Интеграли за кукли: како да се реши, правила за пресметување, објаснување. Основни својства на неопределен интеграл Својства на неопределени интеграли на множење

Во оваа статија ќе ги наведеме главните својства на дефинитивниот интеграл. Повеќето од овие својства се докажани врз основа на концептите на определениот интеграл на Риман и Дарбу.

Пресметувањето на определениот интеграл многу често се прави со користење на првите пет својства, па затоа ќе се повикаме на нив кога е потребно. Останатите својства на определениот интеграл главно се користат за оценување на различни изрази.

Пред да продолжите понатаму основни својства на определениот интеграл, да се согласиме дека a не надминува b.

За функцијата y = f(x) дефинирана на x = a, еднаквоста е точно.

Односно, вредноста на определен интеграл со исти граници на интеграција е еднаква на нула. Ова својство е последица на дефиницијата на Римановиот интеграл, бидејќи во овој случај секоја интегрална сума за која било поделба на интервалот и секој избор на точки е еднаква на нула, бидејќи, според тоа, границата на интегрални збирови е нула.

За функција која може да се интегрира на интервал, .

Со други зборови, кога горните и долните граници на интеграцијата ги менуваат местата, вредноста на дефинитивниот интеграл се менува во спротивното. Ова својство на определен интеграл произлегува и од концептот на Римановиот интеграл, само нумерирањето на партицијата на отсечката треба да започне од точката x = b.

за функции интеграбилни на интервал y = f(x) и y = g(x) .

Доказ.

Да го запишеме интегралниот збир на функцијата за дадена партиција на сегмент и даден избор на точки:

каде и се интегралните збирови на функциите y = f(x) и y = g(x) за дадена партиција на отсечката, соодветно.

Одење до границата во добиваме дека, според дефиницијата на Римановиот интеграл, е еквивалентно на изјавата за имотот што се докажува.

Константниот фактор може да се извади од знакот на определениот интеграл. Односно, за функција y = f(x) што може да се интегрира на интервал и произволен број k, важи следнава еднаквост: .

Доказот за ова својство на определениот интеграл е апсолутно сличен на претходниот:


Нека функцијата y = f(x) е интеграбилна на интервалот X, и и потоа .

Ова својство е точно и за , и или за .

Доказот може да се изврши врз основа на претходните својства на определениот интеграл.

Ако функцијата може да се интегрира на интервал, тогаш таа може да се интегрира на кој било внатрешен интервал.

Доказот се заснова на својството на сумите на Дарбу: ако се додадат нови точки на постоечка партиција на сегмент, тогаш долната сума на Дарбу нема да се намали, а горната нема да се зголеми.

Ако функцијата y = f(x) е интеграбилна на интервалот и за која било вредност на аргументот, тогаш .

Ова својство се докажува преку дефиницијата за Римановиот интеграл: секој интегрален збир за кој било избор на точки на поделба на сегментот и точките ќе биде ненегативен (не позитивен).

Последица.

За функциите y = f(x) и y = g(x) интеграбилни на интервал, важат следните неравенки:


Оваа изјава значи дека интеграцијата на нееднаквостите е дозволена. Ќе ја искористиме оваа последица за да ги докажеме следните својства.

Нека функцијата y = f(x) е интегрирана на интервалот , тогаш важи неравенството .

Доказ.

Очигледно е дека . Во претходното својство, дознавме дека неравенството може да се интегрира термин по член, па затоа е точно . Оваа двојна неравенка може да се напише како .

Нека функциите y = f(x) и y = g(x) се интегрирани на интервалот и за која било вредност на аргументот, тогаш , Каде И .

Слично се изведува и доказот. Бидејќи m и M се најмали и највисока вредностфункција y = f(x) на отсечката , тогаш . Множењето на двојната неравенка со ненегативна функција y = g(x) нè води до следново двојна нееднаквост. Интегрирајќи го на интервалот, доаѓаме до докажувањето на изјавата.

Последица.

Ако земеме g(x) = 1, тогаш неравенството добива форма .

Првата просечна формула.

Нека функцијата y = f(x) е интегрирана на интервалот, И , тогаш има број таков што .

Последица.

Ако функцијата y = f(x) е континуирана на интервалот, тогаш постои таков број што .

Првата формула за просечна вредност во генерализирана форма.

Нека функциите y = f(x) и y = g(x) се интегрирани на интервалот, И , и g(x) > 0 за која било вредност на аргументот. Потоа, постои број таков што .

Втора просечна формула.

Ако на интервал функцијата y = f(x) е интегрирана, а y = g(x) е монотона, тогаш постои број таков што еднаквоста .

Главната задача на диференцијалното сметањее да се најде изводот f'(x)или диференцијал df=f'(x)dxфункции f(x).Во интегралното сметање инверзниот проблем е решен. Од страна на дадена функција f(x) треба да пронајдете таква функција F(x),Што F'(x)=f(x)или dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Така, главната задача на интегралното сметањее враќање на функцијата F(x)по познатиот извод (диференцијал) на оваа функција. Интегралното сметање има бројни примени во геометријата, механиката, физиката и технологијата. Дава општ метод за пронаоѓање области, волумени, центри на гравитација итн.

Дефиниција. ФункцијаF(x), , се нарекува антидериват на функцијатаf(x) на множеството X ако е диференцијабилно за кое било иF'(x)=f(x) илиdF(x)=f(x)dx.

Теорема. Секоја континуирана линија на интервалот [а;б] функцијаf(x) има антидериват на овој сегментF(x).

Теорема. АкоF 1 (x) иF 2 (x) – два различни антидеривати со иста функцијаf(x) на множеството x, тогаш тие се разликуваат меѓу себе со константен член, т.е.F 2 (x)=F 1x)+C, каде што C е константа.

Не определен интеграл, неговите својства.

Дефиниција. ТоталитетF(x)+Од сите антидеривативни функцииf(x) на множеството X се нарекува неопределен интеграл и се означува:

- (1)

Во формулата (1) f(x)dxповикани интегрален израз,f(x) – интегранд функција, x – интеграциска променлива,А C – константа на интеграција.

Да ги погледнеме својствата неопределен интеграл, што произлегува од неговата дефиниција.

1. Изводот на неопределен интеграл е еднаков на интеграндот, диференцијалот на неопределен интеграл е еднаков на интеграндот:

И .

2. Неопределен интеграл на диференцијал на некоја функција еднаков на збиротоваа функција и произволна константа:

3. Константниот фактор a (a≠0) може да се извади како знак на неопределен интеграл:

4. Неопределениот интеграл на алгебарскиот збир на конечен број функции е еднаков на алгебарскиот збир на интегралите на овие функции:

5. АкоF(x) – антидериват на функцијатаf(x), тогаш:

6 (инваријантност на формулите за интеграција). Секоја формула за интеграција ја задржува својата форма ако променливата за интегрирање се замени со која било диференцијабилна функција на оваа променлива:

Кадеu е диференцијабилна функција.

Табела на неопределени интеграли.

Ајде да дадеме основни правила за интегрирање на функциите.

Ајде да дадеме табела на основни неопределени интеграли.(Забележете дека овде, како и во диференцијалната пресметка, буквата uможе да се означи како независна променлива (u=x), и функција од независната променлива (u=ти (x)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|у| > |а|).(|у|< |a|).

Се викаат интегралите 1 – 17 табеларно.

Некои од горенаведените формули во табелата со интеграли, кои немаат аналог во табелата со деривати, се проверуваат со диференцирање на нивните десни страни.

Промена на променлива и интеграција по делови во неопределен интеграл.

Интеграција со замена (замена на променливата). Нека биде неопходно да се пресмета интегралот

, кој не е табеларен. Суштината на методот на замена е дека во интегралот променливата Xзамени со променлива тспоред формулата x=φ(т),каде dx=φ’(т)dt.

Теорема. Нека функцијатаx=φ(т) е дефинирано и диференцијабилно на одредено множество Т и нека X е множеството вредности на оваа функција на која е дефинирана функцијатаf(x). Тогаш ако на множеството X функцијатаf(

Антидериватив и неопределен интеграл.

Антидериват на функција f(x) на интервалот (a; b) е функција F(x) таква што важи еднаквоста за кој било x од дадениот интервал.

Ако се земе предвид фактот дека изводот на константата C е еднаков на нула, тогаш еднаквоста е вистинита . Така, функцијата f(x) има множество од антидеривати F(x)+C, за произволна константа C, и овие антидеривати се разликуваат едни од други по произволна константна вредност.

Целото множество антидеривати на функцијата f(x) се нарекува неопределен интеграл на оваа функција и се означува .

Изразот се нарекува интегранд, а f(x) се нарекува интегранд. Интеграндот го претставува диференцијалот на функцијата f(x).

Дејството на наоѓање непозната функција со оглед на нејзиниот диференцијал се нарекува неопределена интеграција, бидејќи резултатот од интеграцијата не е една функција F(x), туку множество од нејзините антидеривати F(x)+C.

Интеграли на табели

Наједноставните својства на интегралите

1. Изводот на резултатот од интеграцијата е еднаков на интеграндот.

2. Неопределениот интеграл на диференцијалот на функцијата е еднаков на збирот на самата функција и произволна константа.

3. Коефициентот може да се извади од знакот на неопределен интеграл.

4. Неопределениот интеграл на збирот/разликата на функциите е еднаков на збирот/разликата на неопределените интеграли на функциите.

За појаснување се дадени средни еднаквости на првото и второто својство на неопределен интеграл.

За да се докаже третата и четвртата особина, доволно е да се најдат дериватите на десната страна на еднаквостите:

Овие деривати се еднакви на интеградите, што е доказ поради првото својство. Се користи и во последните транзиции.

Така, проблемот на интеграција е обратен од проблемот на диференцијација, и постои многу тесна врска помеѓу овие проблеми:

првото својство овозможува да се провери интеграцијата. За да се провери исправноста на извршената интеграција, доволно е да се пресмета дериватот на добиениот резултат. Ако функцијата добиена како резултат на диференцијација се покаже дека е еднаква на интеграндот, тоа ќе значи дека интеграцијата е извршена правилно;

второто својство на неопределениот интеграл овозможува да се најде неговиот антидериват од познат диференцијал на функцијата. Директната пресметка на неопределените интеграли се заснова на ова својство.

1.4.Непроменливост на формите за интеграција.

Инваријантната интеграција е вид на интеграција за функции чии аргументи се елементи на група или точки на хомоген простор (која било точка во таков простор може да се пренесе на друга со дадено дејство на групата).

функцијата f(x) се сведува на пресметување на интегралот на диференцијалната форма f.w, каде

Подолу е дадена експлицитна формула за r(x). Условот за договор ја има формата .

овде Tg значи оператор на смена на X користејќи gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Нека X=G е топологија, група која дејствува на себе со лево поместување. Јас и. постои ако и само ако G е локално компактен (особено, на бесконечно-димензионални групи I.I. не постои). За подмножество од I. и. карактеристиката cA (еднаква на 1 на A и 0 надвор од A) ја одредува левата Xaar мерка m(A). Дефинирачкото својство на оваа мерка е нејзината непроменливост при лево поместување: m(g-1A)=m(A) за сите gОG. Левата мерка на Хаар на група е уникатно дефинирана до позитивен скаларен фактор. Ако е позната мерката на Хаар m, тогаш I. и. функцијата f е дадена со формулата . Правата мерка на Хаар има слични својства. Постои континуиран хомоморфизам (карта со зачувување на својствата на групата) DG од групата G во позиција на групата (во однос на множењето). броеви за кои

каде што dmr и dmi се десната и левата Haar мерки. Се повикува функцијата DG(g). модул на групата G. Ако , тогаш се повикува групата G. унимодуларен; во овој случај десната и левата Haar мерки се совпаѓаат. Компактните, полуедноставните и немоќните (особено комутативните) групи се унимодуларни. Ако G е n-димензионална Lie група и q1,...,qn е основа во просторот на лево-инваријантните 1-форми на G, тогаш левата Haar мерка на G е дадена со n-формата. Во локални координати за пресметка

формира qi, можете да користите било која матрична реализација на групата G: матрицата 1-форма g-1dg е оставена непроменлива, а нејзиниот коефициент. се лево-инваријантни скаларни 1-форми од кои се избира потребната основа. На пример, комплетната матрична група GL(n, R) е унимодуларна и мерката Haar на неа е дадена со формата. Нека X=G/H е хомоген простор за кој локално збиената група G е трансформациска група, а затворената подгрупа H е стабилизатор на одредена точка. За да постои i.i на X, потребно е и доволно за сите hОH да важи еднаквоста DG(h)=DH(h). Особено, ова е точно во случај кога H е компактен или полупрост. Целосна теорија на I. и. не постои на бесконечно-димензионални колектори.

Замена на променливи.

Овие својства се користат за извршување на трансформации на интегралот со цел да се сведе на еден од елементарните интеграли и понатамошна пресметка.

1. Изводот на неопределен интеграл е еднаков на интеграндот:

2. Диференцијалот на неопределен интеграл е еднаков на интеграндот:

3. Неопределениот интеграл на диференцијалот на одредена функција е еднаков на збирот на оваа функција и произволна константа:

4. Константниот фактор може да се извади од интегралниот знак:

Покрај тоа, a ≠ 0

5. Интегралот на збирот (разликата) е еднаков на збирот (разликата) на интегралите:

6. Имотот е комбинација од својствата 4 и 5:

Покрај тоа, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Својство на непроменливост на неопределен интеграл:

Ако тогаш

8. Имотот:

Ако тогаш

Всушност, ова својство е посебен случај на интеграција со помош на методот на промена на променливата, што е подетално разгледано во следниот дел.

Ајде да погледнеме на пример:

Прво применивме својство 5, потоа својство 4, потоа ја искористивме табелата со антидеривати и го добивме резултатот.

Алгоритмот на нашиот онлајн интегрален калкулатор ги поддржува сите својства наведени погоре и лесно може да се најдат детално решениеза вашиот интеграл.

Решавањето интеграли е лесна задача, но само за неколку одбрани. Оваа статија е за оние кои сакаат да научат да ги разбираат интегралите, но не знаат ништо или речиси ништо за нив. Интегрално... Зошто е потребно? Како да се пресмета? Што се определени и неопределени интеграли?

Ако единствената употреба за која знаете за интегралот е да користите кука за капчиња во облик на интегрална икона за да добиете нешто корисно од тешко достапни места, тогаш добредојде! Дознајте како да ги решите наједноставните и другите интеграли и зошто не можете без тоа во математиката.

Го проучуваме концептот « интегрален »

Интеграцијата беше позната уште одназад Антички Египет. Се разбира, не во неговата модерна форма, но сепак. Оттогаш, математичарите напишаа многу книги на оваа тема. Особено се истакнаа Њутн И Лајбниц , но суштината на нештата не е променета.

Како да ги разберете интегралите од нула? Нема шанси! За да ја разберете оваа тема, сепак ќе ви треба основно разбирање на основите. математичка анализа. На нашиот блог веќе имаме информации за лимитите и дериватите, неопходни за разбирање на интегралите.

Неопределен интеграл

Да имаме некоја функција f(x) .

Неопределена интегрална функција f(x) оваа функција се нарекува F(x) , чиј извод е еднаков на функцијата f(x) .

Со други зборови, интегралот е дериват обратно или антидериват. Патем, прочитајте ја нашата статија за тоа како да пресметате деривати.

Антидеривативот постои за секого континуирани функции. Исто така, константен знак често се додава на антидеривативот, бидејќи дериватите на функциите кои се разликуваат со константа се совпаѓаат. Процесот на пронаоѓање на интегралот се нарекува интеграција.

Едноставен пример:

За да не се пресметуваат постојано антидеривати елементарни функции, погодно е да се сумираат во табела и да се користат готови вредности.

Комплетна табела со интеграли за ученици

Дефинитивен интеграл

Кога се занимаваме со концептот на интеграл, имаме работа со бесконечно мали величини. Интегралот ќе помогне да се пресмета плоштината на фигурата, масата на нерамномерно тело, поминатото растојание при нерамномерно движење и многу повеќе. Треба да се запомни дека интегралот е збир од бесконечно голем број бесконечно мали членови.

Како пример, замислете график на некоја функција.

Како да се најде плоштината на фигурата ограничена со графикот на функцијата? Користење на интеграл! Да го поделиме криволинискиот трапез, ограничен со координатните оски и графикот на функцијата, на бесконечно мали отсечки. На овој начин фигурата ќе се подели на тенки колони. Збирот на површините на столбовите ќе биде плоштината на трапезоидот. Но, запомнете дека таквата пресметка ќе даде приближен резултат. Сепак, колку се помали и потесни сегментите, толку попрецизна ќе биде пресметката. Ако ги намалиме до тој степен што должината се стреми кон нула, тогаш збирот на површините на сегментите ќе се стреми кон плоштината на сликата. Ова е дефинитивен интеграл, кој е напишан вака:

Точките a и b се нарекуваат граници на интеграција.

« Интегрален »

Патем! За нашите читатели сега има попуст од 10%. секаков вид на работа

Правила за пресметување интеграли за кукли

Својства на неопределен интеграл

Како да се реши неопределен интеграл? Овде ќе ги разгледаме својствата на неопределениот интеграл, кои ќе бидат корисни при решавање на примери.

• Изводот на интегралот е еднаков на интеграндот:

• Константата може да се извади од под интегралниот знак:

• Интегралот на збирот е еднаков на збирот на интегралите. Ова важи и за разликата:

Својства на определен интеграл

• Линеарност:

• Знакот на интегралот се менува ако се заменат границите на интеграцијата:

• На било којпоени а, бИ Со:

Веќе дознавме дека определен интеграл е граница на збир. Но, како да се добие одредена вредност при решавање на пример? За ова постои формулата Њутн-Лајбниц:

Примери за решавање интеграли

Подолу ќе разгледаме неопределен интеграл и примери со решенија. Ви предлагаме сами да ги разберете сложеноста на решението, а ако нешто не е јасно, поставувајте прашања во коментарите.

За да го засилите материјалот, погледнете видео за тоа како се решаваат интегралите во пракса. Не очајувајте ако интегралот не се даде веднаш. Контактирајте со професионална служба за студенти и секој троен или заоблен интеграл над затворена површина ќе биде во ваша моќ.