Како да се решат равенките со помош на методот на замена. Решавање системи на равенки. Едноставни и сложени методи за решавање системи на равенки
2. Начин на алгебарско собирање.
3. Начин на воведување нова променлива (метод на замена на променливата).
Дефиниција:Систем од равенки се однесува на неколку равенки за една или повеќе променливи кои мора да се извршат истовремено, т.е. со исти вредности на променливите за сите равенки. Равенките во системот се комбинираат со системски знак - кадрава заграда.
Пример 1:
- систем од две равенки со две променливи xИ y.
Решението за системот се корените. Кога овие вредности се заменети, равенките стануваат вистински идентитети:
Решавање системи на линеарни равенки.
Најчестиот метод за решавање на систем е методот на замена.
Метод на замена.
Методот на замена за решавање на системи на равенки е да се изрази променлива од една равенка на системот во однос на други, и да се замени овој израз со останатите равенки на системот наместо изразената променлива.
Пример 2:
Решете го системот на равенки:
Решение:
Даден е систем на равенки и тој треба да се реши со методот на замена.
Да ја изразиме променливата yод втората равенка на системот.
Коментар:„Изразување променлива“ значи трансформирање на еднаквоста така што оваа променлива останува лево од знакот за еднаквост со коефициент 1, а сите други поими се движат на десната страна на еднаквоста.
Втора равенка на системот:
Да оставиме само лево y:
И да го замениме (оттука доаѓа името на методот) во првата равенка наместо наизразот на кој е еднаков, т.е. .
Првата равенка:
Ајде да замениме: 
Ајде да ја решиме оваа банална квадратна равенка. За оние кои заборавиле како да го направат ова, постои статија Решавање квадратни равенки. . 
Значи променливите вредности xпронајден.
Ајде да ги замениме овие вредности во изразот за променливата y. Тука има две значења x, т.е. за секој од нив треба да најдете вредност y .
1) Нека
Го заменуваме во изразот.
2) Нека
Го заменуваме во изразот.
Сè може да се одговори:
Коментар:Во овој случај, одговорот треба да се запише во парови за да не се збуни која вредност на променливата y одговара на која вредност на променливата x.
Одговор:
Коментар:Во примерот 1, само еден пар е означен како решение на системот, т.е. овој пар е решение за системот, но не и целосно. Затоа, како да се реши равенка или систем значи да се означи решението и да се покаже дека нема други решенија. И еве уште еден пар.
Ајде да го формализираме решението за овој систем во училишен стил:
Коментар:Знакот „“ значи „еквивалентно“, т.е. следниот систем или израз е еквивалентен на претходниот.
Дозволете ни да анализираме два вида решенија на системи на равенки:
1. Решавање на системот со методот на замена.
2. Решавање на системот со собирање (одземање) член по член на системските равенки.
Со цел да се реши системот на равенки со метод на заменатреба да следите едноставен алгоритам:
1. Изрази. Од која било равенка изразуваме една променлива.
2. Замена. Добиената вредност ја заменуваме со друга равенка наместо изразената променлива.
3. Решете ја добиената равенка со една променлива. Наоѓаме решение за системот.
Да се реши систем по метод на собирање (одземање) термин по членмора да:
1. Изберете променлива за која ќе направиме идентични коефициенти.
2. Додаваме или одземаме равенки, што резултира со равенка со една променлива.
3. Решете ја добиената линеарна равенка. Наоѓаме решение за системот.
Решението на системот е пресечните точки на графиконите на функциите.
Дозволете ни да го разгледаме детално решението на системите користејќи примери.
Пример #1:
Ајде да решиме со метод на замена
Решавање на систем од равенки со помош на методот на замена2x+5y=1 (1 равенка)
x-10y=3 (втора равенка)
1. Изрази
Се гледа дека во втората равенка има променлива x со коефициент 1, што значи дека најлесно е да се изрази променливата x од втората равенка.
x=3+10y
2. Откако ќе го изразиме, наместо променливата x, заменуваме 3+10y во првата равенка.
2(3+10г)+5г=1
3. Решете ја добиената равенка со една променлива.
2(3+10y)+5y=1 (отворете ги заградите)
6+20г+5г=1
25г=1-6
25г=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решението на системот за равенки се пресечните точки на графиците, затоа треба да ги најдеме x и y, бидејќи пресечната точка се состои од x и y. Да го најдеме x, во првата точка каде што го изразивме го заменуваме y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Вообичаено е да се пишуваат точки на прво место ја пишуваме променливата x, а на второ променливата y.
Одговор: (1; -0,2)
Пример #2:
Ајде да решиме со методот на собирање (одземање) термин по член.
Решавање на систем од равенки со помош на методот на собирање3x-2y=1 (1 равенка)
2x-3y=-10 (втора равенка)
1. Избираме променлива, да речеме дека избираме x. Во првата равенка, променливата x има коефициент 3, во втората - 2. Треба да ги направиме коефициентите исти, за ова имаме право да ги помножиме равенките или да ги делиме со кој било број. Првата равенка ја помножуваме со 2, а втората со 3 и добиваме вкупен коефициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Од првата равенка одземете ја втората за да се ослободите од променливата x. Решете ја линеарната равенка.
__6x-4y=2
5г=32 | :5
y=6,4
3. Најдете x. Пронајденото y го заменуваме со која било од равенките, да речеме во првата равенка.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Пресечната точка ќе биде x=4,6; y=6,4
Одговор: (4.6; 6.4)
Дали сакате да се подготвите за испити бесплатно? Тутор онлајн бесплатно. Не се шегувам.
Во овој случај, погодно е да се изрази x во однос на y од втората равенка на системот и да се замени добиениот израз наместо x во првата равенка:
Првата равенка е равенка со една променлива y. Ајде да го решиме:
5 (7-3г)-2г = -16
Добиената вредност y ја заменуваме во изразот за x:
Одговор: (-2; 3).
Во овој систем, полесно е да се изрази y во однос на x од првата равенка и да се замени добиениот израз наместо y во втората равенка:
Втората равенка е равенка со една променлива x. Ајде да го решиме:
3x-4 (-1,5-3,5x)=23
Во изразот за y, наместо x, заменуваме x=1 и наоѓаме y:
Одговор: (1; -5).
Овде е попогодно да се изрази y во однос на x од втората равенка (бидејќи делењето со 10 е полесно отколку делењето со 4, -9 или 3):
Да ја решиме првата равенка:
4x-9(1,6-0,3x)= -1
4x-14,4+2,7x= -1
Заменете го x=2 и најдете y:
Одговор: (2; 1).
Пред да се примени методот на замена, овој систем треба да се поедностави. Двете страни на првата равенка може да се помножат со најмал заеднички именител, во втората равенка ги отвораме заградите и прикажуваме слични поими:
Добивме систем на линеарни равенки со две променливи. Сега да ја примениме замената. Удобно е да се изрази a преку b од втората равенка:
Ја решаваме првата равенка на системот:
3 (21,5 + 2,5б) - 7б = 63
Останува да се најде вредноста на:
Според правилата за форматирање, одговорот го запишуваме во загради одвоени со точка-запирка по азбучен ред.
Одговор: (14; -3).
Кога се изразува една променлива преку друга, понекогаш е попогодно да се остави со одреден коефициент.
Обично равенките на системот се пишуваат во колона една под друга и се комбинираат со кадрава заграда
Систем на равенки од овој тип, каде а, б, в- бројки и x, y- се нарекуваат променливи систем на линеарни равенки.
При решавање на систем од равенки се користат својства кои важат за решавање равенки.
Решавање на систем од линеарни равенки со помош на методот на замена
Ајде да погледнеме на пример 
1) Изрази ја променливата во една од равенките. На пример, да се изразиме yво првата равенка го добиваме системот:
2) Заменете во втората равенка на системот наместо yизразување 3x-7:
3) Решете ја добиената втора равенка:
4) Добиеното решение го заменуваме во првата равенка на системот:
Системот на равенки има единствено решение: пар броеви x=1, y=-4. Одговор: (1; -4) , напишано во загради, на првата позиција вредноста x, На вториот - y.
Решавање систем на линеарни равенки со собирање
Да го решиме системот на равенки од претходниот пример метод на додавање.
1) Трансформирајте го системот така што коефициентите за една од променливите ќе станат спротивни. Да ја помножиме првата равенка на системот со „3“.
2) Додадете ги равенките на системот член по член. Втората равенка на системот (било која) ја препишуваме без промени.
3) Добиеното решение го заменуваме во првата равенка на системот:
Решавање на систем од линеарни равенки графички
Графичкото решение на систем од равенки со две променливи се сведува на наоѓање на координатите на заедничките точки на графиците на равенките.
Графикот на линеарна функција е права линија. Две прави на рамнината може да се сечат во една точка, да бидат паралелни или да се совпаѓаат. Според тоа, системот на равенки може: а) да има единствено решение; б) немаат решенија; в) имаат бесконечен број решенија.
2) Решението на системот равенки е точката (ако равенките се линеарни) на пресекот на графиконите.
Графичко решение на системот
Метод за воведување нови променливи
Менувањето на променливите може да доведе до решавање на поедноставен систем на равенки од оригиналниот.
Размислете за решението на системот
Ајде да ја претставиме замената, тогаш
Да преминеме на почетните променливи
Посебни случаи
Без да решавате систем на линеарни равенки, можете да го одредите бројот на неговите решенија од коефициентите на соодветните променливи.
Систем на линеарни равенки со две непознати се две или повеќе линеарни равенки за кои е неопходно да се најдат сите нивни заеднички решенија. Ќе разгледаме системи од две линеарни равенки во две непознати. Општиот приказ на систем од две линеарни равенки со две непознати е претставен на сликата подолу:
(a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2
Овде x и y се непознати променливи, a1, a2, b1, b2, c1, c2 се некои реални броеви. Решение на систем од две линеарни равенки во две непознати е пар броеви (x,y) така што ако ги замениме овие броеви во равенките на системот, тогаш секоја од равенките на системот се претвора во вистинска равенка. Размислете за еден од начините за решавање на систем на линеарни равенки, имено методот на замена.
Алгоритам за решение со метод на замена
Алгоритам за решавање на систем од линеарни равенки со помош на методот на замена:
1. Изберете една равенка (подобро е да ја изберете онаа каде што броевите се помали) и изразете една променлива од неа во однос на друга, на пример, x во однос на y. (исто така можете да користите y преку x).
2. Заменете го добиениот израз наместо соодветната променлива со друга равенка. Така, добиваме линеарна равенка со една непозната.
3. Решете ја добиената линеарна равенка и добијте решение.
4. Добиеното решение го заменуваме со изразот добиен во првиот став, а од решението ја добиваме втората непозната.
5. Проверете го добиениот раствор.
Пример
За да биде појасно, да решиме мал пример.
Пример 1.Решете го системот на равенки:
(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18
Решение:
1. Од првата равенка на овој систем ја изразуваме променливата x. Имаме x= (12 -2*y);
2. Заменете го овој израз во втората равенка, добиваме 2*x-3*y=-18; 2 * (12 -2 * y) - 3 * y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;
3. Решете ја добиената линеарна равенка: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;
4. Добиениот резултат заменете го со изразот добиен во првиот став. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;
5. Го проверуваме добиеното решение, за да го направите ова, пронајдените броеви ги заменуваме во оригиналниот систем.
(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;
{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;
{12 =12;
{-18=-18;
Ги добивме точните еднаквости, затоа, правилно го најдовме решението.
Се вчитува...