1°

1°. Равенки на тангентата рамнина и нормала за случај на експлицитна дефиниција на површината.

Да разгледаме една од геометриските примени на парцијални изводи на функција од две променливи. Нека функцијата z = f (x ;y)диференцијабилна во точката (x 0; y 0)некоја област ДÎ R 2. Ајде да ја исечеме површината С,претставувајќи ја функцијата z,авиони x = x 0И y = y 0(сл. 11).

Рамнина X = x 0ја пресекува површината Спо некоја линија z 0 (y),чија равенка се добива со замена во изразот на оригиналната функција z ==f (x ;y)наместо Xброеви x 0 .Точка М 0 (x 0 ;y 0,f (x 0 ;y 0))припаѓа на кривата z 0 (y).Поради диференцијабилната функција zво точката М 0функција z 0 (y)е исто така диференцијабилна во точката y =y 0 .Затоа, во овој момент во авионот x = x 0до кривата z 0 (y)може да се нацрта тангента л 1.

Спроведување слично размислување за делот на = y 0,ајде да изградиме тангента л 2до кривата z 0 (x)во точката X = x 0 -Директно 1 1 И 1 2 дефинираат рамнина наречена тангентна рамнинадо површината Сво точката М 0.

Ајде да ја создадеме нејзината равенка. Бидејќи авионот минува низ точката Мо(x 0 ;y 0 ;z 0),тогаш неговата равенка може да се запише како

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

што може да се препише вака:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(поделете ја равенката со -C и означувате ).

Ќе најдеме А 1и Б 1.

Тангентни равенки 1 1 И 1 2 изгледа како

соодветно.

Тангента л 1лежи во рамнина a , затоа, координатите на сите точки л 1ја задоволува равенката (1). Овој факт може да се напише во форма на систем

Решавајќи го овој систем во однос на B 1, го добиваме тоа. л 3, лесно е да се утврди тоа.

Замена на вредностите А 1и B 1 во равенката (1), ја добиваме потребната равенка на тангентна рамнина:

Линија што минува низ точка М 0и нормално на тангентата рамнина конструирана во оваа точка на површината се нарекува нејзина нормално.

Користејќи го условот за перпендикуларност на правата и рамнината, лесно е да се добијат канонските нормални равенки:

Коментар.Формулите за тангентата рамнина и нормална на површината се добиваат за обични, т.е., неспецијални точки на површината. Точка М 0површина се нарекува специјални,ако во овој момент сите парцијални изводи се еднакви на нула или барем еден од нив не постои. Ние не ги разгледуваме таквите точки.

Пример. Напиши равенки за тангентата рамнина и нормална на површината во нејзината точка М(2; -1; 1).

Решение. Ајде да ги најдеме парцијалните деривати на оваа функција и нивните вредности во точката М

Оттука, применувајќи ги формулите (2) и (3), ќе имаме: z-1=2(x-2)+2(y+1)или 2х+2у-z-1=0- равенка на тангентна рамнина и - нормални равенки.

2°. Равенки на тангентата рамнина и нормала за случај на имплицитна дефиниција на површината.

Доколку површината Сдадена со равенката F (x ; y;z)= 0, потоа равенките (2) и (3), земајќи го предвид фактот дека парцијалните изводи може да се најдат како изводи на имплицитна функција.

Равенка на нормална рамнина

1.

4.

Тангента рамнина и површина нормални

Нека биде дадена некоја површина, A е фиксна точка на површината, а B е променлива точка на површината,

(сл. 1).

Вектор без нула

→

n

повикани нормален вектордо површината во точката А, ако

лим Б → А j = π 2 .

Површинска точка F (x, y, z) = 0 се нарекува обична ако во оваа точка

1. парцијалните деривати F " x , F " y , F " z се континуирани;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Ако барем еден од овие услови е прекршен, се нарекува површинската точка посебна точка на површината .

Теорема 1.Ако M(x 0 , y 0 , z 0 ) е обична точка на површината F (x , y , z) = 0 , потоа векторот

→ n = град F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → јас + F" y (x 0 , y 0 , z 0 ) → ј + F "z (x 0 , y 0 , z 0 ) → к

(1)

е нормална на оваа површина во точката M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Доказдадена во книгата од И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова `` Курс виша математика: Интегрална пресметка. Функции на неколку променливи. Диференцијални равенки. М.: Издавачка куќа МПЕИ, 2002 година (стр. 128).

Нормално на површинатаво одреден момент има права линија чиј вектор на насока е нормален на површината во оваа точка и која минува низ оваа точка.

Канонски нормални равенкиможе да се претстави во форма

x − x 0 F" x (x 0, y 0, z 0) = y − y 0 F" y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F "z (x 0 , y 0 , z 0 ) .

(2)

Тангентна рамнинадо површината во одредена точка е рамнина што минува низ оваа точка нормална на нормалната на површината во оваа точка.

Од оваа дефиниција произлегува дека равенка на тангентна рамнинаима форма:

(3)

Ако точката на површината е еднина, тогаш во таа точка векторот нормален на површината може да не постои и, според тоа, површината може да нема нормална и тангентна рамнина.

Геометриско значење на вкупниот диференцијал на функција од две променливи

Нека функцијата z = f (x, y) е диференцијабилна во точката a (x 0, y 0). Нејзиниот график е површината

f (x, y) − z = 0.

Да ставиме z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Тогаш точката A (x 0 , y 0 , z 0 ) припаѓа на површината.

Делумните изводи на функцијата F (x, y, z) = f (x, y) − z се

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

и во точката A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. тие се континуирани;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Според тоа, A е обична точка на површината F (x, y, z) и во оваа точка има тангента рамнина на површината. Според (3), равенката на тангентата рамнина има форма:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Вертикалното поместување на точка на тангентата рамнина кога се движи од точка a (x 0, y 0) до произволна точка p (x, y) е B Q (сл. 2). Соодветниот прираст на апликации е

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Овде на десната страна има диференцијал г z функција z = f (x, y) во точка a (x 0, x 0). Оттука,
г f (x 0 , y 0 ). е зголемување на апликацијата на тангентна рамнина точка на графикот на функцијата f (x, y) во точката (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Од дефиницијата за диференцијал произлегува дека растојанието помеѓу точката P на графикот на функцијата и точката Q на тангентата рамнина е бесконечно повеќе висок редотколку растојанието од точката p до точката a.

Во одреден момент и има континуирани парцијални деривати во него, од кои барем еден не исчезнува, тогаш во соседството на оваа точка површината дефинирана со равенката (1) ќе биде десната површина.

Покрај горенаведеното имплицитен начин на прецизирањеможе да се дефинира површина очигледно, ако една од променливите, на пример z, може да се изрази во однос на другите:

Исто така постои параметарскиначин на доделување. Во овој случај, површината се одредува со системот на равенки:

Концептот на едноставна површина

Поточно, едноставна површина се нарекува слика на хомеоморфно пресликување (односно, едно-на-еден и меѓусебно континуирано пресликување) на внатрешноста на единечниот квадрат. На оваа дефиниција може да се даде аналитички израз.

Нека е даден квадрат на рамнина со правоаголен координатен систем u и v, чии координати на внатрешните точки ги задоволуваат неравенките 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различни точки(u, v) и (u", v") беа различни соодветни точки (x, y, z) и (x", y, z").

Пример едноставна површинае хемисфера. Целата сфера не е едноставна површина. Ова бара понатамошна генерализација на концептот на површина.

Подмножество на простор, чијашто точка има соседство што е едноставна површина, повикан десната површина .

Површина во диференцијална геометрија

Хеликоид

Катеноид

Метриката не го одредува единствено обликот на површината. На пример, метриката на хеликоид и катеноид, соодветно параметризирана, се совпаѓа, односно постои кореспонденција помеѓу нивните региони што ги зачувува сите должини (изометрија). Својствата кои се зачувани при изометриски трансформации се нарекуваат внатрешна геометријаповршини. Внатрешната геометрија не зависи од положбата на површината во просторот и не се менува кога е свиткана без напнатост или компресија (на пример, кога цилиндерот е свиткан во конус).

Метричките коефициенти ги одредуваат не само должините на сите кривини, туку и генерално резултатите од сите мерења во внатрешноста на површината (агли, области, искривување итн.). Затоа, сè што зависи само од метриката се однесува на внатрешната геометрија.

Нормален и нормален дел

Нормални вектори на површинските точки

Една од главните карактеристики на површината е нејзината нормално- единечен вектор нормално на тангентата рамнина во дадена точка:

.

Знакот на нормалата зависи од изборот на координати.

Пресек на површина со рамнина што ја содржи нормалата (во дадена точка) формира одредена крива на површината, која се нарекува нормален делповршини. Главната нормала за нормален дел се совпаѓа со нормалата на површината (до знак).

Ако кривата на површината не е нормален пресек, тогаш нејзината главна нормала формира одреден агол θ со нормалата на површината. Потоа искривување ккрива поврзана со закривеноста к nнормален пресек (со иста тангента) според формулата на Меуниер:

Координатите на нормалниот единичен вектор за различни методи за дефинирање на површина се дадени во табелата:

	Нормални координати на површинска точка
имплицитна задача
експлицитна задача
параметарска спецификација

Искривување

За различни насоки во дадена точка на површината се добива различна кривина на нормалниот пресек што се нарекува нормална искривување; му се доделува знак плус ако главната нормала на кривата оди во иста насока како нормалата на површината, или знак минус ако насоките на нормалните се спротивни.

Општо земено, во секоја точка на површината има две нормални насоки д 1 и д 2, во која нормалната кривина зема минимални и максимални вредности; овие насоки се нарекуваат главен. Исклучок е случајот кога нормалната кривина во сите правци е иста (на пример, во близина на сфера или на крајот на елипсоид на револуција), тогаш сите правци во една точка се главни.

Површини со негативна (лево), нула (центар) и позитивна (десно) кривина.

Се нарекуваат нормални кривини во главните насоки главни кривини; да ги означиме κ 1 и κ 2. Големина:

К= κ 1 κ 2

повикани Гаусова кривина, целосна искривувањеили едноставно искривувањеповршини. Постои и термин скалар на закривеност, што имплицира резултат на конволуција на тензорот на закривеност; во овој случај, скаларот на кривината е двојно поголем од Гаусовата кривина.

Гаусовата кривина може да се пресмета преку метрика, и затоа е предмет на внатрешната геометрија на површините (забележете дека главните кривини не припаѓаат на внатрешната геометрија). Можете да ги класифицирате површинските точки врз основа на знакот на закривеност (види слика). Заобленоста на рамнината е нула. Заобленоста на сфера со радиус R е насекаде еднаква. Постои и површина на постојана негативна кривина - псевдосфера.

Геодетски линии, геодетска кривина

Кривата на површината се нарекува геодетска линија, или едноставно геодетски, ако во сите негови точки главната нормала на кривата се совпаѓа со нормалата на површината. Пример: на рамнина, геодезиката се прави линии и отсечки од прави линии, на сфера - големи кругови и нивните отсечки.

Еквивалентна дефиниција: за геодетска линија, проекцијата на нејзината главна нормала на оскулационата рамнина е нулта вектор. Ако кривата не е геодетска, тогаш наведената проекција е ненула; неговата должина се нарекува геодетска кривина к екривина на површината. Постои врска:

,

Каде к- искривување на оваа крива, к n- искривувањето на неговиот нормален пресек со истата тангента.

Геодетските линии се однесуваат на внатрешната геометрија. Да ги наведеме нивните главни својства.

• Преку оваа точкаповршини во даден правец има еден и само еден геодетски.
• На доволно мала површина на површината, две точки секогаш можат да се поврзат со геодезија, а згора на тоа, само со една. Објаснување: на сферата, спротивните полови се поврзани со бесконечен број меридијани, а две блиски точки можат да се поврзат не само со сегмент од голем круг, туку и со негово додавање во целосен круг, така што единственоста се одржува само во малиот.
• Геодезијата е најкраткиот пат. Построго: на мало парче површина најкратката патека помеѓу дадените точки лежи покрај геодезијата.

Плоштад

Друг важен атрибут на површината е нејзината квадрат, што се пресметува со формулата:

Графикот на функција од 2 променливи z = f(x,y) е површина проектирана на XOY рамнината во доменот на дефиниција на функцијата D.
Размислете за површината σ , дадена со равенката z = f(x,y), каде што f(x,y) е диференцијабилна функција и нека M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) е фиксна точка на површината σ, т.е. z 0 = f(x 0,y 0). Цел. Онлајн калкулаторот е дизајниран да пронајде равенки за тангентна рамнина и површинска нормална. Решението е изготвено во Word формат. Ако треба да ја пронајдете равенката на тангента на крива (y = f(x)), тогаш треба да ја користите оваа услуга.

Правила за внесување функции:

Правила за внесување функции:

1. Сите променливи се изразуваат преку x,y,z

Тангентна рамнина на површината σ во нејзината точка М 0 е рамнината во која лежат тангентите на сите кривини нацртани на површината σ преку точката М 0 .
Равенката на тангентата рамнина на површината дефинирана со равенката z = f(x,y) во точката M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) има форма:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Векторот се нарекува површински нормален вектор σ во точка М 0. Нормалниот вектор е нормален на тангентата рамнина.
Нормално на површината σ во точката М 0 е права линија што минува низ оваа точка и има насока на векторот N.
Канонските равенки на нормалата на површината дефинирани со равенката z = f(x,y) во точката M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), каде z 0 = f(x 0 ,y 0), имаат форма:

Пример бр. 1. Површината е дадена со равенката x 3 +5y. Најдете ја равенката на тангентата рамнина на површината во точката M 0 (0;1).
Решение. Да ги запишеме тангентните равенки во општа форма: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0 )
Според условите на задачата, x 0 = 0, y 0 = 1, потоа z 0 = 5
Да ги најдеме парцијалните изводи на функцијата z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
Во точката M 0 (0,1) вредностите на парцијалните деривати се:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Користејќи ја формулата, ја добиваме равенката на тангентата рамнина на површината во точката M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) или -5 y+z = 0

Пример бр. 2. Површината е дефинирана имплицитно y 2 -1/2*x 3 -8z. Најдете ја равенката на тангентата рамнина на површината во точката M 0 (1;0;1).
Решение. Наоѓање на парцијални изводи на функција. Бидејќи функцијата е имплицитно наведена, бараме деривати користејќи ја формулата:

За нашата функција:

Потоа:

Во точката M 0 (1,0,1) вредности на парцијални деривати:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Користејќи ја формулата, ја добиваме равенката на тангентата рамнина на површината во точката M 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) или 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Пример. Површина σ дадена со равенката z= y/x + xy – 5x 3. Најдете ја равенката на тангентата рамнина и нормална на површината σ во точката М 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), кои припаѓаат на неа, ако x 0 = –1, y 0 = 2.
Да ги најдеме парцијалните изводи на функцијата z= ѓ(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x“ ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y“ ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ y = 1/x + x.
Точка М 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) припаѓа на површината σ , за да можеме да пресметаме z 0 , заменувајќи го даденото x 0 = –1 и y 0 = 2 во равенката на површината:

z= y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Во точката М 0 (–1, 2, 1) парцијални деривативни вредности:
f x“ ( М 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y“ ( М 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Со помош на формулата (5) ја добиваме равенката на тангентата рамнина на површината σ во точката М 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Користејќи ја формулата (6) ги добиваме канонските равенки на нормалата на површината σ во точката М 0: .
Одговори: равенка на тангентна рамнина: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; нормални равенки: .

Пример бр. 1. Дадена е функција z=f(x,y) и две точки A(x 0, y 0) и B(x 1, y 1). Потребно: 1) пресметајте ја вредноста z 1 на функцијата во точката Б; 2) пресметајте ја приближната вредност z 1 на функцијата во точката B врз основа на вредноста z 0 на функцијата во точката A, заменувајќи го зголемувањето на функцијата при движење од точката A до точката B со диференцијал; 3) креирајте равенка за тангентата рамнина на површината z = f(x,y) во точката C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Решение.
Да ги напишеме тангентните равенки во општа форма:
z - z 0 = f" x (x 0, y 0 ,z 0) (x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0) (y - y 0)
Според условите на задачата, x 0 = 1, y 0 = 2, потоа z 0 = 25
Да ги најдеме парцијалните изводи на функцијата z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
Во точката M 0 (1,2) вредностите на парцијалните деривати се:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Користејќи ја формулата, ја добиваме равенката на тангентата рамнина на површината во точката M 0:
z - 25 = 26 (x - 1) + 36 (y - 2)
или
-26 x-36 y+z+73 = 0

Пример бр. 2. Напиши ги равенките на тангентата рамнина и нормална на елиптичниот параболоид z = 2x 2 + y 2 во точката (1;-1;3).

Тангентните рамнини играат голема улога во геометријата. Изградбата на тангентни рамнини е од практично значење, бидејќи нивното присуство овозможува да се одреди насоката на нормалата кон површината на местото на допир. Овој проблем е широко користен во инженерската пракса. Тангентните рамнини се користат и за конструирање скици. геометриски форми, ограничен со затворени површини. Теоретски, рамнините тангентни на површината се користат во диференцијалната геометрија за проучување на својствата на површината во областа на допирната точка.

Основни поими и дефиниции

Рамнината тангента на површината треба да се смета како гранична положба на секантната рамнина (по аналогија со линијата тангента на кривата, која исто така се дефинира како гранична положба на секантата).

Рамнина тангента на површина во дадена точка на површината е збир од сите прави линии - тангенти нацртани на површината низ дадена точка.

Во диференцијалната геометрија е докажано дека сите тангенти на површина нацртана во обична точка се компланарни (припаѓаат на иста рамнина).

Ајде да дознаеме како да нацртаме права линија тангента на површината. Тангентата t на површината β во точката M наведена на површината (сл. 203) ја претставува граничната положба на секантата l j што ја пресекува површината во две точки (MM 1, MM 2, ..., MM n) кога пресечните точки се совпаѓаат (M ≡ M n , l n ≡ l M). Очигледно (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, бидејќи g ⊂ β. Од горенаведеното, следува следнава дефиниција: тангента на површина е права линија тангента на која било крива што припаѓа на површината.

Бидејќи рамнината е дефинирана со две пресечни прави линии, за да се дефинира рамнина тангента на површината во дадена точка, доволно е да се исцртаат две произволни линии кои припаѓаат на површината (по можност едноставна во форма) низ оваа точка и да се конструираат тангенти на секоја од нив во точката на пресек на овие прави . Конструираните тангенти уникатно ја одредуваат рамнината на тангентите. Визуелен приказ на цртање рамнина α тангента на површината β во дадена точка M е дадена на сл. 204. Оваа слика го покажува и нормалното n на површината β.

Нормалата на површината во дадена точка е права линија нормална на рамнината на тангентата и минува низ точката на тангенција.

Линијата на пресек на површината со рамнината што минува низ нормалата се нарекува нормален пресек на површината. Во зависност од видот на површината, тангентата рамнина може да има една или повеќе точки (права) со површината. Линијата на тангенција во исто време може да биде и линијата на пресек на површината со рамнината.

Има и случаи кога има точки на површината на кои е невозможно да се нацрта тангента на површината; таквите точки се нарекуваат еднина. Како пример за еднини точки, може да се наведат точките кои припаѓаат на повратниот раб на површината на торзото или точката на пресек на меридијанот на површината на вртење со неговата оска, ако меридијанот и оската не се сечат десно. агли.

Видовите на допир зависат од природата на искривувањето на површината.

Искривување на површината

Прашањата за искривувањето на површината ги проучувал францускиот математичар Ф.

За да го направите ова, во рамнината тангента на површината што се разгледува во точката М (слика 205, 206), сегменти еднакви на квадратните корени на вредностите на соодветните радиуси на искривување на овие делови се поставени на тангентите на нормалните делови од двете страни на оваа точка. Збир на точки - краевите на отсечките дефинираат крива наречена Дупинов показател. Алгоритмот за конструирање на Дупинов индикатор (сл. 205) може да се напише:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

каде што R е радиусот на закривеноста.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) е Дупинов показател.

Ако Дупинов индикатор на површина е елипса, тогаш точката М се нарекува елиптична, а површината се нарекува површина со елиптични точки(Сл. 206). Во овој случај, тангентата рамнина има само една заедничка точка со површината, а сите линии кои припаѓаат на површината и се сечат во точката што се разгледува се наоѓаат на едната страна од рамнината на тангентата. Примери на површини со елипсовидни точки се: параболоид на револуција, елипсоид на револуција, сфера (во овој случај, индикаторот Дупин е круг, итн.).

При цртање тангентна рамнина на површината на торзото, рамнината ќе ја допре оваа површина по права генератрикс. Точките на оваа линија се нарекуваат параболичен, а површината е површина со параболични точки. Дупиновата индикација во овој случај е две паралелни прави (сл. 207*).

На сл. 208 е прикажана површина составена од точки во кои

* Крива од втор ред - парабола - под одредени услови може да се подели на две вистински паралелни прави, две имагинарни паралелни прави, две линии кои се совпаѓаат. На сл. 207 имаме работа со две реални паралелни прави.

Секоја тангента рамнина ја пресекува површината. Таквата површина се нарекува хиперболичен, а точките што му припаѓаат се хиперболични точки. Индикатор на Дупин во овој случај- хипербола.

Површината, чиишто точки се хиперболични, има форма на седло (коса рамнина, хиперболоид со еден лист, конкавни површини на вртење итн.).

Една површина може да има точки различни типови, на пример, во близина на површината на торзото (сл. 209) точката М е елипсовидна; точката N е параболична; точката К е хиперболична.

Во текот на диференцијалната геометрија, докажано е дека нормалните пресеци во кои вредностите на закривеноста K j = 1/ R j (каде што R j е радиус на закривеност на делот што се разгледува) имаат екстремни вредности. меѓусебно нормални рамнини.

Ваквите кривини K 1 = 1/R макс. K 2 = 1/R min се нарекуваат главни вредности, а вредностите H = (K 1 + K 2)/2 и K = K 1 K 2 се, соодветно, просечната кривина на површината и вкупниот ( Гаусова) искривување на површината во разгледуваната точка. За елиптични точки K > 0, хиперболични точки К

Одредување тангента рамнина на површина на Монге дијаграм

Подолу на конкретни примериЌе ја прикажеме конструкцијата на рамнина тангента на површина со елиптични (пример 1), параболични (пример 2) и хиперболични (пример 3) точки.

ПРИМЕР 1. Конструирај рамнина α тангента на површината на вртење β со елиптични точки. Да разгледаме две опции за решавање на овој проблем: а) точка М ∈ β и б) точка М ∉ β

Опција a (сл. 210).

Тангентата рамнина се одредува со две тангенти t 1 и t 2 нацртани во точката M на паралелата и меридијанот на површината β.

Проекциите на тангентата t 1 на паралелата h на површината β ќе бидат t" 1 ⊥ (S"M") и t" 1 || x оска Хоризонталната проекција на тангентата t" 2 на меридијанот d на површината β што минува низ точката M ќе се совпадне со хоризонталната проекција на меридијанот. За да се најде фронталната проекција на тангентата t" 2, меридијалната рамнина γ(γ ∋ M) се пренесува во положбата γ со ротирање околу оската на површината β 1, паралелно со рамнината π 2. Во овој случај, точката M → M 1 (M" 1, M" 1). Проекцијата на тангентата t" 2 rarr; t" 2 1 се одредува со (M" 1 S"). Ако сега ја вратиме рамнината γ 1 во првобитната положба, тогаш точката S" ќе остане на своето место (како што припаѓа на оската на ротација), а M" 1 → M" и фронталната проекција на тангентата t" 2 ќе да се определи (M" S")

Две тангенти t 1 и t 2 кои се сечат во точката M ∈ β дефинираат рамнина α тангента на површината β.

Опција б (сл. 211)

За да се конструира рамнина тангента на површина што минува низ точка што не припаѓа на површината, мора да се продолжи од следниве размислувања: низ точка надвор од површината која се состои од елиптични точки, може да се нацртаат многу рамнини тангентни на површината. Обвивката на овие површини ќе биде некоја конусна површина. Затоа, ако нема дополнителни инструкции, тогаш проблемот има многу решенија и во овој случај се сведува на цртање конусна површина γ тангента на дадена површина β.

На сл. 211 е прикажана конструкција на конусна површина γ тангента на сферата β. Секоја рамнина α тангента на конусната површина γ ќе биде тангента на површината β.

За да конструираме проекции на површината γ од точките M" и M" цртаме тангенти на круговите h" и f" - проекциите на сферата. Обележете ги допирните точки 1 (1" и 1"), 2 (2" и 2"), 3 (3" и 3") и 4 (4" и 4"). Хоризонтална проекција на круг - линијата на тангенција на конусната површина и сферата се проектира во [ 1"2"] За да ги најдеме точките на елипсата во кои овој круг ќе биде проектиран на фронталната рамнина на проекции, ќе користиме паралелите на сферата.

На сл. 211 на овој начин се одредуваат фронталните проекции на точките E и F (E" и F"). Имајќи конусна површина γ, конструираме тангента рамнина α на неа. Природата и редоследот на графиката

Конструкциите што треба да се направат за ова се дадени во следниот пример.

ПРИМЕР 2 Конструирај рамнина α тангента на површината β со параболични точки

Како во Пример 1, разгледуваме две решенија: а) точка N ∈ β; б) точка N ∉ β

Опција a (сл. 212).

Конусна површина се однесува на површини со параболични точки (види Сл. 207.) Рамнина тангента на конусна површина ја допира по права линија. За да се изгради, потребно е:

1) низ дадена точка N нацртајте генератор SN (S"N" и S"N");

2) означете ја точката на пресек на генератриксот (SN) со водилката d: (SN) ∩ d = A;

3) ќе дува и на тангентата t до d во точката А.

Генератријата (SA) и тангентата t што ја сечат ја дефинираат рамнината α тангента на конусната површина β во дадена точка N*.

За да се нацрта рамнина α, тангента на конусната површина β и минува низ точката N, не припаѓа на

* Бидејќи површината β се состои од параболични точки (освен темето S), тангентата рамнина α на неа ќе има заедничка не една точка N, туку права линија (SN).

со притискање на дадена површина, потребно е:

1) низ дадена точка N и темето S на конусната површина β повлече права линија a (a" и a");

2) определи ја хоризонталната трага на оваа права линија H a;

3) преку H a нацртајте ги тангентите t" 1 и t" 2 на кривата h 0β - хоризонталната трага на конусната површина;

4) поврзете ги тангентните точки A (A" и A") и B (B" и B") со темето на конусната површина S (S" и S").

Правите што се пресекуваат t 1, (AS) и t 2, (BS) ги одредуваат саканите тангентни рамнини α 1 и α 2

ПРИМЕР 3. Конструирај рамнина α тангента на површината β со хиперболични точки.

Точката К (сл. 214) се наоѓа на површината на глобоидот (внатрешната површина на прстенот).

За да се одреди положбата на тангентата рамнина α, потребно е:

1) повлече паралела со површината β h(h", h") низ точката K;

2) низ точката K" нацртај тангента t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) за да се одредат насоките на проекциите на тангентата на меридијалниот пресек, потребно е да се повлече рамнината γ низ точката K и оската на површината, хоризонталната проекција t" 2 ќе се совпадне со h 0γ; да се конструира фронталната проекција на тангентата t" 2, прво ја преведуваме рамнината γ со ротирање околу оската на површината на ротација до положбата γ 1 || π 2. Во овој случај, меридијалниот пресек по рамнина γ ќе се усогласи со левиот контурен лак на фронталната проекција - полукруг g".

Точката К (К", К"), која припаѓа на кривата на меридијалниот пресек, ќе се премести во положбата K 1 (K" 1, K" 1). Преку K" 1 цртаме фронтална проекција на тангентата t" 2 1, во комбинација со рамнината γ 1 || Поставете π 2 и означете ја точката на нејзиното вкрстување со фронталната проекција на оската на ротација S" 1. Ја враќаме рамнината γ 1 во првобитната положба, точка K" 1 → K" (точка S" 1 ≡ S") .Фонталната проекција на тангентата t" 2 се определува со точките K" и S".

Тангентите t 1 и t 2 ја дефинираат саканата тангента рамнина α, која ја пресекува површината β долж кривата l.

ПРИМЕР 4. Конструирај рамнина α тангента на површината β во точката K. Точката K се наоѓа на површината на еднолист хиперболоид на вртење (сл. 215).

Овој проблем може да се реши со придржување до алгоритмот користен во претходниот пример, но имајќи предвид дека површината на хиперболоидот на револуција со еден лист е управувана површина која има две фамилии праволиниски генератори, а секој од генераторите на еден семејството ги вкрстува сите генератори на другото семејство (види § 32, сл. 138). Низ секоја точка на оваа површина, може да се исцртаат две вкрстени права - генератори, кои истовремено ќе бидат тангентни на површината на еднолист хиперболоид на вртење.

Овие тангенти ја дефинираат тангентата рамнина, односно рамнината тангента на површината на хиперболоидот со вртење со еден лист ја пресекува оваа површина по две прави g 1 и g 2. За да се конструираат проекции на овие линии, доволно е хоризонталната проекција на точката K и тангентите t" 1 и t" 2 да се носат на хоризонталата

тална проекција на кругот d" 2 - грлото на површината на хиперболоид со вртење со еден лист; определете ги точките 1" и 2 во кои t" 1 и t" 2 се сечат една и насочените површини d 1. Од 1" и 2" наоѓаме 1" и 2", кои заедно со К" ги одредуваат фронталните проекции на бараните линии.