Математичко очекување на табелата за распределба. Својства на математичкото очекување. Дистрибутивна функција на дискретна случајна променлива
Како што е веќе познато, законот за распределба целосно карактеризира случајна променлива. Меѓутоа, честопати законот за дистрибуција е непознат и човек мора да се ограничи на помалку информации. Понекогаш е уште попрофитабилно да се користат броеви кои ја опишуваат случајната променлива вкупно; се нарекуваат такви броеви нумерички карактеристики случајна променлива .
Една од важните нумерички карактеристики е математичкото очекување.
Очекувана вредностприближно еднаква на просечната вредност на случајната променлива.
Математичко очекување на дискретна случајна променливае збир на производите на сите негови можни вредности и нивните веројатности.
Ако случајната променлива се карактеризира со конечна дистрибутивна серија:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| Р | стр 1 | стр 2 | стр 3 | … | r стр |
потоа математичкото очекување М(Х)определено со формулата:
Математичкото очекување на континуирана случајна променлива се определува со еднаквоста:
каде е густината на веројатноста на случајната променлива X.
Пример 4.7.Најдете го математичкото очекување за бројот на поени што се појавуваат при фрлање коцка.
Решение:
Случајна вредност Xги зема вредностите 1, 2, 3, 4, 5, 6. Да го создадеме законот за неговата дистрибуција:
| X | ||||||
| Р |
Тогаш математичкото очекување е:
Својства на математичкото очекување:
1. Математичкото очекување на константна вредност е еднакво на самата константа:
M (S) = S.
2. Константниот фактор може да се извади од знакот за математичко очекување:
M (CX) = CM (X).
3. Математичкото очекување од производот на две независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања:
M(XY) = M(X)M(Y).
Пример 4.8. Независни случајни променливи XИ Yсе дадени со следните закони за дистрибуција:
| X | Y | ||||||
| Р | 0,6 | 0,1 | 0,3 | Р | 0,8 | 0,2 |
Најдете го математичкото очекување на случајната променлива XY.
Решение.
Ајде да ги најдеме математичките очекувања за секоја од овие величини:
Случајни променливи XИ Yнезависно, затоа бараното математичко очекување е:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Последица.Математичкото очекување од производот на неколку меѓусебно независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања.
4. Математичкото очекување од збирот на две случајни променливи е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Последица.Математичкото очекување од збирот на неколку случајни променливи е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите.
Пример 4.9.Се испукани 3 истрели со веројатност за погодување на целта еднаква на стр 1 = 0,4; стр2= 0,3 и стр 3= 0,6. Најдете го математичкото очекување од вкупниот број на погодоци.
Решение.
Бројот на удари на првиот истрел е случајна променлива X 1, што може да земе само две вредности: 1 (хит) со веројатност стр 1= 0,4 и 0 (промашување) со веројатност q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Математичкото очекување на бројот на удари при првиот удар е еднакво на веројатноста за удар:
Слично, ги наоѓаме математичките очекувања за бројот на удари за вториот и третиот удар:
М(X 2)= 0,3 и M(X 3)= 0,6.
Вкупниот број на погодоци е исто така случајна променлива која се состои од збир на погодоци во секоја од трите снимки:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Потребното математичко очекување XГо наоѓаме користејќи ја теоремата за математичкото очекување на збирот.
Магнитуда
Основни нумерички карактеристики на случаен
Законот за распределба на густина карактеризира случајна променлива. Но, често тоа е непознато, и човек мора да се ограничи на помалку информации. Понекогаш е уште попрофитабилно да се користат броеви кои вкупно опишуваат случајна променлива. Таквите броеви се нарекуваат нумерички карактеристикислучајна променлива. Ајде да ги погледнеме главните.
Дефиниција:Математичкото очекување M(X) на дискретна случајна променлива е збирот на производите на сите можни вредности на оваа количина и нивните веројатности:
Ако дискретна случајна променлива Xтогаш зема бројни многу можни вредности
Покрај тоа, математичкото очекување постои ако оваа серија е апсолутно конвергентна.
Од дефиницијата произлегува дека М(Х)дискретна случајна променлива е неслучајна (константна) променлива.
Пример:Нека X– број на појави на настанот Аво еден тест, P(A) = стр. Треба да го најдеме математичкото очекување X.
Решение:Ајде да создадеме табеларен закон за распределба X:
| X | 0 | 1 |
| П | 1 - стр | стр |
Ајде да го најдеме математичкото очекување:
Така, математичкото очекување на бројот на појави на настан во едно испитување е еднакво на веројатноста за овој настан.
Потекло на терминот очекуваната вредностповрзан со почетниот период на појавата на теоријата на веројатност (XVI-XVII век), кога опсегот на неговата примена беше ограничен на коцкање. Играчот го интересираше просечната вредност на очекуваната победа, т.е. математичко очекување за победа.
Ајде да размислиме веројатностичко значење на математичкото очекување.
Нека се произведува nтестови во кои случајната променлива Xприфатени m 1пати вредност x 1, m 2пати вредност x 2, и така натаму, и на крајот таа прифати m kпати вредност x k, и m 1 + m 2 +…+ + m k = n.
Потоа збирот на сите вредности земени од случајната променлива X, е еднаков x 1 m 1 + x 2 m 2 +…+x k m k.
Аритметичка средина на сите вредности земени од случајна променлива X, еднакво на:
бидејќи е релативната фреквенција на вредност за која било вредност i = 1, …, k.
Како што е познато, ако бројот на тестови nе доволно голема, тогаш релативната фреквенција е приближно еднаква на веројатноста да се случи настанот, затоа,
Така,.
Заклучок:Математичкото очекување на дискретна случајна променлива е приближно еднакво (колку попрецизно, толку е поголем бројот на тестови) со аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајната променлива.
Да ги разгледаме основните својства на математичкото очекување.
Сопственост 1:Математичкото очекување за константна вредност е еднакво на самата константна вредност:
M(C) = C.
Доказ:Постојана СОможе да се разгледа , што има едно можно значење СОи го прифаќа со веројатност p = 1.Оттука, M(C) =C 1= С.
Ајде да дефинираме производ на константна променлива C и дискретна случајна променлива Xкако дискретна случајна променлива CX, чиишто можни вредности се еднакви на производите на константата СОдо можните вредности X CXеднакви на веројатностите на соодветните можни вредности X:
| CX | В | В | … | В |
| X | … | |||
| Р | … |
Сопственост 2:Константниот фактор може да се извади од знакот за математичко очекување:
M(CX) = CM(X).
Доказ:Нека случајната променлива Xе дадено со законот за распределба на веројатност:
| X | … | |||
| П | … |
Да го напишеме законот за распределба на веројатност на случајна променлива CX:
| CX | В | В | … | В |
| П | … |
M(CX) = В +В =В + ) = В М(Х).
Дефиниција:Две случајни променливи се нарекуваат независни ако законот за распределба на едната од нив не зависи од можните вредности што ги земала другата променлива. Во спротивно, случајните променливи се зависни.
Дефиниција:Се вели дека неколку случајни променливи се меѓусебно независни ако законите за распределба на кој било број од нив не зависат од тоа кои можни вредности ги земале преостанатите променливи.
Ајде да дефинираме производ на независни дискретни случајни променливи X и Yкако дискретна случајна променлива XY, чиишто можни вредности се еднакви на производите од секоја можна вредност Xза секоја можна вредност Y. Веројатности за можни вредности XYсе еднакви на производите на веројатностите на можните вредности на факторите.
Нека се дадени распределбите на случајните променливи XИ Y:
| X | … | |||
| П | … |
| Y | … | |||
| Г | … |
Потоа распределбата на случајната променлива XYима форма:
| XY | … | |||
| П | … |
Некои дела може да бидат еднакви. Во овој случај, веројатноста за можна вредност на производот е еднаква на збирот на соодветните веројатности. На пример, ако = , тогаш веројатноста за вредноста е
Сопственост 3:Математичкото очекување од производот на две независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања:
M(XY) = M(X) M(Y).
Доказ:Дозволете независни случајни променливи XИ Yсе специфицирани со нивните сопствени закони за распределба на веројатност:
| X | ||
| П |
| Y | ||
| Г |
За да ги поедноставиме пресметките, ќе се ограничиме на мал број можни вредности. Во општиот случај доказот е сличен.
Ајде да создадеме закон за распределба на случајна променлива XY:
| XY | ||||
| П |
M(XY) =
М(Х) M(Y).
Последица:Математичкото очекување од производот на неколку меѓусебно независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања.
Доказ:Дозволете ни да докажеме за три меѓусебно независни случајни променливи X,Y,З. Случајни променливи XYИ Знезависни, тогаш добиваме:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) М(З) = М(Х) M(Y) М(З).
За произволен број на меѓусебно независни случајни променливи, докажувањето се врши со методот на математичка индукција.
Пример:Независни случајни променливи XИ Y
| X | 5 | 2 | |
| П | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| Г | 0,8 | 0,2 |
Треба да се најде M(XY).
Решение:Бидејќи случајните променливи XИ Yтогаш се независни M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
Ајде да дефинираме збир на дискретни случајни променливи X и Yкако дискретна случајна променлива X+Y, чии можни вредности се еднакви на збировите на секоја можна вредност Xсо секоја можна вредност Y. Веројатности за можни вредности X+Yза независни случајни променливи XИ Yсе еднакви на производите на веројатностите на поимите, а за зависните случајни променливи - на производите на веројатноста на еден член со условната веројатност на вториот.
Ако = и веројатностите на овие вредности се соодветно еднакви, тогаш веројатноста (иста како ) е еднаква на .
Сопственост 4:Математичкото очекување од збирот на две случајни променливи (зависни или независни) е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Доказ:Нека две случајни променливи XИ Yсе дадени со следните закони за дистрибуција:
| X | ||
| П |
| Y | ||
| Г |
За да го поедноставиме заклучокот, ќе се ограничиме на две можни вредности на секоја количина. Во општиот случај доказот е сличен.
Ајде да ги составиме сите можни вредности на случајна променлива X+Y(да претпоставиме, за едноставност, дека овие вредности се различни; ако не, тогаш доказот е сличен):
| X+Y | ||||
| П |
Ајде да го најдеме математичкото очекување на оваа вредност.
М(X+Y) = + + + +
Да докажеме дека + = .
Настан X = (неговата веројатност P(X = ) го повлекува настанот дека случајната променлива X+Yќе ја земе вредноста или (веројатноста за овој настан, според теоремата за собирање, е еднаква на ) и обратно. Тогаш = .
На сличен начин се докажуваат еднаквостите = = =
Заменувајќи ги десните страни на овие еднаквости во добиената формула за математичкото очекување, добиваме:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Последица:Математичкото очекување од збирот на неколку случајни променливи е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите.
Доказ:Дозволете ни да докажеме за три случајни променливи X,Y,З. Ајде да го најдеме математичкото очекување на случајните променливи X+YИ З:
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
За произволен број на случајни променливи, докажувањето се врши со методот на математичка индукција.
Пример:Најдете го просекот од збирот на бројот на поени што може да се добијат при фрлање две коцки.
Решение:Нека X- бројот на поени што може да се појават на првата матрица, Y- На вториот. Очигледно е дека случајните променливи XИ Yимаат исти распределби. Ајде да ги запишеме податоците за дистрибуцијата XИ Yво една табела:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| П | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Значи, просечната вредност на збирот на бројот на поени што може да се појават при фрлање две коцки е 7 .
Теорема:Математичкото очекување M(X) на бројот на појавувања на настанот А во n независни испитувања е еднакво на производот од бројот на испитувања и веројатноста за појава на настанот во секое испитување: M(X) = np.
Доказ:Нека X– број на појави на настанот АВ nнезависни тестови. Очигледно, вкупен број Xпојави на настанот Аво овие испитувања е збирот на бројот на појави на настанот во поединечни испитувања. Потоа, ако бројот на појави на настан во првото судење, во второто и така натаму, конечно, е бројот на појави на настанот во n-ти тест, тогаш вкупниот број на појави на настанот се пресметува со формулата:
Од страна на својство 4 на математичко очекувањение имаме:
M(X) = M( ) + … + М( ).
Бидејќи математичкото очекување на бројот на појави на настан во едно испитување е еднакво на веројатноста на настанот, тогаш
М( ) = М ( )= … = М( ) = стр.
Оттука, M(X) = np.
Пример:Веројатноста да се погоди целта при пукање од пиштол е p = 0,6. Пронајдете го просечниот број на погодоци ако се направени 10 снимки.
Решение:Погодокот за секој истрел не зависи од исходите на другите снимки, затоа настаните што се разгледуваат се независни и, според тоа, потребното математичко очекување е еднакво на:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Значи, просечниот број на погодоци е 6.
Сега разгледајте го математичкото очекување на континуирана случајна променлива.
Дефиниција:Математичко очекување на континуирана случајна променлива X, чиишто можни вредности припаѓаат на интервалот,повикани определен интеграл:
каде f(x) е густината на распределбата на веројатноста.
Ако е можно, вредностите на континуирана случајна променлива X припаѓаат на целата оска Ox, тогаш
Се претпоставува дека ова неправилен интегралконвергира апсолутно, т.е. интегралот конвергира Доколку ова барање не беше исполнето, тогаш вредноста на интегралот би зависела од брзината со која (одделно) долната граница се стреми кон -∞, а горната граница се стреми кон +∞.
Тоа може да се докаже сите својства на математичкото очекување на дискретна случајна променлива се зачувани за континуирана случајна променлива. Доказот се заснова на својствата на определени и неправилни интеграли.
Очигледно е дека математичкото очекување М(Х)поголема од најмалата и помала од најголемата можна вредност на случајната променлива X. Оние. на бројната оска, можните вредности на случајната променлива се наоѓаат лево и десно од нејзиното математичко очекување. Во оваа смисла, математичкото очекување М(Х)ја карактеризира локацијата на дистрибуцијата и затоа често се нарекува дистрибутивен центар.
1. Математичкото очекување на константна вредност е еднакво на самата константа M(S)=C
.
2. Константниот фактор може да се извади од знакот за математичко очекување: M(CX)=CM(X)
3. Математичкото очекување од производот на две независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Математичкото очекување од збирот на две случајни променливи е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Теорема. Математичкото очекување M(x) на бројот на појави на настани A во n независни испитувања е еднакво на производот од овие испитувања според веројатноста за појава на настани во секое испитување: M(x) = np.
Нека X - случајна променлива и М(Х) – неговото математичко очекување. Да ја разгледаме како нова случајна променлива разликата X - M (X).
Отстапувањето е разликата помеѓу случајната променлива и нејзиното математичко очекување.
Отстапувањето го има следниот закон за распределба:
Решение: Да го најдеме математичкото очекување:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Да го напишеме законот за распределба на квадратното отстапување:
Решение: Да го најдеме математичкото очекување на M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5
Да го напишеме законот за распределба на случајната променлива X 2
| X 2 | |||
| П | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Ајде да го најдеме математичкото очекување М(x 2): М(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
Потребната варијанса е D(x)=M(x 2)- 2 =13,3-(3,5) 2 =1,05
Карактеристики на дисперзија:
1. Варијанса на константна вредност СО
еднакво на нула: D(C)=0
2. Константниот фактор може да се извади од знакот на дисперзија со негово квадратирање. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Варијансата на збирот на независни случајни променливи е еднаква на збирот на варијансите на овие променливи. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Варијанса биномна дистрибуцијаеднаков на производот од бројот на испитувања и веројатноста за појава и непојавување на настан во едно испитување D(X)=npq
За да се процени дисперзијата на можните вредности на случајна променлива околу нејзината средна вредност, покрај дисперзијата, се користат и некои други карактеристики. Тие вклучуваат стандардна девијација.
Стандардна девијација на случајна променлива Xсе нарекува квадратен корен на варијансата:
σ(X) = √D(X) (4)
Пример. Случајната променлива X е дадена со законот за распределба
| X | |||
| П | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Најдете ја стандардната девијација σ(x)
Решение: Да го најдеме математичкото очекување на X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Да го најдеме математичкото очекување на X 2: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Да ја најдеме варијансата: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
Потребната стандардна девијација σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61
Теорема. Стандардната девијација на збирот на конечен број меѓусебно независни случајни променливи е еднаква на квадратен коренод збирот на квадратите на стандардните отстапувања на овие големини:
Пример. На полица од 6 книги, 3 книги по математика и 3 за физика. По случаен избор се избираат три книги. Најдете го законот за распределба на бројот на книги по математика меѓу избраните книги. Најдете ги математичкото очекување и варијансата на оваа случајна променлива.
D(X)= M(X 2) - M(X) 2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45
Решение:
6.1.2 Својства на математичкото очекување
1. Математичкото очекување на константна вредност е еднакво на самата константа.
2. Константниот фактор може да се извади како знак на математичкото очекување. 
3. Математичкото очекување од производот на две независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања.
Ова својство е точно за произволен број на случајни променливи.
4. Математичкото очекување од збирот на две случајни променливи е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите.
Ова својство важи и за произволен број на случајни променливи.
Пример: М(Х) = 5, M(Y)= 2. Најдете го математичкото очекување на случајна променлива З, применувајќи ги својствата на математичкото очекување, доколку се знае дека Z=2X+3Y.
Решение: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) математичкото очекување на збирот е еднакво на збирот на математичките очекувања
2) константниот фактор може да се извади од знакот за математичко очекување
Нека се изведат n независни испитувања, веројатноста за појава на настанот А во кој е еднаква на стр. Тогаш важи следнава теорема:
Теорема. Математичкото очекување M(X) на бројот на појавувања на настанот А во n независни испитувања е еднакво на производот од бројот на испитувања и веројатноста за појава на настанот во секое испитување.
6.1.3 Дисперзија на дискретна случајна променлива
Математичкото очекување не може целосно да карактеризира случаен процес. Покрај математичкото очекување, неопходно е да се внесе вредност што го карактеризира отстапувањето на вредностите на случајната променлива од математичкото очекување.
Ова отстапување е еднакво на разликата помеѓу случајната променлива и нејзиното математичко очекување. Во овој случај, математичкото очекување на отстапувањето е нула. Ова се објаснува со фактот дека некои можни отстапувања се позитивни, други се негативни, а како резултат на нивното меѓусебно откажување се добива нула.
Дисперзија (расфрлање)на дискретна случајна променлива е математичкото очекување на квадратното отстапување на случајната променлива од нејзиното математичко очекување.
Во пракса, овој метод на пресметување на варијансата е незгоден, бидејќи доведува до незгодни пресметки за голем број вредности на случајни променливи.
Затоа, се користи друг метод.
Теорема. Варијансата е еднаква на разликата помеѓу математичкото очекување на квадратот на случајната променлива X и квадратот на нејзиното математичко очекување.
Доказ. Имајќи го предвид фактот дека математичкото очекување M(X) и квадратот на математичкото очекување M2(X) се константни величини, можеме да напишеме:
Пример. Најдете ја варијансата на дискретна случајна променлива дадена со законот за распределба.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| Р | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Решение:.
6.1.4 Својства на дисперзија
1. Варијансата на константна вредност е нула. .
2. Константниот фактор може да се извади од знакот на дисперзија со негово квадратирање. 
.
3. Варијансата на збирот на две независни случајни променливи е еднаква на збирот на варијансите на овие променливи. .
4. Варијансата на разликата помеѓу две независни случајни променливи е еднаква на збирот на варијансите на овие променливи. .
Теорема. Варијансата на бројот на појавувања на настанот А во n независни испитувања, во секое од кои веројатноста p за појава на настанот е константна, е еднаква на производот од бројот на испитувања според веројатностите за појава и не- појава на настанот во секое судење.
Пример: Најдете ја варијансата на DSV X - бројот на појавувања на настанот А во 2 независни испитувања, ако веројатноста за појава на настанот во овие испитувања е иста и се знае дека M(X) = 1,2.
Да ја примениме теоремата од делот 6.1.2:
M(X) = np
М(Х) = 1,2; n= 2. Ајде да најдеме стр:
1,2 = 2∙стр
стр = 1,2/2
q = 1 – стр = 1 – 0,6 = 0,4
Ајде да ја најдеме варијансата користејќи ја формулата:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Стандардна девијација на дискретна случајна променлива
Стандардна девијацијаслучајната променлива X се нарекува квадратен корен на варијансата.
(25)
Теорема. Стандардната девијација на збирот на конечен број меѓусебно независни случајни променливи е еднаква на квадратниот корен од збирот на квадратите на стандардните отстапувања на овие променливи.
6.1.6 Мод и медијана на дискретна случајна променлива
Мода M o DSVсе нарекува најверојатната вредност на случајната променлива (т.е. вредноста што има најголема веројатност)
Медијана M e DSVе вредноста на случајна променлива која ја дели серијата на дистрибуција на половина. Ако бројот на вредности на случајна променлива е парен, тогаш медијаната се наоѓа како аритметичка средина на две просечни вредности.
Пример: Најдете го режимот и медијаната на DSV X:
| X | ||||
| стр | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
М е = = 5,5
Напредок
1. Запознајте се со теоретскиот дел од оваа работа (предавања, учебник).
2. Завршете ја задачата според вашата верзија.
3. Направете извештај за работата.
4. Заштитете ја вашата работа.
2. Цел на работата.
3. Работен напредок.
4. Решавање на сопствената опција.
6.4 Опции за задачи за самостојна работа
Опција број 1
1. Најдете го математичкото очекување, дисперзија, стандардна девијација, режим и медијана на DSV X, дадени со законот за распределба.
| X | ||||
| П | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. Најдете го математичкото очекување на случајната променлива Z ако се познати математичките очекувања на X и Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. Најдете ја варијансата на DSV X - бројот на појавувања на настанот А во две независни испитувања, ако веројатностите за појава на настани во овие испитувања се исти и се знае дека M (X) = 1.
4. Дадена е листа на можни вредности на дискретна случајна променлива X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3= 5, а познати се и математичките очекувања на оваа вредност и нејзиниот квадрат: , . Најдете ги веројатностите , , , што одговараат на можните вредности на , и изгответе го законот за распределба на DSV.
Опција бр. 2
| X | ||||
| П | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Најдете го математичкото очекување на случајната променлива Z ако се познати математичките очекувања на X и Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. Најдете ја варијансата на DSV X - бројот на појавувања на настанот А во три независни испитувања, ако веројатностите за појава на настани во овие испитувања се исти и се знае дека M (X) = 0,9.
4. Даден е список на можни вредности на дискретна случајна променлива X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10, а познати се и математичките очекувања на оваа вредност и нејзиниот квадрат: , . Најдете ги веројатностите , , , што одговараат на можните вредности на , и изгответе го законот за распределба на DSV.
Опција број 3
1. Најдете ги математичкото очекување, дисперзија и стандардна девијација на DSV X, дадени со законот за распределба.
| X | ||||
| П | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. Најдете го математичкото очекување на случајната променлива Z ако се познати математичките очекувања на X и Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. Најдете ја варијансата на DSV X - бројот на појавувања на настанот А во четири независни испитувања, ако веројатностите за појава на настани во овие испитувања се исти и се знае дека M (x) = 1,2.
Концептот на математичко очекување може да се разгледа користејќи го примерот на фрлање матрица. Со секое фрлање се запишуваат испуштените поени. За нивно изразување, се користат природни вредности во опсегот 1-6.
По одреден број на фрлања, користејќи едноставни пресметки, можете да го најдете аритметичкиот просек на валани поени.
Исто како и појавата на која било од вредностите во опсегот, оваа вредност ќе биде случајна.
Што ако го зголемите бројот на фрлања неколку пати? Со голем број на фрлања, аритметичкиот просек на поени ќе се приближи до одредена бројка, која во теоријата на веројатност се нарекува математичко очекување.
Значи, под математичко очекување подразбираме просечна вредност на случајна променлива. Овој индикатор може да се прикаже и како пондериран збир на веројатни вредности.
Овој концепт има неколку синоними:
- средна вредност;
- средна вредност;
- индикатор за централна тенденција;
- првиот момент.
Со други зборови, тоа не е ништо повеќе од број околу кој се распределуваат вредностите на случајна променлива.
Во различни сфери на човековата активност, пристапите за разбирање на математичкото очекување ќе бидат малку различни.
Може да се смета како:
- просечната корист добиена од донесување одлука, кога таквата одлука се разгледува од гледна точка на теоријата на големи броеви;
- можниот износ на добивка или загуба (теорија на коцкање), пресметан во просек за секој облог. Во сленг, тие звучат како „предност на играчот“ (позитивна за играчот) или „предност во казино“ (негативна за играчот);
- процент од добивката добиена од добивки.
Очекувањето не е задолжително за апсолутно сите случајни променливи. Го нема за оние кои имаат несовпаѓање во соодветната сума или интеграл.
Својства на математичкото очекување
Како и секој статистички параметар, математичкото очекување ги има следните својства:
Основни формули за математичко очекување
Пресметката на математичкото очекување може да се изврши и за случајни променливи кои се карактеризираат и со континуитет (формула А) и со дискретност (формула Б):
- M(X)=∑i=1nxi⋅pi, каде xi се вредностите на случајната променлива, pi се веројатностите:
- M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, каде што f(x) е дадената густина на веројатност.
Примери за пресметување на математичко очекување
Пример А.
Дали е можно да се открие просечната висина на џуџињата во бајката за Снежана. Познато е дека секое од 7-те џуџиња имало одредена висина: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81 м.
Алгоритмот за пресметка е прилично едноставен:
- го наоѓаме збирот на сите вредности на индикаторот за раст (случајна променлива):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - Поделете ја добиената количина со бројот на гноми:
6,31:7=0,90.
Така, просечната висина на гномите во бајката е 90 см.Со други зборови, ова е математичкото очекување за растот на гномите.
Работна формула - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6
Практична имплементација на математичкото очекување
Пресметката на статистичкиот индикатор на математичкото очекување се прибегнува во различни области на практична активност. Пред сè, зборуваме за комерцијалната сфера. На крајот на краиштата, воведувањето на овој индикатор од страна на Хајгенс е поврзано со одредување на шансите кои можат да бидат поволни, или, напротив, неповолни за некој настан.
Овој параметар е широко користен за проценка на ризиците, особено кога станува збор за финансиски инвестиции.
Така, во бизнисот, пресметката на математичкото очекување делува како метод за проценка на ризикот при пресметување на цените.
Овој индикатор може да се користи и за пресметување на ефективноста на одредени мерки, на пример, заштита на трудот. Благодарение на него, можете да ја пресметате веројатноста да се случи некој настан.
Друга област на примена на овој параметар е управувањето. Може да се пресмета и при контрола на квалитетот на производот. На пример, користејќи мат. очекувања, можете да го пресметате можниот број на произведени неисправни делови.
Математичкото очекување се покажува како незаменливо и при извршување на статистичка обработка на резултатите добиени во текот на научно истражувањерезултати. Ви овозможува да ја пресметате веројатноста за посакуван или непожелен исход од експеримент или студија во зависност од нивото на постигнување на целта. На крајот на краиштата, неговото достигнување може да се поврзе со добивка и корист, а неговиот неуспех може да биде поврзан со загуба или загуба.
Користење на математичко очекување во Forex
Практична употребаовој статистички параметар е возможен при вршење на операции на девизниот пазар. Со негова помош, можете да го анализирате успехот на трговските трансакции. Згора на тоа, зголемувањето на вредноста на очекувањата укажува на зголемување на нивниот успех.
Исто така, важно е да се запамети дека математичкото очекување не треба да се смета како единствен статистички параметар што се користи за анализа на перформансите на трговецот. Употребата на неколку статистички параметри заедно со просечната вредност значително ја зголемува точноста на анализата.
Овој параметар добро се покажа во следењето на набљудувањата на трговските сметки. Благодарение на него, се врши брза проценка на работата извршена на депозитната сметка. Во случаи кога активноста на трговецот е успешна и тој избегнува загуби, не се препорачува исклучиво да се користи пресметката на математичкото очекување. Во овие случаи, ризиците не се земаат предвид, што ја намалува ефективноста на анализата.
Спроведените студии за тактиките на трговците покажуваат дека:
- Најефективните тактики се оние засновани на случаен внес;
- Најмалку ефективни се тактиките засновани на структурирани влезови.
За да се постигнат позитивни резултати, не помалку важни се:
- тактики за управување со пари;
- стратегии за излез.
Користејќи таков индикатор како математичко очекување, можете да предвидите колкава ќе биде добивката или загубата кога инвестирате 1 долар. Познато е дека овој индикатор, пресметан за сите игри што се практикуваат во казиното, е во корист на основањето. Ова е она што ви овозможува да заработите пари. Во случај на долга серија игри, веројатноста клиентот да изгуби пари значително се зголемува.
Игрите што ги играат професионални играчи се ограничени на кратки временски периоди, што ја зголемува веројатноста за победа и го намалува ризикот од губење. Истата шема се забележува и при извршување на инвестициските операции.
Инвеститорот може да заработи значителен износ со тоа што има позитивни очекувања и прави голем број трансакции за краток временски период.
Очекувањето може да се смета како разлика помеѓу процентот на добивка (PW) помножен со просечната добивка (AW) и веројатноста за загуба (PL) помножена со просечната загуба (AL).
Како пример, можеме да го земеме следново: позиција – 12,5 илјади долари, портфолио – 100 илјади долари, ризик од депозит – 1%. Профитабилноста на трансакциите е 40% од случаите со просечна добивка од 20%. Во случај на загуба, просечната загуба е 5%. Пресметувањето на математичкото очекување за трансакцијата дава вредност од 625 долари.
Се вчитува...