Метод на конечен волумен. Метод на конечен волумен Својства на дискретни кола

Пред некое време барав опис на операции и процеси што се случуваат во библиотеката за нумеричко моделирање OpenFOAM. Најдов многу апстрактни описи на операцијата на методот на конечен волумен, класични шеми на разлики и разни физички равенки. Сакав да знам подетално - од каде доаѓаат овие вредности во таква и таква излезна датотека при таква и таква итерација, кои изрази стојат зад одредени параметри во датотеките за поставки fvSchemes, fvSolution?
За оние кои исто така се заинтересирани за ова - овој напис. Оние кои добро го познаваат OpenFOAM или методите имплементирани во него - пишуваат за грешките и неточностите пронајдени во лична порака.

Веќе имаше неколку написи за OpenFOAM на Habré:

Затоа, нема да се задржам на фактот дека тоа е „отворена (GPL) платформа за нумеричка симулација, дизајнирана за симулации поврзани со решавање на парцијални диференцијални равенки со помош на методот на конечен волумен и широко се користи за решавање проблеми во механиката на континуум.

Денес ќе користам едноставен пример за да ги опишам операциите што се случуваат за време на пресметките во OpenFOAM.

Значи, со оглед на геометријата - коцка со страна од 1 метар:

Соочени сме со задача да го моделираме протокот-размножување на одредено скаларно поле (температура, количина на материја), што е дадено со следната транспортна равенка (1) во волуменот на телото.

(1)
,

Онаму каде што скаларната количина, на пример, изразува температура [K] или концентрација на одредена супстанција, и изразува пренос на супстанција, масен проток [kg/s].

Оваа равенка, на пример, се користи за моделирање на ширење на топлина
,
каде k е топлинска спроводливост и е температура [K].

Операторот на дивергенција е всушност

оператор .
Да те потсетам дека постои набла оператор (оператор Хамилтон), кој е напишан вака:
,

Каде што i, j, k се единечни вектори.
Ако скаларно го помножиме операторот набла со векторска количина, ќе ја добиеме дивергенцијата на овој вектор:

„Од гледна точка на физиката, дивергенцијата на векторското поле е показател за степенот до кој дадена точка во просторот е извор или мијалник на ова поле“.

Ако го помножите набла операторот со скалар, ќе го добиете градиентот на тој скалар:

Градиентот покажува зголемување или намалување во одредена насока во големината на скаларот.

Граничните услови на проблемот се следни: има влезно лице, излезно лице, а преостанатите лица се мазни ѕидови.

Поделба на волуменот на коцката на конечни волумени

Нашата мрежа ќе биде многу едноставна - ја делиме коцката на 5 еднакви ќелии долж оската Z.

Многу формули

Методот на конечен волумен предвидува дека (1) во интегрална форма (2) ќе биде задоволена за секој конечен волумен.

(2)
,

Каде е геометрискиот центар на конечниот волумен.

Центар на конечниот волумен

Да го поедноставиме и трансформираме првиот член на изразот (2) на следниов начин:

(2.1) (HJ-3.12)*

Како што можете да видите, претпоставивме дека скаларната количина линеарно се менува во конечниот волумен и вредноста на количината во одреден момент во конечниот волумен може да се пресмета како:

За да го поедноставиме вториот член на изразот (2), ја користиме генерализираната теорема Гаус-Остроградски: интегралот на дивергенцијата на векторското поле над волуменот е еднаков на векторскиот флукс низ површината што го ограничува дадениот волумен. Во човечкиот јазик, „збирот на сите течења во/од конечен волумен е еднаков на збирот на тековите низ лицата на овој конечен волумен“:

(2.3)
,

Каде затворената површина го ограничува волуменот,
- вектор насочен по нормалата од волуменот.

Вектор С

Имајќи предвид дека конечниот волумен е ограничен со множество рамни лица, изразот (2.3) може да се трансформира во збир на интеграли на површината:

(2.4) (HJ-3.13)
,

Каде што ја изразува вредноста на променливата во центарот на лицето,
- вектор на површина, кој излегува од центарот на лицето, насочен подалеку од клетката (локално), подалеку од клетката со помал индекс до клетката со повисок индекс (глобална).

Малку повеќе за векторот С

За да не се складираат исти векторски параметри двапати, бидејќи Очигледно е дека за две соседни ќелии нормалниот вектор до работ помеѓу ќелиите, насочен кон центарот на ќелијата, ќе се разликува само во знакот за насока. Затоа, помеѓу работ и ќелијата се создаде однос сопственик-сосед. Ако векторот на површина (глобален, позитивен правец од клетка со помал индекс до клетка со поголем индекс) означува ОД центарот на клетката, таков однос помеѓу клетката и векторот, или поточно помеѓу клетката и раб, се означува сопственик). Ако овој вектор покажува внатре во клетката за која станува збор, тогаш соседот. Насоката влијае на знакот на вредноста (+ за сопственикот и - за соседот) и тоа е важно при сумирање, видете подолу.

За шемите за разлика

Вредноста во центарот на лицето се пресметува преку вредностите во центрите на соседните клетки - овој метод на изразување се нарекува шема на разлика. Во OpenFOAM, типот на шемата за разлика е наведен во датотеката /system/fvSchemes:

DivSchemes (стандардно нема; div(phi,psi) Гаусова линеарна; )

Гаус- значи дека е избрана шемата за централна разлика;
линеарна- значи дека интерполацијата од центрите на ќелиите до центрите на лицата ќе се случи линеарно.

Да претпоставиме дека нашата скаларна количина се менува линеарно во конечниот волумен од центарот до рабовите. Тогаш вредноста приближна во центарот на лицето ќе се пресмета според формулата:

Каде се тежините и се пресметуваат како

Каде се волумените на клетките.
За случаи на искривени ќелии, постојат посложени формули за пресметување на тежини за приближување.

Така, вредностите на ph_f во центрите на рабовите на ќелијата се пресметуваат врз основа на вредностите во центрите на ќелиите. Вредностите на градиент grad(phi) се пресметуваат врз основа на вредностите phi_f.
И целиот овој алгоритам може да се претстави во форма на следниот псевдокод.
1. Декларираме низа градиенти со конечни волумени, ја иницијализираме со нули 2. Поминуваме низ сите внатрешни лица (кои не се граница) > Пресметуваме flux_f = phi_f*S_f. Пресметајте ги вредностите на phi_f врз основа на вредностите на phi во ќелии центи > Додадете flux_f на градиентот на елементот сопственик и -flux_f на градиентот на елементот сосед 3. Повторете ги сите гранични лица > Пресметај flux_f = phi_f*S_f > Додајте flux_f на градиентот на елементот сопственик (сосед - граничните лица немаат елементи) 4. Ајде да ги поминеме сите елементи > Поделете ја добиената градиентна сума со волуменот на елементот

Земање примероци на време

Земајќи ги предвид (2.1) и (2.4), изразот (2) ја добива формата:

(3)

Според методот на конечен волумен, се врши дискретизација на времето и изразот (3) е запишан како:

(4)

Ајде да интегрираме (4):

(4.1)

Ајде да ги поделиме левата и десната страна на:

(5)

Податоци за матрица за земање примероци

Сега можеме да добиеме систем на линеарни равенки за секој конечен волумен.

Подолу е нумерирањето на мрежните јазли што ќе ги користиме.

Координатите на јазлите се зачувани во /constant/polyMesh/points

24 ((0 0 0) (1 0 0) (0 1 0) (1 1 0) (0 0 0.2) (1 0 0.2) (0 1 0.2) (1 1 0.2) (0 0 0.4) (1 0 0.4) (0 1 0.4) (1 1 0.4) (0 0 0.6) (1 0 0.6) (0 1 0.6) (1 1 0.6) (0 0 0.8) (1 0 0.8) (0 1 0.8) (1 1 0.8) (0 0 1) (1 0 1) (0 1 1) (1 1 1))

Нумерирање на јазли-центри на клетки (50, 51 - центри на гранични лица):

Нумерирање на централните јазли на лицето:

Томови на елементи:

Коефициенти на интерполација потребни за пресметување на вредностите на лицата на ќелиите. Подлогата „е“ го означува „десниот раб на ќелијата“. Десно во однос на приказот, како на сликата „Нумерирање на јазли-центри на ќелии“:

Формирање на матрицата за земање примероци

За P = 0.
Израз (5) кој го опишува однесувањето на количината

Ќе се трансформира во систем на линеарни алгебарски равенки, секоја од формите:

Или, според индексите на поени на лицата

И сите текови до/од ќелија може да се изразат како збир

Каде, на пример, е коефициентот на линеаризација на протокот во централната точка на ќелијата E,
- коефициент на линеаризација на проток во централната точка на лицето,
- нелинеарен дел (на пример, константен).

Според нумерирањето на лицата, изразот ќе има форма:

Земајќи ги предвид граничните услови за елементот P_0, линеарната алгебарска равенка може да се претстави како

...заменете ги претходно добиените коефициенти...

Флуксот од влезот"а е насочен во ќелијата и затоа има негативен знак.

Бидејќи во нашиот контролен израз, покрај членот за дифузија, имаме и временски член, но конечната равенка изгледа вака

За P = 1.

За P = 4.

Систем на линеарни алгебарски равенки (SLAE) може да се претстави во форма на матрица како

A(i,j) === 40,5 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40,5

Psi = димензии; внатрешноПоле неуниформна листа 5 (0,0246875 0,000308546 3,85622e-06 4,81954e-08 5,95005e-10);

Врз основа на кои се добиваат вредностите за векторот

Потоа векторот се заменува во SLAE и се случува нова итерација на векторската пресметка.

И така натаму додека несовпаѓањето не ги достигне потребните граници.

Врски

* Некои равенки во оваа статија се преземени од дисертацијата на Јасак Хрвоје (HJ е равенка број) и ако некој сака да прочита повеќе за нив (

Претходно беше спомнат методот на поддомен, кој послужи како почетна точка за голем број нумерички методи. Еден таков метод е методот на конечен волумен. Истиот овој метод е претставник на друга широко распространета класа - интегрални методи. Од класичната форма на нотирање на методот на поддоменот се зема поделбата на пресметковниот домен на поддомени и интеграцијата на резидуалот над поддоменот. Разликата е во отсуството на експлицитно снимање на приближната (тест) функција. Но, како и досега, се обидуваме „точно“ да ја решиме равенката во секој поддомен. Затоа, оригиналната равенка е интегрирана преку поддоменот. Интегралните методи се карактеризираат со тоа што прво се зема интегралот на диференцијалната равенка и се добива интегрален облик на запишување на равенката. Равенката во оваа форма потоа се применува на поединечни мрежни ќелии. Во овој случај, клетките и подобластите се едно исто.

Всушност, интегралната форма на запишување равенки има (од гледна точка на физиката) уште поширок опсег на примена од диференцијалната. Факт е дека во присуство на функционални дисконтинуитети, диференцијалните равенки не се применливи, а нивните интегрални аналози продолжуваат да работат, работат и работат…. За жал, кога тие се имплементираат нумерички, оваа предност понекогаш се губи.

Како по правило, интегралите од равенките имаат едноставно и разбирливо физичко значење. На пример, разгледајте ја равенката за континуитет. Оригиналната диференцијална равенка е напишана

Ајде да го интегрираме над волуменот V, кој има површина S, и со текот на времето во интервалот од t 0 до t 1. Кога интегрираме деривати, ја користиме формулата Стоукс (нејзините посебни случаи се нарекуваат формули Грин и Остроградски-Гаус). Како резултат добиваме

Во оваа нотација, разликата помеѓу првите два интеграли значи промена на масата во даден волумен во текот на временскиот интервал што се разгледува. И двојниот интеграл ја покажува масата што тече во даден волумен низ површината што го ограничува во истиот временски период. Нормално, бидејќи зборуваме за нумерички методи, овие интеграли се пресметуваат приближно. И тука започнуваат прашањата за приближување, слични на оние што се разгледуваат во методот на конечни разлики.

Да разгледаме еден од наједноставните случаи - дводимензионална правоаголна униформа решетка. Во методот на конечен волумен, вредностите на функциите обично се одредуваат не во мрежните јазли, туку во центрите на ќелиите. Според тоа, не се индексирани линиите на мрежата во секоја насока, туку слоевите на ќелиите (види слика).

j-1

ј

j+1

k-1

к

k+1

А

Б

В

Д

За овој случај, интегралната форма на равенката ќе биде напишана на следниов начин

Како што можете да видите, во овој случај добивме обична равенка, која исто така можевме да ја напишеме користејќи го методот на конечни разлики. Тоа значи дека на него може да се применат истите методи на проучување на стабилноста. (Брзо прашање: дали оваа шема е стабилна?)

Но, ако го добивме истото, тогаш дали вредеше да ја изградиме целата оваа градина? Во наједноставните случаи, ние навистина не добиваме никакви придобивки. Но, во посложени ситуации, придобивките се појавуваат. Прво, како што е наведено погоре, таквите методи (дури и при толку едноставна имплементација) многу подобро ги опишуваат дисконтинуитетите и областите со високи градиенти. Во исто време, загарантирано е исполнувањето на законите за зачувување на масата, импулсот и енергијата, бидејќи тие се забележани во секоја клетка. Второ, овие методи можат да издржат широк спектар на злоупотреби на мрежата. Дури и криволинеарните, нерамни и неправилни решетки не ги исфрлаат овие методи од колосек. Овие придобивки особено често се чувствуваат кога се наведени граничните услови.

j-1

ј

j+1

k-1

к

k+1

А

Б

В

Д

Е

На пример, за случајот прикажан на сликата, интегралната форма на равенката ќе ја има формата

тоа е, едноставно каде што го презедовме интегралот над површината на целосната ќелија, сега го превземавме преку „отсечената“ област, каде што го презедовме интегралот преку целиот раб, сега го преземаме преостанатиот дел од него. . Додаден е интеграл над граничниот дел. Но, лесно се наоѓа од граничните услови. Конкретно, ако не се снабдува проток на маса низ ѕидот (и исто така не се оддалечува маса од површината и/или го занемаруваме масовниот проток на јони кои губат полнеж на ѕидот), тогаш таков интеграл е едноставно еднаков на нула. Во слична форма на енергетска равенка, протокот низ ѕидот, по правило, треба да се земе предвид. Но, исто така, не е тешко да се најде од граничните услови (ако тие се правилно поставени).

За да го зајакнеме ова, да опишеме како ќе изгледа примената на методот на конечен волумен на една од равенките за зачувување на импулсот. Да го земеме рамното неподвижно куќиште за јони со единечно наелектризирање. Ние ги занемаруваме вискозноста и еластичните судири. Ја добиваме равенката

За правоаголна мрежа (види слика погоре) добиваме

Наједноставното приближување на таквата равенка може да се запише на следниов начин:

по намалувањата ја добиваме формулата

програма за моделирање на алгоритам

Почетната точка на методот на конечен волумен (FVM) е интегралната формулација на законите за зачувување на масата, импулсот, енергијата итн. Односите за рамнотежа се напишани за мал контролен волумен; нивниот дискретен аналог се добива со собирање на сите страни на избраниот волумен на текови на маса, импулс итн., пресметан со помош на некои квадратурни формули. Бидејќи интегралната формулација на законите за зачувување не наметнува ограничувања на обликот на контролниот волумен, MCM е погоден за дискретизирање равенки за динамика на течности и на структурирани и на неструктурирани мрежи со различни форми на ќелии, што, во принцип, целосно го решава проблемот на комплексот геометрија на пресметковниот домен.

Сепак, треба да се забележи дека употребата на неструктурирани мрежи е прилично сложена во алгоритамска смисла, трудоинтензивна за имплементација и интензивна на ресурси за извршување на пресметките, особено кога се решаваат тродимензионални проблеми. Ова се должи и на разновидноста на можните облици на ќелиите на пресметковната мрежа, и на потребата да се користат посложени методи за решавање на систем на алгебарски равенки кој нема специфична структура. Практиката од последните години покажува дека напредниот развој на компјутерски алатки заснован на употреба на неструктурирани мрежи е можен само за прилично големи компании со соодветни човечки и финансиски ресурси. Многу поекономично е да се користат блок-структурирани мрежи, што подразбира поделба на регионот на проток на неколку подрегиони (блокови) во релативно едноставна форма, во секоја од нив е изградена сопствена пресметковна мрежа. Генерално, таквата композитна мрежа не е структурирана, но во секој блок се задржува вообичаеното индексно нумерирање на јазлите, што овозможува користење на ефикасни алгоритми развиени за структурирани мрежи. Всушност, за да се преселите од мрежа со еден блок во мултиблок, треба само да го организирате спојувањето на блоковите, т.е. размена на податоци помеѓу соседните подобласти за да се земе предвид нивното меѓусебно влијание. Забележете исто така дека поделбата на задачата на одделни релативно независни блокови природно се вклопува во концептот на паралелно пресметување на кластер системи со обработка на поединечни блокови на различни процесори (компјутери). Сето ова ја прави употребата на блок-структурирани мрежи во комбинација со MCM релативно едноставно, но исклучително ефикасно средство за проширување на геометријата на проблемите што се решаваат, што е исклучително важно за малите универзитетски групи кои развиваат свои програми во областа на динамиката на течности.

Горенаведените предности на МКО послужија како основа за тоа дека во почетокот на 1990-тите. Токму овој пристап, фокусиран на употребата на блок-структурирани мрежи, беше избран од авторите како основа за развој на сопствен софтверски пакет со широк профил за проблеми со динамиката на течности и конвективен пренос на топлина.

Опис

Неформално

Се избира одреден затворен регион на проток на течност или гас, за кој се бара полиња со макроскопски величини (на пример, брзина, притисок) кои ја опишуваат состојбата на медиумот во времето и задоволуваат одредени закони формулирани математички. Најчесто користени се законите за зачувување во Ојлеровите променливи.

За секоја вредност, во секоја точка во просторот, опкружен со некои затворен конечен волумен, во моментот постои следнава врска: вкупната количина на количина во волуменот може да се промени поради следните фактори:

Со други зборови, при формулирањето на МКО се користи физичката интерпретација на количината што се проучува. На пример, при решавање на проблеми со пренос на топлина, се користи законот за зачувување на топлина во секој контролен волумен.

Математички

Модификации

Литература

• Patankar S.V. Нумеричко решение на проблеми на топлинска спроводливост и конвективен пренос на топлина за време на проток во канали = Пресметка на спроводливост и проток на канали Пренос на топлина: Трансл. од англиски - М.: Издавачка куќа МПЕИ, 2003. - 312 стр.

исто така види

Фондацијата Викимедија. 2010 година.

• Метод на квадратно сито
• Метод на конечен однос

Погледнете што е „Методот за конечен волумен“ во другите речници:

Метод на конечни елементи- Решение со методот на конечни елементи на дводимензионален магнетостатски проблем (линии и боја ја означуваат насоката и големината на магнетната индукција) ... Википедија

Компјутерски потпомогнато инженерство- CAE (Computer aided engineering) е општо име за програми и софтверски пакети дизајнирани да решаваат различни инженерски проблеми: пресметки, анализа и симулација на физички процеси. Населениот дел од пакетите најчесто... ... Википедија

Динамика на пресметковна течност- Компјутерска динамика на флуиди (CFD) е потсекција на механиката на континуум, вклучувајќи збир на физички, математички и нумерички методи дизајнирани за пресметување на карактеристиките на протокот... ... Википедија

Директна нумеричка симулација- (англиски DNS (Direct Numerical Simulation)) еден од методите за нумеричка симулација на текови на течност или гас. Методот се заснова на нумеричкото решение на системот на равенки Навиер-Стоукс и овозможува да се симулира, во општ случај, движењето на вискозните... ... Википедија

Библиотека со шаблони со матрица- Тип Математички софтвер Оперативен систем Linux, Unix, Mac OS X, Windows интерфејс јазици C ++ лиценца за зајакнување на софтвер за лиценца ... Википедија

МКО- моторно-котлара Речник: С.Фадеев. Речник на кратенки на современиот руски јазик. Санкт Петербург: Политехника, 1997. 527 стр. ICE меѓуамерикански комитет за воена одбрана. Речник: Речник на кратенки и кратенки на војската и специјалните служби. Комп. А.А....... Речник на кратенки и кратенки

Компјутерско моделирање- тест за несреќа со метод на конечни елементи. Компјутерски модел, или нумерички мод... Википедија

Нумеричко моделирање- Компјутерското моделирање е еден од ефективни методи за проучување на сложени системи. Компјутерските модели се полесни и попогодни за изучување поради нивната способност да го спроведат т.н. пресметковни експерименти, во случаи кога вистински експерименти... ... Википедија

ГАС ДИНАМИКА- дел од хидроаеромеханиката, во кој се проучува движењето на компресибилните континуирани медиуми (гас, плазма) и нивната интеракција со цврсти материи. тела. Како дел од физиката, геодинамиката е поврзана со термодинамиката и акустиката. Компресибилноста се состои во способноста да се промени нејзината... ... Физичка енциклопедија

Континуумска механика- го проучува движењето и рамнотежата на гасовите, течностите и деформабилните цврсти материи. Модел на вистински тела во МС. Со. е континуум (CC); во таква средина, сите карактеристики на материјата се континуирани функции на просторни координати и... ... Енциклопедија на технологијата

Употреба метод на конечен (контролен) волуменДозволете ни да покажеме користејќи го примерот на дводимензионална стационарна топлинска равенка:

Ориз. 13. Пресметковна мрежа што се користи за решавање на равенката (31)

метод на конечен волумен

Користејќи ја теоремата за средна вредност можеме да напишеме

,

каде Δx, Δу се должините на лицата на ќелијата, x W е апсциса на левата („западна“) граница на клетката A, x E е апсцисата на десната („источна“) граница, y N е ординатата на горната („северната“) граница, y S е ордината на долната („јужна“) граница, S * – просечна стапка на ослободување топлина на ќелијата. Индексот на дериватите (*), на левата страна на (32), покажува дека тие треба да се сметаат како просечни вредности, определени на таков начин што правилно да ги претстават топлинските текови на секоја од границите. Земајќи ја предвид оваа околност, дискретен аналог на (32) може да се добие без тешкотии [Патанкар].

Така, равенката (32) ја опишува топлинската рамнотежа (законот за зачувување на енергијата) во ќелијата А. Под услов топлинските текови помеѓу ќелиите се правилно опишани, систем составен од равенки од формата (32) применети на секој контролен волумен правилно ќе опишете го топлинскиот баланс низ целиот пресметковен домен.

На крајот од параграфот, треба да се забележи дека во одредени случаи, формулите за пресметување добиени со методите опишани погоре може да се совпаѓаат, а најзначајните разлики се појавуваат кога се користат кривилинеарни неортогонални пресметковни мрежи.

5. Својства на дискретни кола

5.1 Точност

Точностја карактеризира прифатливоста на нумеричката шема за нејзина практична употреба. Проценката на точноста на дискретното коло се чини дека е многу тешка задача, бидејќи се покажува дека е речиси невозможно да се одделат грешките што се јавуваат како резултат на својствата на колото од грешките што се јавуваат како резултат на други фактори (како на пр. грешки во заокружувањето, неточност во одредувањето на граничните и почетните услови итн.).

Кога се зборува за точноста на дискретна шема, тие обично значат грешка во приближувањето на дериватите 27 . Особено, ако грешката на приближување е споредлива со втората моќност на чекорот на пресметковната мрежа, тогаш се вели дека дискретната шема има точност од втор ред. Ова прашање беше дискутирано подетално во § 3.

5.2 Конзистентност

Дискретното коло се нарекува договореносо оригиналната диференцијална равенка, ако, кога пресметковната мрежа е рафинирана, грешката на приближување (види § 3) се стреми кон нула,

Постојат познати пресметковни шеми во кои мора да се исполнат дополнителни услови за да се постигне конзистентност [Андерсон и К]. Бидејќи проверката на доследноста на шемите за пресметување е задача на развивачите на софтвер (а не на корисниците) на софтверот, ова прашање нема да се дискутира подетално овде.