Наоѓање на инверзна функција на дадена. Инверзни функции - дефиниција и својства. Забелешка за снимање
Дозволете множествата $X$ и $Y$ да бидат вклучени во множеството реални броеви. Да го воведеме концептот на инвертибилна функција.
Дефиниција 1
Функција $f:X\to Y$ што пресликува множество $X$ во множество $Y$ се нарекува инвертибилна ако за кој било елемент $x_1,x_2\во X$, од фактот дека $x_1\ne x_2$ следи тоа $f(x_1 )\ne f(x_2)$.
Сега можеме да го воведеме концептот на инверзна функција.
Дефиниција 2
Нека функцијата $f:X\to Y$ што го пресликува множеството $X$ во множеството $Y$ е инвертибилна. Тогаш функцијата $f^(-1):Y\to X$ го пресликува множеството $Y$ во множеството $X$ дефинирано со условот $f^(-1)\left(y\десно)=x$ е наречена инверзна за $f( x)$.
Да ја формулираме теоремата:
Теорема 1
Нека функцијата $y=f(x)$ е дефинирана, монотоно расте (намалува) и продолжува во некој интервал $X$. Потоа во соодветниот интервал $Y$ од вредностите на оваа функција има инверзна функција, која исто така монотоно се зголемува (намалува) и е континуирана на интервалот $Y$.
Сега директно да го воведеме концептот на меѓусебно инверзни функции.
Дефиниција 3
Во рамките на Дефиницијата 2, функциите $f(x)$ и $f^(-1)\left(y\десно)$ се нарекуваат меѓусебно инверзни функции.
Својства на меѓусебно инверзни функции
Нека функциите $y=f(x)$ и $x=g(y)$ се меѓусебно инверзни, тогаш
$y=f(g\лево(y\десно))$ и $x=g(f(x))$
Доменот на дефиниција на функцијата $y=f(x)$ е еднаков на доменот на вредноста на функцијата $\ x=g(y)$. И доменот на дефиниција на функцијата $x=g(y)$ е еднаков на доменот на вредноста на функцијата $\ y=f(x)$.
Графиконите на функциите $y=f(x)$ и $x=g(y)$ се симетрични во однос на правата линија $y=x$.
Ако една од функциите се зголемува (намалува), тогаш другата функција се зголемува (намалува).
Наоѓање на инверзна функција
Равенката $y=f(x)$ е решена во однос на променливата $x$.
Од добиените корени се наоѓаат оние кои припаѓаат на интервалот $X$.
Пронајдените $x$ се совпаѓаат со бројот $y$.
Пример 1
Најдете ја инверзната функција за функцијата $y=x^2$ на интервалот $X=[-1,0]$
Бидејќи оваа функција е опаѓачка и континуирана на интервалот $X$, тогаш на интервалот $Y=$, кој исто така е опаѓачки и континуиран на овој интервал (теорема 1).
Ајде да пресметаме $x$:
\ \
Изберете соодветен $x$:
Одговор:инверзна функција $y=-\sqrt(x)$.
Проблеми за наоѓање инверзни функции
Во овој дел ќе разгледаме инверзни функции за некои елементарни функции. Ние ќе ги решиме проблемите според шемата дадена погоре.
Пример 2
Најдете ја инверзната функција за функцијата $y=x+4$
Ајде да најдеме $x$ од равенката $y=x+4$:
Пример 3
Најдете ја инверзната функција за функцијата $y=x^3$
Решение.
Бидејќи функцијата е растечка и континуирана во целиот домен на дефиниција, тогаш, според теорема 1, има инверзна континуирана и растечка функција на неа.
Ајде да најдеме $x$ од равенката $y=x^3$:
Наоѓање соодветни вредности од $x$
Вредноста е погодна во нашиот случај (бидејќи доменот на дефиниција се сите броеви)
Да ги редефинираме променливите, добиваме дека инверзната функција ја има формата
Пример 4
Најдете ја инверзната функција за функцијата $y=cosx$ на интервалот $$
Решение.
Размислете за функцијата $y=cosx$ на множеството $X=\left$. Тој е континуиран и се намалува на множеството $X$ и го пресликува множеството $X=\left$ на множеството $Y=[-1,1]$, според тоа, според теоремата за постоење на инверзна континуирана монотона функција, функцијата $y=cosx$ во множеството $ Y$ има инверзна функција, која исто така е континуирана и расте во множеството $Y=[-1,1]$ и го пресликува множеството $[-1,1]$ до множеството $\лево$.
Ајде да најдеме $x$ од равенката $y=cosx$:
Наоѓање соодветни вредности од $x$
Да ги редефинираме променливите, добиваме дека инверзната функција ја има формата
Пример 5
Најдете ја инверзната функција за функцијата $y=tgx$ на интервалот $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.
Решение.
Размислете за функцијата $y=tgx$ на множеството $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Тој е континуиран и се зголемува во множеството $X$ и го пресликува множеството $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\десно)$ на множеството $Y =R$, според тоа, според теоремата за постоење на инверзна континуирана монотона функција, функцијата $y=tgx$ во множеството $Y$ има инверзна функција, која исто така е континуирана и расте во множеството $Y=R $ и го пресликува множеството $R$ на множеството $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi)(2)\десно)$
E(y) =
y(-x) = arccos(-x) = π - arccos x – функцијата не е ниту парна ниту непарна.
arccos x = 0 на x = 1
arccos x > 0 на x є [-1;1)
Ајде да најдеме $x$ од равенката $y=tgx$:
Наоѓање соодветни вредности од $x$
Да ги редефинираме променливите, добиваме дека инверзната функција ја има формата
2.Теорија на инверзни функции
Инверзни тригонометриски функции
Дефиниција на инверзна функција
Дефиниција. Ако функцијата f(x) дефинира кореспонденција еден-на-еден помеѓу нејзиниот домен X и неговиот домен Y (со други зборови, ако некои различни вредности на аргументот одговараат на различни вредности на функцијата), тогаш се вели дека има функција f(x). инверзна функцијаили што функцијаѓ(x) е реверзибилна.
Дефиниција. Инверзната функција е правило кое го кажува секој број нає Уодговара на бројот Xє X, и y=f(x). Инверзен домен
функцијата е множество Y, опсегот на вредности е X.
Теорема на коренот. Нека функцијата f се зголемува (или се намалува) на интервалот I, бројот a е која било од вредностите прифатени од f на овој интервал. Тогаш равенката f(x)=a има еден корен во интервалот I.
Доказ. Да разгледаме растечка функција f (во случај на опаѓачка функција расудувањето е слично). По услов, во интервалот I постои број b таков што f(b)=a. Да покажеме дека b е единствениот корен на равенката f(x)=a.
Да претпоставиме дека има друг број на интервалот I в≠
b, така што f(c)=a. Тогаш или со
Теорема за инверзна функција. Ако функцијата f се зголемува (или се намалува) на интервалот I, тогаш таа е инверзибилна. Инверзната функција g од f, дефинирана во опсегот на вредности на f, исто така се зголемува (соодветно се намалува).
Доказ. За определеност, да претпоставиме дека функцијата f се зголемува. Инвертибилноста на функцијата f е очигледна последица на теоремата на коренот. Затоа, останува да се докаже дека функцијата g, инверзна на f, се зголемува на множеството E(f).
Нека x 1 и x 2 се произволни вредности од E(f), такви што x 2 > x 1 и нека y 1 = g (x 1), y 2 = g ( x 2 ). По дефиниција на инверзната функција, x 1 = f(y 1) и x 2 = f(y 2).
Користејќи го условот f е растечка функција, откриваме дека претпоставката y 1≥ y 2 води до заклучокот f(y 1) > f(y 2), односно x 1 > x 2. Ова
е во спротивност со претпоставката x 2 > x 1 Затоа, y 1 > y 2, односно од условот x 2 > x 1 следува дека g(x 2)> g(x 1). Q.E.D.
Оригиналната функција и нејзината инверзна се меѓусебно обратно.
Графикони на меѓусебно инверзни функции
Теорема. Графиконите на меѓусебно инверзните функции се симетрични во однос на правата y=x.
Доказ. Забележете дека од графикот на функцијата f можеме да најдеме нумеричка вредностФункција g инверзна на f во произволна точка a. За да го направите ова, треба да земете точка со координати не на хоризонталната оска (како што обично се прави), туку на вертикалната. Од дефиницијата на инверзната функција произлегува дека вредноста на g(a) е еднаква на b.
За да се прикаже графикот на g во вообичаениот координатен систем, потребно е да се прикаже графикот на f во однос на правата линија y=x.
Алгоритам за составување на инверзна функција за функцијата y=f(x), x
X.
1. Проверете дали функцијата y=f(x) е инвертибилна на X.
2. Од равенката y=f(x) x изрази преку y, имајќи предвид дека x є X .
Z. Во добиената еднаквост, заменете ги x и y.
2.2. Дефиниција, својства и графикони на инверзна тригонометрија
функции
лаксин
Синусната функција се зголемува на сегментот 
и ги зема сите вредности од -1 до 1. Затоа, според теоремата на коренот, за кој било број е таков што 
, во интервалот има еден корен од равенката sin x = a. Овој број се нарекува лак на бројот a и се означува со arcsin a.
Дефиниција. Лак на број a, каде што , е број од отсечка чиј синус е еднаков на a.
Својства.
D(y) = [-1;1]
E(y) = [-π/2;π/2]
y (-x) = arcsin(-x) = - arcsin x – непарна функција, графикот е симетричен во однос на точката O(0;0).
arcsin x = 0 на x = 0.
arcsin x > 0 на x є (0;1]
arcsin x< 0 при х є [-1;0)
y = arcsin x се зголемува за било кој x є [-1;1]
1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.
лак косинус
Косинусот се намалува на отсечката и ги зема сите вредности од -1 до 1. Затоа, за секој број a таков што |a|1, на отсечката има еден корен во равенката cosx=a. Овој број b се нарекува аркозин на бројот a и се означува со arcos a.
Дефиниција . Косинусот на лакот на бројот a, каде што -1 a 1, е број од отсечката чиј косинус е еднаков на a.
Својства.
arccos x< 0 – нет решений
y = arccos x се намалува за кој било x є [-1;1]
1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 – се намалува.
Арктангенс
Функцијата тангента се зголемува на сегментот - 
Според тоа, според теоремата на коренот, равенката tgx=a, каде што a е кој било реален број, има единствен корен x на интервалот -. Овој корен се нарекува арктангенс на бројот a и се означува arctga.
Дефиниција. Арктангенс на бројот аР овој број се нарекува x , чија тангента е еднаква на a.
Својства.
E(y) = (-π/2;π/2)
y(-x) = y = arctg(-x) = - arctg x – функцијата е непарна, графикот е симетричен во однос на точката O(0;0).
arctg x = 0 на x = 0
Функцијата се зголемува за било кој x є R
-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2
Аркотангента
Котангентната функција на интервалот (0;) се намалува и ги зема сите вредности од R. Затоа, за кој било број a во интервалот (0;) постои единствен корен од равенката cotg x = a. Овој број a се нарекува лактангента на бројот a и се означува со arcctg a.
Дефиниција. Лачниот котангенс на бројот a, каде што R е број од интервалот (0;) , чија котангента е еднаква на a.
Својства.
E(y) = (0;π)
y(-x) = arcctg(-x) = π - arcctg x – функцијата не е ниту парна ниту непарна.
arcctg x = 0– не постои.
Функција y = arcctg xсе намалува за било кој x є Р
-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2
Функцијата е континуирана за кој било x є R.
2.3 Идентични трансформации на изрази кои содржат инверзни тригонометриски функции
Пример 1. Поедноставете го изразот:
А) 
Каде 
Решение. Да ставиме 
. Потоа 
И 
Да се најде 
, да ја искористиме релацијата 
Добиваме 
Но. Во овој сегмент, косинусот зема само позитивни вредности. Така, 
, односно каде 
.
б) 
Решение.
Решение. Да ставиме 
. Потоа 
И 
Ајде прво да најдеме, за што ја користиме формулата 
, каде 
Бидејќи во овој интервал косинус зема само позитивни вредности, тогаш 
.
Соодветни изрази кои се превртуваат еден со друг. За да разберете што значи ова, вреди да се размисли конкретен пример. Да речеме дека имаме y = cos(x). Ако го земете косинусот од аргументот, можете да ја најдете вредноста на y. Очигледно, за ова треба да имате X. Но, што ако играта првично беше дадена? Овде доаѓа до суштината на работата. За да го решите проблемот, треба да ја користите инверзната функција. Во нашиот случај тоа е аркозин.
По сите трансформации добиваме: x = arccos(y).
Односно, за да се најде функција инверзна на дадена, доволно е едноставно да се изрази аргумент од неа. Но, ова функционира само ако добиениот резултат има единствено значење (повеќе за ова подоцна).
Општо земено, овој факт може да се запише на следниов начин: f(x) = y, g(y) = x.
Дефиниција
Нека f е функција чиј домен е множеството X и чиј домен е множеството Y. Тогаш, ако постои g чии домени извршуваат спротивни задачи, тогаш f е инвертибилна.
Згора на тоа, во овој случај g е единствен, што значи дека постои точно една функција што го задоволува ова својство (ни повеќе, ни помалку). Тогаш се нарекува инверзна функција, а во пишувањето се означува на следниов начин: g(x) = f -1 (x).
Со други зборови, тие може да се сметаат како бинарна релација. Реверзибилноста се јавува само кога еден елемент од множеството одговара на една вредност од друга.
Инверзната функција не постои секогаш. За да го направите ова, секој елемент y є Y мора да одговара на најмногу еден x є X. Тогаш f се нарекува еден-на-еден или инјекција. Ако f -1 припаѓа на Y, тогаш секој елемент од ова множество мора да одговара на некои x ∈ X. Функциите со ова својство се нарекуваат сурјекции. По дефиниција важи ако Y е слика на f, но тоа не е секогаш случај. За да биде инверзна, функцијата мора да биде и инјекција и шприц. Таквите изрази се нарекуваат биекции.
Пример: функции на квадрат и корен
Функцијата е дефинирана на )
Се вчитува...