Проучување на функција за монотоност и екстремни точки. Лекција „проучување функција за монотоност“

Екстремност и конвексност.

Асимптоти на графикот на функција

Дефиниција.Критична точкафункции на = ѓ(X) е точката во која изводот е нула или не постои.

Теорема.Ако во интервалот (а; б) изводот позитивно/негативно, тогаш функцијата се зголемува/намалува во овој интервал.

Теорема.Ако при минување низ критичната точка дериватот го менува знакот од „+“ во „−“ (од „−“ во „+“), тогаш − е максималната (минимална) точка на функцијата

Дефиниција.Функција повикани конвексен горе (долу)во интервалот (а; б), ако во овој интервал точките на графикот лежат под (горе) тангентите конструирани на овие точки. Точка на флексијае точка во графикот на функција која ја дели на делови со различни насоки на конвексност.

Пример 2.3.

Функција за истражување за монотонија и екстреми, конвексност.

1. Ја испитуваме функцијата за монотоност и екстремност.

Ајде да направиме цртеж ( оризот. 2.1).

ти"

x

−

−

+

y

проблем надолу

проблем нагоре

проблем надолу

Ориз. 2.2. Проучување на функција за конвексност

Да ги пресметаме ординатите на точките на флексија на графикот:

Координати на точки на флексија: (0; 0), (1; −1).

2.32. Испитајте ја функцијата за монотоност и екстремност:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2.33. Најдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијата:

1) на интервалот;

2) на интервалот [-1; 1];

3) на интервалот [-4; 4];

4) на интервалот [-2; 1].

2.34. Производните трошоци C (cu) зависат од обемот на излезот X(единици): Најдете ги највисоките производствени трошоци ако Xсе менува во текот на интервалот. Најдете вредност X, при што добивката ќе биде максимална доколку приходот од продажба на единица производна единица е еднаков на 15 ц.в. д.

2.35. Потребно е да се додели правоаголна парцела од 512 м2, да се огради и да се подели со ограда на три еднакви делови паралелни на една од страните на локацијата. Која треба да биде големината на локацијата за да се користи најмалку материјал за оградата?

2.36. Со оглед на периметарот на правоаголен прозорец, пронајдете ги неговите димензии такви што пропуштаат најголема количина светлина.

2.37. Најдете ја максималната добивка ако приходот R и трошоците C се определуваат со формулите: каде X− количина на продадена стока.

2.38. Зависност од обемот на производство Вод капиталните трошоци ДОопределена со функцијата
Најдете го интервалот за промена ДО, каде што зголемувањето на капиталните трошоци е неефикасно.

2.39. Функцијата на трошоци има форма Приходот од продажба на единица производна единица е еднаков на 200. Најдете ја оптималната вредност на аутпутот за производителот.

2.40. Зависноста на обемот на аутпут (во парични единици) од капиталните трошоци се определува со функцијата Најдете го интервалот на вредности во кои зголемувањето на капиталните трошоци е неефикасно.

2.41. Се верува дека зголемувањето на продажбата од трошоците за рекламирање (милиони рубли) се одредува според соодносот Приходот од продажба на производна единица е еднаков на 20 илјади рубли. Најдете го нивото на трошоци за рекламирање на кое компанијата ќе добие максимален профит.

2.42. Приходот од производство на производи со користење на ресурсни единици е еднаков на Цената на една ресурсна единица е 10 ден. единици Колку од ресурс треба да се купи за да може профитот да биде најголем?

2.43. Функцијата на трошоци ја има формата Приходот од продажба на единица производна единица е 50. Најдете ја максималната профитна вредност што може да ја добие производителот.

2.44. Зависноста на приходот на монополот од количината на аутпут се дефинира како: Функцијата на трошоците во овој интервал има форма Најдете ја оптималната излезна вредност за монополот.

2.45. Цената за производите на монополскиот производител е поставена во согласност со соодносот идентификуван како . По која вредност на производството на производот ќе биде најголем приходот од неговата продажба?

2.46. Функцијата на трошоците ја има следната форма на на . Во моментов нивото на производство Под кој услов на параметарот стрДали е профитабилно за една компанија да го намали производството ако приходот од продажба на единица производ е 50?

Час и презентација по алгебра во 10-то одделение на тема: „Истражување на функција за монотоност. Алгоритам за истражување“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Прирачници и симулатори во онлајн продавницата Integral за одделение 10 од 1C
Алгебарски задачи со параметри, оценки 9–11
Софтверско опкружување „1C: Mathematical Constructor 6.1“

Што ќе проучуваме:
1. Функции за намалување и зголемување.
2. Врска помеѓу дериват и монотоност на функцијата.
3. Две важни теореми за монотонијата.
4. Примери.

Момци, претходно разгледавме многу различни функции и ги нацртавме. Сега да воведеме нови правила кои работат за сите функции што ги разгледавме и ќе продолжиме да ги разгледуваме.

Намалување и зголемување на функциите

Ајде да го разгледаме концептот на зголемување и намалување на функциите. Момци, што е функција?

Функцијата е кореспонденција y= f(x), во која секоја вредност на x е поврзана со една вредност на y.

Да го погледнеме графикот на некоја функција:

Нашиот график покажува: колку е поголем x, толку е помал y. Значи, ајде да дефинираме опаѓачка функција. Функцијата се нарекува опаѓачка ако поголема вредност на аргументот одговара на помала вредност на функцијата.

Ако x2 > x1, тогаш f(x2) Сега да го погледнеме графикот на оваа функција:
Овој график покажува дека колку е поголем x, толку е поголем y. Значи, ајде да дефинираме растечка функција. Функцијата се нарекува зголемување ако поголема вредност на аргументот одговара на поголема вредност на функцијата.
Ако x2 > x1, тогаш f(x2 > f(x1) или: колку е поголемо x, толку е поголемо y.

Ако функцијата се зголемува или намалува во одреден интервал, тогаш се вели дека во овој интервал е монотоно.

Врска помеѓу изводот и монотоноста на функцијата

Момци, сега да размислиме како можете да го примените концептот на извод при проучување на графикони на функции. Ајде да нацртаме график на растечка диференцијабилна функција и да нацртаме неколку тангенти на нашиот график.

Ако ги погледнете нашите тангенти или визуелно нацртате која било друга тангента, ќе забележите дека аголот помеѓу тангентата и позитивната насока на оската x ќе биде остар. Тоа значи дека тангентата има позитивен наклон. Тангентен наклон еднаква на вредностадериват во апсцисата на точката на тангенција. Така, вредноста на изводот е позитивна во сите точки на нашиот график. За растечка функција, важи следнава неравенка: f"(x) ≥ 0, за која било точка x.

Момци, сега да го погледнеме графикот на некоја опаѓачка функција и да конструираме тангенти на графикот на функцијата.

Ајде да ги погледнеме тангентите и визуелно да нацртаме која било друга тангента. Ќе забележиме дека аголот помеѓу тангентата и позитивната насока на оската x е тап, што значи дека тангентата има негативен наклон. Така, вредноста на изводот е негативна во сите точки на нашиот график. За опаѓачка функција важи следнава неравенка: f"(x) ≤ 0, за која било точка x.

Значи, монотоноста на функцијата зависи од знакот на дериватот:

Ако функцијата се зголемува на интервал и има извод на овој интервал, тогаш овој извод нема да биде негативен.

Ако функцијата се намалува на интервал и има извод на овој интервал, тогаш овој извод нема да биде позитивен.

Важно, така што интервалите на кои ја разгледуваме функцијата се отворени!

Две важни теореми за монотонијата

Теорема 1. Ако неравенката f'(x) ≥ 0 важи во сите точки од отворен интервал X (и еднаквоста на изводот на нула или не важи или важи, туку само на одредено множество точки), тогаш функцијата y= f(x) се зголемува на интервалот X.

Теорема 2. Ако неравенката f'(x) ≤ 0 важи во сите точки од отворен интервал X (и еднаквоста на изводот на нула или не важи или важи, туку само на одредено множество точки), тогаш функцијата y= f(x) се намалува на интервалот X.

Теорема 3. Ако во сите точки од отворениот интервал X еднаквоста
f’(x)= 0, тогаш функцијата y= f(x) е константна на овој интервал.

Примери за проучување на функција за монотоност

1) Докажи дека функцијата y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 се зголемува на целата бројна права.

Решение: Да го најдеме изводот на нашата функција: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Бидејќи степенот кај x е парен, функцијата на моќност зема само позитивни вредности. Тогаш y" > 0 за кој било x, што значи со теорема 1, нашата функција се зголемува по целата нумеричка линија.

2) Докажи дека функцијата се намалува: y= sin(2x) - 3x.

Да го најдеме изводот на нашата функција: y"= 2cos(2x) - 3.
Да ја решиме нееднаквоста:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Бидејќи -1 ≤ cos(x) ≤ 1, што значи дека нашата неравенка е задоволена за кој било x, тогаш според теорема 2 функцијата y= sin(2x) - 3x се намалува.

3) Испитај ја монотоноста на функцијата: y= x 2 + 3x - 1.

Решение: Да го најдеме изводот на нашата функција: y"= 2x + 3.
Да ја решиме нееднаквоста:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Тогаш нашата функција се зголемува за x ≥ -3/2, а се намалува за x ≤ -3/2.
Одговор: За x ≥ -3/2, функцијата се зголемува, за x ≤ -3/2, функцијата се намалува.

4) Испитај ја монотоноста на функцијата: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Решение: Да го најдеме изводот на нашата функција: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Да ја решиме неравенката: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Нашата неравенка е поголема или еднаква на нула:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Да ја решиме нееднаквоста:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Но, ова е невозможно, бидејќи Квадратен корене дефинирано само за позитивни изрази, што значи дека нашата функција нема интервали кои се намалуваат.
Одговор: за x ≥ 1/3 функцијата се зголемува.

Проблеми кои треба да се решаваат самостојно

а) Докажете дека функцијата y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 се зголемува по целата бројна права.
б) Докажи дека функцијата се намалува: y= cos(5x) - 7x.
в) Испитај ја монотоноста на функцијата: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
г) Испитај ја монотоноста на функцијата: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

Првпат се запознавме на курс по алгебра во 7-мо одделение. Гледајќи го графикот на функцијата, ги симнавме соодветните информации: ако, движејќи се по графиконот од лево кон десно, истовремено се движиме од дното кон врвот (како да се качуваме на рид), тогаш функцијата ја прогласивме за се зголемува (сл. 124); ако се движиме од врвот до дното (се спуштаме по рид), тогаш ја прогласивме функцијата за опаѓање (сл. 125).

Сепак, математичарите не го сакаат овој метод на проучување на својствата на функцијата. Тие веруваат дека дефинициите на концептите не треба да се засноваат на цртеж - цртежот треба само да илустрира едно или друго својство на функцијата на нејзината графика. Дозволете ни да дадеме строги дефиниции за концептите за зголемување и намалување на функциите.

Дефиниција 1. За функцијата y = f(x) се вели дека се зголемува на интервалот X ако, од неравенката x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Дефиниција 2. За функцијата y = f(x) се вели дека се намалува на интервалот X ако неравенката x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует нееднаквост f(x 1) > f(x 2).

Во пракса, попогодно е да се користат следниве формулации:

функцијата се зголемува ако поголема вредност на аргументот одговара на поголема вредност на функцијата;
функцијата се намалува ако поголема вредност на аргументот одговара на помала вредност на функцијата.

Користејќи ги овие дефиниции и својствата на нумеричките неравенки утврдени во § 33, ќе можеме да ги потврдиме заклучоците за зголемувањето или намалувањето на претходно проучуваните функции.

1. Линеарна функција y = kx +m

Ако k > 0, тогаш функцијата се зголемува насекаде (сл. 126); ако к< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Доказ. Нека f(x) = kx +m. Ако x 1< х 2 и k >О, тогаш, според својството на 3 нумерички неравенки (види § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Значи, од неравенката x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. линеарнафункции y = kx+ m.

Ако x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , а според својството 2, од kx 1 > kx 2 следува дека kx 1 + m> kx 2 + т.е.

Значи, од неравенката x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f (x 2). Ова значи намалување на функцијата y = f(x), т.е., линеарната функција y = kx + m.

Ако функцијата се зголемува (намалува) низ целиот нејзин домен на дефиниција, тогаш може да се нарече зголемување (намалување) без да се означи интервалот. На пример, за функцијата y = 2x - 3 можеме да кажеме дека се зголемува по целата бројна права, но можеме да кажеме и пократко: y = 2x - 3 - зголемување
функција.

2. Функција y = x2

1. Да ја разгледаме функцијата y = x 2 на зракот. Да земеме два непозитивни броја x 1 и x 2 такви што x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Бидејќи броевите - x 1 и - x 2 се ненегативни, тогаш со квадратирање на двете страни на последната неравенка добиваме неравенство со исто значење (-x 1) 2 > (-x 2) 2, т.е. Ова значи дека f(x 1) > f(x 2).

Значи, од неравенката x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f (x 2).

Затоа, функцијата y = x 2 се намалува на зракот (- 00, 0] (сл. 128).

1. Размислете за функција на интервалот (0, + 00).
Нека x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f (x 2).

Значи, од неравенката x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f (x 2). Ова значи дека функцијата се намалува на отворениот зрак (0, + 00) (сл. 129).

2. Размислете за функција на интервалот (-oo, 0). Нека x 1< х 2 , х 1 и х 2 - негативни броеви. Тогаш - x 1 > - x 2, и двете страни на последната неравенка се позитивни броеви, и затоа (повторно ја користевме неравенката докажана во примерот 1 од § 33). Следно имаме, од каде доаѓаме.

Значи, од неравенката x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) т.е. функцијата се намалува на отворениот зрак (- 00 , 0)

Вообичаено поимите „функција на зголемување“ и „функција на намалување“ се комбинираат под општото име монотона функција, а проучувањето на функцијата за зголемување и намалување се нарекува проучување на функција за монотоност.

Решение.

1) Да ја нацртаме функцијата y = 2x2 и да ја земеме гранката на оваа парабола на x< 0 (рис. 130).

2) Конструирајте и изберете го неговиот дел на сегментот (сл. 131).

3) Да конструираме хипербола и да го избереме нејзиниот дел на отворениот зрак (4, + 00) (сл. 132).
4) Да ги прикажеме сите три „парчиња“ во еден координатен систем - ова е графикот на функцијата y = f(x) (сл. 133).

Да го прочитаме графикот на функцијата y = f(x).

1. Доменот на дефиниција на функцијата е целата бројна права.

2. y = 0 на x = 0; y > 0 за x > 0.

3. Функцијата се намалува на зракот (-oo, 0], се зголемува на сегментот, се намалува на зракот, е конвексна нагоре на сегментот, конвексна надолу на зракот)