Метод на варијација на произволни константи. ОДУ. Метод на варијација на произволна константа Линеарни диференцијални равенки Метод на варијација на константа
Методот на варијација на произволни константи се користи за решавање на нехомогени диференцијални равенки. Оваа лекција е наменета за оние ученици кои веќе се повеќе или помалку добро упатени во темата. Ако штотуку почнувате да се запознавате со далечинскиот управувач, т.е. Ако сте чајник, препорачувам да започнете со првата лекција: Диференцијални равенки од прв ред. Примери на решенија. И ако веќе завршувате, ве молиме отфрлете ја можната предрасуда дека методот е тежок. Затоа што е едноставно.
Во кои случаи се користи методот на варијација на произволни константи?
1) За решавање може да се користи методот на варијација на произволна константа линеарна нехомогена DE од 1 ред. Бидејќи равенката е од прв ред, тогаш константата е исто така една.
2) Методот на варијација на произволни константи се користи за решавање на некои линеарни нехомогени равенки од втор ред. Овде се разликуваат две константи.
Логично е да се претпостави дека лекцијата ќе се состои од два параграфи... Затоа ја напишав оваа реченица и околу 10 минути болно размислував за тоа што друго паметно глупост би можело да додадам за непречена транзиција кон практични примери. Но, поради некоја причина немам никакви размислувања по празниците, иако се чини дека ништо не сум злоупотребил. Затоа, да преминеме директно на првиот пасус.
Метод на варијација на произволна константа
за линеарна нехомогена равенкапрва нарачка
Пред да се разгледа методот на варијација на произволна константа, препорачливо е да се запознаете со статијата Линеарна диференцијални равенкипрва нарачка. На тој час вежбавме прво решениенехомогена DE од 1 ред. Ова прво решение, потсетувам, се вика метод на заменаили Бернули метод(да не се меша со Бернулиевата равенка!!!)
Сега ќе погледнеме второ решение– метод на варијација на произволна константа. Ќе дадам само три примери, а ќе ги земам од горенаведената лекција. Зошто толку малку? Бидејќи всушност, решението на вториот начин ќе биде многу слично на решението на првиот начин. Дополнително, според моите согледувања, методот на варијација на произволни константи се користи поретко од методот на замена.
Пример 1
(Разликувајте од Пример бр. 2 од лекцијата Линеарни нехомогени диференцијални равенки од 1 ред)
Решение:Оваа равенка е линеарна нехомогена и има позната форма: 
Во првата фаза, неопходно е да се реши поедноставна равенка: 
Тоа е, ние глупаво ја ресетираме десната страна и наместо тоа пишуваме нула.
Равенката ќе се јавам помошна равенка.
Во овој пример, треба да ја решите следната помошна равенка:
Пред нас раздвојлива равенка, чие решение (се надевам) веќе не ви е тешко: 
Така: 
– општо решение на помошната равенка.
На вториот чекор ќе заменименекоја константа за сеганепозната функција која зависи од „x“:
Оттука и името на методот - ја менуваме константата. Алтернативно, константата може да биде некоја функција што сега треба да ја најдеме.
ВО оригиналеннехомогена равенка ајде да направиме замена:
Да ги замениме и 
во равенката :
Контролна точка - двата термина од левата страна се откажуваат. Ако тоа не се случи, треба да ја побарате грешката погоре.
Како резултат на замената, добиена е равенка со раздвојливи променливи. Ги издвојуваме променливите и интегрираме.
Каков благослов, експонентите исто така откажуваат:
Додаваме „нормална“ константа на пронајдената функција:
Во последната фаза, се сеќаваме на нашата замена:
Функцијата штотуку е пронајдена!
Значи, генералното решение е: 
Одговор:заедничка одлука: 
Ако ги испечатите двете решенија, лесно ќе забележите дека и во двата случаи најдовме исти интеграли. Разликата е само во алгоритмот за решение.
Сега за нешто покомплицирано, ќе го коментирам и вториот пример:
Пример 2
Најдете го општото решение на диференцијалната равенка 
(Разликувајте од Пример бр. 8 од лекцијата Линеарни нехомогени диференцијални равенки од 1 ред)
Решение:Да ја намалиме равенката на формата :
Да ја ресетираме десната страна и да ја решиме помошната равенка:
Општо решение за помошната равенка:
Во нехомогената равенка правиме замена:
Според правилото за диференцијација на производи: 
Да ги замениме и во првобитната нехомогена равенка:
Двата термина од левата страна се откажуваат, што значи дека сме на вистинскиот пат: 
Ајде да се интегрираме по делови. Вкусната буква од формулата за интеграција по делови веќе е вклучена во решението, па затоа ги користиме, на пример, буквите „а“ и „биде“:
Сега да се потсетиме на замената:
Одговор:заедничка одлука:
И еден пример за независна одлука:
Пример 3
Најдете одредено решение за диференцијалната равенка што одговара на дадената почетна состојба.
,
(Разликувајте од Пример бр. 4 од лекцијата Линеарни нехомогени диференцијални равенки од 1 ред)
Решение:
Ова DE е линеарно нехомогено. Го користиме методот на варијација на произволни константи. Да ја решиме помошната равенка:
Ги издвојуваме променливите и интегрираме: 
Заедничка одлука: 
Во нехомогената равенка правиме замена: 
Ајде да ја извршиме замената: 
Значи, генералното решение е: 
Да најдеме одредено решение кое одговара на дадената почетна состојба: 
Одговор:приватно решение:
Решението на крајот од часот може да послужи како пример за завршување на задачата.
Метод на варијација на произволни константи
за линеарна нехомогена равенка од втор ред
со постојани коефициенти
Често сум го слушнал мислењето дека методот на менување произволни константи за равенка од втор ред не е лесна работа. Но, го претпоставувам следново: најверојатно, методот изгледа тежок за многумина, бидејќи не се појавува толку често. Но, во реалноста нема посебни тешкотии - текот на одлуката е јасен, транспарентен и разбирлив. И убава.
За да го совладате методот, пожелно е да можете да решавате нехомогени равенки од втор ред со избирање на одредено решение врз основа на формата на десната страна. Овој метод е детално разгледан во статијата. Нехомогени DE од 2-ри ред. Потсетуваме дека линеарна нехомогена равенка од втор ред со константни коефициенти има форма:
Методот на селекција, кој беше дискутиран во горната лекција, работи само во ограничен број случаи кога десната страна содржи полиноми, експоненцијали, синуси и косинуси. Но, што да се прави кога на десната страна, на пример, е дропка, логаритам, тангента? Во таква ситуација, методот на варијација на константи доаѓа на помош.
Пример 4
Најдете го општото решение за диференцијална равенка од втор ред 
Решение:Има дропка на десната страна на оваа равенка, така што веднаш можеме да кажеме дека методот на избор на одредено решение не функционира. Го користиме методот на варијација на произволни константи.
Нема знаци на грмотевици, почетокот на решението е сосема обичен:
Ќе најдеме заедничка одлукасоодветно хомогенаравенки: 
Да ја составиме и решиме карактеристичната равенка: 
– се добиваат коњугирани комплексни корени, па општото решение е:
Обрнете внимание на влезот општо решение– ако има загради, тогаш отворете ги.
Сега го правиме речиси истиот трик како и за равенката од прв ред: ги менуваме константите, заменувајќи ги со непознати функции. Тоа е, општо решение на нехомогениќе бараме равенки во форма:
Каде - за сеганепознати функции.
Изгледа како депонија за отпад од домаќинствата, но сега сè ќе средиме.
Непознатите се изводи на функциите. Нашата цел е да најдеме изводи, а пронајдените деривати мора да ги задоволуваат и првата и втората равенка на системот.
Од каде потекнуваат „Грците“? Ги носи штркот. Го гледаме општото решение добиено претходно и пишуваме:
Ајде да ги најдеме дериватите:
Зафатени се левите делови. Што има десно?
е десната страна на првобитната равенка, во во овој случај:
Коефициентот е коефициент на вториот извод:
Во пракса, скоро секогаш, а нашиот пример не е исклучок.
Сè е јасно, сега можете да креирате систем: 
Системот обично се решава според формулите на Крамеркористејќи го стандардниот алгоритам. Единствената разлика е во тоа што наместо броеви имаме функции.
Ајде да ја најдеме главната детерминанта на системот: 
Ако сте заборавиле како се открива детерминантата два по два, погледнете ја лекцијата Како да се пресмета детерминантата?Врската води до таблата на срамот =)
Значи: ова значи дека системот има единствено решение.
Наоѓање на дериватот: 
Но, тоа не е се, досега го најдовме само дериватот.
Самата функција е обновена со интеграција:
Ајде да ја погледнеме втората функција: 
Тука додаваме „нормална“ константа
Во последната фаза од решението, се сеќаваме во каква форма баравме општо решение за нехомогената равенка? Во такви:
Функциите што ви требаат штотуку се пронајдени! 
Останува само да се изврши замената и да се запише одговорот:
Одговор:заедничка одлука:
Во принцип, одговорот можеше да ги прошири заградите.
Целосна проверка на одговорот се врши според стандардната шема, за која се дискутираше на лекцијата. Нехомогени DE од 2-ри ред. Но, верификацијата нема да биде лесна, бидејќи е неопходно да се најдат прилично тешки деривати и да се изврши гломазна замена. Ова е непријатна карактеристика кога решавате такви дифузери.
Пример 5
Решете диференцијална равенка со менување произволни константи
Ова е пример за да го решите сами. Всушност, на десната страна има и дропка. Да се потсетиме тригонометриска формула, патем, ќе треба да се примени за време на растворот.
Методот на варијација на произволни константи е најуниверзален метод. Може да ја реши секоја равенка што може да се реши метод за избор на одредено решение врз основа на формата на десната страна. Се поставува прашањето: зошто и таму да не се користи методот на варијација на произволни константи? Одговорот е очигледен: изборот на одредено решение, за кое се дискутираше на часот Нехомогени равенки од втор ред, значително го забрзува решението и го скратува снимањето - без гужва со детерминанти и интеграли.
Ајде да погледнеме два примери со Коши проблем.
Пример 6
Најдете одредено решение за диференцијалната равенка што одговара на дадените почетни услови
, 
Решение:Дропката и експонентот повторно се на интересно место.
Го користиме методот на варијација на произволни константи.
Ќе најдеме заедничка одлукасоодветно хомогенаравенки: 
– се добиваат различни реални корени, така што генералното решение е:
Општо решение на нехомогенибараме равенки во форма: , каде што - за сеганепознати функции.
Ајде да создадеме систем:
Во овој случај:
,
Наоѓање деривати: 
, 
Така: 
Ајде да го решиме системот користејќи ги формулите на Крамер:
, што значи дека системот има уникатно решение.
Ја враќаме функцијата со интеграција:
Се користи овде метод на подведување на функција под диференцијален знак.
Ја враќаме втората функција со интеграција: 
Овој интеграл е решен метод на замена на променлива:
Од самата замена изразуваме:
Така: 
Овој интеграл може да се најде метод на целосна квадратна екстракција, но во примерите со дифузери претпочитам да ја проширам дропот метод на неодредени коефициенти:
Пронајдени се двете функции:
Како резултат на тоа, општото решение на нехомогената равенка е:
Ајде да најдеме одредено решение што ги задоволува првичните услови .
Технички, потрагата по решение се врши на стандарден начин, за што беше дискутирано во статијата Нехомогени диференцијални равенки од втор ред.
Чекај, сега ќе го најдеме дериватот на пронајденото општо решение:
Ова е таква срамота. Не е неопходно да се поедностави, полесно е веднаш да се создаде систем на равенки. Според првичните услови :
Да ги замениме пронајдените вредности на константите 
на општото решение:
Во одговорот, логаритмите може малку да се спакуваат.
Одговор:приватно решение: 
Како што можете да видите, тешкотии може да се појават во интегралите и дериватите, но не и во алгоритмот на самиот метод на варијација на произволни константи. Не сум јас тој што те заплашил, сето тоа е колекцијата на Кузњецов!
За релаксација, последен, поедноставен пример како сами да го решите:
Пример 7
Решете го проблемот со Коши
, 
Примерот е едноставен, но креативен, кога креирате систем, погледнете го внимателно пред да одлучите ;-),
Како резултат, општото решение е:
Дозволете ни да најдеме одредено решение кое одговара на почетните услови .
Да ги замениме пронајдените вредности на константите во општото решение:
Одговор:приватно решение:
Методот на варијација на произволна константа, или методот Лагранж, е уште еден начин за решавање на линеарни диференцијални равенки од прв ред и Бернулиевата равенка.
Линеарни диференцијални равенки од прв ред се равенки од формата y’+p(x)y=q(x). Ако има нула на десната страна: y’+p(x)y=0, тогаш ова е линеарна хомогенаРавенка од 1-ви ред. Според тоа, равенката со десна страна која не е нула, y’+p(x)y=q(x), е хетерогени линеарна равенка 1 ред.
Метод на варијација на произволна константа (метод Лагранж) е како што следува:
1) Бараме општо решение на хомогената равенка y’+p(x)y=0: y=y*.
2) Во општото решение, C го сметаме не за константа, туку функција од x: C = C (x). Го наоѓаме изводот на општото решение (y*)’ и го замениме добиениот израз за y* и (y*)’ во почетната состојба. Од добиената равенка ја наоѓаме функцијата C(x).
3) Во општото решение на хомогената равенка, наместо C, го заменуваме најдениот израз C(x).
Ајде да погледнеме примери на методот на менување на произволна константа. Ајде да ги преземеме истите задачи како во, да го споредиме напредокот на решението и да се увериме дека добиените одговори се совпаѓаат.
1) y’=3x-y/x
Ајде да ја преработиме равенката во стандардна форма (за разлика од методот на Бернули, каде што ни требаше формата за нотација само за да видиме дека равенката е линеарна).
y’+y/x=3x (I). Сега продолжуваме според планот.
1) Решете ја хомогената равенка y’+y/x=0. Ова е равенка со раздвојливи променливи. Замислете y’=dy/dx, замена: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Ги множиме двете страни на равенката со dx и делиме со xy≠0: dy/y=-dx/x. Ајде да се интегрираме:
2) Во добиеното општо решение на хомогената равенка, C ќе го сметаме не за константа, туку за функција од x: C=C(x). Од тука
Добиените изрази ги заменуваме во состојба (I):
Ајде да ги интегрираме двете страни на равенката:
овде C е веќе некоја нова константа.
3) Во општото решение на хомогената равенка y=C/x, каде што претпоставивме C=C(x), односно y=C(x)/x, наместо C(x) го заменуваме пронајдениот израз x³. +C: y=(x³ +C)/x или y=x²+C/x. Го добивме истиот одговор како и при решавањето по методот на Бернули.
Одговор: y=x²+C/x.
2) y’+y=cosx.
Овде равенката е веќе напишана во стандардна форма, нема потреба да се трансформира.
1) Решете ја хомогената линеарна равенка y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Ајде да се интегрираме:
За да добиеме попогодна форма на нотација, го земаме експонентот на моќта на C како нов C:
Оваа трансформација беше извршена за да биде поудобно да се најде дериватот.
2) Во добиеното општо решение на линеарната хомогена равенка, C го сметаме не за константа, туку за функција од x: C=C(x). Под овој услов
Добиените изрази y и y’ ги заменуваме во условот:
Помножете ги двете страни на равенката со
Ние ги интегрираме двете страни на равенката користејќи ја формулата за интеграција по делови, добиваме:
Овде C веќе не е функција, туку обична константа.
3) Во општото решение на хомогената равенка
заменете ја пронајдената функција C(x):
Го добивме истиот одговор како и при решавањето по методот на Бернули.
Методот на варијација на произволна константа е исто така применлив за решавање.
y'x+y=-xy².
Равенката ја доведуваме во стандардна форма: y’+y/x=-y² (II).
1) Решете ја хомогената равенка y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Ги множиме двете страни на равенката со dx и делиме со y: dy/y=-dx/x. Сега ајде да се интегрираме:
Добиените изрази ги заменуваме во состојба (II):
Ајде да поедноставиме:
Добивме равенка со раздвојливи променливи за C и x:
Овде C е веќе обична константа. За време на процесот на интеграција, напишавме едноставно C наместо C(x), за да не ја преоптовариме ознаката. И на крајот се вративме на C(x), за да не го помешаме C(x) со новиот C.
3) Во општото решение на хомогената равенка y=C(x)/x ја заменуваме пронајдената функција C(x):
Го добивме истиот одговор како кога го решававме со методот Бернули.
Примери за самотестирање:
1. Да ја преработиме равенката во стандардна форма: y’-2y=x.
1) Реши ја хомогената равенка y’-2y=0. y’=dy/dx, па оттука dy/dx=2y, помножете ги двете страни на равенката со dx, поделете со y и интегрирате:
Од тука го наоѓаме y:
Изразите за y и y’ ги заменуваме во условот (за кратко ќе користиме C наместо C(x) и C’ наместо C“(x)):
За да го најдеме интегралот на десната страна, ја користиме формулата за интеграција по делови:
Сега ги заменуваме u, du и v во формулата:
Тука C =конст.
3) Сега го заменуваме хомогеното во растворот
Сега да ја разгледаме линеарната нехомогена равенка
. (2)
Нека y 1 ,y 2 ,.., y n е основен систем на решенија, а нека е општото решение на соодветната хомогена равенка L(y)=0. Слично на случајот со равенките од прв ред, ќе бараме решение за равенката (2) во форма
. (3)
Да се увериме дека постои решение во оваа форма. За да го направите ова, ја заменуваме функцијата во равенката. За да ја замениме оваа функција во равенката, ги наоѓаме нејзините деривати. Првиот извод е еднаков на 
. (4)
При пресметување на вториот извод, четири члена ќе се појават на десната страна на (4), при пресметување на третиот извод ќе се појават осум члена итн. Затоа, за погодност за понатамошни пресметки, првиот член во (4) е поставен еднаков на нула. Земајќи го ова предвид, вториот извод е еднаков на 
. (5)
Од истите причини како и претходно, во (5) го поставивме и првиот член еднаков на нула. Конечно, n-тиот извод е 
. (6)
Заменувајќи ги добиените вредности на дериватите во оригиналната равенка, имаме 
. (7)
Вториот член во (7) е еднаков на нула, бидејќи функциите y j , j=1,2,..,n се решенија на соодветната хомогена равенка L(y)=0. Во комбинација со претходната, добиваме систем на алгебарски равенки за наоѓање на функциите C" j (x) 
(8)
Детерминантата на овој систем е Вронска детерминанта на основниот систем на решенија y 1 ,y 2 ,..,y n од соодветната хомогена равенка L(y)=0 и затоа не е еднаква на нула. Следствено, постои единствено решение за системот (8). Откако го најдовме, ги добиваме функциите C" j (x), j=1,2,…,n, и, следствено, C j (x), j=1,2,…,n Заменувајќи ги овие вредности во (3), добиваме решение за линеарна нехомогена равенка.
Презентираниот метод се нарекува метод на варијација на произволна константа или Лагранж метод.
Пример бр. 1. Да го најдеме општото решение на равенката y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Да ја разгледаме соодветната хомогена равенка y"" + 4y" + 3y = 0. Корените на нејзината карактеристична равенка r 2 + 4r + 3 = 0 се еднакви на -1 и - 3. Според тоа, основниот систем на решенија на хомогена равенка се состои од функциите y 1 = e - x и y 2 = e -3 x. Бараме решение за нехомогената равенка во форма y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. За да ги најдеме дериватите C" 1 , C" 2 составуваме систем од равенки (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
решавање на кои, наоѓаме , Интегрирање на добиените функции, имаме 
Конечно добиваме
Пример бр. 2. Решавајте линеарни диференцијални равенки од втор ред со константни коефициенти користејќи го методот на менување произволни константи: 
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Решение:
Оваа диференцијална равенка се однесува на линеарни диференцијални равенки со константни коефициенти.
Решение на равенката ќе бараме во форма y = e rx. За да го направите ова, ја составуваме карактеристичната равенка на линеарна хомогена диференцијална равенка со константни коефициенти:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Корени на карактеристичната равенка: r 1 = 4, r 2 = 2
Следствено, основниот систем на решенија се состои од функциите: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Општото решение на хомогената равенка има форма: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Побарајте одредено решение со методот на менување на произволна константа.
За да ги најдеме дериватите на C" i составуваме систем од равенки:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Да го изразиме C" 1 од првата равенка:
C" 1 = -c 2 e -2x
и заменете го со вториот. Како резултат добиваме:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Ги интегрираме добиените функции C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Бидејќи y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, добиените изрази ги пишуваме во форма:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Така, општото решение на диференцијалната равенка има форма:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Ајде да најдеме одредено решение под услов:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Заменувајќи го x = 0 во пронајдената равенка, добиваме:
y (0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Го наоѓаме првиот дериват на добиеното општо решение:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Заменувајќи x = 0, добиваме:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Добиваме систем од две равенки:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Од: C 1 = 0, C * 2 = 2
Приватното решение ќе биде напишано како:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x
Предавање 44. Линеарни нехомогени равенки од втор ред. Метод на варијација на произволни константи. Линеарни нехомогени равенки од втор ред со константни коефициенти. (специјална десна страна).
Општествени трансформации. Државата и црквата.
Социјална политикаБолшевиците во голема мера беа диктирани од нивниот класен пристап.Со декрет од 10 ноември 1917 година, класниот систем беше уништен, предреволуционерните чинови, титули и награди беа укинати. Изборот на судии е воспоставен; беше извршена секуларизација на граѓанските држави. Беа воспоставени бесплатно образование и медицинска нега (уредба од 31 октомври 1918 година). Жените добија еднакви права со мажите (декрети од 16 и 18 декември 1917 година). Уредбата за брак ја воведе институцијата граѓански брак.
Со декрет на Советот на народни комесари од 20 јануари 1918 година, црквата била одвоена од државата и од образовниот систем. Поголемиот дел од црковниот имот бил конфискуван. Патријархот Московски и на цела Русија Тихон (избран на 5 ноември 1917 година) анатемизиран на 19 јануари 1918 година Советска моќи повика на борба против болшевиците.
Размислете за линеарна нехомогена равенка од втор ред
Структурата на општото решение на таквата равенка се одредува со следнава теорема:
Теорема 1.Општото решение на нехомогената равенка (1) е претставено како збир на одредено решение на оваа равенка и општото решение на соодветната хомогена равенка
Доказ. Неопходно е да се докаже дека износот
е општо решение на равенката (1). Прво да докажеме дека функцијата (3) е решение на равенката (1).
Замена на збирот во равенката (1) наместо на, ќе имаме
Бидејќи постои решение за равенката (2), изразот во првите загради е идентично еднаков на нула. Бидејќи постои решение за равенката (1), изразот во втората заграда е еднаков на f(x). Затоа, еднаквоста (4) е идентитет. Така, првиот дел од теоремата е докажан.
Да го докажеме вториот исказ: изразот (3) е општорешение на равенката (1). Мора да докажеме дека произволните константи вклучени во овој израз можат да бидат избрани така што почетните услови се задоволени:
какви и да се бројките x 0, y 0и (ако само x 0е земен од просторот каде што функционира а 1, а 2И f(x)континуирано).
Забележувајќи дека може да се претстави во форма . Потоа, врз основа на условите (5) ќе имаме
Дозволете ни да го решиме овој систем и да утврдиме C 1И C 2. Ајде да го преработиме системот во форма:
Забележете дека детерминантата на овој систем е одредницата Вронски за функциите во 1И во 2во точката x=x 0. Бидејќи овие функции се линеарно независни по услов, детерминантата Вронски не е еднаква на нула; затоа системот (6) има дефинитивно решение C 1И C 2, т.е. има такви значења C 1И C 2, според која формулата (3) го одредува решението на равенката (1) што ги задоволува дадените почетни услови. Q.E.D.
Да преминеме на општиот метод за наоѓање парцијални решенија за нехомогена равенка.
Да го напишеме општото решение на хомогената равенка (2)
Ќе бараме одредено решение за нехомогената равенка (1) во форма (7), со оглед на C 1И C 2како некои сè уште непознати функции од X.
Да ја разликуваме еднаквоста (7):
Ајде да ги избереме функциите што ги барате C 1И C 2така што еднаквоста важи
Ако го земеме предвид овој дополнителен услов, тогаш првиот извод ќе ја добие формата
Разликувајќи го сега овој израз, наоѓаме:
Заменувајќи се во равенката (1), добиваме
Изразите во првите две загради стануваат нула, бидејќи y 1И y 2– решенија на хомогена равенка. Затоа, последната еднаквост добива форма
Така, функцијата (7) ќе биде решение за нехомогената равенка (1) ако функциите C 1И C 2ги задоволува равенките (8) и (9). Ајде да создадеме систем на равенки од равенките (8) и (9).
Бидејќи детерминантата на овој систем е Вронска одредница за линеарно независни решенија y 1И y 2равенката (2), тогаш таа не е еднаква на нула. Затоа, решавајќи го системот, ќе ги најдеме и двете одредени функции на X:
Решавајќи го овој систем, наоѓаме , од каде, како резултат на интеграцијата, добиваме . Следно, пронајдените функции ги заменуваме во формулата, добиваме општо решение за нехомогената равенка, каде што се произволни константи.
Метод на варијација на произволни константи
Метод на варијација на произволни константи за конструирање решение на линеарна нехомогена диференцијална равенка
а n (т)z (n) (т) + а n − 1 (т)z (n − 1) (т) + ... + а 1 (т)z"(т) + а 0 (т)z(т) = ѓ(т)
се состои од замена на произволни константи в кво општото решение
z(т) = в 1 z 1 (т) + в 2 z 2 (т) + ... + в n z n (т)
соодветната хомогена равенка
а n (т)z (n) (т) + а n − 1 (т)z (n − 1) (т) + ... + а 1 (т)z"(т) + а 0 (т)z(т) = 0
за помошни функции в к (т) , чии деривати го задоволуваат линеарниот алгебарски систем
Детерминантата на системот (1) е Вронски на функциите z 1 ,z 2 ,...,z n , што ја обезбедува неговата единствена решливост во однос на .
Ако се антидеривати за , земени на фиксни вредности на константите на интеграција, тогаш функцијата
е решение на првобитната линеарна нехомогена диференцијална равенка. Интеграцијата на нехомогена равенка во присуство на општо решение на соодветната хомогена равенка на тој начин се сведува на квадрати.
Метод на варијација на произволни константи за конструирање решенија на систем од линеарни диференцијални равенки во векторска нормална форма
се состои во конструирање на одредено решение (1) во форма
Каде З(т) е основата на решенијата на соодветната хомогена равенка, напишана во форма на матрица, а векторската функција , која го замени векторот на произволни константи, е дефинирана со релацијата . Потребното конкретно решение (со нула почетни вредности на т = т 0 изгледа како
За систем со константни коефициенти, последниот израз е поедноставен:
Матрица З(т)З− 1 (τ)повикани Коши матрицаоператор Л = А(т) .
Се вчитува...