Како да се одреди знакот на проекцијата на оска. Основни формули за наоѓање растојанија со помош на проекција на вектор на оска. Векторски производ на вектори на координатни единици

§ 3. Проекции на вектор на координатните оски

1. Геометриски наоѓање проекции.

Вектор
- проекција на векторот на оската Вол
- проекција на векторот на оската OY

Дефиниција 1. Векторска проекција на која било координатна оска е број земен со знак плус или минус, што одговара на должината на отсечката лоцирана помеѓу основите на перпендикуларите паднати од почетокот и крајот на векторот до координатната оска.

Знакот за проекција е дефиниран на следниов начин. Ако при движење по координатната оска има поместување од проекциската точка на почетокот на векторот до проекциската точка на крајот на векторот во позитивна насока на оската, тогаш проекцијата на векторот се смета за позитивна. . Ако е спротивна на оската, тогаш проекцијата се смета за негативна.

Сликата покажува дека ако векторот е ориентиран некако спротивно на координатната оска, тогаш неговата проекција на оваа оска е негативна. Ако векторот е некако ориентиран во позитивната насока на координатната оска, тогаш неговата проекција на оваа оска е позитивна.

Ако векторот е нормален на координатната оска, тогаш неговата проекција на оваа оска е нула.
Ако векторот е конасочен со оската, тогаш неговата проекција на оваа оска е еднаква на апсолутната вредност на векторот.
Ако векторот е насочен спротивно на координатната оска, тогаш неговата проекција на оваа оска е еднаква по апсолутна вредност на апсолутната вредност на векторот земен со знак минус.

2. Повеќето општа дефиницијапроекции.

Од правоаголен триаголник ABD: .

Дефиниција 2. Векторска проекција на која било координатна оска е број еднаков на производот на модулот на векторот и косинус на аголот формиран од векторот со позитивната насока на координатната оска.

Знакот на проекцијата се одредува со знакот на косинус на аголот формиран од векторот со насока на позитивна оска.
Ако аголот е остар, тогаш косинусот има позитивен знак, а проекциите се позитивни. За тапите агли, косинусот има негативен предзнак, така што во такви случаи проекциите на оската се негативни.
- затоа, за вектори нормални на оската, проекцијата е нула.

По физика за 9 одделение (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999),
задача №5
до поглавјето " ГЛАВА 1. ОПШТИ ИНФОРМАЦИИ ЗА СООБРАЌАЈ».

1. Како се нарекува проекција на вектор на координатната оска?

1. Проекцијата на векторот a на координатната оска е должината на отсечката помеѓу проекциите на почетокот и крајот на векторот a (нормални паднати од овие точки на оската) на оваа координатна оска.

2. Како е поврзан векторот на поместување на телото со неговите координати?

2. Проекциите на векторот на поместување s на координатните оски се еднакви на промената на соодветните координати на телото.

3. Ако координатата на точката се зголемува со текот на времето, тогаш каков знак има проекцијата на векторот на поместување на координатната оска? Што ако се намали?

3. Ако координатата на точката се зголемува со текот на времето, тогаш проекцијата на векторот на поместување на координатната оска ќе биде позитивна, бидејќи во овој случај ќе преминеме од проекцијата на почетокот до проекцијата на крајот на векторот во правец на самата оска.

Ако координатата на точката се намалува со текот на времето, тогаш проекцијата на векторот на поместување на координатната оска ќе биде негативна, бидејќи во овој случај ќе преминеме од проекцијата на почетокот до проекцијата на крајот на векторот наспроти водилката на самата оска.

4. Ако векторот на поместување е паралелен со оската X, тогаш колкав е модулот на проекцијата на векторот на оваа оска? А што е со модулот на проекцијата на истиот вектор на оската Y?

4. Ако векторот на поместување е паралелен со оската X, тогаш модулот на проекцијата на векторот на оваа оска е еднаков на модулот на самиот вектор, а неговата проекција на оската Y е нула.

5. Определете ги знаците на проекциите на X оската на векторите на поместување прикажани на слика 22. Како се менуваат координатите на телото за време на овие поместувања?

5. Во сите следни случаи, Y координатата на телото не се менува, а X координатата на телото ќе се промени на следниов начин:

а) s 1;

проекцијата на векторот s 1 на оската X е негативна и по апсолутна вредност е еднаква на должината на векторот s 1 . Со такво движење, X координатата на телото ќе се намали за должината на векторот s 1.

б) s 2 ;

проекцијата на векторот s 2 на оската X е позитивна и еднаква по големина на должината на векторот s 1 . Со такво движење, X координатата на телото ќе се зголеми за должината на векторот s 2.

в) s 3 ;

проекцијата на векторот s 3 на оската X е негативна и еднаква по големина на должината на векторот s 3 . Со такво движење, X координатата на телото ќе се намали за должината на векторот s 3.

г)с 4;

проекцијата на векторот s 4 на оската X е позитивна и еднаква по големина на должината на векторот s 4 . Со такво движење, X координатата на телото ќе се зголеми за должината на векторот s 4.

д) s 5;

проекцијата на векторот s 5 на оската X е негативна и еднаква по големина на должината на векторот s 5 . Со такво движење, X координатата на телото ќе се намали за должината на векторот s 5.

6. Ако вредноста на поминатото растојание е голема, тогаш модулот за поместување може да биде мал?

6. Можеби. Ова се должи на фактот дека поместувањето (вектор на поместување) е векторска величина, т.е. е насочен праволиниски сегмент кој ја поврзува почетната положба на телото со неговите последователни позиции. И крајната положба на телото (без разлика на поминатото растојание) може да биде колку што сакате поблиску до почетната положба на телото. Ако крајната и почетната положба на телото се совпаѓаат, модулот за поместување ќе биде еднаков на нула.

7. Зошто векторот на движење на телото е поважен во механиката од патот што го поминал?

7. Главната задача на механиката е да ја одреди положбата на телото во секое време. Познавајќи го векторот на движење на телото, можеме да ги одредиме координатите на телото, т.е. положбата на телото во секој момент во времето, а знаејќи го само поминатото растојание, не можеме да ги одредиме координатите на телото, бидејќи немаме информации за правецот на движење, туку можеме само да ја процениме должината на патеката помината во дадено време.

Оската е насоката. Ова значи дека проекцијата на оска или на насочена линија се смета за иста. Проекцијата може да биде алгебарска или геометриска. Во геометриска смисла, проекцијата на вектор на оска се подразбира како вектор, а во алгебарска смисла, како број. Односно, се користат концептите на проекција на вектор на оска и нумеричка проекција на вектор на оска.

Ако имаме L оска и ненулти вектор A B →, тогаш можеме да конструираме вектор A 1 B 1 ⇀, означувајќи ги проекциите на неговите точки A 1 и B 1.

A 1 B → 1 ќе биде проекцијата на векторот A B → на L.

Дефиниција 1

Проекција на векторот на оскатае вектор чиј почеток и крај се проекции на почетокот и крајот на даден вектор. n p L A B → → вообичаено е да се означи проекцијата A B → на L. За да се изгради проекција на L, нормалните се спуштаат на L.

Пример 1

Пример за векторска проекција на оска.

На координатна рамнинаОколу x y е наведена точката M 1 (x 1 , y 1). Потребно е да се конструираат проекции на O x и O y за да се прикаже векторот на радиусот на точката M 1. Ги добиваме координатите на векторите (x 1, 0) и (0, y 1).

Ако зборуваме за проекцијата на a → на ненула b → или за проекцијата на a → на насоката b → , тогаш се мисли на проекцијата на a → на оската со која насоката b → се совпаѓа. Проекцијата на a → на линијата дефинирана со b → е означена n p b → a → → . Познато е дека кога аголот помеѓу a → и b → , n p b → a → → и b → може да се смета за конасочен. Во случај кога аголот е тап, n p b → a → → и b → се во спротивни насоки. Во ситуација на перпендикуларност a → и b →, а a → е нула, проекцијата на a → во насока b → е нулта вектор.

Нумеричката карактеристика на проекцијата на вектор на оска е нумеричката проекција на вектор на дадена оска.

Дефиниција 2

Нумеричка проекција на векторот на оскатае број кој е еднаков на производот од должината на даден вектор и косинус на аголот помеѓу дадениот вектор и векторот што ја одредува насоката на оската.

Нумеричката проекција на A B → на L се означува n p L A B → , и a → на b → - n p b → a → .

Врз основа на формулата добиваме n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , од каде a → е должината на векторот a → , a ⇀ , b → ^ е аголот помеѓу векторите a → и b → .

Ја добиваме формулата за пресметување на нумеричката проекција: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Применливо е за познати должини a → и b → и аголот меѓу нив. Формулата е применлива за познати координати a → и b →, но постои поедноставена форма.

Пример 2

Откријте ја бројната проекција на a → на права линија во правец b → со должина a → еднаква на 8 и агол меѓу нив од 60 степени. По услов имаме ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Значи, ајде да замениме нумерички вредностиво формулата n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Одговор: 4.

Со познат cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , имаме a → , b → како скаларен производ на a → и b → . Следејќи ја формулата n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , можеме да ја најдеме нумеричката проекција a → насочена по векторот b → и да добиеме n p b → a → = a → , b → b → . Формулата е еквивалентна на дефиницијата дадена на почетокот на параграфот.

Дефиниција 3

Нумеричката проекција на векторот a → на оска што се совпаѓа во насока со b → е односот на скаларниот производ на векторите a → и b → до должината b → . Формулата n p b → a → = a → , b → b → е применлива за да се најде нумеричката проекција на a → на права што се совпаѓа во насока со b → , со познати a → и b → координати.

Пример 3

Дадено b → = (- 3 , 4) . Најдете ја нумеричката проекција a → = (1, 7) на L.

Решение

На координатната рамнина n p b → a → = a → , b → b → има форма n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , со a → = (a x , a y ) и b → = b x, b y. За да ја пронајдете нумеричката проекција на векторот a → на оската L, потребно е: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Одговор: 5.

Пример 4

Најдете ја проекцијата на a → на L, што се совпаѓа со насоката b →, каде што има a → = - 2, 3, 1 и b → = (3, - 2, 6). Наведен е тродимензионален простор.

Решение

Со оглед на a → = a x , a y , a z и b → = b x , b y , b z , го пресметуваме скаларниот производ: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Должината b → се наоѓа со помош на формулата b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Следи дека формулата за определување на бројната проекција a → ќе биде: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Заменете ги нумеричките вредности: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Одговор: - 6 7.

Да ја погледнеме врската помеѓу a → на L и должината на проекцијата a → на L. Да нацртаме оска L, додавајќи → и b → од точка на L, по што цртаме нормална линија од крајот a → до L и нацртаме проекција на L. Постојат 5 варијации на сликата:

Првослучајот со a → = n p b → a → → значи a → = n p b → a → → , па оттука n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Второслучајот подразбира употреба на n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , што значи n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Третослучајот објаснува дека кога n p b → a → → = 0 → добиваме n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , тогаш n p b → a → → = 0 и n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Четвртослучајот покажува n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , следи n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Петтослучајот покажува a → = n p b → a → → , што значи a → = n p b → a → → , оттука имаме n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Дефиниција 4

Нумеричката проекција на векторот a → на оската L, која е насочена на ист начин како b →, ја има следната вредност:

• должината на проекцијата на векторот a → на L, под услов аголот помеѓу a → и b → да биде помал од 90 степени или еднаков на 0: n p b → a → = n p b → a → → со условот 0 ≤ (a → , б →) ^< 90 ° ;
• нула под услов a → и b → да се нормални: n p b → a → = 0, кога (a → , b → ^) = 90 °;
• должината на проекцијата a → на L, помножена со -1, кога има тап или правилен агол на векторите a → и b →: n p b → a → = - n p b → a → → со услов од 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Пример 5

Со оглед на должината на проекцијата a → на L, еднаква на 2. Најдете ја бројната проекција a → под услов аголот да биде 5 π 6 радијани.

Решение

Од условот е јасно дека овој агол е тап: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Одговор: - 2.

Пример 6

Дадена е рамнина O x y z со векторска должина a → еднаква на 6 3, b → (- 2, 1, 2) со агол од 30 степени. Најдете ги координатите на проекцијата a → на оската L.

Решение

Прво, ја пресметуваме нумеричката проекција на векторот a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

По услов, аголот е остар, тогаш нумеричката проекција a → = должината на проекцијата на векторот a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Овој случајпокажува дека векторите n p L a → → и b → се конасочени, што значи дека има број t за кој е точно еднаквоста: n p L a → → = t · b → . Од тука гледаме дека n p L a → → = t · b → , што значи дека можеме да ја најдеме вредноста на параметарот t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Потоа n p L a → → = 3 · b → со координатите на проекцијата на векторот a → на оската L еднаква на b → = (- 2 , 1 , 2) , каде што е потребно да се помножат вредностите со 3. Имаме n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Одговор: (- 6, 3, 6).

Потребно е да се повторат претходно научените информации за состојбата на колинеарност на векторите.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Алгебарска проекција на векторна која било оска е еднаков на производот од должината на векторот и косинусот на аголот помеѓу оската и векторот:

Pr a b = |b|cos(a,b) или

Каде што a b е скаларен производ на вектори, |a| - модул на векторот a.

Инструкции. За да ја пронајдете проекцијата на векторот Pr a b онлајн, мора да ги наведете координатите на векторите a и b. Во овој случај, векторот може да биде наведен на рамнина (две координати) и во простор (три координати). Резултираното решение е зачувано во датотека Word. Ако векторите се наведени преку координатите на точките, тогаш треба да го користите овој калкулатор.

Класификација на векторски проекции

Видови проекции по дефиниција векторска проекција

1. Геометриската проекција на векторот AB на оската (вектор) се нарекува вектор A"B", чиј почеток A' е проекција на почетокот A на оската (вектор), а крајот B' е проекција на крајот B на истата оска.
2. Алгебарската проекција на векторот AB на оската (вектор) се нарекува должина на векторот A"B", земена со знак + или -, во зависност од тоа дали векторот A"B" има иста насока како и оската ( вектор).

Видови проекции според координатен систем

Својства на векторска проекција

1. Геометриската проекција на векторот е вектор (има насока).
2. Алгебарската проекција на векторот е бројка.

Теореми за векторска проекција

Теорема 1. Проекцијата на збирот на вектори на која било оска е еднаква на проекцијата на збирот на векторите на истата оска.

AC" =AB" +B"C"

Теорема 2. Алгебарската проекција на векторот на која било оска е еднаква на производот од должината на векторот и косинусот на аголот помеѓу оската и векторот:

Pr a b = |b|·cos(a,b)

Видови векторски проекции

1. проекција на оската OX.
2. проекција на оската OY.
3. проекција на вектор.

Проекција на оската OX	Проекција на оската OY	Проекција на вектор
Ако насоката на векторот A’B’ се совпаѓа со насоката на оската OX, тогаш проекцијата на векторот A’B’ има позитивен знак.	Ако насоката на векторот A’B’ се совпаѓа со насоката на оската OY, тогаш проекцијата на векторот A’B’ има позитивен знак.	Ако насоката на векторот A’B’ се совпаѓа со насоката на векторот NM, тогаш проекцијата на векторот A’B’ има позитивен знак.
Ако насоката на векторот е спротивна на насоката на оската OX, тогаш проекцијата на векторот A’B’ има негативен знак.	Ако насоката на векторот A’B’ е спротивна на насоката на оската OY, тогаш проекцијата на векторот A’B’ има негативен знак.	Ако насоката на векторот A’B’ е спротивна на насоката на векторот NM, тогаш проекцијата на векторот A’B’ има негативен знак.
Ако векторот AB е паралелен со оската OX, тогаш проекцијата на векторот A'B' е еднаква на апсолутната вредност на векторот AB.	Ако векторот AB е паралелен со оската OY, тогаш проекцијата на векторот A'B' е еднаква на апсолутната вредност на векторот AB.	Ако векторот AB е паралелен со векторот NM, тогаш проекцијата на векторот A'B' е еднаква на апсолутната вредност на векторот AB.
Ако векторот AB е нормален на оската OX, тогаш проекцијата A’B’ е еднаква на нула (нулти вектор).	Ако векторот AB е нормален на оската OY, тогаш проекцијата A’B’ е еднаква на нула (нулти вектор).	Ако векторот AB е нормален на векторот NM, тогаш проекцијата A’B’ е еднаква на нула (нулти вектор).

1. Прашање: Дали проекцијата на вектор може да има негативен предзнак? Одговор: Да, векторот на проекцијата може да биде негативна вредност. Во овој случај, векторот има спротивна насока (видете како се насочени оската OX и векторот AB)
2. Прашање: Дали проекцијата на векторот може да се совпадне со апсолутната вредност на векторот? Одговор: Да, може. Во овој случај, векторите се паралелни (или лежат на иста линија).
3. Прашање: Дали проекцијата на вектор може да биде еднаква на нула (нулти вектор). Одговор: Да, може. Во овој случај, векторот е нормален на соодветната оска (вектор).

Пример 1. Векторот (сл. 1) формира агол од 60° со оската OX (тоа е специфицирано со векторот а). Ако OE е единица на скала, тогаш |b|=4, значи .

Навистина, должината на векторот ( геометриска проекцијаб) е еднаква на 2, а насоката се совпаѓа со насоката на оската OX.

Пример 2. Векторот (сл. 2) формира агол (a,b) = 120 o со оската OX (со векторот a). Должина |b| векторот b е еднаков на 4, така што pr a b=4·cos120 o = -2.

Навистина, должината на векторот е 2, а насоката е спротивна на насоката на оската.

Проекцијавектор на оска е вектор кој се добива со множење на скаларната проекција на векторот на оваа оска и единечниот вектор на оваа оска. На пример, ако x - скаларна проекцијавектор Адо оската X, потоа x јас- неговата векторска проекција на оваа оска.

Да означиме векторска проекцијаисто како и самиот вектор, но со индекс на оската на која е проектиран векторот. Значи, векторската проекција на векторот Ана X оската што ја означуваме А x ( мастибуква што означува вектор и знак на името на оската) или (незадебелена буква што означува вектор, но со стрелка на врвот (!) и знак на името на оската).

Скаларна проекцијавектор по оска се нарекува број, чија апсолутна вредност е еднаква на должината на сегментот на оската (на избраната скала) затворен помеѓу проекциите на почетната точка и крајната точка на векторот. Обично наместо изразот скаларна проекцијатие едноставно велат - проекција. Проекцијата се означува со истата буква како и проектираниот вектор (во нормално, незадебелено пишување), со помал индекс (по правило) на името на оската на која се проектира овој вектор. На пример, ако вектор е проектиран на оската X А,тогаш неговата проекција се означува со x. При проектирање на истиот вектор на друга оска, ако оската е Y, нејзината проекција ќе биде означена со y.

Да се ​​пресмета проекцијата векторна оската (на пример, оската X), потребно е да се одземе координатата на почетната точка од координатата на нејзината крајна точка, т.е.
a x = x k − x n.
Проекцијата на вектор на оска е бројка.Покрај тоа, проекцијата може да биде позитивна ако вредноста x k е поголема од вредноста x n,

негативен ако вредноста x k е помала од вредноста x n

и еднакво на нула ако x k е еднакво на x n.

Проекцијата на векторот на оската може да се најде и со познавање на модулот на векторот и аголот што го прави со оваа оска.

Од сликата е јасно дека a x = a Cos α

односно, проекцијата на векторот на оската е еднаква на производот од модулот на векторот и косинусот на аголот помеѓу насоката на оската и векторска насока. Ако аголот е акутен, тогаш
Cos α > 0 и a x > 0, и ако е тап, тогаш косинусот на тапиот агол е негативен, а проекцијата на векторот на оската исто така ќе биде негативна.

Аглите измерени од оската спротивно од стрелките на часовникот се сметаат за позитивни, а аглите измерени долж оската се негативни. Меѓутоа, бидејќи косинус е парна функција, односно Cos α = Cos (− α), кога се пресметуваат проекциите, аглите може да се бројат и во насока на стрелките на часовникот и спротивно од стрелките на часовникот.

За да се најде проекцијата на векторот на оската, модулот на овој вектор мора да се помножи со косинус на аголот помеѓу насоката на оската и насоката на векторот.

Векторски координати— коефициенти на единствената можна линеарна комбинација на основни вектори во избраниот координатен систем, еднакви на дадениот вектор.

каде се координатите на векторот.

Скаларен производвектори

Скаларен производ на вектори[- во конечни-димензионални векторски просторсе дефинира како збир од производите на идентични компоненти што се множат вектори.

На пример, S.p.v. а = (а 1 , ..., a n) И б = (б 1 , ..., b n):

(а , б ) = а 1 б 1 + а 2 б 2 + ... + a n b n