Градиент на големина. Градиент функција

Од училишниот курс по математика знаеме дека вектор на рамнина е насочена отсечка. Неговиот почеток и крај имаат две координати. Векторските координати се пресметуваат со одземање на почетните координати од крајните координати.

Концептот на вектор може да се прошири на n-димензионален простор (наместо две координати ќе има n координати).

Градиент gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) е векторот на парцијални изводи на функцијата во точка, т.е. вектор со координати.

Може да се докаже дека градиентот на функцијата го карактеризира правецот на најбрзиот раст на нивото на функцијата во точка.

На пример, за функцијата z = 2x 1 + x 2 (види Слика 5.8), градиентот во која било точка ќе има координати (2; 1). Можете да го конструирате на рамнина на различни начини, земајќи ја секоја точка како почеток на векторот. На пример, можете да ја поврзете точката (0; 0) со точката (2; 1), или точката (1; 0) со точката (3; 1) или точката (0; 3) со точката (2; 4), или така натаму. .Стр. (Види Слика 5.8). Сите вектори конструирани на овој начин ќе имаат координати (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Од Слика 5.8 јасно се гледа дека нивото на функцијата се зголемува во насока на градиентот, бидејќи конструираните линии на нивоа одговараат на вредностите на нивоата 4 > 3 > 2.

Слика 5.8 - Градиент на функцијата z= 2x 1 + x 2

Да разгледаме уште еден пример - функцијата z = 1/(x 1 x 2). Градиентот на оваа функција повеќе нема секогаш да биде ист во различни точки, бидејќи нејзините координати се одредуваат со формулите (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

Слика 5.9 ги прикажува линиите на ниво на функција z = 1/(x 1 x 2) за нивоата 2 и 10 (правата линија 1/(x 1 x 2) = 2 е означена со точкаста линија, а правата линија 1/( x 1 x 2) = 10 е солидна линија).

Слика 5.9 - Градиенти на функцијата z= 1/(x 1 x 2) во различни точки

Земете ја, на пример, точката (0,5; 1) и пресметајте го градиентот во оваа точка: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Забележете дека точката (0,5; 1) лежи на линијата линија 1/(x 1 x 2) = 2, бидејќи z=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. За да се нацрта векторот ( -4; -2) на слика 5.9, поврзете ја точката (0.5; 1) со точката (-3.5; -1), бидејќи (-3.5 – 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).

Да земеме уште една точка на линијата на исто ниво, на пример, точка (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Да го пресметаме градиентот во оваа точка (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). За да го прикажеме на слика 5.9, ја поврзуваме точката (1; 0.5) со точката (-1; -3.5), бидејќи (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

Да земеме уште една точка на линијата на исто ниво, но само сега во непозитивна координатна четвртина. На пример, точка (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Градиентот во оваа точка ќе биде еднаков на (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Да го прикажеме на слика 5.9 со поврзување на точката (-0.5; -1) со точката (3.5; 1), бидејќи (3.5 – (-0.5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Треба да се забележи дека во сите три разгледани случаи, градиентот ја покажува насоката на раст на нивото на функцијата (кон линијата на ниво 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Може да се докаже дека градиентот е секогаш нормален на линијата (нивоповршина) што минува низ дадена точка.

Екстреми на функција од неколку променливи

Ајде да го дефинираме концептот екстремниза функција од многу променливи.

Функција од многу променливи има f(X) во точката X (0) максимум (минимум),ако има соседство на оваа точка така што за сите точки X од ова соседство неравенките f(X)f(X (0)) () се задоволени.

Ако овие нееднаквости се задоволени како строги, тогаш се нарекува екстрем силна, а ако не, тогаш слаб.

Забележете дека вака дефинираниот екстрем е локалникарактер, бидејќи овие неравенки се задоволуваат само за одредено соседство на екстремната точка.

Неопходен услов за локален екстремум на диференцијабилна функција z=f(x 1, . . ., x n) во точка е еднаквоста на нула на сите парцијални изводи од прв ред во оваа точка:
.

Точките во кои стојат овие еднаквости се нарекуваат стационарни.

На друг начин, потребниот услов за екстрем може да се формулира на следниов начин: во екстремната точка, градиентот е нула. Може да се докаже и поопшта изјава: во екстремната точка, изводите на функцијата исчезнуваат во сите правци.

Стационарни точки треба да бидат подложени на дополнително истражување за да се утврди дали се исполнети доволни услови за постоење на локален екстрем. За да го направите ова, одреди го знакот на диференцијалот од втор ред. Ако за која било, не истовремено еднаква на нула, таа е секогаш негативна (позитивна), тогаш функцијата има максимум (минимум). Ако може да оди на нула не само со нула зголемувања, тогаш прашањето за екстремот останува отворено. Ако може да земе и позитивни и негативни вредности, тогаш нема екстрем во стационарна точка.

Во општиот случај, одредувањето на знакот на диференцијалот е прилично сложен проблем, кој нема да го разгледаме овде. За функција од две променливи може да се докаже дека ако е во неподвижна точка
, тогаш е присутен екстремумот. Во овој случај, знакот на вториот диференцијал се совпаѓа со знакот
, т.е. Ако
, тогаш ова е максимум, и ако
, тогаш ова е минимум. Ако
, тогаш во овој момент нема екстрем, и ако
, тогаш прашањето за екстремот останува отворено.

Пример 1. Најдете ги екстремите на функцијата
.

Ајде да најдеме парцијални изводи користејќи го методот на логаритамска диференцијација.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) - ln (1 + x 2) - ln (1 + y 2)

Исто така
.

Ајде да најдеме неподвижни точки од системот на равенки:

Така, пронајдени се четири неподвижни точки (1; 1), (1; -1), (-1; 1) и (-1; -1).

Да ги најдеме парцијалните деривати од втор ред:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Исто така
;
.

Бидејќи
, знак за изразување
зависи само од
. Забележете дека и кај двата од овие изводи именителот е секогаш позитивен, така што можете да го земете предвид само знакот на броителот, па дури и знакот на изразите x(x 2 – 3) и y(y 2 – 3). Дозволете ни да го дефинираме во секоја критична точка и да провериме дали е исполнет доволен услов за екстрем.

За точката (1; 1) добиваме 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух негативни броеви
> 0, и
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

За точката (1; -1) добиваме 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Бидејќи производ на овие бројки
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

За точката (-1; -1) добиваме (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Бидејќи производ на два позитивни броја
> 0, и
> 0, во точката (-1; -1) може да се најде минимумот. Тоа е еднакво на 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

Најдете глобалномаксималната или минималната (најголемата или најмалата вредност на функцијата) е нешто покомплицирано од локалниот екстрем, бидејќи овие вредности може да се постигнат не само на стационарни точки, туку и на границата на доменот на дефиниција. Не е секогаш лесно да се проучува однесувањето на функцијата на границата на овој регион.

Некои концепти и термини се користат во чисто тесна рамка.Други дефиниции се наоѓаат во области кои се остро спротивставени. На пример, концептот „градиент“ го користат физичар, математичар и специјалист за маникир или фотошоп. Што е градиент како концепт? Ајде да го сфатиме.

Што велат речниците?

Што е „градиент“ посебно предметни речнициинтерпретирани во однос на нивните специфики. Преведено од Латински јазиковој збор значи „оној што оди, расте“. И Википедија го дефинира овој концепт како „вектор што ја покажува насоката на зголемување на количината“. ВО објаснувачки речнициго гледаме значењето на овој збор како „промена на која било количина за една вредност“. Поимот може да има и квантитативно и квалитативно значење.

Накратко, тоа е непречена постепена транзиција на која било вредност по една вредност, прогресивна и континуирана промена во количината или насоката. Векторот го пресметуваат математичари и метеоролозите. Овој концепт се користи во астрономијата, медицината, уметноста и компјутерската графика. Сличен термин дефинира сосема различни видови активности.

Математички функции

Кој е градиентот на функцијата во математиката? Ова ја покажува насоката на раст на функцијата во скаларно поле од една вредност до друга. Големината на градиентот се пресметува со помош на парцијални деривати. За да се одреди најбрзата насока на раст на функцијата, на графиконот се избираат две точки. Тие го дефинираат почетокот и крајот на векторот. Стапката со која вредноста расте од една до друга точка е големината на градиентот. Математички функции, врз основа на пресметките на овој индикатор, се користат во векторска компјутерска графика, чии објекти се графички слики на математички објекти.

Што е градиент во физиката?

Концептот на градиент е вообичаен во многу гранки на физиката: градиент на оптика, температура, брзина, притисок итн. Во оваа гранка, концептот означува мерка за зголемување или намалување на вредност за еден. Се пресметува со пресметки како разлика помеѓу два индикатори. Да разгледаме некои од вредностите подетално.

Што е потенцијален градиент? При работа со електростатско поле се одредуваат две карактеристики: напнатост (сила) и потенцијал (енергија). Овие различни количини се поврзани со животната средина. И иако тие дефинираат различни карактеристики, тие сепак имаат врска едни со други.

За да се одреди јачината на полето на силата, се користи потенцијалниот градиент - вредност што ја одредува брзината на промена на потенцијалот во насока на линијата на силата. Како да се пресмета? Потенцијална разлика помеѓу два поени електрично полесе пресметува од познат напон со помош на векторот на напон, кој е еднаков на потенцијалниот градиент.

Услови на метеоролози и географи

За прв пат, концептот на градиент беше користен од метеоролозите за да се утврдат промените во големината и насоката на различни метеоролошки индикатори: температура, притисок, брзина и јачина на ветерот. Тоа е мерка за квантитативни промени во различни количини. Максвел многу подоцна го вовел терминот во математиката. Во одредувањето на временските услови, постојат концепти на вертикални и хоризонтални градиенти. Ајде да ги разгледаме подетално.

Што е вертикален температурен градиент? Ова е вредност што ја покажува промената на индикаторите, пресметана на височина од 100 m Може да биде или позитивна или негативна, за разлика од хоризонталната, која е секогаш позитивна.

Градиентот ја покажува големината или аголот на наклонот на земјата. Се пресметува како однос на висината до должината на проекцијата на патеката во одредена делница. Изразено како процент.

Медицински индикатори

Дефиницијата за „температурен градиент“ може да се најде и меѓу медицинските термини. Ја покажува разликата во соодветните индикатори внатрешни органии површините на телото. Во биологијата, физиолошкиот градиент ги евидентира промените во физиологијата на кој било орган или организам како целина во која било фаза од неговиот развој. Во медицината, метаболички индикатор е интензитетот на метаболизмот.

Не само физичарите, туку и лекарите го користат овој термин во својата работа. Што е градиент на притисок во кардиологијата? Овој концепт ја дефинира разликата во крвниот притисок во сите меѓусебно поврзани делови на кардиоваскуларниот систем.

Намалувачкиот градиент на автоматичност е показател за намалување на фреквенцијата на возбудувања на срцето во насока од неговата основа кон врвот, што се случува автоматски. Покрај тоа, кардиолозите ја идентификуваат локацијата на артериското оштетување и нејзиниот степен со следење на разликата во амплитудите на систолните бранови. Со други зборови, користејќи го градиентот на амплитудата на пулсот.

Што е градиент на брзина?

Кога зборуваат за брзината на промена на одредено количество, под ова подразбираат брзина на промена на времето и просторот. Со други зборови, градиентот на брзината ја одредува промената на просторните координати во однос на временските индикатори. Овој индикатор го пресметуваат метеоролозите, астрономите и хемичарите. Градиентот на брзината на смолкнување на течните слоеви се одредува во индустријата за нафта и гас за да се пресмета стапката на пораст на течноста низ цевката. Овој индикатор за тектонски движења е областа на пресметките на сеизмолозите.

Економски функции

Економистите нашироко го користат концептот на градиент за да ги поткрепат важните теоретски заклучоци. Кога се решаваат проблемите на потрошувачите, се користи функцијата на полезно за да помогне во претставувањето на преференциите од збир на алтернативи. „Функција за ограничување на буџетот“ е термин што се користи за да се однесува на збир на пакети за потрошувачка. Градиентите во оваа област се користат за пресметување на оптималната потрошувачка.

Градиент на боја

Терминот „градиент“ е познат на креативните луѓе. Иако тие се далеку од егзактните науки. Што е градиент за дизајнер? Бидејќи во точните науки тоа е постепено зголемување на вредноста за еден, така што во боја овој индикатор означува мазна, продолжена транзиција на нијанси со иста боја од посветла во потемна или обратно. Уметниците го нарекуваат овој процес „истегнување“. Исто така, можно е да се префрлат на различни придружни бои во истиот опсег.

Градиентните протегања на нијанси во просториите за сликање заземаа силна позиција меѓу техниките на дизајнирање. Новомоден омбре стил - мазен тек на сенка од светло кон темно, од светло до бледо - ефикасно ја трансформира секоја просторија во домот или канцеларијата.

Оптичарите користат специјални леќи во очилата за сонце. Што е градиент во очилата? Ова е правење леќи на посебен начин, кога од горе до долу бојата се менува од потемна во посветла нијанса. Производите направени со оваа технологија ги штитат очите од сончевото зрачење и ви овозможуваат да гледате предмети дури и при многу силна светлина.

Боја во веб дизајн

Оние кои се занимаваат со веб-дизајн и компјутерска графика се добро запознаени со универзалната алатка „градиент“, која може да се користи за создавање на широк спектар на ефекти. Транзициите на боите се трансформираат во нагласувања, бизарна позадина и тродимензионалност. Манипулирањето со нијанси и создавањето светлина и сенка им дава волумен на векторските објекти. За овие цели, се користат неколку типови на градиенти:

• Линеарна.
• Радијална.
• Во облик на конус.
• Огледало.
• Во облик на дијамант.
• Градиент на бучава.

Градиент убавина

За посетителите на козметичките салони, прашањето што е градиент нема да биде изненадување. Точно, дури и во овој случај, не е потребно познавање на математичките закони и основите на физиката. Сè уште зборуваме за транзиции на бои. Предметите на градиентот се косата и ноктите. Техниката омбре, што значи „тон“ на француски, дојде во мода од љубителите на спортот на сурфањето и другите активности на плажа. Природно изветвена и обрасната коса стана хит. Модниците почнаа специјално да ја бојат косата со едвај забележлива транзиција на нијанси.

Омбре техниката не помина покрај салоните за нокти. Градиент на ноктите создава боја со постепено осветлување на плочата од коренот до работ. Мајсторите нудат хоризонтални, вертикални, со транзиција и други сорти.

Веглање

Игличките се запознаени со концептот на „градиент“ од една друга страна. Слична техника се користи за создавање рачно изработени предмети во стилот на декупаж. На тој начин се создаваат нови антички работи или се обновуваат старите: комоди, столчиња, ковчези итн. Декупаж вклучува примена на шема со помош на матрица, чија основа е градиент на боја како позадина.

Уметниците за ткаенини го усвоија овој метод на боење за нови модели. Фустаните со градиент бои ги освоија модните писти. Модата ја подигнаа иглички - плетачи. Плетени предмети со мазна транзиција на бои се популарни.

За да ја сумираме дефиницијата за „градиент“, можеме да кажеме за многу широка област на човечка активност во која има место овој термин. Замената со синонимот „вектор“ не е секогаш погодна, бидејќи векторот сè уште е функционален, просторен концепт. Она што ја дефинира општоста на концептот е постепена промена на одредена количина, супстанција, физички параметар за еден во одреден период. Во боја тоа е непречена транзиција на тонот.

Таа рече дека рацете се визит-картичка на една девојка. И таа беше апсолутно во право. Не можете да бидете стилски и спектакуларни без соодветниот маникир, особено во наше време. Женските списанија за убавина се полни со иновации и воодушевуваат со нивните нови производи. Сите модничари знаат што е градиент. Најновите трендови диктираат свои правила во шемите на бои. Се повеќе светли бои и секакви толкувања се присутни во маникирот на дамите.

Концепт за градиент маникир

Може да се каже дека ова е премин од една во друга боја - тоа е градиент на ноктите. Техниката на мешање ви овозможува да постигнете неверојатно боење. Со непречено и прецизно извршување, јасно се гледа заматениот делен сегмент на новоформираната сенка. Како да се појавила сенка (омбре на француски, второто име за градиентот). Прекрасно е и необично. Понекогаш е тешко да се избере боја на лак што одговара на избраниот стил на облека. Техниката на нанесување лак на плочата за нокти во градиент стил е добро решение за проблемот. Уникатен е по тоа што можете да си играте со палетата на бои во контраст.

Главни типови на градиент

Имајќи идеја за тоа што е градиент, треба да се задржите на неговите типови. Ги има во огромен број, а секој ден се појавуваат нови. Главните:

Модерен градиент дизајн

На креативноста на мајсторот, треба да се додаде не само способност да се комбинираат различни нијанси на бои, туку и да се примени одреден дизајн на ноктите. Градиентот е одлична можност да ја покажете вашата имагинација. Треба да ја почитувате умереноста и да бидете свесни за најновите иновации во уметноста на маникир. Трендот на моден дизајн ги поздравува пастелните бои. Ова е понудената опција која одговара на сите прилики. Ќе изгледа хармонично со кој било стил на облека.

Во пракса, експертите користат и различни средства и методи за украсување. Цртањето дизајн на еден или на сите нокти е секогаш релевантно. Употребата на кристали и искри ќе даде ефект на свеченост и елеганција.

Искусните занаетчии знаат што е градиент во модерно толкување. Благодарение на овој метод, жените се индивидуални и единствени. Модерен градиент може да се направи не само во салони, туку и дома. Желбата да се биде убав нема граници.