Како да се прошири логаритамот на збирот. Логаритамска равенка: основни формули и техники. Инверзна тригонометриска функција
Логаритамски равенки и неравенкиво Обединетиот државен испит по математика е посветен на проблем C3 . Секој ученик мора да научи да решава задачи C3 од Единствениот државен испит по математика доколку сака да го положи претстојниот испит со „добро“ или „одлично“. Оваа статија дава краток преглед на најчесто сретнуваните логаритамски равенки и неравенки, како и основни методи за нивно решавање.
Значи, ајде да погледнеме неколку примери денес. логаритамски равенки и неравенки, кои им беа понудени на учениците на Единствениот државен испит по математика од претходните години. Но, ќе започне со кратко резиме на главните теоретски точки што ќе ни требаат да ги решиме.
Логаритамска функција
Дефиниција
Функција на формата
0,\, a\ne 1 \]" title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
повикани логаритамска функција.
Основни својства
Основни својства на логаритамската функција y= дневник а x:
Графикот на логаритамска функција е логаритамска крива:
Својства на логаритмите
Логаритам на производотдва позитивни броеви се еднакви на збирот на логаритмите на овие броеви:
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
Логаритам на количникотдва позитивни броеви се еднакви на разликата помеѓу логаритмите на овие броеви:
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
Ако аИ б а≠ 1, потоа за кој било број р еднаквоста е вистина:
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
Еднаквостдневник а т= дневник а с, Каде а > 0, а ≠ 1, т > 0, с> 0, важи ако и само ако т = с.
Ако а, б, все позитивни бројки и аИ все разликуваат од единството, потоа еднаквоста ( формула за преминување во нова логаритамска основа):
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
Теорема 1.Ако ѓ(x) > 0 и е(x) > 0, потоа дневникот на логаритамската равенка a f(x) = дневник а г(x) (Каде а > 0, а≠ 1) е еквивалентно на равенката ѓ(x) = е(x).
Решавање логаритамски равенки и неравенки
Пример 1.Реши ја равенката:
Решение.Опсегот на прифатливи вредности ги вклучува само оние x, за кој изразот под знакот логаритам е поголем од нула. Овие вредности се одредуваат со следниов систем на нееднаквости:
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
Со оглед на тоа
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
го добиваме интервалот што го дефинира опсегот на дозволените вредности на оваа логаритамска равенка:
Врз основа на теорема 1, чиишто услови се исполнети овде, продолжуваме до следната еквивалентна квадратна равенка:
Опсегот на прифатливи вредности го вклучува само првиот корен.
Одговор: x = 7.
Пример 2.Реши ја равенката:
Решение.Опсегот на прифатливи вредности на равенката се одредува со системот на неравенки:
ql-right-eqno">
Решение.Опсегот на прифатливи вредности на равенката се одредува овде лесно: x > 0.
Ние користиме замена:
Равенката станува:
Обратна замена:
И двете одговорисе во опсегот на прифатливи вредности на равенката бидејќи се позитивни броеви.
Пример 4.Реши ја равенката:
Решение.Да го започнеме решението повторно со одредување на опсегот на прифатливи вредности на равенката. Се одредува со следниов систем на неравенки:
ql-right-eqno">
Основите на логаритмите се исти, така што во опсегот на прифатливи вредности можеме да продолжиме со следната квадратна равенка:
Првиот корен не е во опсегот на прифатливи вредности на равенката, но вториот е.
Одговор: x = -1.
Пример 5.Реши ја равенката:
Решение.Ќе бараме решенија измеѓу x > 0, x≠1. Ајде да ја трансформираме равенката во еквивалентна:
И двете одговорисе во опсегот на прифатливи вредности на равенката.
Пример 6.Реши ја равенката:
Решение.Системот на нееднаквости што го дефинира опсегот на дозволените вредности на равенката овој пат ја има формата:
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
Користејќи ги својствата на логаритмот, ја трансформираме равенката во равенка што е еквивалентна во опсегот на прифатливи вредности:
Користејќи ја формулата за преместување во нова логаритамска основа, добиваме:
Опсегот на прифатливи вредности вклучува само една одговор: x = 4.
Ајде сега да продолжиме на логаритамски неравенки . Токму со ова ќе треба да се справите на Единствениот државен испит по математика. За да решиме дополнителни примери, потребна ни е следнава теорема:
Теорема 2.Ако ѓ(x) > 0 и е(x) > 0, тогаш:
на а> 1 дневник за логаритамска неравенка a ѓ(x) > log a е(x) е еквивалентно на неравенство со исто значење: ѓ(x) > е(x);
на 0< а < 1 логарифмическое неравенство log a ѓ(x) > log a е(x) е еквивалентно на неравенка со спротивно значење: ѓ(x) < е(x).
Пример 7.Решете ја неравенството:
Решение.Да почнеме со дефинирање на опсегот на прифатливи вредности на нееднаквоста. Изразот под знакот на логаритамската функција мора да има само позитивни вредности. Ова значи дека потребниот опсег на прифатливи вредности се одредува со следниов систем на нееднаквости:
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
Бидејќи основата на логаритмот е број помал од еден, соодветната логаритамска функција ќе се намалува, и затоа, според теорема 2, преминот кон следната квадратна неравенка ќе биде еквивалентна:
Конечно, земајќи го предвид опсегот на прифатливи вредности, добиваме одговор:
Пример 8.Решете ја неравенството:
Решение.Да почнеме повторно со дефинирање на опсегот на прифатливи вредности:
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
На множеството на дозволени вредности на нееднаквоста вршиме еквивалентни трансформации:
По намалувањето и преминувањето на еквивалент на нееднаквост со теорема 2, добиваме:
Земајќи го предвид опсегот на прифатливи вредности, го добиваме конечниот одговор:
Пример 9.Решавање на логаритамска неравенка:
Решение.Опсегот на прифатливи вредности на нееднаквост се одредува со следниов систем:
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
Може да се види дека во опсегот на прифатливи вредности, изразот во основата на логаритмот е секогаш поголем од еден, и затоа, според теорема 2, преминот кон следната неравенка ќе биде еквивалентен:
Земајќи го предвид опсегот на прифатливи вредности, го добиваме конечниот одговор:
Пример 10.Решете ја неравенството:
Решение.
Опсегот на прифатливи вредности на нееднаквост се одредува со системот на неравенки:
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
Метод IДа ја искористиме формулата за премин кон нова основа на логаритмот и да преминеме на неравенство што е еквивалентно во опсегот на прифатливи вредности.
Логаритмите, како и сите броеви, можат да се собираат, одземаат и трансформираат на секој начин. Но, бидејќи логаритмите не се баш обични броеви, тука постојат правила, кои се нарекуваат главните својства.
Дефинитивно треба да ги знаете овие правила - без нив не може да се реши ниту еден сериозен логаритамски проблем. Покрај тоа, има многу малку од нив - можете да научите сè за еден ден. Па ајде да започнеме.
Собирање и одземање логаритми
Размислете за два логаритма со исти основи: лог а xи дневник а y. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:
- дневник а x+ дневник а y= дневник а (x · y);
- дневник а x− дневник а y= дневник а (x : y).
Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Ве молиме запомнете: клучната точка овде е идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!
Овие формули ќе ви помогнат да пресметате логаритамски израз дури и кога неговите поединечни делови не се разгледуваат (видете ја лекцијата „Што е логаритам“). Погледнете ги примерите и видете:
Дневник 6 4 + дневник 6 9.
Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
дневник 6 4 + дневник 6 9 = дневник 6 (4 9) = дневник 6 36 = 2.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 2 48 − log 2 3.
Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 3 135 − log 3 5.
Повторно, основите се исти, така што имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но по трансформациите се добиваат сосема нормални бројки. Многу тестови се засноваат на овој факт. Да, изразите слични на тестот се нудат со сета сериозност (понекогаш практично без промени) на унифицираниот државен испит.
Извлекување на експонентот од логаритамот
Сега да ја комплицираме задачата малку. Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:
Лесно е да се види дека последното правило ги следи првите две. Но, во секој случај, подобро е да се запамети - во некои случаи значително ќе го намали износот на пресметките.
Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се почитува ODZ на логаритамот: а > 0, а ≠ 1, x> 0. И уште нешто: научете да ги применувате сите формули не само од лево кон десно, туку и обратно, т.е. Можете да ги внесете броевите пред знакот за логаритам во самиот логаритам. Ова е она што најчесто се бара.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 7 49 6 .
Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
дневник 7 49 6 = 6 дневник 7 49 = 6 2 = 12
Задача. Најдете го значењето на изразот:
[Наслов за сликата]
Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:
[Наслов за сликата] Мислам дека последниот пример бара некое појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот. Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.
Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот го содржат истиот број: log 2 7. Бидејќи log 2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропката - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што е направено. Резултатот беше одговорот: 2.
Транзиција кон нова основа
Зборувајќи за правилата за собирање и одземање логаритми, конкретно нагласив дека тие работат само со исти основи. Што ако причините се различни? Што ако тие не се точни моќи со ист број?
На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:
Нека е даден логаритамскиот дневник а x. Потоа за кој било број втакви што в> 0 и в≠ 1, еднаквоста е вистина:
[Наслов за сликата]
Конкретно, ако ставиме в = x, добиваме:
[Наслов за сликата]
Од втората формула произлегува дека основата и аргументот на логаритмот може да се заменат, но во овој случај целиот израз е „превртен“, т.е. логаритмот се појавува во именителот.
Овие формули ретко се наоѓаат во обичните нумерички изрази. Можно е да се процени колку се погодни само кога се решаваат логаритамски равенки и неравенки.
Сепак, има проблеми кои не можат да се решат воопшто освен со преселба во нова основа. Ајде да погледнеме неколку од овие:
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 5 16 log 2 25.
Забележете дека аргументите на двата логаритма содржат точни моќи. Ајде да ги извадиме индикаторите: лог 5 16 = дневник 5 2 4 = 4лог 5 2; дневник 2 25 = дневник 2 5 2 = 2 дневник 2 5;
Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:
[Наслов за сликата]Бидејќи производот не се менува при преуредување фактори, мирно помноживме четири и два, а потоа се занимававме со логаритми.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 9 100 lg 3.
Основата и аргументот на првиот логаритам се точни моќи. Ајде да го запишеме ова и да се ослободиме од индикаторите:
[Наслов за сликата]Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:
[Наслов за сликата]Основен логаритамски идентитет
Често во процесот на решавање е потребно да се претстави број како логаритам на дадена основа. Во овој случај, следните формули ќе ни помогнат:
Во првиот случај, бројот nстанува показател за степенот што стои во аргументот. Број nможе да биде апсолутно сè, бидејќи тоа е само логаритамска вредност.
Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се нарекува: основен логаритамски идентитет.
Всушност, што ќе се случи ако бројот бподигнете до таква моќ што бројот бна оваа моќ го дава бројот а? Така е: го добивате истиот број а. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе се заглавуваат на него.
Како формули за преместување во нова основа, основниот логаритамски идентитет понекогаш е единственото можно решение.
Задача. Најдете го значењето на изразот:
[Наслов за сликата]
Забележете дека log 25 64 = log 5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Земајќи ги предвид правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:
[Наслов за сликата]Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)
Логаритамска единица и логаритамска нула
Како заклучок, ќе дадам два идентитети кои тешко можат да се наречат својства - напротив, тие се последици од дефиницијата на логаритамот. Тие постојано се појавуваат во проблеми и изненадувачки им создаваат проблеми дури и на „напредните“ студенти.
- дневник а а= 1 е логаритамска единица. Запомнете еднаш засекогаш: логаритам до која било основа аод оваа основа е еднаква на една.
- дневник а 1 = 0 е логаритамска нула. База аможе да биде било што, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи а 0 = 1 е директна последица на дефиницијата.
Тоа се сите својства. Задолжително вежбајте да ги применувате во пракса! Преземете го мамечкиот лист на почетокот на лекцијата, испечатете го и решете ги проблемите.
Во врска со
може да се постави задача да се најде некој од трите броеви од другите два дадени. Ако се дадени a и потоа N, тие се наоѓаат со степенување. Ако N и потоа a се дадени со земање на коренот на степенот x (или подигање на моќта). Сега разгледајте го случајот кога, со оглед на a и N, треба да го најдеме x.
Нека бројот N е позитивен: бројот a е позитивен и не е еднаков на еден: .
Дефиниција. Логаритмот на бројот N до основата a е експонентот до кој мора да се подигне a за да се добие бројот N; логаритам се означува со
Така, во еднаквоста (26.1) експонентот се наоѓа како логаритам од N на основата a. Објави
имаат исто значење. Еднаквоста (26.1) понекогаш се нарекува главен идентитет на теоријата на логаритми; во реалноста ја изразува дефиницијата на поимот логаритам. Според оваа дефиниција, основата на логаритмот a е секогаш позитивна и различна од единството; логаритамскиот број N е позитивен. Негативните броеви и нулата немаат логаритми. Може да се докаже дека секој број со дадена основа има добро дефиниран логаритам. Затоа еднаквоста повлекува . Забележете дека условот е суштински овде; инаку, заклучокот не би бил оправдан, бидејќи еднаквоста е точна за сите вредности на x и y.
Пример 1. Најдете
Решение. За да добиете број, мора да ја подигнете основата 2 на моќта Затоа.
Можете да правите белешки кога решавате такви примери во следнава форма:
Пример 2. Најдете .
Решение. Ние имаме
Во примерите 1 и 2, лесно го најдовме саканиот логаритам со претставување на логаритамскиот број како моќност на основата со рационален експонент. Во општиот случај, на пример, за итн., тоа не може да се направи, бидејќи логаритамот има ирационална вредност. Да обрнеме внимание на едно прашање поврзано со оваа изјава. Во став 12 го дадовме концептот на можноста за определување на која било реална моќност на даден позитивен број. Ова беше неопходно за воведување на логаритми, кои, општо земено, можат да бидат ирационални броеви.
Ајде да погледнеме некои својства на логаритмите.
Својство 1. Ако бројот и основата се еднакви, тогаш логаритмот е еднаков на еден, а, обратно, ако логаритамот е еднаков на еден, тогаш бројот и основата се еднакви.
Доказ. Нека Со дефиниција за логаритам имаме и од каде
Спротивно на тоа, нека Потоа по дефиниција
Својство 2. Логаритмот од еден на која било основа е еднаков на нула.
Доказ. По дефиниција за логаритам (нултата моќност на која било позитивна основа е еднаква на еден, видете (10.1)). Од тука
Q.E.D.
Исто така е точно и обратното тврдење: ако , тогаш N = 1. Навистина, имаме .
Пред да го формулираме следното својство на логаритмите, да се согласиме да кажеме дека два броја a и b лежат на иста страна од третиот број c ако и двата се поголеми од c или помали од c. Ако еден од овие броеви е поголем од c, а другиот е помал од c, тогаш ќе кажеме дека лежат на спротивните страни на c.
Својство 3. Ако бројот и основата лежат на иста страна на еден, тогаш логаритамот е позитивен; Ако бројот и основата лежат на спротивните страни на едната, тогаш логаритамот е негативен.
Доказот за својството 3 се заснова на фактот дека моќта на a е поголема од еден ако основата е поголема од еден, а експонентот е позитивен или основата е помала од еден, а експонентот е негативен. Моќта е помала од една ако основата е поголема од една, а експонентот е негативен или основата е помала од еден, а експонентот е позитивен.
Постојат четири случаи кои треба да се разгледаат:
Ќе се ограничиме на анализа на првото од нив, а останатото читателот ќе го разгледа сам.
Нека во еднаквост експонентот не може да биде ниту негативен ниту еднаков на нула, затоа, тој е позитивен, т.е., како што се бара да се докаже.
Пример 3. Откријте кои од долунаведените логаритми се позитивни, а кои негативни:
Решение, а) бидејќи бројот 15 и основата 12 се наоѓаат на иста страна на еден;
б) бидејќи 1000 и 2 се наоѓаат на едната страна од единицата; во овој случај, не е важно основата да е поголема од логаритамскиот број;
в) бидејќи 3.1 и 0.8 лежат на спротивните страни на единството;
G) ; Зошто?
г) ; Зошто?
Следниве својства 4-6 често се нарекуваат правила на логаритмација: тие дозволуваат, знаејќи ги логаритмите на некои броеви, да ги најдат логаритмите на нивниот производ, количник и степен на секој од нив.
Својство 4 (правило за логаритам на производот). Логаритмот на производот од неколку позитивни броеви на дадена основа е еднаков на збирот на логаритмите на овие броеви на истата основа.
Доказ. Дадените бројки нека бидат позитивни.
За логаритмот на нивниот производ, ја пишуваме еднаквоста (26.1) што го дефинира логаритамот:
Од тука ќе најдеме
Споредувајќи ги експонентите на првиот и последниот израз, ја добиваме потребната еднаквост:
Забележете дека состојбата е суштинска; логаритмот на производот од два негативни броја има смисла, но во овој случај добиваме
Во принцип, ако производот на неколку фактори е позитивен, тогаш неговиот логаритам е еднаков на збирот на логаритмите на апсолутните вредности на овие фактори.
Својство 5 (правило за земање логаритми на количници). Логаритмот на количник на позитивни броеви е еднаков на разликата помеѓу логаритмите на дивидендата и делителот, земени во иста основа. Доказ. Ние постојано наоѓаме
Q.E.D.
Својство 6 (правило на логаритам на моќност). Логаритмот на моќноста на кој било позитивен број е еднаков на логаритамот на тој број помножен со експонентот.
Доказ. Ајде повторно да го напишеме главниот идентитет (26.1) за бројот:
Q.E.D.
Последица. Логаритмот на коренот на позитивен број е еднаков на логаритамот на радикалот поделен со експонентот на коренот:
Валидноста на оваа последица може да се докаже со замислување како и користење на својството 6.
Пример 4. Земете го логаритам за да засновате a:
а) (се претпоставува дека сите вредности b, c, d, e се позитивни);
б) (се претпоставува дека ).
Решение, а) Удобно е да се оди на фракциони сили во овој израз:
Врз основа на еднаквостите (26,5)-(26,7), сега можеме да напишеме:
Забележуваме дека на логаритмите на броевите се вршат поедноставни операции отколку на самите броеви: при множење на броевите се собираат нивните логаритми, при делење се одземаат итн.
Затоа логаритмите се користат во компјутерската практика (види став 29).
Инверзното дејство на логаритамот се нарекува потенцирање, имено: потенцирање е дејство со кое се наоѓа самиот број од даден логаритам на некој број. Во суштина, потенцирањето не е некоја посебна акција: се сведува на подигање на основата до моќност (еднаква на логаритамот на број). Терминот „потенцијација“ може да се смета за синоним со терминот „експоненцијација“.
Кога се потенцира, мора да се користат правилата инверзни на правилата за логаритмација: заменете го збирот на логаритми со логаритмот на производот, разликата на логаритмите со логаритмот на количникот итн. Особено, ако има фактор напред на знакот на логаритам, тогаш при потенцирање мора да се пренесе на степените на експонент под знакот на логаритамот.
Пример 5. Најдете N ако се знае дека
Решение. Во врска со штотуку наведеното правило за потенцирање, факторите 2/3 и 1/3 кои стојат пред знаците на логаритмите од десната страна на оваа еднаквост ќе ги пренесеме во експоненти под знаците на овие логаритми; добиваме
Сега ја заменуваме разликата на логаритми со логаритам на количникот:
за да ја добиеме последната дропка во овој синџир на еднаквости, ја ослободивме претходната дропка од ирационалноста во именителот (клаузула 25).
Својство 7. Ако основата е поголема од една, тогаш поголемиот број има поголем логаритам (а помалиот има помал), ако основата е помала од една, тогаш поголемиот број има помал логаритам (а помалиот еден има поголем).
Ова својство е исто така формулирано како правило за земање логаритми на неравенки, чии двете страни се позитивни:
Кога се земаат логаритми на неравенки до основа поголема од една, знакот на неравенство се зачувува, а при логаритмирање на основа помала од еден, знакот за неравенство се менува во спротивното (види и став 80).
Доказот се заснова на својствата 5 и 3. Размислете за случајот кога Ако , тогаш и земајќи логаритми, ќе добиеме
(a и N/M лежат на иста страна на единството). Од тука
Следува случај a, читателот ќе го сфати сам.
Со ова видео започнувам долга серија лекции за логаритамските равенки. Сега имате три примери пред вас, врз основа на кои ќе научиме да ги решаваме наједноставните проблеми, кои се нарекуваат - протозои.
log 0,5 (3x − 1) = −3
дневник (x + 3) = 3 + 2 дневник 5
Дозволете ми да ве потсетам дека наједноставната логаритамска равенка е следнава:
log a f (x) = b
Во овој случај, важно е променливата x да е присутна само внатре во аргументот, односно само во функцијата f (x). И броевите a и b се само броеви и во никој случај не се функции што ја содржат променливата x.
Основни методи на решение
Постојат многу начини за решавање на такви структури. На пример, повеќето наставници во училиштето го нудат овој метод: Веднаш изразете ја функцијата f (x) користејќи ја формулата f ( x) = а б . Односно, кога ќе наидете на наједноставната конструкција, можете веднаш да преминете на решението без дополнителни дејства и конструкции.
Да, се разбира, одлуката ќе биде правилна. Меѓутоа, проблемот со оваа формула е што повеќето студенти не разбираат, од каде доаѓа и зошто буквата а ја подигаме на буквата б.
Како резултат на тоа, често гледам многу досадни грешки кога, на пример, овие букви се заменуваат. Оваа формула мора или да се разбере или да се преполни, а вториот метод води до грешки во најнеповолните и најклучните моменти: за време на испити, тестови итн.
Затоа им предлагам на сите мои ученици да ја напуштат стандардната училишна формула и да го користат вториот пристап за решавање логаритамски равенки, кој, како што веројатно претпоставувате од името, се нарекува канонска форма.
Идејата за канонската форма е едноставна. Ајде повторно да го разгледаме нашиот проблем: лево имаме лог a, а под буквата a мислиме број, а во никој случај функција која ја содржи променливата x. Следствено, ова писмо подлежи на сите ограничувања што се наметнуваат врз основа на логаритамот. имено:
1 ≠ a > 0
Од друга страна, од истата равенка гледаме дека логаритамот мора да биде еднаков на бројот b, а на оваа буква не се наметнуваат никакви ограничувања, бидејќи може да земе каква било вредност - и позитивна и негативна. Сè зависи од тоа кои вредности ги зема функцијата f(x).
И тука се сеќаваме на нашето прекрасно правило дека кој било број b може да се претстави како логаритам на основата a на a со моќност од b:
b = log a a b
Како да се запамети оваа формула? Да, многу едноставно. Ајде да ја напишеме следната конструкција:
b = b 1 = b log a a
Се разбира, во овој случај произлегуваат сите ограничувања што ги запишавме на почетокот. Сега да го искористиме основното својство на логаритмот и да го воведеме множителот b како моќност на a. Добиваме:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Како резултат на тоа, оригиналната равенка ќе биде препишана на следниов начин:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Тоа е се. Новата функција повеќе не содржи логаритам и може да се реши со помош на стандардни алгебарски техники.
Се разбира, некој сега ќе се спротивстави: зошто воопшто беше неопходно да се дојде до некаква канонска формула, зошто да се извршат два дополнителни непотребни чекори ако беше можно веднаш да се пресели од оригиналниот дизајн до конечната формула? Да, само затоа што повеќето студенти не разбираат од каде доаѓа оваа формула и, како резултат на тоа, редовно прават грешки при примената.
Но, оваа низа на дејства, која се состои од три чекори, ви овозможува да ја решите оригиналната логаритамска равенка, дури и ако не разбирате од каде доаѓа конечната формула. Патем, овој запис се нарекува канонска формула:
log a f (x) = log a a b
Практичноста на канонската форма лежи и во фактот што може да се користи за решавање на многу широка класа на логаритамски равенки, а не само за наједноставните што ги разгледуваме денес.
Примери на решенија
Сега да ги погледнеме вистинските примери. Значи, да одлучиме:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Ајде да го преработиме вака:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Многу студенти брзаат и се обидуваат веднаш да го подигнат бројот 0,5 на моќта што ни дојде од првичниот проблем. Навистина, кога веќе сте добро обучени за решавање на вакви проблеми, можете веднаш да го извршите овој чекор.
Меѓутоа, ако сега само што почнувате да ја проучувате оваа тема, подобро е да не брзате никаде за да избегнете правење навредливи грешки. Значи, ја имаме канонската форма. Ние имаме:
3x − 1 = 0,5 −3
Ова повеќе не е логаритамска равенка, туку линеарна во однос на променливата x. За да го решиме, прво да го погледнеме бројот 0,5 со моќност од −3. Забележете дека 0,5 е 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Претворете ги сите децимални дропки во обични дропки кога решавате логаритамска равенка.
Ние препишуваме и добиваме:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Тоа е тоа, го добивме одговорот. Првиот проблем е решен.
Втора задача
Ајде да преминеме на втората задача:
Како што гледаме, оваа равенка повеќе не е наједноставна. Ако само затоа што има разлика лево, а ниту еден логаритам до една основа.
Затоа, треба некако да се ослободиме од оваа разлика. Во овој случај, сè е многу едноставно. Да ги погледнеме подетално основите: лево е бројот под коренот:
Општа препорака: во сите логаритамски равенки, обидете се да се ослободите од радикалите, т.е., од записите со корени и да преминете на функциите на моќност, едноставно затоа што експонентите на овие моќи лесно се вадат од знакот на логаритамот и, на крајот, таквите записот значително ги поедноставува и забрзува пресметките. Ајде да го запишеме вака:
Сега да се потсетиме на извонредното својство на логаритмот: моќите може да се изведат од аргументот, како и од основата. Во случај на основа, се случува следново:
log a k b = 1/k лога b
Со други зборови, бројот што бил во основната моќност се носи напред и во исто време се превртува, односно станува реципрочен број. Во нашиот случај, основниот степен беше 1/2. Затоа, можеме да го извадиме како 2/1. Добиваме:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Ве молиме запомнете: во никој случај не треба да се ослободите од логаритмите на овој чекор. Запомнете математика од 4-5 одделение и редоследот на операциите: прво се врши множење, а дури потоа собирање и одземање. Во овој случај, одземаме еден од истите елементи од 10 елементи:
9 дневник 5 x = 18
дневник 5 x = 2
Сега нашата равенка изгледа како што треба. Ова е наједноставната конструкција и ја решаваме користејќи ја канонската форма:
дневник 5 x = дневник 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Тоа е се. Вториот проблем е решен.
Трет пример
Да преминеме на третата задача:
дневник (x + 3) = 3 + 2 дневник 5
Дозволете ми да ве потсетам на следнава формула:
лог б = дневник 10 б
Ако поради некоја причина сте збунети од дневникот за нотација b, тогаш кога ги извршувате сите пресметки можете едноставно да напишете дневник 10 b. Можете да работите со децимални логаритми на ист начин како и со другите: земете моќи, собирајте и претставувајте ги сите броеви во форма lg 10.
Токму овие својства сега ќе ги користиме за да го решиме проблемот, бидејќи не е наједноставниот што го запишавме на самиот почеток на нашата лекција.
Прво, забележете дека факторот 2 пред lg 5 може да се додаде и да стане моќност на основата 5. Покрај тоа, слободниот член 3 може да се претстави и како логаритам - ова е многу лесно да се набљудува од нашата нотација.
Проценете сами: кој било број може да се претстави како дневник до основата 10:
3 = дневник 10 10 3 = дневник 10 3
Ајде да го преработиме оригиналниот проблем земајќи ги предвид добиените промени:
лог (x − 3) = лог 1000 + лог 25
лог (x − 3) = лог 1000 25
лог (x − 3) = лог 25.000
Повторно ја имаме канонската форма пред нас и ја добивме без да поминеме низ фазата на трансформација, односно никаде не се појави наједноставната логаритамска равенка.
Токму за ова зборував на самиот почеток на лекцијата. Канонската форма ви овозможува да решите поширока класа на проблеми од стандардната училишна формула што ја даваат повеќето училишни наставници.
Па, тоа е сè, се ослободуваме од знакот на децималниот логаритам и добиваме едноставна линеарна конструкција:
x + 3 = 25.000
x = 24.997
Сите! Проблемот е решен.
Забелешка за опсегот
Овде би сакал да направам важна забелешка во однос на опсегот на дефиницијата. Сега сигурно ќе има ученици и наставници кои ќе речат: „Кога ги решаваме изразите со логаритми, мора да запомниме дека аргументот f (x) мора да биде поголем од нула!“ Во овој поглед, се поставува логично прашање: зошто не баравме оваа нееднаквост да биде задоволена во ниту еден од разгледаните проблеми?
Не се грижи. Во овие случаи, нема да се појават дополнителни корени. И ова е уште еден одличен трик кој ви овозможува да го забрзате решението. Само знајте дека ако во проблемот променливата x се појавува само на едно место (или подобро, во еден аргумент на еден логаритам), и никаде на друго место во нашиот случај не се појавува променливата x, тогаш запишете го доменот на дефиниција нема потреба, бидејќи ќе се изврши автоматски.
Проценете сами: во првата равенка добивме дека 3x − 1, т.е. аргументот треба да биде еднаков на 8. Ова автоматски значи дека 3x − 1 ќе биде поголемо од нула.
Со истиот успех можеме да напишеме дека во вториот случај x треба да биде еднакво на 5 2, односно сигурно е поголемо од нула. И во третиот случај, каде што x + 3 = 25.000, т.е., повторно, очигледно поголемо од нула. Со други зборови, опсегот се задоволува автоматски, но само ако x се појавува само во аргументот на само еден логаритам.
Тоа е се што треба да знаете за да ги решите наједноставните проблеми. Само ова правило, заедно со правилата за трансформација, ќе ви овозможи да решите многу широка класа на проблеми.
Но, да бидеме искрени: за конечно да се разбере оваа техника, да се научи како да се примени канонската форма на логаритамската равенка, не е доволно само да се гледа една видео лекција. Затоа, токму сега, преземете ги опциите за независни решенија кои се прикачени на оваа видео лекција и започнете да решавате барем една од овие две независни дела.
Ќе ви одземе буквално неколку минути. Но, ефектот од таквата обука ќе биде многу поголем отколку ако едноставно ја гледавте оваа видео лекција.
Се надевам дека оваа лекција ќе ви помогне да ги разберете логаритамските равенки. Користете ја канонската форма, поедноставете ги изразите користејќи ги правилата за работа со логаритми - и нема да се плашите од никакви проблеми. Тоа е се што имам за денес.
Земајќи го предвид доменот на дефиниција
Сега да зборуваме за доменот на дефинирање на логаритамската функција и како тоа влијае на решавањето на логаритамските равенки. Размислете за конструкција на формата
log a f (x) = b
Таквиот израз се нарекува наједноставен - содржи само една функција, а броевите a и b се само броеви и во никој случај функција која зависи од променливата x. Тоа може да се реши многу едноставно. Вие само треба да ја користите формулата:
b = log a a b
Оваа формула е едно од клучните својства на логаритмот, а при замена во нашиот оригинален израз го добиваме следново:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Ова е позната формула од училишните учебници. Многу студенти веројатно ќе имаат прашање: бидејќи во оригиналниот израз функцијата f (x) е под знакот за дневник, на неа се наметнуваат следните ограничувања:
f(x) > 0
Ова ограничување се применува бидејќи логаритамот на негативни броеви не постои. Значи, можеби, како резултат на ова ограничување, треба да се воведе проверка на одговорите? Можеби тие треба да се вметнат во изворот?
Не, во наједноставните логаритамски равенки дополнителна проверка е непотребна. И затоа. Погледнете ја нашата конечна формула:
f (x) = a b
Факт е дека бројот a е во секој случај поголем од 0 - ова барање го наметнува и логаритамот. Бројот а е основа. Во овој случај, не се наметнуваат ограничувања за бројот б. Но, ова не е важно, бидејќи без разлика на која моќност ќе подигнеме позитивен број, сепак ќе добиеме позитивен број на излезот. Така, барањето f (x) > 0 се задоволува автоматски.
Она што навистина вреди да се провери е доменот на функцијата под знакот за дневник. Може да има доста сложени структури и дефинитивно треба да внимавате на нив за време на процесот на решавање. Ајде да погледнеме.
Прва задача:
Прв чекор: претворете ја дропот десно. Добиваме:
Се ослободуваме од знакот логаритам и ја добиваме вообичаената ирационална равенка:
Од добиените корени ни одговара само првиот, бидејќи вториот корен е помал од нула. Единствениот одговор ќе биде бројот 9. Тоа е тоа, проблемот е решен. Не се потребни дополнителни проверки за да се осигура дека изразот под знакот логаритам е поголем од 0, бидејќи не е само поголем од 0, туку според условот на равенката е еднаков на 2. Затоа, барањето „поголемо од нула “ се задоволува автоматски.
Ајде да преминеме на втората задача:
Сè е исто овде. Ја препишуваме конструкцијата, заменувајќи ја тројната:
Се ослободуваме од логаритамските знаци и добиваме ирационална равенка:
Ги квадратуваме двете страни земајќи ги предвид ограничувањата и добиваме:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Добиената равенка ја решаваме преку дискриминантата:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Но, x = −6 не ни одговара, бидејќи ако го замениме овој број во нашата неравенка, добиваме:
−6 + 4 = −2 < 0
Во нашиот случај, потребно е да биде поголемо од 0 или, во екстремни случаи, еднакво. Но, x = −1 ни одговара:
−1 + 4 = 3 > 0
Единствениот одговор во нашиот случај ќе биде x = −1. Тоа е решението. Да се вратиме на самиот почеток на нашите пресметки.
Главната работа од оваа лекција е дека не треба да ги проверувате ограничувањата на функцијата во едноставни логаритамски равенки. Бидејќи во текот на процесот на решавање сите ограничувања се задоволуваат автоматски.
Сепак, ова во никој случај не значи дека можете целосно да заборавите на проверката. Во процесот на работа на логаритамска равенка, таа може добро да се претвори во ирационална, која ќе има свои ограничувања и барања за десната страна, што ги видовме денес во два различни примери.
Слободно решавајте ги ваквите проблеми и бидете особено внимателни доколку има корен во расправијата.
Логаритамски равенки со различни основи
Продолжуваме да ги проучуваме логаритамските равенки и гледаме уште две доста интересни техники со кои е модерно да се решаваат посложени конструкции. Но, прво, да се потсетиме како се решаваат наједноставните проблеми:
log a f (x) = b
Во овој запис a и b се броеви, а во функцијата f (x) променливата x мора да биде присутна, а само таму, односно x мора да биде само во аргументот. Ваквите логаритамски равенки ќе ги трансформираме користејќи ја канонската форма. За да го направите ова, забележете дека
b = log a a b
Покрај тоа, a b е токму аргумент. Ајде да го преработиме овој израз на следниов начин:
log a f (x) = log a a b
Токму тоа се обидуваме да го постигнеме, за да има логаритам да го засноваме a и на лево и на десно. Во овој случај, можеме, фигуративно кажано, да ги прецртаме знаците на дневникот и од математичка гледна точка можеме да кажеме дека едноставно ги изедначуваме аргументите:
f (x) = a b
Како резултат на тоа, ќе добиеме нов израз кој ќе биде многу полесен за решавање. Ајде да го примениме ова правило за нашите проблеми денес.
Значи, првиот дизајн:
Најпрво, забележувам дека десно е дропка чиј именител е лог. Кога ќе видите ваков израз, добро е да се сетите на прекрасното својство на логаритмите:
Преведено на руски, тоа значи дека секој логаритам може да се претстави како количник на два логаритами со која било основа c. Секако 0< с ≠ 1.
Значи: оваа формула има еден прекрасен посебен случај, кога променливата c е еднаква на променливата б. Во овој случај добиваме конструкција како:
Токму оваа конструкција ја гледаме од знакот десно во нашата равенка. Да ја замениме оваа конструкција со log a b , добиваме:
Со други зборови, во споредба со првичната задача, ги заменивме аргументите и основата на логаритмот. Наместо тоа, моравме да ја смениме дропот.
Потсетуваме дека кој било степен може да се изведе од основата според следново правило:
Со други зборови, коефициентот k, кој е моќност на основата, се изразува како превртена дропка. Да го прикажеме како превртена дропка:
Дробниот фактор не може да се остави напред, бидејќи во овој случај нема да можеме да ја претставиме оваа нотација како канонска форма (на крајот на краиштата, во канонската форма нема дополнителен фактор пред вториот логаритам). Затоа, да ја додадеме дропот 1/4 на аргументот како моќност:
Сега ги изедначуваме аргументите чии основи се исти (а нашите основи се навистина исти) и пишуваме:
x + 5 = 1
x = −4
Тоа е се. Го добивме одговорот на првата логаритамска равенка. Ве молиме имајте предвид: во оригиналниот проблем, променливата x се појавува само во еден дневник и се појавува во нејзиниот аргумент. Затоа, нема потреба да се провери доменот, а нашиот број x = −4 е навистина одговорот.
Сега да преминеме на вториот израз:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Овде, покрај вообичаените логаритми, ќе треба да работиме и со log f (x). Како да се реши таква равенка? На неподготвен ученик може да му се чини дека ова е некаква тешка задача, но всушност сè може да се реши на елементарен начин.
Погледнете внимателно на терминот lg 2 log 2 7. Што можеме да кажеме за него? Основите и аргументите на log и lg се исти, и ова треба да даде некои идеи. Да се потсетиме уште еднаш како се вадат моќите под знакот на логаритамот:
log a b n = nlog a b
Со други зборови, она што беше моќ на b во аргументот станува фактор пред самиот лог. Да ја примениме оваа формула за изразот lg 2 log 2 7. Не плашете се од lg 2 - ова е најчестиот израз. Можете да го преработите на следниов начин:
За него важат сите правила кои важат за кој било друг логаритам. Конкретно, факторот напред може да се додаде на степенот на аргументот. Ајде да го запишеме:
Многу често, учениците не ја гледаат оваа акција директно, бидејќи не е добро да се внесе еден дневник под знакот на друг. Всушност, нема ништо криминално во ова. Покрај тоа, добиваме формула што е лесно да се пресмета ако се сеќавате на важно правило:
Оваа формула може да се смета и како дефиниција и како едно од нејзините својства. Во секој случај, ако конвертирате логаритамска равенка, треба да ја знаете оваа формула исто како што би ја знаеле логистичката репрезентација на кој било број.
Да се вратиме на нашата задача. Го препишуваме земајќи го предвид фактот дека првиот член десно од знакот за еднаквост ќе биде едноставно еднаков на lg 7. Имаме:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Да го поместиме lg 7 налево, добиваме:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Ги одземаме изразите лево затоа што имаат иста основа:
lg (56/7) = -3lg (x + 4)
Сега да ја разгледаме подетално равенката што ја добивме. Тоа е практично канонската форма, но има фактор −3 на десната страна. Ајде да го додадеме во вистинскиот аргумент на lg:
лог 8 = лог (x + 4) −3
Пред нас е канонската форма на логаритамската равенка, па ги пречкртавме знаците lg и ги изедначуваме аргументите:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
Тоа е се! Ја решивме втората логаритамска равенка. Во овој случај, не се потребни дополнителни проверки, бидејќи во оригиналниот проблем x беше присутен само во еден аргумент.
Дозволете ми повторно да ги наведам клучните точки од оваа лекција.
Главната формула што се учи во сите лекции на оваа страница посветена на решавање на логаритамски равенки е канонската форма. И не плашете се од фактот дека повеќето училишни учебници ве учат да ги решавате ваквите проблеми поинаку. Оваа алатка работи многу ефикасно и ви овозможува да решите многу поширока класа на проблеми од наједноставните што ги проучувавме на самиот почеток на нашата лекција.
Покрај тоа, за решавање на логаритамски равенки ќе биде корисно да се знаат основните својства. Имено:
- Формулата за преместување во една база и специјалниот случај кога го реверзираме дневникот (ова ни беше многу корисно во првиот проблем);
- Формула за собирање и одземање моќи од знакот логаритам. Овде, многу студенти заглавуваат и не гледаат дека извадената и воведена диплома може сама по себе да содржи лог f (x). Ништо лошо во тоа. Можеме да воведеме еден дневник според знакот на другиот и во исто време значително да го поедноставиме решението на проблемот, што е она што го забележуваме во вториот случај.
Како заклучок, би сакал да додадам дека не е неопходно да се провери доменот на дефиниција во секој од овие случаи, бидејќи секаде променливата x е присутна само во еден знак на лог, а во исто време е и во нејзиниот аргумент. Како последица на тоа, сите барања од опсегот се исполнуваат автоматски.
Проблеми со променлива основа
Денес ќе ги разгледаме логаритамските равенки, кои за многу студенти изгледаат нестандардни, ако не и целосно нерешливи. Зборуваме за изрази кои не се засноваат на бројки, туку на променливи, па дури и функции. Ваквите конструкции ќе ги решаваме користејќи ја нашата стандардна техника, имено преку канонската форма.
Прво, да се потсетиме како се решаваат наједноставните проблеми, врз основа на обични броеви. Значи, наједноставната конструкција се нарекува
log a f (x) = b
За да ги решиме ваквите проблеми, можеме да ја користиме следната формула:
b = log a a b
Го препишуваме нашиот оригинален израз и добиваме:
log a f (x) = log a a b
Потоа ги изедначуваме аргументите, т.е. пишуваме:
f (x) = a b
Така, се ослободуваме од знакот за дневник и го решаваме вообичаениот проблем. Во овој случај, корените добиени од решението ќе бидат корените на првобитната логаритамска равенка. Дополнително, записот кога и левата и десната страна се во ист логаритам со иста основа, прецизно се нарекува канонска форма. До таков рекорд ќе се обидеме да ги намалиме денешните дизајни. Значи, да одиме.
Прва задача:
лог x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Заменете го 1 со лог x − 2 (x − 2) 1 . Степенот што го набљудуваме во аргументот е всушност бројот b што стои десно од знакот за еднаквост. Така, да го преработиме нашиот израз. Добиваме:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Што гледаме? Пред нас е канонската форма на логаритамската равенка, за да можеме безбедно да ги изедначуваме аргументите. Добиваме:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Но, решението не завршува тука, бидејќи оваа равенка не е еквивалентна на првобитната. На крајот на краиштата, добиената конструкција се состои од функции кои се дефинирани на целата бројна линија, а нашите оригинални логаритми не се дефинирани насекаде и не секогаш.
Затоа, ние мора да го запишеме доменот на дефиниција одделно. Да не се делиме влакна и прво да ги запишеме сите барања:
Прво, аргументот на секој од логаритмите мора да биде поголем од 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Второ, основата не само што треба да биде поголема од 0, туку и да се разликува од 1:
x − 2 ≠ 1
Како резултат, го добиваме системот:
Но, не плашете се: кога се обработуваат логаритамски равенки, таков систем може значително да се поедностави.
Проценете сами: од една страна, од нас се бара квадратната функција да биде поголема од нула, а од друга страна, оваа квадратна функција е изедначена со одреден линеарен израз, кој исто така се бара да биде поголем од нула.
Во овој случај, ако бараме дека x − 2 > 0, тогаш барањето 2x 2 − 13x + 18 > 0 автоматски ќе биде исполнето. Затоа, можеме безбедно да ја пречкртаме неравенката што ја содржи квадратната функција. Така, бројот на изрази содржани во нашиот систем ќе се намали на три.
Се разбира, со истиот успех би можеле да ја пречкртаме линеарната неравенка, односно да пречкртаме x − 2 > 0 и да бараме 2x 2 − 13x + 18 > 0. Но, ќе се согласите дека решавањето на наједноставната линеарна неравенка е многу побрзо и поедноставно, отколку квадратно, дури и под услов како резултат на решавање на целиот овој систем да ги добиеме истите корени.
Во принцип, обидете се да ги оптимизирате пресметките секогаш кога е можно. И во случај на логаритамски равенки, пречкртајте ги најтешките неравенки.
Ајде да го преработиме нашиот систем:
Еве еден систем од три изрази, од кои два, всушност, веќе се занимававме. Ајде да ја запишеме квадратната равенка одделно и да ја решиме:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Пред нас е намален квадратен трином и, според тоа, можеме да ги користиме формулите на Виета. Добиваме:
(x − 5) (x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Сега се враќаме на нашиот систем и откриваме дека x = 2 не ни одговара, бидејќи од нас се бара x да биде строго поголем од 2.
Но, x = 5 ни одговара совршено: бројот 5 е поголем од 2, а во исто време 5 не е еднаков на 3. Затоа, единственото решение за овој систем ќе биде x = 5.
Тоа е тоа, проблемот е решен, вклучително и земајќи го предвид ОДЗ. Да преминеме на втората равенка. Повеќе интересни и информативни пресметки не очекуваат овде:
Првиот чекор: како и минатиот пат, целата оваа работа ја доведуваме во канонска форма. За да го направите ова, можеме да го напишеме бројот 9 на следниов начин:
Не мора да ја допирате основата со коренот, но подобро е да го трансформирате аргументот. Да преминеме од коренот кон моќта со рационален експонент. Ајде да запишеме:
Да не ја препишувам целата наша голема логаритамска равенка, туку веднаш да ги изедначам аргументите:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Пред нас е ново намален квадратен трином, да ги искористиме формулите на Виета и да напишеме:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Значи, ги добивме корените, но никој не ни гарантира дека ќе одговараат на првобитната логаритамска равенка. На крајот на краиштата, знаците за дневници наметнуваат дополнителни ограничувања (тука требаше да го запишеме системот, но поради гломазната природа на целата структура, решив да го пресметам доменот на дефиниција одделно).
Пред сè, запомнете дека аргументите мора да бидат поголеми од 0, имено:
Тоа се барањата наметнати од опсегот на дефиницијата.
Веднаш да забележиме дека со оглед на тоа што ги поистоветуваме првите два изрази на системот еден со друг, можеме да прецртаме кој било од нив. Ајде да го пречкртаме првиот бидејќи изгледа позаканувачки од вториот.
Дополнително, забележете дека решението на втората и третата неравенка ќе бидат истите множества (коцката на некој број е поголема од нула, ако самиот овој број е поголем од нула; слично, со корен од третиот степен - овие неравенки се целосно аналогни, па можеме да го пречкртаме).
Но, со третата нееднаквост ова нема да функционира. Ајде да се ослободиме од радикалниот знак лево со подигање на двата дела на коцка. Добиваме:
Значи, ги добиваме следниве барања:
− 2 ≠ x > −3
Кој од нашите корени: x 1 = −3 или x 2 = −1 ги исполнува овие барања? Очигледно, само x = −1, бидејќи x = −3 не ја задоволува првата неравенка (бидејќи нашата неравенка е строга). Значи, враќајќи се на нашиот проблем, добиваме еден корен: x = −1. Тоа е тоа, проблемот е решен.
Уште еднаш, клучните точки на оваа задача:
- Слободно применувајте и решавајте логаритамски равенки користејќи канонска форма. Учениците кои прават таква нотација, наместо директно да се префрлат од првичниот проблем на конструкција како log a f (x) = b, прават многу помалку грешки од оние кои брзаат некаде, прескокнувајќи ги средните чекори на пресметките;
- Штом променлива основа се појави во логаритам, проблемот престанува да биде наједноставен. Затоа, при неговото решавање, потребно е да се земе предвид доменот на дефиниција: аргументите мора да бидат поголеми од нула, а основите не само што треба да бидат поголеми од 0, туку не смеат да бидат и еднакви на 1.
Конечните барања може да се применат на конечните одговори на различни начини. На пример, можете да решите цел систем кој ги содржи сите барања за доменот на дефиниција. Од друга страна, прво можете да го решите самиот проблем, а потоа да го запомните доменот на дефиниција, одделно да го разработите во форма на систем и да го примените на добиените корени.
Кој метод да го изберете при решавање на одредена логаритамска равенка зависи од вас. Во секој случај, одговорот ќе биде ист.
Како што знаете, кога се множат изразите со моќи, нивните експоненти секогаш се собираат (a b *a c = a b+c). Овој математички закон бил изведен од Архимед, а подоцна, во 8 век, математичарот Вирасен создал табела со цели броеви експоненти. Токму тие служеа за понатамошно откривање на логаритми. Примери за користење на оваа функција може да се најдат речиси насекаде каде што треба да го поедноставите незгодното множење со едноставно собирање. Ако потрошите 10 минути читајќи ја оваа статија, ќе ви објасниме што се логаритми и како да работите со нив. На едноставен и достапен јазик.
Дефиниција во математиката
Логаритам е израз на следнава форма: log a b=c, односно логаритам на кој било ненегативен број (т.е. кој било позитивен) „b“ до неговата основа „a“ се смета за моќност „c “ на која мора да се подигне основата „а“ за на крај да се добие вредноста „б“. Да го анализираме логаритамот користејќи примери, да речеме дека има израз log 2 8. Како да го најдеме одговорот? Многу е едноставно, треба да најдете моќност така што од 2 до потребната моќност ќе добиете 8. Откако ќе направите некои пресметки во вашата глава, го добиваме бројот 3! И тоа е точно, бидејќи 2 на сила од 3 го дава одговорот како 8.
Видови логаритми
За многу ученици и студенти, оваа тема изгледа комплицирана и неразбирлива, но всушност логаритмите не се толку страшни, главната работа е да се разбере нивното општо значење и да се запамети нивните својства и некои правила. Постојат три посебни типа на логаритамски изрази:
- Природен логаритам ln a, каде што основата е Ојлеровиот број (e = 2,7).
- Децимална а, каде што основата е 10.
- Логаритам на кој било број b до основа a>1.
Секој од нив е решен на стандарден начин, вклучувајќи поедноставување, намалување и последователно намалување на еден логаритам користејќи логаритамски теореми. За да ги добиете точните вредности на логаритмите, треба да ги запомните нивните својства и редоследот на дејства кога ги решавате.
Правила и некои ограничувања
Во математиката има неколку правила-ограничувања кои се прифаќаат како аксиома, односно не се предмет на дискусија и се вистина. На пример, невозможно е да се делат броевите со нула, а исто така е невозможно да се извлече парен корен на негативните броеви. Логаритмите исто така имаат свои правила, според кои можете лесно да научите да работите дури и со долги и обемни логаритамски изрази:
- Основата „а“ мора секогаш да биде поголема од нула, а не еднаква на 1, во спротивно изразот ќе го изгуби своето значење, бидејќи „1“ и „0“ во кој било степен се секогаш еднакви на нивните вредности;
- ако a > 0, тогаш a b >0, излегува дека „c“ исто така мора да биде поголемо од нула.
Како да се решат логаритми?
На пример, задачата е да се најде одговорот на равенката 10 x = 100. Ова е многу лесно, треба да изберете моќност со подигање на бројот десет до кој добиваме 100. Ова, се разбира, е 10 2 = 100.
Сега да го претставиме овој израз во логаритамска форма. Добиваме лог 10 100 = 2. При решавање на логаритми, сите дејства практично се спојуваат за да се најде моќта до која е потребно да се внесе основата на логаритмот за да се добие даден број.
За точно да ја одредите вредноста на непознат степен, треба да научите како да работите со табела со степени. Изгледа вака:
Како што можете да видите, некои експоненти може да се погодат интуитивно ако имате технички ум и познавање на табелата за множење. Сепак, за поголеми вредности ќе ви треба маса за напојување. Може да се користи дури и од оние кои воопшто не знаат ништо за сложени математички теми. Левата колона содржи броеви (основа а), горниот ред на броеви е вредноста на моќта c до која е подигнат бројот a. На пресекот, ќелиите ги содржат нумеричките вредности кои се одговорот (a c =b). Да ја земеме, на пример, првата ќелија со бројот 10 и да ја квадратиме, ја добиваме вредноста 100, што е означено на пресекот на нашите две ќелии. Сè е толку едноставно и лесно што дури и највистинскиот хуманист ќе разбере!
Равенки и неравенки
Излегува дека под одредени услови експонентот е логаритам. Затоа, секој математички нумерички израз може да се запише како логаритамска еднаквост. На пример, 3 4 = 81 може да се запише како основен 3 логаритам од 81 еднаков на четири (лог 3 81 = 4). За негативните сили правилата се исти: 2 -5 = 1/32 го пишуваме како логаритам, добиваме лог 2 (1/32) = -5. Еден од најфасцинантните делови од математиката е темата „логаритми“. Примери и решенија на равенки ќе ги разгледаме подолу, веднаш по проучувањето на нивните својства. Сега да погледнеме како изгледаат неравенките и како да ги разликуваме од равенките.
Даден е следниот израз: log 2 (x-1) > 3 - тоа е логаритамска неравенка, бидејќи непознатата вредност „x“ е под логаритамскиот знак. И, исто така, во изразот се споредуваат две величини: логаритамот на саканиот број до основата два е поголем од бројот три.
Најважната разлика помеѓу логаритамските равенки и неравенките е тоа што равенките со логаритми (на пример, логаритмот 2 x = √9) подразбираат една или повеќе специфични нумерички вредности во одговорот, додека при решавање на неравенки, и опсегот на прифатливи вредностите и точките се одредуваат кршејќи ја оваа функција. Како последица на тоа, одговорот не е едноставно збир на поединечни броеви, како во одговорот на равенката, туку континуирана серија или збир на броеви.
Основни теореми за логаритми
При решавање на примитивни задачи за пронаоѓање на вредностите на логаритамот, неговите својства можеби не се познати. Меѓутоа, кога станува збор за логаритамски равенки или неравенки, пред сè, потребно е јасно да се разберат и да се применат во пракса сите основни својства на логаритмите. Ќе разгледаме примери на равенки подоцна; ајде прво да го разгледаме секое својство подетално.
- Главниот идентитет изгледа вака: a logaB =B. Се применува само кога a е поголемо од 0, не е еднакво на еден, а B е поголемо од нула.
- Логаритмот на производот може да се претстави во следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Во овој случај, задолжителен услов е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказ за оваа логаритамска формула, со примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2, потоа a f1 = s 1, a f2 = s 2. Добиваме дека s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (својства на степени ), а потоа по дефиниција: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, што требаше да се докаже.
- Логаритмот на количникот изгледа вака: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Теоремата во форма на формула го добива следниот облик: log a q b n = n/q log a b.
Оваа формула се нарекува „својство на степенот на логаритам“. Наликува на својствата на обичните степени и не е изненадувачки, бидејќи целата математика се заснова на природни постулати. Да го погледнеме доказот.
Нека log a b = t, излегува a t =b. Ако двата дела ги подигнеме до моќноста m: a tn = b n ;
но бидејќи a tn = (a q) nt/q = b n, затоа log a q b n = (n*t)/t, тогаш log a q b n = n/q log a b. Теоремата е докажана.
Примери на проблеми и нееднаквости
Најчестите типови на проблеми на логаритми се примери на равенки и неравенки. Ги има во речиси сите проблематични книги, а се задолжителен дел и од испитите по математика. За да влезете на универзитет или да положите приемни испити по математика, треба да знаете како правилно да ги решите таквите задачи.
За жал, не постои единствен план или шема за решавање и одредување на непознатата вредност на логаритамот, но одредени правила може да се применат за секоја математичка неравенка или логаритамска равенка. Пред сè, треба да откриете дали изразот може да се поедностави или сведе на општа форма. Можете да ги поедноставите долгите логаритамски изрази ако правилно ги користите нивните својства. Ајде брзо да ги запознаеме.
Кога решаваме логаритамски равенки, мора да одредиме каков тип на логаритам имаме: примерен израз може да содржи природен логаритам или децимален.
Еве примери ln100, ln1026. Нивното решение се сведува на фактот дека тие треба да ја одредат моќноста на која основата 10 ќе биде еднаква на 100 и 1026, соодветно. За да ги решите природните логаритми, треба да примените логаритамски идентитети или нивните својства. Ајде да погледнеме примери за решавање на логаритамски проблеми од различни типови.
Како да користите логаритамски формули: со примери и решенија
Значи, ајде да погледнеме примери за користење на основните теореми за логаритми.
- Својството на логаритмот на производот може да се користи во задачи каде што е потребно да се разложи голема вредност на бројот b на поедноставни фактори. На пример, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Одговорот е 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - како што можете да видите, користејќи го четвртото својство на логаритамската моќ, успеавме да решиме навидум сложен и нерешлив израз. Треба само да ја факторингирате основата и потоа да ги извадите вредностите на експонентот од знакот на логаритамот.
Задачи од Единствениот државен испит
Логаритмите често се среќаваат на приемните испити, особено многу логаритамски проблеми на Единствениот државен испит (државен испит за сите матуранти). Вообичаено, овие задачи се присутни не само во делот А (најлесниот тест дел од испитот), туку и во делот В (најсложените и најобемните задачи). Испитот бара точно и совршено познавање на темата „Природни логаритми“.
Примери и решенија за проблемите се земени од официјалните верзии на Единствениот државен испит. Ајде да видиме како се решаваат ваквите задачи.
Даден е лог 2 (2x-1) = 4. Решение:
ајде да го преработиме изразот, поедноставувајќи го малку log 2 (2x-1) = 2 2, со дефиниција на логаритамот добиваме дека 2x-1 = 2 4, значи 2x = 17; x = 8,5.
- Најдобро е да ги намалите сите логаритми на иста основа за решението да не биде гломазно и збунувачки.
- Сите изрази под знакот логаритам се означени како позитивни, затоа, кога експонентот на изразот што е под знакот логаритам и како негова основа се извади како множител, изразот што останува под логаритам мора да биде позитивен.
Се вчитува...