Интеграли и нивните својства. Основни својства на неопределен интеграл. Основни својства на определениот интеграл

Нека функцијата y = ѓ(x) се дефинира на интервалот [ а, б ], а < б. Ајде да ги извршиме следните операции:

1) ајде да се подели [ а, б] точки а = x 0 < x 1 < ... < x јас- 1 < x јас < ... < x n = б на nделумни сегменти [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x јас- 1 , x јас ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) во секој од делумните сегменти [ x јас- 1 , x јас ], јас = 1, 2, ... n, изберете произволна точка и пресметајте ја вредноста на функцијата во оваа точка: ѓ(z i ) ;

3) најдете ги делата ѓ(z i ) · Δ x јас , каде е должината на делумниот сегмент [ x јас- 1 , x јас ], јас = 1, 2, ... n;

4) ајде да се нашминкаме интегрален збирфункции y = ѓ(x) на сегментот [ а, б ]:

СО геометриска точкаОд визуелна перспектива, оваа сума σ е збир на плоштините на правоаголниците чии основи се делумни отсечки [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x јас- 1 , x јас ], ..., [x n- 1 , x n ], а височините се еднакви ѓ(z 1 ) , ѓ(z 2 ), ..., ѓ(z n) соодветно (сл. 1). Да означиме со λ должина на најдолгиот делумен сегмент:

5) најдете ја границата на интегралниот збир кога λ → 0.

Дефиниција.Ако постои конечна граница на интегралниот збир (1) и тоа не зависи од методот на поделба на сегментот [ а, б] до делумни отсечки, ниту од изборот на точки z iво нив, тогаш оваа граница се нарекува определен интегралод функцијата y = ѓ(x) на сегментот [ а, б] и се означува

Така,

Во овој случај функцијата ѓ(x) се нарекува интеграбилнана [ а, б]. Броеви аИ бсе нарекуваат долните и горните граници на интеграцијата, соодветно, ѓ(x) – интегранд функција, ѓ(x ) dx- интегрален израз, x– интеграциска променлива; линиски сегмент [ а, б] се нарекува интервал на интеграција.

Теорема 1.Доколку функцијата y = ѓ(x) е континуирано на интервалот [ а, б], тогаш може да се интегрира на овој интервал.

Дефинитивниот интеграл со исти граници на интеграција е еднаков на нула:

Ако а > б, тогаш, по дефиниција, претпоставуваме

2. Геометриско значење на определениот интеграл

Нека на сегментот [ а, б] е наведена континуирана ненегативна функција y = ѓ(x ) . Кривилинеарен трапезе фигура ограничена погоре со графикот на функцијата y = ѓ(x), одоздола - по оската Окс, лево и десно - прави линии x = aИ x = b(сл. 2).

Определен интеграл на ненегативна функција y = ѓ(x) од геометриска гледна точка еднаква на површинакриволинеарен трапез ограничен горе со графикот на функцијата y = ѓ(x) , лево и десно – отсечки на линии x = aИ x = b, одоздола - сегмент од оската Ox.

3. Основни својства на определениот интеграл

1. Значење определен интегралне зависи од ознаката на променливата за интеграција:

2. Константниот фактор може да се извади од знакот на определениот интеграл:

3. Определениот интеграл на алгебарскиот збир на две функции е еднаков на алгебарскиот збир на определените интеграли на овие функции:

4.Ако функција y = ѓ(x) може да се интегрира на [ а, б] И а < б < в, Тоа

5. (теорема за средна вредност). Доколку функцијата y = ѓ(x) е континуирано на интервалот [ а, б], тогаш на овој сегмент има точка таква што

4. Формула Њутн-Лајбниц

Теорема 2.Доколку функцијата y = ѓ(x) е континуирано на интервалот [ а, б] И Ф(x) е некој од неговите антидеривати на овој сегмент, тогаш валидна е следната формула:

кој се нарекува Формула Њутн-Лајбниц.Разлика Ф(б) - Ф(а) обично се пишува на следниов начин:

каде што симболот се нарекува двоен џокер.

Така, формулата (2) може да се запише како:

Пример 1.Пресметај интеграл

Решение. За интеграндот ѓ(x ) = x 2 произволен антидериват има форма

Бидејќи секој антидериват може да се користи во формулата Њутн-Лајбниц, за да го пресметаме интегралот го земаме антидериватот кој има наједноставна форма:

5. Промена на променлива во определен интеграл

Теорема 3.Нека функцијата y = ѓ(x) е континуирано на интервалот [ а, б]. Ако:

1) функција x = φ ( т) и неговиот дериват φ "( т) се континуирани за ;

2) збир на вредности на функции x = φ ( т) за е сегментот [ а, б ];

3) φ ( а) = а, φ ( б) = б, тогаш формулата е валидна

кој се нарекува формула за промена на променлива во определен интеграл .

За разлика од неопределен интеграл, В во овој случај не е потребнода се вратиме на првобитната интеграциска променлива - доволно е само да се најдат нови граници на интеграција α и β (за ова треба да се реши за променливата травенки φ ( т) = аи φ ( т) = б).

Наместо замена x = φ ( т) можете да користите замена т = е(x) . Во овој случај, наоѓање нови граници на интеграција над променлива тпоедноставува: α = е(а) , β = е(б) .

Пример 2. Пресметај интеграл

Решение. Ајде да воведеме нова променлива користејќи ја формулата. Со квадратирање на двете страни на еднаквоста, добиваме 1 + x = т 2 , каде x = т 2 - 1, dx = (т 2 - 1)"dt= 2tdt. Наоѓаме нови граници на интеграција. За да го направите ова, ајде да ги замениме старите граници во формулата x = 3 и x = 8. Добиваме: , од каде т= 2 и α = 2; , каде т= 3 и β = 3. Значи,

Пример 3.Пресметај

Решение. Нека u= дневник x, Потоа, v = x. Според формулата (4)

Антидериватив и неопределен интеграл.

Антидериват на функција f(x) на интервалот (a; b) е функција F(x) таква што важи еднаквоста за кој било x од дадениот интервал.

Ако се земе предвид фактот дека изводот на константата C е еднаков на нула, тогаш еднаквоста е вистинита . Така, функцијата f(x) има множество од антидеривати F(x)+C, за произволна константа C, и овие антидеривати се разликуваат едни од други по произволна константна вредност.

Целото множество антидеривати на функцијата f(x) се нарекува неопределен интеграл на оваа функција и се означува .

Изразот се нарекува интегранд, а f(x) се нарекува интегранд. Интеграндот го претставува диференцијалот на функцијата f(x).

Дејството на наоѓање непозната функција со оглед на нејзиниот диференцијал се нарекува неопределена интеграција, бидејќи резултатот од интеграцијата не е една функција F(x), туку множество од нејзините антидеривати F(x)+C.

Интеграли на табели

Наједноставните својства на интегралите

1. Изводот на резултатот од интеграцијата е еднаков на интеграндот.

2. Неопределен интеграл на диференцијалната функција еднаков на збиротсамата функција и произволна константа.

3. Коефициентот може да се извади од знакот на неопределен интеграл.

4. Неопределениот интеграл на збирот/разликата на функциите е еднаков на збирот/разликата на неопределените интеграли на функциите.

За појаснување се дадени средни еднаквости на првото и второто својство на неопределен интеграл.

За да се докаже третата и четвртата особина, доволно е да се најдат дериватите на десната страна на еднаквостите:

Овие деривати се еднакви на интеградите, што е доказ поради првото својство. Се користи и во последните транзиции.

Така, проблемот на интеграција е обратен од проблемот на диференцијација, и постои многу тесна врска помеѓу овие проблеми:

првото својство овозможува да се провери интеграцијата. За да се провери исправноста на извршената интеграција, доволно е да се пресмета дериватот на добиениот резултат. Ако функцијата добиена како резултат на диференцијација се покаже дека е еднаква на интеграндот, тоа ќе значи дека интеграцијата е извршена правилно;

второто својство на неопределениот интеграл овозможува да се најде неговиот антидериват од познат диференцијал на функцијата. Директната пресметка на неопределените интеграли се заснова на ова својство.

1.4.Непроменливост на формите за интеграција.

Инваријантната интеграција е вид на интеграција за функции чии аргументи се елементи на група или точки на хомоген простор (која било точка во таков простор може да се пренесе на друга со дадено дејство на групата).

функцијата f(x) се сведува на пресметување на интегралот на диференцијалната форма f.w, каде

Подолу е дадена експлицитна формула за r(x). Условот за договор ја има формата .

овде Tg значи оператор на смена на X користејќи gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Нека X=G е топологија, група која дејствува на себе со лево поместување. Јас и. постои ако и само ако G е локално компактен (особено, на бесконечно-димензионални групи I.I. не постои). За подмножество од I. и. карактеристиката cA (еднаква на 1 на A и 0 надвор од A) ја одредува левата Xaar мерка m(A). Дефинирачкото својство на оваа мерка е нејзината непроменливост при лево поместување: m(g-1A)=m(A) за сите gОG. Левата мерка на Хаар на група е уникатно дефинирана до позитивен скаларен фактор. Ако е позната мерката на Хаар m, тогаш I. и. функцијата f е дадена со формулата . Правата мерка на Хаар има слични својства. Постои континуиран хомоморфизам (карта со зачувување на својствата на групата) DG од групата G во позиција на групата (во однос на множењето). броеви за кои

каде што dmr и dmi се десната и левата Haar мерки. Се повикува функцијата DG(g). модул на групата G. Ако , тогаш се повикува групата G. унимодуларен; во овој случај десната и левата мерка на Хаар се совпаѓаат. Компактните, полуедноставните и немоќните (особено комутативните) групи се унимодуларни. Ако G е n-димензионална Lie група и q1,...,qn е основа во просторот на лево-инваријантните 1-форми на G, тогаш левата Haar мерка на G е дадена со n-формата. Во локални координати за пресметка

формира qi, можете да користите било која матрична реализација на групата G: матрицата 1-форма g-1dg е оставена непроменлива, а нејзиниот коефициент. се лево-инваријантни скаларни 1-форми од кои се избира потребната основа. На пример, комплетната матрична група GL(n, R) е унимодуларна и мерката Haar на неа е дадена со формата. Нека X=G/H е хомоген простор за кој локално збиената група G е трансформациска група, а затворената подгрупа H е стабилизатор на одредена точка. За да постои i.i на X, потребно е и доволно за сите hОH да важи еднаквоста DG(h)=DH(h). Особено, ова е точно во случај кога H е компактен или полупрост. Целосна теорија на I. и. не постои на бесконечно-димензионални колектори.

Замена на променливи.

Решавањето интеграли е лесна задача, но само за неколку одбрани. Оваа статија е за оние кои сакаат да научат да ги разбираат интегралите, но не знаат ништо или речиси ништо за нив. Интегрално... Зошто е потребно? Како да го пресметате? Што се определени и неопределени интеграли?

Ако единствената употреба за која знаете за интегралот е да користите кука за капчиња во облик на интегрална икона за да добиете нешто корисно од тешко достапни места, тогаш добредојде! Дознајте како да ги решите наједноставните и другите интеграли и зошто не можете без тоа во математиката.

Го проучуваме концептот « интегрален »

Интеграцијата беше позната уште одназад Антички Египет. Се разбира, не во неговата модерна форма, но сепак. Оттогаш, математичарите напишаа многу книги на оваа тема. Особено се истакнаа Њутн И Лајбниц , но суштината на нештата не е променета.

Како да ги разберете интегралите од нула? Нема шанси! За да ја разберете оваа тема, сепак ќе ви треба основно разбирање на основите. математичка анализа. Веќе имаме информации за , неопходни за разбирање на интегралите, на нашиот блог.

Неопределен интеграл

Да имаме некоја функција f(x) .

Неопределена интегрална функција f(x) оваа функција се нарекува F(x) , чиј извод е еднаков на функцијата f(x) .

Со други зборови, интегралот е дериват обратно или антидериват. Патем, прочитајте за тоа како во нашата статија.

Постои антидериват за сите континуирани функции. Исто така, константен знак често се додава на антидеривативот, бидејќи дериватите на функциите кои се разликуваат со константа се совпаѓаат. Процесот на пронаоѓање на интегралот се нарекува интеграција.

Едноставен пример:

За да не се пресметуваат постојано антидеривати елементарни функции, погодно е да се сумираат во табела и да се користат готови вредности.

Комплетна табела со интеграли за ученици

Дефинитивен интеграл

Кога се занимаваме со концептот на интеграл, имаме работа со бесконечно мали величини. Интегралот ќе помогне да се пресмета плоштината на фигурата, масата на нерамномерно тело, поминатото растојание при нерамномерно движење и многу повеќе. Треба да се запомни дека интегралот е збир од бесконечно голем број бесконечно мали членови.

Како пример, замислете график на некоја функција.

Како да се најде плоштината на фигурата ограничена со графикот на функцијата? Користење на интеграл! Да го поделиме криволинискиот трапез, ограничен со координатните оски и графикот на функцијата, на бесконечно мали отсечки. На овој начин фигурата ќе се подели на тенки колони. Збирот на површините на столбовите ќе биде плоштината на трапезоидот. Но, запомнете дека таквата пресметка ќе даде приближен резултат. Сепак, колку се помали и потесни сегментите, толку попрецизна ќе биде пресметката. Ако ги намалиме до тој степен што должината се стреми кон нула, тогаш збирот на површините на сегментите ќе се стреми кон плоштината на сликата. Ова е дефинитивен интеграл, кој е напишан вака:

Точките a и b се нарекуваат граници на интеграција.

« Интегрален »

Патем! За нашите читатели сега има попуст од 10%.

Правила за пресметување интеграли за кукли

Својства на неопределен интеграл

Како да се реши неопределен интеграл? Овде ќе ги разгледаме својствата на неопределениот интеграл, кои ќе бидат корисни при решавање на примери.

• Изводот на интегралот е еднаков на интеграндот:

• Константата може да се извади од под интегралниот знак:

• Интегралот на збирот е еднаков на збирот на интегралите. Ова важи и за разликата:

Својства на определен интеграл

• Линеарност:

• Знакот на интегралот се менува ако се заменат границите на интеграцијата:

• На било којпоени а, бИ Со:

Веќе дознавме дека определен интеграл е граница на збир. Но, како да се добие одредена вредност при решавање на пример? За ова постои формулата Њутн-Лајбниц:

Примери за решавање интеграли

Подолу ќе разгледаме неопределен интеграл и примери со решенија. Ви предлагаме сами да ги разберете сложеноста на решението, а ако нешто не е јасно, поставувајте прашања во коментарите.

За да го засилите материјалот, погледнете видео за тоа како се решаваат интегралите во пракса. Не очајувајте ако интегралот не се даде веднаш. Контактирајте со професионална служба за студенти и секој троен или заоблен интеграл над затворена површина ќе биде во ваша моќ.

Оваа статија детално зборува за главните својства на дефинитивниот интеграл. Тие се докажани со користење на концептот на интегралот Риман и Дарбукс. Пресметувањето на одреден интеграл се одвива благодарение на 5 својства. Останатите се користат за оценување на различни изрази.

Пред да преминеме на главните својства на определениот интеграл, потребно е да се увериме дека a не надминува b.

Основни својства на определениот интеграл

Функцијата y = f (x) дефинирана на x = a е слична на правилната еднаквост ∫ a a f (x) d x = 0.

Доказ 1

Од ова гледаме дека вредноста на интегралот со совпаѓачки граници е еднаква на нула. Ова е последица на Римановиот интеграл, бидејќи секој интегрален збир σ за која било партиција на интервалот [a; a ] и секој избор на точки ζ i е еднаков на нула, бидејќи x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , што значи дека наоѓаме дека границата на интегралните функции е нула.

Дефиниција 2

За функција која е интегрирана на интервалот [a; b ] , условот ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x е задоволен.

Доказ 2

Со други зборови, ако ги замените горните и долните граници на интеграцијата, вредноста на интегралот ќе се смени во спротивна вредност. Ова својство е преземено од Римановиот интеграл. Меѓутоа, нумерирањето на партицијата на отсечката започнува од точката x = b.

Дефиниција 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x се однесува на интегрирани функции од типот y = f (x) и y = g (x) дефинирани на интервалот [ a ; б].

Доказ 3

Запишете го интегралниот збир на функцијата y = f (x) ± g (x) за поделба на отсечки со даден избор на точки ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

каде σ f и σ g се интегралните збирови на функциите y = f (x) и y = g (x) за поделба на отсечката. По преминувањето до границата на λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 добиваме дека lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Од дефиницијата на Риман, овој израз е еквивалентен.

Дефиниција 4

Проширување на константниот фактор надвор од знакот на определениот интеграл. Интегрирана функција од интервалот [a; b ] со произволна вредност k има фер неравенство од формата ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Доказ 4

Доказот за определеното интегрално својство е сличен на претходниот:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

Дефиниција 5

Ако функцијата од формата y = f (x) е интеграбилна на интервал x со ∈ x, b ∈ x, добиваме дека ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x.

Доказ 5

Својството се смета за валидно за c ∈ a; b, за c ≤ a и c ≥ b. Доказот е сличен на претходните својства.

Дефиниција 6

Кога функцијата може да се интегрира од сегментот [a; b ], тогаш ова е изводливо за кој било внатрешен сегмент c; d ∈ a; б.

Доказ 6

Доказот се заснова на својството Darboux: ако точките се додадат на постоечка партиција на сегмент, тогаш долната сума на Darboux нема да се намали, а горната нема да се зголеми.

Дефиниција 7

Кога функцијата е интегрирана на [a; b ] од f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 за која било вредност x ∈ a ; b , тогаш добиваме дека ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Својството може да се докаже со помош на дефиницијата за Римановиот интеграл: која било интегрална сума за кој било избор на точки на поделба на отсечката и точки ζ i со услов f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 да е ненегативен .

Доказ 7

Ако функциите y = f (x) и y = g (x) се интегрирани на интервалот [ a ; b ], тогаш следните неравенки се сметаат за валидни:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; б

Благодарение на изјавата, знаеме дека интеграцијата е дозволена. Овој заклучок ќе се користи за докажување на други својства.

Дефиниција 8

За интеграбилна функција y = f (x) од интервалот [ a ; b ] имаме фер неравенство од формата ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Доказ 8

Имаме дека - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Од претходното својство откривме дека неравенството може да се интегрира член по член и одговара на неравенство од формата - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Оваа двојна неравенка може да се запише во друга форма: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Дефиниција 9

Кога функциите y = f (x) и y = g (x) се интегрирани од интервалот [ a ; b ] за g (x) ≥ 0 за било кој x ∈ a ; b , добиваме неравенство од формата m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x, каде што m = m i n x ∈ a ; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Доказ 9

Доказот се изведува на сличен начин. M и m се сметаат за најголеми и најмали вредности на функцијата y = f (x) дефинирани од отсечката [a; b ] , тогаш m ≤ f (x) ≤ M . Потребно е двојното неравенство да се помножи со функцијата y = g (x), која ја дава вредноста двојна нееднаквостод формата m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . Неопходно е да се интегрира на интервалот [a; b ] , тогаш го добиваме исказот што треба да се докаже.

Последица: За g (x) = 1, неравенството добива форма m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Првата просечна формула

За y = f (x) интеграбилна на интервалот [ a ; b ] со m = m i n x ∈ a ; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) има број μ ∈ m; M , што одговара на ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Последица: Кога функцијата y = f (x) е континуирана од интервалот [ a ; b ], тогаш има број c ∈ a; b, што ја задоволува еднаквоста ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

Првата просечна формула во генерализирана форма

Кога функциите y = f (x) и y = g (x) се интегрирани од интервалот [ a ; b ] со m = m i n x ∈ a ; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) , и g (x) > 0 за која било вредност x ∈ a ; б. Од тука имаме дека има број μ ∈ m; M , што ја задоволува еднаквоста ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x.

Втора просечна формула

Кога функцијата y = f (x) е интегрирана од интервалот [ a ; b ], и y = g (x) е монотон, тогаш има број кој c ∈ a; b , каде што добиваме правилна еднаквост на формата ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Во диференцијалното пресметување проблемот е решен: под оваа функција ƒ(x) го наоѓа својот извод(или диференцијал). Интегралното сметање ја решава инверзната задача: најдете ја функцијата F(x), знаејќи го нејзиниот извод F "(x)=ƒ(x) (или диференцијал). Бараната функција F(x) се нарекува антидериват на функцијата ƒ(x ).

Се повикува функцијата F(x). антидериватфункција ƒ(x) на интервалот (a; b), ако за кој било x є (a; b) еднаквоста

F "(x)=ƒ(x) (или dF(x)=ƒ(x)dx).

На пример, антидериватот на функцијата y = x 2, x є R, е функцијата, бидејќи

Очигледно, сите функции ќе бидат и антидеривати

каде што C е константа, бидејќи

Теорема 29. 1. Ако функцијата F(x) е антидериват на функцијата ƒ(x) на (a;b), тогаш множеството од сите антидеривати за ƒ(x) е дадено со формулата F(x)+ C, каде што C е константен број.

▲ Функцијата F(x)+C е антидериват на ƒ(x).

Навистина, (F(x)+C) " =F" (x)=ƒ(x).

Нека Ф(x) е некој друг, различен од F(x), антидериват на функцијата ƒ(x), т.е. Ф "(x)=ƒ(х). Тогаш за кој било x є (а;б) имаме

И ова значи (види заклучок 25.1) дека

каде што C е константен број. Затоа, Ф(x)=F(x)+С.▼

Се нарекува множеството од сите антидеривативни функции F(x)+С за ƒ(x). неопределен интеграл на функцијата ƒ(x)и се означува со симболот ∫ ƒ(x) dx.

Така, по дефиниција

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Овде се нарекува ƒ(x). интегранд функција, ƒ(x)dx — интегрален израз, X - интеграциска променлива, ∫ -знак на неопределен интеграл.

Операцијата за наоѓање на неопределен интеграл на функција се нарекува интегрирање на оваа функција.

Геометриски, неопределениот интеграл е фамилија на „паралелни“ криви y=F(x)+C (секоја нумеричка вредност на C одговара на специфична крива на семејството) (види Сл. 166). Графикот на секој антидериват (крива) се нарекува интегрална крива.

Дали секоја функција има неопределен интеграл?

Постои теорема која вели дека „секоја континуирана функција на (a;b) има антидериват на овој интервал“, и, следствено, неопределен интеграл.

Да забележиме голем број својства на неопределениот интеграл што произлегуваат од неговата дефиниција.

1. Диференцијалот на неопределен интеграл е еднаков на интеграндот, а изводот на неопределен интеграл е еднаков на интеграндот:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Навистина, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F "(x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Благодарение на ова својство, исправноста на интеграцијата се проверува со диференцијација. На пример, еднаквост

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

точно, бидејќи (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Неопределениот интеграл на диференцијалот на одредена функција е еднаков на збирот на оваа функција и произволна константа:

∫dF(x)= F(x)+C.

Навистина,

3. Константниот фактор може да се извади од интегралниот знак:

α ≠ 0 е константа.

Навистина,

(ставете C 1 / a = C.)

4. Неопределениот интеграл на алгебарскиот збир на конечен број непрекинати функции е еднаков на алгебарскиот збир на интегралите на збировите на функциите:

Нека F"(x)=ƒ(x) и G"(x)=g(x). Потоа

каде што C 1 ± C 2 = C.

5. (Непроменливост на формулата за интеграција).

Ако , каде што u=φ(x) е произволна функција со континуиран извод.

▲ Нека x е независна променлива, ƒ(x) - континуирана функцијаа F(x) е неговиот антиген. Потоа

Сега да поставиме u=φ(x), каде што φ(x) е континуирано диференцијабилна функција. Да ја разгледаме сложената функција F(u)=F(φ(x)). Поради непроменливоста на формата на првиот диференцијал на функцијата (види стр. 160), имаме

Од тука ▼

Така, формулата за неопределен интеграл останува валидна без разлика дали променливата на интеграција е независната променлива или која било нејзина функција што има континуиран извод.

Значи, од формулата со замена на x со u (u=φ(x)) добиваме

Особено,

Пример 29.1.Најдете го интегралот

каде што C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

Пример 29.2.Најдете го интегралното решение:

• 29.3. Табела на основни неопределени интеграли

Искористувајќи го фактот дека интеграцијата е инверзно дејство на диференцијацијата, може да се добие табела на основни интеграли со инвертирање на соодветните формули на диференцијално сметање (табела на диференцијали) и користење на својствата на неопределен интеграл.

На пример, бидејќи

d(sin u)=cos u . ду

Изведувањето на одреден број формули во табелата ќе биде дадено кога се разгледуваат основните методи на интеграција.

Интегралите во табелата подолу се нарекуваат табеларни. Тие треба да се знаат напамет. Во интегралното сметање не постојат едноставни и универзални правила за пронаоѓање на антидеривати на елементарните функции, како во диференцијалното сметање. Методите за пронаоѓање на антидеривати (т.е. интегрирање на функција) се сведуваат на индицирање на техники кои носат даден (баран) интеграл во табеларен. Затоа, неопходно е да се знаат интегралите на табелата и да се умее да ги препознава.

Забележете дека во табелата со основни интеграли, променливата за интеграција може да означува и независна променлива и функција од независната променлива (според својството на непроменливост на формулата за интеграција).

Валидноста на формулите подолу може да се потврди со земање на диференцијалот од десната страна, кој ќе биде еднаков на интеграндот од левата страна на формулата.

Да ја докажеме, на пример, валидноста на формулата 2. Функцијата 1/u е дефинирана и континуирана за сите вредности на и освен нула.

Ако u > 0, тогаш ln|u|=lnu, тогаш Затоа

Ако у<0, то ln|u|=ln(-u). НоСредства

Значи, формулата 2 е точна. Слично на тоа, да ја провериме формулата 15:

Табела на главни интеграли

Пријатели! Ве покануваме да разговараме. Доколку имате свое мислење, пишете ни во коментар.