Момент на инерција на круто тело. §13. Штајнерова теорема за моментот на инерција за произволна оска Момент на инерција околу

Моментот на инерција на тело (систем) во однос на дадена оска Oz (или аксијален момент на инерција) е скаларна величина што се разликува од збирот на производите на масите на сите точки на телото (системот) со квадрати на нивните растојанија од оваа оска:

Од дефиницијата произлегува дека моментот на инерција на тело (или систем) во однос на која било оска е позитивна големина и не е еднаква на нула.

Во иднина, ќе се покаже дека аксијалниот момент на инерција ја игра истата улога за време на ротационото движење на телото како масата за време на транслациското движење, т.е. дека аксијалниот момент на инерција е мерка за инерција на телото за време на ротационото движење. движење.

Според формулата (2), моментот на инерција на телото еднаков на збиротмоменти на инерција на сите негови делови во однос на истата оска. За една материјална точка која се наоѓа на растојание h од оската, . Мерната единица на моментот на инерција во SI ќе биде 1 kg (во системот MKGSS -).

За да се пресметаат аксијалните моменти на инерција, растојанијата на точките од оските може да се изразат преку координатите на овие точки (на пример, квадратот на растојанието од оската Ox ќе биде итн.).

Тогаш моментите на инерција околу оските ќе се одредат со формулите:

Често за време на пресметките се користи концептот на радиус на вртење. Радиусот на инерција на телото во однос на оската е линеарна големина одредена со еднаквоста

каде што М е телесна маса. Од дефиницијата произлегува дека радиусот на инерција е геометриски еднаков на растојанието од оската на точката во која треба да се концентрира масата на целото тело, така што моментот на инерција на оваа една точка е еднаков на моментот на инерција. на целото тело.

Знаејќи го радиусот на инерција, можете да ја користите формулата (4) за да го пронајдете моментот на инерција на телото и обратно.

Формулите (2) и (3) важат и за двете солидна, и за кој било систем на материјални точки. Во случај на цврсто тело, кршејќи го на елементарни делови, откриваме дека во границата збирот во еднаквоста (2) ќе се претвори во интеграл. Како резултат на тоа, земајќи предвид дека каде е густината и V е волуменот, добиваме

Интегралот овде се протега до целиот волумен V на телото, а густината и растојанието h зависат од координатите на точките на телото. Слично, формулите (3) за цврсти тела имаат форма

Формулите (5) и (5) се погодни за употреба при пресметување на моментите на инерција на хомогени тела правилна форма. Во овој случај, густината ќе биде константна и ќе падне надвор од интегралниот знак.

Да ги најдеме моментите на инерција на некои хомогени тела.

1. Тенка хомогена прачка со должина l и маса M. Да го пресметаме неговиот момент на инерција во однос на оската нормална на шипката и која минува низ нејзиниот крај А (сл. 275). Да се ​​насочиме по АБ координатна оскаТогаш за кој било елементарен сегмент со должина d вредноста е , а масата е , каде е масата на единечна должина на шипката. Како резултат на тоа, формулата (5) дава

Заменувајќи овде со неговата вредност, конечно наоѓаме

2. Тенок кружен хомоген прстен со радиус R и маса M. Да го најдеме неговиот момент на инерција во однос на оската нормално на рамнинатапрстен и минува низ неговиот центар C (сл. 276).

Бидејќи сите точки на прстенот се наоѓаат на растојание од оската, формулата (2) ја дава

Затоа, за прстенот

Очигледно, истиот резултат ќе се добие за моментот на инерција на тенка цилиндрична обвивка со маса M и радиус R во однос на нејзината оска.

3. Тркалезна хомогена плоча или цилиндар со радиус R и маса M. Да го пресметаме моментот на инерција на тркалезната плоча во однос на оската нормална на плочата и која минува низ нејзиниот центар (види Сл. 276). За да го направите ова, избираме елементарен прстен со радиус и ширина (Слика 277, а). Површината на овој прстен е , а масата е местото каде што е масата по единица површина на плочата. Потоа, според формулата (7), за избраниот елементарен прстен ќе има и за целата плоча

Нека има цврсто тело. Ајде да избереме некоја права линија ОО (сл. 6.1), која ќе ја наречеме оска (правата ОО може да биде надвор од телото). Дозволете ни да го поделиме телото на елементарни делови (материјални точки) со маси
се наоѓа на растојание од оската
соодветно.

Моментот на инерција на материјална точка во однос на оската (ОО) е производ од масата на материјалната точка со квадратот на нејзиното растојание до оваа оска:

. (6.1)

Моментот на инерција (MI) на тело во однос на оската (OO) е збирот на производите од масите на елементарните делови на телото по квадратот на нивното растојание до оската:

. (6.2)

Како што можете да видите, моментот на инерција на телото е адитивна количина - моментот на инерција на целото тело во однос на одредена оска е еднаков на збирот на моментите на инерција на неговите поединечни делови во однос на истата оска.

Во овој случај

.

Моментот на инерција се мери во kgm 2. Бидејќи

, (6.3)

каде што  - густина на супстанцијата,
- волумен јас- ти дел, тогаш

,

или, се движи кон бесконечно мали елементи,

. (6.4)

Формулата (6.4) е погодна за употреба за пресметување на MI на хомогени тела со правилна форма во однос на оската на симетрија што минува низ центарот на масата на телото. На пример, за MI на цилиндар во однос на оската што минува низ центарот на маса паралелно со генератриксот, оваа формула дава

,

Каде Т- тежина; Р- радиус на цилиндерот.

Штајнеровата теорема дава голема помош во пресметувањето на MI на телата во однос на одредени оски: MI на телата Јасво однос на која било оска е еднаква на збирот на MI на ова тело Јас вво однос на оската што минува низ центарот на масата на телото и паралелна со дадената, и производот на телесната маса со квадратот на растојанието гпомеѓу наведените оски:

. (6.5)

Момент на сила околу оската

Нека силата делува на телото Ф. За едноставност да претпоставиме дека силата Флежи во рамнина нормална на некоја права линија ОО (сл. 6.2, А), која ќе ја наречеме оска (на пример, ова е оската на ротација на телото). На сл. 6.2, А А- точка на примена на сила Ф,
- точката на пресек на оската со рамнината во која лежи силата; р- радиус вектор кој ја дефинира положбата на точката Аво однос на поентата ЗА"; О"Б = б - рамо на сила. Ракот на силата во однос на оската е најмалото растојание од оската до правата линија на која лежи векторот на силата Ф(должината на нормалната извлечена од точката до оваа линија).

Моментот на сила во однос на оската е векторска величина дефинирана со еднаквоста

. (6.6)

Модулот на овој вектор е . Затоа, понекогаш велат дека моментот на сила околу оската е производ на силата и нејзиниот крак.

Ако силата Фе насочена произволно, тогаш може да се разложи на две компоненти; И (Сл.6.2, б), т.е.
+, Каде - компонента насочена паралелно со оската ОО, и лежи во рамнина нормална на оската. Во овој случај, под моментот на сила Фво однос на оската ОО разбираат векторот

. (6.7)

Во согласност со изразите (6.6) и (6.7), векторот Мнасочени по должината на оската (види Сл. 6.2, А,б).

Моментум на телото во однос на оската на ротација

П Нека телото ротира околу одредена оска ОО со аголна брзина
. Ајде ментално да го разложиме ова тело на елементарни делови со маси
, кои се наоѓаат од оската, соодветно, на растојанија
и ротираат во кругови, со линеарни брзини
Се знае дека вредноста е еднаква
- постои импулс јас- парцела. момент на импулс јас- пресекот (материјалната точка) во однос на оската на ротација се нарекува вектор (поточно, псевдовектор)

, (6.8)

Каде р јас– вектор на радиус кој ја дефинира положбата јас- површина во однос на оската.

Аголниот моментум на целото тело во однос на оската на ротација се нарекува вектор

(6.9)

чиј модул
.

Во согласност со изразите (6.8) и (6.9), векторите
И насочени по оската на ротација (сл. 6.3). Лесно е да се покаже дека аголниот момент на телото Лво однос на оската на ротација и моментот на инерција Јасна ова тело во однос на истата оска се поврзани со релацијата

. (6.10)

МОМЕНТ НА ​​ИНЕРЦИЈА I на тело во однос на точка, оска или рамнина се нарекува збир на производи од масата на точките на телото m i по квадратите на нивните растојанија r i до точката, оската или рамнината:

Моментот на инерција на тело околу оската е мерка за инерција на тело во ротационо движење околу таа оска.

Моментот на инерција на телото може да се изрази и во однос на масата M на телото и неговиот радиус на вртење r:

МОМЕНТИ НА ИНЕРЦИЈА ВО РЕЛАТИВНО СО ОСКИТЕ, РАМНИНИТЕ И ПОТЕКЛОТО НА ДЕКАРСКИТЕ КООРДИНАТИ.

Момент на инерција за потеклото (поларен момент на инерција):

ОДНОС ПОМЕЃУ АКСИЈАЛНИ, РАМНИНИ И ПОЛАРНИ МОМЕНТИ НА ИНЕРЦИЈА:

Вредностите на аксијалните моменти на инерција на некои геометриски теласе дадени во табела. 1.

Табела 1. Момент на инерција на некои тела

ПРОМЕНА ВО МОМЕНТИТЕ НА ИНЕРЦИЈА ПРИ МЕНУВАЊЕ НА ОСКИ

Момент на инерција I u 1 во однос на оската u 1 паралелна со дадената оска u (сл. 1):

каде што I u е моментот на инерција на телото во однос на оската u; l(l 1) - растојание од оската u (од оската u 1) до оската u c паралелна со нив, минувајќи низ центарот на масата на телото; a е растојанието помеѓу оските u и u 1.

Слика 1.

Ако оската u е централна (l=0), тогаш

односно за која било група паралелни оски моментот на инерција околу централната оска е најмал.

Момент на инерција I u во однос на оската u правејќи агли α, β, γ со оските на Декартов координати x, y, z (сл. 2):

Слика 2.

Оските x, y, z се главни ако

Момент на инерција во однос на оската u правејќи агли α, β, γ со главните оски на инерција x, y, z:

ПРОМЕНА НА ЦЕНТРИФУГАЛНИТЕ МОМЕНТИ НА ИНЕРЦИЈА ПРИ ПАРАЛЕЛНО ПРЕНЕСУВАЊЕ НА ОСКИ:

каде е центрифугалниот момент на инерција во однос на централните оски x c, y c, паралелни со оските x, y; М - телесна тежина; x с, y с - координати на центарот на масата во системот на оските x, y.

ПРОМЕНА НА ЦЕНТРИФУГАЛНИОТ МОМЕНТ НА ​​ИНЕРЦИЈА КОГА ОСКИТЕ x, y РОТРААТ ОКОЛУ ОСКАТА z ПО АГОЛОТ α ДО ПОЗИЦИЈАТА x 1 y 1(Слика 3):

Слика 3.

ОПРЕДЕЛУВАЊЕ НА ПОЛОЖБАТА НА ГЛАВНИТЕ ОСКИ НА ИНЕРЦИЈА.Оската на материјалната симетрија на телото е главната оска на инерција на телото.

Ако рамнината xOz е рамнината на материјалната симетрија на телото, тогаш која било од y оските е главната оска на инерција на телото.

Ако е позната положбата на една од главните оски z main, тогаш положбата на другите две оски x главна и y главна се одредува со ротирање на оските x и y околу главната оска z за агол φ (сл. 3) :

ЕЛИПСОИД И ПАРАЛЕЛЕПИПЕД НА ИНЕРЦИЈА.Елипсоид со инерција е елипсоид чии оски на симетрија се совпаѓаат со главните централни оски на телото x главно, y главно, z главно, а полуоските a x, a y, a z се еднакви, соодветно:

каде r уО z, r x Oz, r xOy се радиусите на инерција на телото во однос на главните рамнини на инерција.

Паралелепипед на инерција е паралелепипед кој е опишан околу елипсоидот на инерција и има заеднички оски на симетрија со него (сл. 4).

Слика 4.

НАМАЛУВАЊЕ (ЗАМЕНА ЗА ПОедноставување на ПРЕСМЕТКИТЕ) НА ЦВРСТО ТЕЛО СО КОНЦЕНТРИРАНИ МАСИ. При пресметување на аксијални, рамни, центрифугални и поларни моменти на инерција, тело со маса M може да се намали за осум концентрирани маси M/8 лоцирани на темињата на паралелепипедот на инерција. Моментите на инерција во однос на која било оска, рамнина, пол се пресметуваат од координатите на темињата на паралелепипедот со инерција x i, y i, z i (i=1, 2, ..., 8) со помош на формулите:

ЕКСПЕРИМЕНТАЛНО ОПРЕДЕЛУВАЊЕ НА МОМЕНТИ НА ИНЕРЦИЈА

1. Определување на моментите на инерција на телата на револуција користејќи диференцијална равенкаротација - видете ги формулите („Ротационо движење на круто тело“).

Телото што се испитува е фиксирано на хоризонталната оска x, што се совпаѓа со неговата оска на симетрија, и е доведено во ротација околу него со помош на оптоварување P прикачено на флексибилен конец навиен на телото што се проучува (сл. 5), додека времето се мери t на спуштање на товарот до висина h . За да се елиминира влијанието на триењето на точките на прицврстување на телото на оската x, експериментот се изведува неколку пати на различни значењатежина на оптоварување Р.

Слика 5.

Во два експерименти со оптоварувања P 1 и P 2

2. Експериментално определувањемоменти на инерција на телата со проучување на осцилациите на физичкото нишало (види 2.8.3) .

Телото што се проучува е фиксирано на хоризонталната оска x (нецентрално) и се мери периодот на мали осцилации околу оваа оска Т Моментот на инерција околу оската x се одредува со формулата

каде што P е телесна тежина; l 0 - растојание од оската на ротација до центарот на маса C на телото.

ДЕФИНИЦИЈА

Мерката за инерција на ротирачкото тело е момент на инерција(Ј) во однос на оската околу која се случува ротацијата.

Ова е скаларна (општо, тензорска) физичка количина, која е еднаква на производот на масите на материјалните точки () во кои предметното тело треба да се подели на квадрати на растојанија () од нив до оската на ротација:

каде што r е функција од положбата на материјална точка во просторот; - густина на телото; - волумен на елемент на телото.

За хомогено тело, изразот (2) може да се претстави како:

Моментот на инерција во меѓународниот систем на единици се мери во:

Големината Ј е вклучена во основните закони со кои се опишува ротацијата на круто тело.

Во општиот случај, големината на моментот на инерција зависи од насоката на оската на ротација, а бидејќи при движење векторот обично ја менува својата насока во однос на телото, моментот на инерција треба да се смета како функција на времето. Исклучок е моментот на инерција на тело што ротира околу фиксна оска. Во овој случај, моментот на инерција останува константен.

Штајнерова теорема

Штајнеровата теорема овозможува да се пресмета моментот на инерција на телото во однос на произволна оска на ротација кога моментот на инерција на предметното тело е познат во однос на оската што минува низ центарот на масата на ова тело и овие оски се паралелно. Во математичка форма, теоремата на Штајнер е претставена како:

каде е моментот на инерција на телото во однос на оската на ротација што минува низ центарот на масата на телото; m е масата на телото за кое станува збор; a е растојанието помеѓу оските. Бидете сигурни да запомните дека оските мора да бидат паралелни. Од изразот (4) следува дека:

Некои изрази за пресметување на моментите на инерција на тело

Кога се ротира околу оска материјална точкаима момент на инерција еднаков на:

каде што m е масата на точката; r е растојанието од точката до оската на ротација.

За хомогена тенка прачка со маса m и должина l J во однос на оската што минува низ нејзиниот центар на маса (оската е нормална на шипката) е еднаква на:

Тенок прстен со маса која ротира околу оската што минува низ нејзиниот центар, нормално на рамнината на прстенот, тогаш моментот на инерција се пресметува како:

каде што R е радиусот на прстенот.

Тркалезен хомоген диск со радиус R и маса m има J во однос на оската што минува низ неговиот центар и е нормална на рамнината на дискот, еднаква на:

За хомогена топка

каде што m е масата на топката; R е радиусот на топката. Топката ротира околу оската што минува низ нејзиниот центар.

Ако оските на ротација се оски на правоаголен Декартов координатен систем, тогаш за континуирано тело моментите на инерција може да се пресметаат како:

каде се координатите на бесконечно мал елемент од телото.

Примери за решавање проблеми

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

Како што е наведено погоре, едноставните рамни фигури вклучуваат три фигури: правоаголник, триаголник и круг. Овие фигури се сметаат за едноставни затоа што положбата на центарот на гравитација на овие фигури е однапред позната. Сите други фигури можат да бидат составени од овие едноставни фигури и се сметаат за сложени. Да ги пресметаме аксијалните моменти на инерција едноставни фигуриво однос на нивните централни оски.

1. Правоаголник.Да го разгледаме пресекот на правоаголен профил со димензии (сл. 4.6). Дозволете ни да избереме елемент на пресек со два бесконечно блиски пресеци на растојание од централната оска
.

Да го пресметаме моментот на инерција на правоаголен пресек во однос на оската:

. (4.10)

Момент на инерција на правоаголен пресек околу оската
ќе најдеме слично. Заклучокот не е даден овде.

. (4.11)

И
е еднакво на нула, бидејќи оските
И
се оски на симетрија и, според тоа, главни оски.

2. Рамнокрак триаголник.Да разгледаме дел од триаголен профил со димензии
(Сл.4.7). Дозволете ни да избереме елемент на пресек со два бесконечно блиски пресеци на растојание од централната оска
. Тежиштето на триаголникот е на растојание
од основата. Се претпоставува дека триаголникот е рамнокрак, така што оската
делот е оската на симетрија.

Дозволете ни да го пресметаме моментот на инерција на пресекот во однос на оската
:

. (4.12)

Големина одредуваме од сличноста на триаголниците:

;
.

каде Замена на изрази за

. (4.13)

во (4.12) и интегрирајќи, добиваме:
Момент на инерција за рамнокрак триаголник околу оската

(4.14)

се наоѓа на сличен начин и е еднакво на:
И
Центрифугален момент на инерција околу оските
е еднаква на нула, бидејќи оската

3. е оската на симетрија на пресекот.Заокружете . Размислете за пресекот на кружен профил со дијаметар (Сл.4.8). Дозволете ни да го истакнеме елементот на пресекот со два бескрајно блиски концентрични кругови лоцирани на растојание .

од центарот на гравитација на кругот

. (4.15)

Да го пресметаме поларниот момент на инерција на кругот користејќи го изразот (4.5):
Користејќи го условот на непроменливост за збирот на аксијалните моменти на инерција околу две меѓусебно нормални оски (4.6) и земајќи го предвид дека за круг, поради симетрија

. (4.16)

. (4.17)

се наоѓа на сличен начин и е еднакво на: И е еднакво на нула, бидејќи оските
И
, ја одредуваме вредноста на аксијалните моменти на инерција:

се оските на симетрија на пресекот.

4.4. Зависности помеѓу моментите на инерција во однос на паралелните оски При пресметување на моменти на инерција за сложени фигури, треба да се запомни едно правило: може да се додадат вредностите за моментите на инерција.. За сложените фигури, најчесто тежиштето на поединечни едноставни фигури и целата фигура не се совпаѓаат. Според тоа, централните оски за поединечни едноставни фигури и целата фигура не се совпаѓаат. Во овој поглед, постојат техники за доведување моменти на инерција до една оска, на пример, централната оска на целата фигура. Ова може да се должи на паралелно преведување на оските на инерција и дополнителни пресметки.

Да го разгледаме определувањето на моментите на инерција во однос на паралелните оски на инерција прикажани на сл. 4.9.

Нека аксијалните и центрифугалните моменти на инерција се прикажани на сл. 4.9. фигури во однос на произволно избраните оски
И
со потеклото во точката познат. Потребно е да се пресметаат аксијалните и центрифугалните моменти на инерција на фигурата во однос на произволните паралелни оски
И
со потеклото во точката . Оски
И
извршени на растојанија И соодветно од оските
И
.

Да ги користиме изразите за аксијалните моменти на инерција (4.4) и за центрифугалниот момент на инерција (4.7). Ајде да ги замениме овие изрази наместо тековните координати
И
елемент со бесконечно мала координатна област
И
В нов системкоординати Добиваме:

Анализирајќи ги добиените изрази, доаѓаме до заклучок дека при пресметување моменти на инерција во однос на паралелните оски, треба да се додадат адитиви во форма на дополнителни термини на моментите на инерција пресметани во однос на оригиналните оски на инерција, кои може да бидат многу поголеми отколку вредностите за моментите на инерција во однос на оригиналните оски. Затоа, овие дополнителни услови во никој случај не треба да се занемарат.

Разгледаниот случај е најопшт случај на паралелно пренесување на оските, кога произволните оски на инерција беа земени како почетни. Во повеќето пресметки има посебни случаи на одредување моменти на инерција.

Првиот посебен случај. Почетните оски се централните оски на инерција на фигурата. Потоа, користејќи го главното својство за статичкиот момент на плоштината, можно е да се исклучат од равенките (4.18) - (4.20) термините на равенките што го вклучуваат статичкиот момент на површината на сликата. Како резултат добиваме:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

Еве ги секирите
И
-централни оски на инерција.

Втор посебен случај. Референтните оски се главните оски на инерција. Потоа, имајќи предвид дека во однос на главните оски на инерција, центрифугалниот момент на инерција е еднаков на нула, добиваме:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

Еве ги секирите
И
главни оски на инерција.

Да ги искористиме добиените изрази и да разгледаме неколку примери за пресметување моменти на инерција за рамни фигури.

Пример 4.2.Определете ги аксијалните моменти на инерција на сликата прикажана на сл. 4.10, во однос на централните оски И .

Во претходниот пример 4.1, за сликата прикажана на сл. 4.10, беше одредена позицијата на тежиштето C Координатата на центарот на гравитација беше нацртана од оската и составил
. Да ги пресметаме растојанијата И помеѓу оските И и секири И . Овие растојанија беа соодветно
И
. Од оригиналните оски И се централните оски за едноставни фигури во форма на правоаголници, за одредување на моментот на инерција на фигурата во однос на оската Да ги искористиме заклучоците за првиот конкретен случај, особено формулата (4.21).

Момент на инерција околу оската добиваме со собирање на моментите на инерција на едноставни фигури во однос на истата оска, бидејќи оската е заедничката централна оска за едноставни фигури и за целата фигура.

см 4.

Центрифугален момент на инерција околу оските И е еднаква на нула, бидејќи оската на инерција е главната оска (оска на симетрија на фигурата).

Пример 4.3.Која е големината? б(во см) фигурата прикажана на сл. 4.11, ако моментот на инерција на фигурата во однос на оската еднакво на 1000 cm 4?

Да го изразиме моментот на инерција околу оската преку непозната големина на делот , користејќи ја формулата (4.21), имајќи предвид дека растојанието помеѓу оските И е еднакво на 7 см:

см 4.

(А) Решавање на изразот (а) за големината на делот

, добиваме:

см.Пример 4.4. Која од сликите прикажани на сл. 4.12 има поголем момент на инерција во однос на оската
ако двете фигури имаат иста плоштина

cm 2?

1. Да ги изразиме плоштините на фигурите во однос на нивните големини и да одредиме:

а) дијаметар на пресек за тркалезен пресек:
, добиваме:

cm 2; Каде

б) големина на квадратна страна:
, добиваме:

;

см 4.

Каде

см 4.

2. Пресметај го моментот на инерција за кружен пресек:

3. Пресметај го моментот на инерција за квадратен пресек:Споредувајќи ги добиените резултати, доаѓаме до заклучок дека квадратен пресек ќе има најголем момент на инерција во споредба со кружен пресек со иста плоштина.
Пример 4.5.
, добиваме:

Одреди го поларниот момент на инерција (во cm 4) на правоаголен пресек во однос на неговиот центар на гравитација, ако ширината на пресекот cm, висина на пресекот 1. Да ги најдеме моментите на инерција на пресекот во однос на хоризонталата

и вертикална
см 4.

централни оски на инерција:

см 4.

cm 4; 2. Поларниот момент на инерција на пресекот го одредуваме како збир на аксијалните моменти на инерција: Пример 4.6. Одреди го моментот на инерција на триаголната фигура прикажана на сл. 4.13, во однос на централната оска

, ако моментот на инерција на фигурата во однос на оската еднакво на 2400 cm 4. Момент на инерција на триаголен пресек во однос на главната оска на инерција
ќе биде помал во споредба со моментот на инерција околу оската
cm момент на инерција на пресекот во однос на оската го наоѓаме на следниов начин.