Интеграција - MT1205: Математичка анализа за економисти - бизнис информатика. Интегрирање на некои дропки. Методи и техники за решавање Правила за интеграција на дропки

Дропката се нарекува точно, ако највисокиот степен на броителот е помал од највисокиот степен на именителот. Интегралот на правилна рационална дропка има форма:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Формулата за интегрирање на рационални дропки зависи од корените на полиномот во именителот. Ако полиномот $ ax^2+bx+c $ има:

1. Само сложени корени, тогаш од него е потребно да се извлече целосен квадрат: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Различни вистински корени $ x_1 $ и $ x_2 $, тогаш треба да го проширите интегралот и да ги пронајдете неопределените коефициенти $ A $ и $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac (A) (x-x_1) dx + \int \frac (B) (x-x_2) dx $$
3. Еден повеќекратен корен $ x_1 $, потоа го прошируваме интегралот и ги наоѓаме неопределените коефициенти $ A $ и $ B $ за следната формула: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Ако дропката е погрешно, односно, највисокиот степен во броителот е поголем или еднаков на највисокиот степен на именителот, тогаш прво мора да се намали на точноформираат со делење на полиномот од броителот со полиномот од именителот. ВО во овој случајформулата за интегрирање на рационална дропка има форма:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Примери на решенија

Материјалот презентиран во оваа тема се базира на информациите презентирани во темата „Рационални дропки. Разложување на рационални дропки на елементарни (прости) дропки“. Топло препорачувам барем да ја прелистате оваа тема пред да преминете на читање. од овој материјал. Покрај тоа, ќе ни треба табела со неопределени интеграли.

Дозволете ми да ве потсетам на неколку термини. Тие беа дискутирани во соодветната тема, па затоа овде ќе се ограничам на кратка формулација.

Односот на два полиноми $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ се нарекува рационална функција или рационална дропка. Се нарекува рационалната дропка точно, ако $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется погрешно.

Елементарните (наједноставните) рационални дропки се рационални дропки од четири типа:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Забелешка (пожелно за поцелосно разбирање на текстот): прикажи/скриј

Зошто е потребен условот $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

На пример, за изразот $x^2+5x+10$ добиваме: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Бидејќи $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Патем, за оваа проверка воопшто не е потребно коефициентот пред $x^2$ да биде еднаков на 1. На пример, за $5x^2+7x-3=0$ добиваме: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Бидејќи $D > 0$, изразот $5x^2+7x-3$ може да се факторизира.

Може да се најдат примери на рационални дропки (правилни и неправилни), како и примери на разложување на рационална дропка на елементарни. Овде ќе не интересираат само прашањата за нивната интеграција. Да почнеме со интеграција на елементарните дропки. Значи, секој од четирите типа на елементарни фракции погоре е лесно да се интегрира со помош на формулите подолу. Да ве потсетам дека при интегрирање на дропки од типовите (2) и (4), се претпоставува $n=2,3,4,\ldots$. Формулите (3) и (4) бараат исполнување на условот $p^2-4q< 0$.

\почеток(равенка) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(равенка) \почеток(равенка) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(равенка) \почеток(равенка) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(равенка)

За $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ се прави замената $t=x+\frac(p)(2)$, по што добиениот интервал е поделени на два. Првиот ќе се пресметува со внесување под диференцијалниот знак, а вториот ќе има форма $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Овој интеграл е земен со користење на релација за повторување

\почеток(равенка) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\во N\крај (равенка)

Пресметката на таков интеграл е разгледана во примерот бр. 7 (види третиот дел).

Шема за пресметување интеграли на рационални функции (рационални дропки):

1. Ако интеграндот е елементарен, тогаш примени ги формулите (1)-(4).
2. Ако интеграндот не е елементарен, тогаш претставувајте го како збир од елементарни дропки, а потоа интегрирајте користејќи ги формулите (1)-(4).

Горенаведениот алгоритам за интегрирање на рационални дропки има непобитна предност - тој е универзален. Оние. користејќи го овој алгоритам можете да интегрирате било којрационална дропка. Затоа речиси сите промени на променливите во неопределен интеграл (Ојлер, Чебишев, универзална тригонометриска замена) се направени така што по оваа промена добиваме рационална дропка под интервалот. И потоа примени го алгоритмот на него. Ќе ја анализираме директната примена на овој алгоритам користејќи примери, откако ќе направиме мала забелешка.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Во принцип, овој интеграл лесно се добива без механичка примена на формулата. Ако ја извадиме константата $7$ од интегралниот знак и земеме предвид дека $dx=d(x+9)$, ќе добиеме:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

За подетални информации, препорачувам да ја погледнете темата. Детално објаснува како се решаваат ваквите интеграли. Патем, формулата се докажува со истите трансформации што беа применети во овој став при нејзиното решавање „рачно“.

2) Повторно, постојат два начина: користете ја готовата формула или направете без неа. Ако ја примените формулата, тогаш треба да земете предвид дека коефициентот пред $x$ (број 4) ќе треба да се отстрани. За да го направите ова, едноставно да ги извадиме овие четири од загради:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\десно)\десно)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\лево(x+\frac(19)(4)\десно)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\лево(x+\frac(19)(4)\десно)^8). $$

Сега е време да се примени формулата:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\десно)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\лево(x+\frac(19)(4) \десно)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \десно)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \десно )^7)+C. $$

Можете да направите без да ја користите формулата. Па дури и без вадење на константните 4$ од заградите. Ако земеме во предвид дека $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, добиваме:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Детални објаснувања за пронаоѓање на вакви интеграли се дадени во темата „Интеграција со замена (замена под диференцијален знак)“.

3) Треба да ја интегрираме дропката $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Оваа дропка има структура $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, каде што $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Меѓутоа, за да бидете сигурни дека ова е навистина елементарна дропка од третиот тип, треба да проверите дали е исполнет условот $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Да го решиме истиот пример, но без да користиме готова формула. Ајде да се обидеме да го изолираме изводот на именителот во броителот. Што значи тоа? Знаеме дека $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Тоа е изразот $2x+10$ што треба да го изолираме во броителот. Досега броителот содржи само $4x+7$, но ова нема да трае долго.Да ја примениме следнава трансформација на броителот:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Сега бараниот израз $2x+10$ се појавува во броителот. И нашиот интеграл може да се преработи на следниов начин:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Ајде да го поделиме интеграндот на два дела. Па, и, соодветно, самиот интеграл е исто така „двоен“:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \десно)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Прво да зборуваме за првиот интеграл, т.е. околу $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Бидејќи $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, тогаш броителот на интеграндот го содржи диференцијалот на именителот. Накратко, наместо од изразот $( 2x+10)dx$ пишуваме $d(x^2+10x+34)$.

Сега да кажеме неколку зборови за вториот интеграл. Да избереме целосен квадрат во именителот: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Дополнително, земаме предвид $dx=d(x+5)$. Сега збирот на интеграли што ги добивме порано може да се препише во малку поинаква форма:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Ако во првиот интеграл ја направиме замената $u=x^2+10x+34$, тогаш таа ќе има форма $\int\frac(du)(u)$ и може да се добие со едноставно примена на втората формула од . Што се однесува до вториот интеграл, за него е изводлива промената $u=x+5$, по што ќе добие форма $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ова е најчистата единаесетта формула од табелата со неопределени интеграли. Значи, враќајќи се на збирот на интеграли, имаме:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Го добивме истиот одговор како и при примената на формулата, што, строго кажано, не изненадува. Генерално, формулата се докажува со истите методи што ги користевме за да го најдеме овој интеграл. Верувам дека внимателниот читател може да има едно прашање овде, па ќе го формулирам:

Прашање бр.1

Ако ја примениме втората формула од табелата со неопределени интеграли на интегралот $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, тогаш го добиваме следново:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Зошто немаше модул во решението?

Одговор на прашањето бр. 1

Прашањето е сосема природно. Модулот недостасуваше само затоа што изразот $x^2+10x+34$ за кој било $x\in R$ е поголем од нула. Ова е прилично лесно да се покаже на неколку начини. На пример, бидејќи $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ и $(x+5)^2 ≥ 0$, тогаш $(x+5)^2+9 > 0$ . Можете да размислувате поинаку, без да користите избор на целосен квадрат. Од $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ за било кој $x\in R$ (ако овој логичен синџир е изненадувачки, ве советувам да го погледнете графичкиот метод за решавање на квадратни неравенки). Во секој случај, бидејќи $x^2+10x+34 > 0$, тогаш $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, т.е. Наместо модул, можете да користите обични загради.

Сите точки од примерот бр. 1 се решени, останува само да се запише одговорот.

Одговори:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C$.

Пример бр. 2

Најдете го интегралот $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

На прв поглед, интегрантската дропка $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ е многу слична со елементарна дропка од третиот тип, т.е. од $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Се чини дека единствената разлика е коефициентот од $3$ пред $x^2$, но не треба долго да се отстрани коефициентот (да се стави надвор од заградите). Сепак, оваа сличност е очигледна. За дропката $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ условот $p^2-4q е задолжителен< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Нашиот коефициент пред $x^2$ не е еднаков на еден, затоа проверете го условот $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, затоа изразот $3x^2-5x-2$ може да се факторизира. Ова значи дека дропката $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ не е елементарна дропка од третиот тип и примени $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) на интегралната формула 5x-2)dx$ не е можно.

Па, ако дадената рационална дропка не е елементарна дропка, тогаш таа треба да се претстави како збир на елементарни дропки и потоа да се интегрира. Накратко, искористете ја предноста на патеката. Детално е напишано како да се разложи рационална дропка на елементарни. Да почнеме со факторингирање на именителот:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \почеток(порамнет) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\крај (порамнет)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\десно)\десно)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\десно)(x-2). $$

Ја претставуваме субинтеркалната фракција во оваа форма:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\десно)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\десно)(x-2)). $$

Сега да ја разложиме дропот $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\десно)(x-2))$ на елементарни:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\лево(x+\frac(1)(3)\десно)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\лево(x+\frac(1)(3)\десно))(\лево(x+ \frac(1)(3)\десно)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\десно). $$

За да се најдат коефициентите $A$ и $B$ постојат два стандардни начини: методот на неодредени коефициенти и методот на замена на парцијални вредности. Да го примениме методот за замена на делумна вредност, заменувајќи $x=2$ и потоа $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\десно).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\десно); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \десно)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\десно)+B\лево (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\десно); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Бидејќи се пронајдени коефициентите, останува само да се запише завршеното проширување:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\лево(x+\frac(1)(3)\десно)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Во принцип, можете да го оставите овој запис, но ми се допаѓа попрецизна опција:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\десно)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Враќајќи се на оригиналниот интеграл, го заменуваме добиеното проширување во него. Потоа го делиме интегралот на два, а формулата ја применуваме на секој. Претпочитам веднаш да ги ставам константите надвор од интегралниот знак:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\десно)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\десно)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\десно)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\лево|x+\frac(1)(3)\десно|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Одговори: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\десно| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Пример бр. 3

Најдете го интегралот $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Треба да ја интегрираме дропката $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Бројачот содржи полином од втор степен, а именителот содржи полином од трет степен. Бидејќи степенот на полиномот во броителот е помал од степенот на полиномот во именителот, т.е. 2 долари< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Сè што треба да направиме е да го поделиме дадениот интеграл на три и да ја примениме формулата на секој. Претпочитам веднаш да ги ставам константите надвор од интегралниот знак:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \десно)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Одговори: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Продолжението на анализата на примери од оваа тема се наоѓа во вториот дел.

Да ве потсетиме дека фракционо-рационалносе нарекуваат функции од формата $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ во општиот случај е односот на два полиноми %%P_n(x)%% и % %Q_m(x)% %.

Ако %%m > n \geq 0%%, тогаш се повикува рационалната дропка точно, во спротивно - неточно. Користејќи го правилото за делење полиноми, неправилната рационална дропка може да се претстави како збир на полином %%P_(n - m)%% од степен %%n - m%% и некоја соодветна дропка, т.е. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ каде степенот %%l%% од полиномот %%P_l(x)%% е помал од степенот %%n%% од полиномот %%Q_n(x)%%.

Така, неопределен интегрална рационална функција може да се претстави како збир на неопределени интеграли на полином и правилна рационална дропка.

Интеграли од едноставни рационални дропки

Меѓу правилните рационални дропки, постојат четири типа, кои се класифицирани како едноставни рационални дропки:

1. %%\стил на прикажување \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\стил на прикажување \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\стил на приказ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\стил на приказ \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

каде %%k > 1%% е цел број и %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. квадратни равенкинемаат вистински корени.

Пресметување на неопределени интеграли на дропки од првите два вида

Пресметувањето на неопределени интеграли на дропките од првите два типа не предизвикува тешкотии: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(низа) $$

Пресметување на неопределени интеграли на дропки од трет тип

Прво го трансформираме третиот тип на дропка со истакнување на совршениот квадрат во именителот: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2 )^2 + q - p^2/4), $$ бидејќи %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, што го означуваме како %%a^2%%. Исто така, заменувајќи ги %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, го трансформираме именителот и го запишуваме интегралот од третата дропка во форма $$ \begin(низа )(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (На + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \крај (низа) $$

Користејќи ја линеарноста на неопределениот интеграл, го претставуваме последниот интеграл како збир од два и во првиот од нив го воведуваме %%t%% под диференцијалниот знак: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (На + (B - A p /2)) (t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \лево(B - \frac(pA)(2)\десно)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\десно))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \лево| t^2 + a^2\десно| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end (низа) $$

Враќајќи се на оригиналната променлива %%x%%, како резултат на тоа, за дел од третиот тип добиваме $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \лево| x^2 + px + q\десно| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ каде %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

Пресметувањето на интеграл од тип 4 е тешко и затоа не е опфатено во овој курс.

Пред да започнете со интегрирање на едноставни дропки за да го пронајдете неопределен интеграл на фракционо рационална функција, се препорачува да се префрлите на делот „Разложување на дропки на едноставни“.

Пример 1

Да го најдеме неопределениот интеграл ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x .

Решение

Да го избереме целиот дел со делење на полиномот со полиномот со колона, земајќи го предвид фактот дека степенот на броителот на интеграндот е еднаков на степенот на именителот:

Затоа 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x. Ја добивме точната рационална дропка - 2 x + 3 x 3 + x, која сега ќе ја разложиме на едноставни дропки - 2 x + 3 x 3 + x = 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. Оттука,

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

Го добивме интегралот на наједноставната дропка од третиот тип. Можете да го земете така што ќе го ставите под диференцијалниот знак.

Бидејќи d x 2 + 1 = 2 x d x, тогаш 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1. Затоа
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 l x n + 1 + 2 a r c t g x + C 1

Оттука,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , каде што C = - C 1

Дозволете ни да опишеме методи за интегрирање на едноставни фракции од секој од четирите типови.

Интеграција на едноставни дропки од првиот тип A x - a

За да го решиме овој проблем, го користиме методот на директна интеграција:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

Пример 2

Најдете го множеството антидеривати на функцијата y = 3 2 x - 1 .

Решение

Користејќи го правилото за интеграција, својствата на антидериватот и табелата на антидеривати, го наоѓаме неопределениот интеграл ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k · x + b d x = 1 k · F k · x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Одговор: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Интеграција на едноставни дропки од вториот тип A x - a n

Методот на директна интеграција е исто така применлив овде: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

Пример 3

Потребно е да се најде неопределен интеграл ∫ d x 2 x - 3 7 .

Решение

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 · - 6 · x - 3 2 6 + C = = 1 2 · - 6 · 2 6 · x - 3 2 6 + C = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Одговор:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Интеграција на едноставни дропки од третиот тип M x + N x 2 + p x + q, D = p 2 - 4 q< 0

Првиот чекор е да се претстави неопределениот интеграл ∫ M x + N x 2 + p x + q како збир:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

За да го земеме првиот интеграл, го користиме методот на подведување на диференцијалниот знак:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x - 2 + p x + p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Затоа,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Го добивме интегралот ∫ d x x 2 + p x + q . Да го трансформираме неговиот именител:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Оттука,

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 · 2 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Формулата за интегрирање на едноставни дропки од третиот тип ја има формата:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

Пример 4

Потребно е да се најде неопределен интеграл ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x.

Решение

Да ја примениме формулата:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Второто решение изгледа вака:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = = конвертибилна вредност = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Одговор: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Интеграција на наједноставните дропки од четвртиот тип M x + N (x 2 + p x + q) n, D = p 2 - 4 q< 0

Пред сè, вршиме одземање на диференцијалниот знак:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

Потоа наоѓаме интеграл од формата J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n користејќи формули за повторување. Информации за формулите за повторување може да се најдат во темата „Интеграција со користење на формули за повторување“.

За да го решиме нашиот проблем, рекурентна формула од формата J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q е погоден - p 2 · J n - 1 .

Пример 5

Потребно е да се најде неопределен интеграл ∫ d x x 5 x 2 - 1 .

Решение

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Ќе го користиме методот на замена за овој тип на интегранд. Ајде да воведеме нова променлива x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

Добиваме:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

Дојдовме до наоѓање на интеграл на дропка од четврти тип. Во нашиот случај имаме коефициенти M = 0, p = 0, q = 1, N = 1и n = 3. Ја применуваме рекурентната формула:

J 3 = ∫ d z (z 2 + 1) 3 = 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 · 1 - 0 · ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) · (4 · 1 - 0) · (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

По обратна замена z = x 2 - 1 го добиваме резултатот:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Одговор:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Како што веќе забележав, во интегралното сметање не постои погодна формула за интегрирање на дропка. И затоа, постои тажен тренд: колку е пософистицирана фракцијата, толку е потешко да се најде нејзиниот интеграл. Во овој поглед, треба да прибегнете кон разни трикови, за кои сега ќе ви кажам. Подготвените читатели можат веднаш да ги искористат предностите содржина:

• Начин на подигнување на диференцијалниот знак за едноставни дропки

Метод на конверзија на вештачки броител

Пример 1

Патем, разгледуваниот интеграл може да се реши и со промена на методот на променлива, означувајќи , но пишувањето на решението ќе биде многу подолго.

Пример 2

Најдете го неопределен интеграл. Направете проверка.

Ова е пример за независна одлука. Треба да се напомене дека методот за замена на променливата повеќе нема да работи овде.

Внимание, важно! Примерите бр. 1, 2 се типични и се појавуваат често. Особено, таквите интеграли често се појавуваат при решавање на други интеграли, особено при интегрирање на ирационални функции (корени).

Разгледуваната техника исто така функционира во случајот ако највисокиот степен на броителот е поголем од највисокиот степен на именителот.

Пример 3

Најдете го неопределен интеграл. Направете проверка.

Почнуваме да го избираме броителот.

Алгоритмот за избор на броител е нешто вака:

1) Во броителот треба да организирам, но таму. Што да се прави? Го ставам во загради и множам со: .

2) Сега се обидувам да ги отворам овие загради, што се случува? . Хм... тоа е подобро, но првично нема два во броителот. Што да се прави? Треба да се помножите со:

3) Повторно ги отворам заградите: . И еве го првиот успех! Испадна точно! Но, проблемот е што се појави дополнителен термин. Што да се прави? За да не се промени изразот, морам да го додадам истото во мојата конструкција:
. Животот стана полесен. Дали е можно повторно да се организира во броителот?

4) Можно е. Да пробаме: . Отворете ги заградите од вториот термин:
. Извинете, но во претходниот чекор всушност имав, не. Што да се прави? Треба да го помножите вториот член со:

5) Повторно, за да проверам, ги отворам заградите во вториот термин:
. Сега е нормално: добиено од конечната конструкција на точка 3! Но, повторно има мало „но“, се појави дополнителен термин, што значи дека морам да додадам на мојот израз:

Ако сè е направено правилно, тогаш кога ќе ги отвориме сите загради треба да го добиеме оригиналниот броител на интеграндот. Проверуваме:
Аспиратор.

Така:

Подготвени. Во последниот член, го користев методот на подведување на функција под диференцијал.

Ако го најдеме изводот на одговорот и го намалиме изразот на заеднички именител, тогаш ќе ја добиеме токму оригиналната интегранд функција. Разгледаниот метод на распаѓање во збир не е ништо повеќе од обратна акција на доведување израз до заеднички именител.

Алгоритмот за избор на броител во вакви примери најдобро се прави во нацрт-форма. Со некои вештини ќе функционира и ментално. Се сеќавам на еден рекорден случај кога изведував избор за 11-та сила, а проширувањето на броителот зафаќаше речиси два реда од Верд.

Пример 4

Најдете го неопределен интеграл. Направете проверка.

Ова е пример за да го решите сами.

Начин на подигнување на диференцијалниот знак за едноставни дропки

Ајде да продолжиме да го разгледуваме следниот тип на дропки.
, , , (коефициенти и не се еднакви на нула).

Всушност, во лекцијата веќе се споменати неколку случаи со арксин и арктангенс Метод на промена на променливата во неопределен интеграл. Ваквите примери се решаваат со подведување на функцијата под диференцијален знак и дополнително интегрирање со помош на табела. Еве повеќе типични примери со долги и високи логаритми:

Пример 5

Пример 6

Овде препорачливо е да земете табела со интеграли и да видите кои формули и Какосе случува трансформација. Забелешка, како и зоштоПлоштадите во овие примери се истакнати. Конкретно, во Пример 6 прво треба да го претставиме именителот во форма , потоа доведете го под диференцијалниот знак. И сето ова треба да се направи за да се користи стандардната табеларна формула .

Зошто погледнете, обидете се сами да ги решите примерите бр. 7, 8, особено што се прилично кратки:

Пример 7

Пример 8

Најдете го неопределен интеграл:

Ако и вие успеете да ги проверите овие примери, тогаш голема почит - вашите вештини за диференцијација се одлични.

Метод на избор на целосен квадрат

Интеграли на формата (коефициентите и не се еднакви на нула) се решаваат метод на целосна квадратна екстракција, кој веќе се појави во лекцијата Геометриски трансформации на графикони.

Всушност, таквите интеграли се сведуваат на еден од четирите табеларни интеграли што штотуку ги разгледавме. И ова се постигнува со користење на познати скратени формули за множење:

Формулите се применуваат токму во оваа насока, односно идејата на методот е вештачки да се организираат изразите или во именителот, а потоа соодветно да се претворат во било кој.

Пример 9

Најдете го неопределениот интеграл

Ова наједноставен пример, во која со поимот – единичен коефициент(а не некој број или минус).

Да го погледнеме именителот, овде целата работа јасно се сведува на случајност. Да почнеме да го конвертираме именителот:

Очигледно, треба да додадете 4. И, за да не се промени изразот, одземете ги истите четири:

Сега можете да ја примените формулата:

Откако ќе заврши конверзијата СЕКОГАШПрепорачливо е да се изврши обратно движење: сè е во ред, нема грешки.

Конечниот дизајн на примерот за кој станува збор треба да изгледа вака:

Подготвени. Сумирајќи го „бесплатно“ комплексна функцијапод диференцијалниот знак: , во принцип, може да се занемари

Пример 10

Најдете го неопределен интеграл:

Ова е пример за да го решите сами, одговорот е на крајот од лекцијата

Пример 11

Најдете го неопределен интеграл:

Што да направите кога има минус напред? Во овој случај, треба да го извадиме минусот од загради и да ги подредиме термините по редоследот што ни треба: . Постојана(„два“ во овој случај) не допирајте!

Сега додаваме една во заграда. Анализирајќи го изразот, доаѓаме до заклучок дека треба да додадеме еден надвор од заградите:

Овде ја добиваме формулата, аплицирајте:

СЕКОГАШГо проверуваме нацртот:
, што требаше да се провери.

Чистиот пример изгледа отприлика вака:

Ја отежнува задачата

Пример 12

Најдете го неопределен интеграл:

Овде терминот повеќе не е единичен коефициент, туку „пет“.

(1) Ако има константа at, тогаш веднаш ја вадиме од загради.

(2) Општо земено, секогаш е подобро оваа константа да се движи надвор од интегралот за да не се попречи.

(3) Очигледно, сè ќе се сведе на формулата. Треба да го разбереме терминот, имено, да ги добиеме „двата“

(4) Да,. Тоа значи дека додаваме на изразот и ја одземаме истата дропка.

(5) Сега изберете целосен квадрат. Во општ случај, треба да пресметаме и , но тука ја имаме формулата за долг логаритам , и нема смисла да се изврши дејството, зошто ќе стане јасно подолу.

(6) Всушност, можеме да ја примениме формулата , само наместо „X“ имаме , што не ја негира валидноста на интегралот на табелата. Строго кажано, еден чекор беше пропуштен - пред интеграцијата, функцијата требаше да се подведе под диференцијалниот знак: , но, како што повеќепати забележав, ова често се занемарува.

(7) Во одговорот под коренот, препорачливо е да ги проширите сите загради назад:

Тешко? Ова не е најтешкиот дел од интегралната пресметка. Иако, примерите што се разгледуваат не се толку сложени колку што бараат добри компјутерски техники.

Пример 13

Најдете го неопределен интеграл:

Ова е пример за да го решите сами. Одговорот е на крајот од лекцијата.

Има интеграли со корени во именителот, кои со помош на замена се сведуваат на интеграли од разгледуваниот тип; за нив можете да прочитате во статијата Сложени интеграли, но наменета е за многу подготвени студенти.

Поднесување на броителот под диференцијалниот знак

Ова е последниот дел од лекцијата, но интегралите од овој тип се доста чести! Ако сте уморни, можеби е подобро да читате утре? ;)

Интегралите што ќе ги разгледаме се слични на интегралите од претходниот став, имаат форма: или (коефициенти , и не се еднакви на нула).

Односно, сега имаме линеарна функција во броителот. Како да се решат ваквите интеграли?