно од решенијата на проблемот за обезбедување на исправност и соодветност на терминологијата беше наведено од Г. Лајбниц. Тој е во однос на развојот на науката и технологијата во 17 век. предложи да се стави крај на споровите со дефинирање на термини користејќи универзален јазик во дигитална форма (0011...).

Забележете дека во науката за доверливост, начинот на дефинирање на поимите традиционално се одлучува на државно ниво со користење државни стандарди(ГОСТ). Сепак, појавата на сè поинтелигентни технички системи, интеракцијата и зближувањето на живите и неживите објекти кои функционираат во нив, поставува нови, многу тешки задачи за наставата по педагогија и психологија и нè принудува да бараме креативни компромисни решенија.

За некој што е зрел и има работено во специфично научна област, а особено во областа на доверливоста на вработените, релевантноста на терминолошките прашања е несомнена. Како што напиша Готфрид Вилхелм Лајбниц (во неговата работа за создавање на универзален јазик), би имало помалку контроверзии доколку се дефинираат поимите.

Ќе се обидеме да ги израмниме несогласувањата во разбирањето на терминологијата за доверливост со следните коментари.

Велиме „функција на дистрибуција“ (DF), испуштајќи го зборот „операција“ или „неуспех“. Работното време најчесто се сфаќа како категорија на време. За системи што не можат да се поправат, поправилно е да се каже - интегрално FR време до дефект, а за системи што може да се поправат - време до дефект. И бидејќи времето на работа најчесто се сфаќа како случајна променлива, се користи идентификацијата на веројатноста за работа без дефект (FBO) и (1 – FR), наречена во овој случај функцијата на доверливост (RF). Интегритетот на овој пристап се постигнува преку комплетна група на настани. Потоа

FBG = FN = 1 – FR.

Истото важи и за густината на дистрибуција (DP), која е првиот дериват на DF, особено во однос на времето, и, фигуративно кажано, ја карактеризира „стапката“ на појава на дефекти.

Комплетноста на описот на доверливоста на производот (особено, за производите за еднократна употреба), вклучувајќи ја и динамиката на стабилноста на однесувањето, се карактеризира со стапката на неуспех преку односот на PR и FBG и физички се сфаќа како промена во состојбата на производот, а математички се воведува во теоријата на редици преку концептот на неуспешниот тек и низа претпоставки во однос на самите дефекти (стационарност, обичност и сл.).

Оние кои се заинтересирани за овие прашања што се појавуваат при изборот на индикатори за доверливост во фазата на дизајнирање на производот, можат да се наведат на делата на такви еминентни автори како А.М. Половко, Б.В. Гнеденко, Б.Р. , како и А. Ја. Хинчин, Е.

• Цм.: Колмогоров А.Н.Основни концепти на теоријата на веројатност. М.: Мир, 1974 година.