Кое е другото име за бројот пи? Кој е бројот PI и што значи тој? Кратка историја на π пресметки

Вовед

Статијата содржи математички формули, па за да прочитате, одете на страницата за да ги прикажете правилно.Бројот \(\pi\) има богата историја. Оваа константа го означува односот на обемот на кругот и неговиот дијаметар.

Во науката, бројот \(\pi \) се користи во сите пресметки кои вклучуваат кругови. Почнувајќи од волуменот на лименка со сода, до орбитите на сателитите. И не само кругови. Навистина, во проучувањето на криви линии, бројот \(\pi \) помага да се разберат периодичните и осцилаторните системи. На пример, електромагнетни бранови, па дури и музика.

Во 1706 година, во книгата Нов вовед во математиката од британскиот научник Вилијам Џонс (1675-1749), буквата од грчката азбука \(\pi\) за првпат беше искористена за да го претстави бројот 3.141592. Оваа ознака доаѓа од почетната буква на грчките зборови περιφερεια - круг, периферија и περιµετρoς - периметар. Ознаката стана општо прифатена по работата на Леонхард Ојлер во 1737 година.

Геометриски период

Постојаноста на односот на должината на кој било круг до неговиот дијаметар е забележана долго време. Жителите на Месопотамија користеле прилично грубо приближување на бројот \(\pi\). Како што следува од античките проблеми, тие ја користат вредноста \(\pi ≈ 3\) во нивните пресметки.

Попрецизна вредност за \(\pi\) користеле старите Египќани. Во Лондон и Њујорк се чуваат две парчиња древен египетски папирус, кои се нарекуваат „Ринда папирус“. Папирусот го составил писарот Армес некаде помеѓу 2000-1700 година. п.н.е. Армес напишал во својот папирус дека плоштината на круг со радиус \(r\) е еднаква на плоштината на квадрат со страна еднаква на \(\frac(8)(9) \) од дијаметарот на кругот \(\frac(8)(9) \cdot 2r \), односно \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Оттука \(\pi = 3,16\).

Стариот грчки математичар Архимед (287-212 п.н.е.) бил првиот што го поставил проблемот со мерењето на кругот на научна основа. Тој доби оценка од \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Методот е прилично едноставен, но во отсуство на готови табели со тригонометриски функции, ќе биде потребно извлекување на корените. Дополнително, приближувањето се конвергира на \(\pi \) многу бавно: со секое повторување грешката се намалува само четири пати.

Аналитички период

И покрај тоа, до средината на 17 век, сите обиди на европските научници да го пресметаат бројот \(\pi\) се сведуваа на зголемување на страните на многуаголникот. На пример, холандскиот математичар Лудолф ван Зејлен (1540-1610) ја пресметал приближната вредност на бројот \(\pi\) точен до 20 децимални цифри.

Му требаа 10 години да пресмета. Со удвојување на бројот на страните на впишаните и опишаните многуаголници користејќи го методот на Архимед, тој стигна до \(60 \cdot 2^(29) \) - триаголник за да се пресмета \(\pi \) со 20 децимални места.

По неговата смрт, во неговите ракописи се откриени уште 15 точни цифри од бројот \(\pi\). Лудолф оставил аманет знаците што ги нашол да бидат врежани на неговиот надгробен споменик. Во негова чест, бројот \(\pi\) понекогаш се нарекувал „Лудолф број“ или „Лудолф константа“.

Еден од првите што вовел метод различен од оној на Архимед бил Франсоа Виете (1540-1603). Тој дошол до резултат дека кругот чиј дијаметар е еднаков на еден има површина:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1 )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

Од друга страна, областа е \(\frac(\pi)(4)\). Со замена и поедноставување на изразот, можеме да ја добиеме следната формула за бесконечен производ за пресметување на приближната вредност на \(\frac(\pi)(2)\):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Резултирачката формула е првиот точен аналитички израз за бројот \(\pi\). Покрај оваа формула, Виет, користејќи го методот на Архимед, даде, користејќи впишани и ограничени многуаголници, почнувајќи од 6-аголник и завршувајќи со многуаголник со \(2^(16) \cdot 6 \) страни, приближна на бројот \(\pi \) со 9 со десните знаци.

Англискиот математичар Вилијам Брункер (1620-1684), користејќи продолжена дропка, ги добил следните резултати за пресметување на \(\frac(\pi)(4)\):

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2 ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots))))))) \]

Овој метод за пресметување на приближувањето на бројот \(\frac(4)(\pi)\) бара доста пресметки за да се добие макар и мала апроксимација.

Вредностите добиени како резултат на замена се или поголеми или помали од бројот \(\pi\), и секој пат кога се поблиску до вистинската вредност, но за да се добие вредноста 3.141592 ќе биде потребно да се изврши доста голема пресметки.

Друг англиски математичар Џон Мачин (1686-1751) во 1706 година, за да го пресмета бројот \(\pi\) со 100 децимални места, ја користел формулата изведена од Лајбниц во 1673 година и ја применил на следниов начин:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) – arctg\frac(1)(239) \]

Серијата брзо се конвергира и со негова помош можете да го пресметате бројот \(\pi \) со голема точност. Овие типови формули се користеа за поставување на неколку рекорди за време на компјутерската ера.

Во 17 век со почетокот на периодот на математика со променлива вредност, започна нова фаза во пресметувањето на \(\pi\). Германскиот математичар Готфрид Вилхелм Лајбниц (1646-1716) во 1673 година открил распаѓање на бројот \(\pi\), генерално може да се напише како следната бесконечна серија:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

Серијата се добива со замена на x = 1 во \(arctg x = x – \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9) (9) - \cdots\)

Леонхард Ојлер ја развива идејата на Лајбниц во неговите дела за употребата на сериите за арктан x при пресметувањето на бројот \(\pi\). Расправата „De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi“ (За различни методи на изразување на квадрат на кругот со приближни броеви), напишана во 1738 година, ги разгледува методите за подобрување на пресметките користејќи ја формулата на Лајбниц.

Ојлер пишува дека серијата за арктангенсот ќе се спои побрзо ако аргументот се стреми кон нула. За \(x = 1\), конвергенцијата на серијата е многу бавна: за да се пресмета со точност од 100 цифри, потребно е да се додадат \(10^(50)\) услови од серијата. Можете да ги забрзате пресметките со намалување на вредноста на аргументот. Ако земеме \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), тогаш ја добиваме серијата

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 – \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Според Ојлер, ако земеме 210 членови од оваа серија, ќе добиеме 100 точни цифри од бројот. Добиената серија е незгодна бидејќи е неопходно да се знае прилично точна вредност на ирационалниот број \(\sqrt(3)\). Ојлер, исто така, во своите пресметки користел проширувања на арктангенси во збир на арктангенси од помали аргументи:

\[каде што x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Не беа објавени сите формули за пресметување на \(\pi\) што ги користеше Ојлер во неговите тетратки. Во објавените трудови и тетратки, тој разгледал 3 различни серии за пресметување на арктангенсот, а исто така дал и многу изјави во врска со бројот на сумирани поими потребни за да се добие приближна вредност \(\pi\) со дадена точност.

Во следните години, подобрувањата на вредноста на бројот \(\pi\) се случуваа побрзо и побрзо. На пример, во 1794 година, Георг Вега (1754-1802) веќе идентификуваше 140 знаци, од кои само 136 се покажаа како точни.

Период на пресметување

20 век беше обележан со сосема нова фаза во пресметувањето на бројот \(\pi\). Индискиот математичар Сриниваса Раманујан (1887-1920) откри многу нови формули за \(\pi\). Во 1910 година, тој доби формула за пресметување на \(\pi\) преку проширувањето на арктангенсот во Тејлоровата серија:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

При k=100 се постигнува точност од 600 точни цифри од бројот \(\pi\).

Доаѓањето на компјутерите овозможи значително да се зголеми точноста на добиените вредности за пократко време. Во 1949 година, за само 70 часа, со помош на ENIAC, група научници предводени од Џон фон Нојман (1903-1957) добија 2037 децимални места за бројот \(\pi\). Во 1987 година, Дејвид и Григориј Чудновски добија формула со која можеа да постават неколку рекорди во пресметувањето на \(\pi\):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3к)!(к!)^3(-640320)^(3к)).\]

Секој член на серијата дава 14 цифри. Во 1989 година се добиени 1.011.196.691 децимални места. Оваа формула е добро прилагодена за пресметување на \(\pi \) на персонални компјутери. Во моментов, браќата се професори на Политехничкиот институт на Универзитетот во Њујорк.

Важен неодамнешен развој беше откривањето на формулата во 1997 година од страна на Сајмон Плуф. Ви овозможува да извлечете која било хексадецимална цифра од бројот \(\pi\) без да ги пресметате претходните. Формулата се нарекува „Формула Бејли-Борвен-Плуф“ во чест на авторите на написот каде формулата за прв пат беше објавена. Изгледа вака:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) – \frac(2)(8k+4 ) – \frac(1)(8k+5) – \frac(1)(8k+6)) .\]

Во 2006 година, Симон, користејќи PSLQ, излезе со убави формули за пресметување на \(\pi\). На пример,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) – 1) – \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

каде \(q = e^(\pi)\). Во 2009 година, јапонските научници, користејќи го суперкомпјутерот T2K Tsukuba System, го добија бројот \(\pi\) со 2.576.980.377.524 децимални места. Пресметките траеја 73 часа и 36 минути. Компјутерот беше опремен со 640 четири-јадрени AMD Opteron процесори, кои обезбедуваа перформанси од 95 трилиони операции во секунда.

Следното достигнување во пресметувањето на \(\pi\) му припаѓа на францускиот програмер Фабрис Белард, кој на крајот на 2009 година, на својот персонален компјутер со Fedora 10, постави рекорд со пресметување на 2.699.999.990.000 децимали од бројот \(\pi\ ). Во текот на изминатите 14 години, ова е прв светски рекорд што е поставен без употреба на суперкомпјутер. За високи перформанси, Фабрис ја користеше формулата на браќата Чудновски. Вкупно, пресметката траеше 131 ден (103 дена пресметки и 13 дена верификација на резултатот). Достигнувањето на Белар покажа дека за такви пресметки не е потребен суперкомпјутер.

Само шест месеци подоцна, рекордот на Франсоа беше срушен од инженерите Александар Ји и Сингер Кондо. За да се постави рекорд од 5 трилиони децимали од \(\pi\), користен е и персонален компјутер, но со поимпресивни карактеристики: два Intel Xeon X5680 процесори на 3,33 GHz, 96 GB RAM, 38 TB меморија на дискот и оперативен систем Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. За пресметки, Александар и Сингер ја користеле формулата на браќата Чудновски. Процесот на пресметка траеше 90 дена и 22 ТБ простор на дискот. Во 2011 година, тие поставија уште еден рекорд со пресметување на 10 трилиони децимали за бројот \(\pi\). Пресметките се одвиваа на истиот компјутер на кој беше поставен нивниот претходен рекорд и траеја вкупно 371 ден. На крајот на 2013 година, Александар и Сингеру го подобрија рекордот на 12,1 трилиони цифри од бројот \(\pi\), што им требаше само 94 дена да го пресметаат. Ова подобрување на перформансите се постигнува со оптимизирање на перформансите на софтверот, зголемување на бројот на процесорски јадра и значително подобрување на толеранцијата на грешки во софтверот.

Моменталниот рекорд е оној на Александар Ји и Сингер Кондо, кој е 12,1 трилиони децимали \(\pi\).

Така, ги разгледавме методите за пресметување на бројот \(\pi\) што се користеле во античко време, аналитичките методи, а исто така разгледавме современи методи и записи за пресметување на бројот \(\pi\) на компјутерите.

Список на извори

1. Жуков А.В. Сеприсутниот број Пи - М.: Издавачка куќа ЛКИ, 2007 - 216 стр.
2. Ф.Рудио. На квадратурата на кругот, со примена на историја на изданието составена од Ф. Рудио. / Rudio F. – M.: ONTI NKTP СССР, 1936. – 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Спрингер, 2001. – 270 стр.
4. Шукман, Е.В. Приближна пресметка на Пи користејќи ја серијата за арктан x во објавени и необјавени дела на Леонхард Ојлер / Е.В. Шукман. – Историја на науката и технологијата, 2008 – бр.4. – стр. 2-17.
5. Ојлер, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 – Vol.9 – 222-236p.
6. Шумихин, С. Број Пи. Историја од 4000 години / С. Шумихин, А. Шумихина. – М.: Ексмо, 2011. – 192 стр.
7. Борвејн, Џ.М. Раманујан и бројот Пи. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Во светот на науката. 1988 – бр.4. – стр.58-66.
8. Алекс Ји. Светот на броеви. Режим на пристап: numberworld.org

Ви се допадна?

Кажи

Пи е еден од најпопуларните математички концепти. За него се пишуваат слики, се снимаат филмови, се свири на музички инструменти, му се посветуваат песни и празници, се бара и се наоѓа во светите текстови.

Кој го откри пи?

Кој и кога првпат го открил бројот π сè уште останува мистерија. Познато е дека градителите на древниот Вавилон веќе целосно го искористиле во нивниот дизајн. Таблетите со клинесто писмо кои се стари илјадници години дури ги зачувуваат проблемите што се предлагаа да се решат со π. Точно, тогаш се веруваше дека π е еднакво на три. За тоа сведочи една плоча пронајдена во градот Суза, на двесте километри од Вавилон, каде што бројот π бил означен како 3 1/8.

Во процесот на пресметување на π, Вавилонците откриле дека радиусот на кругот како акорд влегува во него шест пати и го поделиле кругот на 360 степени. И во исто време тие го направија истото со орбитата на сонцето. Така, тие одлучија да сметаат дека има 360 дена во годината.

Во Стариот Египет, π беше еднакво на 3,16.
Во античка Индија - 3.088.
Во Италија на почетокот на ерата, се веруваше дека π е еднакво на 3,125.

Во антиката, најраното спомнување на π се однесува на познатиот проблем за квадратирање на кругот, односно неможноста да се користи компас и линијар за да се изгради квадрат чија површина е еднаква на плоштината на одреден круг. Архимед го изедначи π со дропот 22/7.

Најблиските луѓе до точната вредност на π дојдоа во Кина. Се пресметува во 5 век од нашата ера. д. познатиот кинески астроном Цу Чун Жи. π беше пресметан прилично едноставно. Требаше двапати да се напишат непарните броеви: 11 33 55, а потоа, делејќи ги на половина, ставете го првиот во именителот на дропката, а вториот во броителот: 355/113. Резултатот се согласува со современите пресметки на π до седмата цифра.

Зошто π – π?

Сега дури и учениците знаат дека бројот π е математичка константа еднаква на односот на обемот на кругот до должината на неговиот дијаметар и е еднаков на π 3,1415926535 ... а потоа по децималната точка - до бесконечност.

Бројот ја добил својата ознака π на сложен начин: прво, во 1647 година, математичарот Outrade ја користел оваа грчка буква за да ја опише должината на кругот. Ја зеде првата буква од грчкиот збор περιφέρεια - „периферија“. Во 1706 година, наставникот по англиски јазик Вилијам Џонс во своето дело „Преглед на достигнувањата на математиката“ веќе го нарече односот на обемот на кругот до неговиот дијаметар со буквата π. А името го зацементирал математичарот од 18 век Леонард Ојлер, пред чиј авторитет останатите ги наведнале главите. Значи π стана π.

Уникатност на бројот

Пи е навистина единствен број.

1. Научниците веруваат дека бројот на цифри во бројот π е бесконечен. Нивната низа не се повторува. Покрај тоа, никој никогаш нема да може да најде повторувања. Бидејќи бројот е бесконечен, може да содржи апсолутно сè, дури и симфонија од Рахмањинов, Стариот Завет, вашиот телефонски број и годината во која ќе се случи Апокалипсата.

2. π е поврзан со теоријата на хаос. Научниците дошле до овој заклучок откако ја создале Бејлиевата компјутерска програма, која покажала дека низата броеви во π е апсолутно случајна, што е во согласност со теоријата.

3. Речиси е невозможно целосно да се пресмета бројот - би требало премногу време.

4. π е ирационален број, односно неговата вредност не може да се изрази како дропка.

5. π – трансцендентален број. Не може да се добие со извршување на какви било алгебарски операции на цели броеви.

6. Триесет и девет децимални места во бројот π се доволни за да се пресмета должината на кругот што ги опкружува познатите космички објекти во Универзумот, со грешка на радиусот на атом на водород.

7. Бројот π е поврзан со концептот на „златен пресек“. Во процесот на мерење на Големата пирамида во Гиза, археолозите откриле дека нејзината висина е поврзана со должината на нејзината основа, исто како што радиусот на кругот е поврзан со неговата должина.

Записи поврзани со π

Во 2010 година, математичарот на Yahoo, Николас Же, можеше да пресмета две квадрилиони децимални места (2x10) во бројот π. Беа потребни 23 дена, а на математичарот му беа потребни многу асистенти кои работеа на илјадници компјутери, обединети користејќи дистрибуирана компјутерска технологија. Методот овозможи да се извршат пресметки со таква феноменална брзина. За да се пресмета истото на еден компјутер би биле потребни повеќе од 500 години.

За сето ова едноставно да го запишете на хартија, ќе ви треба хартиена лента долга повеќе од две милијарди километри. Ако го проширите таков рекорд, неговиот крај ќе оди подалеку од Сончевиот систем.

Кинезот Лиу Чао постави рекорд за меморирање на низата цифри од бројот π. Во рок од 24 часа и 4 минути, Лиу Чао кажа 67.890 децимални места без да направи ниту една грешка.

π има многу фанови. Се свири на музички инструменти и излегува дека „звучи“ одлично. Тие го паметат и смислуваат разни техники за ова. За забава го симнуваат на компјутер и се фалат еден со друг кој симнал најмногу. Нему му се подигаат споменици. На пример, има таков споменик во Сиетл. Се наоѓа на скалите пред Музејот на уметноста.

π се користи во украси и внатрешен дизајн. Нему му се посветени песни, го бараат во светите книги и на ископувањата. Постои дури и „Клуб π“.
Во најдобрите традиции на π, не еден, туку два цели дена во годината се посветени на бројот! Првиот пат кога се слави Денот π е 14 март. Треба да си честитате точно во 1 час, 59 минути, 26 секунди. Така, датумот и времето одговараат на првите цифри од бројот - 3,1415926.

По втор пат празникот π се слави на 22 јули. Овој ден е поврзан со таканареченото „приближно π“, кое Архимед го запишал како дропка.
Вообичаено на овој ден, студентите, учениците и научниците организираат смешни флеш мобови и акции. Математичарите, забавувајќи се, користат π за да ги пресметаат законите на сендвичот што паѓа и си даваат комични награди.
Патем, π всушност може да се најде во светите книги. На пример, во Библијата. И таму бројот π е еднаков на... три.

На што е еднакво Пи?знаеме и паметиме од училиште. Тоа е еднакво на 3,1415926 и така натаму... Доволно е обичниот човек да знае дека овој број се добива со делење на обемот на кругот со неговиот дијаметар. Но, многу луѓе знаат дека бројот Пи се појавува во неочекувани области не само во математиката и геометријата, туку и во физиката. Па, ако навлезете во деталите за природата на овој број, ќе забележите многу изненадувачки работи меѓу бескрајните серии на броеви. Дали е можно Пи да ги крие најдлабоките тајни на универзумот?

Бесконечен број

Самиот број Пи се појавува во нашиот свет како должина на круг чиј дијаметар е еднаков на еден. Но, и покрај фактот што отсечката еднаква на Pi е сосема конечна, бројот Pi започнува како 3,1415926 и оди до бесконечност во редови од броеви кои никогаш не се повторуваат. Првиот изненадувачки факт е дека овој број, кој се користи во геометријата, не може да се изрази како дропка од цели броеви. Со други зборови, не можете да го напишете како однос на два броја a/b. Покрај тоа, бројот Пи е трансцендентален. Тоа значи дека не постои равенка (полином) со целобројни коефициенти чие решение би било бројот Pi.

Фактот дека бројот Пи е трансцендентален е докажан во 1882 година од германскиот математичар фон Линдеман. Токму овој доказ стана одговор на прашањето дали е можно, со помош на компас и линијар, да се нацрта квадрат чија површина е еднаква на плоштината на даден круг. Овој проблем е познат како потрага по квадратирање на круг, што го загрижува човештвото уште од античко време. Се чинеше дека овој проблем има едноставно решение и ќе се реши. Но, токму неразбирливото својство на бројот Пи покажа дека нема решение за проблемот со квадратурата на кругот.

Најмалку четири и пол милениуми, човештвото се обидува да добие сè попрецизна вредност за Пи. На пример, во Библијата во Третата книга на кралевите (7:23), бројот Пи е земен како 3.

Вредноста Пи со извонредна точност може да се најде во пирамидите во Гиза: односот на периметарот и висината на пирамидите е 22/7. Оваа дропка дава приближна вредност на Pi еднаква на 3,142... Освен, се разбира, ако Египјаните случајно не го поставиле овој сооднос. Истата вредност е веќе добиена во однос на пресметувањето на бројот Пи во 3 век п.н.е од големиот Архимед.

Во Папирусот на Ахмес, древен египетски учебник по математика кој датира од 1650 година п.н.е., Пи е пресметан како 3,160493827.

Во древните индиски текстови околу 9 век п.н.е., најточната вредност била изразена со бројот 339/108, кој бил еднаков на 3,1388...

Речиси две илјади години по Архимед, луѓето се обидувале да најдат начини да го пресметаат Пи. Меѓу нив имало и познати и непознати математичари. На пример, римскиот архитект Маркус Витрувиус Полио, египетскиот астроном Клавдиј Птоломеј, кинескиот математичар Лиу Хуи, индискиот мудрец Арјабхата, средновековниот математичар Леонардо од Пиза, познат како Фибоначи, арапскиот научник Ал-Кваризми, од чие име е зборот Се појави „алгоритам“. Сите тие и многу други луѓе бараа најточни методи за пресметување на Пи, но до 15 век тие никогаш не добија повеќе од 10 децимални места поради сложеноста на пресметките.

Конечно, во 1400 година, индискиот математичар Мадава од Сангамаграм го пресметал Пи со точност од 13 цифри (иако тој сè уште погрешил во последните две).

Број на знаци

Во 17 век, Лајбниц и Њутн ја откриле анализата на бесконечно малите величини, што овозможило попрогресивно да се пресмета Пи - преку серии на моќност и интеграли. Самиот Њутн пресметал 16 децимали, но не го спомнал во неговите книги - ова стана познато по неговата смрт. Њутн тврдеше дека го пресметал Пи чисто од досада.

Отприлика во исто време, се појавија и други помалку познати математичари и предложија нови формули за пресметување на бројот Пи преку тригонометриски функции.

На пример, ова е формулата што ја користел за пресметување на Пи од наставникот по астрономија Џон Мачин во 1706 година: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Користејќи аналитички методи, Мачин го изведе бројот Пи до сто децимали од оваа формула.

Патем, во истата 1706 година, бројот Пи доби официјална ознака во форма на грчко писмо: Вилијам Џонс го користеше во својата работа за математиката, земајќи ја првата буква од грчкиот збор „периферија“, што значи „круг“. .“ Големиот Леонхард Ојлер, роден во 1707 година, ја популаризираше оваа ознака, сега позната на секој ученик.

Пред ерата на компјутерите, математичарите се фокусирале на пресметување што е можно повеќе знаци. Во овој поглед, понекогаш се појавуваа смешни работи. Аматерскиот математичар В. Шенкс пресметал 707 цифри од Пи во 1875 година. Овие седумстотини знаци беа овековечени на ѕидот на Palais des Discoverys во Париз во 1937 година. Меѓутоа, девет години подоцна, внимателните математичари откриле дека само првите 527 знаци биле правилно пресметани. Музејот мораше да направи значителни трошоци за да ја поправи грешката - сега сите бројки се точни.

Кога се појавија компјутерите, бројот на цифри на Пи почна да се пресметува со сосема незамисливи нарачки.

Еден од првите електронски компјутери, ENIAC, создаден во 1946 година, бил со огромна големина и генерирал толку многу топлина што собата се загревала до 50 степени Целзиусови, пресметани првите 2037 цифри на Пи. Оваа пресметка на машината и требаше 70 часа.

Како што се подобруваа компјутерите, нашето знаење за Пи се движеше сè подалеку во бесконечноста. Во 1958 година биле пресметани 10 илјади цифри од бројот. Во 1987 година Јапонците пресметале 10.013.395 знаци. Во 2011 година, јапонскиот истражувач Шигеру Хондо ја надмина границата од 10 трилиони карактери.

Каде на друго место можете да го запознаете Пи?

Така, честопати нашето знаење за бројот Пи останува на ниво на училиште, а сигурно знаеме дека овој број е незаменлив пред се во геометријата.

Покрај формулите за должина и плоштина на круг, бројот Pi се користи во формули за елипсови, сфери, конуси, цилиндри, елипсоиди и така натаму: на некои места формулите се едноставни и лесни за паметење, но во други содржат многу сложени интеграли.

Тогаш можеме да го сретнеме бројот Пи во математички формули, каде што, на прв поглед, геометријата не е видлива. На пример, неопределениот интеграл на 1/(1-x^2) е еднаков на Pi.

Пи често се користи во сериска анализа. На пример, еве едноставна серија која се спојува со Пи:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Меѓу сериите, Пи најнеочекувано се појавува во познатата Риманова зета функција. Невозможно е да се зборува за тоа накратко, да речеме дека еден ден бројот Пи ќе помогне да се најде формула за пресметување на прости броеви.

И апсолутно изненадувачки: Пи се појавува во две од најубавите „кралски“ формули на математиката - формулата на Стирлинг (која помага да се најде приближната вредност на факторот и гама функцијата) и формулата на Ојлер (која поврзува дури пет математички константи).

Сепак, најнеочекуваното откритие ги чекало математичарите во теоријата на веројатност. Таму е и бројот Пи.

На пример, веројатноста два броја да бидат релативно прости е 6/PI^2.

Пи се појавува во проблемот со фрлање игла на Буфон, формулиран во 18 век: колкава е веројатноста иглата фрлена на наредено парче хартија да премине една од линиите. Ако должината на иглата е L, а растојанието помеѓу линиите е L, и r > L, тогаш приближно можеме да ја пресметаме вредноста на Pi користејќи ја формулата за веројатност 2L/rPI. Замислете - можеме да го добиеме Пи од случајни настани. Патем, Пи е присутен во нормалната дистрибуција на веројатност, се појавува во равенката на познатата Гаусова крива. Дали ова значи дека Пи е уште пофундаментален од едноставно односот на обемот и дијаметарот?

Можеме да го сретнеме Пи и во физиката. Пи се појавува во законот на Кулом, кој ја опишува силата на интеракција помеѓу два полнежи, во третиот закон на Кеплер, кој го покажува периодот на револуција на планетата околу Сонцето, па дури и се појавува во распоредот на електронските орбитали на атомот на водород. И она што е повторно најневеројатно е дека бројот Пи е скриен во формулата на принципот на Хајзенберг на несигурност - основниот закон на квантната физика.

Тајните на Пи

Во романот Контакт на Карл Саган, на кој е базиран истоимениот филм, вонземјаните и кажуваат на хероината дека меѓу знаците на Пи има тајна порака од Бога. Од одредена позиција, броевите во бројот престануваат да бидат случајни и претставуваат код во кој се запишани сите тајни на Универзумот.

Овој роман всушност ја одразува мистеријата што ги окупира главите на математичарите ширум светот: дали Пи е нормален број во кој цифрите се расфрлани со еднаква фреквенција или дали нешто не е во ред со овој број? И иако научниците се склони кон првата опција (но не можат да го докажат тоа), бројот Пи изгледа многу мистериозен. Еден Јапонец еднаш пресметал колку пати броевите од 0 до 9 се појавуваат во првите трилиони цифри на Пи. И видов дека броевите 2, 4 и 8 се почести од другите. Ова може да биде еден од навестувањата дека Пи не е сосема нормален, а бројките во него навистина не се случајни.

Да се ​​потсетиме на сè што прочитавме погоре и да се запрашаме, кој друг ирационален и трансцендентален број толку често се среќава во реалниот свет?

И има уште необичности во продавницата. На пример, збирот на првите дваесет цифри на Пи е 20, а збирот на првите 144 цифри е еднаков на „бројот на ѕверот“ 666.

Главниот лик на американската ТВ серија „Сомничениот“, професор Финч, им кажа на студентите дека поради бесконечноста на бројот Пи, во него може да се најде каква било комбинација на броеви, почнувајќи од броевите на вашиот датум на раѓање до посложени броеви. . На пример, на позицијата 762 има низа од шест деветки. Оваа позиција е наречена Фејнманова точка по познатиот физичар кој ја забележал оваа интересна комбинација.

Знаеме и дека бројот Пи ја содржи низата 0123456789, но се наоѓа на 17,387,594,880-та цифра.

Сето ова значи дека во бесконечноста на бројот Пи може да се најдат не само интересни комбинации на броеви, туку и кодиран текст на „Војна и мир“, Библијата, па дури и Главната тајна на универзумот, доколку постои.

Патем, за Библијата. Познатиот популаризатор на математиката, Мартин Гарднер, во 1966 година изјавил дека милионитата цифра на Пи (тогаш сè уште непозната) ќе биде бројот 5. Тој ги објаснил своите пресметки со фактот дека во англиската верзија на Библијата, во 3. книга, 14. поглавје, 16 стих (3-14-16) седмиот збор содржи пет букви. Милионитиот број е достигнат осум години подоцна. Тоа беше бројот пет.

Дали после ова вреди да се тврди дека бројот Пи е случаен?

За пресметување на кој било голем број знаци на пи, претходниот метод повеќе не е погоден. Но, има голем број на секвенци кои се спојуваат со Пи многу побрзо. Да ја користиме, на пример, формулата Гаус:

Докажувањето на оваа формула не е тешко, па затоа ќе го испуштиме.

Изворниот код на програмата, вклучувајќи „долга аритметика“

Програмата пресметува NbDigits од првите цифри на Pi. Функцијата за пресметување на арктан се нарекува арктан, бидејќи арктан(1/p) = арцкот(р), но пресметката се врши според формулата Тејлор специјално за арктангенсот, имено арктан(x) = x - x 3 /3 + x 5 /5 - .. x=1/p, што значи arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + ... Пресметките се случуваат рекурзивно: претходниот елемент од збирот се дели и дава следниот.