Географски координати. Обликот и големината на земјата. координатни системи. Висини

Поларен координатен систем утврдени со наведување на одредена точка О, наречен пол, кој произлегува од оваа точка на зракот О.А.(исто така означено како Вол), наречена поларна оска и скала за менување на должини. Дополнително, при одредување на поларен координатен систем, мора да се одреди кои ротации околу точката Осе сметаат за позитивни (на цртежите, вртењата спротивно од стрелките на часовникот обично се сметаат за позитивни).

Значи, да избереме одредена точка на рамнината (слика погоре) О(пол) и некој зрак што излегува од него Вол. Дополнително, ја означуваме единицата на скалата. Поларни координати на точка Мсе нарекуваат два броја ρ и φ, од кои првиот (поларниот радиус ρ) е еднаков на растојанието на точката Мод столбот О, а вториот (поларен агол φ, кој исто така се нарекува амплитуда) е аголот со кој зракот мора да се ротира спротивно од стрелките на часовникот Волпред да се усогласи со зракот ОМ.

Точка Мсо поларни координати ρ и φ се означени со симболот М(ρ, φ) .

Врска помеѓу поларните координати и Декартови координати

Ајде да инсталираме врска помеѓу поларните координати на точката и нејзините Декартови координати . Ќе претпоставиме дека потеклото на Декартовиот правоаголен координатен систем е на полот, а позитивната полуоска на апсцисата се совпаѓа со поларната оска. Нека поентата Мима Декартови координати xИ yи поларните координати ρ и φ Потоа

x= ρ cos φ)

y= ρ sin φ) .

Поларни координати ρ и φ на точка Мсе одредуваат со неговите Декартови координати како што следува:

За да ја пронајдете вредноста на аголот φ, треба да ги користите знаците xИ y, определи го квадрантот во кој се наоѓа точката М, и, дополнително, искористете го фактот што тангентата на аголот φ е еднаква на .

Горенаведените формули се нарекуваат формули за премин од Декартови кон поларни координати.

Проблеми за точките во поларниот координатен систем

Пример 1.

А(3; π /4) ;

Б(2; -π /2) ;

В(3; -π /3) .

Најдете ги поларните координати на точките симетрични на овие точки околу поларната оска.

Решение. Со симетрија, должината на зракот не се менува. Следствено, првата координата - должината на зракот - за точка симетрична во однос на поларната оска ќе биде иста како и за дадената точка. Како што може да се види од сликата на почетокот на часот, кога се конструира точка симетрична во однос на поларната оска, оваа точка мора да се ротира околу поларната оска со истиот агол φ. Следствено, во поларниот координатен систем, втората координата на симетричната точка ќе биде аголот за првобитната точка, земен со спротивен знак, односно -φ. Значи, поларните координати на точка симетрична на дадената во однос на поларната оска ќе се разликуваат само во втората координата, а оваа координата ќе има спротивен знак. Поларните координати на потребните симетрични точки ќе бидат како што следува:

А"(3; -π /4) ;

Б"(2; π /2) ;

В"(3; π /3) .

Пример 2.Во поларниот координатен систем, точките се дадени на рамнината

А(1; π /4) ;

Б(5; π /2) ;

В(2; -π /3) .

Најдете ги поларните координати на точките симетрични на овие точки во однос на полот.

Решение. Со симетрија, должината на зракот не се менува. Следствено, првата координата - должината на зракот - за точка симетрична во однос на полот ќе биде иста како и за дадената точка. Точка симетрична во однос на полот се добива со ротирање на почетната точка за 180 степени спротивно од стрелките на часовникот, односно за аголот π . Следствено, втората координата на точка симетрична на дадената во однос на полот се пресметува како φ + π (ако резултатот е броител поголем од именителот, тогаш од добиениот број одземе една целосна револуција, односно 2 π ). Ги добиваме следните координати на точки симетрични на податоците во однос на полот:

А"(1; 3π /4) ;

Б"(5; -π /2) ;

В"(2; 2π /3) .

Пример 3.Полот на поларниот координатен систем се совпаѓа со потеклото на Декартови правоаголни координати, а поларната оска се совпаѓа со позитивната полуоска на апсцисата. Точките се дадени во поларниот координатен систем

А(6; π /2) ;

Б(5; 0) ;

В(2; π /4) .

Најдете ги Декартовските координати на овие точки.

Решение. Ние користиме формули за премин од поларни координати во Декартови:

x= ρ cos φ)

y= ρ sin φ) .

Ги добиваме следните Декартови координати на овие точки:

А(0; 6) ;

Б(5; 0) ;

В"(√2; √2) .

Пример 4.Полот на поларниот координатен систем се совпаѓа со потеклото на Декартови правоаголни координати, а поларната оска се совпаѓа со позитивната полуоска на апсцисата. Точките се дадени во Декартов правоаголен координатен систем

А(0; 5) ;

Б(-3; 0) ;

В(√3; 1) .

Најдете ги поларните координати на овие точки.

Координатни системи кои се користат во топографијата: географски, рамни правоаголни, поларни и биполарни координати, нивната суштина и употреба

Координатисе нарекуваат аголни и линеарни величини (броеви) кои ја одредуваат положбата на точка на која било површина или во просторот.

Во топографијата се користат координатни системи кои овозможуваат наједноставно и недвосмислено да се одреди позицијата на точките површината на земјатакако од резултатите од директните мерења на теренот така и од користењето на картите. Таквите системи вклучуваат географски, рамни правоаголни, поларни и биполарни координати.

Географски координати(сл.1) - аголни вредности: географска ширина (Y) и должина (L), кои ја одредуваат положбата на објектот на површината на земјата во однос на потеклото на координатите - точката на пресек на главниот меридијан (Гринвич) со екваторот. На карта, географската мрежа е означена со скала од сите страни на рамката на картата. Западната и источната страна на рамката се меридијани, а северната и јужната страна се паралелни. Во аглите на листот на картата се запишани географските координати на точките на пресек на страните на рамката.

Ориз. 1. Систем на географски координати на површината на земјата

Во географскиот координатен систем, позицијата на која било точка на површината на земјата во однос на потеклото на координатите се одредува во аголна мерка. Кај нас и во повеќето други земји како почеток се зема точката на пресек на првиот (Гринвич) меридијан со екваторот. Со оглед на тоа што е униформен за целата наша планета, системот на географски координати е погоден за решавање проблеми со одредување меѓусебна позицијаобјекти лоцирани на значителни растојанија едни од други.

Затоа, во воените работи овој систем се користи главно за спроведување на пресметки поврзани со употребата на борбено оружје. долг дострел, на пример, балистички ракети, авијација итн.

Рамни правоаголни координати(Слика 2) - линеарни величини што ја одредуваат положбата на објектот на рамнина во однос на прифатениот почеток на координатите - пресекот на две меѓусебно нормални линии ( координатни оски X и Y).

Во топографијата, секоја зона од 6 степени има свој систем на правоаголни координати. Оската X е аксијален меридијан на зоната, оската Y е екваторот, а точката на пресек на аксијалниот меридијан со екваторот е потеклото на координатите.

Ориз. 2. Систем на рамни правоаголни координати на карти

Рамничниот правоаголен координатен систем е зонски; тој е воспоставен за секоја зона од шест степени во која е поделена површината на Земјата кога се прикажува на мапи во Гаусовата проекција и е наменета да ја означи положбата на сликите на точките на земјината површина на рамнина (карта) во оваа проекција. .

Потеклото на координатите во зоната е точката на пресек на аксијалниот меридијан со екваторот, во однос на која положбата на сите други точки во зоната се одредува во линеарна мерка. Потеклото на зоната и нејзините координатни оски заземаат строго дефинирана положба на површината на земјата. Според тоа, системот на рамни правоаголни координати на секоја зона е поврзан и со координатните системи на сите други зони и со системот на географски координати.

Употребата на линеарни количини за одредување на положбата на точките го прави системот на рамни правоаголни координати многу удобен за извршување на пресметките и при работа на земја и на карта. Затоа, овој систем најмногу се користи меѓу војниците. Правоаголните координати ја означуваат положбата на точките на теренот, нивните борбени формации и цели и со нивна помош ја одредуваат релативната положба на објектите во една координатна зона или во соседните области на две зони.

Поларни и биполарни координатни системисе локални системи. Во воената практика, тие се користат за одредување на положбата на некои точки во однос на другите во релативно мали области на теренот, на пример, при означување на цели, обележување знаменитости и цели, изготвување теренски дијаграми итн. Овие системи може да се поврзат со системи на правоаголни и географски координати.

Ако воведеме координатен систем на рамнина или во тродимензионален простор, ќе можеме да опишеме геометриски формии нивните својства користејќи равенки и неравенки, односно ќе можеме да користиме алгебарски методи. Затоа, концептот на координатен систем е многу важен.

Во оваа статија ќе покажеме како се дефинира правоаголен Декартов координатен систем на рамнина и во тродимензионален простор и ќе откриеме како се одредуваат координатите на точките. За јасност, обезбедуваме графички илустрации.

Навигација на страница.

Правоаголен Декартов координатен систем на рамнина.

Дозволете ни да воведеме правоаголен координатен систем на рамнината.

За да го направите ова, нацртајте две меѓусебно нормални линии на рамнината и изберете на секоја од нив позитивна насока, означувајќи го со стрелка и изберете на секоја од нив скала(единица должина). Да ја означиме точката на пресек на овие прави со буквата О и да ја разгледаме почетна точка. Така добивме правоаголен координатен системво авион.

Се нарекува секоја од правите со избрано потекло О, насока и размер координатна линијаили координатна оска.

Правоаголен координатен систем на рамнина обично се означува со Oxy, каде што Ox и Oy се неговите координатни оски. Се нарекува оската Ox x-оска, и оската Ој - y-оска.

Сега да се договориме за сликата на правоаголен координатен систем на рамнина.

Вообичаено, единицата за мерење на должината на оските Ox и Oy се избира да биде иста и се црта од почетокот на секоја координатна оска во позитивна насока (означена со цртичка на координатните оски и единицата е напишана веднаш до тоа), оската на апсцисата е насочена надесно, а оската на ординатите е насочена нагоре. Сите други опции за насоката на координатните оски се сведуваат на изразената (оска Ox - десно, Oy оска - горе) со ротирање на координатниот систем под одреден агол во однос на потеклото и гледање на него од другата страна на авионот (ако е потребно).

Правоаголниот координатен систем често се нарекува Декартов, бидејќи првпат бил воведен во авион од Рене Декарт. Уште почесто, правоаголен координатен систем се нарекува правоаголен Декартов координатен систем, ставајќи го сето тоа заедно.

Правоаголен координатен систем во тридимензионален простор.

Правоаголниот координатен систем Oxyz е поставен на сличен начин во тродимензионалниот Евклидов простор, само што се земени не две, туку три меѓусебно нормални линии. Со други зборови, на координатните оски Ox и Oy се додава координатна оска Oz, која се нарекува оската се применуваат.

Во зависност од насоката на координатните оски, се разликуваат десни и леви правоаголни координатни системи во тродимензионален простор.

Ако се гледа од позитивната насока на оската Oz и најкратката ротација од позитивната насока на оската Ox до позитивната насока на оската Oy се случи спротивно од стрелките на часовникот, тогаш координатниот систем се нарекува право.

Ако се гледа од позитивната насока на оската Oz и најкратката ротација од позитивната насока на оската Ox до позитивната насока на оската Oy се случи во насока на стрелките на часовникот, тогаш координатниот систем се нарекува лево.

Координати на точка во Декартов координатен систем на рамнина.

Прво, разгледајте ја координатната линија Ox и земете некоја точка М на неа.

Секој реален број одговара на една точка М на оваа координатна права. На пример, точка која се наоѓа на координатна линија на растојание од потеклото во позитивна насока одговара на бројот , а бројот -3 одговара на точка лоцирана на растојание од 3 од почетокот во негативна насока. Бројот 0 одговара на почетната точка.

Од друга страна, секоја точка М на координатната права Ox одговара на реален број. Овој реален број е нула ако точката М се совпаѓа со потеклото (точка О). Овој реален број е позитивен и еднаков на должината на отсечката OM на дадена скала ако точката М се отстрани од почетокот во позитивна насока. Овој реален број е негативен и еднаков на должината на отсечката OM со знак минус ако точката М се отстрани од почетокот во негативна насока.

Се повикува бројот координираатточки М на координатната права.

Сега разгледајте рамнина со воведен правоаголен Декартов координатен систем. Да означиме произволна точка М на оваа рамнина.

Нека е проекцијата на точката M на правата Ox и нека е проекцијата на точката M на координатната права Oy (ако е потребно, видете ја статијата). Односно, ако преку точката М повлечеме прави нормални на координатните оски Ox и Oy, тогаш точките на пресек на овие прави со правите Ox и Oy се точки и, соодветно.

Нека бројот одговара на точка на координатната оска Ox, а бројот на точка на оската Oy.

Секоја точка М од рамнината во даден правоаголен Декартов координатен систем одговара на единствен подреден пар на реални броеви, т.н. координати на точката Мво авион. Координатата се нарекува апсциса од точка М, А - ордината од точка М.

Спротивното тврдење е исто така точно: секој подреден пар на реални броеви одговара на точка М на рамнината во даден координатен систем.

Координати на точка во правоаголен координатен систем во тродимензионален простор.

Да покажеме како се одредуваат координатите на точката М во правоаголен координатен систем дефиниран во тродимензионален простор.

Нека и се проекциите на точката M на координатните оски Ox, Oy и Oz, соодветно. Нека овие точки на координатните оски Ox, Oy и Oz одговараат на реални броеви и.

Проекциите на точката М на координатните оски може да се добијат и со изградба на рамнини нормални на правите Ox, Oy и Oz и поминување низ точката M. Овие рамнини ќе ги сечат координатните линии Ox, Oy и Oz во точките и, соодветно.

Секоја точка во тродимензионалниот простор во даден Декартов координатен систем одговара на подредена тројка од реални броеви, т.н. координати на точката М, се повикуваат броевите апсциса, ординацијаИ аплицираатточките М соодветно. Исто така е точно и обратното тврдење: секоја подредена тројка од реални броеви во даден правоаголен координатен систем одговара на точка М во тродимензионалниот простор.

Референци.

• Атанасјан Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позњак Е.Г., Јудина И.И. Геометрија. Одделение 7 – 9: учебник за општообразовни институции.
• Атанасјан Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позњак Е.Г.. Геометрија. Учебник за 10-11 одделение од средно училиште.
• Мордкович А.Г. Алгебра. 7 одделение. Дел 1: учебник за студенти на општообразовни институции.

Одредување на положбата на точка во просторот

Значи, позицијата на точка во просторот може да се одреди само во однос на некои други точки. Точката во однос на која се разгледува позицијата на другите точки се нарекува референтна точка . Ние исто така ќе користиме друго име за референтната точка - точка на набљудување . Обично референтна точка (или точка на набљудување) се поврзува со некои координатен систем , кој се нарекува референтен систем. Во избраниот референтен систем, позицијата на СЕКОЈА точка се одредува со ТРИ координати.

Десниот декартов (или правоаголен) координатен систем

Овој координатен систем се состои од три меѓусебно нормални насочени линии, исто така наречени координатни оски , вкрстувајќи се во една точка (потекло). Точката на потекло обично се означува со буквата О.

Координатните оски се именувани:

1. Оска на апсциса – означена како OX;

2. Y оска – означена како OY;

3. Примената оска – означена како OZ

Сега да објасниме зошто овој координатен систем се нарекува деснак. Да ја погледнеме рамнината XOY од позитивната насока на оската OZ, на пример од точката А, како што е прикажано на сликата.

Да претпоставиме дека почнуваме да ја ротираме оската OX околу точката O. Значи - вистинскиот координатен систем има такво својство што ако ја погледнете рамнината XOY од која било точка на позитивната полуоска OZ (за нас ова е точката А) , тогаш, при вртење на оската OX за 90 спротивно од стрелките на часовникот, нејзината позитивна насока ќе се совпадне со позитивната насока на оската OY.

Оваа одлука е донесена во научниот свет, само треба да го прифатиме како што е.

Значи, откако ќе се одлучиме за референтниот систем (во нашиот случај, десниот Декартов координатен систем), позицијата на која било точка се опишува преку вредностите на нејзините координати или, со други зборови, преку вредностите на проекциите на оваа точка на координатните оски.

Се пишува вака: A(x, y, z), каде x, y, z се координатите на точката А.

Правоаголен координатен систем може да се замисли како линии на пресек на три меѓусебно нормални рамнини.

Треба да се напомене дека можете да ориентирате правоаголен координатен систем во просторот на кој било начин што сакате, и мора да се исполни само еден услов - потеклото на координатите мора да се совпаѓа со референтниот центар (или точка на набљудување).

Сферичен координатен систем

Позицијата на точка во просторот може да се опише на друг начин. Да претпоставиме дека избравме регион на просторот во кој се наоѓа референтната точка O (или точка на набљудување), а го знаеме и растојанието од референтната точка до одредена точка А. Да ги поврземе овие две точки со права линија OA . Оваа линија се нарекува вектор на радиус и се означува како р. Сите точки кои имаат иста векторска вредност на радиусот лежат на сфера, чиј центар е во референтната точка (или точка на набљудување), а радиусот на оваа сфера е еднаков, соодветно, на векторот на радиусот.

Така, ни станува очигледно дека познавањето на вредноста на векторот на радиусот не ни дава недвосмислен одговор за положбата на точката од нас. Потребни ви се уште ДВЕ координати, бидејќи за недвосмислено да се одреди локацијата на точка, бројот на координати мора да биде ТРИ.

Следно ќе продолжиме на следниов начин - ќе изградиме две меѓусебно нормални рамнини, што, природно, ќе даде линија на пресек, а оваа линија ќе биде бесконечна, бидејќи самите рамнини не се ограничени со ништо. Ајде да поставиме точка на оваа линија и да ја означиме, на пример, како точка О1. Сега да ја комбинираме оваа точка О1 со центарот на сферата - точката О и да видиме што се случува?

И излегува многу интересна слика:

· И едниот и другиот авион ќе бидат централно авиони.

· Пресекот на овие рамнини со површината на сферата се означува со голема кругови

· Еден од овие кругови - произволно, ќе се јавиме ЕКВАТОР, тогаш ќе се повика другиот круг ГЛАВЕН МЕРИДИЈАН.

· Линијата на пресек на две рамнини уникатно ќе ја одреди насоката ЛИНИИ НА ГЛАВНИОТ МЕРИДИЈАН.

Точките на пресек на линијата на главниот меридијан со површината на сферата ги означуваме како М1 и М2

Низ центарот на сферата, точката О во рамнината на главниот меридијан, повлекуваме права линија нормална на линијата на главниот меридијан. Оваа права линија се нарекува ПОЛАРНА ОСКА .

Поларната оска ќе ја пресече површината на сферата во две повикани точки ПОЛОВИ НА СФЕРАТА.Да ги означиме овие точки како P1 и P2.

Одредување на координати на точка во просторот

Сега да го разгледаме процесот на одредување на координатите на точка во просторот, а исто така да им дадеме имиња на овие координати. За комплетирање на сликата, при определување на позицијата на точка, ги посочуваме главните насоки од кои се бројат координатите, како и позитивната насока при броењето.

1. Поставете ја позицијата во просторот на референтната точка (или точката на набљудување). Да ја означиме оваа точка со буквата О.

2. Конструирај сфера чиј радиус е еднаков на должината на векторот на радиусот на точката A. (Векторот на радиусот на точката A е растојанието помеѓу точките O и A). Центарот на сферата се наоѓа во референтната точка О.

3. Ја поставуваме позицијата во просторот на рамнината на ЕКВАТОР, и соодветно на рамнината на ГЛАВНИОТ МЕРИДИЈАН. Треба да се потсети дека овие рамнини се меѓусебно нормални и се централни.

4. Пресекот на овие рамнини со површината на сферата ни ја одредува положбата на кругот на екваторот, кругот на главниот меридијан, како и насоката на линијата на главниот меридијан и поларната оска.

5. Определи ја положбата на половите на поларната оска и половите на главната меридијанска линија. (Половите на поларната оска се точките на пресек на поларната оска со површината на сферата. Половите на правата на главниот меридијан се точките на пресек на правата на главниот меридијан со површината на сферата ).

6. Низ точката А и поларната оска конструираме рамнина, која ќе ја наречеме рамнина на меридијанот на точката А. Кога оваа рамнина ќе се вкрсти со површината на сферата, ќе се добие голема кружница, која ќе ја наречеме МЕРИДИЈАН од точка А.

7. Меридијанот на точката А во одредена точка ќе ја пресече кружницата на ЕКВАТОРОТ, која ќе ја означиме како Е1

8. Положбата на точката Е1 на екваторијалниот круг се определува со должината на лакот затворен помеѓу точките М1 и Е1. Одбројувањето е спротивен од стрелките на часовникот. Лакот на екваторијалниот круг затворен помеѓу точките М1 и Е1 се нарекува ДОЛЖИНА на точката А. Географската должина се означува со буквата  .

Ајде да ги сумираме средните резултати. Во моментот, знаеме ДВЕ од ТРИ координати кои ја опишуваат положбата на точката А во просторот - ова е векторот на радиусот (r) и должината (). Сега ќе ја одредиме третата координата. Оваа координата е одредена од положбата на точката А на нејзиниот меридијан. Но, позицијата на почетната точка од која се одвива броењето не е јасно дефинирана: можеме да почнеме да броиме и од полот на сферата (точка P1) и од точката E1, односно од точката на пресек на меридијанските линии. на точката А и екваторот (или со други зборови - од линијата на екваторот).

Во првиот случај, позицијата на точката А на меридијанот се нарекува ПОЛАРНА ДИСТАНЦА (означена како р) и се одредува според должината на лакот затворен помеѓу точката P1 (или полната точка на сферата) и точката A. Броењето се врши по меридијанската линија од точката P1 до точката А.

Во вториот случај, кога одбројувањето е од линијата на екваторот, позицијата на точката А на линијата на меридијанот се нарекува ЛАТИТУДА (означена како   и се одредува според должината на лакот затворен помеѓу точката Е1 и точката А.

Сега конечно можеме да кажеме дека позицијата на точката А во сферичен координатен систем се одредува со:

· должина на радиусот на сферата (r),

должина на лакот на должина (),

должина на лакот на поларното растојание (p)

Во овој случај, координатите на точката А ќе бидат напишани на следниов начин: A(r, , p)

Ако користиме различен референтен систем, тогаш позицијата на точката А во сферичниот координатен систем се одредува преку:

· должина на радиусот на сферата (r),

должина на лакот на должина (),

· должина на лакот на ширина ()

Во овој случај, координатите на точката А ќе бидат напишани на следниов начин: A(r, , )

Методи за мерење на лакови

Се поставува прашањето - како ги мериме овие лакови? Наједноставниот и најприроден начин е директно да се измерат должините на лаците со флексибилен линијар, а тоа е можно ако големината на сферата е споредлива со големината на една личност. Но, што да направите ако овој услов не е исполнет?

Во овој случај, ќе прибегнеме кон мерење на РЕЛАТИВНАТА должина на лакот. Ќе го земеме обемот како стандард, дел што е лакот што нè интересира. Како може да се направи ова?

Координатен систем- начин за одредување точки во просторот со помош на броеви. Бројот на броеви потребни за уникатно одредување на која било точка во просторот ја одредува нејзината димензија. Задолжителен елемент на координатниот систем е потекло- точката од која се бројат растојанијата. Друг потребен елемент е единицата за должина, која ви овозможува да ги измерите растојанијата. Сите точки на еднодимензионален простор може да се специфицираат со избрано потекло користејќи еден број. За дводимензионален простор потребни се два броја, за тридимензионален простор три. Овие броеви се нарекуваат координати.

1. Историја

Развојот на координатни системи во историјата на човештвото е поврзан и со математички проблеми и со практични проблеми во уметноста на навигацијата, заснована на картографија и астрономија. Познат системкоординати, правоаголни, беше предложен од Рене Декарт во годината. Концептот на поларен координатен систем во европската математика се развил околу овие времиња, но првите идеи за тоа постоеле во Античка Грција, кај средновековните арапски математичари кои развиле методи за пресметување на насоката на Кааба.

Појавата на концептот на координатни системи доведе до развој на нови делови од геометријата: аналитички, проективни, описни.

2. Декартов координатен систем

Најчестиот координатен систем во математиката е Декартовиот координатен систем, именуван по Рене Декарт. Декартовиот координатен систем е одреден со потеклото и три вектори кои ја одредуваат насоката на координатните оски. Секоја точка во просторот е одредена со броеви кои одговараат на растојанието од оваа точка до координатни рамнини.

Координатите на Декартовиот систем на вдлабнатина обично се означуваат со In space.

Различни Декартови координатни системи се меѓусебно поврзани со афини трансформации: поместување и ротации.

3. Кривилинеарни координатни системи

Врз основа на Декартовиот координатен систем, можно е да се дефинира криволинеарен координатен систем, односно, на пример, за тродимензионален простор на броеви поврзани со Декартови координати:

каде што сите функции се единечни и континуирано диференцирани, а јакобискиот е:

Пример за криволинеарен координатен систем на рамнина е поларниот координатен систем, во кој позицијата на точката се одредува со два броја: растојанието помеѓу точката и почетокот и аголот помеѓу зракот што го поврзува потеклото со точка и избраната оска. Декартовските и поларните координати на точката се поврзани една со друга со формулите:

За тродимензионален простор, популарни се цилиндричните и сферичните координатни системи. Така, позицијата на авионот во вселената може да се определи со три броја: височина, растојание до точката на површината на Земјата над која лета и аголот помеѓу насоката кон авионот и насоката кон север. Оваа задача одговара на цилиндричен координатен систем Алтернативно, позицијата на авионот може да се определи според растојанието до него и два агли: поларен и азимутален. Оваа задача одговара на сферичен координатен систем.

Разновидноста на координатни системи не е ограничена само на наведените. Постојат многу криволиниски координатни системи кои се погодни за употреба при решавање на еден или друг математички проблем.

3.1. Својства

Секоја од равенките специфицира координатна рамнина.Пресек на две координатни рамнини со различни јасмножества координатна линија.Секоја точка во просторот е дефинирана со пресекот на три координатни рамнини.

Важни карактеристики на криволинеарните координатни системи се должината на лачниот елемент и волуменскиот елемент во нив. Овие количини се користат во интеграцијата. Должината на елементот на лакот е дадена со квадратната форма:

Тие се компоненти на метричкиот тензор.

Волуменскиот елемент е еднаков во криволинискиот координатен систем

Квадратот на Јакобијанот е еднаков на детерминантата на метричкиот тензор:

Координатниот систем се нарекува право,ако ги допрат координатните линии и се насочени во насока на раст на соодветните координати, формираат десна тројка вектори.

Кога се опишуваат вектори во криволинеарен координатен систем, погодно е да се користи локална основа дефинирана во секоја точка.

4. Во географијата

6. Во физиката

За да го опише движењето на физичките тела, физиката го користи концептот