Матрици, нивна класификација, аритметички операции на матрици. Матрици. Основни дефиниции и типови на матрици. Дејства на матрици. Концептот на матричен ранг. Операции на матрици. Поим и наоѓање инверзна матрица Посебни типови матрици

Матрицата е посебен објект во математиката. Тој е прикажан во форма на правоаголна или квадратна табела, составена од одреден број редови и колони. Во математиката има широк спектар на видови матрици, различни по големина или содржина. Броевите на неговите редови и колони се нарекуваат нарачки. Овие објекти се користат во математиката за организирање на снимање на системи линеарни равенкии практично пребарување за нивните резултати. Равенките со помош на матрица се решаваат со методот на Карл Гаус, Габриел Крамер, минори и алгебарски собирања, како и многу други методи. Основната вештина при работа со матрици е намалување на Сепак, прво, ајде да откриеме какви видови матрици разликуваат математичарите.

Нулти тип

Сите компоненти на овој тип на матрица се нули. Во меѓувреме, бројот на неговите редови и колони е сосема различен.

Квадратен тип

Бројот на колони и редови од овој тип на матрица е ист. Со други зборови, тоа е маса во форма на „квадрат“. Бројот на неговите колони (или редови) се нарекува ред. Посебни случаи се сметаат за постоење на матрица од втор ред (2x2 матрица), четврти ред (4x4), десетти ред (10x10), седумнаесетти ред (17x17) и така натаму.

Вектор на колона

Ова е еден од наједноставните типови на матрици, кој содржи само една колона, која вклучува три нумерички вредности. Претставува голем број слободни членови (броеви независни од променливите) во системи на линеарни равенки.

Приказ сличен на претходниот. Се состои од три нумерички елементи, за возврат организирани во една линија.

Дијагонален тип

Нумеричките вредности во дијагоналната форма на матрицата ги земаат само компонентите на главната дијагонала (означена со зелена боја). Главната дијагонала започнува со елементот лоциран во горниот лев агол и завршува со елементот во долниот десен, соодветно. Останатите компоненти се еднакви на нула. Дијагоналниот тип е само квадратна матрица од одреден ред. Меѓу дијагоналните матрици може да се разликува скаларната. Сите негови компоненти ги земаат истите вредности.

Подтип на дијагонална матрица. Сите од неа нумерички вредностисе единици. Користејќи еден тип на матрична табела, се извршуваат нејзините основни трансформации или се наоѓа матрица обратна од првобитната.

Канонски тип

Канонската форма на матрицата се смета за една од главните; Намалувањето на тоа често е неопходно за работа. Бројот на редови и колони во канонската матрица варира и не мора да припаѓа на квадратниот тип. Тоа е нешто слично на матрицата на идентитетот, но во нејзиниот случај не сите компоненти на главната дијагонала добиваат вредност еднаква на една. Може да има две или четири главни дијагонални единици (сето тоа зависи од должината и ширината на матрицата). Или можеби нема воопшто единици (тогаш се смета за нула). Останатите компоненти на канонскиот тип, како и дијагоналните и единечните елементи се еднакви на нула.

Триаголен тип

Еден од најважните типови на матрици, кој се користи при пребарување на нејзината детерминанта и при извршување на едноставни операции. Триаголниот тип доаѓа од дијагоналниот тип, така што матрицата е исто така квадратна. Триаголниот тип на матрица е поделен на горен триаголен и долен триаголен.

Во горната триаголна матрица (сл. 1), само елементите што се над главната дијагонала земаат вредност еднаква на нула. Компонентите на самата дијагонала и делот од матрицата сместен под неа содржат нумерички вредности.

Во долната триаголна матрица (сл. 2), напротив, елементите лоцирани во долниот дел од матрицата се еднакви на нула.

Типот е неопходен за да се најде рангот на матрицата, како и за елементарни операции на нив (заедно со триаголниот тип). Матрицата на чекори е наречена така затоа што содржи карактеристични „чекори“ на нули (како што е прикажано на сликата). Во типот на чекор, се формира дијагонала од нули (не мора главната), а сите елементи под оваа дијагонала исто така имаат вредности еднакви на нула. Предуслов е следново: ако има нулта ред во матрицата на чекори, тогаш останатите редови под неа исто така не содржат нумерички вредности.

Така, ги испитавме најважните типови на матрици неопходни за работа со нив. Сега да го разгледаме проблемот со конвертирање на матрицата во потребната форма.

Намалување на триаголна форма

Како да се донесе матрица во триаголна форма? Најчесто во задачите треба да трансформирате матрица во триаголна форма за да ја пронајдете нејзината детерминанта, инаку наречена детерминанта. При изведување на оваа постапка, исклучително е важно да се „зачува“ главната дијагонала на матрицата, бидејќи детерминантата на триаголната матрица е еднаква на производот на компонентите на нејзината главна дијагонала. Дозволете ми да се потсетам и на алтернативните методи за наоѓање на детерминантата. Детерминантата на типот на квадрат се наоѓа со помош на специјални формули. На пример, можете да го користите методот на триаголник. За други матрици се користи методот на разложување по ред, колона или нивни елементи. Можете исто така да го користите методот на мали и алгебарски матрични собирања.

Дозволете ни да го анализираме детално процесот на намалување на матрицата во триаголна форма користејќи примери на некои задачи.

Вежба 1

Неопходно е да се најде детерминантата на претставената матрица користејќи го методот на нејзино намалување во триаголна форма.

Матрицата што ни е дадена е квадратна матрица од трет ред. Затоа, за да го трансформираме во триаголен облик, ќе треба да нулираме две компоненти од првата колона и една компонента од втората.

За да ја доведеме во триаголна форма, ја започнуваме трансформацијата од долниот лев агол на матрицата - од бројот 6. За да ја претвориме на нула, помножете го првиот ред со три и одземете го од последниот ред.

Важно! Горниот ред не се менува, но останува ист како во оригиналната матрица. Нема потреба да пишувате низа четири пати поголема од оригиналната. Но, вредностите на низите чии компоненти треба да се постават на нула постојано се менуваат.

Останува само последната вредност - елементот од третиот ред од втората колона. Ова е бројот (-1). За да го претворите на нула, одземете ја втората од првата линија.

Ајде да провериме:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Ова значи дека одговорот на задачата е -22.

Задача 2

Неопходно е да се најде детерминантата на матрицата со тоа што ќе се сведе во триаголна форма.

Презентираната матрица припаѓа на типот квадрат и е матрица од четврти ред. Тоа значи дека е потребно да се претворат три компоненти од првата колона, две компоненти од втората колона и една компонента од третата на нула.

Да почнеме да го намалуваме со елементот лоциран во долниот лев агол - со бројот 4. Треба да го претвориме овој број на нула. Најлесен начин да го направите ова е да ја помножите горната линија со четири и потоа да ја одземете од четвртата. Ајде да го запишеме резултатот од првата фаза на трансформација.

Значи, компонентата од четвртиот ред е поставена на нула. Да преминеме на првиот елемент од третата линија, до бројот 3. Ние извршуваме слична операција. Првата линија ја множиме со три, ја одземаме од третата линија и го запишуваме резултатот.

Успеавме да ги претвориме на нула сите компоненти од првата колона од оваа квадратна матрица, со исклучок на бројот 1 - елемент од главната дијагонала што не бара трансформација. Сега е важно да ги зачуваме добиените нули, па трансформациите ќе ги вршиме со редови, а не со колони. Да преминеме на втората колона од претставената матрица.

Да почнеме повторно на дното - со елементот на втората колона од последниот ред. Овој број е (-7). Меѓутоа, во во овој случајПопогодно е да се започне со бројот (-1) - елементот на втората колона од третиот ред. За да ја претворите на нула, одземете ја втората од третата линија. Потоа го множиме вториот ред со седум и го одземаме од четвртиот. Добивме нула наместо елементот лоциран во четвртиот ред од втората колона. Сега да преминеме на третата колона.

Во оваа колона, треба да претвориме само еден број на нула - 4. Ова не е тешко да се направи: едноставно додаваме една третина на последната линија и ја гледаме нулата што ни треба.

По сите направени трансформации, предложената матрица ја доведовме во триаголна форма. Сега, за да ја пронајдете нејзината детерминанта, треба само да ги помножите добиените елементи на главната дијагонала. Добиваме: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.Според тоа, решението е 160.

Значи, сега прашањето за намалување на матрицата во триаголна форма нема да ви пречи.

Намалување на зачекорена форма

За елементарни операции на матрици, скалестата форма е помалку „на побарувачка“ од триаголната. Најчесто се користи за наоѓање на рангот на матрицата (т.е., бројот на нејзините не-нула редови) или за одредување линеарно зависни и независни редови. Сепак, скалестиот тип на матрица е поуниверзален, бидејќи е погоден не само за квадратниот тип, туку и за сите други.

За да ја намалите матрицата во етапна форма, прво треба да ја пронајдете нејзината детерминанта. Горенаведените методи се погодни за ова. Целта на наоѓање на детерминантата е да се открие дали таа може да се претвори во матрица на чекори. Ако детерминантата е поголема или помала од нула, тогаш можете безбедно да продолжите со задачата. Ако е еднаква на нула, нема да биде возможно да се намали матрицата на чекор по чекор. Во овој случај, треба да проверите дали има грешки во снимањето или во трансформациите на матрицата. Ако нема такви неточности, задачата не може да се реши.

Ајде да погледнеме како да ја намалиме матрицата на чекор по форма користејќи примери на неколку задачи.

Вежба 1.Најдете го рангот на дадената матрична табела.

Пред нас е квадратна матрица од трет ред (3x3). Знаеме дека за да се најде рангот, потребно е да се сведе на чекор напред. Затоа, прво треба да ја најдеме детерминантата на матрицата. Ајде да го користиме методот на триаголник: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Детерминанта = 12. Таа е поголема од нула, што значи дека матрицата може да се сведе на чекор по чекор. Да почнеме да го трансформираме.

Да го започнеме со елементот на левата колона од третата линија - бројот 2. Помножете ја горната линија со два и одземете ја од третата. Благодарение на оваа операција, и елементот што ни треба и бројот 4 - елементот од втората колона од третиот ред - се претворија на нула.

Гледаме дека како резултат на редукцијата се формирала триаголна матрица. Во нашиот случај, не можеме да ја продолжиме трансформацијата, бидејќи преостанатите компоненти не можат да се сведат на нула.

Ова значи дека заклучуваме дека бројот на редови што содржат нумерички вредности во оваа матрица (или нејзиниот ранг) е 3. Одговорот на задачата: 3.

Задача 2.Одреди го бројот на линеарно независни редови од оваа матрица.

Треба да најдеме низи кои не можат да се претворат во нула со која било трансформација. Всушност, треба да го најдеме бројот на редови кои не се нула, или рангот на претставената матрица. За да го направите ова, дозволете ни да го поедноставиме.

Гледаме матрица што не припаѓа на типот на квадрат. Има димензии 3х4. Да го започнеме намалувањето и со елементот на долниот лев агол - бројот (-1).

Неговите понатамошни трансформации се невозможни. Тоа значи дека заклучуваме дека бројот на линеарно независни линии во него и одговорот на задачата е 3.

Сега намалувањето на матрицата на скалеста форма не е невозможна задача за вас.

Користејќи примери за овие задачи, го испитавме намалувањето на матрицата на триаголна форма и форма со чекори. За да ги претворите саканите вредности на матричните табели на нула, во некои случаи треба да ја искористите вашата имагинација и правилно да ги конвертирате нивните колони или редови. Среќно во математиката и во работата со матрици!

Поим/дефиниција на матрица. Видови матрици

Дефиниција на матрица. Матрицата е правоаголна табела со броеви која содржи одреден број m редови и одреден број од n колони.

Основни концепти на матрица:Броевите m и n се нарекуваат редови на матрицата. Ако m=n, матрицата се нарекува квадрат, а бројот m=n е неговиот ред.

Во продолжение, ознаката ќе се користи за пишување на матрицата: Иако понекогаш ознаката се наоѓа во литературата: Меѓутоа, за накратко означување на матрицата, често се користи една голема буква од латинската азбука (на пример, A), или симболот ||aij||, а понекогаш и со објаснување: A=||aij||=(aij ) (i=1, 2,…,m; j=1,2,…n)

Броевите aij вклучени во оваа матрица се нарекуваат нејзини елементи. Во записот aij, првиот индекс i е бројот на редот, а вториот индекс j е бројот на колоната.

На пример, матрица ова е матрица од ред 2×3, нејзините елементи се a11=1, a12=x, a13=3, a21=-2y, ...

Значи, ја воведовме дефиницијата за матрица. Да ги разгледаме типовите на матрици и да ги дадеме соодветните дефиниции.

Видови матрици

Да го воведеме концептот на матрици: квадрат, дијагонала, единица и нула.

Дефиниција за квадратна матрица: Квадратна матрицаМатрицата од n-ти ред се нарекува матрица n×n.

Во случај на квадратна матрица Воведен е концептот на главни и секундарни дијагонали. Главната дијагонала на матрицатасе нарекува дијагонала која оди од горниот лев агол на матрицата до нејзиниот долен десен агол. Странична дијагоналаод истата матрица се нарекува дијагонала која оди од долниот лев агол до горниот десен агол. Концептот на дијагонална матрица: Дијагоналае квадратна матрица во која сите елементи надвор од главната дијагонала се еднакви на нула. Концептот на матрицата на идентитетот: Слободна(означува E понекогаш и I) се нарекува дијагонална матрица со оние на главната дијагонала. Концептот на нулта матрица: Нулае матрица чии елементи се сите нула. За две матрици A и B се вели дека се еднакви (A=B) ако се со иста големина (т.е. имаат ист број на редови и ист број на колони и нивните соодветни елементи се еднакви). Па ако тогаш A=B, ако a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22

Овој материјал е земен од страницата Highermath.ru

СОЈУЗНИОТ ДРЖАВЕН БУЏЕТ ВИСОКООБРАЗОВНА ИНСТИТУЦИЈА

„ДРЖАВЕН ЗЕМЈОДЕЛЕН УНИВЕРЗИТЕТ ОРЕНБУРГ“

Оддел "Компјутерски науки и Применета математика»

МЕТОДОЛОШКИ УПАТСТВА ЗА СТУДЕНТИ

ЗА УПОТРЕБА НА ДИСЦИПЛИНАТА

Математика

Насока на обука (специјалност): 040400 Социјална работа (ниво на додипломски студии)

Профил на едукативна програмаСоцијална работа

Форма на студирање:кореспонденција

Оренбург 2016 година

1. Белешки за предавање……………………………………………………...

1.1 Предавање бр.1……………………....................................

1.2 Предавање бр.2…………………………………….

1.3 Предавање бр.3………………………………………

1.4 Предавање бр.4………………………………………………….

1.5 Предавање бр.5……………………

1.6 Предавање бр.6………………………………………..

1.7 Предавање бр.7 ……………………………………………………………………..….

1.8Предавање бр.8.……………………...…………………………….

Предавање бр.9

2. Насокиза практична обука………

2.1 Практичен час бр.ПЗ -1………………….

2.2 Практичен час бр.ПЗ -2 ……………………

2.3 Практичен час бр.ПЗ -3……………………...

2.4 Практичен час бр.ПЗ -4……………………...

2.5 Практичен час бр.ПЗ -5……………………..

2.6 Практичен час бр.ПЗ -6 ………………………………………………….

2.7 Практичен час бр.ПЗ -7…………………………………………………….

2.8 Практичен час бр.ПЗ -8…………………………………………………...

2.9 Практичен час бр.ПЗ -9……………………………………………………...

2.10 Практичен час бр.ПЗ -10…………………..

2.11 Практичен час бр.ПЗ -11……………………..

2.12 Практичен час бр.ПЗ -12………………………………………………..

2.13 Практичен час бр.ПЗ -13………………………………………………….

2.14 Практичен час бр.ПЗ -14-15………………………………………………

2.15 Практичен час бр ПЗ - 16………………

2.16 Практичен час бр.ПЗ - 17………………

2.17 Практичен час бр.ПЗ - 18 ………………

БЕЛЕШКИ ЗА ПРЕДАВАЊЕ

1.1Предавање 1(2 часа)

Предмет: Елементи на теоријата на матрици и детерминанти. Елементи на линеарна алгебра. Елементи на аналитичка геометрија

1.1.1 Прашања за предавање:

1.Матрици, нивна класификација, аритметички операции на матрици.

2. Детерминанти од 2 и 3 ред, методи на пресметка.

3. Системи на линеарни равенки, методи на решавање.

4. Равенка на права линија на рамнина, методи за дефинирање права линија на рамнина.

1.1.2. Резиме на прашања:

Матрици, нивна класификација, аритметички операции на матрици.

Матрицае табела која се состои од n редици и m колони. Елементите на матрицата можат да бидат броеви или други математички објекти.

A= Б= C=

Правоаголна маса која содржи Тлинии Псе повикуваат колони од реални броеви нумеричка матрица.

И m'n =
.

Броевите a ij што ја сочинуваат матрицата се нарекуваат нејзини елементи, каде што i=1,2,…m е бројот на редот, j=1,2,…n е бројот на колоната.

Матриците се означуваат со големи букви од латинската азбука A, B, C..., а елементите со мали букви.

Ако бројот на редови и колони од една матрица е еднаков на бројот на редови и колони од друга матрица, тогаш тие се нарекуваат еднодимензионални матрици.

Се повикува матрица чиј број на редови е еднаков на бројот на колони квадратна матрица. Квадратна матрица со големина n´n се нарекува матрица n-ти ред.

A 2 ´ 2 = - квадратна матрица од втор ред

a 11 и a 22 елементи на главната дијагонала

a 12, a 21 елементи на секундарната дијагонала

A 3 ´ 3 = квадратна матрица од 3 ред

a 11, a 22 и 33 се елементи на главната дијагонала

a 13, a 22, a 31 елементи на секундарната дијагонала

Се нарекува квадратна матрица во која сите елементи над (под) главната дијагонала се еднакви на нула триаголна матрица.

Се нарекува квадратна матрица во која сите елементи освен оние на главната дијагонала се еднакви на нула дијагонална матрица.

Б=

Се нарекува дијагонална матрица во која сите елементи кои не се нула се еднакви скаларна матрица.

Се нарекува дијагонална матрица чии елементи не се нула се сите 1 единица матрица.

Е= Матрица за идентитет од 3 ред

Се нарекува матрица чии елементи се сите нула нулта матрица (0).

A= ; Б=

Матрица со големина 1'1, која се состои од еден број, се идентификува со овој број, т.е. (5) 1 ´ 1 е 5.

Еднодимензионални матрици еднакви едни на други, ако сите соодветни елементи на овие матрици се еднакви.

Се нарекува квадратната матрица A -1 обратново однос на матрицата A. ако и само ако A*A -1 =A -1 *A=E

Во оваа тема ќе го разгледаме концептот на матрица, како и видовите на матрици. Бидејќи има многу термини во оваа тема, ќе додадам резимеза полесно да се движите низ материјалот.

Дефиниција на матрица и нејзиниот елемент. Нотација.

Матрицае табела од $m$ редови и $n$ колони. Елементите на матрицата можат да бидат објекти од сосема поинаква природа: броеви, променливи или, на пример, други матрици. На пример, матрицата $\left(\begin(низа) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(низа) \десно)$ содржи 3 редови и 2 колони; неговите елементи се цели броеви. Матрицата $\left(\begin(низа) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end (низа) \десно)$ содржи 2 реда и 4 колони.

Различни начини за пишување матрици: прикажи/скриј

Матрицата може да се напише не само во круг, туку и во квадратни или двојни прави загради. Подолу е истата матрица во различни форми на нотација:

$$ \лево(\почеток(низа) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end (низа) \десно);\;\; \left[ \begin(низа) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end (низа) \десно]; \;\; \left \Vert \begin(низа) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end (низа) \десно \Vert $$

Се повикува производот $m\times n$ големина на матрицата. На пример, ако матрицата содржи 5 редови и 3 колони, тогаш зборуваме за матрица со големина $5 \ пати 3 $. Матрицата $\лево(\почеток(низа)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(низа)\десно)$ има големина $3 \пати 2$.

Вообичаено, матриците се означуваат со големи букви од латинската азбука: $A$, $B$, $C$ и така натаму. На пример, $B=\left(\begin(низа) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end (низа) \десно)$. Нумерирањето на линиите оди од врвот до дното; колони - од лево кон десно. На пример, првиот ред од матрицата $B$ ги содржи елементите 5 и 3, а втората колона ги содржи елементите 3, -87, 0.

Елементите на матриците обично се означуваат со мали букви. На пример, елементите на матрицата $A$ се означени со $a_(ij)$. Двојниот индекс $ij$ содржи информации за положбата на елементот во матрицата. Бројот $i$ е бројот на редот, а бројот $j$ е бројот на колоната, на чиј пресек е елементот $a_(ij)$. На пример, на пресекот на вториот ред и петтата колона од матрицата $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(низа) \десно)$ елемент $a_(25)= $59:

На ист начин, на пресекот на првиот ред и првата колона го имаме елементот $a_(11)=51$; на пресекот на третиот ред и втората колона - елементот $a_(32)=-15$ и така натаму. Забележете дека записот $a_(32)$ гласи „а три два“, но не и „а триесет и два“.

За скратување на матрицата $A$, чија големина е $m\times n$, се користи ознаката $A_(m\times n)$. Често се користи следнава нотација:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

Овде $(a_(ij))$ ја означува ознаката на елементите на матрицата $A$, т.е. вели дека елементите на матрицата $A$ се означени како $a_(ij)$. Во проширена форма, матрицата $A_(m\times n)=(a_(ij))$ може да се запише на следниов начин:

$$ A_(m\times n)=\лево(\почеток(низа)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \крај (низа) \десно) $$

Ајде да воведеме уште еден термин - еднакви матрици.

Се нарекуваат две матрици со иста големина $A_(m\times n)=(a_(ij))$ и $B_(m\times n)=(b_(ij))$ еднакви, ако нивните соодветни елементи се еднакви, т.е. $a_(ij)=b_(ij)$ за сите $i=\overline(1,m)$ и $j=\преку линија(1,n)$.

Објаснување за записот $i=\overline(1,m)$: show\hide

Ознаката „$i=\overline(1,m)$“ значи дека параметарот $i$ варира од 1 до m. На пример, ознаката $i=\overline(1,5)$ покажува дека параметарот $i$ ги зема вредностите 1, 2, 3, 4, 5.

Значи, за матриците да бидат еднакви, треба да се исполнат два услови: совпаѓање на големини и еднаквост на соодветните елементи. На пример, матрицата $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ не е еднаква на матрицата $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ затоа што матрицата $A$ има големина $3\пати 2$ и матрицата $B$ има големина $2 \ пати $2. Исто така, матрицата $A$ не е еднаква на матрицата $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​0\end (низа)\десно)$ , бидејќи $a_( 21)\neq c_(21)$ (т.е. $0\neq 98$). Но, за матрицата $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ можеме безбедно да напишеме $A= F$ бидејќи и големините и соодветните елементи на матриците $A$ и $F$ се совпаѓаат.

Пример бр. 1

Одреди ја големината на матрицата $A=\left(\begin(низа) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \крај (низа) \десно)$. Наведете на што се еднакви елементите $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Оваа матрица содржи 5 реда и 3 колони, така што нејзината големина е 5 $ \ пати 3 $. Можете исто така да ја користите ознаката $A_(5\пати 3)$ за оваа матрица.

Елементот $a_(12)$ е на пресекот на првиот ред и втората колона, така што $a_(12)=-2$. Елементот $a_(33)$ е на пресекот на третиот ред и третата колона, така што $a_(33)=23$. Елементот $a_(43)$ е на пресекот на четвртиот ред и третата колона, така што $a_(43)=-5$.

Одговори: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Видови матрици во зависност од нивната големина. Главни и секундарни дијагонали. Матрична трага.

Нека е дадена одредена матрица $A_(m\times n)$. Ако $m=1$ (матрицата се состои од еден ред), тогаш дадената матрица се нарекува матрица-ред. Ако $n=1$ (матрицата се состои од една колона), тогаш се нарекува таква матрица матрица-колона. На пример, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ е матрица на ред, а $\left(\begin(низа ) (в) -1 \\ 5 \\ 6 \end (низа) \десно)$ е матрица на колона.

Ако матрицата $A_(m\times n)$ го задоволува условот $m\neq n$ (т.е., бројот на редови не е еднаков на бројот на колони), тогаш често се вели дека $A$ е правоаголна матрица. На пример, матрицата $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \десно)$ има големина $2 \ пати 4 $, тие. содржи 2 реда и 4 колони. Бидејќи бројот на редови не е еднаков на бројот на колони, оваа матрица е правоаголна.

Ако матрицата $A_(m\times n)$ го задоволува условот $m=n$ (т.е., бројот на редови е еднаков на бројот на колони), тогаш се вели дека $A$ е квадратна матрица од ред $ n$. На пример, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ е квадратна матрица од втор ред; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end (низа) \десно)$ е квадратна матрица од трет ред. Општо земено, квадратната матрица $A_(n\times n)$ може да се напише на следниов начин:

$$ A_(n\пати n)=\лево(\почеток(низа)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end (низа) \десно) $$

Се вели дека елементите $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ се вклучени главна дијагоналаматрици $A_(n\пати n)$. Овие елементи се нарекуваат главни дијагонални елементи(или само дијагонални елементи). Елементите $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ се вклучени странична (мала) дијагонала; тие се нарекуваат странични дијагонални елементи. На пример, за матрицата $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( низа) \right)$ имаме:

Елементите $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ се главните дијагонални елементи; елементите $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ се странични дијагонални елементи.

Збирот на главните дијагонални елементи се нарекува проследено со матрицатаи се означува со $\Tr A$ (или $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

На пример, за матрицата $C=\left(\begin(низа) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(низа)\десно)$ имаме:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Концептот на дијагонални елементи се користи и за неквадратни матрици. На пример, за матрицата $B=\left(\begin(низа) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(низа) \десно)$ главните дијагонални елементи ќе бидат $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Видови матрици во зависност од вредностите на нивните елементи.

Ако сите елементи на матрицата $A_(m\times n)$ се еднакви на нула, тогаш таквата матрица се нарекува нулаи обично се означува со буквата $O$. На пример, $\left(\begin(низа) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(низа) \десно)$, $\left(\begin(низа) (ccc) 0 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 0 \крај (низа) \десно)$ - нула матрици.

Да разгледаме некој ненулти ред од матрицата $A$, т.е. низа што содржи барем еден елемент различен од нула. Водечки елементна низа без нула го нарекуваме нејзиниот прв (броејќи од лево кон десно) елемент кој не е нула. На пример, разгледајте ја следнава матрица:

$$W=\лево(\почеток(низа)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end (низа)\десно)$ $

Во втората линија водечки елемент ќе биде четвртиот елемент, т.е. $w_(24)=12$, а во третата линија водечки елемент ќе биде вториот елемент, т.е. $w_(32)=-9$.

Матрицата $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\десно)$ се нарекува зачекори, ако исполнува два услови:

1. Нулти редови, доколку се присутни, се наоѓаат под сите не-нулти редови.
2. Броевите на водечките елементи на ненулта редови формираат строго растечка низа, т.е. ако $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ се водечки елементи на ненула редови од матрицата $A$, тогаш $k_1\lt(k_2)\ lt\ldots\lt( k_r)$.

Примери на чекор матрици:

$$ \лево(\почеток(низа)(cccccc) 0 и 0 и 2 и 0 и -4 и 1\\ 0 и 0 и 0 и 0 и -9 и 0\\ 0 и 0 и 0 и 0 и 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(низа)\десно);\; \left(\begin(низа)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end (низа)\десно). $$

За споредба: матрица $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(низа)\десно)$ не е чекор матрица, бидејќи вториот услов во дефиницијата за матрица чекор е нарушен. Водечките елементи во вториот и третиот ред $q_(24)=7$ и $q_(32)=10$ имаат броеви $k_2=4$ и $k_3=2$. За чекор матрица, условот $k_2\lt(k_3)$ мора да биде исполнет, што во овој случај е повредено. Дозволете ми да забележам дека ако ги замениме вториот и третиот ред, добиваме матрица во чекор: $\left(\begin(array)(cccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 и 6 \\ 0 и 0 и 0 и 7 и 9\крај (низа)\десно)$.

Матрица на чекори се нарекува трапезоиднаили трапезоидна, ако водечките елементи $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ ги задоволуваат условите $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = r$, т.е. водечки се дијагоналните елементи. Општо земено, трапезоидна матрица може да се напише на следниов начин:

$$ A_(m\times(n)) =\лево(\почеток(низа) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldточки & 0 & \ldточки & 0 \крај (низа)\десно) $$

Примери на трапезоидни матрици:

$$ \лево(\почеток(низа)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end (низа)\десно);\; \left(\begin(низа)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end (низа)\десно). $$

Ајде да дадеме уште неколку дефиниции за квадратни матрици. Ако сите елементи на квадратна матрица сместени под главната дијагонала се еднакви на нула, тогаш таквата матрица се нарекува горна триаголна матрица. На пример, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(низа) \right)$ е горната триаголна матрица. Забележете дека дефиницијата за горната триаголна матрица не кажува ништо за вредностите на елементите лоцирани над главната дијагонала или на главната дијагонала. Тие можат да бидат нула или не - не е важно. На пример, $\left(\begin(низа) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(низа) \десно)$ е исто така горната триаголна матрица.

Ако сите елементи на квадратна матрица сместени над главната дијагонала се еднакви на нула, тогаш таквата матрица се нарекува долна триаголна матрица. На пример, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ крај (низа) \десно)$ - долна триаголна матрица. Забележете дека дефиницијата за долна триаголна матрица не кажува ништо за вредностите на елементите лоцирани под или на главната дијагонала. Тие може да бидат нула или не - не е важно. На пример, $\left(\begin(низа) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end (низа) \десно)$ и $\left(\ почеток (низа) (ццц) 0 и 0 и 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(низа) \десно)$ се исто така пониски триаголни матрици.

Квадратната матрица се нарекува дијагонала, ако сите елементи од оваа матрица кои не лежат на главната дијагонала се еднакви на нула. Пример: $\left(\begin(низа) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ крај (низа)\десно)$. Елементите на главната дијагонала може да бидат што било (еднакво на нула или не) - не е важно.

Дијагоналната матрица се нарекува сингл, ако сите елементи на оваа матрица сместени на главната дијагонала се еднакви на 1. На пример, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(низа)\десно)$ - идентитетска матрица од четврти ред; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ е идентитетска матрица од втор ред.

Забележете дека елементите на матрицата можат да бидат не само броеви. Да замислиме дека ги опишувате книгите што се наоѓаат на вашата полица. Нека вашата полица е во ред и сите книги на строго одредени места. Табелата, која ќе содржи опис на вашата библиотека (по полици и редоследот на книгите на полицата), исто така ќе биде матрица. Но, таквата матрица нема да биде нумеричка. Друг пример. Наместо броеви, постојат различни функции, обединети со одредена зависност. Добиената табела ќе се нарече и матрица. Со други зборови, матрица е секоја правоаголна табела составена од хомогенаелементи. Овде и понатаму ќе зборуваме за матрици составени од броеви.

Наместо загради, за пишување матрици се користат квадратни загради или прави двојни вертикални линии

(2.1*)

Дефиниција 2. Ако во изразот(1) m = n, тогаш зборуваат за квадратна матрица, и ако , тогаш ох правоаголна.

Во зависност од вредностите на m и n, се разликуваат некои посебни типови на матрици:

Најважната карактеристика квадратматрица е таа детерминантаили детерминанта, кој е составен од матрични елементи и се означува

Очигледно, D E =1; .

Дефиниција 3. Ако , потоа матрицатаА повикани недегенериран или не посебен.

Дефиниција 4. Ако detA = 0, потоа матрицатаА повикани дегенерира или посебен.

Дефиниција 5. Две матрициА ИБ се нарекуваат еднакви и пишувајА = Б ако имаат исти димензии и нивните соодветни елементи се еднакви, т.е..

На пример, матриците и се еднакви, бидејќи тие се еднакви по големина и секој елемент од едната матрица е еднаков на соодветниот елемент од другата матрица. Но, матриците не можат да се наречат еднакви, иако детерминантите на двете матрици се еднакви, а големините на матриците се исти, но не се еднакви сите елементи лоцирани на исти места. Матриците се различни бидејќи имаат различни големини. Првата матрица е со големина 2x3, а втората е 3x2. Иако бројот на елементи е ист - 6 и самите елементи се исти 1, 2, 3, 4, 5, 6, но тие се на различни места во секоја матрица. Но, матриците се еднакви, според Дефиницијата 5.

Дефиниција 6. Ако поправите одреден број матрични колониА и ист број на редови, потоа елементите на пресекот на наведените колони и редови формираат квадратна матрица n- ри ред, чија детерминанта повикани малолетник k - матрица од ти редА.

Пример. Запишете три помали од втор ред на матрицата