Полиедар впишан во сфера. Математика. Целосниот курс е повторлив. Отворена лекција по геометрија

Опис на презентацијата по поединечни слајдови:

1 слајд

Опис на слајдот:

општински автономни образовна институцијапросек сеопфатно училиште № 45 Алатникза ученици од 11-то одделение Составен од наставничката по математика од највисоката категорија, Елена Вјачеславовна Гавинскаја. Калининград 2016-2017 година академска година

2 слајд

Опис на слајдот:

Полиедра впишана во сфера. Темата е слична на онаа на курсот за планиметрија, каде што беше кажано дека круговите може да се опишат околу триаголници и правилни n-аголници. Аналогот на кругот во просторот е сфера, а многуаголникот е многуедар. Во овој случај, аналогот на триаголник е триаголна призма, а аналогот на правилни многуаголници е правилни полиедри. Дефиниција. За полиедар се вели дека е впишан во сфера ако сите негови темиња припаѓаат на оваа сфера. Се вели дека самата сфера е ограничена на полиедарот.

3 слајд

Опис на слајдот:

„Сфера може да се опише околу права призма ако и само ако може да се опише круг околу основата на оваа призма“. Доказ: Ако сферата е опкружена околу права призма, тогаш сите темиња на основата на призмата припаѓаат на сферата и, според тоа, на кругот, кој е линијата на пресек на сферата и рамнината на основата. Спротивно на тоа, нека се опише круг со центар во точката O1 и радиус r во близина на основата на права призма. Потоа, околу втората основа на призмата, може да се опише круг со центар во точката O2 и ист радиус. Нека O1O2=d, O – средината на O1O2. Тогаш сферата со центар O и радиус R= ќе биде саканата ограничена сфера. Теорема 1.

4 слајд

Опис на слајдот:

„Може да се опише сфера околу која било триаголна пирамида, и тоа само една“. Доказ. Да се ​​свртиме кон доказ сличен на оној од курсот за планиметрија. Пред сè, треба да го најдеме локусот на точки што се еднакво оддалечени од двете темиња на триаголникот. На пример, A и B. Таква геометриска локација е нормалната симетрала нацртана на отсечката AB. Потоа го наоѓаме локусот на точки на еднакво растојание од A и C. Ова е нормална симетрала на отсечката AC. Пресечната точка на овие бисекторски перпендикулари ќе биде саканиот центар O на кругот опфатен околу триаголникот ABC. Теорема 2.

5 слајд

Опис на слајдот:

Сега да ја разгледаме просторната ситуација и да направиме слични конструкции. Нека е дадена триаголна пирамида DABC, а точките A, B и C ја дефинираат рамнината α. Геометрискиот локус на точките еднакво оддалечени од точките A, B и C е права линија a, нормална на рамнината α и минува низ центарот O1 на кругот опкружен околу триаголникот ABC. Геометрискиот локус на точките што се еднакво оддалечени од точките A и D е рамнината β, нормална на отсечката AD и минува низ нејзиното теме - точка E. Рамнината β и права линија a се сечат во точката O, што ќе биде посакуваниот центар на сфера оградена околу триаголната пирамида DABC. Навистина, врз основа на конструкцијата, точката О е подеднакво оддалечена од сите темиња на пирамидата DABC. Покрај тоа, таквата точка ќе биде единствена, бидејќи пресечната права линија и рамнината имаат единствена заедничка точка.

6 слајд

Опис на слајдот:

Топката опишана за редовна пирамида. Топката може да се опише околу која било редовна пирамида. Центарот на топката лежи на права линија што минува низ висината на пирамидата и се совпаѓа со центарот на кругот опфатен околу рамнокрак триаголник, чија страна е страничниот раб на пирамидата, а висината е висината на пирамидата. Радиусот на топката е еднаков на радиусот на овој круг. Радиусот на топката R, висината на пирамидата H и радиусот на кругот r опишан во близина на основата на пирамидата се поврзани со релацијата: R2=(H-R)2+r2 Оваа релација важи и во случај кога Х< R.

7 слајд

Опис на слајдот:

Проблемот е во врска со топката ограничена на обична пирамида. „Сфера со центар во точката O и радиус од 9√3 m е опишана во близина на правилната пирамида PABC. Правата линија PO, која ја содржи висината на пирамидата, ја пресекува основата на пирамидата во точката H така што PH:OH = 2:1. Најдете го волуменот на пирамидата ако секој од нејзините странични рабови формира агол од 45 степени со рамнината на основата.

8 слајд

Опис на слајдот:

Дадени: PABC – правилна пирамида; топката (O;R=9√3 m) е опишана во близина на пирамидата; RO∩(ABC)=N; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45o. Најдете: Vpir. Решение: Бидејќи RN:OH=2:1 (по услов), тогаш RN:OR=2:3 RN:9√3 =2:3 RN=6√3 (m) 2. RN _ (ABC) (како висина на пирамидата) => => RN _ AN (по дефиниција) => RAS - правоаголна. 3. ВО РАС:

Слајд 9

Опис на слајдот:

4. Бидејќи по услов RABC е правилна пирамида, а PH е нејзината висина, тогаш по дефиниција ABC е точна; H е центар на круг ограничен околу ABC, што значи 5. Одговор: 486 m3.

10 слајд

Опис на слајдот:

Сфера опкружена околу призма. Сферата може да се опише околу призмата ако е права, а нејзините основи се многуаголници впишани во круг. Центарот на топката лежи на средината на висината на призмата што ги поврзува центрите на круговите опишани околу основите на призмата. Радиусот на топката R, висината на призмата H и радиусот на кругот r опишани околу основата на призмата се поврзани со релацијата:

11 слајд

Опис на слајдот:

Проблемот е за сфера опкружена околу призма. „Во сфера е впишана правилна призма ABCDA1B1C1D1 со висина од 6 cm (така; R = 5 cm). Најдете ја пресечната површина на призмата со рамнина паралелна со рамнините на основата и минува низ точката О - центарот на топката.

12 слајд

Опис на слајдот:

Дадени: ABCDA1B1C1D1 – правилна призма; околу призма е опишана топка (O;R=5 cm); висината на призмата h е 6 cm; α║(ABC); О со α. Најди: Ssec α, Решение: Бидејќи, по услов, призмата е впишана во топка, тогаш (r е радиусот на кругот опкружен околу основата на призмата) Но по услов е дадена правилна призма, што значи

Слајд 13

Опис на слајдот:

а) (АВВ1) ║(СС1D1) (по својство на права призма) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (по својство на паралелни рамнини) Ho (BCC1) ║ (ADD1) (по својство на права призма) => KM=NR (по својство на паралелни рамнини). Ова значи дека KMNR е паралелограм (по атрибут) => MN=KR и MN ║ KR б) α ║ (ABC) (по конструкција) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (според својството на паралелните рамнини) 2. 3. Бидејќи според условот ABCDA1B1C1D1 е правилна призма, а пресекот по рамнина α е паралелен со основите, тогаш фигурата формирана од пресекот е квадрат. Ајде да докажеме: => => =>

Слајд 14

Опис на слајдот:

KMH= ABC=90o (како агли со соодветно порамнети страни) Тоа значи дека ромбот KMNR е квадрат (по дефиниција), што требаше да се докаже. Покрај тоа, квадратите KMNR и ABCD се еднакви. Според тоа, по својство нивните плоштини се еднакви, и затоа, пресек α.=SABCD=32 (cm2) Одговор: 32 cm2. в) KM ║ AB (докажано) (BCC1) ║(ADD1) (по својство на права призма) => KM=AB=4√2 cm (по својство на паралелни рамнини). г) Слично, се докажува дека MN ║ BC и MN = BC = 4√2 cm Тоа значи дека MN = KM => паралелограм MNRK е ромб (по дефиниција). д) MN ║ BC (докажано) KM ║ AB (докажано) => =>

15 слајд

Опис на слајдот:

Цилиндар опкружен околу призма. Цилиндарот може да се опише околу права призма ако неговата основа е многуаголник впишан во круг. Радиусот на цилиндерот R е еднаков на радиусот на овој круг. Оската на цилиндерот лежи на истата права линија со висината H на призмата, поврзувајќи ги центрите на круговите опишани во близина на основите на призмата. Во случај на четириаголна призма (ако основата е правоаголник), оската на цилиндерот поминува низ пресечната точка на дијагоналите на основите на призмата.

16 слајд

Опис на слајдот:

Проблемот е околу цилиндарот опкружен околу призмата. Права призма ABCDA1B1C1D1, чија основа е правоаголник, е впишана во цилиндар, чија генерација е 7 cm, а радиусот е 3 cm. Најдете ја плоштината на страничната површина на призмата ако аголот помеѓу дијагоналите ABCD е 60 степени. ОО1 – оска на цилиндарот.

Слајд 17

Опис на слајдот:

Дадено: ABCDA1B1C1D1 – права призма; цилиндерот е опишан во близина на призмата; генератрикс на цилиндерот AA1=7 cm; радиусот на основата на цилиндерот е 3 см; аголот помеѓу дијагоналите ABCD е 60°; ОО1 – оска на цилиндарот. Најдете: Странична призма. Решение: Бидејќи, според условот, во топка е впишана четириаголна призма во чија основа е правоаголник, тогаш според својството AC∩ВD=O. Тоа значи AOB=60o и AO=OB=3cm. 2. Во AOB со користење на косинусова теорема.

Многуедра впишана во сфера Конвексниот полиедар се нарекува впишан ако сите негови темиња лежат на некоја сфера. Оваа сфера се нарекува опишана за даден полиедар. Центарот на оваа сфера е една точка оддалечена од темињата на полиедарот. Тоа е точката на пресек на рамнините, од кои секоја поминува низ средината на работ на полиедарот нормално на него.

Формула за наоѓање на радиусот на ограничена сфера Нека SABC е пирамида со еднакви странични рабови, h е нејзината висина, R е радиусот на кругот опкружен околу основата. Да го најдеме радиусот на ограничената сфера. Забележете ја сличноста на правоаголните триаголници SKO1 и SAO. Тогаш SO 1 /SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Но KS = SA/2. Потоа R 1 = SA 2 / (2SO); R1 = (h2 + R2)/(2h); R 1 = b 2 / (2h), каде што b е страничен раб.

Паралелепипед впишан во сфера Теорема: Сферата може да се опише околу паралелепипед ако и само ако паралелепипедот е правоаголен, бидејќи во во овој случајтаа е права и околу нејзината основа - паралелограм - може да се опише круг (бидејќи основата е правоаголник).

Задача 1 Најдете го радиусот на сфера ограничена на правилен тетраедар со раб a. Решение: SO 1 = SA 2 /(2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 /(2 a) = a /4. Одговор: SO 1 = a /4. Ајде прво да конструираме слика на центарот на ограничена топка користејќи ја сликата на редовен тетраедар SABC. Да ги нацртаме апотемите SD и AD (SD = AD). Во рамнокрак триаголник ASD, секоја точка на средната DN е еднакво оддалечена од краевите на отсечката AS. Според тоа, точката O 1 е пресекот на висината SO и отсечката DN. Користејќи ја формулата од R 1 = b 2 / (2h), добиваме:

Задача 2 Решение: Користејќи ја формулата R 1 =b 2 /(2h) за да го најдеме радиусот на опишаната топка, ги наоѓаме SC и SO. SC = a/(2sin(α/2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 - (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) - 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 ( α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α Во правилна четириаголна пирамида, страната на основата е еднаква на a, а аголот на рамнината на врвот е еднаков на α . Најдете го радиусот на опишаната топка R 1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · 1/(2a/(2sin(α /2))) =a/(4sin(α /2) ·).Одговор : R 1 = a/(4sin(α /2) ·).

Многуедра оградена околу сфера Конвексниот полиедар се нарекува ограничен ако сите негови лица допираат некоја сфера. Оваа сфера се нарекува впишана за даден полиедар. Центарот на впишаната сфера е точка подеднакво оддалечена од сите лица на полиедарот.

Положба на центарот на впишана сфера Поим на симетрална рамнина со диедрален агол. Симетрална рамнина е рамнина што го дели диедралниот агол на два еднакви диедрални агли. Секоја точка на оваа рамнина е подеднакво оддалечена од лицата на диедралниот агол. Во општиот случај, центарот на сферата впишана во полиедар е пресечната точка на симетралните рамнини на сите диедрални агли на полиедарот. Секогаш лежи во полиедарот.

Пирамида опкружена околу топка За топката се вели дека е впишана во (произволна) пирамида ако ги допира сите лица на пирамидата (и страничните и основните). Теорема: Ако страничните лица се подеднакво наклонети кон основата, тогаш во таква пирамида може да се впише топка. Бидејќи диедралните агли на основата се еднакви, нивните половини се исто така еднакви и симетралите се сечат во една точка на висината на пирамидата. Оваа точка им припаѓа на сите симетрални рамнини во основата на пирамидата и е подеднакво оддалечена од сите лица на пирамидата - центарот на впишаната топка.

Формула за наоѓање на радиусот на впишаната сфера Нека SABC е пирамида со еднакви странични рабови, h е нејзината висина, r е радиусот на впишаната кружница. Да го најдеме радиусот на ограничената сфера. Нека SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Потоа, според својството на симетралата на внатрешниот агол на триаголникот, O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 /r = (h – r 1)/ ; r 1 · = rh – rr 1 ; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh / (+ r). Одговор: r 1 = rh / (+ r).

Паралелепипед и коцка опишани околу сфера Теорема: сфера може да се впише во паралелепипед ако и само ако паралелепипедот е исправен и неговата основа е ромб, а висината на овој ромб е дијаметарот на впишаната сфера, која, за возврат, е еднаква на висината на паралелепипедот. (Од сите паралелограми, само круг може да се впише во ромб) Теорема: Сферата секогаш може да се впише во коцка. Центарот на оваа сфера е точката на пресек на дијагоналите на коцката, а радиусот е еднаков на половина од должината на работ на коцката.

Комбинации на фигури Впишани и ограничени призми Призма ограничена на цилиндар е призма чии базни рамнини се рамнините на основите на цилиндерот, а страничните страни го допираат цилиндерот. Призма впишана во цилиндар е призма чии базни рамнини се рамнините на основите на цилиндерот, а страничните рабови се генератори на цилиндерот. Тангента рамнина на цилиндар е рамнина што минува низ генератриксот на цилиндерот и е нормална на рамнината на аксијалниот дел што ја содржи оваа генератрикс.

Впишани и ограничени пирамиди Пирамида впишана во конус е пирамида чија основа е многуаголник впишан во кругот на основата на конусот, а врвот е темето на конусот. Страничните рабови на пирамидата впишана во конус го формираат конусот. Пирамида опкружена околу конус е пирамида чија основа е многуаголник опкружен околу основата на конусот, а врвот се совпаѓа со врвот на конусот. Рамнините на страничните лица на опишаната пирамида се тангентни на рамнината на конусот. Тангента рамнина на конус е рамнина што минува низ генератриксот и е нормална на рамнината на аксијалниот дел што ја содржи оваа генератрица.

Други типови на конфигурации Цилиндарот е впишан во пирамида ако кругот на една од неговите основи ги допира сите странични страни на пирамидата, а неговата друга основа лежи на основата на пирамидата. Конус е впишан во призма ако неговото теме лежи на горната основа на призмата, а неговата основа е круг впишан во многуаголник - долната основа на призмата. Призмата е впишана во конус ако сите темиња на горната основа на призмата лежат на страничната површина на конусот, а долната основа на призмата лежи на основата на конусот.

Задача 1 Во правилна четириаголна пирамида, страната на основата е еднаква на a, а аголот на рамнината на врвот е еднаков на α. Најдете го радиусот на топката впишана во пирамидата. Решение: Да ги изразиме страните на СОК во однос на a и α. Во ред = a/2. SK = KC cot(α /2); SK = (a · ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) Користејќи ја формулата r 1 = rh/(+ r), го наоѓаме радиусот на впишаната топка: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (а/2)= = (а/2) Одговор: r 1 = (а/2)

Заклучок Темата „Полиедра“ ја изучуваат учениците од 10 и 11 одделение, но во наставна програмаима многу малку материјал на тема „Впишани и ограничени полиедри“, иако е многу голем интересстуденти, бидејќи проучувањето на својствата на полиедрите придонесува за развој на апстрактни и логично размислување, што подоцна ќе ни биде од корист во учењето, работата, животот. Додека работевме на овој есеј, го проучувавме целиот теоретски материјал на тема „Впишани и ограничени полиедри“, ги испитавме можните комбинации на фигури и научивме да го применуваме целиот изучен материјал во пракса. Проблемите кои вклучуваат комбинација на тела се најтешкото прашање во курсот за стереометрија во 11-то одделение. Но, сега можеме со сигурност да кажеме дека нема да имаме проблеми со решавање на ваквите проблеми, бидејќи за време на нашата истражувачка работаги утврдивме и ги докажавме својствата на впишаните и ограничените полиедри. Многу често, учениците имаат потешкотии кога изработуваат цртеж за проблем во оваа тема. Но, откако научивме дека за да ги решиме проблемите што вклучуваат комбинација на топка со полиедар, сликата на топката понекогаш е непотребна и доволно е да се означи нејзиниот центар и радиус, можеме да бидеме сигурни дека нема да ги имаме овие тешкотии. Благодарение на овој есеј, успеавме да ја разбереме оваа тешка, но многу фасцинантна тема. Се надеваме дека сега нема да имаме никакви потешкотии во примената на изучениот материјал во пракса.

Многуедра впишана во сфера За полиедар се вели дека е впишан во сфера ако сите негови темиња припаѓаат на оваа сфера. Се вели дека самата сфера е ограничена на полиедарот. Теорема. Сфера може да се опише околу пирамидата ако и само ако може да се опише круг околу основата на оваа пирамида.

Полиедра впишана во сфера Теорема. Сфера може да се опише во близина на права призма ако и само ако кругот може да се опише во близина на основата на оваа призма. Нејзиниот центар ќе биде точката О, која е средната точка на сегментот што ги поврзува центрите на круговите опишани во близина на основите на призмата. Радиусот на сферата R се пресметува со формулата каде што h е висината на призмата, r е радиусот на кругот опкружен околу основата на призмата.

Вежба 3 Основата на пирамидата е правилен триаголник, чија страна е еднаква на 3. Еден од страничните рабови е еднаков на 2 и е нормален на рамнината на основата. Најдете го радиусот на ограничената сфера. Решение. Нека O е центарот на опишаната сфера, Q центарот на ограничениот круг околу основата, E средната точка на SC. Четириаголник CEOQ е правоаголник во кој CE = 1, CQ = Затоа, R=OC=2. Одговор: R = 2.

Вежба 4 На сликата е прикажана пирамидата SABC, за која работ SC е еднаков на 2 и е нормален на рамнината на основата ABC, аголот ACB е еднаков на 90 o, AC = BC = 1. Конструирајте го центарот на сферата Ограничена околу оваа пирамида и да го најде нејзиниот радиус. Решение. Преку средината D на работ AB повлекуваме права паралелна на SC. Низ средината E на работ SC повлекуваме права линија паралелна на CD. Нивната пресечна точка О ќе биде посакуваниот центар на ограничената сфера. Во правоаголен триаголник OCD имаме: OD = CD = Според Питагоровата теорема, наоѓаме

Вежба 5 Најдете го радиусот на сфера опкружена со правилна триаголна пирамида, чии странични рабови се еднакви на 1, а рамнинските агли на врвот се еднакви на 90 степени. Решение. Во тетраедарот SABC имаме: AB = AE = SE = Во правоаголниот триаголник OAE имаме: Решавајќи ја оваа равенка за R, наоѓаме

Вежба 4 Најдете го радиусот на сфера опфатена со правоаголна триаголна призма, во чија основа правоаголен триаголниксо катети еднакви на 1 и висина на призмата еднаква на 2. Одговор: Решение. Радиусот на сферата е еднаков на половина од дијагоналата A 1 C на правоаголникот ACC 1 A 1. Имаме: AA 1 = 2, AC = Затоа, R =

Вежба Пронајдете го радиусот на сфера опкружена со правилна пирамида со 6 агли, чии рабови се еднакви на 1, а страничните рабови се еднакви на 2. Решение. Триаголникот SAD е рамностран со страната 2. Радиусот R на опишаната сфера е еднаков на радиусот на кругот опфатен околу триаголникот SAD. Оттука,

Вежба Пронајдете го радиусот на сферата ограничена на единицата икозаедар. Решение. Во правоаголникот ABCD, AB = CD = 1, BC и AD се дијагонали на правилни петаголници со страни 1. Затоа, BC = AD = Според Питагоровата теорема, AC = Потребниот радиус е еднаков на половина од оваа дијагонала, т.е.

Вежба Најдете го радиусот на сфера ограничена на единица додекаедар. Решение. ABCDE е правилен петаголник со страна Во правоаголникот ACGF AF = CG = 1, AC и FG се дијагоналите на пентагонот ABCDE и, според тоа, AC = FG = Според Питагоровата теорема FC = Потребниот радиус е еднаков на половина од ова дијагонала, т.е.

Вежба Сликата покажува скратен тетраедар добиен со отсекување на аглите на правилен тетраедар од триаголни пирамиди, чии лица се правилни шестоаголниции триаголници. Најдете го радиусот на сферата опфатена со пресечен тетраедар чии рабови се еднакви на 1.

Вежба На сликата е прикажан скратен октаедар добиен со отсекување на триаголни пирамиди од аглите на октаедарот, чии лица се правилни шестоаголници и триаголници. Најдете го радиусот на сферата опкружена со скратен октаедар чии рабови се еднакви на 1. Вежба На сликата е прикажан скратен икозаедрон добиен со отсекување на аглите на икозаедронот на петоаголни пирамиди, чии лица се правилни шестоаголници и петаголници. Најдете го радиусот на сферата опфатена со пресечен икозаедар чии рабови се еднакви на 1.
Вежба На сликата е прикажан скратен додекаедрон добиен со отсекување на триаголни пирамиди од аглите на додекаедронот, чии лица се правилни десетаголници и триаголници. Најдете го радиусот на сфера опфатена со пресечен додекаедар чии рабови се еднакви на 1.
Вежба Најдете го радиусот на сфера ограничена на единица кубоктаедрон. Решение. Потсетиме дека кубоктаедрон се добива од коцка со отсекување на правилни триаголни пирамиди со темиња на темињата на коцката и странични рабови еднакви на половина од работ на коцката. Ако работ на октаедарот е еднаков на 1, тогаш работ на соодветната коцка е еднаков на Радиусот на ограничената сфера е еднаков на растојанието од центарот на коцката до средината на нејзиниот раб, т.е. е еднакво на 1. Одговор: R = 1.

Наставник по математика средно школо №2,

градот Талдикорган Н.Ју.Лозович

Јавна лекцијаво геометријата

Тема на часот: „Топката. ВпишаниИопишани полиедри“

Цели на лекцијата:

- едукативни -обезбеди за време на часот повторување, консолидирање и тестирање на совладувањето на дефинициите од страна на учениците топкаИ сфери,и сродни концепти ( центар, радиуси, дијаметри,дијаметрално спротивни точки, тангентни рамниниИ директно);концепти на впишани и опфатени полиедри, познавање на теореми за пресек на топка со рамнина (20.3), за симетрија на топка (20.4), на тангентна рамнина на топка (20.5), за пресек на две сфери (20.6), на конструкција на центарот на ограничена (впишана) сфера пирамида и конструкција на центарот на сфера опишана околу правилна призма;

продолжи да ги развива вештините за самостојно примена на целото тело на ова знаење во променливи ситуации засновани на модел и нестандардни кои бараат креативна активност;

едукативни -да се всади кај студентите одговорност за резултатите од студиите, истрајност во постигнувањето на целите, самодоверба, желба за постигнување одлични резултати, чувство за убавина (убавината на геометриските форми, елегантно, убаво решение на проблем).

развој -развиваат кај учениците: способност за специфично и генерализирано размислување, креативна и просторна имагинација; асоцијативност (способност да се потпреме на различни врски: по сличност, аналогија, контраст, причинско-последично), способност за логично и доследно изразување на своите мисли, потреба за учење и развој, за создавање услови на часот за манифестација на когнитивната активност на учениците.

Тип на лекција

лекција за тестирање и корекција на знаењата и вештините.

Наставни методи

Воведен разговор (поставување на целта на часот, мотивирање на активностите за учење на учениците, создавање на потребната емотивна и морална атмосфера, упатување на учениците за организирање на работата на часот).

Фронтална анкета (усно тестирање на знаењата на учениците за основните поими, теореми, способности да ја објаснат нивната суштина и да го оправдаат своето расудување).

Нивелирана самостојна работа, заснована на принципот на постепено зголемување на нивото на знаење и вештини, т.е. од репродуктивно ниво до продуктивно и креативно ниво. Суштината на методот е индивидуалната самостојна работа на учениците, постојано контролирана и охрабрувана од наставникот.

Едукативни визуелни помагала

Стереометриски модели геометриски тела, постери, цртежи, картички за индивидуални самостојна работа.

Ажурирање

а) Основни знаења.

Потребно е да се активираат поимите: тангента на кружница, конвексни многуаголници впишани во круг и опкружени околу круг, пресметка на радиусите на впишани и опишани кругови за правилни многуаголници од планиметрија; од 10-то одделение, дефиницијата за симетрија во однос на рамнина, концептот на фигури кои се симетрични во однос на точка, оска (права линија) и рамнина.

б) Начини за формирање мотиви и побудување интерес.

Во воведен разговоросигурајте се дека учениците ја разбираат целта, го препознаваат нивниот личен интерес за нејзино постигнување, го откриваат значењето на целта за самите студенти, го нагласуваат значењето на оваа тема не само сама по себе, туку и нејзината пропедевтичка природа за проучување на следната тема, заситување на лекција со материјал од емотивна природа (убавина на геометриски форми, меурчиња од сапуница, Земја и Месечина); нагласи ја нивоата природа на самостојната работа: од една страна, ова ќе обезбеди високо научно ниво на материјалот што се изучува, а од друга страна, пристапност, поентата на студентите е дека секој од нив има право на педагошка поддршка ( „осигурување“) за идентификување, анализа на реални или потенцијални проблеми на детето, заеднички дизајн на можен излез од нив; рејтинг системоценувањето на знаењето е дополнителен поттик за децата.

в) Форми на следење на напредокот на работата, меѓусебна контрола. Меѓусебната контрола (размена на тетратки) се врши откако учениците ќе го завршат првиот дел од 1-то (ученички) ниво на самостојна работа - писмени одговори на учениците на усните прашања на наставникот (математички диктат).

По размена на тетратки, сите точни одговори се изговараат гласно (по можност се користат визуелни помагала: модели на стереометриски тела, цртежи, постери). Потоа, момците продолжуваат со оценувањето на рејтингот на првиот дел од самостојната работа: точниот целосен одговор се добива 1 поен, ако има мали коментари, тогаш - 0,5 поени, во спротивно - 0 поени. Бројот на бодови кои ги освоил секој ученик наставникот го запишува на табла. По што момците почнуваат да работат на индивидуални картички. Оние кои ги завршиле задачите од 1-во ниво и добиле зелено светло од наставникот, продолжуваат кон завршување на задачата од следното ниво. Успехот во решавањето на проблемот не треба да се остави без внимание, охрабрување и пофалби. Во исто време, наставникот врши поправна работа: разбирајќи ги силните и слабите страни на ученикот, тој му помага да се потпре на сопствените сили и го надополнува онаму каде што ученикот, колку и да се труди, објективно не може да се справи со нешто.

При проверка на работата, се користи следниов систем за нотација:

Проблемот не е решен;

Проблемот не е решен, но има некои разумни размислувања во работата;

Само одговорот е даден на проблем каде што еден одговор очигледно не е доволен;

± - проблемот е решен, но решението содржи мали пропусти и неточности;

Проблемот е целосно решен;

+! – решението на проблемот содржи неочекувани светли идеи.

Големо значењеприкачен на лист со отворено сметководство за активностите на децата, кој се пополнува како што е завршена самостојната работа.

Ова ги обезбедува неопходните услови за оценување на знаењето на учениците во училницата - објективност, ефикасност, добра волја и транспарентност.

Израмнувам

Математички диктат.

1) Јас опција.Какво својство имаат сите темиња на полиедар впишан во сфера?

II опција.Какво својство има секое лице на полиедар впишан во сфера?

2) Јас опција.Ако може да се опише сфера околу некој полиедар, тогаш како може да се конструира нејзиниот центар?

II опција. ЗАКолку паралелепипеди може да се користат за да се опише сфера? Објаснете го вашиот одговор.

3) Јас опција.Каде се наоѓа центарот на сферата опишан за точното П- јаглеродна призма?

II опција.Каде е опишан центарот на сферата околу правилна пирамида?

4) Јас опција.Како да се конструира центарот на сфера впишана во правилна n-гонална пирамида?

// опција.Дали е можно да се вклопи сфера во која било редовна призма?

Опција I

Израмнувам

Радиусот на топката е 6 cm, а рамнината е повлечена низ крајот на радиусот под агол од 60 ° кон него. Најдете ја површината на пресекот.

Ниво II

Правилна четириаголна призма е впишана во сфера со радиус 5 cm Работ на основата на призмата е 4 cm Најди ја висината на призмата.

Ниво III

Пресметај го радиусот на сфера впишана во правилен тетраедар со раб од 4 cm.

IV ниво

Топката со радиус R е впишана во скратен конус. Аголот на наклон на генератриксот до рамнината на долната основа на конусот е еднаков на А.Најдете ги радиусите на основите и генератриксот на скратениот конус.

Опција II

Израмнувам

Сфера чиј радиус е 10 cm е пресечена со рамнина на растојание од 6 cm од центарот. Најдете ја површината на пресекот.

Ниво II

Најдете го радиусот на сфера опфатена со коцка со страна од 4 cm.

Ниво III.

А.Најдете го радиусот на ограничената сфера.

IV ниво

Топката со радиус R е впишана во скратен конус. Аголот на наклонетост на генератриксот кон рамнината на долната основа на конусот е еднаков на a. Најдете ги радиусите на основите и генератриксот на скратениот конус.

Ш опција

Израмнувам

Низ средината на радиусот на топката е повлечена рамнина нормална на него. Како се поврзува областа на големиот круг со површината на добиениот пресек?

Ниво II

Правилна триаголна призма е впишана во сфера со радиус 4 cm Работ на основата на призмата е 3 cm Најди ја висината на призмата.

Ниво III

Во правилна четириаголна пирамида, страната на основата е 4 cm, а аголот на рамнината на врвот е А.Најдете го радиусот на впишаната сфера.

IV ниво

Правилна триаголна пирамида со рамни агли е впишана во топка со радиус R Ана нејзиниот врв. Најдете ја висината на пирамидата.

IV опција

Јас ниво

На површината на топката се дадени три поени. Правилните растојанија меѓу нив се 6 cm, 8 cm, 10 cm Радиусот на топката е 11 cm. Најдете го растојанието од центарот на топката до рамнината што минува низ овие точки.

II ниво

Правилна шестоаголна призма е впишана во сфера со радиус 5 cm Работ на основата на призмата е 3 cm Најди ја висината на техниката.

Ш ниво

Најдете го радиусот на сфера оградена околу правилна n-гонална пирамида ако страната на основата е 4 cm, а страничниот раб е наклонет кон рамнината на основата под агол А.

IV ниво

Правилна триаголна пирамида со рамни агли a на нејзиното теме е впишана во топка со радиус R. Најдете ја висината на пирамидата.

Резиме на лекција

Резултатите од самостојната работа се објавуваат и анализираат. Студентите кои имаат потреба поправна работа, се поканети на лекции за корекција.

Поставете домашна работа(со потребните коментари), составена од задолжителни и променливи делови.

Задолжителен дел: ставови 187 - 193 - повторување; бр.44,45,39

Променлив дел бр.35