Истражете ги примерите на функцијата за паритет. Парни и непарни функции. Периодични функции. График на парна функција

Назад напред

Внимание! Прегледите на слајдовите се само за информативни цели и може да не ги претставуваат сите карактеристики на презентацијата. Доколку сте заинтересирани за оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.

Цели:

формираат концепт на паритет и необичност на функцијата, ја учат способноста да се одредат и користат овие својства кога функционално истражување, заговор;
развиваат креативна активност на учениците, логично размислување, способност за споредување, генерализирање;
негувајте напорна работа и математичка култура; развиваат комуникациски вештини .

Опрема: мултимедијална инсталација, интерактивна табла, Материјал.

Форми на работа: фронтална и групна со елементи на пребарувачки и истражувачки активности.

Извори на информации:

1. Алгебра 9-то одделение А.Г.Мордкович. Тетратка.
2. Алгебра 9-то одделение А.Г.Мордкович. Книга за проблеми.
3. Алгебра 9-то одделение. Задачи за учење и развој на учениците. Беленкова Е.Ју. Лебединцева Е.А.

ЗА ВРЕМЕ НА ЧАСОТ

1. Организациски момент

Поставување цели и задачи за лекцијата.

2. Проверка на домашната задача

бр. 10.17 (проблематична книшка за 9 одделение. А.Г. Мордкович).

А) на = ѓ(X), ѓ(X) =

б) ѓ (–2) = –3; ѓ (0) = –1; ѓ(5) = 69;

в) 1. Д( ѓ) = [– 2; + ∞)
2. Е( ѓ) = [– 3; + ∞)
3. ѓ(X) = 0 во X ~ 0,4
4. ѓ(X) >0 на X > 0,4 ; ѓ(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Функцијата се зголемува со X € [– 2; + ∞)
6. Функцијата е ограничена одоздола.
7. нанаим = – 3, наНаиб не постои
8. Функцијата е континуирана.

(Дали сте користеле алгоритам за истражување на функции?) Слајд.

2. Ајде да ја провериме табелата што ве прашаа од слајдот.

Пополнете ја табелата
	Домен	Функција нули	Интервали на константност на знакот		Координати на точките на пресек на графикот со Oy
	Домен	Функција нули			Координати на точките на пресек на графикот со Oy
		x = -5, x = 2	x € (–5;3) У U(2;∞)	x € (–∞;–5) У U (-3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		x € (–5;3) У U(2;∞)	x € (–∞;–5) У U (-3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) У U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Ажурирање на знаењето

– Функциите се дадени.
– Наведете го опсегот на дефиниција за секоја функција.
– Споредете ја вредноста на секоја функција за секој пар вредности на аргументите: 1 и – 1; 2 и – 2.
– За која од овие функции во доменот на дефиниција важат еднаквостите ѓ(– X) = ѓ(X), ѓ(– X) = – ѓ(X)? (внесете ги добиените податоци во табелата) Слајд

		ѓ(1) и ѓ(– 1)	ѓ(2) и ѓ(– 2)	графика	ѓ(– X) = –ѓ(X)	ѓ(– X) = ѓ(X)
1. ѓ(X) =
2. ѓ(X) = X 3
3. ѓ(X) = \| X \|
4.ѓ(X) = 2X – 3
5. ѓ(X) =	X ≠ 0
6. ѓ(X)=	X > –1		и не е дефинирано

4. Нов материјал

– Додека ја работевме оваа работа, момци, идентификувавме друго својство на функцијата, непознато за вас, но не помалку важно од другите - ова се рамномерноста и необичноста на функцијата. Запишете ја темата на лекцијата: „Парни и непарни функции“, нашата задача е да научиме да ја одредуваме рамномерноста и непарноста на функцијата, да го дознаеме значењето на ова својство во проучувањето на функциите и исцртувањето графикони.
Значи, да ги најдеме дефинициите во учебникот и да прочитаме (стр. 110) . Слајд

Деф. 1 Функција на = ѓ (X), дефинирано на множеството X се нарекува дури, ако за некоја вредност XЄ X се извршува еднаквост f(–x)= f(x). Наведи примери.

Деф. 2 Функција y = f(x), дефинирано на множеството X се нарекува чудно, ако за некоја вредност XЄ X важи еднаквоста f(–х)= –f(х). Наведи примери.

Каде ги сретнавме поимите „парен“ и „непар“?
Која од овие функции ќе биде изедначена, што мислите? Зошто? Кои се чудни? Зошто?
За која било функција на формата на= x n, Каде n– цел број, може да се тврди дека функцијата е непарна кога n– непарни, а функцијата е парна кога n– дури.
– Погледнете ги функциите на= и на = 2X– 3 не се ниту парни ниту непарни, затоа што еднаквостите не се задоволени ѓ(– X) = – ѓ(X), ѓ(– X) = ѓ(X)

Студијата за тоа дали функцијата е парна или непарна се нарекува проучување на парноста на функцијата. Слајд

Во дефинициите 1 и 2 зборувавме за вредностите на функцијата на x и - x, при што се претпоставува дека функцијата е исто така дефинирана на вредноста X, и на - X.

Деф 3. Ако нумеричкото множество, заедно со секој од неговите елементи x, го содржи и спротивниот елемент –x, тогаш множеството Xнаречен симетрично множество.

Примери:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) се симетрични множества, а , [–5;4] се асиметрични.

– Дали дури и функциите имаат домен на дефиниција кој е симетрично множество? Чудните?
- Ако Д( ѓ) е асиметрично множество, тогаш која е функцијата?
– Така, ако функцијата на = ѓ(X) – парен или непарен, тогаш неговиот домен на дефиниција е D( ѓ) е симетрично множество. Дали е точно обратното тврдење: ако доменот на дефиниција на функцијата е симетрично множество, тогаш дали е парен или непарен?
– Тоа значи дека присуството на симетрично множество од доменот на дефиниција е неопходен услов, но не и доволен.
– Па, како ја испитувате функцијата за паритет? Ајде да се обидеме да создадеме алгоритам.

Слајд

Алгоритам за проучување на функција за паритет

1. Определи дали доменот на дефиниција на функцијата е симетричен. Ако не, тогаш функцијата не е ниту парна ниту непарна. Ако одговорот е да, тогаш одете на чекор 2 од алгоритмот.

2. Напиши израз за ѓ(–X).

3. Споредете ѓ(–X).И ѓ(X):

Ако ѓ(–X).= ѓ(X), тогаш функцијата е парна;
Ако ѓ(–X).= – ѓ(X), тогаш функцијата е непарна;
Ако ѓ(–X) ≠ ѓ(X) И ѓ(–X) ≠ –ѓ(X), тогаш функцијата не е ниту парна ниту непарна.

Примери:

Испитајте ја функцијата а) за паритет на= x 5 +; б) на= ; V) на= .

Решение.

а) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрично множество.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => функција h(x) = x 5 + непарен.

б) y =,

на = ѓ(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), асиметрично множество, што значи дека функцијата не е ниту парна ниту непарна.

V) ѓ(X) = , y = f (x),

1) D( ѓ) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

Опција 2

1. Дали даденото множество е симетрично: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ?

А); б) y = x (5 – x 2). 2. Испитајте ја функцијата за паритет:

а) y = x 2 (2x – x 3), б) y =

3. На сл. изграден е график на = ѓ(X), за сите X, задоволувајќи ја состојбата X? 0.
График на функцијата на = ѓ(X), Ако на = ѓ(X) е парна функција.

3. На сл. изграден е график на = ѓ(X), за сите x кои го задоволуваат условот x? 0.
График на функцијата на = ѓ(X), Ако на = ѓ(X) е непарна функција.

Рецензија на слајдот.

6. Домашна задача: бр.11.11, 11.21, 11.22;

Доказ за геометриското значење на својството паритет.

***(Доделување опција за обединет државен испит).

1. Непарната функција y = f(x) е дефинирана на целата бројна права. За која било ненегативна вредност на променливата x, вредноста на оваа функција се совпаѓа со вредноста на функцијата g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Најдете ја вредноста на функцијата h( X) = кај X = 3.

7. Сумирање

Функцијата е еден од најважните математички концепти. Функција е зависноста на променливата y од променливата x, ако секоја вредност на x одговара на една вредност на y. Променливата x се нарекува независна променлива или аргумент. Променливата y се нарекува зависна променлива. Сите вредности на независната променлива (променлива x) го формираат доменот на дефиниција на функцијата. Сите вредности што ги зема зависната променлива (променлива y) го формираат опсегот на функцијата.

Графикот на функцијата е збир на сите точки на координатната рамнина, чии апсциси се еднакви на вредностите на аргументот, а ординатите се еднакви на соодветните вредности на функцијата, односно вредностите на променливата x се нацртани по оската на апсцисата, а вредностите на променливата y се нацртани по оската на ординатите. За да графирате функција, треба да ги знаете својствата на функцијата. Главните својства на функцијата ќе бидат разгледани подолу!

За да изградите график на функција, препорачуваме да ја користите нашата програма - Функции за графика онлајн. Ако имате какви било прашања додека го проучувате материјалот на оваа страница, секогаш можете да ги поставите на нашиот форум. Исто така на форумот ќе ви помогнат да решавате проблеми по математика, хемија, геометрија, теорија на веројатност и многу други предмети!

Основни својства на функциите.

1) Доменот на дефинирање на функцијата и опсегот на вредностите на функцијата.

Доменот на функцијата е множество од сите валидни реални вредности на аргументот x (променлива x) за која е дефинирана функцијата y = f(x).
Опсегот на функцијата е збир на сите реални y вредности што функцијата ги прифаќа.

Во елементарната математика, функциите се изучуваат само на множеството реални броеви.

2) Нули на функцијата.

Се повикуваат вредностите на x за кои y=0 функција нули. Тоа се апсцисите на точките на пресек на функционалниот график со оската Ox.

3) Интервали на постојан знак на функција.

Интервали на постојан знак на функција - се нарекуваат такви интервали на вредности x на кои вредностите на функцијата y се или само позитивни или само негативни. интервали на постојан знак на функцијата.

4) Монотоност на функцијата.

Зголемена функција (во одреден интервал) е функција во која поголема вредност на аргументот од овој интервал одговара на поголема вредност на функцијата.

Намалувачка функција (во одреден интервал) е функција во која поголема вредност на аргументот од овој интервал одговара на помала вредност на функцијата.

5) Парност (непарност) на функцијата.

Парна функција е функција чијшто домен на дефиниција е симетричен во однос на потеклото и за кој било x f(-x) = f(x). Распоред дури и функцијасиметрични во однос на оската на ординатите.

Непарна функција е функција чијшто домен на дефиниција е симетричен во однос на потеклото и за кој било x од доменот на дефиниција, еднаквоста f(-x) = - f(x) е точно. Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото.

Дури и функција
1) Доменот на дефиниција е симетричен во однос на точката (0; 0), односно, ако точката a припаѓа на доменот на дефиниција, тогаш точката -a исто така припаѓа на доменот на дефиниција.
2) За која било вредност x f(-x)=f(x)
3) Графикот на парна функција е симетричен во однос на оската Oy.

Непарната функција ги има следните својства:
1) Доменот на дефиниција е симетричен во однос на точката (0; 0).
2) за која било вредност x што припаѓа на доменот на дефиниција, еднаквоста f(-x)=-f(x) е задоволена
3) Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото (0; 0).

Не секоја функција е парна или непарна. Функции општ погледне се ниту парни ниту непарни.

6) Ограничени и неограничени функции.

Функцијата се нарекува ограничена ако постои таква позитивен број M таков што |f(x)| ≤ M за сите вредности на x. Ако таков број не постои, тогаш функцијата е неограничена.

7) Периодичност на функцијата.

Функцијата f(x) е периодична ако има ненула број T таков што за кој било x од доменот на дефиниција на функцијата важи следново: f(x+T) = f(x). Ова најмал бројсе нарекува период на функцијата. Сите тригонометриски функциисе периодични. (Тригонометриски формули).

Функцијата f се нарекува периодична ако има број таков што за кој било x од доменот на дефиниција важи еднаквоста f(x)=f(x-T)=f(x+T). Т е периодот на функцијата.

Секоја периодична функција има бесконечен број на периоди. Во пракса, обично се смета најмалиот позитивен период.

Вредностите на периодичната функција се повторуваат по интервал еднаков на периодот. Ова се користи при конструирање графикони.

Во јули 2020 година, НАСА започнува експедиција на Марс. Вселенско леталоќе достави на Марс електронски медиум со имињата на сите регистрирани учесници во експедицијата.

Ако оваа објава ви го реши проблемот или едноставно ви се допадна, споделете ја врската до неа со вашите пријатели на социјалните мрежи.

Една од овие опции за код треба да се копира и залепи во кодот на вашата веб-страница, по можност помеѓу ознаките и или веднаш по ознаката. Според првата опција, MathJax се вчитува побрзо и помалку ја успорува страницата. Но, втората опција автоматски ги следи и вчитува најновите верзии на MathJax. Ако го вметнете првиот код, тој ќе треба периодично да се ажурира. Ако го вметнете вториот код, страниците ќе се вчитуваат побавно, но нема да треба постојано да ги следите ажурирањата на MathJax.

Најлесен начин за поврзување на MathJax е во Blogger или WordPress: во контролната табла на страницата, додајте графичка контрола дизајнирана за вметнување JavaScript код од трета страна, копирајте ја првата или втората верзија на кодот за преземање претставен погоре во него и поставете го додатокот поблиску до почетокот на шаблонот (патем, ова воопшто не е потребно, бидејќи скриптата MathJax се вчитува асинхроно). Тоа е се. Сега научете ја синтаксата за означување на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте подготвени за вградување математички формулина веб-страниците на вашата страница.

Уште една новогодишна ноќ... ладно време и снегулки на прозорското стакло... Сето ова ме поттикна повторно да пишувам за... фракталите и што знае Волфрам Алфа за тоа. Има интересна статија на оваа тема, која содржи примери на дводимензионални фрактални структури. Овде ќе разгледаме повеќе сложени примеритридимензионални фрактали.

Фракталот може визуелно да се претстави (опише) како геометриска фигура или тело (што значи дека и двете се збир, во во овој случај, збир на точки), чии детали имаат иста форма како и самата оригинална фигура. Тоа е, ова е само-слична структура, испитувајќи ги деталите од кои кога ќе се зголемат, ќе ја видиме истата форма како без зголемување. Додека кај обичните геометриска фигура(не фрактал), кога ќе се зумира ќе видиме детали кои имаат поедноставен облик од самата оригинална фигура. На пример, при доволно големо зголемување, дел од елипсата изгледа како сегмент од права линија. Ова не се случува со фракталите: со секое зголемување на нив повторно ќе го видиме истото сложена форма, што ќе се повторува повторно и повторно со секое зголемување.

Беноа Манделброт, основачот на науката за фрактали, во својата статија Фракталите и уметноста во име на науката напиша: „Фракталите се геометриски форми кои се сложени во нивните детали како и во нивната севкупна форма. Тоа е, ако дел од фракталот ќе се зголеми до големината на целината, ќе се појави како целина, или точно, или можеби со мала деформација“.

- (математика.) Функција y = f (x) се повикува дури и ако не се менува кога независната променлива го менува само знакот, односно ако f (x) = f (x). Ако f (x) = f (x), тогаш функцијата f (x) се нарекува непарна. На пример, y = cosx, y = x2... ...

F(x) = x е пример за непарна функција. f(x) = x2 е пример за парна функција. f(x) = x3 ... Википедија

Функција што ја задоволува еднаквоста f (x) = f (x). Видете Парни и непарни функции... Голема советска енциклопедија

F(x) = x е пример за непарна функција. f(x) = x2 е пример за парна функција. f(x) = x3 ... Википедија

Специјални функции што ги вовел францускиот математичар Е. М. ф. се користат и во проучувањето на ширењето на електромагнетните бранови во елипсовиден цилиндар ... Голема советска енциклопедија

Барањето „грев“ е пренасочено овде; види и други значења. Барањето „сек“ е пренасочено овде; види и други значења. Барањето „Sine“ е пренасочено овде; види и други значења... Википедија

Функцијата се нарекува парна (непарна) ако за која било и еднаквоста

Графикот на парна функција е симетричен во однос на оската
.

Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото.

Пример 6.2. Проверете дали функцијата е парна или непарна

1)
; 2)
; 3)
.

Решение.

1) Функцијата се дефинира кога
. Ќе најдеме
.

Оние.
. Ова значи дека оваа функција е рамномерна.

2) Функцијата се дефинира кога

Оние.
. Така, оваа функција е непарна.

3) функцијата е дефинирана за , т.е. За

,
. Затоа функцијата не е ниту парна ниту непарна. Да го наречеме функција од општа форма.

3. Проучување на функцијата за монотоност.

Функција
се нарекува зголемување (намалување) на одреден интервал ако во овој интервал секоја поголема вредност на аргументот одговара на поголема (помала) вредност на функцијата.

Функциите што се зголемуваат (намалуваат) во одреден интервал се нарекуваат монотони.

Доколку функцијата
диференцијабилна на интервалот
и има позитивен (негативен) дериват
, потоа функцијата
се зголемува (намалува) во текот на овој интервал.

Пример 6.3. Најдете интервали на монотоност на функциите

1)
; 3)
.

Решение.

1) Оваа функција е дефинирана на целата нумеричка линија. Ајде да го најдеме дериватот.

Изводот е еднаков на нула ако
И
. Доменот на дефиниција е бројната оска, поделена со точки
,
во интервали. Дозволете ни да го одредиме знакот на дериватот во секој интервал.

Во интервалот
дериватот е негативен, функцијата се намалува на овој интервал.

Во интервалот
изводот е позитивен, затоа, функцијата се зголемува во текот на овој интервал.

2) Оваа функција е дефинирана ако
или

Го одредуваме знакот на квадратниот трином во секој интервал.

Така, доменот на дефинирање на функцијата

Ајде да го најдеме дериватот
,
, Ако
, т.е.
, Но
. Да го одредиме знакот на дериватот во интервалите
.

Во интервалот
дериватот е негативен, затоа функцијата се намалува на интервалот
. Во интервалот
дериватот е позитивен, функцијата се зголемува во текот на интервалот
.

4. Проучување на функцијата на екстремот.

Точка
наречена максимална (минимална) точка на функцијата
, доколку постои такво соседство на точката тоа е за секого
од ова соседство држи нееднаквоста

.

Максималните и минималните точки на функцијата се нарекуваат екстремни точки.

Доколку функцијата
во точката има екстрем, тогаш изводот на функцијата во оваа точка е еднаков на нула или не постои (неопходен услов за постоење на екстремум).

Точките во кои изводот е нула или не постои се нарекуваат критични.

5. Доволни услови за постоење на екстрем.

Правило 1. Ако при преминот (од лево кон десно) низ критичната точка дериват
го менува знакот од „+“ во „–“, потоа во точката функција
има максимум; ако од „–“ до „+“, тогаш минимумот; Ако
не го менува знакот, тогаш нема екстрем.

Правило 2. Нека во точка
прв извод на функција
еднаква на нула
, а вториот извод постои и се разликува од нула. Ако
, Тоа – максимална точка, доколку
, Тоа – минимална точка на функцијата.

Пример 6.4. Истражете ги максималните и минималните функции:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Решение.

1) Функцијата е дефинирана и континуирана на интервалот
.

Ајде да го најдеме дериватот
и решете ја равенката
, т.е.
.Од тука
– критични точки.

Да го одредиме знакот на дериватот во интервалите,
.

При минување низ точки
И
дериватот го менува знакот од „–“ во „+“, затоа според правилото 1
– минимум поени.

При минување низ точка
дериватот го менува знакот од „+“ во „–“, па
– максимална поен.

,
.

2) Функцијата е дефинирана и континуирана во интервалот
. Ајде да го најдеме дериватот
.

Откако ја решивме равенката
, ќе најдеме
И
– критични точки. Ако именителот
, т.е.
, тогаш изводот не постои. Значи,
– трета критична точка. Дозволете ни да го одредиме знакот на дериватот во интервали.