Многу бројки. Закони на дејства на различни броеви. Множеството е затворено под операцијата Однос помеѓу комплементите на отворени и затворени множества

Сега да докажеме некои посебни својства на затворени и отворени множества.

Теорема 1. Збирот на конечен или бројлив број отворени множества е отворено множество. Производот на конечен број отворени множества е отворено множество,

Размислете за збирот на конечен или избројлив број отворени множества:

Ако , тогаш P припаѓа барем на едно од Let Since е отворено множество, тогаш припаѓа и некое -соседство на P. Истото -соседство на P припаѓа и на збирот g, од што произлегува дека g е отворено множество. Сега да го разгледаме финалниот производ

и нека P припаѓа на g. Да докажеме, како погоре, дека некое -соседство на P припаѓа и на г. Бидејќи P припаѓа на g, тогаш P му припаѓа на сите. Бидејќи - се отворени множества, тогаш за било кое постои некое -соседство на точката што припаѓа на . Ако се земе дека бројот е еднаков на најмалиот од кој бројот е конечен, тогаш -соседството на точката P ќе му припадне на сите и, следствено, на g. Имајте на ум дека не можеме да тврдиме дека производот од бројлив број отворени множества е отворено множество.

Теорема 2. Множеството CF е отворено, а множеството CO е затворено.

Ајде да ја докажеме првата изјава. Нека P припаѓа на CF. Неопходно е да се докаже дека некое соседство P припаѓа на CF. Ова произлегува од фактот дека доколку постоеле точки F во кое било - соседство на P, точката P, која не припаѓа по услов, би била гранична точка за F и поради затвореноста би требало да припаѓа, што води кон контрадикторност.

Теорема 3. Производот на конечен или бројлив број затворени множества е затворено множество. Збирот на конечен број затворени множества е затворено множество.

Да докажеме, на пример, дека множеството

затворена. Преминувајќи кон дополнителни множества, можеме да пишуваме

По теорема, множествата се отворени, а според теорема 1, множеството е исто така отворено, а со тоа дополнителното множество g е затворено. Имајте на ум дека збирот на бројливиот број затворени множества, исто така, може да испадне дека е отворено множество.

Теорема 4. Множество е отворено множество и затворено множество.

Лесно е да се проверат следните еднаквости:

Од нив, врз основа на претходните теореми, следува теорема 4.

Ќе кажеме дека множеството g е покриено со систем М од одредени множества ако секоја точка g е вклучена барем во едно од множествата на системот М.

Теорема 5 (Борел). Ако затворено ограничено множество F е покриено со бесконечен систем a од отворени множества O, тогаш од овој бесконечен систем е можно да се извлече конечен број отворени множества кои исто така го покриваат F.

Оваа теорема ја докажуваме инверзно. Да претпоставиме дека ниеден конечен број на отворени множества од системот a не опфаќа и ова го доведуваме до контрадикција. Бидејќи F е ограничено множество, тогаш сите точки на F припаѓаат на некој конечен дводимензионален интервал. Дозволете ни да го поделиме овој затворен интервал на четири еднакви делови, делејќи ги интервалите на половина. Секој од добиените четири интервали ќе го земеме за затворање. Оние точки од F што паѓаат на еден од овие четири затворени интервали, врз основа на теорема 2, претставуваат затворено множество, и барем едно од овие затворени множества не може да биде покриено со конечен број отворени множества од системот a. Земаме еден од четирите затворени интервали наведени погоре каде се јавува оваа околност. Повторно го делиме овој интервал на четири еднакви делови и размислуваме на ист начин како погоре. Така, добиваме систем од вгнездени интервали од кои секој нареден претставува четврти дел од претходниот, а важи следнава околност: множеството точки F што припаѓаат на кое било k не може да биде покриено со конечен број отворени множества од системот. а. Со бесконечно зголемување на k, интервалите бесконечно ќе се намалуваат до одредена точка P, која припаѓа на сите интервали. Бидејќи за кое било k тие содржат бесконечен број точки, точката P е гранична точка за и затоа припаѓа на F, бидејќи F е затворено множество. Така, точката P е покриена со некое отворено множество кое припаѓа на системот a. Некое соседство на точката P исто така ќе припаѓа на отвореното множество O. За доволно големи вредности на k, интервалите D ќе спаѓаат во горното соседство на точката P. Така, тие целосно ќе бидат покриени само со еден отворено множество O од системот a, и тоа е во спротивност со фактот дека точките кои припаѓаат на кое било k не можат да бидат опфатени со конечен број отворени множества кои припаѓаат на a. Така теоремата е докажана.

Теорема 6. Отвореното множество може да се претстави како збир од бројлив број на полуотворени интервали во парови без заеднички точки.

Потсетиме дека полуотворен интервал во рамнина го нарекуваме конечен интервал дефиниран со неравенки на формата.

Дозволете ни да нацртаме на рамнината мрежа од квадрати со страни паралелни на оските и со должина на страна еднаква на една. Множеството од овие квадрати е броиво множество. Од овие квадрати, да ги избереме оние квадрати чиишто точки припаѓаат на дадено отворено множество O. Бројот на таквите квадрати може да биде конечен или изброив, или можеби воопшто нема да има такви квадрати. Секој од преостанатите квадрати од мрежата го делиме на четири идентични квадрати и од новодобиените квадрати повторно ги избираме оние чии точки сите припаѓаат на О. Повторно го делиме секој од преостанатите квадрати на четири еднакви делови и ги избираме оние квадрати чии сите точки припаѓаат на O итн. Да покажеме дека секоја точка P од множеството O ќе падне во еден од избраните квадрати, чиишто точки припаѓаат на O. Навистина, нека d е позитивното растојание од P до границата на O. Кога ќе стигнеме до квадрати чија дијагонала е помала од , тогаш, очигледно, можеме да тврдиме дека точката P веќе паднала во квадрат, чиишто волумени припаѓаат на О. Ако избраните квадрати се сметаат за полуотворени, тогаш тие нема да имаат заеднички точки во парови, а теоремата е докажана. Бројот на избраните квадрати нужно ќе може да се изброи, бидејќи конечниот збир на полуотворени интервали очигледно не е отворено множество. Означувајќи ги со DL оние полуотворени квадрати што ги добивме како резултат на горната конструкција, можеме да напишеме

Пребројливо множество е бесконечно множество чии елементи можат да се нумерираат со природни броеви, или тоа е множество еквивалентно на множеството природни броеви.

Понекогаш множествата со еднаква кардиналност на кое било подмножество од множеството природни броеви се нарекуваат бројливи, односно сите конечни множества исто така се сметаат за избројливи.

Пребројливото множество е „најмалото“ бесконечно множество, односно во кое било бесконечно множество има пребројливо подмножество.

Својства:

1. Секое подмножество од броиво множество е најмногу пребројливо.

2. Унијата на конечен или бројлив број на бројливи множества е избројлива.

3. Директниот производ на конечен број броиви множества е изброен.

4. Множеството од сите конечни подмножества на броиво множество е избројливо.

5. Множеството од сите подмножества на броиво множество е континуирано и, особено, не е избројливо.

Примери на броиви множества:

Прости броеви Природни броеви, Цели броеви, Рационални броеви, Алгебарски броеви, Периодичен прстен, Пресметливи броеви, Аритметички броеви.

Теорија на реални броеви.

(Реално = реално - потсетник за нас момци.)

Множеството R содржи рационални и ирационални броеви.

Реалните броеви кои не се рационални се нарекуваат ирационални броеви

Теорема: Не постои рационален број чиј квадрат е еднаков на бројот 2

Рационални броеви: ½, 1/3, 0,5, 0,333.

Ирационални броеви: корен од 2=1,4142356…, π=3,1415926…

Множеството R од реални броеви ги има следните својства:

1. Се подредува: за кои било два различни броја а и бважи една од двете релации а или а>б

2. Множеството R е густо: помеѓу два различни броја а и бсодржи бесконечен број реални броеви X,т.е. броеви кои ја задоволуваат неравенката а

Има и трет имот, но тој е огромен, извинете

Ограничени сетови. Својства на горните и долните граници.

Ограничен сет- множество кое во одредена смисла има конечна големина.

ограничени погореако има таков број што сите елементи не надминуваат:

Се повикува множеството реални броеви ограничени подолу, ако има број,

така што сите елементи се најмалку:

Се нарекува множество ограничено горе и долу ограничен.

Се нарекува множество кое не е ограничено неограничено. Како што следува од дефиницијата, множеството е неограничено ако и само ако е не е ограничен одозгораили не е ограничено подолу.

Редоследот на броеви. Граница на конзистентност. Лема за двајца полицајци.

Редоследот на броевие низа од елементи од броен простор.

Нека биде или множество од реални броеви или множество од сложени броеви. Тогаш се нарекува низата елементи од множеството нумеричка низа.

Пример.

Функцијата е бесконечна низа од рационални броеви. Елементите на оваа низа, почнувајќи од првата, имаат форма .

Ограничување на низата- ова е објект кон кој членовите на низата се приближуваат како што бројот се зголемува. Конкретно, за низите на броеви, граница е број во кое било соседство на кое лежат сите членови на низата кои започнуваат од одредена точка.

Теоремата за двајца полицајци...

Ако функцијата е таква што за сите во некое соседство на точката, а функциите и имаат иста граница на , тогаш постои граница на функцијата еднаква на иста вредност, т.е.

Нека се дадени две множества X и Y, без разлика дали се совпаѓаат или не.
Дефиниција. Се нарекува множеството подредени парови на елементи, од кои првиот припаѓа на X, а вториот на Y Декартов производ на множестваи е назначен .
Пример. Нека
,
, Потоа
.
Ако
,
, Потоа
.
Пример. Нека
, каде што R е множество од сите реални броеви. Потоа
е множество од сите Декартови координати на точки во рамнината.
Пример. Нека
е одредена фамилија на множества, тогаш Декартов производ на овие множества е множеството од сите подредени низи со должина n:
Ако тогаш. Елементи од
се редици вектори со должина n.
Алгебарски структури со една бинарна операција
1 Бинарни алгебарски операции
Нека
– произволно конечно или бесконечно множество.
Дефиниција. Бинарни алгебарскиоперација ( внатрешен закон на составот) на
е произволно, но фиксно мапирање на декартов квадрат
В
, т.е.
(1)
(2)
Така, секој нарачан пар

. Фактот дека
, симболично се пишува во форма
.
Типично, бинарните операции се означуваат со симболите
итн. Како и досега, операцијата
значи „собирање“, а операцијата „“ значи „множење“. Тие се разликуваат во форма на нотација и, можеби, во аксиоми, што ќе биде јасно од контекстот. Изразување
ќе го наречеме производ, и
– збир на елементи И .
Дефиниција. Еден куп
се нарекува затворена под операцијата  ако за некоја .
Пример. Размислете за множеството од ненегативни цели броеви
. Како бинарни операции на
ќе ги разгледаме обичните операции за собирање
и множење. Потоа сетови
,
ќе бидат затворени во однос на овие операции.
Коментар. Како што следува од дефиницијата, наведување на алгебарска операција * на
, е еквивалентно на затвореноста на комплетот
во врска со оваа операција. Ако испадне дека многу
не е затворена под дадена операција *, тогаш во овој случај велат дека операцијата * не е алгебарска. На пример, операцијата одземање на множество природни броеви не е алгебарска.
Нека
И
два сета.
Дефиниција. Со надворешен закон композициина сет наречено мапирање
, (3)
тие. законот со кој било кој елемент
и кој било елемент
елементот се совпаѓа
. Фактот дека
, означено со симболот
или
.
Пример. Множење на матрицата
по број
е надворешен состав закон на множеството
. Множење на броеви во
може да се смета и како внатрешен закон на составот и како надворешен закон.
дистрибутивенво врска со внатрешниот закон на составот * во
, Ако
Надворешниот закон на составот се нарекува дистрибутивенво однос на внатрешниот закон на составот * во Y, ако
Пример. Множење на матрицата
по број
дистрибутивен и во однос на собирање на матрици и во однос на собирање на броеви, бидејќи,.
Својства на бинарни операции

Бинарна алгебарска операција  на множество
наречен:
Коментар. Својствата на комутативноста и асоцијативноста се независни.
Пример. Размислете за множеството цели броеви. Операција вклучена ќе се определат согласно правилото
. Ајде да избереме броеви
и извршете ја операцијата на овие броеви:
тие. операцијата  е комутативна, но не и асоцијативна.
Пример. Размислете за комплетот
– квадратни матрици на димензија
со реални коефициенти. Како бинарна операција * на
Ќе ги разгледаме операциите за множење на матрицата. Нека
, Потоа
, сепак
, т.е. операцијата на множење на множество квадратни матрици е асоцијативна, но не и комутативна.
Дефиниција. Елемент
повикани синглили неутраленво врска со предметната операција  на
, Ако
Лема. Ако – единица елемент на комплетот
, затворена под операцијата *, тогаш таа е единствена.
Доказ . Нека – единица елемент на комплетот
, затворена под операцијата *. Да претпоставиме дека во
има уште еден единичен елемент
, Потоа
, бидејќи е единствен елемент, и
, бидејќи - еден елемент. Оттука,
– единствениот единечен елемент на комплетот
.
Дефиниција. Елемент
повикани обратноили симетричнидо елемент
, Ако
Пример. Размислете за множеството цели броеви со операција за додавање
. Елемент
, потоа симетричниот елемент
ќе има елемент
. Навистина,.

Множеството природни броеви се состои од броевите 1, 2, 3, 4, ..., кои се користат за броење предмети. Множеството од сите природни броеви обично се означува со буквата Н :

Н = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

Закони за собирање на природни броеви

1. За сите природни броеви аИ беднаквоста е вистина а + б = б + а . Ова својство се нарекува комутативен закон на собирање.

2. За сите природни броеви а, б, в еднаквоста е вистина (а + б) + в = а + (б + в) . Ова својство се нарекува комбиниран (асоцијативен) закон за собирање.

Закони за множење на природни броеви

3. За сите природни броеви аИ беднаквоста е вистина ab = ба. Ова својство се нарекува комутативен закон на множење.

4. За сите природни броеви а, б, в еднаквоста е вистина (аб)в = а(бв) . Ова својство се нарекува комбиниран (асоцијативен) закон за множење.

5. За какви било вредности а, б, в еднаквоста е вистина (а + б)в = ак + п.н.е . Ова својство се нарекува дистрибутивен закон на множење (во однос на собирањето).

6. За какви било вредности аеднаквоста е вистина а*1 = а. Ова својство се нарекува закон за множење со еден.

Резултатот од собирање или множење на два природни броја е секогаш природен број. Или, поинаку кажано, овие операции може да се извршат додека остануваат во множеството природни броеви. Ова не може да се каже за одземање и делење: на пример, од бројот 3 е невозможно, останувајќи во множеството природни броеви, да се одземе бројот 7; Бројот 15 не може целосно да се подели со 4.

Знаци на деливост на природните броеви

Деливост на збир.Ако секој член е делив со некој број, тогаш збирот е делив со тој број.

Деливост на производ.Ако во производ барем еден од факторите е делив со одреден број, тогаш и производот се дели со овој број.

Овие услови, и за сумата и за производот, се доволни, но не и неопходни. На пример, производот 12*18 е делив со 36, иако ниту 12 ниту 18 не се деливи со 36.

Тест за деливост со 2.За да може природен број да се дели со 2, потребно е и доволно неговата последна цифра да биде парна.

Тест за деливост со 5.За да може природен број да се дели со 5, потребно е и доволно неговата последна цифра да биде или 0 или 5.

Тест за деливост со 10.За да може природен број да се дели со 10, потребно е и доволно цифрата на единиците да биде 0.

Тест за деливост со 4.За да може природен број кој содржи најмалку три цифри да биде делив со 4, потребно е и доволно последните цифри да бидат 00, 04, 08 или двоцифрениот број формиран од последните две цифри од овој број да се дели со 4.

Тест за деливост со 2 (со 9).За да може природен број да се дели со 3 (со 9), потребно е и доволно збирот на неговите цифри да се дели со 3 (со 9).

Множество од цели броеви

Размислете за бројна права со потеклото на точката О. Координатата на бројот нула на него ќе биде точка О. Броевите што се наоѓаат на бројната права во дадена насока се нарекуваат позитивни броеви. Нека е дадена точка на бројната права Асо координата 3. Одговара на позитивниот број 3. Сега да ја нацртаме единичната отсечка од точката три пати О, во насока спротивна на дадената. Тогаш ја сфаќаме поентата А", симетрично до точка Аво однос на потеклото О. Точка координата А"ќе има број - 3. Овој број е спротивен на бројот 3. Броевите што се наоѓаат на бројната права во насока спротивна на дадената се нарекуваат негативни броеви.

Броевите спротивни на природните броеви формираат збир од броеви N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Ако ги споиме комплетите Н , N" и сингл сет {0} , тогаш добиваме комплет З сите цели броеви:

З = {0} ∪ Н ∪ N" .

За цели броеви, сите горенаведени закони за собирање и множење се вистинити, кои се вистинити за природните броеви. Дополнително, се додаваат следните закони за одземање:

а - б = а + (- б) ;

а + (- а) = 0 .

Збир на рационални броеви

За да биде изводлива операцијата за делење цели броеви со кој било број што не е еднаков на нула, се воведуваат дропки:

Каде аИ б- цели броеви и бне е еднаква на нула.

Ако го додадеме множеството од сите позитивни и негативни дропки на множеството цели броеви, ќе го добиеме множеството рационални броеви П :

.

Покрај тоа, секој цел број е исто така рационален број, бидејќи, на пример, бројот 5 може да се претстави во форма , каде што броителот и именителот се цели броеви. Ова е важно кога се вршат операции на рационални броеви, од кои еден може да биде цел број.

Закони на аритметички операции на рационални броеви

Главното својство на дропка.Ако броителот и именителот на дадена дропка се помножат или поделат со истиот природен број, се добива дропка еднаква на дадената:

Ова својство се користи кога се намалуваат фракциите.

Собирање на дропки.Додавањето на обични фракции се дефинира на следниов начин:

.

Односно, за да се соберат дропки со различни именители, дропките се сведуваат на заеднички именител. Во пракса, при собирање (одземање) дропки со различни именители, дропките се сведуваат на најмал заеднички именител. На пример, вака:

За да додадете дропки со исти броители, едноставно додадете ги броителите и оставете го именителот ист.

Множење на дропки.Множењето на обичните дропки се дефинира на следниов начин:

Односно, за да помножите дропка со дропка, треба да го помножите броителот на првата дропка со броителот на втората дропка и да го напишете производот во броителот на новата дропка, а именителот на првата дропка да го помножите со именителот на втората дропка и запиши го производот во именителот на новата дропка.

Делење дропки.Поделбата на обичните дропки е дефинирана на следниов начин:

Односно, за да поделите дропка со дропка, треба да го помножите броителот на првата дропка со именителот на втората дропка и да го напишете производот во броителот на новата дропка, а именителот на првата дропка да го помножите со броител на втората дропка и запиши го производот во именителот на новата дропка.

Подигнување на дропка до моќ со природен експонент.Оваа операција е дефинирана на следниов начин:

Односно, за да се подигне дропка на моќност, броителот се подига до таа моќност и именителот се подига на таа моќност.

Периодични децимали

Теорема.Секој рационален број може да се претстави како конечна или бесконечна периодична дропка.

На пример,

.

Секвенцијално повторувачката група цифри по децималната точка во децималното запишување на некој број се нарекува точка, а конечната или бесконечната децимална дропка која има таков период во својата нотација се нарекува периодична.

Во овој случај, секоја конечна децимална дропка се смета за бесконечна периодична дропка со нула во периодот, на пример:

Резултатот од собирање, одземање, множење и делење (освен делење со нула) на два рационални броја е исто така рационален број.

Збир на реални броеви

На бројната линија, која ја разгледавме во врска со множеството цели броеви, може да има точки кои немаат координати во форма на рационален број. Така, не постои рационален број чиј квадрат е 2. Според тоа, бројот не е рационален број. Исто така, нема рационални броеви чии квадрати се 5, 7, 9. Според тоа, броевите , , се ирационални. Бројката е исто така ирационална.

Ниту еден ирационален број не може да се претстави како периодична дропка. Тие се претставени како непериодични дропки.

Унијата на множества рационални и ирационални броеви е множество реални броеви Р .

ДЕФИНИЦИЈА 5. Нека X е метрички простор, ММ Х, аОХ. Точката a се нарекува гранична точка на M ако во кое било соседство на a има точки од множеството M\(a). Последново значи дека во кое било соседство на a има точки од множеството М различни од a.

Белешки. 1. Граничната точка може или не мора да припаѓа на множеството. На пример, 0 и 1 се гранични точки на множеството (0,2), но првата не му припаѓа, а втората припаѓа.
2. Точка од множеството М не може да биде негова гранична точка. Во овој случај, таа се нарекува изолирана точка M. На пример, 1 е изолирана точка од множеството (-1,0)È(1).
3. Ако граничната точка a не припаѓа на множеството M, тогаш постои низа точки x n ОM што се конвергираат во a во овој метрички простор. За да се докаже, доволно е да се земат отворени топчиња во оваа точка со радиуси 1/n и од секоја топка да се избере точка која припаѓа на М. Исто така е точно и обратното, ако за a постои таква низа, тогаш точката е гранична точка.
ДЕФИНИЦИЈА 6. Затворањето на множеството М е заедница на М со множеството на неговите гранични точки. Означување
Забележете дека затворањето на топката не мора да се совпаѓа со затворена топка со ист радиус. На пример, во дискретен простор, затворањето на топката B(a,1) е еднакво на самата топка (се состои од една точка a) додека затворената топка (a,1) се совпаѓа со целиот простор.
Дозволете ни да опишеме некои својства на затворање на множества.
1. MÌ. Ова директно произлегува од дефиницијата за затворање.
2. Ако М М Н, тогаш М . Навистина, ако a О , a ПМ, тогаш во секое соседство на a има точки од множеството M. Тие се и точки од N. Затоа aО . За точките од М ова е јасно по дефиниција.
4. .
5. Затворањето на празен сет е празно. Овој договор не произлегува од општата дефиниција, туку е природен.
ДЕФИНИЦИЈА 7. Множеството M М X се нарекува затворено ако = M.
Множеството M М X се нарекува отворено ако множеството X\M е затворено.
Множеството M М X се вели дека е насекаде густо во X ако = X.
ДЕФИНИЦИЈА 8. Точката a се нарекува внатрешна точка на множеството M ако B(a,r)МM за некое позитивно r, т.е. внатрешната точка е вклучена во множеството заедно со некое соседство. Точката a се нарекува надворешна точка на множеството М ако топката B(a,r)МХ/M за некое позитивно r, т.е. внатрешната точка не е вклучена во множеството заедно со некое соседство. Точките кои не се ниту внатрешни ниту надворешни точки на множеството М се нарекуваат гранични точки.
Така, граничните точки се карактеризираат со тоа што во секое од нивните маала има точки и вклучени и не вклучени во М.
ПРЕДЛОГ 4. За да може комплетот да биде отворен, потребно е и доволно сите негови точки да бидат внатрешни.
Примери на затворени множества на линија се , )