Истражувачките функции преку Интернет со калкулатор за решенија. Функции. Главни типови, распореди, методи на доделување. Проучување на функција и дали е парна или непарна

Денес ве покануваме да истражувате и да изградите график на функција со нас. Откако внимателно ја проучувавте оваа статија, нема да морате долго да се потите за да ја завршите оваа задача. Не е лесно да се проучува и конструира график на функција, тоа е обемна работа која бара максимално внимание и точност на пресметките. За полесно да го разбереме материјалот, ќе ја проучуваме истата функција чекор по чекор и ќе ги објасниме сите наши дејства и пресметки. Добредојдовте во неверојатниот и фасцинантен свет на математиката! Оди!

Домен

За да истражите и графиконите на функцијата, треба да знаете неколку дефиниции. Функцијата е еден од главните (основни) поими во математиката. Ја одразува зависноста помеѓу неколку променливи (две, три или повеќе) за време на промените. Функцијата ја покажува и зависноста на множествата.

Замислете дека имаме две променливи кои имаат одреден опсег на промени. Значи, y е функција од x, под услов секоја вредност на втората променлива да одговара на една вредност од втората. Во овој случај, променливата y е зависна и се нарекува функција. Вообичаено е да се каже дека променливите x и y се во За поголема јасност на оваа зависност, се гради график на функцијата. Што е график на функција? Ова е збир на точки на координатната рамнина, каде што секоја x вредност одговара на една вредност y. Графиконите можат да бидат различни - права линија, хипербола, парабола, синусен бран итн.

Невозможно е да се графира функција без истражување. Денес ќе научиме како да спроведеме истражување и да изградиме график на функција. Многу е важно да се земаат белешки за време на студијата. Ова ќе го олесни справувањето со задачата. Најпогоден план за истражување:

1. Домен.
2. Континуитет.
3. Пар или непарен.
4. Периодичноста.
5. Асимптоти.
6. Нули.
7. Знак константност.
8. Зголемување и намалување.
9. Екстреми.
10. Конвексност и конкавност.

Да почнеме со првата точка. Да го најдеме доменот на дефиниција, односно на кои интервали постои нашата функција: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Во нашиот случај, функцијата постои за сите вредности на x, односно доменот на дефиниција е еднаков на R. Ова може да се напише на следниов начин xÎR.

Континуитет

Сега ќе ја испитаме функцијата на дисконтинуитет. Во математиката, терминот „континуитет“ се појави како резултат на проучувањето на законите на движење. Што е бесконечно? Простор, време, некои зависности (пример е зависноста на променливите S и t во проблемите со движење), температурата на загреаниот објект (вода, тава, термометар итн.), континуирана линија (т.е. онаа која може да се нацрта без да се подигне од листот молив).

Графикот се смета за континуиран ако не се скрши во одреден момент. Еден од најочигледните примери за таков график е синусоидот, кој можете да го видите на сликата во овој дел. Функцијата е континуирана во одредена точка x0 ако се исполнети голем број услови:

• се дефинира функција во дадена точка;
• десната и левата граница во една точка се еднакви;
• границата е еднаква на вредноста на функцијата во точката x0.

Ако барем еден услов не е исполнет, се вели дека функцијата не успее. А точките во кои функцијата се прекинува обично се нарекуваат точки на прекин. Пример за функција што ќе се „скрши“ кога ќе се прикаже графички е: y=(x+4)/(x-3). Покрај тоа, y не постои во точката x = 3 (бидејќи е невозможно да се подели со нула).

Во функцијата што ја проучуваме (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) сè се покажа едноставно, бидејќи графикот ќе биде континуиран.

Пар, непарен

Сега испитајте ја функцијата за паритет. Прво, малку теорија. Парна функција е онаа која го задоволува условот f(-x)=f(x) за која било вредност на променливата x (од опсегот на вредности). Примерите вклучуваат:

• модул x (графикот изгледа како зора, симетрала на првата и втората четвртина од графикот);
• x квадрат (парабола);
• косинус x (косинус).

Забележете дека сите овие графикони се симетрични кога се гледаат во однос на y-оската (т.е. y-оската).

Што тогаш се нарекува непарна функција? Тоа се оние функции кои го задоволуваат условот: f(-x)=-f(x) за која било вредност на променливата x. Примери:

• хипербола;
• кубна парабола;
• синусоид;
• тангента и така натаму.

Ве молиме имајте предвид дека овие функции се симетрични во однос на точката (0:0), односно потеклото. Врз основа на она што беше кажано во овој дел од статијата, парната и непарната функција мора да има својство: x припаѓа на множеството дефиниција и -x исто така.

Ајде да ја испитаме функцијата за паритет. Можеме да видиме дека таа не одговара на ниту еден од описите. Затоа, нашата функција не е ниту парна, ниту непарна.

Асимптоти

Да почнеме со дефиниција. Асимптота е крива што е што е можно поблиску до графикот, односно растојанието од одредена точка се стреми кон нула. Севкупно, постојат три типа на асимптоти:

• вертикална, односно паралелна со y-оската;
• хоризонтална, односно паралелна со оската x;
• наклонет.

Што се однесува до првиот тип, овие линии треба да се бараат во некои точки:

• јаз;
• краеви на доменот на дефиниција.

Во нашиот случај, функцијата е континуирана, а доменот на дефиниција е еднаков на R. Следствено, нема вертикални асимптоти.

Графикот на функцијата има хоризонтална асимптота, која го исполнува следното барање: ако x се стреми кон бесконечност или минус бесконечност, а границата е еднаква на одреден број (на пример, a). Во овој случај, y=a е хоризонтална асимптота. Нема хоризонтални асимптоти во функцијата што ја проучуваме.

Коса асимптота постои само ако се исполнети два услови:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Потоа може да се најде со помош на формулата: y=kx+b. Повторно, во нашиот случај нема коси асимптоти.

Функција нули

Следниот чекор е да се испита графикот на функцијата за нули. Исто така, многу е важно да се забележи дека задачата поврзана со наоѓање нули на функција се јавува не само при проучување и конструирање на график на функција, туку и како независна задача и како начин за решавање на неравенки. Можеби ќе треба да ги пронајдете нулите на функцијата на графикот или да користите математичка нотација.

Пронаоѓањето на овие вредности ќе ви помогне попрецизно да ја графирате функцијата. Во едноставни термини, нулата на функцијата е вредноста на променливата x при која y = 0. Ако барате нули на функција на график, тогаш треба да обрнете внимание на точките на кои графикот се вкрстува со оската x.

За да ги најдете нулите на функцијата, треба да ја решите следната равенка: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. По извршувањето на потребните пресметки, го добиваме следниот одговор:

Знак константност

Следната фаза на истражување и изградба на функција (график) е наоѓање интервали со постојан знак. Тоа значи дека мора да одредиме во кои интервали функцијата зема позитивна вредност, а во кои интервали зема негативна вредност. Функциите нула пронајдени во последниот дел ќе ни помогнат да го направиме тоа. Значи, треба да изградиме права линија (одвоена од графиконот) и да ги дистрибуираме нулите на функцијата по неа во правилен редослед од најмалата до најголемата. Сега треба да одредите кој од добиените интервали има знак „+“ и кој има „-“.

Во нашиот случај, функцијата зема позитивна вредност на интервали:

• од 1 до 4;
• од 9 до бесконечност.

Негативно значење:

• од минус бесконечност до 1;
• од 4 до 9.

Ова е прилично лесно да се одреди. Заменете го кој било број од интервалот во функцијата и видете каков знак ќе излезе одговорот (минус или плус).

Зголемување и намалување на функции

За да истражиме и конструираме функција, треба да знаеме каде графикот ќе се зголеми (да оди нагоре по оската Oy) и каде ќе падне (ползи надолу по y-оската).

Функцијата се зголемува само ако поголема вредност на променливата x одговара на поголема вредност на y. Односно, x2 е поголемо од x1, а f(x2) е поголемо од f(x1). И набљудуваме сосема спротивна појава со опаѓачка функција (колку повеќе x, толку помалку y). За да ги одредите интервалите на зголемување и намалување, треба да го најдете следново:

• домен на дефиниција (веќе имаме);
• извод (во нашиот случај: 1/3 (3x^2-28x+49);
• реши ја равенката 1/3(3x^2-28x+49)=0.

По пресметките го добиваме резултатот:

Добиваме: функцијата се зголемува во интервалите од минус бесконечност до 7/3 и од 7 до бесконечност, а се намалува на интервалот од 7/3 до 7.

Екстреми

Функцијата што се проучува y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) е континуирана и постои за која било вредност на променливата x. Екстремната точка го покажува максимумот и минимумот на дадена функција. Во нашиот случај нема ниту еден, што во голема мера ја поедноставува градежната задача. Во спротивно, тие можат да се најдат и со помош на функцијата извод. Откако ќе ги најдете, не заборавајте да ги означите на табелата.

Конвексност и конкавност

Продолжуваме понатаму да ја истражуваме функцијата y(x). Сега треба да го провериме за конвексност и конкавност. Дефинициите на овие концепти се доста тешко да се разберат, подобро е да се анализира сè користејќи примери. За тестот: функцијата е конвексна ако е функција која не се намалува. Се согласувам, ова е неразбирливо!

Треба да го најдеме изводот на функција од втор ред. Добиваме: y=1/3(6x-28). Сега да ја изедначиме десната страна со нула и да ја решиме равенката. Одговор: x=14/3. Ја најдовме точката на флексија, односно местото каде што графикот се менува од конвексност во конкавност или обратно. На интервалот од минус бесконечност до 14/3 функцијата е конвексна, а од 14/3 до плус бесконечност е конкавна. Исто така, многу е важно да се забележи дека точката на флексија на графиконот треба да биде мазна и мека, да нема остри агли.

Дефинирање дополнителни точки

Наша задача е да истражиме и конструираме график на функцијата. Ја завршивме студијата, изградбата на график на функцијата сега не е тешко. За попрецизна и детална репродукција на крива или права линија на координатната рамнина, можете да најдете неколку помошни точки. Тие се прилично лесни за пресметување. На пример, земаме x=3, ја решаваме добиената равенка и наоѓаме y=4. Или x=5, и y=-5 и така натаму. Можете да земете онолку дополнителни поени колку што ви требаат за изградба. Најмалку 3-5 од нив се пронајдени.

Изработка на графикон

Требаше да ја истражиме функцијата (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Сите потребни ознаки за време на пресметките беа направени на координатната рамнина. Сè што останува да се направи е да се изгради графикон, односно да се поврзат сите точки. Поврзувањето на точките треба да биде мазно и точно, ова е прашање на вештина - малку вежбање и вашиот распоред ќе биде совршен.

Удобно е да се спроведе целосна студија за функциите и да се конструираат нивните графикони според следнава шема:

1) најдете домен на дефинирање на функцијата;

2) дознајте дали функцијата е парна или непарна, периодична;

3) истражете го континуитетот, пронајдете точки на прекин и дознајте ја природата на паузите;

4) најдете ги асимптотите на графикот на функцијата;

5) да ја испита монотоноста на функцијата и да ги најде нејзините екстреми;

6) најдете точки на флексија, воспоставете ги интервалите на конвексност и конкавност на графикот на функцијата;

7) назначете дополнителни точки на графикот на функцијата, на пример, точките на неговото пресекување со координатните оски.

Резултатот од секоја точка треба веднаш да се одрази на графиконот и да биде конзистентен со резултатите од студијата за претходните точки.

Пример 1.

Направете целосна студија за функцијата и нацртајте графикон.

1. Функцијата е дефинирана во интервалите xÎ (-¥; 1) È (-1; +¥).

2. Функцијата не може да биде парна или непарна, бидејќи неговиот домен на дефиниција не е симетричен во однос на 0. Следствено, оваа функција е од општа форма, т.е. го нема имотот на паритет. Исто така, функцијата не е периодична.

Да се ​​потсетиме на дефинициите:

Функцијата се нарекува дури, доколку се исполнети два услови:

а) неговиот домен на дефиниција е симетричен околу нула,

б) за сите вредности Xод доменот на дефиниција се задоволува еднаквоста.

Графикот на парна функција има аксијална симетрија околу оската OY.

Функцијата се нарекува чудно, Ако

а) неговиот домен на дефиниција на функцијата е симетричен околу нула,

б) за „x надвор од доменот на дефиниција.

Графикот на непарна функција има централна симетрија за потеклото.

Функцијата се нарекува периодични, ако има број Т> 0 , така што еднаквоста важи за " Xод доменот на дефиниција.

Се нарекува бројот Т периодот на функцијата, и доволно е да се конструира неговиот график на кој било интервал од должина Т, а потоа периодично продолжувајте низ целата област на дефиниција.

3. Функцијата е континуирана за сите xÎ (-¥; -1) È (-1; +¥).

Оваа функција е елементарна, која се формира со делење на две непрекинати основни елементарни функции и . Според тоа, според својствата на континуираните функции, дадената функција е континуирана во сите точки во кои е дефинирана.

Точка x = -1е точката на прекин, бидејќи оваа функција не е дефинирана во него. За да ја одредиме природата (типот) на дисконтинуитетот, да пресметаме . Затоа, кога x = -1функцијата има бесконечен дисконтинуитет (дисконтинуитет од втор вид).

4. Асимптоти на графикот на функција.

Вертикалната асимптота е права линија x = -1(ова произлегува од проучувањето на дисконтинуитетот на функцијата).

Бараме коси асимптоти со равенката , каде

Така, е равенката на кос асимптота (на x® ±¥).

5. Ја одредуваме монотоноста и екстремите на функцијата користејќи го нејзиниот прв извод:

Критичните точки се одредуваат од условите:

y max =y(-3)= .

6. Ги наоѓаме интервалите на конвексност и конкавност на графикот на функцијата, неговите точки на флексија користејќи го вториот извод:

Точките сомнителни за флексија се одредуваат од следниве услови:

Доволни услови за конвексност, конкавност и точки на флексија:

Точка О(0; 0)е точката на флексија на графикот.

Честопати, резултатите од проучувањето на функцијата со користење на првиот и вториот извод се претставени во форма на општа табела што ги рефлектира главните својства на графикот на функцијата:

Сите добиени резултати од проучувањето на функцијата се рефлектираат во нејзиниот график.

Пример 2.

OOF: xÎ (-¥; - ) È (- ; ) È (;+¥).

Функцијата е непарна бидејќи нејзиниот домен на дефиниција е симетричен околу нула и за " XÎ OOF важи следнава еднаквост:

Според тоа, графикот на функцијата има централна симетрија за потеклото.

Функцијата е континуирана за сите xÎ (-¥; - ) È (- ; ) È ( ; +¥), бидејќи елементарна функција е континуирана на нејзиниот OOF. Точките x=- и x= се точки со бесконечен дисконтинуитет, бидејќи,

Вертикалните асимптоти на графикот се прави линии x = -И x =.

Коси асимптоти: , каде

= = 0 .

Ова е равенката на коси асимптота.

Интервали на зголемување и намалување на функцијата, нејзините екстреми.

Потребни услови за екстремни:

Þ x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = -3- критични точки.

Доволни услови за монотоност и екстремност:

y max =y(-3)= ;

y min =y(3)= .

Интервали на конвексност, конкавност на графикот на функцијата и точки на флексија:

Точка x = 0сомнително за свиткување.

Доволни услови:

Точката O(0; 0) е точка на флексија.

Општа табела на главните својства на графикот за дадена функција може да се состави само за xО. Ако има знак „−“ пред дропката, доделете го на броителот. Не се занесувајте со превисоки и ниски вредности на коефициентот. Запомнете дека „бесконечноста“ нема да се вклопи на екранот.

а = б = в = г =

n = м =

Ајде да ја примениме оваа шема за функцијата

y = _____ 2x 3 x 2 − 4

(а = 2; б = 0; в = 1; г = −4; n = 3; м = 2).

1. Функцијата е дефинирана на целата бројна линија освен точките x = ±2, во кој именителот на дропката станува нула. Така, неговиот домен на дефиниција
Д (ѓ ) = (−∞;−2)∪(−2;+2)∪(+2;+∞) .

2. Функцијата е непарна, бидејќи
,
затоа, неговиот график ќе биде симетричен во однос на потеклото, па доволно е да се проучи функцијата во интервалот ; 2) броевите /(a) и f(b) се спротивни во знакот: 3) на отсечката [a, 6] има изводи f"(x) и f"(x) кои задржуваат константен знак на оваа отсечка . Од условите 1) и 2), врз основа на теоремата Болзано-Коши (стр. 220), следува дека функцијата f(x) исчезнува барем во една точка £ € (a, b), т.е. равенката (1) има барем еден реален корен £ во интервалот (a, 6). Бидејќи, врз основа на условот 3), изводот f(x) на [a, b\ задржува константен знак, тогаш f(x) е монотон на [a, b] и затоа во интервалот (a, b) равенката (1) има само еден реален корен Да разгледаме метод за пресметување на приближната вредност на овој единствен реален корен £ € (a, 6) од равенката (I) со кој било степен на точност. Можни се четири случаи (сл. 40) : 1) Сл. 40 Да го земеме за дефинитивно случајот кога f\ x) > 0, f"(x) > 0 на отсечката [a, 6) (сл. 41). Да ги поврземе точките A(a, f(a)) и B(b, f(b)) со акорд A B. Ова е права отсечка што минува низ точките A и B, чија равенка Точка aj, на која акордата AB ја пресекува оската Ox, се наоѓа помеѓу ai(и е подобра приближна до од a. Поставувајќи y = 0 во (2), наоѓаме Од сл. 41 лесно е да се забележи дека точката a\ секогаш ќе биде се наоѓа на страната од која се спротивни знаците f(x) и f"( x). Сега да нацртаме тангента на кривата y = f(x) во точката B(b, f(b)), т.е. , на крајот од лакот ^AB на кој f(x) и f(i) имаат ист знак. Ова е суштински услов: без него, точката на пресек на тангентата со оската Ox не може да даде приближна до саканиот корен воопшто.Точката b\, во која тангентата ја сече оската Ox, се наоѓа помеѓу £ и b на истата страна, што е 6, и е најдобрата апроксимација на која b. Оваа тангента се определува со равенката Претпоставувајќи во (3) y = 0, наоѓаме b\: Шема за конструирање на график на функција Проучување на функции до екстрем со помош на изводи од повисок ред Пресметување на корените на равенките со помош на методите на акорди и тангенти Така. имаме Апсолутната грешка на приближувањето C на коренот £ однапред нека биде дадена. За апсолутна грешка на приближните вредности на aj и 6, коренот £, можеме да ја земеме вредноста |6i - ai|. Ако оваа грешка е поголема од дозволената, тогаш, земајќи ја отсечката како оригинална, ќе ги најдеме следните приближувања на коренот каде. Продолжувајќи со овој процес, добиваме две низи со приближни вредности.Секвенците (an) и (bn) се монотони и ограничени и затоа имаат граници. Нека Може да се покаже дека ако се исполнети горенаведените услови, 1 до единствениот корен на равенката / Пример. Најдете го коренот (равенка r2 - 1 = 0 на отсечката . Така, сите услови се исполнети за да се обезбеди постоење на еден корен (равенка x2 - 1 = 0 на отсечката . . и методот треба да работи. 8 во нашиот случај a = 0, b = 2. Кога n = I од (4) и (5) наоѓаме Кога n = 2 добиваме што дава приближна вредност на точната вредност на коренот (со апсолутна грешка) Вежби Конструирај графикони на функции: Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функциите на дадените отсечки: Истражете го однесувањето на функциите во близина на дадените точки користејќи деривати од повисок ред: Одговори