Како да се одреди очекувањето мат. Формула за математичко очекување. Основи на теоријата на веројатност

Математичко очекување на дискретна случајна променливае збир на производите на сите негови можни вредности и нивните веројатности.

Нека случајната променлива зема само вредности на веројатност кои се соодветно еднакви. Тогаш математичкото очекување на случајна променлива се одредува со еднаквоста

Ако дискретна случајна променлива зема броиво збир на можни вредности, тогаш

Згора на тоа, математичкото очекување постои ако серијата од десната страна на еднаквоста апсолутно се спојува.

Коментар. Од дефиницијата произлегува дека математичкото очекување на дискретна случајна променлива е неслучајна (константна) величина.

Дефиниција на математичко очекување во општ случај

Дозволете ни да го одредиме математичкото очекување на случајна променлива чија дистрибуција не е нужно дискретна. Да почнеме со случајот на не-негативни случајни променливи. Идејата ќе биде да се приближат таквите случајни променливи со помош на дискретни, за кои веќе е одредено математичкото очекување, и да се стави математичкото очекување еднаква на границатаматематички очекувања на дискретни случајни променливи што го приближуваат. Патем, ова е многу корисна општа идеја, а тоа е дека некоја карактеристика прво се одредува за едноставни предмети, а потоа за посложени предмети се определува со нивно приближување со поедноставни.

Лема 1. Нека има произволна не-негативна случајна променлива. Потоа, постои низа од дискретни случајни променливи таква што

Доказ. Дозволете ни да ја поделиме полуоската на сегменти со еднаква должина и да одредиме

Тогаш својствата 1 и 2 лесно следат од дефиницијата за случајна променлива, и

Лема 2. Нека е ненегативна случајна променлива и две секвенци од дискретни случајни променливи кои поседуваат својства 1-3 од Лема 1. Тогаш

Доказ. Забележете дека за не-негативни случајни променливи дозволуваме

Поради својството 3, лесно е да се види дека има низа позитивни бројки, така што

Го следи тоа

Користејќи ги својствата на математичките очекувања за дискретни случајни променливи, добиваме

Поминувајќи до границата, ја добиваме изјавата на Лема 2.

Дефиниција 1. Нека е ненегативна случајна променлива, - низа од дискретни случајни променливи кои имаат својства 1-3 од Лема 1. Математичкото очекување на случајната променлива е бројот

Лема 2 гарантира дека не зависи од изборот на приближна низа.

Сега нека биде произволна случајна променлива. Ајде да дефинираме

Од дефиницијата и лесно произлегува тоа

Дефиниција 2. Математичкото очекување на произволна случајна променлива е бројот

Ако барем еден од броевите од десната страна на ова равенство е конечен.

Својства на математичкото очекување

Имотот 1. Очекувана вредностпостојаната вредност е еднаква на самата константа:

Доказ. Константата ќе ја разгледаме како дискретна случајна променлива која има една можна вредност и ја зема со веројатност, затоа,

Забелешка 1. Да го дефинираме производот на константна променлива со дискретна случајна променлива како дискретна случајна променлива чиишто можни вредности се еднакви на производите на константата по можните вредности; веројатностите на можните вредности се еднакви со веројатностите на соодветните можни вредности. На пример, ако веројатноста за можна вредност е еднаква, тогаш веројатноста дека вредноста ќе ја земе вредноста е исто така еднаква

Својство 2. Константниот фактор може да се извади од знакот на математичкото очекување:

Доказ. Нека случајната променлива е дадена со законот за распределба на веројатност:

Земајќи ја предвид забелешката 1, го пишуваме законот за распределба на случајната променлива

Забелешка 2. Пред да преминеме на следното својство, истакнуваме дека две случајни променливи се нарекуваат независни ако законот за распределба на една од нив не зависи од тоа кои можни вредности ги земала другата променлива. Во спротивно, случајните променливи се зависни. Неколку случајни променливи се нарекуваат меѓусебно независни ако законите на дистрибуција на кој било број од нив не зависат од тоа кои можни вредности ги земале преостанатите променливи.

Забелешка 3. Да го дефинираме производот на независни случајни променливи и како случајна променлива чиишто можни вредности се еднакви на производите на секоја можна вредност по секоја можна вредност, веројатностите за можните вредности на производот се еднакви на производите на веројатностите на можните вредности на факторите. На пример, ако веројатноста за можна вредност е, веројатноста за можна вредност е тогаш веројатноста за можна вредност е

Својство 3. Математичкото очекување од производот на две независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања:

Доказ. Нека независните случајни променливи се специфицираат со нивните сопствени закони за распределба на веројатност:

Ајде да ги собереме сите вредности што може да ги земе случајната променлива. За да го направите ова, ајде да ги помножиме сите можни вредности со секоја можна вредност; Како резултат на тоа, добиваме и, земајќи ја предвид забелешката 3, го пишуваме законот за дистрибуција, со претпоставка за едноставност дека сите можни вредности на производот се различни (ако тоа не е случај, тогаш доказот се врши во на сличен начин):

Математичкото очекување е еднакво на збирот на производите од сите можни вредности и нивните веројатности:

Последица. Математичкото очекување од производот на неколку меѓусебно независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања.

Својство 4. Математичкото очекување од збирот на две случајни променливи е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите:

Доказ. Нека случајните променливи се специфицираат со следните закони за дистрибуција:

Ајде да ги собереме сите можни вредности на една количина.За да го направите ова, ја додаваме секоја можна вредност на секоја можна вредност; За едноставност да претпоставиме дека овие можни вредности се различни (ако тоа не е случај, тогаш доказот се изведува на сличен начин), а нивните веројатности ги означуваме, соодветно, со и

Математичкото очекување на вредноста е еднакво на збирот на производите на можните вредности и нивните веројатности:

Да докажеме дека настан што ќе ја земе вредноста (веројатноста за овој настан е еднаква) повлекува настан што ќе ја земе вредноста или (веројатноста за овој настан според теоремата за собирање е еднаква), и обратно. Оттука произлегува дека еднаквостите се докажуваат слично

Заменувајќи ги десните страни на овие еднаквости во односот (*), добиваме

или конечно

Варијанса и стандардна девијација

Во пракса, често е неопходно да се процени дисперзијата на можните вредности на случајна променлива околу нејзината средна вредност. На пример, во артилеријата е важно да се знае колку блиску ќе паднат гранати блиску до целта што треба да се погоди.

На прв поглед, може да изгледа дека најлесниот начин да се процени дисперзијата е да се пресметаат сите можни отстапувања на случајна променлива и потоа да се најде нивната просечна вредност. Сепак, оваа патека нема да даде ништо, бидејќи просечната вредност на отстапувањето, т.е. за која било случајна променлива е еднаква на нула. Ова својство се објаснува со фактот дека некои можни отстапувања се позитивни, додека други се негативни; како резултат на нивното меѓусебно откажување, просечната вредност на отстапувањето е нула. Овие размислувања укажуваат на препорачливоста за замена на можните отстапувања апсолутни вредностиили нивните квадрати. Тоа го прават во пракса. Точно, во случај кога можните отстапувања се заменуваат со апсолутни вредности, треба да се работи со апсолутни вредности, што понекогаш доведува до сериозни тешкотии. Затоа најчесто тргнуваат по поинаков пат, т.е. пресметајте ја просечната вредност на квадратното отстапување, кое се нарекува дисперзија.

Математичкото очекување е дефиниција

Чекањето мат ееден од најважните концептиВ математичка статистикаи теоријата на веројатност, која ја карактеризира распределбата на вредностите или веројатностислучајна променлива. Обично се изразува како пондериран просек на сите можни параметри на случајна променлива. Широко се користи во техничка анализа, истражување серија на броеви, проучување на континуирани и долгорочни процеси. Тоа е важно во проценката на ризиците, предвидувањето на индикаторите на цените при тргување на финансиските пазари и се користи во развојот на стратегии и методи на тактики за игри во теории за коцкање.

Чекање мат- Овасредна вредност на случајна променлива, дистрибуција веројатностислучајната променлива се разгледува во теоријата на веројатност.

Чекањето мат емерка за просечна вредност на случајна променлива во теоријата на веројатност. Матерај го очекувањето на случајна променлива xозначено со M(x).

Математичкото очекување (Популација средна вредност) е

Чекањето мат е

Чекањето мат ево теоријата на веројатност, пондериран просек на сите можни вредности што може да ги земе случајната променлива.

Чекањето мат езбирот на производите на сите можни вредности на случајна променлива и веројатностите на овие вредности.

Математичкото очекување (Популација средна вредност) е

Чекањето мат епросечната придобивка од одредена одлука, под услов таквата одлука да се разгледува во рамките на теоријата за големи броеви и долги растојанија.

Чекањето мат ево теоријата на коцкање, износот на добивки што шпекулантот може да ги заработи или изгуби, во просек, на секој облог. На јазикот на коцкањето шпекулантиова понекогаш се нарекува „предност“ шпекулант" (ако е позитивно за шпекулантот) или "куќен раб" (ако е негативен за шпекулантот).

Математичкото очекување (Популација средна вредност) е

Ќе има и задачи за независна одлука, на кои можете да ги видите одговорите.

Очекувањето и варијансата се најчесто користените нумерички карактеристики на случајната променлива. Тие ги карактеризираат најважните карактеристики на дистрибуцијата: нејзината положба и степенот на расејување. Очекуваната вредност често се нарекува едноставно просечна. случајна променлива. Дисперзија на случајна променлива - карактеристика на дисперзија, ширење на случајна променлива за неговото математичко очекување.

Во многу практични проблеми, целосна, исцрпна карактеристика на случајна променлива - законот за распределба - или не може да се добие или воопшто не е потребна. Во овие случаи, еден е ограничен на приближен опис на случајна променлива користејќи нумерички карактеристики.

Очекување на дискретна случајна променлива

Ајде да дојдеме до концептот на математичко очекување. Нека масата на некоја супстанција биде распределена помеѓу точките на оската x x1 , x 2 , ..., x n. Покрај тоа, секоја материјална точка има соодветна маса со веројатност од стр1 , стр 2 , ..., стр n. Потребно е да се избере една точка на оската на апсцисата, што ја карактеризира положбата на целиот систем материјални точки, земајќи ги предвид нивните маси. Природно е да се земе центарот на масата на системот на материјални точки како таква точка. Ова е пондериран просек на случајната променлива X, на која апсцисата на секоја точка xјасвлегува со „тежина“ еднаква на соодветната веројатност. Просечната вредност на случајната променлива добиена на овој начин Xсе нарекува негово математичко очекување.

Математичкото очекување на дискретна случајна променлива е збирот на производите на сите нејзини можни вредности и веројатностите на овие вредности:

Пример 1.Организирана е лотарија со добивка. Има 1000 добивки, од кои 400 се 10 рубли. 300-20 рубли секој. 200-100 рубли секој. и по 100 - 200 рубли. Која е просечната добивка за некој што ќе купи еден тикет?

Решение. Просечните добивки ќе ги најдеме ако вкупниот износ на добивки, кој е 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 рубли, го поделиме со 1000 (вкупен износ на добивки). Потоа добиваме 50000/1000 = 50 рубли. Но, изразот за пресметување на просечната добивка може да се претстави во следнава форма:

Од друга страна, во овие услови, победничката големина е случајна променлива, која може да земе вредности од 10, 20, 100 и 200 рубли. со веројатности еднакви на 0,4, соодветно; 0,3; 0,2; 0.1. Затоа, очекуваната просечна исплата еднаков на збиротпроизводи со големина на добивки и веројатност за нивно примање.

Пример 2.Издавачот одлучи да објави нова книга. Тој планира да ја продаде книгата за 280 рубли, од кои самиот ќе добие 200, 50 - книжарницата и 30 - авторот. Табелата дава информации за трошоците за издавање на книга и за веројатноста за продажба на одреден број примероци од книгата.

Најдете го очекуваниот профит на издавачот.

Решение. Случајната променлива „профит“ е еднаква на разликата помеѓу приходот од продажба и цената на трошоците. На пример, ако се продадени 500 примероци од книга, тогаш приходот од продажбата е 200 * 500 = 100.000, а трошоците за објавување се 225.000 рубли. Така, издавачот се соочува со загуба од 125.000 рубли. Следната табела ги сумира очекуваните вредности на случајната променлива - профит:

Број	Профит xјас	Веројатност стрјас	xјас стрјас
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Вкупно:		1,00	25000

Така, го добиваме математичкото очекување за профитот на издавачот:

.

Пример 3.Веројатност да се погоди со еден истрел стр= 0,2. Определете ја потрошувачката на проектили кои обезбедуваат математичко очекување за бројот на удари еднаков на 5.

Решение. Од истата формула за математичко очекување што ја користевме досега, се изразуваме x- потрошувачка на школка:

.

Пример 4.Определи го математичкото очекување на случајна променлива xброј на удари со три удари, ако веројатноста за погодок со секој истрел стр = 0,4 .

Совет: пронајдете ја веројатноста за случајни вредности на променливи според Формулата на Бернули .

Својства на математичкото очекување

Да ги разгледаме својствата на математичкото очекување.

Имотот 1.Математичкото очекување за константна вредност е еднакво на оваа константа:

Имотот 2.Константниот фактор може да се извади од знакот за математичко очекување:

Имотот 3.Математичкото очекување од збирот (разликата) на случајните променливи е еднакво на збирот (разликата) на нивните математички очекувања:

Имотот 4.Математичкото очекување на производ од случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања:

Имотот 5.Ако сите вредности на случајна променлива Xсе намалува (зголемува) за ист број СО, тогаш неговото математичко очекување ќе се намали (зголеми) за ист број:

Кога не можете да се ограничите само на математичко очекување

Во повеќето случаи, само математичкото очекување не може доволно да карактеризира случајна променлива.

Нека случајните променливи XИ Yсе дадени со следните закони за дистрибуција:

Значење X	Веројатност
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Значење Y	Веројатност
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Математичките очекувања од овие количини се исти - еднакви на нула:

Сепак, нивните модели на дистрибуција се различни. Случајна вредност Xможе да земе само вредности кои малку се разликуваат од математичкото очекување и случајната променлива Yможе да земе вредности кои значително отстапуваат од математичкото очекување. Сличен пример: просечната плата не овозможува да се процени уделот на високо и ниско платените работници. Со други зборови, од математичкото очекување не може да се процени какви отстапувања од него, барем во просек, се можни. За да го направите ова, треба да ја пронајдете варијансата на случајната променлива.

Варијанса на дискретна случајна променлива

Варијансадискретна случајна променлива Xсе нарекува математичко очекување на квадратот на неговото отстапување од математичкото очекување:

Стандардна девијација на случајна променлива Xаритметичката вредност на квадратниот корен на неговата варијанса се вика:

.

Пример 5.Пресметајте ги варијансите и стандардните отстапувања на случајните променливи XИ Y, чии закони за распределба се дадени во горните табели.

Решение. Математички очекувања на случајни променливи XИ Y, како што е откриено погоре, се еднакви на нула. Според формулата за дисперзија кај Е(X)=Е(y)=0 добиваме:

Потоа стандардните отстапувања на случајните променливи XИ YШминка

.

Така, со истите математички очекувања, варијансата на случајната променлива Xмногу мала, но случајна променлива Y- значајно. Ова е последица на разликите во нивната дистрибуција.

Пример 6.Инвеститорот има 4 алтернативни инвестициски проекти. Табелата ја сумира очекуваната добивка во овие проекти со соодветната веројатност.

Проект 1	Проект 2	Проект 3	Проект 4
500, П=1	1000, П=0,5	500, П=0,5	500, П=0,5
	0, П=0,5	1000, П=0,25	10500, П=0,25
		0, П=0,25	9500, П=0,25

Најдете ги математичкото очекување, варијансата и стандардното отстапување за секоја алтернатива.

Решение. Дозволете ни да покажеме како се пресметуваат овие вредности за третата алтернатива:

Табелата ги сумира пронајдените вредности за сите алтернативи.

Сите алтернативи имаат исти математички очекувања. Тоа значи дека долгорочно сите имаат исти приходи. Стандардната девијација може да се толкува како мерка за ризик - колку е поголема, толку е поголем ризикот од инвестицијата. Инвеститор кој не сака многу ризик ќе го избере проектот 1 бидејќи има најмало стандардно отстапување (0). Доколку инвеститорот претпочита ризик и високи приноси во краток период, тогаш ќе го избере проектот со најголемо стандардно отстапување - проект 4.

Карактеристики на дисперзија

Да ги претставиме својствата на дисперзијата.

Имотот 1.Варијансата на константна вредност е нула:

Имотот 2.Константниот фактор може да се извади од знакот на дисперзија со негово квадратирање:

.

Имотот 3.Варијансата на случајната променлива е еднаква на математичкото очекување на квадратот на оваа вредност, од кое се одзема квадратот на математичкото очекување на самата вредност:

,

Каде .

Имотот 4.Варијансата на збирот (разликата) на случајните променливи е еднаква на збирот (разликата) на нивните варијанси:

Пример 7.Познато е дека дискретна случајна променлива Xзема само две вредности: −3 и 7. Освен тоа, познато е и математичкото очекување: Е(X) = 4 . Најдете ја варијансата на дискретна случајна променлива.

Решение. Да означиме со стрверојатноста со која случајната променлива зема вредност x1 = −3 . Тогаш веројатноста на вредноста x2 = 7 ќе биде 1 − стр. Да ја изведеме равенката за математичкото очекување:

Е(X) = x 1 стр + x 2 (1 − стр) = −3стр + 7(1 − стр) = 4 ,

каде ги добиваме веројатностите: стр= 0,3 и 1 - стр = 0,7 .

Закон за распределба на случајна променлива:

X	−3	7
стр	0,3	0,7

Ние ја пресметуваме варијансата на оваа случајна променлива користејќи ја формулата од својството 3 на дисперзијата:

Д(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Пронајдете го сами математичкото очекување на случајна променлива, а потоа погледнете го решението

Пример 8.Дискретна случајна променлива Xзема само две вредности. Ја прифаќа поголемата од вредностите 3 со веројатност 0,4. Дополнително, позната е и варијансата на случајната променлива Д(X) = 6 . Најдете го математичкото очекување на случајна променлива.

Пример 9.Во една урна има 6 бели и 4 црни топчиња. Од урната се извлекуваат 3 топчиња. Бројот на бели топчиња меѓу извлечените топчиња е дискретна случајна променлива X. Најдете ги математичкото очекување и варијансата на оваа случајна променлива.

Решение. Случајна вредност Xможе да земе вредности 0, 1, 2, 3. Соодветните веројатности може да се пресметаат од правило за множење на веројатноста. Закон за распределба на случајна променлива:

X	0	1	2	3
стр	1/30	3/10	1/2	1/6

Оттука и математичкото очекување на оваа случајна променлива:

М(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Варијансата на дадена случајна променлива е:

Д(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Очекување и варијанса на континуирана случајна променлива

За континуирана случајна променлива, механичкото толкување на математичкото очекување ќе го задржи истото значење: центар на маса за единица маса распределена континуирано на оската x со густина ѓ(x). За разлика од дискретна случајна променлива, чијшто функционален аргумент xјассе менува нагло; за континуирана случајна променлива, аргументот постојано се менува. Но, математичкото очекување на континуирана случајна променлива е исто така поврзано со нејзината просечна вредност.

За да ги пронајдете математичкото очекување и варијансата на континуирана случајна променлива, треба да најдете дефинитивни интеграли . Ако е дадена функцијата за густина на континуирана случајна променлива, тогаш таа директно влегува во интеграндот. Ако е дадена функција за распределба на веројатност, тогаш со нејзино диференцирање, треба да ја пронајдете функцијата за густина.

Аритметичкиот просек на сите можни вредности на континуирана случајна променлива се нарекува нејзин математичко очекување, означено со или .

2. Основи на теоријата на веројатност

Очекувана вредност

Размислете за случајна променлива со нумерички вредности. Често е корисно да се поврзе број со оваа функција - неговата „просечна вредност“ или, како што велат, „ средна вредност", "индекс на централна тенденција". Поради повеќе причини, од кои некои ќе станат јасни подоцна, математичкото очекување обично се користи како „просечна вредност“.

Дефиниција 3.Математичко очекување на случајна променлива Xповикан број

тие. математичкото очекување на случајна променлива е пондерирана сума на вредностите на случајна променлива со тежини еднакви на веројатностите на соодветните елементарни настани.

Пример 6.Да го пресметаме математичкото очекување на бројот што се појавува на горниот дел од матрицата. Од дефиницијата 3 директно произлегува дека

Изјава 2.Нека случајната променлива Xзема вредности x 1, x 2,…, xм. Тогаш еднаквоста е вистина

(5)

тие. Математичкото очекување на случајна променлива е пондерирана сума на вредностите на случајната променлива со тежини еднакви на веројатностите случајната променлива да зема одредени вредности.

За разлика од (4), каде што сумирањето се врши директно преку елементарни настани, случаен настан може да се состои од неколку елементарни настани.

Понекогаш релацијата (5) се зема како дефиниција за математичко очекување. Меѓутоа, користејќи ја Дефиницијата 3, како што е прикажано подолу, полесно е да се утврдат својствата на математичкото очекување неопходни за конструирање на веројатностични модели на реални појави отколку да се користи релацијата (5).

За да ја докажеме релацијата (5), групираме во (4) поими со идентични вредности на случајната променлива:

Бидејќи константниот фактор може да се извади од знакот на збирот, тогаш

Со определување на веројатноста за настан

Користејќи ги последните две релации го добиваме потребното:

Концептот на математичко очекување во веројатностичко-статистичка теорија одговара на концептот на центарот на гравитација во механиката. Ајде да го ставиме во поени x 1, x 2,…, xмна масената бројна оска П(X= x 1 ), П(X= x 2 ),…, П(X= x m) соодветно. Тогаш еднаквоста (5) покажува дека центарот на гравитација на овој систем на материјални точки се совпаѓа со математичкото очекување, што ја покажува природноста на Дефиницијата 3.

Изјава 3.Нека X- случајна вредност, М(Х)– неговото математичко очекување, А– одреден број. Потоа

1) М(а)=а; 2) М(Х-М(Х))=0; 3 милиони[(X- а) 2 ]= М[(X- М(X)) 2 ]+(а- М(X)) 2 .

За да го докажеме ова, прво да разгледаме случајна променлива која е константна, т.е. функцијата го пресликува просторот на елементарните настани на една точка А. Бидејќи константниот множител може да се земе надвор од знакот на збирот, тогаш

Ако секој член на збирот се подели на два члена, тогаш целата сума се дели на два збира, од кои првиот е составен од првите членови, а вториот од вториот. Затоа, математичкото очекување на збирот на две случајни променливи X+Y, дефиниран на истиот простор на елементарни настани, е еднаков на збирот на математичките очекувања М(Х)И M(U)овие случајни променливи:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

А со тоа и М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(М(Х)).Како што е прикажано погоре, М(М(Х)) = М(Х).Оттука, М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(Х) = 0.

Затоа што (X - a) 2 = ((X – М(X)) + (М(X) - а)} 2 = (X - М(X)) 2 + 2(X - М(X))(М(X) - а) + (М(X) – а) 2 , Тоа М[(X - a) 2 ] =М(X - М(X)) 2 + М{2(X - М(X))(М(X) - а)} + М[(М(X) – а) 2 ]. Ајде да ја поедноставиме последната еднаквост. Како што е прикажано на почетокот на докажувањето на изјавата 3, математичкото очекување на константата е самата константа, и затоа М[(М(X) – а) 2 ] = (М(X) – а) 2 . Бидејќи константниот множител може да се земе надвор од знакот на збирот, тогаш М{2(X - М(X))(М(X) - а)} = 2(М(X) - а) М (X - М(X)). Десната страна на последното равенство е 0 бидејќи, како што е прикажано погоре, М(Х-М(Х))=0.Оттука, М[(X- а) 2 ]= М[(X- М(X)) 2 ]+(а- М(X)) 2 , што требаше да се докаже.

Од наведеното произлегува дека М[(X- а) 2 ] достигнува минимум А, еднакви М[(X- М(X)) 2 ], на a = M (X),бидејќи вториот член во еднаквоста 3) е секогаш ненегативен и е еднаков на 0 само за одредената вредност А.

Изјава 4.Нека случајната променлива Xзема вредности x 1, x 2,…, xм, а f е некоја функција на нумеричкиот аргумент. Потоа

За да го докажеме ова, да групираме на десната страна на еднаквоста (4), која го дефинира математичкото очекување, термини со исти вредности:

Користејќи го фактот дека константниот фактор може да се извади од знакот на збирот и дефиницијата на веројатноста за случаен настан (2), добиваме

Q.E.D.

Изјава 5.Нека XИ У- случајни променливи дефинирани на истиот простор на елементарни настани, АИ б- некои бројки. Потоа М(aX+ од страна на)= јас сум(X)+ bM(Y).

Користејќи ја дефиницијата за математичкото очекување и својствата на симболот за сумирање, добиваме синџир на еднаквости:

Потребното е докажано.

Горенаведеното покажува како математичкото очекување зависи од преминот кон друга референтна точка и до друга мерна единица (транзиција Y=aX+б), како и на функции на случајни променливи. Добиените резултати постојано се користат во техничка и економска анализа, при проценка на финансиските и економските активности на претпријатието, при преминот од една во друга валута во странски економски пресметки, во регулаторна и техничка документација итн. Резултатите што се разгледуваат овозможуваат употреба на исти пресметковни формули за различни параметри скала и поместување.

Претходна

– бројот на машки деца меѓу 10 новороденчиња.

Апсолутно е јасно дека оваа бројка не е однапред позната, а следните десет родени деца може да вклучуваат:

Или момчиња - еден и единственод наведените опции.

И, за да се одржите во форма, малку физичко образование:

– скок во далечина (во некои единици).

Дури ни мајстор на спорт не може да го предвиди :)

Сепак, вашите хипотези?

2) Континуирана случајна променлива – прифаќа Сите нумерички вредностиод некој конечен или бесконечен интервал.

Забелешка : В едукативна литературапопуларни кратенки DSV и NSV

Прво, да ја анализираме дискретната случајна променлива, потоа - континуирано.

Закон за распределба на дискретна случајна променлива

- Ова кореспонденцијапомеѓу можните вредности на оваа количина и нивните веројатности. Најчесто, законот е напишан во табела:

Терминот се појавува доста често ред дистрибуција, но во некои ситуации звучи двосмислено и затоа ќе се задржам на „законот“.

И сега Многу важна точка : бидејќи случајната променлива Задолжителноќе прифати една од вредностите, потоа се формираат соодветните настани целосна групаа збирот на веројатностите за нивно појавување е еднаков на еден:

или, ако е напишано кондензирано:

Така, на пример, законот за распределба на веројатност на точките валани на матрица ја има следната форма:

Нема коментари.

Можеби имате впечаток дека дискретна случајна променлива може да земе само „добри“ цели броеви. Ајде да ја отфрлиме илузијата - тие можат да бидат што било:

Пример 1

Некои игри го имаат следниов закон за победничка дистрибуција:

...сигурно долго време сонувавте за вакви задачи :) Ќе ви кажам една тајна - и јас. Особено по завршувањето на работата на теорија на терен.

Решение: бидејќи случајната променлива може да земе само една од трите вредности, се формираат соодветните настани целосна група, што значи дека збирот на нивните веројатности е еднаков на еден:

Разобличување на „партизанот“:

– така, веројатноста за освојување на конвенционалните единици е 0,4.

Контрола: тоа е она во што требаше да се увериме.

Одговори:

Не е невообичаено кога треба сами да изготвите закон за распределба. За ова користат класична дефиниција на веројатност, Теореми за множење/собирање за веројатности на настании други чипови тервера:

Пример 2

Кутијата содржи 50 лозови, меѓу кои 12 се добитни, а 2 од нив добиваат по 1000 рубли, а останатите - по 100 рубли. Подгответе закон за распределба на случајна променлива - големината на добивката, ако еден тикет е извлечен по случаен избор од кутијата.

Решение: како што забележавте, вредностите на случајна променлива обично се ставаат во во растечки редослед. Затоа, започнуваме со најмалите добивки, имено со рубли.

Вакви билети има вкупно 50 - 12 = 38, а според класична дефиниција:
– веројатноста дека случајно извлечениот тикет ќе биде губитник.

Во други случаи, сè е едноставно. Веројатноста за освојување рубли е:

Проверете: – и ова е особено пријатен момент на такви задачи!

Одговори: саканиот закон за распределба на добивките:

Следната задача треба да ја решите сами:

Пример 3

Веројатноста дека стрелецот ќе ја погоди целта е . Направете закон за дистрибуција за случајна променлива - бројот на удари по 2 снимки.

...Знаев дека ти недостига :) Да се ​​потсетиме теореми за множење и собирање. Решението и одговорот се на крајот од лекцијата.

Законот за распределба целосно опишува случајна променлива, но во пракса може да биде корисно (а понекогаш и покорисно) да се знае само дел од неа нумерички карактеристики .

Очекување на дискретна случајна променлива

Зборувајќи на едноставен јазик, Ова просечната очекувана вредносткога тестирањето се повторува многу пати. Нека случајната променлива зема вредности со веројатности соодветно. Тогаш математичкото очекување на оваа случајна променлива е еднакво на збир на производисите негови вредности до соодветните веројатности:

или пропадна:

Дозволете ни да го пресметаме, на пример, математичкото очекување на случајна променлива - бројот на точки завртени на матрицата:

Сега да се потсетиме на нашата хипотетичка игра:

Се поставува прашањето: дали е воопшто профитабилно да се игра оваа игра? ...кој има некакви впечатоци? Значи, не можете да го кажете тоа „ненамерно“! Но, ова прашање може лесно да се одговори со пресметување на математичкото очекување, во суштина - Просечна тежинаспоред веројатноста за победа:

Така, математичкото очекување на оваа игра губење.

Не верувајте во вашите впечатоци - верувајте им на бројките!

Да, овде можете да победите 10, па дури и 20-30 пати по ред, но долгорочно нè чека неизбежна пропаст. И јас не би те советувал да играш такви игри :) Па, можеби само за Забава.

Од сето горенаведено произлегува дека математичкото очекување повеќе не е СЛУЧАЈНА вредност.

Креативна задачаза независно истражување:

Пример 4

Г-дин Х игра европски рулет користејќи го следниот систем: постојано се обложува 100 рубли на „црвено“. Направете закон за распределба на случајна променлива - нејзините добивки. Пресметајте го математичкото очекување на добивката и заокружете го до најблискиот копек. Колку просекДали играчот губи на секои стотина што ги обложил?

Референца : Европскиот рулет содржи 18 црвени, 18 црн и 1 зелен сектор („нула“). Ако се појави „црвено“, на играчот му се плаќа двојно повеќе од облогот, во спротивно тоа оди на приходот на казиното

Постојат многу други системи за рулет за кои можете да креирате сопствени табели за веројатност. Но, ова е случај кога не ни требаат никакви закони за дистрибуција или табели, бидејќи со сигурност е утврдено дека математичкото очекување на играчот ќе биде сосема исто. Единственото нешто што се менува од систем до систем е