Ајде да видиме како да испитаме функција користејќи график. Излегува дека гледајќи го графикот, можеме да дознаеме сè што не интересира, имено:

• домен на функција
• опсег на функции
• функција нули
• интервали на зголемување и намалување
• максимални и минимални поени
• најголемата и најмалата вредност на функцијата на отсечка.

Ајде да ја разјасниме терминологијата:

Апсцисае хоризонталната координата на точката.
Ординација- вертикална координата.
Оска на апсциса- хоризонталната оска, најчесто наречена оска.
Y оска- вертикална оска, или оска.

Аргумент- независна променлива од која зависат вредностите на функцијата. Најчесто индициран.
Со други зборови, избираме , ги заменуваме функциите во формулата и добиваме .

Домен на дефиницијафункции - збир на оние (и само оние) вредности на аргументи за кои постои функцијата.
Назначено со: или .

На нашата слика, доменот на дефинирање на функцијата е сегментот. Токму на овој сегмент е нацртан графикот на функцијата. Ова е единственото место каде што постои оваа функција.

Опсег на функциие збир на вредности што ги зема променливата. Во нашата фигура, ова е сегмент - од најниската до највисоката вредност.

Функција нули- точки каде вредноста на функцијата е нула, т.е. На нашата слика тоа се точки и .

Вредностите на функциите се позитивникаде . Во нашата слика тоа се интервалите и .
Вредностите на функциите се негативникаде . За нас, ова е интервалот (или интервалот) од до .

Клучни концепти - функцијата за зголемување и намалувањена некој сет. Како множество, можете да земете сегмент, интервал, унија на интервали или целата нумеричка права.

Функција се зголемува

Со други зборови, колку повеќе, толку повеќе, односно графикот оди надесно и нагоре.

Функција се намалувана множество ако за кое било и припаѓа на множеството, неравенството ја подразбира неравенката .

За опаѓачка функција, поголема вредност одговара на помала вредност. Графикот оди надесно и надолу.

На нашата слика, функцијата се зголемува на интервалот и се намалува на интервалите и .

Ајде да дефинираме што е тоа максимални и минимални точки на функцијата.

Максимална точка- ова е внатрешна точка од доменот на дефиниција, таква што вредноста на функцијата во неа е поголема отколку во сите точки доволно блиску до неа.
Со други зборови, максимална точка е точка во која вредноста на функцијата повеќеотколку во соседните. Ова е локален „рид“ на табелата.

Во нашата фигура има максимална точка.

Минимална точка- внатрешна точка на доменот на дефиниција, таква што вредноста на функцијата во неа е помала отколку во сите точки доволно блиску до неа.
Односно, минималната точка е таква што вредноста на функцијата во неа е помала отколку кај нејзините соседи. Ова е локална „дупка“ на графикот.

Во нашата фигура има минимална точка.

Поентата е границата. Тоа не е внатрешна точка на доменот на дефиниција и затоа не одговара на дефиницијата за максимална точка. На крајот на краиштата, таа нема соседи лево. На ист начин, на нашата табела не може да има минимална точка.

Максималните и минималните поени заедно се нарекуваат екстремни точки на функцијата. Во нашиот случај ова е и .

Што да направите ако треба да најдете, на пример, минимална функцијана сегментот? ВО во овој случајодговор: . Бидејќи минимална функцијае неговата вредност на минималната точка.

Слично на тоа, максимумот на нашата функција е . Се постигнува во точка.

Можеме да кажеме дека екстремите на функцијата се еднакви на и .

Понекогаш проблемите бараат наоѓање најголемите и најмалите вредности на функцијатана даден сегмент. Тие не мора да се совпаѓаат со крајностите.

Во нашиот случај најмала функционална вредностна отсечката е еднаква и се совпаѓа со минимумот на функцијата. Но, неговата најголема вредност на овој сегмент е еднаква на . Се постигнува на левиот крај на сегментот.

Во секој случај, најголемите и најмалите вредности континуирана функцијана отсечка се постигнуваат или на крајните точки или на краевите на отсечката.

Со оглед на методолошки материјале само за референца и се однесува на широк опсег на теми. Статијата дава преглед на графиконите на основните елементарни функции и се осврнува на најважното прашање - како правилно и БРЗО да се изгради графикон. Во текот на изучувањето на вишата математика без познавање на основни графикони елементарни функцииЌе биде тешко, па затоа е многу важно да се запамети како изгледаат графиците на параболата, хиперболата, синусот, косинусот итн. и да запомните некои од вредностите на функцијата. Ќе зборуваме и за некои својства на главните функции.

Не тврдам комплетност и научна темелност на материјалите акцентот ќе биде ставен, пред сè, на практиката - оние работи со кои се среќава буквално на секој чекор, во која било тема од вишата математика. Табели за кукли? Може да се каже така.

Поради многубројните барања на читателите табела со содржина што може да се кликне:

Во продолжение има ултракраток синопсис на темата
– совладајте 16 видови графикони со проучување на ШЕСТ страници!

Сериозно, шест, дури и јас бев изненаден. Ова резиме содржи подобрена графика и е достапно за номинална такса, може да се види демо верзија. Удобно е да се испечати датотеката така што графиконите се секогаш при рака. Ви благодариме за поддршката на проектот!

И да почнеме веднаш:

Како правилно да се конструираат координатни оски?

Во пракса, тестовите речиси секогаш ги пополнуваат учениците во посебни тетратки, наредени на квадрат. Зошто ви се потребни карирани ознаки? На крајот на краиштата, работата, во принцип, може да се направи на листови А4. А кафезот е неопходен само за висококвалитетен и прецизен дизајн на цртежи.

Секое цртање на графикон на функции започнува со координатни оски .

Цртежите можат да бидат дводимензионални или тридимензионални.

Ајде прво да го разгледаме дводимензионалниот случај Декартов правоаголен координатен систем:

1) Нацртај координатни оски. Оската се нарекува x-оска , а оската е y-оска . Секогаш се трудиме да ги нацртаме уредно и не криво. Стрелките исто така не треба да личат на брадата на Папа Карло.

2) Ги потпишуваме оските со големи букви „X“ и „Y“. Не заборавајте да ги означите секирите.

3) Поставете ја скалата по оските: нацртајте нула и два. Кога правите цртеж, најзгодната и најчесто користена скала е: 1 единица = 2 ќелии (цртеж лево) - ако е можно, држете се до неа. Меѓутоа, одвреме-навреме се случува цртежот да не се вклопи на листот на тетратката - тогаш ја намалуваме скалата: 1 единица = 1 ќелија (цртеж од десната страна). Тоа е ретко, но се случува обемот на цртежот да се намали (или да се зголеми) уште повеќе

НЕМА ПОТРЕБА од „митралез“…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,….За координатна рамнинане е споменик на Декарт, а студентот не е гулаб. Ставивме нулаИ две единици долж оските. Понекогаш наместоединици, погодно е да се „означат“ други вредности, на пример, „два“ на оската на апсцисата и „три“ на оската на ординатите - и овој систем (0, 2 и 3) исто така уникатно ќе ја дефинира координатната мрежа.

Подобро е да се проценат проценетите димензии на цртежот ПРЕД да се конструира цртежот. Така, на пример, ако задачата бара цртање триаголник со темиња , , , тогаш е сосема јасно дека популарната скала од 1 единица = 2 ќелии нема да работи. Зошто? Ајде да ја погледнеме поентата - тука ќе треба да измерите петнаесет сантиметри надолу, и, очигледно, цртежот нема да се вклопи (или едвај се вклопува) на лист од тетратка. Затоа, веднаш избираме помала скала: 1 единица = 1 ќелија.

Патем, околу сантиметри и тетратки ќелии. Дали е вистина дека 30 ќелии за тетратки содржат 15 сантиметри? За забава измерете 15 сантиметри во тетратката со линијар. Во СССР ова можеби беше точно... Интересно е да се забележи дека ако ги измерите истите овие сантиметри хоризонтално и вертикално, резултатите (во ќелиите) ќе бидат различни! Строго кажано, модерните тетратки не се карирани, туку правоаголни. Ова може да изгледа бесмислено, но цртањето, на пример, круг со компас во такви ситуации е многу незгодно. Да бидам искрен, во такви моменти почнувате да размислувате за исправноста на другарот Сталин, кој беше испратен во кампови за хакерска работа во производството, а да не зборуваме за домашната автомобилска индустрија, паѓање авиони или експлозии на електрани.

Зборувајќи за квалитет, или кратка препорака за канцелариски материјал. Денес, повеќето од тетратките што се во продажба се, во најмала рака, целосна глупост. Од причина што се навлажнуваат, и тоа не само од гел пенкала, туку и од хемиско пенкала! Заштедуваат пари на хартија. За регистрација тестовиПрепорачувам да користите тетратки од Архангелската фабрика за пулпа и хартија (18 листови, квадрат) или „Пјатерочка“, иако е поскапа. Препорачливо е да изберете гел пенкало, дури и најевтиниот кинески гел за полнење е многу подобар од хемиско пенкало, кое или ја размачка или кине хартијата. Единственото „конкурентно“ хемиско пенкало на кое можам да се сетам е Ерих Краузе. Таа пишува јасно, убаво и доследно – дали со полно јадро или со речиси празно.

Дополнително: Гледање на правоаголен координатен систем со очите аналитичка геометријаопфатени во статијата Линеарна (не) зависност на вектори. Основа на вектори, детални информацииза координатни четвртини може да се најде во вториот пасус од часот Линеарни неравенки.

3D куќиште

Овде е скоро исто.

1) Нацртај координатни оски. Стандард: оската се применуваат – насочена нагоре, оска – насочена надесно, оска – насочена надолу налево строгопод агол од 45 степени.

2) Обележете ги оските.

3) Поставете ја скалата долж оските. Скалата долж оската е два пати помала од скалата долж другите оски. Исто така, забележете дека во десниот цртеж користев нестандарден "засек" по должината на оската (оваа можност е веќе спомената погоре). Од моја гледна точка, ова е попрецизно, побрзо и естетски попријатно - нема потреба да се бара средината на клетката под микроскоп и да се „изваја“ единица блиску до потеклото на координатите.

Кога правите 3D цртеж, повторно, дајте приоритет на размерот
1 единица = 2 ќелии (цртеж лево).

За што се сите овие правила? Правилата се направени за да се прекршат. Тоа е она што ќе го направам сега. Факт е дека следните цртежи на статијата ќе ги направам јас во Excel, а координатните оски ќе изгледаат неточни од гледна точка правилен дизајн. Би можел да ги нацртам сите графикони со рака, но всушност е страшно да ги нацртам бидејќи Excel не сака да ги нацрта многу попрецизно.

Графикони и основни својства на елементарните функции

Линеарна функција е дадена со равенката. Графикот на линеарни функции е директно. За да се изгради права линија, доволно е да се знаат две точки.

Пример 1

Конструирај график на функцијата. Ајде да најдеме две точки. Поволно е да се избере нула како една од точките.

Ако, тогаш

Да земеме друга точка, на пример, 1.

Ако, тогаш

При завршувањето на задачите, координатите на точките обично се сумираат во табела:

И самите вредности се пресметуваат усно или на нацрт, калкулатор.

Пронајдени се две точки, ајде да направиме цртеж:

Кога подготвуваме цртеж, секогаш ја потпишуваме графиката.

Би било корисно да се потсетиме на посебни случаи на линеарна функција:

Забележете како ги ставив потписите, потписите не треба да дозволуваат несовпаѓања при проучување на цртежот. Во овој случај, беше крајно непожелно да се стави потпис до точката на вкрстување на линиите или долу десно помеѓу графиконите.

1) Линеарна функција од формата () се нарекува директна пропорционалност. На пример,. Графикот на директна пропорционалност секогаш поминува низ потеклото. Така, конструирањето права линија е поедноставено - доволно е да се најде само една точка.

2) Равенката на формата одредува права линија паралелна на оската, особено самата оска е дадена со равенката. Графикот на функцијата се исцртува веднаш, без да се најдат точки. Односно, записот треба да се разбере на следниов начин: „y е секогаш еднаков на –4, за која било вредност на x“.

3) Равенката на формата одредува права линија паралелна на оската, особено самата оска е дадена со равенката. Веднаш се исцртува и графикот на функцијата. Влезот треба да се разбере на следниов начин: „x е секогаш, за која било вредност на y, еднаква на 1“.

Некои ќе прашаат, зошто се сеќавате на 6-то одделение?! Така е, можеби е така, но со текот на годините на пракса запознав десетина студенти кои беа збунети од задачата да конструираат график како или.

Конструирањето права линија е најчестото дејство при изработка на цртежи.

Правата линија е детално дискутирана во текот на аналитичката геометрија, а заинтересираните можат да се повикаат на статијата Равенка на права линија на рамнина.

График на квадратна, кубна функција, график на полином

Парабола. Распоред квадратна функција () претставува парабола. Размислете за познатиот случај:

Да се ​​потсетиме на некои својства на функцијата.

Значи, решението на нашата равенка: – токму во оваа точка се наоѓа темето на параболата. Зошто е тоа така може да се дознае од теоретскиот напис за изводот и лекцијата за екстреми на функцијата. Во меѓувреме, да ја пресметаме соодветната вредност на „Y“:

Така, темето е во точката

Сега наоѓаме други точки, додека дрско ја користиме симетријата на параболата. Треба да се напомене дека функцијата – не е дури, но, сепак, никој не ја откажал симетријата на параболата.

По кој редослед да се најдат преостанатите бодови, мислам дека ќе биде јасно од конечната табела:

Овој конструктивен алгоритам фигуративно може да се нарече „шатл“ или принцип „напред и назад“ со Анфиса Чехова.

Ајде да го направиме цртежот:

Од испитаните графикони, на ум ми доаѓа уште една корисна карактеристика:

За квадратна функција () точно е следново:

Ако , тогаш гранките на параболата се насочени нагоре.

Ако , тогаш гранките на параболата се насочени надолу.

Продлабочено знаење за кривата може да се добие на часот Хипербола и парабола.

Со функцијата е дадена кубна парабола. Еве еден цртеж познат од училиштето:

Да ги наведеме главните својства на функцијата

График на функција

Претставува една од гранките на параболата. Ајде да го направиме цртежот:

Главните својства на функцијата:

Во овој случај, оската е вертикална асимптота за графикот на хипербола на .

Би било ГРУМА грешка ако при изготвувањето на цртежот безгрижно дозволите графикот да се вкрсти со асимптота.

Исто така едностраните граници ни кажуваат дека хиперболата не е ограничен одозгораИ не е ограничен одоздола.

Ајде да ја испитаме функцијата во бесконечност: , односно, ако почнеме да се движиме по оската лево (или десно) до бесконечност, тогаш „игрите“ ќе бидат уреден чекор бескрајно блискупристап до нула, и, соодветно, гранките на хиперболата бескрајно блискусе приближи до оската.

Значи, оската е хоризонтална асимптота за графикот на функцијата, ако „x“ се стреми кон плус или минус бесконечност.

Функцијата е чудно, и, според тоа, хиперболата е симетрична во однос на потеклото. Овој факт е очигледен од цртежот, покрај тоа, лесно се проверува аналитички: .

Графикот на функција од формата () претставува две гранки на хипербола.

Ако , тогаш хиперболата се наоѓа во првата и третата координатна четвртина(види слика погоре).

Ако , тогаш хиперболата се наоѓа во втората и четвртата координатна четвртина.

Посочената шема на престој на хипербола е лесно да се анализира од гледна точка на геометриските трансформации на графиконите.

Пример 3

Конструирај ја десната гранка на хиперболата

Ние го користиме методот на градење по точка, и поволно е да се изберат вредностите така што тие се деливи со целина:

Ајде да го направиме цртежот:

Нема да биде тешко да се конструира левата гранка на хиперболата, тука ќе помогне необичноста на функцијата. Грубо кажано, во табелата за конструкција на точка, ментално додаваме минус на секој број, ги ставаме соодветните точки и ја цртаме втората гранка.

Детални геометриски информации за разгледуваната линија може да се најдат во статијата Хипербола и парабола.

График на експоненцијална функција

ВО овој ставВеднаш ќе ја разгледам експоненцијалната функција, бидејќи во проблемите на вишата математика во 95% од случаите се појавува експоненцијалната.

Дозволете ми да ве потсетам дека ова е ирационален број: , ова ќе биде потребно при конструирање график, кој, всушност, ќе го изградам без церемонија. Три бода се веројатно доволни:

Ајде да го оставиме графикот на функцијата сам за сега, повеќе за него подоцна.

Главните својства на функцијата:

Графиконите на функции, итн., изгледаат фундаментално исто.

Морам да кажам дека вториот случај се јавува поретко во пракса, но се случува, па затоа сметав дека е неопходно да го вклучам во оваа статија.

График на логаритамска функција

Размислете за функција со природен логаритам.
Ајде да направиме цртеж точка-по-точка:

Ако сте заборавиле што е логаритам, ве молиме погледнете ги вашите училишни учебници.

Главните својства на функцијата:

Домен на дефиниција:

Опсег на вредности: .

Функцијата не е ограничена одозгора: иако бавно, гранката на логаритмот оди до бесконечност.
Да го испитаме однесувањето на функцијата близу нула десно: . Значи, оската е вертикална асимптота за графикот на функција како „x“ се стреми кон нула од десно.

Неопходно е да се знае и да се запамети типичната вредност на логаритамот: .

Во принцип, графикот на логаритамот до основата изгледа исто: , , (децимален логаритам до основата 10) итн. Згора на тоа, колку е поголема основата, графикот ќе биде порамен.

Ние нема да го разгледаме случајот, не се сеќавам кога последен пат изградив графикон со таква основа. А логаритамот се чини дека е многу редок гостин во проблемите од вишата математика.

На крајот од овој став ќе кажам уште еден факт: Експоненцијална функција и логаритамска функција- двете се заеднички инверзни функции . Ако внимателно го погледнете графикот на логаритмот, можете да видите дека ова е истиот експонент, само што се наоѓа малку поинаку.

Графикони на тригонометриски функции

Каде започнува тригонометриското мачење на училиште? Во право. Од синус

Ајде да ја нацртаме функцијата

Оваа линија се нарекува синусоид.

Да те потсетам дека „пи“ е ирационален број: , а во тригонометријата ти ги заслепува очите.

Главните својства на функцијата:

Оваа функцијае периодичнисо период . Што значи тоа? Да го погледнеме сегментот. Лево и десно од него, точно истото парче од графиконот се повторува бескрајно.

Домен на дефиниција: , односно за која било вредност на „x“ има синусна вредност.

Опсег на вредности: . Функцијата е ограничен: , односно, сите „игри“ се строго во сегментот .
Ова не се случува: или, поточно, се случува, но овие равенки немаат решение.

1. Дробна линеарна функција и нејзиниот график

Функција од формата y = P(x) / Q(x), каде што P(x) и Q(x) се полиноми, се нарекува фракциона рационална функција.

Веројатно веќе сте запознаени со концептот на рационални броеви. Исто така рационални функциисе функции кои можат да се претстават како количник на два полиноми.

Ако фракционата рационална функција е количник од два линеарни функции– полиноми од прв степен, т.е. функција на формата

y = (ax + b) / (cx + d), тогаш се нарекува фракционо линеарно.

Забележете дека во функцијата y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (во спротивно функцијата станува линеарна y = ax/d + b/d) и дека a/c ≠ b/d (инаку функцијата е константна). Линеарната фракциона функција е дефинирана за сите реални броеви освен x = -d/c. Графиконите на дробните линеарни функции не се разликуваат по форма од графикот y = 1/x што го знаете. Се повикува крива која е график на функцијата y = 1/x хипербола. Со неограничено зголемување на x во апсолутна вредност, функцијата y = 1/x се намалува неограничено во апсолутна вредност и двете гранки на графикот се приближуваат до апсцисата: десната се приближува одозгора, а левата одоздола. Линиите до кои се приближуваат гранките на хиперболата се нарекуваат нејзини асимптоти.

Пример 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Решение.

Да го избереме целиот дел: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Сега е лесно да се види дека графикот на оваа функција е добиен од графикот на функцијата y = 1/x со следните трансформации: поместување за 3 единични сегменти надесно, растегнување по оската Oy 7 пати и поместување за 2 единечни сегменти нагоре.

Секоја дропка y = (ax + b) / (cx + d) може да се напише на сличен начин, истакнувајќи го „целобројниот дел“. Следствено, графиците на сите дробни линеарни функции се хиперболи, поместени на различни начини по координатните оски и протегани по оската Oy.

За да се конструира график на која било произволна фракционо-линеарна функција, воопшто не е неопходно да се трансформира дропот што ја дефинира оваа функција. Бидејќи знаеме дека графикот е хипербола, доволно е да ги најдеме правите линии до кои се приближуваат неговите гранки - асимптоти на хиперболата x = -d/c и y = a/c.

Пример 2.

Најдете ги асимптотите на графикот на функцијата y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функцијата не е дефинирана, при x = -1. Тоа значи дека правата линија x = -1 служи како вертикална асимптота. За да ја пронајдеме хоризонталната асимптота, ајде да дознаеме до какви вредности се приближуваат функцијата y(x) кога аргументот x се зголемува во апсолутна вредност.

За да го направите ова, поделете го броителот и именителот на дропката со x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Како x → ∞ дропот ќе се стреми кон 3/2. Ова значи дека хоризонталната асимптота е права линија y = 3/2.

Пример 3.

Графиконирајте ја функцијата y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Да го избереме „целиот дел“ од дропката:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Сега е лесно да се види дека графикот на оваа функција е добиен од графикот на функцијата y = 1/x со следните трансформации: поместување за 1 единица налево, симетричен приказ во однос на Ox и поместување за 2 единици отсечки нагоре по оската Oy.

Домен D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Опсег на вредности E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Пресечни точки со оски: c Oy: (0; 1); в Вол: (-1/2; 0). Функцијата се зголемува на секој интервал од доменот на дефиниција.

Одговор: Слика 1.

2. Дробна рационална функција

Размислете за фракциона рационална функција од формата y = P(x) / Q(x), каде што P(x) и Q(x) се полиноми со степен повисок од првиот.

Примери за такви рационални функции:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ако функцијата y = P(x) / Q(x) претставува количник на два полиноми со степен повисок од првиот, тогаш нејзиниот график, по правило, ќе биде покомплексен и понекогаш може да биде тешко да се конструира точно , со сите детали. Сепак, често е доволно да се користат техники слични на оние што веќе ги воведовме погоре.

Дропката нека е правилна дропка (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Очигледно, графикот на фракционата рационална функција може да се добие како збир на графикони на елементарни дропки.

Подготвување графикони на дробни рационални функции

Да разгледаме неколку начини за конструирање графикони на фракциона рационална функција.

Пример 4.

Нацртај графикон на функцијата y = 1/x 2 .

Решение.

Го користиме графикот на функцијата y = x 2 за да конструираме график од y = 1/x 2 и ја користиме техниката на „делење“ на графиконите.

Домен D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Опсег на вредности E(y) = (0; +∞).

Нема точки на вкрстување со оските. Функцијата е изедначена. Се зголемува за сите x од интервалот (-∞; 0), се намалува за x од 0 на +∞.

Одговор: Слика 2.

Пример 5.

Графикувајте ја функцијата y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Решение.

Домен D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Овде ја користевме техниката на факторизација, редукција и редукција до линеарна функција.

Одговор: Слика 3.

Пример 6.

Графикувајте ја функцијата y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Решение.

Доменот на дефиниција е D(y) = R. Бидејќи функцијата е парна, графикот е симетричен во однос на ординатата. Пред да изградиме график, да го трансформираме изразот повторно, истакнувајќи го целиот дел:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Забележете дека изолирањето на целобројниот дел во формулата на фракциона рационална функција е едно од главните при конструирање графикони.

Ако x → ±∞, тогаш y → 1, т.е. правата линија y = 1 е хоризонтална асимптота.

Одговор: Слика 4.

Пример 7.

Да ја разгледаме функцијата y = x/(x 2 + 1) и да се обидеме точно да ја најдеме нејзината најголема вредност, т.е. највисоката точка на десната половина од графиконот. За прецизно конструирање на овој график, денешното знаење не е доволно. Очигледно, нашата крива не може да се „издигне“ многу високо, затоа што именителот брзо почнува да го „престигнува“ броителот. Ајде да видиме дали вредноста на функцијата може да биде еднаква на 1. За да го направиме ова, треба да ја решиме равенката x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Оваа равенка нема вистински корени. Ова значи дека нашата претпоставка е неточна. За да ја пронајдете најголемата вредност на функцијата, треба да откриете на кое најголемо A решение ќе има равенката A = x/(x 2 + 1). Да ја замениме првобитната равенка со квадратна: Аx 2 – x + А = 0. Оваа равенка има решение кога 1 – 4А 2 ≥ 0. Од тука наоѓаме највисока вредност A = 1/2.

Одговор: Слика 5, max y(x) = ½.

Сè уште имате прашања? Не знаете како да графиконите функции?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
Првата лекција е бесплатна!

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.

Националниот истражувачки универзитет

Катедра за применета геологија

Апстракт на виша математика

На тема: „Основни елементарни функции,

нивните својства и графикони“

Завршено:

Проверено:

учител

Дефиниција. Функција, дадена со формулата y=a x (каде a>0, a≠1) се нарекува експоненцијална функција со основа a.

Дозволете ни да ги формулираме главните својства експоненцијална функција:

1. Доменот на дефиниција е множеството (R) од сите реални броеви.

2. Опсег - множеството (R+) од сите позитивни реални броеви.

3. За a > 1, функцијата се зголемува по целата нумеричка права; на 0<а<1 функция убывает.

4. Е функција од општа форма.

, на интервалот xО [-3;3] , на интервалот xО [-3;3]

Функција од формата y(x)=x n, каде што n е бројот ОR, се нарекува функција на моќност. Бројот n може да добие различни вредности: и цел број и фракционо, и парни и непарни. Во зависност од ова, функцијата за напојување ќе има различна форма. Да разгледаме посебни случаи кои се функции на моќност и ги рефлектираат основните својства на овој тип на крива по следниот редослед: функција на моќност y=x² (функција со парен експонент - парабола), функција на моќност y=x³ (функција со непарен експонент - кубна парабола) и функција y=√x (x на јачината на ½) (функција со фракционен експонент), функција со негативен цел број експонент (хипербола).

Функција за напојување y=x²

1. D(x)=R – функцијата е дефинирана на целата нумеричка оска;

2. E(y)= и се зголемува на интервалот

Функција за напојување y=x³

1. Графикот на функцијата y=x³ се нарекува кубна парабола. Функцијата моќност y=x³ ги има следните својства:

2. D(x)=R – функцијата е дефинирана на целата нумеричка оска;

3. E(y)=(-∞;∞) – функцијата ги зема сите вредности во својот домен на дефиниција;

4. Кога x=0 y=0 – функцијата минува низ потеклото на координатите O(0;0).

5. Функцијата се зголемува во целиот домен на дефиниција.

6. Функцијата е непарна (симетрична во однос на потеклото).

, на интервалот xО [-3;3]

Во зависност од нумеричкиот фактор пред x³, функцијата може да биде стрмна/рамна и растечка/намалувачка.

Функција на моќност со негативен цел број експонент:

Ако експонентот n е непарен, тогаш графикот на таквата моќна функција се нарекува хипербола. Функција за моќност со целоброен негативен експонент ги има следните својства:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) за кое било n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ако n е непарен број; E(y)=(0;∞), ако n е парен број;

3. Функцијата се намалува низ целиот домен на дефиниција ако n е непарен број; функцијата се зголемува на интервалот (-∞;0) и се намалува на интервалот (0;∞) ако n е парен број.

4. Функцијата е непарна (симетрична во однос на потеклото) ако n е непарен број; Функцијата е парна ако n е парен број.

5. Функцијата минува низ точките (1;1) и (-1;-1) ако n е непарен број и низ точките (1;1) и (-1;1) ако n е парен број.

, на интервалот xО [-3;3]

Функција на моќност со фракционен експонент

Функцијата за моќност со фракционен експонент (слика) има график на функцијата прикажана на сликата. Функција за моќност со фракционо експонент ги има следните својства: (слика)

1. D(x) ОR, ако n е непарен број и D(x)= , на интервалот xО , на интервалот xО [-3;3]

Логаритамската функција y = log a x ги има следните својства:

1. Домен на дефиниција D(x)О (0; + ∞).

2. Опсег на вредности E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Функцијата не е ниту парна ниту непарна (од општа форма).

4. Функцијата се зголемува на интервалот (0; + ∞) за > 1, се намалува на (0; + ∞) за 0< а < 1.

Графикот на функцијата y = log a x може да се добие од графикот на функцијата y = a x со помош на трансформација на симетрија за правата линија y = x. Слика 9 покажува график на логаритамската функција за a > 1 и Слика 10 за 0< a < 1.

; на интервалот xО ; на интервалот xО

Се викаат функциите y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x тригонометриски функции.

Функциите y = sin x, y = tan x, y = ctg x се непарни, а функцијата y = cos x е парна.

Функција y = sin(x).

1. Домен на дефиниција D(x) ОR.

2. Опсег на вредности E(y) О [ - 1; 1].

3. Функцијата е периодична; главниот период е 2π.

4. Функцијата е непарна.

5. Функцијата се зголемува во интервали [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и се намалува на интервалите [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Графикот на функцијата y = sin (x) е прикажан на слика 11.