Како да се провери парноста на функцијата. Парни и непарни функции. Дури и функционални примери
- Заменете ги позитивните во функцијата нумерички вредности x (\displaystyle x)и соодветните негативни нумерички вредности. На пример, со оглед на функцијата f (x) = 2 x 2 + 1 (\стил на приказ f(x)=2x^(2)+1). Заменете ги следните вредности во него x (\displaystyle x):
Проверете дали графикот на функцијата е симетричен во однос на оската Y.Симетријата значи огледална слика на графикот во однос на ординатата. Ако делот од графиконот десно од Y-оската (позитивни вредности на независната променлива) е ист како делот од графиконот лево од Y-оската (негативни вредности на независната променлива ), графикот е симетричен за Y-оската Ако функцијата е симетрична во однос на y-оската, функцијата е парна.
Проверете дали графикот на функцијата е симетричен во однос на потеклото.Потеклото е точката со координати (0,0). Симетријата за потеклото значи дека позитивна вредност y (\displaystyle y)(со позитивна вредност x (\displaystyle x)) одговара на негативна вредност y (\displaystyle y)(со негативна вредност x (\displaystyle x)), и обратно. Непарните функции имаат симетрија за потеклото.
Проверете дали графикот на функцијата има некаква симетрија.Последниот тип на функција е функција чиј график нема симетрија, односно нема огледална слика и во однос на оската на ординатите и во однос на потеклото. На пример, со оглед на функцијата .
- Заменете неколку позитивни и соодветни негативни вредности во функцијата x (\displaystyle x):
- Според добиените резултати, нема симетрија. Вредности y (\displaystyle y)за спротивни вредности x (\displaystyle x)не се совпаѓаат и не се спротивни. Така, функцијата не е ниту парна ниту непарна.
- Ве молиме имајте предвид дека функцијата f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)може да се напише вака: f (x) = (x + 1) 2 (\приказ на стил f(x)=(x+1)^(2)). Кога е напишана во оваа форма, функцијата се појавува дури и затоа што има парен експонент. Но, овој пример докажува дека типот на функцијата не може брзо да се одреди ако независната променлива е затворена во загради. Во овој случај, треба да ги отворите заградите и да ги анализирате добиените експоненти.
Кои ви беа познати до еден или друг степен. Таму беше забележано и дека залихите на функционалните својства постепено ќе се надополнуваат. Две нови својства ќе бидат разгледани во овој дел.
Дефиниција 1.
Функцијата y = f(x), x є X, се повикува дури и ако за која било вредност x од множеството X важи еднаквоста f (-x) = f (x).
Дефиниција 2.
Функцијата y = f(x), x є X, се нарекува непарна ако за која било вредност x од множеството X важи еднаквоста f (-x) = -f (x).
Докажете дека y = x 4 е парна функција.
Решение. Имаме: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Но (-x) 4 = x 4. Тоа значи дека за секој x важи еднаквоста f(-x) = f(x), т.е. функцијата е рамномерна.
Слично, може да се докаже дека функциите y - x 2, y = x 6, y - x 8 се парни.
Докажете дека y = x 3 ~ непарна функција.
Решение. Имаме: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Но (-x) 3 = -x 3. Тоа значи дека за секој x важи еднаквоста f (-x) = -f (x), т.е. функцијата е непарна.
Слично, може да се докаже дека функциите y = x, y = x 5, y = x 7 се непарни.
Веќе не еднаш видовме дека новите поими во математиката најчесто имаат „земно“ потекло, т.е. може некако да се објаснат. Ова е случај и со парните и со непарните функции. Види: y - x 3, y = x 5, y = x 7 се непарни функции, додека y = x 2, y = x 4, y = x 6 се парни функции. И воопшто, за која било функција од формата y = x" (подолу конкретно ќе ги проучуваме овие функции), каде што n е природен број, можеме да заклучиме: ако n е непарен број, тогаш функцијата y = x" е чудно; ако n е парен број, тогаш функцијата y = xn е парна.
Има и функции кои не се ниту парни ниту непарни. Таква, на пример, е функцијата y = 2x + 3. Навистина, f(1) = 5, и f (-1) = 1. Како што можете да видите, овде, значи, ниту идентитетот f(-x) = f ( x), ниту идентитетот f(-x) = -f(x).
Значи, функцијата може да биде парна, непарна или ниту една.
Проучувајќи го прашањето дали дадена функцијапарни или непарни обично се нарекува проучување на функција за паритет.
Дефинициите 1 и 2 се однесуваат на вредностите на функцијата во точките x и -x. Ова претпоставува дека функцијата е дефинирана и во точката x и во точката -x. Тоа значи дека точката -x припаѓа на доменот на дефинирање на функцијата истовремено со точката x. Ако нумеричкото множество X, заедно со секој од неговите елементи x, го содржи и спротивниот елемент -x, тогаш X се нарекува симетрично множество. Да речеме, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) се симетрични множества, додека \).
Бидејќи \(x^2\geqslant 0\) , тогаш левата страна на равенката (*) е поголема или еднаква на \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Така, еднаквоста (*) може да биде вистинита само кога двете страни на равенката се еднакви на \(\mathrm(tg)^2\,1\) . И ова значи дека \[\почеток(случаи) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end (случаи) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(scases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end (случаи)\quad\Leftright стрелка\quad x=0\]Според тоа, вредноста \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ни одговара.
Одговор:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Задача 2 #3923
Ниво на задача: еднакво на обединетиот државен испит
Најдете ги сите вредности на параметарот \(a\), за секоја од нив графикот на функцијата \
симетрични во однос на потеклото.
Ако графикот на функцијата е симетричен во однос на потеклото, тогаш таквата функција е непарна, односно \(f(-x)=-f(x)\) важи за кое било \(x\) од доменот на дефинирање на функцијата. Така, потребно е да се најдат оние вредности на параметрите за кои \(f(-x)=-f(x).\)
\[\почеток(порамнет) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\десно)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\десно)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\десно) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Десна стрелка \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\десно)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end (порамнет)\]
Последната равенка мора да биде исполнета за сите \(x\) од доменот на \(f(x)\), затоа, \(\sin(2\pi a)=0 \Десна стрелка a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Одговор:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Задача 3 #3069
Ниво на задача: еднакво на обединетиот државен испит
Најдете ги сите вредности на параметарот \(a\), за секоја од нив равенката \ има 4 решенија, каде што \(f\) е парна периодична функција со период \(T=\dfrac(16)3\) дефинирано на целата бројна линија , и \(f(x)=ax^2\) за \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Задача од претплатници)
Бидејќи \(f(x)\) е парна функција, нејзиниот график е симетричен во однос на оската на ординатите, затоа, кога \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Така, кога \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), и ова е отсечка со должина \(\dfrac(16)3\) , функција \(f(x)=ax^2\) .
1) Нека \(a>0\) . Тогаш графикот на функцијата \(f(x)\) ќе изгледа вака: 
Потоа, за равенката да има 4 решенија, потребно е графикот \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) да помине низ точката \(A\) : 
Оттука, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(собрано)\begin(порамнето) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32а\крај (порамнет)\крај (собрано)\десно. \quad\Леводесно стрела\четири \лево[\почеток(собрано)\почеток(порамнет) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(порамнет) \end( собрани)\нели.\]Бидејќи \(a>0\) , тогаш \(a=\dfrac(18)(23)\) е погодна.
2) Нека \(а<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Неопходно е графикот \(g(x)\) да помине низ точката \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(собрано)\begin(порамнето) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end (порамнет) \крај (собрано)\десно.\]Бидејќи \(а<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Случајот кога \(a=0\) не е соодветен, бидејќи тогаш \(f(x)=0\) за сите \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) и равенката ќе има само 1 корен.
Одговор:
\(a\во \лево\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\десно\)\)
Задача 4 #3072
Ниво на задача: еднакво на обединетиот државен испит
Најдете ги сите вредности на \(a\) , од кои за секоја равенката \
има барем еден корен.
(Задача од претплатници)
Ајде да ја преработиме равенката во форма \
и разгледајте две функции: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) и \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Функцијата \(g(x)\) е парна и има минимална точка \(x=0\) (и \(g(0)=49\) ).
Функцијата \(f(x)\) за \(x>0\) се намалува, а за \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Навистина, кога \(x>0\) вториот модул ќе се отвори позитивно (\(|x|=x\)), затоа, без оглед на тоа како ќе се отвори првиот модул, \(f(x)\) ќе биде еднаков до \( kx+A\) , каде што \(A\) е изразот на \(a\) и \(k\) е еднаков на \(-9\) или \(-3\) . Кога \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Ајде да ја најдеме вредноста на \(f\) во максималната точка: \ 
За да може равенката да има барем едно решение, потребно е графиците на функциите \(f\) и \(g\) да имаат барем една пресечна точка. Затоа, ви треба: \ \\]
Одговор:
\(а\во \(-7\)\чаша\)
Задача 5 #3912
Ниво на задача: еднакво на обединетиот државен испит
Најдете ги сите вредности на параметарот \(a\), од кои секоја равенка \
има шест различни решенија.
Да ја направиме замената \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Тогаш равенката ќе добие форма \
Постепено ќе ги запишуваме условите под кои првобитната равенка ќе има шест решенија.
Забележете дека квадратната равенка \((*)\) може да има најмногу две решенија. Секоја кубна равенка \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) не може да има повеќе од три решенија. Според тоа, ако равенката \((*)\) има две различни решенија (позитивно!, бидејќи \(t\) мора да биде поголемо од нула) \(t_1\) и \(t_2\) , тогаш, со правење обратно замена, добиваме: \[\лево[\почеток(собрано)\почеток(порамнето) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\крај (порамнет)\крај (собрано)\десно.\]Бидејќи секој позитивен број може да се претстави како \(\sqrt2\) до одреден степен, на пример, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), тогаш првата равенка од множеството ќе се препише во форма \
Како што веќе рековме, секоја кубна равенка нема повеќе од три решенија, затоа, секоја равенка во множеството нема да има повеќе од три решенија. Тоа значи дека целиот сет нема да има повеќе од шест решенија.
Ова значи дека за првобитната равенка да има шест решенија, квадратната равенка \((*)\) мора да има две различни решенија, а секоја добиена кубна равенка (од множеството) мора да има три различни решенија (и не едно решение на една равенка треба да се совпадне со која било - по одлука на втората!)
Очигледно, ако квадратната равенка \((*)\) има едно решение, тогаш нема да добиеме шест решенија за првобитната равенка.
Така, планот за решение станува јасен. Да ги запишеме условите кои мора да се исполнат точка по точка.
1) За равенката \((*)\) да има две различни решенија, нејзината дискриминаторна мора да биде позитивна: \
2) Исто така, неопходно е двата корени да бидат позитивни (бидејќи \(t>0\) ). Ако производот на два корени е позитивен, а нивниот збир е позитивен, тогаш самите корени ќе бидат позитивни. Затоа, ви треба: \[\почеток(случаи) 12-a>0\\-(a-10)>0\end (случаи)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Така, веќе си обезбедивме два различни позитивни корени \(t_1\) и \(t_2\) .
3)
Ајде да ја погледнеме оваа равенка \
За што \(t\) ќе има три различни решенија? Така, утврдивме дека двата корени на равенката \((*)\) мора да лежат во интервалот \((1;4)\) . Како да се напише оваа состојба? имаше четири различни корени, различни од нула, што претставува, заедно со \(x=0\), аритметичка прогресија. Забележете дека функцијата \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) е парна, што значи дека ако \(x_0\) е коренот на равенката \( (*)\ ) , тогаш \(-x_0\) исто така ќе биде неговиот корен. Тогаш е неопходно корените на оваа равенка да бидат броеви подредени во растечки редослед: \(-2d, -d, d, 2d\) (потоа \(d>0\)). Тогаш овие пет броеви ќе формираат аритметичка прогресија (со разликата \(d\)). За овие корени да бидат броевите \(-2d, -d, d, 2d\) , потребно е броевите \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) да бидат корени на равенката \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Потоа, според теоремата на Виета: Ајде да ја преработиме равенката во форма \
и разгледајте две функции: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) и \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . За да може равенката да има барем едно решение, потребно е графиците на функциите \(f\) и \(g\) да имаат барем една пресечна точка. Затоа, ви треба: \
Решавајќи го овој сет на системи, го добиваме одговорот: \\]
Одговор: \(а\во \(-2\)\чаша\) - (математика.) Функција y = f (x) се повикува дури и ако не се менува кога независната променлива го менува само знакот, односно ако f (x) = f (x). Ако f (x) = f (x), тогаш функцијата f (x) се нарекува непарна. На пример, y = cosx, y = x2... ... F(x) = x е пример за непарна функција. f(x) = x2 е пример за парна функција. f(x) = x3 ... Википедија Функција што ја задоволува еднаквоста f (x) = f (x). Видете парни и непарни функции... Голема советска енциклопедија F(x) = x е пример за непарна функција. f(x) = x2 е пример за парна функција. f(x) = x3 ... Википедија F(x) = x е пример за непарна функција. f(x) = x2 е пример за парна функција. f(x) = x3 ... Википедија F(x) = x е пример за непарна функција. f(x) = x2 е пример за парна функција. f(x) = x3 ... Википедија F(x) = x е пример за непарна функција. f(x) = x2 е пример за парна функција. f(x) = x3 ... Википедија Специјални функции воведени од францускиот математичар E. Mathieu во 1868 година при решавање на проблеми на осцилација на елипсовидна мембрана. М. ф. се користат и при проучување на ширењето на електромагнетните бранови во елипсовиден цилиндар... Голема советска енциклопедија Барањето „грев“ е пренасочено овде; види и други значења. Барањето „сек“ е пренасочено овде; види и други значења. Барањето „Sine“ е пренасочено овде; види и други значења... Википедија Функција нули Нули се точките на пресек на функционалниот график со оската О.
Паритет на функцијата Функција за непарен паритет Зголемување на функцијата Функција на опаѓање Најдете интервали на монотоност користејќи ја услугата Интервали на функцијата за зголемување и намалување Локален максимум Локален минимум Функционална фреквенција Интервали на константност на знакот Континуитет на функцијата Точки на прекин Пример:Истражете ја функцијата и нацртајте ја: y = x 3 – 3x
Да ја разгледаме функцијата \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Може да се факторизира: \
Според тоа, неговите нули се: \(x=-1;2\) .
Ако го најдеме изводот \(f"(x)=3x^2-6x\) , тогаш добиваме две екстремни точки \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Затоа, графиконот изгледа вака: 
Гледаме дека секоја хоризонтална линија \(y=k\) , каде што \(0
Така, ви треба: \[\почеток(случаи) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Исто така, веднаш да забележиме дека ако броевите \(t_1\) и \(t_2\) се различни, тогаш броевите \(\log_(\sqrt2)t_1\) и \(\log_(\sqrt2)t_2\) ќе бидат различни, што значи равенките \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)И \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)ќе има различни корени.
Системот \((**)\) може да се преработи на следниов начин: \[\почеток(случаи) 1
Ние нема да ги запишеме корените експлицитно.
Да ја разгледаме функцијата \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Нејзиниот график е парабола со нагорни гранки, која има две точки на пресек со оската x (оваа состојба ја запишавме во став 1)). Како треба да изгледа неговиот график така што точките на пресек со оската x се во интервалот \((1;4)\)? Значи: 
Прво, вредностите \(g(1)\) и \(g(4)\) на функцијата во точките \(1\) и \(4\) мора да бидат позитивни, и второ, темето на параболата \(t_0\ ) исто така мора да биде во интервалот \((1;4)\) . Затоа, можеме да го напишеме системот: \[\почеток(случаи) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Функцијата \(g(x)\) има максимална точка \(x=0\) (и \(g_(\text(горе))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cточка 2x\). Нулта извод: \(x=0\) . Кога \(x<0\)
имеем: \(g">0\) , за \(x>0\) : \(g"<0\)
.
Функцијата \(f(x)\) за \(x>0\) се зголемува, а за \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Навистина, кога \(x>0\) првиот модул ќе се отвори позитивно (\(|x|=x\)), затоа, без разлика како ќе се отвори вториот модул, \(f(x)\) ќе биде еднаков до \( kx+A\) , каде што \(A\) е изразот на \(a\) , и \(k\) е еднаков на \(13-10=3\) или \(13+10 =23\) . Кога \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Ајде да ја најдеме вредноста на \(f\) на минималната точка: \
Нулата на функцијата е вредноста X, при што функцијата се претвора во 0, односно f(x)=0.
Функцијата се повикува дури и ако за која било Xод доменот на дефиниција важи еднаквоста f(-x) = f(x). 
Еднаква функција е симетрична во однос на оската О
Функцијата се нарекува непарна ако за која било Xод доменот на дефиниција важи еднаквоста f(-x) = -f(x). 
Непарната функција е симетрична во однос на потеклото.
Функцијата која не е ниту парна ниту непарна се нарекува општа функција. 
Функцијата f(x) се вели дека се зголемува ако поголема вредност на аргументот одговара на поголема вредност на функцијата, т.е. x 2 >x 1 → f(x 2)>f(x 1) 
Функцијата f(x) се нарекува опаѓачка ако поголема вредност на аргументот одговара на помала вредност на функцијата, т.е. x 2 >x 1 → f(x 2) 
Се нарекуваат интервали преку кои функцијата или само се намалува или само се зголемува интервали на монотонија. Функцијата f(x) има 3 интервали на монотоност:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞) 
Точка x 0се нарекува локална максимална точка доколку има Xод близина на точка x 0важи следнава неравенка: f(x 0) > f(x) 
Точка x 0се нарекува локална минимална точка доколку има Xод близина на точка x 0важи следнава неравенка: f(x 0)< f(x).
Локалните максимални точки и локалните минимални точки се нарекуваат локални екстремни точки. 
x 1, x 2 - локални екстремни точки.
Функцијата f(x) се нарекува периодична, со точка Т, доколку има некој Xважи еднаквоста f(x+T) = f(x). 
Интервалите на кои функцијата е или само позитивна или само негативна се нарекуваат интервали со постојан знак. 
f(x)>0 за x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)
Функцијата f(x) се нарекува континуирана во точка x 0 ако границата на функцијата како x → x 0 е еднаква на вредноста на функцијата во оваа точка, т.е. 
.
Точките во кои се нарушува условот за континуитет се нарекуваат точки на прекин на функцијата. 
x 0- точка на прекин.Општа шема за исцртување на функции
1. Најдете го доменот на дефиниција на функцијата D(y).
2. Најдете ги точките на пресек на графикот на функции со координатните оски.
3. Испитајте ја функцијата за парни или непарни.
4. Испитај ја функцијата за периодичност.
5. Најдете интервали на монотоност и екстремни точки на функцијата.
6. Најдете ги интервалите на конвексност и точките на флексија на функцијата.
7. Најдете ги асимптотите на функцијата.
8. Врз основа на резултатите од студијата, конструирај график.
8) Врз основа на резултатите од студијата, ќе ја нацртаме функцијата: 
Се вчитува...