Кои се случаите на релативна положба на права линија и рамнина. Релативната положба на права линија и рамнина, две рамнини. Призма. Дефиниција. Елементи. Видови призми

Правата линија може или не мора да припаѓа на рамнина. Припаѓа на авион ако најмалку две негови точки лежат на рамнината. Слика 93 ја прикажува рамнината на сумата (axb).Директно лприпаѓа на рамнината на сумата, бидејќи нејзините точки 1 и 2 припаѓаат на оваа рамнина.

Ако правата не припаѓа на рамнината, таа може да биде паралелна со неа или да ја пресече.

Правата е паралелна на рамнината ако е паралелна со друга права што лежи во таа рамнина. На слика 93 има права линија m || Збир, бидејќи е паралелна со правата лкои припаѓаат на овој авион.

Правата линија може да пресече рамнина под различни агли и, особено, да биде нормална на неа. Конструкцијата на линии на пресек на права линија и рамнина е дадена во §61.

Слика 93 - Права линија што припаѓа на рамнина

Точка во однос на рамнината може да се наоѓа на следниов начин: припаѓаат на неа или не припаѓаат на неа. Точка припаѓа на рамнина ако се наоѓа на права линија која се наоѓа во оваа рамнина. Слика 94 покажува сложен цртеж на рамнината на сумата дефинирана со две паралелни прави лИ П.Во авионот има линија м.Точката А лежи во рамнината на сумата, бидејќи лежи на правата м.Точка ВОне припаѓа на рамнината, бидејќи нејзината втора проекција не лежи на соодветните проекции на линијата.

Слика 94 - Комплексен цртеж на рамнина дефинирана со две паралелни прави

Конусни и цилиндрични површини

Конусните површини вклучуваат површини формирани со движење на праволиниска генератрикс лпо заоблен водич м.Особеноста на формирањето на конусна површина е тоа што во овој случај една точка од генератриксот е секогаш неподвижна. Оваа точка е темето на конусната површина (Слика 95, А).Детерминантата на конусна површина го вклучува темето Си водич m,при што л"~S; л"^ м.

Цилиндрични површини се оние кои се формираат од права генератрикс / се движат по заоблен водич Тпаралелно со дадената насока С(Слика 95, б).Цилиндричната површина може да се смета како посебен случај на конусна површина со теме во бесконечност С.

Детерминантата на цилиндрична површина се состои од водилка Ти насоки формирање S л, додека л" || S; l"^m.

Ако генераторите на цилиндричната површина се нормални на проекциската рамнина, тогаш таквата површина се нарекува проектирање.На слика 95, Вприкажана е хоризонтално испакната цилиндрична површина.

На цилиндрични и конусни површини, дадените точки се конструирани со помош на генератрики што минуваат низ нив. Линии на површини, како што е линија Адо бројката 95, Вили хоризонтална чна слика 95, а, б,се конструирани со користење на поединечни точки кои припаѓаат на овие линии.

Слика 95 - Конусни и цилиндрични површини

Површини на торзото

Површината на торзото е површина формирана од праволиниска генератрикс л, допирајќи при неговото движење во сите негови позиции некоја просторна крива Т,повикани повратен раб(Слика 96). Повратниот раб целосно го дефинира торзото и е геометриски дел од детерминантата на површината. Алгоритамскиот дел е показател за тангенцијата на генераторите до рабовите.

Конусна површина е посебен случај на торзото, кое има повратен раб Тдегенериран во точка С- врвот на конусната површина. Цилиндрична површина е посебен случај на торзо, чиј повратен раб е точка во бесконечност.

Слика 96 – Површина на торзото

Фацетирани површини

Фацетираните површини вклучуваат површини формирани со движење на праволиниска генератрикс лпо скршен водич м.Покрај тоа, ако една точка Сгенератриксот е неподвижен, се создава пирамидална површина (Слика 97), ако генератриксот е паралелен со дадена насока при движење С,тогаш се создава призматична површина (слика 98).

Елементите на фацетираните површини се: теме С(во близина на призматична површина е на бесконечност), лице (дел од рамнината ограничен со еден дел од водичот ми екстремните позиции на генератриксот во однос на него л) и раб (линија на пресек на соседните лица).

Детерминантата на пирамидалната површина го вклучува темето С,низ кој минуваат генераторите и водилките: л" ~ S; л^ Т.

Детерминанта на призматична површина освен водилка Т,содржи насока С,на кои сите генератори се паралелни лповршини: l||S; л^ т.

Слика 97 - Површина на пирамидата

Слика 98 - Призматична површина

Затворените фацетирани површини формирани од одреден број (најмалку четири) лица се нарекуваат полиедри. Од многуедрите се издвојува група правилни полиедри во кои сите лица се правилни и складни многуаголници, а многуедарните агли на темињата се конвексни и содржат ист број на лица. На пример: хексаедрон - коцка (Слика 99, А),тетраедар - правилен четириаголник (слика 99, 6) октаедар - полиедар (Слика 99, V).Кристалите имаат форма на различни полиедри.

Слика 99 - Полиедра

Пирамида- полиедар, чија основа е произволен многуаголник, а страничните лица се триаголници со заедничко теме С.

Во сложениот цртеж, пирамидата се дефинира со проекции на нејзините темиња и рабови, земајќи ја предвид нивната видливост. Видливоста на раб се одредува со користење на конкурентни точки (Слика 100).

Слика 100 – Одредување на видливоста на рабовите со користење на натпреварувачки точки

Призма- многуедар чија основа се два идентични и меѓусебно паралелни многуаголници, а страничните страни се паралелограми. Ако рабовите на призмата се нормални на рамнината на основата, таквата призма се нарекува права. Ако рабовите на призмата се нормални на која било проекција рамнина, тогаш странична површинатоа се нарекува проектирање. Слика 101 покажува сеопфатен цртеж на правоаголна четириаголна призма со хоризонтално испакната површина.

Слика 101 - Комплексен цртеж на десна четириаголна призма со хоризонтално испакната површина

Кога работите со сложен цртеж на полиедар, треба да изградите линии на неговата површина, а бидејќи линијата е збир на точки, треба да можете да изградите точки на површината.

Секоја точка на фацетирана површина може да се конструира со помош на генератрикс што минува низ оваа точка. На сликата има 100 во лицето ACSизградена точка Мкористејќи генератрикс С-5.

Спирални површини

Спиралните површини вклучуваат површини создадени со спирално движење на праволиниска генератрикс. Управуваните спирални површини се нарекуваат хеликоиди.

Прав хеликоид се формира со движење на праволиниска генератрикс јаспо две водилки: спирала Ти неговите оски јас; додека се формира лја пресекува оската на завртката под прав агол (Слика 102, а). Прав хеликоид се користи за создавање спирални скали, шнекови, како и електрични навои во машински алати.

Наклонет хеликоид се формира со поместување на генератриксот по водилка за завртка Ти неговите оски јастака што генераторот лја преминува оската јаспод константен агол φ, различен од права линија, т.е. во која било положба генератриксот лпаралелно со една од генератриките на водечкиот конус со агол на врвот еднаков на 2φ (Слика 102, б).Наклонетите хеликоиди ги ограничуваат површините на нишките.

Слика 102 - Хеликоиди

Површини на револуција

Површините на револуција вклучуваат површини формирани со ротирање на линија л околу права линија јас , што е оската на ротација. Тие можат да бидат линеарни, како што е конус или цилиндар на револуција, и нелинеарни или криви, како што е сфера. Детерминантата на површината на револуцијата ја вклучува генератриксот л и оска јас . За време на ротацијата, секоја точка на генератриксот опишува круг, чија рамнина е нормална на оската на ротација. Таквите кругови на површината на револуцијата се нарекуваат паралели. Најголемата од паралелите се нарекува екватор.Екваторот ја одредува хоризонталната контура на површината ако i _|_ P 1 . Во овој случај, паралелите се хоризонталите на оваа површина.

Кривите на површината на вртење што произлегуваат од пресекот на површината со рамнините што минуваат низ оската на ротација се нарекуваат меридијани.Сите меридијани на една површина се складни. Фронталниот меридијан се нарекува главен меридијан; го одредува фронталниот преглед на површината на ротација. Меридијанот на профилот го одредува прегледот на профилот на површината на ротација.

Најпогодно е да се изгради точка на заоблени површини на вртење користејќи површински паралели. На сликата има 103 поени Мизградена на паралелна h4.

Слика 103 – Конструирање точка на крива површина

Површините на револуцијата најдоа најширока примена во технологијата. Тие ги ограничуваат површините на повеќето инженерски делови.

Конусна површина на вртење се формира со ротирање права линија јасоколу правата линија што се вкрстува со неа - оската јас(Слика 104, А). Точка Мна површината се конструира со помош на генератрикс ли паралели ч.Оваа површина се нарекува и конус на револуција или десен кружен конус.

Цилиндрична површина на вртење се формира со ротирање права линија локолу оската паралелна со неа јас(Слика 104, б).Оваа површина се нарекува и цилиндар или десен кружен цилиндар.

Сфера се формира со ротирање на круг околу неговиот дијаметар (Слика 104, В). Точката А на површината на сферата припаѓа на главниот меридијан ѓ,точка ВО- екватор ч,точка Мизградена на помошна паралела ж“.

Слика 104 - Формирање на површини на револуција

Торус се формира со ротирање на круг или негов лак околу оската што лежи во рамнината на кругот. Ако оската се наоѓа во рамките на добиениот круг, тогаш таков торус се нарекува затворен (Слика 105, а). Ако оската на ротација е надвор од кругот, тогаш таков торус се нарекува отворен (Слика 105, б).Отворениот торус се нарекува и прстен.

Слика 105 – Формирање на торус

Површините на револуција може да се формираат и од други кривини од втор ред. Елипсоид на ротација (Слика 106, А)формирана со ротирање на елипса околу една од нејзините оски; параболоид на револуција (Слика 106, б) - ротација на параболата околу својата оска; хиперболоид на револуција со еден лист (Слика 106, В) се формира со ротирање на хипербола околу имагинарна оска и дволист (Слика 106, Г) - ротација на хиперболата околу реалната оска.

Слика 106 – Формирање на површини на вртење со криви од втор ред

Во општиот случај, површините се прикажани како неограничени во насока на ширење на генераторските линии (види слики 97, 98). За решенија конкретни задачии примање геометриски формиограничен на рамнините за сечење. На пример, за да се добие кружен цилиндар, неопходно е да се ограничи дел од цилиндричната површина на рамнините за сечење (види Слика 104, б).Како резултат на тоа, ги добиваме нејзините горни и долни основи. Ако рамнините за сечење се нормални на оската на ротација, цилиндерот ќе биде исправен, а ако не, цилиндерот ќе биде наклонет.

За да се добие кружен конус (види Слика 104, А), потребно е да се скрати долж врвот и пошироко. Ако рамнината на сечење на основата на цилиндерот е нормална на оската на ротација, конусот ќе биде исправен, ако не, ќе биде наклонет. Ако двете рамнини за сечење не поминат низ темето, конусот ќе биде скратен.

Користејќи ја исечената рамнина, можете да добиете призма и пирамида. На пример, хексагоналната пирамида ќе биде права ако сите нејзини рабови имаат ист наклон кон рамнината на сечењето. Во други случаи ќе биде косо. Доколку е завршена Сокористејќи рамнини за сечење и ниту една од нив не поминува низ темето - пирамидата е пресечена.

Призма (види Слика 101) може да се добие со ограничување на дел од призматската површина на две рамнини за сечење. Ако рамнината за сечење е нормална на рабовите на, на пример, октагонална призма, таа е права, ако не е нормална, таа е наклонета.

Со избирање на соодветната положба на рамнините за сечење, можете да добиете различни форми на геометриски фигури во зависност од условите на проблемот што се решава.

Далечински елемент.

далечински елемент.

• а) немаат заеднички точки;

Теорема.

Означување на парчиња

ГОСТ 2.305-2008 ги обезбедува следните барања за назначување на дел:

1. Положбата на рамнината за сечење е означена на цртежот со линија на пресек.

2. За линијата на пресекот треба да се користи отворена линија (дебелина од S до 1,5S, должина на линијата 8-20 mm).

3. Во случај на сложено сечење, ударите се прават и на пресекот на рамнините за сечење едни со други.

4. Стрелките треба да се постават на почетните и конечните удари што ја означуваат насоката на гледање, стрелките треба да бидат поставени на растојание од 2-3 mm од надворешниот крај на ударот.

5. Димензиите на стрелките мора да одговараат на оние прикажани на слика 14.

6. Почетните и завршните потези не треба да ја сечат контурата на соодветната слика.

7. На почетокот и на крајот на линијата на пресекот и, доколку е потребно, на пресекот на рамнините за сечење, поставете го истото голема букваРуска азбука. Буквите се поставени во близина на стрелките што ја означуваат насоката на гледање и на пресечните точки од надворешниот агол (Слика 24).

Слика 24 - Примери за означување на делот

8. Сечењето мора да биде означено со натпис како „AA“ (секогаш две букви одделени со цртичка).

9. Кога секантната рамнина се совпаѓа со рамнината на симетрија на објектот како целина, а соодветните слики се наоѓаат на истиот лист во директна проекција и не се одделени со други слики, за хоризонтални, фронтални и профилни делови, позицијата на секантната рамнина не е забележана, а засекот не е придружен со натпис.

10. Фронталните и профилните делови, по правило, добиваат позиција што одговара на онаа прифатена за дадена ставка на главната слика на цртежот.

11. Хоризонталните, фронталните и профилните делови може да се лоцираат на местото на соодветните главни погледи.

12. Дозволено е да се постави делот каде било во полето за цртање, како и со ротација со додавање на конвенционална графичка ознака - иконата „Ротирана“ (Слика 25).

Слика 25 - Графички симбол – икона „Ротирана“.

Означувањето на деловите е сличноознака на исечоци и се состои од траги на секантна рамнина и стрелка што ја покажува насоката на гледање, како и буква поставена на надворешната страна на стрелката (Слика 1в, Слика 3). Поместениот дел не е означен и рамнината за сечење не е прикажана ако линијата на пресекот се совпаѓа со оската на симетрија на делот, а самиот дел се наоѓа на продолжението на трагата на рамнината за сечење или во празнина помеѓу делови од погледот. За симетрично надредениот дел, рамнината за сечење исто така не е прикажана. Ако делот е асиметричен и се наоѓа во празнина или е надреден (слика 2 б), линијата на пресекот е нацртана со стрелки, но не е означена со букви.

Делот може да се позиционира со ротација, обезбедувајќи го натписот над делот со зборот „ротирано“. За неколку идентични делови поврзани со еден објект, линиите на пресекот се означени со иста буква и се црта еден дел. Во случаи кога делот се состои од посебни делови, треба да се користат исечоци.

Директно општа позиција

Права линија во општа положба (сл. 2.2) е права линија што не е паралелна со ниту една од дадените проекциони рамнини. Секој сегмент од таква права линија е проектиран искривено во даден систем на проекциони рамнини. Аглите на наклонетост на оваа права линија кон проекционите рамнини се исто така искривено проектирани.

Ориз. 2.2.

Директни приватни одредби
Линиите со одредена положба вклучуваат линии паралелни на една или две проекциски рамнини.
Секоја права (права или крива) паралелна на проекциската рамнина се нарекува линија на линија. Во инженерската графика, постојат три главни линии на нивоа: хоризонтални, фронтални и профилни линии.

Ориз. 2.3-а

Хоризонталната е која било линија паралелна на хоризонталната рамнина на проекции (сл. 2.3-а). Фронталната проекција на хоризонталата е секогаш нормална на комуникациските линии. Секој хоризонтален сегмент на хоризонталната проекција рамнина е проектиран до неговата вистинска големина. Вистинската величина се проектира на оваа рамнина и аголот на наклон на хоризонталната (права линија) до фронталната рамнина на проекции. Како пример, сл. 2.3-а покажува визуелна слика и сеопфатен хоризонтален цртеж ч, наклонет кон авионот П 2 под агол б .
Ориз. 2.3-б

Фронталот е линијата паралелна со фронталната рамнина на проекции (сл. 2.3-б). Хоризонталната проекција на предната страна е секогаш нормална на комуникациските линии. Секој сегмент од фронталот на фронталната рамнина на проекции е проектиран до неговата вистинска големина. Вистинската величина се проектира на оваа рамнина и аголот на наклон на фронталната (права линија) до хоризонталната рамнина на проекциите (агол а).
Ориз. 2,3-v

Профилна линија е линија паралелна на профилната рамнина на проекции (сл. 2.3-в). Хоризонталните и фронталните проекции на линијата на профилот се паралелни со линиите за поврзување на овие проекции. Секој сегмент од линијата на профилот (права линија) се проектира на профилната рамнина до нејзината вистинска големина. Аглите на наклонетост на правата линија на профилот кон проекционите рамнини се проектирани на истата рамнина во вистинска големина. П 1 и П 2. Кога одредувате линија на профилот во сложен цртеж, мора да наведете две точки од оваа линија.

Линиите на нивоа паралелни на две проекциски рамнини ќе бидат нормални на третата проекција рамнина. Таквите линии се нарекуваат линии за проектирање. Постојат три главни линии на проекција: хоризонтални, фронтални и профилни линии на проекција.
Ориз. 2,3-гр Ориз. 2.3-д Ориз. 2.3

Хоризонтално испакната права линија (сл. 2.3-г) е права линија нормална на рамнината П 1 . Секој сегмент од оваа линија е проектиран на рамнината П П 1 - до точка.

Фронтално проектираната права линија (сл. 2.H-e) се нарекува права линија нормална на рамнината П 2. Секој сегмент од оваа линија е проектиран на рамнината П 1 без изобличување, но во авион П 2 - до точка.

Профилот што проектира права линија (сл. 2.3-ѓ) е права линија нормална на рамнината П 3, т.е. права линија паралелна со проекционите рамнини П 1 и П 2. Секој сегмент од оваа линија е проектиран на рамнината П 1 и П 2 без изобличување, но во авион П 3 - до точка.

Главните линии во авионот

Меѓу правите линии што припаѓаат на рамнината, посебно место заземаат прави линии кои заземаат одредена позиција во просторот:

1. Хоризонтали h - прави линии што лежат во дадена рамнина и паралелни со хоризонталната рамнина на проекции (h//P1) (сл. 6.4).

Слика 6.4 Хоризонтална

2. Фронти f - прави линии, лоцирани во рамнината и паралелни со фронталната рамнина на проекции (f//P2) (сл. 6.5).

Слика 6.5 Предна страна

3. Правила на профил p - прави линии кои се во дадена рамнина и паралелни со профилната рамнина на проекции (p//P3) (сл. 6.6). Треба да се напомене дека трагите од авионот може да се припишат и на главните линии. Хоризонталната трага е хоризонталата на рамнината, фронталната е фронталната и профилот е линијата на профилот на рамнината.

Слика 6.6 Правилен профил

4. Линијата на најголемиот наклон и нејзината хоризонтална проекција формираат линеарен агол j, кој го мери диедралниот агол формиран од оваа рамнина и хоризонталната рамнина на проекции (сл. 6.7). Очигледно, ако права линија нема две заеднички точки со рамнина, тогаш таа е или паралелна со рамнината или ја пресекува.

Слика 6.7 Линија на најголем наклон

Кинематски метод на формирање на површината. Одредување површина на цртеж.

Во инженерската графика, површината се смета како збир на последователни позиции на линија што се движи во просторот според одреден закон. За време на формирањето на површината, линијата 1 може да остане непроменета или да ја промени својата форма.
За јасност на сликата на површината во сложен цртеж, препорачливо е графички да се определи законот за движење во форма на семејство на линии (a, b, c). Законот за движење на линијата 1 може да се определи со две (а и б) или една (а) права и дополнителни услови кои го појаснуваат законот за движење 1.
Подвижната линија 1 се нарекува генератрикс, фиксните линии a, b, c се нарекуваат водилки.
Да го разгледаме процесот на формирање на површината користејќи го примерот прикажан на сл. 3.1.
Тука како генератрица се зема правата линија 1. Законот за движење на генератриксот е даден со водилка a и права линија b. Ова значи дека генератриксот 1 се лизга по водилката a, останувајќи паралелна со правата линија b цело време.
Овој метод на формирање на површината се нарекува кинематичен. Со негова помош, можете да креирате и дефинирате различни површини на цртежот. Конкретно, на сл. 3.1 е прикажан најопштиот случај на цилиндрична површина.

Ориз. 3.1.

Друг начин да се формира површина и да се прикаже на цртеж е да се определи површината со збир на точки или линии што ѝ припаѓаат. Во овој случај, точките и линиите се избираат така што овозможуваат да се одреди обликот на површината со доволен степен на точност и да се решат разни проблеми на неа.
Множеството точки или линии што дефинираат површина се нарекува нејзина рамка.
Во зависност од тоа дали површинската рамка е дефинирана со точки или линии, рамките се делат на точкасти и линеарни.
Слика 3.2 покажува површинска рамка која се состои од две ортогонално лоцирани фамилии на линии a1, a2, a3, ..., an и b1, b2, b3, ..., bn.

Ориз. 3.2.

Конусни делови.

КОННИЧКИ СЕКЦИИ,рамни кривини кои се добиваат со пресекување на десниот кружен конус со рамнина што не минува низ неговото теме (сл. 1). Од гледна точка на аналитичката геометрија, конусниот пресек е локус на точки што задоволуваат равенка од втор ред. Освен за дегенерираните случаи дискутирани во последниот дел, конусните делови се елипсови, хиперболи или параболи.

Конусните делови често се наоѓаат во природата и технологијата. На пример, орбитите на планетите кои се вртат околу Сонцето имаат облик на елипса. Круг е посебен случај на елипса во која главната оска е еднаква на малата. Параболичното огледало има својство сите упадни зраци паралелно со неговата оска да се спојуваат во една точка (фокус). Ова се користи во повеќето рефлектирачки телескопи кои користат параболични огледала, како и во радарски антени и специјални микрофони со параболични рефлектори. Зрак од паралелни зраци произлегува од извор на светлина поставен во фокусот на параболичен рефлектор. Затоа параболичните ретровизори се користат во рефлектори со голема моќност и фарови на автомобилот. Хиперболата е график на многу важни физички врски, како што е Бојловиот закон (се однесува на притисокот и волуменот идеален гас) и Омовиот закон, кој ја одредува електричната струја како функција на отпорот при постојан напон.

РАНА ИСТОРИЈА

Откривачот на конусните делови наводно се смета за Менехм (IV век п.н.е.), ученик на Платон и учител на Александар Македонски. Менехм користел парабола и рамностран хипербола за да го реши проблемот со удвојување на коцка.

Расправи за конусни делови напишани од Аристеј и Евклид на крајот на IV век. п.н.е., биле изгубени, но материјалите од нив биле вклучени во познатите конусни пресеци на Аполониј од Перга (околу 260–170 п.н.е.), кои преживеале до денес. Аполониј го напуштил барањето секантната рамнина на генератриксот на конусот да биде нормална и, со менување на аголот на нејзиниот наклон, ги добил сите конусни пресеци од еден кружен конус, прави или наклонет. На Аполониј му ги должиме и современите имиња на криви - елипса, парабола и хипербола.

Во своите конструкции, Аполониј користел кружен конус со два листа (како на слика 1), така што за прв пат стана јасно дека хиперболата е крива со две гранки. Од времето на Аполониј, конусните делови се поделени на три вида во зависност од наклонот на рамнината на сечењето кон генератриксот на конусот. Елипса (слика 1а) се формира кога рамнината за сечење ги пресекува сите генератрики на конусот во точките на една од неговата празнина; парабола (сл. 1,б) - кога рамнината за сечење е паралелна со една од тангентните рамнини на конусот; хипербола (слика 1, в) - кога рамнината за сечење ги пресекува двете шуплини на конусот.

ИЗГРАДБА НА КОНСКИ ПРЕСЕКИ

Проучувајќи ги конусните пресеци како пресеци на рамнини и конуси, античките грчки математичари ги сметале и за траектории на точки на рамнина. Откриено е дека елипсата може да се дефинира како локус на точки, збирот на растојанијата од кои до две дадени точки е константен; парабола - како локус на точки на еднакво растојание од дадена точкаи дадена права линија; хипербола - како локус на точки, разликата во растојанија од кои до две дадени точки е константна.

Овие дефиниции на конусни пресеци како рамни криви, исто така, сугерираат метод за нивно конструирање со помош на истегната низа.

Елипса.

Ако краевите на конецот со дадена должина се фиксирани во точките F1 и F2 (слика 2), тогаш кривата опишана со точката на моливот што се лизга по цврсто испружена нишка има форма на елипса. Точките F1 и F2 се нарекуваат фокуси на елипсата, а отсечките V1V2 и v1v2 помеѓу точките на пресек на елипсата со координатните оски се главната и малата оска. Ако точките F1 и F2 се совпаѓаат, тогаш елипсата се претвора во круг.

оризот. 2 Елипса

Хипербола.

Кога се конструира хипербола, точката P, врвот на моливот, е фиксирана на конец, кој слободно се лизга по штипки инсталирани во точките F1 и F2, како што е прикажано на сл. 3, а. Растојанијата се избрани така што сегментот PF2 е подолг од сегментот PF1 за фиксна количина помала од растојанието F1F2. Во овој случај, едниот крај на конецот поминува под иглата F1 и двата краја на конецот поминуваат преку иглата F2. (Точката на моливот не треба да се лизга по конецот, затоа мора да се прицврсти така што ќе се направи мала јамка на конецот и ќе се провира точката низ неа.) Ние цртаме една гранка од хиперболата (PV1Q), внимавајќи да конецот останува затегнат во секое време, и повлекувајќи ги двата краја конецот надолу покрај точката F2, а кога точката P е под сегментот F1F2, држете го конецот на двата краја и внимателно гравирајте го (т.е. ослободувајќи го). Ја цртаме втората гранка на хиперболата (PўV2Qў), откако претходно ги сменивме улогите на пиновите F1 и F2.

оризот. 3 хипербола

Гранките на хиперболата се приближуваат до две прави линии кои се сечат помеѓу гранките. Овие линии, наречени асимптоти на хиперболата, се конструирани како што е прикажано на сл. 3, б. Аголните коефициенти на овие линии се еднакви на ± (v1v2)/(V1V2), каде што v1v2 е симетралниот сегмент на аголот помеѓу асимптотите, нормално на отсечката F1F2; отсечката v1v2 се нарекува конјугирана оска на хиперболата, а сегментот V1V2 е нејзината попречна оска. Така, асимптотите се дијагонали на правоаголник со страни кои минуваат низ четири точки v1, v2, V1, V2 паралелни со оските. За да го конструирате овој правоаголник, треба да ја наведете локацијата на точките v1 и v2. Тие се на исто растојание, еднакви

од пресечната точка на оските O. Оваа формула ја претпоставува конструкцијата правоаголен триаголниксо краци Ov1 и V2O и хипотенуза F2O.

Ако асимптотите на хиперболата се меѓусебно нормални, тогаш хиперболата се нарекува рамностран. Две хиперболи кои имаат заеднички асимптоти, но со преуредени попречни и конјугирани оски, се нарекуваат меѓусебно конјугирани.

Парабола.

Фокусите на елипсата и хиперболата му биле познати на Аполониј, но фокусот на параболата очигледно првпат бил воспоставен од Папус (втора половина на 3 век), кој ја дефинирал оваа крива како локус на точки што се подеднакво оддалечени од дадена точка (фокус) и дадена права линија, која се нарекува директор. Изградбата на парабола со истегната нишка, врз основа на дефиницијата за Папус, била предложена од Исидор од Милет (6 век). Да го поставиме линијарот така што неговиот раб да се совпаѓа со дирекцијата LLў (сл. 4) и да го прикачиме кракот AC од цртачкиот триаголник ABC на овој раб. Да го прицврстиме едниот крај на конецот со должина AB на темето B на триаголникот, а другиот во фокусот на параболата F. Откако ќе го повлечете конецот со врвот на моливот, притиснете го врвот во променливата точка P до слободен крак AB на триаголникот за цртање. Како што триаголникот се движи по линијарот, точката P ќе го опише лакот на параболата со фокус F и директна LLў, бидејќи вкупната должина на конецот е еднаква на AB, парчето конец е во непосредна близина на слободната катета на триаголникот. и затоа преостанатото парче конец PF мора да биде еднакво на преостанатите делови од кракот AB, т.е. PA. Точката на пресек на V на параболата со оската се нарекува теме на параболата, правата линија што минува низ F и V е оската на параболата. Ако се повлече права линија низ фокусот, нормална на оската, тогаш сегментот од оваа права линија отсечен од параболата се нарекува фокален параметар. За елипса и хипербола, фокалниот параметар се одредува слично.

ОДГОВОРИ НА БИЛЕТИТЕ: бр. 1 (не целосно), 2 (не целосно), 3 (не целосно), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (не целосно), 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 26,

Далечински елемент.

При изработка на цртежи, во некои случаи станува неопходно да се конструира дополнителна посебна слика на кој било дел од објектот што бара објаснување во однос на обликот, големината или други податоци. Оваа слика се нарекува далечински елемент.Обично се изведува зголемено. Деталите може да бидат поставени како приказ или како дел.

Кога се конструира звучен елемент, соодветното место на главната слика е означено со затворена цврста тенка линија, обично овална или круг, и е означено со голема буква од руската азбука на полицата на линијата на водечката линија. За далечинскиот елемент е направен запис од типот А (5:1). На сл. 191 покажува пример за имплементација на далечински елемент. Се поставува што е можно поблиску до соодветното место на сликата на објектот.

1. Метод на правоаголна (ортогонална) проекција. Основни непроменливи својства на правоаголната проекција. Epure Monge.

Ортогоналната (правоаголна) проекција е посебен случај на паралелна проекција, кога сите проектирани зраци се нормални на проекциската рамнина. Ортогоналните проекции ги имаат сите својства на паралелни проекции, но со правоаголна проекција, проекцијата на отсечка, доколку не е паралелна со проекциската рамнина, е секогаш помала од самата отсечка (сл. 58). Тоа се објаснува со тоа што самата отсечка во просторот е хипотенуза на правоаголен триаголник, а нејзината проекција е катета: А „В“ = ABcos a.

Со правоаголна проекција, прав агол се проектира во целосна големина кога двете страни од него се паралелни со проекциската рамнина, и кога само едната страна е паралелна со проекциската рамнина, а втората страна не е нормална на оваа проекција рамнина.

Релативната положба на права линија и рамнина.

Права линија и рамнина во вселената може:

• а) немаат заеднички точки;
• б) имаат точно една заедничка точка;
• в) имаат најмалку две заеднички точки.

На сл. 30 ги прикажува сите овие можности.

Во случај а) правата b е паралелна на рамнината: b || .

Во случајот б) права линија l ја пресекува рамнината во една точка O; l = О.

Во случај в) права линија a припаѓа на рамнината: a или a.

Теорема.Ако правата b е паралелна барем со една права a што припаѓа на рамнината, тогаш правата е паралелна со рамнината.

Да претпоставиме дека правата m ја сече рамнината во точката Q. Ако m е нормална на секоја права од рамнината што минува низ точката Q, тогаш правата m се вели дека е нормална на рамнината.

Трамвајските шини илустрираат дека правите линии припаѓаат на рамнината на земјата. Електричните водови се паралелни со рамнината на земјата, а стеблата на дрвјата се примери на прави линии што ја преминуваат површината на земјата, некои се нормални на рамнината на земјата, други не се нормални (коси).

Локација

Знак:ако права што не лежи во дадена рамнина е паралелна со некоја права што лежи во оваа рамнина, тогаш таа е паралелна со дадената рамнина.

1. ако рамнина минува низ дадена права паралелна на друга рамнина и ја пресекува оваа рамнина, тогаш правата на пресек на рамнините е паралелна со дадената права.

2. ако една од 2-те прави е паралелна на дадена, тогаш и другата права е или паралелна на дадена рамнина или лежи во оваа рамнина.

МЕЃУСЕБНА ПОЛОЖБА НА АВИОНИТЕ. ПАРАЛЕЛНОСТ НА РАМИНИ

Локација

1. авионите имаат најмалку 1 заедничка точка, т.е. се сечат во права линија

2. рамнините не се сечат т.е. немаат 1 заедничка точка и во тој случај се нарекуваат паралелни.

знак

ако 2 пресечни прави од 1 рамнина се соодветно паралелни со 2 прави од друга рамнина, тогаш овие рамнини се паралелни.

Свети

1. ако 2 паралелни рамнини се сечат 3, тогаш правите на нивното вкрстување се паралелни

2. отсечки од паралелни прави содржани меѓу паралелни рамнини се еднакви.

ПЕРПЕНДИКУЛАРНОСТ НА ПРАВИЛНИЦИ И РАМНИНИ. ЗНАК ЗА ПЕРЕПЕНДИКУЛАРНОСТ НА ПРАВИЛНИ И РАМНИНИ.

Директни имиња нормално, ако се вкрстуваат под<90.

Лема:Ако 1 од 2 паралелни прави е нормална на третата права, тогаш другата права е нормална на оваа права.

Правата линија се вели дека е нормална на рамнина,ако е нормална на која било права во оваа рамнина.

Теорема:Ако 1 од 2 паралелни прави е нормална на рамнина, тогаш другата права е нормална на оваа рамнина.

Теорема:Ако 2 прави се нормални на рамнина, тогаш тие се паралелни.

Потпишете

Ако правата е нормална на 2 права што се пресекуваат во рамнина, тогаш таа е нормална на оваа рамнина.

ПРЕДМЕТНИ И КОСИ

Ајде да конструираме авион и така натаму, не припаѓајќи на авионот. Нивната т.А ќе нацртаме права линија, нормална на рамнината. Точката на пресек на правата линија со рамнината е означена H. Отсечката AN е нормална нацртана од точката А до рамнината. Т.Н – основа на нормалната. Да ја земеме рамнината t.M, која не се совпаѓа со H. Отсечката AM е наклонета, повлечена од t.A до рамнината. М – наклонета основа. Сегментот MH е проекција на навалена рамнина на рамнина. Нормално AN - растојанието од t.A до рамнината. Секое растојание е дел од нормална.

Теорема за 3 нормални:

Правата линија нацртана во рамнина низ основата на наклонетата рамнина нормална на нејзината проекција на оваа рамнина е исто така нормална на самата наклонета.

АГОЛ ПОМЕЃУ ПРАВЕН И АВИОН

Аголот помеѓу права линија иРамнина е аголот помеѓу оваа линија и нејзината проекција на рамнината.

ДИЕДРАЛЕН АГОЛ. АГОЛ ПОМЕЃУ АВИОНИТЕ

Диедрален аголнаречена фигура формирана од права линија и 2 полурамнини со заедничка граница a, кои не припаѓаат на иста рамнина.

Граница a - раб на диедрален агол.Половина авиони - диедрални аголни лица.За мерење на диедралниот агол. Треба да изградите линеарен агол во него. Да означиме некоја точка на работ на диедралниот агол и да нацртаме зрак од оваа точка на секое лице, нормално на работ. Аголот формиран од овие зраци се нарекува линеарен диедрален агол.Може да има бесконечен број од нив во диедрален агол. Сите тие имаат иста големина.

ПРЕПЕРЕНДИКУЛАРНОСТ НА ДВЕ РАМНИНИ

Се нарекуваат две рамнини кои се пресекуваат нормално,ако аголот меѓу нив е 90.

Знак:

Ако 1 од 2 рамнини поминува низ права нормална на друга рамнина, тогаш таквите рамнини се нормални.

ПОЛИЕдра

Полиедар– површина составена од многуаголници и која ограничува одредено геометриско тело. Рабови– многуаголници од кои се направени полиедри. Ребра– страни на лицата. Врвови- краеви на ребрата. Дијагонала на полиедарнаречена отсечка која поврзува 2 темиња кои не припаѓаат на 1 лице. Се нарекува рамнина од двете страни на кои има точки на многуедар . авион за сечење.Заедничкиот дел од полиедарот и секантната област се нарекува пресек на полиедар.Полиедра може да биде конвексна или конкавна. Полиедарот се нарекува конвексни, ако се наоѓа на едната страна од рамнината на секое негово лице (тетраедар, паралелепипед, октаедар). Во конвексен полиедар, збирот на сите рамни агли на секое теме е помал од 360.

ПРИЗМА

Полиедар составен од 2 еднакви многуаголници лоцирани во паралелни рамнини и n - паралелограми се вика призма.

Многуаголници A1A2..A(p) и B1B2..B(p) - основа на призмата. А1А2В2В1…- паралелограми, A(p)A1B1B(p) - странични рабови.Сегменти A1B1, A2B2..A(p)B(p) - странични ребра.Во зависност од многуаголникот во основата на призмата, призмата наречен п-јаглен.Се нарекува нормално извлечена од која било точка на една основа до рамнината на друга основа висина.Ако страничните рабови на призмата се нормални на основата, тогаш призмата – директно, а ако не е нормално - тоа е косо.Висината на права призма е еднаква на должината на нејзиниот страничен раб. Директната призма е точна, ако неговата основа се правилни многуаголници, сите странични страни се еднакви правоаголници.

ПАРАЛЕПИПЕД

ABCD//A1B1S1D1, AA1//BB1//CC1//DD1, AA1=BB1=CC1=DD1 (според природата на паралелните рамнини)

Паралелепипед се состои од 6 паралелограми. Паралелограмите се нарекуваат рабовите. ABCD и А1В1С1Д1 се основите, се нарекуваат преостанатите лица странично.Точки A B C D A1 B1 C1 D1 - блузи.Линиски отсечки што ги поврзуваат темињата - ребра AA1, BB1, SS1, DD1 - странични ребра.

Дијагоналата на паралелепипедот енаречена отсечка која поврзува 2 темиња кои не припаѓаат на 1 лице.

Светци

1. Спротивните лица на паралелепипедот се паралелни и еднакви. 2. Дијагоналите на паралелепипедот се сечат во една точка и се преполовуваат со оваа точка.

ПИРАМИДА

Да го земеме предвид многуаголникот A1A2..A(n), точка P што не лежи во рамнината на овој многуаголник. Да ја поврземе точката P со темињата на многуаголникот и да добиеме n триаголници: RA1A2, RA2A3....RA(p)A1.

Многуедар составен од n-аголник и n-триаголник наречена пирамида.Многуаголник – основа.Триаголници - странични рабови.Р - врвот на пирамидата.Сегменти A1P, A2P..A(p)P - странични ребра.Во зависност од многуаголникот што лежи во основата, пирамидата се нарекува п-јаглен. Висина на пирамидатанаречена нормална извлечена од врвот до рамнината на основата. Пирамидата се нарекува правилна, ако неговата основа содржи правилен многуаголник и неговата висина паѓа во центарот на основата. Апотема– висината на страничното лице на обична пирамида.

СКРУЖЕНА ПИРАМИДА

Размислете за пирамидата PA1A2A3A(n). Ајде да нацртаме рамнина за сечење паралелна со основата. Оваа рамнина ја дели нашата пирамида на 2 дела: горната е пирамида слична на оваа, долната е скратена пирамида. Страничната површина се состои од трапез. Страничните ребра ги поврзуваат врвовите на основите.

Теорема:Областа на страничната површина на правилна скратена пирамида е еднаква на производот од половина од збирот на периметрите на основите и апотемата.

РЕДОВНИ ПОЛИЕДИ

Конвексниот полиедар се нарекува правилен, ако сите негови лица се еднакви правилни многуаголници и ист број на рабови се спојуваат на секое од неговите темиња. Пример за правилен полиедар е коцката. Сите негови лица се еднакви квадрати, а на секое теме се среќаваат 3 рабови.

Регуларен тетраедарсоставена од 4 рамностран триаголници. Секое теме е теме на 3 триаголници. Збирот на рамнинските агли на секое теме е 180.

Редовен октаедарсоставена од 8 рамностран триаголници. Секое теме е теме на 4 триаголници. Збир на рамни агли на секое теме = 240

Редовен икозаедронсоставена од 20 рамностран триаголници. Секое теме е теме 5 триаголник. Збирот на рамни агли на секое теме е 300.

Коцкасоставена од 6 квадрати. Секое теме е теме од 3 квадрати. Збирот на рамни агли на секое теме = 270.

Редовен додекаедарсоставена од 12 правилни петаголници. Секое теме е теме на 3 правилни петаголници. Збирот на рамни агли на секое теме = 324.

Не постојат други видови на правилни полиедри.

ЦИЛИНДАР

Тело ограничено со цилиндрична површина и два круга со граници L и L1 се вика цилиндар.Се нарекуваат круговите L и L1 основите на цилиндерот.Сегменти MM1, AA1 - формативен.Формирање на цилиндрична или странична површина на цилиндар. Права линија што ги поврзува центрите на основите О и О1 оската на цилиндерот.Должина на генератор - висина на цилиндарот.Основен радиус (r) – радиус на цилиндерот.

Пресеци на цилиндри

Аксијаленпоминува низ оската и дијаметарот на основата

Нормално на оската

Цилиндарот е тело на ротација. Се добива со ротирање на правоаголникот околу една од неговите страни.

КОНСКИ

Размислете за круг (o;r) и права линија OP нормална на рамнината на оваа кружница. Низ секоја точка од кругот L и сл. ќе нацртаме отсечки, ги има бесконечно многу. Тие формираат конусна површина и се нарекуваат формативен.

R- теме, ИЛИ - оска на конусна површина.

Тело ограничено со конусна површина и круг со граница L наречен конус. Круг -основата на конусот. Врвот на конусната површина - врвот на конусот.Формирање на конусна површина - формирање на конус.Конусна површина - странична површина на конусот. RO - конусна оска.Растојание од P до O - висина на конусот.Конусот е тело на ротација. Се добива со ротирање правоаголен триаголник околу крак.

Конусен пресек

Аксијален пресек

Пресек нормално на оската

СФЕРА И ТОПКА

Сферанаречена површина која се состои од сите точки во просторот лоцирани на дадено растојание од дадена точка. Оваа точка е центар на сферата.Ова растојание е радиус на сферата.

Отсечка што поврзува 2 точки на сфера и минува низ нејзиниот центар наречен дијаметар на сферата.

Тело ограничено со сфера наречена топка.Центарот, радиусот и дијаметарот на сферата се нарекуваат центар, радиус и дијаметар на топката.

Сфера и топка се тела на ротација. Сферасе добива со ротирање на полукруг околу дијаметарот и топкадобиени со ротирање на полукруг околу дијаметарот.

во правоаголен координатен систем, равенката на сфера со радиус R со центар C(x(0), y(0), Z(0) има форма (x-x(0))(2)+(y-y(0) )(2)+(z-z(0))(2)= R(2)

Директна конзерва припаѓаат на авионот, биди таа паралелноили крстотрамнина. Права припаѓа на рамнина ако две точки што припаѓаат на правата и рамнината имаат исти висини. Заклучокот што следи од кажаното: точка припаѓа на рамнина ако припаѓа на права што лежи во оваа рамнина.

Правата е паралелна на рамнината ако е паралелна на правата што лежи во оваа рамнина.

Права линија што пресекува рамнина.За да се најде точката на пресек на права линија со рамнина, потребно е (сл. 3.28):

1) нацртајте помошна рамнина низ дадена права линија m Т;

2) изгради линија nпресек на дадена рамнина Σ со помошна рамнина Т;

3) означете ја пресечната точка Р,дадена права линија мсо линијата на вкрстување n.

Разгледајте го проблемот (сл. 3.29) Правата линија m е дефинирана на планот со точка А 6и агол на наклон од 35°. Преку оваа линија се повлекува помошна вертикална рамнина Т,која ја пресекува рамнината Σ по линијата n (B 2 C 3). Така, се движи од релативната положба на права линија и рамнина до релативна положба на две прави линии кои лежат во иста вертикална рамнина. Овој проблем е решен со конструирање профили на овие прави линии. Пресек на линии мИ nна профилот ја одредува саканата точка Р. Точка надморска височина Ропределена со скалата на вертикалната скала.

Права линија нормална на рамнината. Правата е нормална на рамнината ако е нормална на кои било две линии на оваа рамнина што се пресекуваат. Слика 3.30 покажува права линија м, нормална на рамнината Σ и ја сече во точката A. На планот, проекцијата на правата ма хоризонталните рамнини се меѓусебно нормални (прав агол, чија една страна е паралелна со проекциската рамнина, е проектиран без изобличување. Двете линии лежат во иста вертикална рамнина, затоа позициите на таквите линии се инверзни по големина една на друга : л m = l/l u. Но л uΣ = лΣ, тогаш л m = l/lΣ, односно положбата на правата m е обратно пропорционална со положбата на рамнината. Паѓањата на права линија и рамнина се насочени во различни насоки.

3.4. Проекции со нумерички ознаки. Површини

3.4.1.Полиедри и криви површини. Топографска површина

Во природата, многу супстанции имаат кристална структура во форма на полиедри. Полиедар е збир на рамни многуаголници кои не лежат во иста рамнина, каде што секоја страна на едната од нив е исто така страна на другата. При прикажување на полиедар, доволно е да се наведат проекциите на неговите темиња, поврзувајќи ги во одреден редослед со прави линии - проекции на рабовите. Во овој случај, неопходно е да се наведат видливи и невидливи рабови на цртежот. На сл. Слика 3.31 покажува призма и пирамида, како и наоѓање на ознаките на точките кои припаѓаат на овие површини.

Посебна група на конвексни многуаголници е групата правилни многуаголници во која сите лица се еднакви правилни многуаголници и сите полигонални агли се еднакви. Постојат пет типа правилни многуаголници.

Тетраедар- правилен четириаголник, ограничен со рамностран триаголници, има 4 темиња и 6 рабови (сл. 3.32 а).

Хексаедрон- правилен шестоаголник (коцка) - 8 темиња, 12 рабови (сл. 3.32б).

Октаедар- правилен октаедар, ограничен со осум рамностран триаголници - 6 темиња, 12 рабови (сл. 3.32в).

Додекаедар- правилен додекаедар, ограничен со дванаесет правилни петаголници, поврзани со три во близина на секое теме.

Има 20 темиња и 30 рабови (сл. 3.32 г).

Икозаедрон- правилен дваесетстран триаголник, ограничен со дваесет рамностран триаголници, поврзани со пет во близина на секое теме.12 темиња и 30 рабови (сл. 3.32 г).

Кога се конструира точка што лежи на лицето на полиедар, неопходно е да се повлече права линија што припаѓа на ова лице и да се означи проекцијата на точката на нејзината проекција.

Конусните површини се формираат со поместување на праволиниска генератрикс по заоблен водич така што во сите позиции генератриксот поминува низ фиксна точка - темето на површината. Општите конусни површини на планот се претставени со хоризонтална линија и теме. На сл. Слика 3.33 ја покажува локацијата на точка ознака на површината на конусна површина.

Прав кружен конус е претставен со низа концентрични кругови нацртани во еднакви интервали (сл. 3.34а). Елипсовиден конус со кружна основа - серија ексцентрични кругови (сл. 3.34 б)

Сферични површини. Сферичната површина е класифицирана како површина на револуција. Се формира со ротирање на круг околу неговиот дијаметар. На планот, сферична површина е дефинирана од центарот ДОи проекцијата на една од нејзините хоризонтални линии (екваторот на сферата) (сл. 3.35).

Топографска површина. Топографската површина е класифицирана како геометриски неправилна површина, бидејќи нема геометриски закон на формирање. За да ја карактеризирате површината, определете ја положбата на нејзините карактеристични точки во однос на проекциската рамнина. На сл. 3.3 b a дава пример на пресек на топографска површина, кој ги прикажува проекциите на нејзините поединечни точки. Иако таквиот план овозможува да се добие идеја за обликот на прикажаната површина, тоа не е многу јасно. За да се даде на цртежот поголема јасност и со тоа полесно да се чита, проекциите на точките со идентични ознаки се поврзани со мазни криви линии, кои се нарекуваат хоризонтали (изолинии) (сл. 3.36 б).

Хоризонталните линии на топографската површина понекогаш се дефинираат како линии на пресек на оваа површина со хоризонтални рамнини распоредени една од друга на исто растојание (сл. 3.37). Разликата во висините помеѓу две соседни хоризонтални линии се нарекува висина на пресекот.

Колку е помала разликата во висините помеѓу две соседни хоризонтални линии, толку е попрецизна сликата на топографската површина. На плановите, контурните линии се затворени во рамките на цртежот или надвор од него. На поостри падини, површинските проекции на контурните линии се приближуваат една до друга; на рамни падини, нивните проекции се разминуваат.

Најкраткото растојание помеѓу проекциите на две соседни хоризонтални линии на планот се нарекува лежење. На сл. 3.38 преку точка Ана топографската површина се нацртани неколку права отсечки И ТИИ АД. Сите тие имаат различни агли на инциденца. Сегментот има најголем агол на инциденца AC, чија локација е од минимално значење. Затоа, тоа ќе биде проекција на линијата на инциденца на површината на дадена локација.

На сл. 3.39 покажува пример за конструирање на проекција на линијата на инциденца низ дадена точка А. Од точка А 100, како од центарот, нацртајте лак на круг што ја допира најблиската хоризонтална линија во точката На 90. Точка На 90 години,хоризонтална ч 90,ќе припаѓа на падната линија. Од точка На 90нацртајте лак тангента на следната хоризонтална линија во точката Од 80,итн. Од цртежот е јасно дека линијата на инциденца на топографската површина е скршена линија, од која секоја врска е нормална на хоризонталата, поминувајќи низ долниот крај на врската, која има помала кота.

3.4.2. Пресек на конусна површина со рамнина

Ако рамнината за сечење минува низ темето на конусна површина, тогаш ја пресекува по прави линии што ја формираат површината. Во сите други случаи, линијата на пресекот ќе биде рамна крива: круг, елипса итн. Да го разгледаме случајот на конусна површина што се сече на рамнина.

Пример 1. Конструирајте ја проекцијата на пресекот на кружен конус Φ( ч о , С 5) со рамнина Ω паралелна на генератриксот на конусната површина.

Конусна површина со дадена локација на рамнина се сече по парабола. Имајќи интерполирање на генератриксот тградиме хоризонтални линии на кружен конус - концентрични кругови со центар С 5 . Потоа ги одредуваме пресечните точки на истите хоризонтали на рамнината и конусот (сл. 3.40).

3.4.3. Пресек на топографска површина со рамнина и права линија

Случајот на вкрстување на топографска површина со рамнина најчесто се среќава при решавање на геолошки проблеми. На сл. 3.41 е даден пример за конструирање на пресек на топографска површина со рамнината Σ. Кривата што ја барам мсе одредуваат со пресечните точки на истите хоризонтални рамнини и топографската површина.

На сл. 3.42 дава пример за конструирање вистински приказ на топографска површина со вертикална рамнина Σ. Потребната линија m се одредува со точки А, Б, Ц... пресек на хоризонталите на топографската површина со рамнината на сечење Σ. На планот, проекцијата на кривата се дегенерира во права линија што се совпаѓа со проекцијата на рамнината: м≡ Σ. Профилот на кривата m е конструиран земајќи ја предвид локацијата на проекциите на нејзините точки на планот, како и нивните коти.

3.4.4. Површина со еднаков наклон

Површина со еднаков наклон е владеена површина, чиишто прави прави постојан агол со хоризонталната рамнина. Таква површина може да се добие со поместување на прав кружен конус со оска нормална на рамнината на планот, така што нејзиниот врв се лизга по одреден водич, а оската останува вертикална во која било положба.

На сл. На слика 3.43 е прикажана површина со еднаков наклон (i=1/2), чијашто водилка е просторна крива А БЕ ЦЕ ДЕ.

Дипломирање на авионот. Како примери, разгледајте ги рамнините на наклонот на коловозот.

Пример 1. Надолжен наклон на коловозот i=0, наклон на насипот i n =1:1,5, (сл. 3.44а). Потребно е да се цртаат хоризонтални линии на секои 1 m. Решението се сведува на следново. Ја цртаме скалата на наклонот на рамнината нормална на работ на коловозот, означуваме точки на растојание еднакво на интервал од 1,5 m земен од линеарната скала и ги одредуваме ознаките 49, 48 и 47. Преку добиените точки ние нацртајте ги контурите на наклонот паралелно со работ на патот.

Пример 2. Надолжен наклон на патот i≠0, наклон на насип i n =1:1,5, (сл. 3.44б). Рамнината на коловозот е оценета. Наклонот на коловозот е оценет на следниов начин. Во точката со темето 50,00 (или друга точка) го поставуваме темето на конусот, опишуваме круг со радиус еднаков на интервалот на наклонот на насипот (во нашиот пример л= 1,5 m). Висината на оваа хоризонтална линија на конусот ќе биде за еден помал од висината на темето, т.е. 49 м. Цртаме низа кругови, добиваме хоризонтални ознаки 48, 47, тангента на кои од рабните точки со ознаки 49, 48, 47 цртаме хоризонтали на наклонот на насипот.

Дипломирање на површини.

Пример 3. Ако надолжниот наклон на патот е i = 0, а наклонот на насипот е i n = 1: 1,5, тогаш контурните линии на косините се исцртуваат низ точките на скалата на наклонот, чиј интервал е еднаков до интервалот на косините на насипот (сл. 3.45а). Растојанието помеѓу две проекции на соседните хоризонтални линии во насока на општата норма (скала на наклон) е насекаде исто.

Пример 4. Ако надолжниот наклон на патот е i≠0, а наклонот на насипот е i n =1:1,5, (сл. 3.45б), тогаш контурните линии се конструирани на ист начин, освен што наклонот контурите се исцртуваат не во прави линии, туку во кривини.

3.4.5. Определување на граничната линија на ископ

Бидејќи повеќето почви не можат да одржуваат вертикални ѕидови, мора да се изградат косини (вештачки структури). Наклонот што го дава наклонот зависи од почвата.

За да му дадете на дел од површината на земјата изглед на рамнина со одреден наклон, треба да ја знаете линијата на границите за ископување и ископување. Оваа линија, ограничувајќи ја планираната површина, е претставена со линиите на вкрстување на косините на насипите и ископувањата со дадена топографска површина.

Бидејќи секоја површина (вклучувајќи ги и рамните) е прикажана со помош на контури, линијата на вкрстување на површините е конструирана како збир на пресечни точки на контури со исти ознаки. Ајде да погледнеме примери.

Пример 1. На сл. 3.46 е прикажана земјена структура во форма на скратена четириаголна пирамида, која стои на рамнина Н. Горна основа А БЕ ЦЕ ДЕпирамидата има белег 4ми големини на страни 2×2,5 м. Страничните лица (падини на насипот) имаат наклон од 2:1 и 1:1, чија насока е прикажана со стрелки.

Неопходно е да се изгради линија на пресек на падините на структурата со рамнината Ни меѓу себе, како и да конструираат надолжен профил по оската на симетрија.

Најпрво се конструира дијаграм на косини, интервали и размери на наслаги и дадени падини. Нормално на секоја страна од локацијата, скалите на падините се исцртуваат во одредени интервали, по што проекциите на контурните линии со исти ознаки на соседните лица се пресечни линии на падините, кои се проекции на страничните рабови на оваа пирамида.

Долната основа на пирамидата се совпаѓа со нулта хоризонтални падини. Ако оваа земјена градба ја премине вертикална рамнина П, во пресек ќе добиете скршена линија - надолжниот профил на конструкцијата.

Пример 2. Изградете линија на пресек на падините на јамата со рамна падина и едни со други. дното ( А БЕ ЦЕ ДЕ) јамата е правоаголна површина со кота од 10 m и димензии 3x4 m. Оската на локацијата прави агол од 5° со линијата југ-север. Косините на ископувањата имаат исти падини од 2:1 (сл. 3.47).

Линијата на нула работи е воспоставена според планот на локацијата. Изграден е на местата на вкрстување на истоимените проекции на хоризонталните линии на површините што се разгледуваат. На точките на вкрстување на контурите на косините и топографската површина со исти ознаки, се среќава линијата на вкрстување на косините, кои се проекции на страничните рабови на дадена јама.

Во овој случај, страничните падини на ископувањата се во непосредна близина на дното на јамата. Линија а бе це де– саканата линија на вкрстување. Aa, Bb, Cs, Dd– рабовите на јамата, линиите на вкрстување на падините едни со други.

4. Прашања за самоконтрола и задачи за самостојна работа на тема „Правоаголни проекции“

Точка

4.1.1. Суштината на методот на проекција.

4.1.2. Што е проекција на точки?

4.1.3. Како се нарекуваат и означени проекционите рамнини?

4.1.4. Кои се проекционите линии за поврзување на цртежот и како се наоѓаат на цртежот во однос на оските на проекцијата?

4.1.5. Како да се конструира третата (профилна) проекција на точка?

4.1.6. Конструирајте три проекции на точките A, B, C на цртеж со три слики, запишете ги нивните координати и пополнете ја табелата.

4.1.7. Конструирајте ги проекционите оски кои недостасуваат, x A =25, y A =20. Конструирај проекција на профилот на точката А.

4.1.8. Конструирај три проекции на точки според нивните координати: A(25,20,15), B(20,25,0) и C(35,0,10). Наведете ја положбата на точките во однос на рамнините и оските на проекциите. Која точка е поблиску до рамнината P3?

4.1.9. Материјалните точки А и Б почнуваат да паѓаат истовремено. Во која положба ќе биде точката Б кога точката А ќе ја допре земјата? Определете ја видливоста на точките. Зацртај точки во нова позиција.

4.1.10. Конструирајте три проекции на точката А, ако точката лежи во рамнината P 3, а растојанието од него до рамнината P 1 е 20 mm, до рамнината P 2 - 30 mm. Запишете ги координатите на точката.

Директно

4.2.1. Како може да се дефинира права линија на цртеж?

4.2.2. Која права се нарекува права во општа положба?

4.2.3. Каква положба може да заземе права линија во однос на проекционите рамнини?

4.2.4. Во кој случај проекцијата на права линија се претвора во точка?

4.2.5. Што е карактеристично за сложениот цртеж на директно ниво?

4.2.6. Одреди ја релативната положба на овие линии.

а…б а…б а…б

4.2.7. Конструирај проекции на права отсечка AB со должина од 20 mm, паралелна со рамнините: а) P 2; б) P 1; в) Оска на вол. Наведете ги аглите на наклонетост на сегментот кон проекционите рамнини.

4.2.8. Конструирај проекции на отсечката AB користејќи ги координатите на неговите краеви: A(30,10,10), B(10,15,30). Конструирај проекции на точката C делејќи ја отсечката во однос AC:CB = 1:2.

4.2.9. Определете го и запишете го бројот на рабовите на овој полиедар и нивната положба во однос на проекционите рамнини.

4.2.10. Низ точката А нацртајте хоризонтална и фронтална линија што ја пресекуваат правата линија m.

4.2.11. Одреди го растојанието помеѓу правата b и точката А

4.2.12. Конструирај проекции на отсечка AB со должина од 20 mm, која минува низ точката A и е нормална на рамнината a) P 2; б) P 1; в) P 3.

Стереометрија

Меѓусебно распоредување на прави линии и рамнини

Во вселената

Паралелизам на прави и рамнини

Се нарекуваат две линии во просторот паралелно , ако лежат во иста рамнина и не се сечат.

Права линија и рамнина се нарекуваат паралелно , ако не се вкрстуваат.

Двата авиони се нарекуваат паралелно , ако не се вкрстуваат.

Прави кои не се сечат и не лежат во иста рамнина се нарекуваат вкрстување .

Знак за паралелизам помеѓу права и рамнина. Ако правата што не припаѓа на рамнина е паралелна со некоја права во оваа рамнина, тогаш таа е паралелна со самата рамнина.

Знак на паралелни рамнини. Ако две вкрстувачки прави од една рамнина се соодветно паралелни со две прави од друга рамнина, тогаш овие рамнини се паралелни.

Знак за преминување линии. Ако една од двете прави лежи во рамнина, а другата ја пресекува оваа рамнина во точка што не припаѓа на првата линија, тогаш овие прави се сечат.

Теореми за паралелни прави и паралелни рамнини.

1. Две прави паралелни на трета права се паралелни.

2. Ако една од двете паралелни прави сече рамнина, тогаш и другата права ја пресекува оваа рамнина.

3. Низ точка надвор од дадена права, можете да повлечете права паралелна на дадената и само една.

4. Ако правата е паралелна на секоја од двете рамнини што се сечат, тогаш таа е паралелна со нивната линија на пресек.

5. Ако две паралелни рамнини се пресечени со трета рамнина, тогаш линиите на пресек се паралелни.

6. Преку точка што не лежи во дадена рамнина, можеш да нацрташ рамнина паралелна на дадената, и само една.

7. Две рамнини паралелни на третата се паралелни една на друга.

8. Сегментите на паралелни прави содржани помеѓу паралелни рамнини се еднакви.

Агли помеѓу прави линии и рамнини

Аголот помеѓу права линија и рамнинасе нарекува аголот помеѓу права линија и нејзината проекција на рамнина (аголот на сл. 1).

Агол помеѓу линиите што се вкрстуваате аголот помеѓу правите кои се вкрстуваат паралелни со дадените права што се вкрстуваат.

Диедрален аголе фигура формирана од две полурамнини со заедничка линија. Се нарекуваат полурамнини рабовите , директно - раб диедрален агол.

Линеарен агол диедрален агол е аголот помеѓу полу-правите кои припаѓаат на лицата на диедралниот агол, кои произлегуваат од една точка на работ и нормално на работ (аголот на слика 2).

Степенот (радијан) мерка на диедрален агол е еднаква на степенот (радијан) мерка на неговиот линеарен агол.

Перпендикуларност на прави и рамнини

Се нарекуваат две прави линии нормално ако се сечат под прав агол.

Правата линија што пресекува рамнина се нарекува нормално оваа рамнина ако е нормална на која било права во рамнината што минува низ точката на пресек на оваа права и рамнината.

Двата авиони се нарекуваат нормално , ако се сечат, формираат прави диедрални агли.

Знак за перпендикуларност на права и рамнина. Ако правата што ја пресекува рамнината е нормална на две права што се пресекуваат во оваа рамнина, тогаш таа е нормална на рамнината.

Знак за перпендикуларност на две рамнини. Ако рамнината минува низ права нормална на друга рамнина, тогаш овие рамнини се нормални.

Теореми за нормални прави и рамнини.

1. Ако рамнината е нормална на една од двете паралелни прави, тогаш таа е и нормална на другата.

2. Ако две прави се нормални на иста рамнина, тогаш тие се паралелни.

3. Ако правата е нормална на една од двете паралелни рамнини, тогаш таа е и нормална на другата.

4. Ако две рамнини се нормални на иста права, тогаш тие се паралелни.

Нормално и косо

Теорема. Ако од една точка надвор од рамнината се повлечени нормални и наклонети линии, тогаш:

1) косите со еднакви проекции се еднакви;

2) од двете наклонети, поголема е онаа чијашто проекција е поголема;

3) еднакви коси имаат еднакви проекции;

4) од двете проекции поголема е онаа што одговара на поголемата кос.

Три перпендикуларни теорема. За да може правата што лежи во рамнина да биде нормална на наклонетата, потребно е и доволно оваа права линија да биде нормална на проекцијата на наклонетата (сл. 3).

Теорема за плоштината на ортогоналната проекција на многуаголник на рамнина.Областа на ортогоналната проекција на многуаголник на рамнина е еднаква на производот на плоштината на многуаголникот и косинусот на аголот помеѓу рамнината на многуаголникот и проекциската рамнина.

Градба.

1. Во авион аспроведуваме директна А.

3. Во авион бпреку точката Аајде да направиме директен б, паралелно со линијата А.

4. Изградена е права линија бпаралелно со авионот а.

Доказ.Врз основа на паралелизам на права линија и рамнина, права линија бпаралелно со авионот а, бидејќи е паралелна со правата А, кои припаѓаат на авионот а.

Студија.Проблемот има бесконечен број решенија, уште од права линија Аво авионот асе избира по случаен избор.

Пример 2.Определи на кое растојание од рамнината се наоѓа точката А, ако е исправен АБја сече рамнината под агол од 45º, растојанието од точката Адо точка ВОкои припаѓаат на рамнината е еднаква на cm?

Решение.Ајде да направиме цртеж (слика 5):

AC– нормално на рамнината а, АБ– наклонет, агол ABC– агол помеѓу права линија АБи авион а. Тријаголник ABC– правоаголна бидејќи AC– нормално. Потребното растојание од точката Адо авионот - ова е ногата ACправоаголен триаголник. Знаејќи го аголот и хипотенузата cm, ќе ја најдеме ногата AC:

Одговор: 3 см.

Пример 3.Определи на кое растојание од рамнината на рамнокрак триаголник се наоѓа точка на 13 cm од секое од темињата на триаголникот ако основата и висината на триаголникот се еднакви на 8 cm?

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 6). Точка Сдалеку од бодовите А, ВОИ СОна исто растојание. Значи, наклонет С.А., С.Б.И С.Ц.еднакви, ПА– заедничката перпендикулар на овие наклонети. По теоремата за коси и проекции AO = VO = CO.

Точка ЗА– центарот на кругот опкружен со триаголник ABC. Ајде да го најдеме неговиот радиус:

Каде Сонцето– основа;

АД– висина на даден рамнокрак триаголник.

Наоѓање на страните на триаголникот ABCод правоаголен триаголник ABDспоред Питагоровата теорема:

Сега наоѓаме ОБ:

Размислете за триаголник СОБ: С.Б.= 13 см, ОБ= = 5 cm Најди ја должината на нормалната ПАспоред Питагоровата теорема:

Одговор: 12 см.

Пример 4.Дадени паралелни рамнини аИ б. Преку точка М, кој не припаѓа на ниту еден од нив, се исцртуваат прави линии АИ бтој крст ана точките А 1 и ВО 1 и авионот б– на точки А 2 и ВО 2. Најдете А 1 ВО 1 ако се знае дека М-р 1 = 8 см, А 1 А 2 = 12 см, А 2 ВО 2 = 25 см.

Решение.Бидејќи состојбата не кажува како точката се наоѓа во однос на двете рамнини М, тогаш можни се две опции: (сл. 7, а) и (сл. 7, б). Ајде да погледнеме во секој од нив. Две линии кои се вкрстуваат АИ бдефинирајте рамнина. Оваа рамнина вкрстува две паралелни рамнини аИ бпо паралелни линии А 1 ВО 1 и А 2 ВО 2 според теорема 5 за паралелни прави и паралелни рамнини.

Триаголници М-р 1 ВО 1 и М-р 2 ВО 2 се слични (агли А 2 МВ 2 и А 1 МВ 1 - вертикална, агли М-р 1 ВО 1 и М-р 2 ВО 2 – внатрешно вкрстено лежи со паралелни линии А 1 ВО 1 и А 2 ВО 2 и секант А 1 А 2). Од сличноста на триаголниците следи пропорционалноста на страните:

Опција а):

Опција б):

Одговор: 10 см и 50 см.

Пример 5.Преку точка Арамнина ебеше повлечена директна линија АБ, формирајќи агол со рамнината а. Преку директно АБе нацртан авион р, формирајќи се со авионот еагол б. Најдете го аголот помеѓу проекцијата на права линија АБдо авионот еи авион р.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 8). Од точка ВОспуштете ја нормалната на рамнината е. Линеарен диедрален агол помеѓу рамнините еИ р- ова е прав агол АД ДБЦ, врз основа на перпендикуларноста на права и рамнина, како и Врз основа на нормалноста на рамнините, рамнина рнормално на рамнината на триаголникот ДБЦ, бидејќи поминува низ линијата АД. Го конструираме саканиот агол со отфрлање на нормалната од точката СОдо авионот р, да го означиме Најди го синусот на овој агол на правоаголен триаголник СЕБЕ. Дозволете ни да воведеме помошен сегмент a = п.н.е. Од триаголник ABC: Од триаголник морнарицаќе најдеме

Потоа потребниот агол

Одговор:

Задачи за самостојно решение

Израмнувам

1.1. Низ точка, повлечете права нормална на две дадени линии што се пресекуваат.

1.2. Одреди колку различни рамнини може да се нацртаат:

1) низ три различни точки;

2) низ четири различни точки, од кои три не лежат на иста рамнина?

1.3. Низ темињата на триаголникот ABCлежејќи во една од двете паралелни рамнини, паралелни прави се исцртуваат што ја сечат втората рамнина во точките А 1 , ВО 1 , СО 1 . Докажете ја еднаквоста на триаголниците ABCИ А 1 ВО 1 СО 1 .

1.4. Од врвот Аправоаголник А БЕ ЦЕ ДЕнормално обновено AMдо нејзиниот авион.

1) докажете дека триаголниците МБЦИ MDC- правоаголна;

2) означи меѓу сегментите М.Б., М.Ц., М.Д.И М.А.сегмент со најголема и најкратка должина.

1.5. Лицата на едниот диедрален агол се соодветно паралелни со лицата на другиот. Одредете ја врската помеѓу вредностите на овие диедрални агли.

1.6. Најдете ја вредноста на диедралниот агол ако растојанието од точка земена на едното лице до работ е 2 пати поголемо од растојанието од точката до рамнината на втората страна.

1.7. Од точка одвоена од рамнината со растојание, се исцртуваат две еднакви наклонети косини, формирајќи агол од 60º. Косите проекции се меѓусебно нормални. Најдете ги должините на наклонетите.

1.8. Од врвот ВОквадрат А БЕ ЦЕ ДЕнормално обновено БИДИдо рамнината на плоштадот. Агол на наклон на рамнината на триаголникот ACEдо рамнината на квадратот е еднаква ј, страната на плоштадот е А ACE.

Ниво II

2.1. Преку точка што не припаѓа на една од двете прави што се сечат, повлечете права што ги пресекува двете дадени прави.

2.2. Паралелни линии А, бИ Соне лежи во иста рамнина. Преку точка Ана права линија Асе цртаат нормални на прави линии бИ Со, вкрстувајќи ги соодветно на точките ВОИ СО. Докажете дека линијата Сонцетонормално на прави линии бИ Со.

2.3. Преку врвот Аправоаголен триаголник ABCрамнина е нацртана паралелно со Сонцето. Нозе на триаголник AC= 20 см, Сонцето= 15 cm.Проекцијата на еден од краците на рамнината е 12 cm.Најдете ја проекцијата на хипотенузата.

2.4. На едно од лицата на диедралниот агол еднаков на 30º има точка М. Растојанието од него до работ на аголот е 18 см Најдете го растојанието од проекцијата на точката Мдо второто лице до првото лице.

2.5. Краевите на сегментот АБприпаѓаат на лицата на диедрален агол еднаков на 90º. Растојание од точки АИ ВОдо работ се еднакви соодветно АА 1 = 3 см, ББ 1 = 6 cm, растојание помеѓу точките на работ Најдете ја должината на сегментот АБ.

2.6. Од точка која се наоѓа на растојание од авионот А, се исцртуваат две наклонети, кои формираат агли од 45º и 30º со рамнината и агол од 90º меѓу себе. Најдете го растојанието помеѓу основите на наклонетите.

2.7. Страните на триаголникот се 15 cm, 21 cm и 24 cm Точка Мотстранет од рамнината на триаголникот за 73 cm и се наоѓа на исто растојание од неговите темиња. Најдете го ова растојание.

2.8. Од центарот ЗАкруг впишан во триаголник ABC, нормална е вратена на рамнината на триаголникот ОМ. Најдете го растојанието од точката Мна страните на триаголникот, ако AB = BC = 10 см, AC= 12 см, ОМ= 4 см.

2.9. Растојанија од точка Мдо страните и темето на правиот агол се соодветно 4 cm, 7 cm и 8 cm. Најдете го растојанието од точката Мдо рамнината на прав агол.

2.10. Преку основата АБрамнокрак триаголник ABCрамнината е нацртана под агол бдо рамнината на триаголникот. Теме СОотстранети од авионот на растојание А. Најдете ја плоштината на триаголникот ABC, ако основата АБна рамнокрак триаголник е еднаков на неговата висина.

Ниво III

3.1. Распоред на правоаголник А БЕ ЦЕ ДЕсо странките АИ бсвиткана дијагонално БДтака што рамнините на триаголниците ЛОШОИ BCDстанаа меѓусебно нормални. Најдете ја должината на сегментот AC.

3.2. Два правоаголни трапезоиди со агли од 60º лежат во нормални рамнини и имаат поголема заедничка основа. Поголемите страни се 4 cm и 8 cm Најди го растојанието помеѓу темињата на правите линии и темињата на тапите агли на трапезоидите ако темињата на нивните остри агли се совпаѓаат.

3.3.Дадена коцка ABCDA 1 Б 1 В 1 Д 1 . Најдете го аголот помеѓу правата линија ЦД 1 и авион BDC 1 .

3.4. На работ АБКуба ABCDA 1 Б 1 В 1 Д 1 поен земен Р- средината на ова ребро. Конструирај дел од коцката со рамнина што минува низ точките В 1 П.Д.и најдете ја областа на овој дел ако работ на коцката е еднаков на А.

3.5. Преку страна АДправоаголник А БЕ ЦЕ ДЕе нацртан авион атака што дијагоналата БДправи агол од 30º со оваа рамнина. Најдете го аголот помеѓу рамнината на правоаголникот и рамнината а, Ако АБ = А, АД = б. Одреди во кој сооднос АИ бпроблемот има решение.

3.6. Најдете го локусот на точки што се еднакво оддалечени од правите дефинирани со страните на триаголникот.

Призма. Паралелепипед

Призмае полиедар чии две лица се еднакви n-аголници (основи) , лежејќи во паралелни рамнини, а преостанатите n лица се паралелограми (странични лица) . Странично ребро Страната на призмата што не припаѓа на основата се нарекува страна на призмата.

Се нарекува призма чии странични рабови се нормални на рамнините на основите директно призма (сл. 1). Ако страничните рабови не се нормални на рамнините на основите, тогаш се нарекува призмата наклонет . Точно Призма е правилна призма чии основи се правилни многуаголници.

Висинапризма е растојанието помеѓу рамнините на базите. Дијагонала Призма е отсечка што поврзува две темиња кои не припаѓаат на истото лице. Дијагонален пресек се нарекува пресек на призма со рамнина што минува низ два странични рабови кои не припаѓаат на истото лице. Нормален пресек се нарекува пресек на призмата со рамнина нормална на страничниот раб на призмата.

Странична површина на призмата е збир од плоштините на сите странични лица. Вкупна површина се нарекува збир на плоштините на сите лица на призмата (т.е. збир на плоштините на страничните лица и плоштините на основите).

За произволна призма, следните формули се вистинити::

Каде л– должина на страничното ребро;

Х- висина;

П

П

S страна

С полни

S база- површина на основите;

В– волумен на призмата.

За права призма, следните формули се точни:

Каде стр– периметар на основата;

л– должина на страничното ребро;

Х- висина.

паралелепипеднаречена призма чија основа е паралелограм. Се нарекува паралелепипед чии странични рабови се нормални на основите директно (сл. 2). Ако страничните рабови не се нормални на основите, тогаш се нарекува паралелепипед наклонет . Права паралелепипед чија основа е правоаголник се нарекува правоаголна. Се нарекува правоаголен паралелепипед со сите рабови еднакви коцка

Лицата на паралелепипед кои немаат заеднички темиња се нарекуваат спротивно . Должините на рабовите што произлегуваат од едно теме се нарекуваат мерења паралелепипед. Бидејќи паралелепипедот е призма, неговите главни елементи се дефинирани на ист начин како што се дефинирани за призмите.

Теореми.

1. Дијагоналите на паралелепипед се сечат во една точка и ја преполовуваат.

2. Во правоаголен паралелепипед, квадратот на должината на дијагоналата е еднаков на збирот на квадратите на неговите три димензии:

3. Сите четири дијагонали на правоаголен паралелепипед се еднакви една со друга.

За произволен паралелепипед важат следните формули:

Каде л– должина на страничното ребро;

Х- висина;

П– периметар на нормален пресек;

П– Перпендикуларна површина на пресек;

S страна– странична површина;

С полни– вкупна површина;

S база- површина на основите;

В– волумен на призмата.

За десниот паралелепипед следните формули се точни:

Каде стр– периметар на основата;

л– должина на страничното ребро;

Х– висина на десен паралелепипед.

За правоаголен паралелепипед следните формули се точни:

Каде стр– периметар на основата;

Х- висина;

г– дијагонала;

а, б, в– мерења на паралелепипед.

Следниве формули се точни за коцка:

Каде а– должина на ребрата;

г- дијагонала на коцката.

Пример 1.Дијагоналата на правоаголен паралелепипед е 33 dm, а неговите димензии се во однос 2: 6: 9. Најдете ги димензиите на паралелепипедот.

Решение.За да ги најдеме димензиите на паралелепипедот, ја користиме формулата (3), т.е. со тоа што квадратот на хипотенузата на кубоид е еднаков на збирот на квадратите на неговите димензии. Да означиме со кфактор на пропорционалност. Тогаш димензиите на паралелепипедот ќе бидат еднакви на 2 к, 6ки 9 к. Да ја напишеме формулата (3) за податоците за проблемот:

Решавање на оваа равенка за к, добиваме:

Тоа значи дека димензиите на паралелепипедот се 6 dm, 18 dm и 27 dm.

Одговор: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Пример 2.Најдете го волуменот на наклонета триаголна призма, чија основа е рамностран триаголник со страна од 8 cm, ако страничниот раб е еднаков на страната на основата и наклонет под агол од 60º кон основата.

Решение . Ајде да направиме цртеж (сл. 3).

За да го пронајдете волуменот на навалената призма, треба да ја знаете областа на нејзината основа и висина. Површината на основата на оваа призма е плоштина на рамностран триаголник со страна од 8 см. Да ја пресметаме:

Висината на призмата е растојанието помеѓу нејзините основи. Од врвот А 1 од горната основа, спуштете ја нормалната на рамнината на долната основа А 1 Д. Неговата должина ќе биде висината на призмата. Размислете за Д А 1 АД: бидејќи ова е аголот на наклон на страничниот раб А 1 Адо основната рамнина, А 1 А= 8 cm Од овој триаголник наоѓаме А 1 Д:

Сега го пресметуваме волуменот користејќи ја формулата (1):

Одговор: 192 см 3.

Пример 3.Страничниот раб на правилна шестоаголна призма е 14 см. Површината на најголемиот дијагонален пресек е 168 см 2. Најдете ја вкупната површина на призмата.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 4)

Најголемиот дијагонален дел е правоаголник А.А. 1 ДД 1 од дијагонала АДправилен шестоаголник АБЦДЕФе најголем. За да се пресмета страничната површина на призмата, неопходно е да се знае страната на основата и должината на страничниот раб.

Знаејќи ја областа на дијагоналниот пресек (правоаголник), ја наоѓаме дијагоналата на основата.

Од тогаш

Од тогаш АБ= 6 см.

Тогаш периметарот на основата е:

Дозволете ни да ја најдеме областа на страничната површина на призмата:

Површината на правилен шестоаголник со страна 6 cm е:

Најдете ја вкупната површина на призмата:

Одговор:

Пример 4.Основата на десниот паралелепипед е ромб. Површините на попречниот пресек на дијагоналата се 300 cm2 и 875 cm2. Најдете ја областа на страничната површина на паралелепипедот.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 5).

Да ја означиме страната на ромбот со А, дијагонали на ромб г 1 и г 2, паралелепипедна висина ч. За да се најде плоштината на страничната површина на десниот паралелепипед, потребно е да се помножи периметарот на основата со висината: (формула (2)). Основен периметар p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, бидејќи А БЕ ЦЕ ДЕ- ромб H = AA 1 = ч. Тоа. Треба да се најде АИ ч.

Да ги разгледаме дијагоналните делови. АА 1 СС 1 – правоаголник, чија една страна е дијагонала на ромб AC = г 1, втор - страничен раб АА 1 = ч, Потоа

Слично за делот ББ 1 ДД 1 добиваме:

Користејќи го својството на паралелограм така што збирот на квадратите на дијагоналите е еднаков на збирот на квадратите на сите негови страни, ја добиваме еднаквоста Го добиваме следново:

Да изразиме од првите две еднаквости и да ги замениме со третата. Добиваме: тогаш

1.3. Во наклонета триаголна призма, пресек е нацртан нормално на страничниот раб еднаков на 12 cm Во добиениот триаголник, две страни со должина cm и 8 cm формираат агол од 45 °. Најдете ја страничната површина на призмата.

1.4. Основата на прав паралелепипед е ромб со страна од 4 cm и остар агол од 60 °. Најдете ги дијагоналите на паралелепипедот ако должината на страничниот раб е 10 cm.

1.5. Основата на десниот паралелепипед е квадрат со дијагонала еднаква на cm. Страничниот раб на паралелепипедот е 5 cm. Најдете ја вкупната површина на паралелепипедот.

1.6. Основата на наклонет паралелепипед е правоаголник со страни 3 cm и 4 cm Страничен раб еднаков на cm е наклонет кон рамнината на основата под агол од 60 °. Најдете го волуменот на паралелепипедот.

1.7. Пресметајте ја површината на правоаголен паралелепипед ако два рабови и дијагоналата што произлегуваат од едно теме се 11 cm, cm и 13 cm, соодветно.

1.8. Определете ја тежината на камениот столб во форма на правоаголен паралелепипед со димензии 0,3 m, 0,3 m и 2,5 m, ако специфичната тежина на материјалот е 2,2 g/cm 3.

1.9. Најдете ја дијагоналната површина на пресек на коцка ако дијагоналата на нејзиното лице е еднаква на dm.

1.10. Најдете го волуменот на коцката ако растојанието помеѓу две нејзини темиња што не лежат на истото лице е еднакво на cm.

Ниво II

2.1. Основата на навалената призма е рамностран триаголник со страна cm Страничниот раб е наклонет кон рамнината на основата под агол од 30°. Најдете ја површината на пресекот на призмата што минува низ страничниот раб и висината на призмата ако се знае дека едно од темињата на горната основа е проектирано на средината на страната на долната основа.

2.2. Основата на навалената призма е рамностран триаголник ABC со страна еднаква на 3 cm Темето A 1 е проектирано во центарот на триаголникот ABC. Реброто AA 1 прави агол од 45° со основната рамнина. Најдете ја страничната површина на призмата.

2.3. Пресметај го волуменот на наклонета триаголна призма ако страните на основата се 7 cm, 5 cm и 8 cm, а висината на призмата е еднаква на помалата висина на основниот триаголник.

2.4. Дијагоналата на правилна четириаголна призма е наклонета кон страничното лице под агол од 30°. Најдете го аголот на наклон кон рамнината на основата.

2.5. Основата на права призма е рамнокрак трапез чии основи се 4 cm и 14 cm, а дијагоналата е 15 cm Двете странични страни на призмата се квадрати. Најдете ја вкупната површина на призмата.

2.6. Дијагоналите на правилна шестоаголна призма се 19 cm и 21 cm Најди ја неговата волумен.

2.7. Најдете ги мерките на правоаголен паралелепипед чија дијагонала е 8 dm и со страничните страни формира агли од 30° и 40°.

2.8. Дијагоналите на основата на десниот паралелепипед се 34 cm и 38 cm, а плоштините на страничните лица се 800 cm 2 и 1200 cm 2. Најдете го волуменот на паралелепипедот.

2.9. Одреди го волуменот на правоаголен паралелепипед во кој дијагоналите на страничните страни што излегуваат од едно теме се 4 cm и 5 cm и формираат агол од 60 °.

2.10. Најдете го волуменот на коцката ако растојанието од нејзината дијагонала до работ што не се вкрстува со неа е mm.

Ниво III

3.1. Во правилна триаголна призма, се повлекува дел преку страната на основата и средината на спротивниот страничен раб. Површината на основата е 18 cm 2, а дијагоналата на страничното лице е наклонета кон основата под агол од 60 °. Најдете ја површината на пресекот.

3.2. Во основата на призмата лежи квадрат ABCD, чиишто темиња се подеднакво оддалечени од темето A 1 на горната основа. Аголот помеѓу страничниот раб и основната рамнина е 60°. Страната на основата е 12 cm Конструирај пресек од призмата со рамнина што минува низ темето C, нормална на работ AA 1 и најди ја неговата плоштина.

3.3. Основата на права призма е рамнокрак трапез. Површината на дијагоналниот пресек и површината на паралелните странични лица се соодветно 320 cm 2, 176 cm 2 и 336 cm 2. Најдете ја страничната површина на призмата.

3.4. Површината на основата на правоаголната триаголна призма е 9 cm 2, површината на страничните лица е 18 cm 2, 20 cm 2 и 34 cm 2. Најдете го волуменот на призмата.

3.5. Најдете ги дијагоналите на правоаголен паралелепипед, знаејќи дека дијагоналите на неговите лица се 11 cm, 19 cm и 20 cm.

3.6. Аглите формирани од дијагоналата на основата на правоаголен паралелепипед со страната на основата и дијагоналата на паралелепипедот се еднакви на a и b, соодветно. Најдете ја страничната површина на паралелепипедот ако неговата дијагонала е d.

3.7. Областа на делот од коцката што е правилен шестоаголник е еднаква на cm 2. Најдете ја површината на коцката.