Овој прирачник ќе ви помогне да научите како да изведувате операции со матрици: собирање (одземање) на матрици, транспонирање на матрица, множење на матрици, наоѓање на инверзна матрица. Целиот материјал е претставен во едноставна и достапна форма, дадени се соодветни примери, така што дури и неподготвен човек може да научи како да врши дејства со матрици. За само-следење и само-тестирање, можете бесплатно да преземете матричен калкулатор >>>.

Ќе се обидам да ги минимизирам теоретските пресметки, на некои места можни се објаснувања „на прсти“ и употреба на ненаучни термини. Љубители на солидна теорија, ве молиме да не се занимавате со критики, наша задача е да научат да вршат операции со матрици.

За СУПЕР БРЗ подготовка на темата (кој е „запален“) има интензивен pdf курс Матрица, детерминанта и тест!

Матрицата е правоаголна табела од некои елементи. Како елементиќе ги разгледаме броевите, односно нумеричките матрици. ЕЛЕМЕНТе термин. Препорачливо е да се запамети терминот, тој ќе се појавува често, не случајно користев задебелен фонт за да го истакнам.

Ознака:матриците обично се означуваат со големи латински букви

Пример:Размислете за матрица два по три:

Оваа матрица се состои од шест елементи:

Сите броеви (елементи) во матрицата постојат сами по себе, односно не станува збор за какво било одземање:

Тоа е само табела (сет) на бројки!

И ние ќе се договориме не преуредувајтеброеви, освен ако поинаку не е наведено во објаснувањата. Секој број има своја локација и не може да се меша!

Матрицата за која станува збор има два реда:

и три колони:

СТАНДАРД: кога зборуваме за големини на матрици, тогаш првоозначете го бројот на редови, а само тогаш бројот на колони. Штотуку ја разложивме матрицата два по три.

Ако бројот на редови и колони на матрицата е ист, тогаш матрицата се нарекува квадрат, На пример: – матрица три на три.

Ако матрицата има една колона или еден ред, тогаш се нарекуваат и такви матрици вектори.

Всушност, концептот на матрица ни е познат уште од училиште; земете, на пример, точка со координати „x“ и „y“: . Во суштина, координатите на точката се запишуваат во матрица еден по два. Патем, еве еден пример зошто е важен редоследот на броевите: и се две сосема различни точки на рамнината.

Сега да продолжиме со учењето операции со матрици:

1) Дејствувај еден. Отстранување на минус од матрицата (воведување минус во матрицата).

Да се ​​вратиме на нашата матрица . Како што веројатно забележавте, има премногу негативни броеви во оваа матрица. Ова е многу незгодно од гледна точка на извршување на различни дејства со матрицата, незгодно е да се пишуваат толку многу минуси, а едноставно изгледа грдо во дизајнот.

Да го преместиме минусот надвор од матрицата со менување на знакот на СЕКОЈ елемент од матрицата:

На нула, како што разбирате, знакот не се менува; нула е исто така нула во Африка.

Обратен пример: . Изгледа грдо.

Ајде да воведеме минус во матрицата со менување на знакот на СЕКОЈ елемент од матрицата:

Па, испадна многу поубаво. И што е најважно, ќе биде ПОЛЕСНО да се извршат какви било дејства со матрицата. Затоа што постои таков математички народен знак: колку повеќе минуси, толку повеќе конфузија и грешки.

2) Втор чин. Множење на матрица со број.

Пример:

Едноставно е, за да помножите матрица со број, ви треба секојматричен елемент помножен со даден број. Во овој случај - три.

Друг корисен пример:

– множење матрица со дропка

Прво да погледнеме што да правиме НЕМА ПОТРЕБА:

НЕМА ПОТРЕБА да се внесува дропка во матрицата; прво, тоа само ги комплицира понатамошните дејства со матрицата и второ, му отежнува на наставникот да го провери решението (особено ако – конечен одговор на задачата).

И особено, НЕМА ПОТРЕБАподелете го секој елемент од матрицата со минус седум:

Од статијата Математика за кукли или од каде да почнам, се сеќаваме дека во вишата математика се обидуваат на секој можен начин да ги избегнат децималните дропки со запирки.

Единственото нешто е по можностШто да направите во овој пример е да додадете минус на матрицата:

Но, ако само СИТЕелементите на матрицата беа поделени со 7 без трага, тогаш би било можно (и неопходно!) да се подели.

Пример:

Во овој случај, можете МОРА ДАпомножете ги сите елементи на матрицата со , бидејќи сите матрични броеви се деливи со 2 без трага.

Забелешка: во теоријата на високошколската математика не постои концепт на „поделба“. Наместо да кажете „ова поделено со тоа“, секогаш можете да кажете „ова помножено со дропка“. Односно, делењето е посебен случај на множење.

3) Трет чин. Транспонирање на матрица.

За да транспонирате матрица, треба да ги запишете нејзините редови во колоните на транспонираната матрица.

Пример:

Транспонира матрица

Овде има само еден ред и, според правилото, треба да се напише во колона:

– транспонирана матрица.

Транспонираната матрица обично се означува со надреден знак или прост горе десно.

Пример чекор по чекор:

Транспонира матрица

Прво го препишуваме првиот ред во првата колона:

Потоа ја препишуваме втората линија во втората колона:

И, конечно, го препишуваме третиот ред во третата колона:

Подготвени. Грубо кажано, транспонирањето значи вртење на матрицата на страна.

4) Чин четири. Збир (разлика) на матрици.

Збирот на матрици е едноставна операција.
НЕ СИТЕ МАТРИЦИ МОЖЕ ДА СЕ СВИТКААТ. За да се изврши собирање (одземање) на матрици потребно е тие да бидат со ИСТА ГОЛЕМИНА.

На пример, ако е дадена матрица два-на-два, тогаш таа може да се додаде само со матрица два-на-два и нема друга!

Пример:

Додадете матрици И

За да додадете матрици, треба да ги додадете нивните соодветни елементи:

За разликата на матриците правилото е слично, потребно е да се најде разликата на соодветните елементи.

Пример:

Најдете ја разликата во матрицата ,

Како можете полесно да го решите овој пример, за да не се збуните? Препорачливо е да се ослободите од непотребните минуси; за да го направите ова, додадете минус во матрицата:

Забелешка: во теоријата на високошколската математика не постои концепт на „одземање“. Наместо да кажете „одземете го ова од ова“, секогаш можете да кажете „додајте негативен број на ова“. Односно, одземањето е посебен случај на собирање.

5) Акт пет. Множење на матрицата.

Кои матрици може да се множат?

За да може една матрица да се помножи со матрица, потребно е така што бројот на матрични колони е еднаков на бројот на матричните редови.

Пример:
Дали е можно да се множи матрица со матрица?

Ова значи дека податоците од матрицата може да се множат.

Но, ако матриците се преуредени, тогаш, во овој случај, множењето повеќе не е можно!

Затоа, множењето не е можно:

Не е толку ретко да се сретнат задачи со трик, кога од ученикот се бара да множи матрици, чие множење е очигледно невозможно.

Треба да се забележи дека во некои случаи е можно да се множат матриците на двата начина.
На пример, за матрици, и множење и множење се можни

>> Матрици

4.1.Матрици. Операции на матрици

Правоаголна матрица со големина mxn е збирка mxn броеви распоредени во форма на правоаголна табела која содржи m редови и n колони. Ќе го напишеме во форма

или скратено како A = (a i j) (i = ; j = ), броевите a i j се нарекуваат негови елементи; Првиот индекс го означува бројот на редот, вториот - бројот на колоната. A = (a i j) и B = (b i j) со иста големина се нарекуваат еднакви ако нивните елементи кои стојат на истите места се парно еднакви, односно A = B ако a i j = b i j.

Матрицата која се состои од еден ред или една колона се нарекува вектор на ред или вектор на колона, соодветно. Векторите на колоните и векторите на редови едноставно се нарекуваат вектори.

Со овој број се идентификува матрица која се состои од еден број. А со големина mxn, чии сите елементи се еднакви на нула, се нарекуваат нула и се означени со 0. Елементите со исти индекси се нарекуваат елементи на главната дијагонала. Ако бројот на редови е еднаков на бројот на колони, односно m = n, тогаш матрицата се нарекува квадратна матрица од редот n. Квадратните матрици во кои само елементите на главната дијагонала се ненула се нарекуваат дијагонални и се запишуваат на следниов начин:

.

Ако сите елементи a i i од дијагоналата се еднакви на 1, тогаш таа се нарекува единица и се означува со буквата Е:

.

Квадратна матрица се нарекува триаголна ако сите елементи над (или под) главната дијагонала се еднакви на нула. Транспозиција е трансформација во која редовите и колоните се заменуваат додека се одржуваат нивните броеви. Транспозицијата е означена со T на врвот.

Ако ги преуредиме редовите и колоните во (4.1), добиваме

,

кој ќе се транспонира во однос на A. Особено при транспонирање на вектор на колона се добива вектор на ред и обратно.

Производот на A и бројот b е матрица чии елементи се добиваат од соодветните елементи на А со множење со бројот b: b A = (b a i j).

Збирот A = (a i j) и B = (b i j) со иста големина се нарекува C = (c i j) со иста големина, чии елементи се одредуваат со формулата c i j = a i j + b i j.

Производот AB се одредува под претпоставка дека бројот на колони од А е еднаков на бројот на редови од Б.

Производот AB, каде A = (a i j) и B = (b j k), каде што i = , j= , k= , даден по одреден редослед AB, се нарекува C = (c i k), чии елементи се определени со следново правило:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Со други зборови, елементот на производот AB е дефиниран на следниов начин: елементот од i-тата редица и k-та колона C е еднаков на збирот на производите на елементите од i-тата редица А и соодветните елементи на k-тата колона Б.

Пример 2.1. Најдете го производот на AB и .

Решение. Имаме: A со големина 2x3, B со големина 3x3, тогаш производот AB = C постои и елементите на C се еднакви

Од 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, од 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, од 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, а производот BA не постои.

Пример 2.2. Во табелата е даден бројот на единици производи кои се испраќаат дневно од млекарниците 1 и 2 до продавниците М 1, М 2 и М 3, а испораката на единица производ од секоја млекарница до продавницата М 1 чини 50 ден. единици, до продавница М 2 - 70, а до М 3 - 130 ден. единици Пресметајте ги дневните транспортни трошоци на секоја фабрика.

Млечно растение

Решение. Да ја означиме со А матрицата што ни е дадена во условот, и со
Б - матрица што ги карактеризира трошоците за испорака на единица производ до продавниците, т.е.

,

Тогаш матрицата на трошоците за транспорт ќе изгледа вака:

.

Значи, првата фабрика дневно троши 4.750 деманти за транспорт. единици, вториот - 3680 парични единици.

Пример 2.3. Компанијата за шиење произведува зимски капути, демисезонски капути и капути за дожд. Планираниот излез за една деценија се карактеризира со векторот X = (10, 15, 23). Се користат четири типа ткаенини: Т 1, Т 2, Т 3, Т 4. Табелата ги прикажува стапките на потрошувачка на ткаенина (во метри) за секој производ. Векторот C = (40, 35, 24, 16) ја одредува цената на метар ткаенина од секој тип, а векторот P = (5, 3, 2, 2) ги специфицира трошоците за транспорт на метар ткаенина од секој тип.

	Потрошувачка на ткаенина
Зимско палто
Деми-сезонски капут

1. Колку метри од секој тип ткаенина ќе бидат потребни за да се заврши планот?

2. Најдете ги трошоците за ткаенина потрошени за шиење на секој вид производ.

3. Одредете ја цената на целата ткаенина потребна за да се заврши планот.

Решение. Да ја означиме со А матрицата што ни е дадена во условот, т.е.

,

потоа за да го пронајдете бројот на метри ткаенина потребни за да го завршите планот, треба да го помножите векторот X со матрицата А:

Ги наоѓаме трошоците за ткаенина потрошени за шиење производи од секој тип со множење на матрицата А и векторот C T:

.

Цената на целата ткаенина потребна за комплетирање на планот ќе се определи со формулата:

Конечно, земајќи ги предвид транспортните трошоци, целата сума ќе биде еднаква на цената на ткаенината, односно 9472 ден. единици, плус вредност

X A P T =
.

Значи, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (парични единици).

Решавање матрици– концепт кој ги генерализира операциите на матрици. Математичка матрица е табела на елементи. Слична табела со m редови и n колони се вели дека е матрица m по n.
Општ поглед на матрицата

Главните елементи на матрицата:
Главна дијагонала. Составен е од елементите a 11, a 22.....a mn
Странична дијагонала.Составен е од елементите a 1n, и 2n-1.....a m1.
Пред да преминеме на решавање матрици, да ги разгледаме главните типови на матрици:
Плоштад– во кои бројот на редови е еднаков на бројот на колони (m=n)
Нула - сите елементи на оваа матрица се еднакви на 0.
Транспонирана матрица- матрицата B добиена од оригиналната матрица А со замена на редовите со колони.
Слободна- сите елементи на главната дијагонала се еднакви на 1, сите други се 0.
инверзна матрица- матрица, кога ќе се помножи со која оригиналната матрица резултира со идентитетска матрица.
Матрицата може да биде симетрична во однос на главната и секундарната дијагонала. Односно, ако a 12 = a 21, a 13 = a 31,….a 23 = a 32…. a m-1n =a mn-1. тогаш матрицата е симетрична во однос на главната дијагонала. Само квадратните матрици се симетрични.
Сега да преминеме директно на прашањето како да решаваме матрици.

Додавање на матрица.

Матриците може да се додаваат алгебарски ако имаат иста димензија. За да додадете матрица А со матрицата Б, треба да го додадете елементот од првиот ред од првата колона од матрицата А со првиот елемент од првиот ред на матрицата Б, елементот од втората колона од првиот ред на матрицата А со елементот од втората колона од првиот ред на матрицата Б итн.
Својства на додавање
А+Б=Б+А
(A+B)+C=A+(B+C)

Множење на матрицата.

Матриците може да се множат ако се конзистентни. Матриците А и Б се сметаат за конзистентни ако бројот на колони од матрицата А е еднаков на бројот на редови од матрицата Б.
Ако A е со димензија m на n, B е со димензија n по k, тогаш матрицата C=A*B ќе биде со димензија m на k и ќе биде составена од елементи

Каде што C 11 е збир на парни производи на елементите од редот од матрицата А и колоната од матрицата Б, односно елементот е збир од производот на елементот од првата колона од првиот ред на матрицата А со елемент од првата колона од првиот ред од матрицата Б, елемент од втората колона од првиот ред на матрицата А со елемент од првата колона од вториот ред матрици Б итн.
При множење важен е редоследот на множење. А*Б не е еднаков на Б*А.

Наоѓање на детерминантата.

Секоја квадратна матрица може да генерира детерминанта или детерминанта. Пишува дет. Или | елементи на матрицата |
За матрици со димензија 2 на 2. Определи дали има разлика помеѓу производот на елементите на главната и елементите на секундарната дијагонала.

За матрици со димензии 3 на 3 или повеќе. Операцијата за наоѓање на детерминантата е посложена.
Ајде да ги претставиме концептите:
Мала елемент– е детерминанта на матрица добиена од оригиналната матрица со вкрстување на редот и колоната од оригиналната матрица во која се наоѓал овој елемент.
Алгебарски комплементелементот на матрицата е производ на минор на овој елемент за -1 до моќта на збирот на редот и колоната од оригиналната матрица во која се наоѓал овој елемент.
Детерминантата на која било квадратна матрица е еднаква на збирот на производот на елементите од која било редица од матрицата со нивните соодветни алгебарски комплементи.

Инверзија на матрица

Инверзијата на матрицата е процес на пронаоѓање на инверзната матрица, чија дефиниција ја дадовме на почетокот. Инверзната матрица е означена на ист начин како и оригиналната со додавање на степен -1.
Најдете ја инверзната матрица користејќи ја формулата.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Каде што A * T е Транспонирана матрица на алгебарски комплементи.

Направивме примери за решавање матрици во форма на видео туторијал

:

Ако сакате да го сфатите, задолжително погледнете го.

Ова се основните операции за решавање матрици. Доколку имате дополнителни прашања за како да се решат матрици, слободно пишете во коментар.

Ако сè уште не можете да го сфатите тоа, обидете се да контактирате со специјалист.

Цел на услугата. Матричен калкулатордизајниран за решавање матрични изрази, како што се 3A-CB 2 или A -1 +B T.

Инструкции. За онлајн решение, треба да наведете матричен израз. Во втората фаза, ќе биде неопходно да се разјасни димензијата на матриците.

Дејства на матрици

Валидни операции: множење (*), собирање (+), одземање (-), инверзна матрица A^(-1), степенување (A^2, B^3), транспозиција на матрица (A^T).

Валидни операции: множење (*), собирање (+), одземање (-), инверзна матрица A^(-1), степенување (A^2, B^3), транспозиција на матрица (A^T).
За да извршите листа на операции, користете сепаратор со точка-запирка (;). На пример, за извршување на три операции:
а) 3A+4B
б) АБ-ВА
в) (А-Б) -1
ќе треба да го напишете вака: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Матрицата е правоаголна нумеричка табела со m редови и n колони, така што матрицата може шематски да се претстави како правоаголник.
Нулта матрица (нулта матрица)е матрица чии елементи се еднакви на нула и се означени со 0.
Матрица на идентитетсе нарекува квадратна матрица на формата

Две матрици А и Б се еднакви, ако се со иста големина и нивните соодветни елементи се еднакви.
Еднина матрицае матрица чија детерминанта е еднаква на нула (Δ = 0).

Ајде да дефинираме основни операции на матрици.

Додавање на матрица

Дефиниција . Збирот на две матрици со иста големина е матрица со исти димензии, чии елементи се наоѓаат според формулата . Се означува со C = A+B.

Пример 6. .
Операцијата на собирање матрица се протега на случај на кој било број на термини. Очигледно A+0=A.
Уште еднаш да нагласиме дека може да се додадат само матрици со иста големина; За матрици со различни големини, операцијата за собирање не е дефинирана.

Одземање на матрици

Дефиниција . Разликата B-A на матриците B и A со иста големина е матрица C таква што A+ C = B.

Множење на матрицата

Дефиниција . Производот на матрицата со број α е матрица добиена од A со множење на сите нејзини елементи со α, .
Дефиниција . Нека се дадени две матрици и , и бројот на колони од A е еднаков на бројот на редови од B. Производот на A со B е матрица чии елементи се наоѓаат според формулата .
Се означува со C = A·B.
Шематски, операцијата за множење на матрицата може да се прикаже на следниов начин:

и правило за пресметување на елемент во производ:

Да нагласиме уште еднаш дека производот A·B има смисла ако и само ако бројот на колони од првиот фактор е еднаков на бројот на редови од вториот, а производот произведува матрица чиј број на редови е еднаков на број на редови од првиот фактор, а бројот на колони е еднаков на бројот на колони од вториот. Можете да го проверите резултатот од множењето користејќи специјален онлајн калкулатор.

Пример 7. Дадени матрици И . Најдете матрици C = A·B и D = B·A.
Решение. Пред сè, забележете дека производот A·B постои затоа што бројот на колони од А е еднаков на бројот на редови од B.

Забележете дека во општиот случај A·B≠B·A, т.е. производот на матриците е антикомутативен.
Ајде да најдеме B·A (множење е можно).

Пример 8. Дадена е матрица . Најдете 3A 2 – 2A.
Решение.

.
; .
.
Да го забележиме следниот интересен факт.
Како што знаете, производот на два броја кои не се нула не е еднаков на нула. За матрици, слична околност може да не се случи, односно, производот на матрици кои не се нула може да испадне еднаков на нултата матрица.

Линеарна алгебра 1

Матрици 1

Операции на матрици 2

Матрични детерминанти 6

Инверзна матрица 13

Матрица ранг 16

Линеарна независност 21

Системи на линеарни равенки 24

Методи за решавање системи на линеарни равенки 27

Метод на инверзна матрица 27

Метод за решавање системи на линеарни равенки со квадратна матрица користејќи ги Крамеровите формули 29

Гаусовиот метод (метод на секвенцијална елиминација на променливите) 31

Линеарни алгебарски матрици

Матрицаголемината mxn е правоаголна табела со броеви која содржи m редови и n колони. Броевите што ја сочинуваат матрицата се нарекуваат елементи на матрицата.

Матриците обично се означуваат со големи латински букви, а елементите со исти, но мали букви со двојно индексирање.

На пример, земете ја матрицата А 2 x 3:

Оваа матрица има два реда (m= 2) и три колони (n= 3), т.е. се состои од шест елементи a ij, каде што i е бројот на редот, j е бројот на колоната. Во овој случај, потребни се вредности од 1 до 2 и од еден до три (напишано
). Имено, a 11 = 3; a 12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Се повикуваат матриците A и B со иста големина (mxn). еднакви, ако се совпаѓаат елемент по елемент, т.е. a ij =b ij за
, т.е. за кое било i и j (може да се напише i, j).

Матрица-реде матрица составена од еден ред, и матрица-колонае матрица составена од една колона.

На пример,
е ред матрица, и
.

Квадратна матрица n-тиот ред е матрица, бројот на редови е еднаков на бројот на колони и еднаков на n.

На пример,
- квадратна матрица од втор ред.

Дијагоналаматрични елементи се елементи чиј број на ред е еднаков на бројот на колоната (a ij ,i=j). Овие елементи се формираат главна дијагоналаматрици. Во претходниот пример, главната дијагонала е формирана од елементите a 11 = 3 и a 22 = 5.

Дијагонална матрицае квадратна матрица во која сите недијагонални елементи се нула. На пример,
- дијагонална матрица од трет ред. Ако сите дијагонални елементи се еднакви на еден, тогаш матрицата се нарекува сингл(обично се означува со буквата Е). На пример,
е идентитетска матрица од трет ред.

Матрицата се нарекува нула, ако сите негови елементи се еднакви на нула.

Квадратната матрица се нарекува триаголен, ако сите негови елементи под (или над) главната дијагонала се еднакви на нула. На пример,
- триаголна матрица од трет ред.

Операции на матрици

Следниве операции може да се извршат на матрици:

1. Множење на матрица со број. Производот на матрицата A и бројот fi е матрицата B =A, чии елементи се b ij =a ij за кои било i и j.

На пример, ако
, Тоа
.

2. Додавање на матрица. Збирот на две матрици A и B со иста големина m x n е матрицата C = A + B, чии елементи се со ij =a ij +b ij заi,j.

На пример, ако
Тоа

.

Забележете дека преку претходните операции може да се утврди одземање на матрицатасо иста големина: разлика A-B = A + (-1)*B.

3. Множење на матрицата. Производот на матрицата A со големина mxn со матрицата B со големина nxp е матрица C, чиј елемент со ij е еднаков на збирот на производите на елементите од i-тата редица на матрицата А со соодветните елементи од j-тата колона од матрицата B, т.е.
.

На пример, ако

, тогаш големината на матрицата на производот ќе биде 2 x 3 и ќе изгледа вака:

Во овој случај, се вели дека матрицата А е конзистентна со матрицата Б.

Врз основа на операцијата за множење за квадратни матрици, операцијата е дефинирана експоненцијација. Позитивната целобројна моќност A m (m > 1) на квадратна матрица A е производ на m матрици еднакви на A, т.е.

Нагласуваме дека собирањето (одземањето) и множењето на матриците не се дефинирани за ниту една две матрици, туку само за оние кои задоволуваат одредени барања за нивната димензија. За да се најде збирот или разликата на матриците, нивната големина мора да биде иста. За да се најде производот на матриците, бројот на колони од првата од нив мора да се совпадне со бројот на редови од втората (таквите матрици се нарекуваат договорено).

Да разгледаме некои својства на разгледуваните операции, слични на својствата на операциите на броеви.

1) Комутативен (комутативен) закон на собирање:

А + Б = Б + А

2) Асоцијативен (комбинативен) закон на собирање:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Дистрибутивен (дистрибутивен) закон на множење во однос на собирањето:

(A + B) = A +B

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) Асоцијативен (комбинативен) закон за множење:

(AB) = (A)B = A(B)

A(BC) = (AB)C

Нагласуваме дека комутативниот закон на множење за матрици НЕ е задоволен во општиот случај, т.е. AB BA. Згора на тоа, постоењето на AB не мора да значи постоење на BA (матриците можеби не се конзистентни, а потоа нивниот производ воопшто не е дефиниран, како во горниот пример за множење на матрицата). Но, дури и да постојат двете дела, тие обично се различни.

Во одреден случај, производот на која било квадратна матрица А и матрица на идентитет од ист ред има комутативен закон и овој производ е еднаков на A (множењето со матрицата за идентитет овде е слично на множењето со еден при множење броеви):

AE = EA = А

Навистина,

Да нагласиме уште една разлика помеѓу множење на матрицата и множење на броеви. Производ од броеви може да биде еднаков на нула ако и само ако барем еден од нив е нула. Ова не може да се каже за матрици, т.е. производот на матрици без нула може да биде еднаков на нулта матрица. На пример,

Да продолжиме со разгледувањето на операциите на матриците.

4. Транспонирање на матрицаја претставува операцијата на премин од матрица A со големина mxn во матрица A T со големина nxm, во која редовите и колоните се заменети:

%.

Својства на операцијата транспонирање:

1) Од дефиницијата следува дека ако матрицата се транспонира двапати, се враќаме во првобитната матрица: (A T) T = A.

2) Константниот фактор може да се извади од знакот за транспозиција: (A) ​​T =A T.

3) Транспозицијата е дистрибутивна во однос на множење и собирање на матрицата: (AB) T =B T A T и (A+B) T =B T +A T .